Как да намерим производно на сложни функции примери за разтвор. Деривативна сложна функция

Абсолютно невъзможно е да се решат физически задачи или примери за математика без знания за производа и методите на нейното изчисление. Деривата е една от най-важните понятия за математически анализ. Решихме да посветим тази основна тема към настоящата статия. Какво е дериват, какъв е неговият физически и геометричен смисъл, как да се изчисли произведената функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в едно: Как да разберем деривата?

Геометрично и физическо значение производно

Нека има функция f (x) в определен интервал (А, б) . Точки X и X0 принадлежат към този интервал. Когато променяте x промените самата функция. Промяна на аргумента - разликата в нейните ценности x-x0. . Тази разлика е написана като delta X. и се нарича увеличаване на аргумента. Промяната или увеличаването на функцията е разликата в стойностите на функциите в две точки. Определение на деривата:

Деривативната функция в точката е границата на функцията на функцията на функцията в дадена точка до увеличаването на аргумента, когато последният има с нула.

В противен случай може да бъде написано така:

Какъв е смисълът да се намери такъв лимит? Но какво:

Производството на функцията в точката е равно на ъгъла допирателната между осната ос и допирателната към графиката на функцията в този момент.

Дериват за физическо значение: Деривата на времето е равна на скоростта на действие.

Всъщност, от училищните времена всеки знае, че скоростта е личен път x \u003d f (t) и време t. . Средна скорост за известно време:

За да разберете скоростта на движението във времето t0. Трябва да изчислите лимита:

Правилото първо: ние приемаме постоянна

Константата може да бъде извадена от знака на производното. Освен това трябва да се направи. Когато решавате примери в математиката, поемате правило - ако можете да опростите израза, не забравяйте да опростите .

Пример. Изчислете деривата:

Правило второ: Деривативни функции

Производството на двете функции е равно на сумата на дериватите на тези функции. Същото важи и за производителя на разликата в функциите.

Няма да водим доказателството за тази теорема и е по-добре да разгледаме практически пример.

Намерете дериватна функция:

Правило трето: Изведени произведения на функции

Производството на работата на две диференцирани функции се изчислява по формулата:

Пример: Намерете дериватна функция:

Решение:

Важно е да се каже за изчисляването на производните на сложни функции. Производството на сложната функция е равно на продукта на производителя на тази функция чрез междинен аргумент върху производителя на междинния аргумент върху независима променлива.

В горния пример срещаме израз:

В този случай междинният аргумент е 8х до петата степен. За да се изчисли производно на такъв израз, първо разглеждаме производителя на външната функция чрез междинен аргумент, и след това умножаваме производно директно много междинния аргумент на независима променлива.

Правило Четвърто: Дериват на частни две функции

Формула за определяне на производа на частни две функции:

Опитахме се да говорим за деривати за чайници от нулата. Тази тема не е толкова проста, както изглежда, така че аз го предупреждавам: в примерите често има капани, така че бъдете внимателни при изчисляване на дериватите.

С всеки въпрос по този и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще помогнем за решаването на най-трудния контрол и ще се справим със задачите, дори ако никога не сте участвали в изчисляването на дериватите.

Функциите на сложни видове не са изцяло наричани правилно термин "сложна функция". Например, тя изглежда много впечатляваща, но тази функция не е трудна, за разлика от.

В тази статия ще се справим с концепцията за сложна функция, да се научим да я идентифицираме в състава на елементарните функции, ще дадем формула за това да го намерим производно и да разгледаме подробно решението на характеристичните примери.

Когато решавате примери, ние непрекъснато ще използваме таблица на деривати и правила за диференциация, така че ги държат пред очите ви.

Комплексна функция - Това е функция, аргументът на който също е функция.

От наша гледна точка това определение е най-ясно. Условно може да се обозначава като f (g (x)). Това означава, g (x), както е, аргументът функция f (g (x)).

Например, нека F е функцията на Artcangent, и g (x) \u003d lnx е функцията на естествения логаритъм, след това сложната функция F (g (x)) е ARCTG (LNX). Друг пример: F - функцията на четвъртата степен и - Цялата рационална функция (виж), след това .

На свой ред, g (x) може също да бъде сложна функция. Например, . Условно такъв израз може да бъде определен като . Тук f - синусовата функция - функцията на екстракция на квадратния корен, - Фракционна рационална функция. Логично е да се предположи, че степента на гнездене на имунитет може да бъде някакво крайно естествено число.

Често можете да чуете, че сложната функция се нарича състав на функциите.

Формулата за намиране на деривативна сложна функция.

Пример.

Намерете функция за деривативна сложност.

Решение.

В този пример F - конструкцията функция на квадрата и g (x) \u003d 2x + 1 е линейна функция.

Тук е подробен разтвор, използващ формулата на деривативна функция:

Нека намерим това производно, предварително опростяване на вида на функцията на източника.

Следователно,

Както можете да видите, резултатите съвпадат.

Опитайте се да не се бъркате, каква функция е f и кой g (x).

Нека обясним примера за внимателност.

Пример.

Намерете деривати на сложни функции и.

Решение.

В първия случай f - това е функцията на конструкцията на площада и g (x) е синусната функция, така че
.

Във втория случай F е функцията на синуса и функцията за захранване. Следователно по формулата на сложна функция имаме

Формулата производна за функция има формата

Пример.

Разграничаване на функцията .

Решение.

В този пример сложна функция може да бъде условно написана като , където - синусната функция, функцията за строителство към третата степен, функцията логаритминг за базовата е, функцията на улавянето на Arctgennes и линейната функция, съответно.

С формулата на деривативна сложна функция

Сега намерено

Събираме заедно междинните резултати:

Няма нищо ужасно, разглобявате сложните функции като Matryoshki.

Би било възможно да завършите тази статия, ако не е ...

Препоръчително е ясно да се разбере при прилагането на правилата за диференциране и деривативна таблица и когато формулата на деривативната сложна функция.

Сега бъдете особено внимателни. Ще говорим за разликите между функциите на сложен изглед от сложни функции. От това колко виждате това разграничение и успехът ще зависи, когато дериватите са намерени.

Да започнем с прости примери. Функция може да се счита за комплекс: g (x) \u003d tgx, . Следователно можете незабавно да приложите формулата на деривативната сложна функция

Но функцията Трудно е вече името не може да се нарече.

Тази функция е сумата от три функции, 3TGX и 1. Въпреки че е сложна функция: - функция за захранване (квадратичен парабола), и F е функция на допирателната. Следователно първо се прилагат размера на формулата за диференциация:

Остава да се намери деривативна сложна функция:

Следователно .

Надяваме се, че същността, която сте хванали.

Ако изглеждате по-широко, може да се твърди, че функциите на сложни видове могат да бъдат включени в сложни функции и сложни функции могат да бъдат съставени части от функциите на сложни видове.

Като пример, ние ще анализираме функцията на компонентните части .

ПървоТова е сложна функция, която може да бъде представена във формата, където F е логаритмичната функция, базирана на 3, и g (x) е сумата от две функции и . I.e, .

Второ, Вземете функция h (x). Това е отношение към .

Това е сумата от две функции и където - комплексна функция с цифров коефициент от 3. - Функцията за строителство в куба е функцията косинус, - линейна функция.

Това е сумата от две функции и къде - Комплексна функция, - функцията на експоненциалната функция.

По този начин, .

Трето, отидете на, което е част от сложната функция и цялата рационална функция

Функцията на оттока е функцията за логаритминг, базирана на E.

Следователно.

Да обобщим:

Сега структурата на структурата е ясна и е станала видима кои формули и в коя последователност да се прилага по време на диференциацията.

В раздела за диференциация на функцията (намиране на дериватив), можете да се запознаете с решаването на такива задачи.

След предварителна подготовка за изкуство примерите ще бъдат по-малко ужасни, с 3-4-5 прикачени файлове на функции. Може би следващите два примера ще изглеждат някои сложни, но ако ги разберат (някой и пилинг), тогава почти всичко останало в диференциално смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2.

Намерете деривативна функция

Както е отбелязано, когато намирането на деривативна сложна функция, преди всичко, е необходимо дясноРазбиране на инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням полезно приемане: ние приемаме експерименталното значение на "X", например и опитвам (умствено или в проект), за да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо, трябва да изчислим израза, това означава, че сумата е най-дълбоката инвестиция.

2) Тогава е необходимо да се изчисли логаритъмът:

4) след това косинус да се изгради в куб:

5) В петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е квадратен корен:

Функция за формула за диференциация Формула Тя ще бъде приложена в обратен ред, от самата външна функция до най-вътрешния. Ние решаваме:

Изглежда без грешки:

1) Вземете дериват на квадратен корен.

2) Вземете дериват за разликата, използвайки правилото

3) Производството на тройка е нула. Във втория мандат приемаме производно в степен (Куба).

4) Ние приемаме косинусно производно.

6) и най-накрая вземат дериват на най-дълбоките инвестиции.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-бруталният пример. Вземете, например, колекцията Кузнецов и ще оцените красотата и простотата на разглобената дериват. Забелязах, че обичам да дам подобно нещо, за да дам на изпита, за да проверя, разбира студент как да намеря дериват на сложна функция или не разбирам.

Следният пример е за независимо решение.

Пример 3.

Намерете деривативна функция

Съвет: Първо прилагайте правилата за линейност и извличане на работата

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да се преместим в нещо по-компактно и красиво.
Ситуацията не е рядкост, когато примерът е даден продукт от не две, а три функции. Как да намерим производно от работата на трима мултипликатори?

Пример 4.

Намерете деривативна функция

Първо, погледнете и дали е невъзможно да се превърне работата на три функции в работата на две функции? Например, ако имахме два полинома в работата, би било възможно да се разкрият скоби. Но в този пример всички функции са различни: степен, изложител и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователностприлагане на производството на диференциране на правилата два пъти

Фокусът е, че за "y" обозначаваме продукта от две функции: и за "ve" - \u200b\u200bлогаритъм :. Защо може да се направи това? И не - Това не е работа на два мултипликатори и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава вторият път да приложите правилото До скоба:

Все още можете да играете и да вземете нещо зад скобите, но в този случай отговорът е по-добре да напуснете в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Считаният пример може да бъде решен по втория начин:

И двата решения са абсолютно равни.

Пример 5.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение, в извадката той е разрешен в първия начин.

Обмислете подобни примери с фракции.

Пример 6.

Намерете деривативна функция

Тук можете да отидете няколко начина:

Или нещо такова:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използва правилото за частна диференциация , Приемане за целия числител:

По принцип, пример е решен и ако го оставите в този формуляр, той няма да е грешка. Но в присъствието на време винаги е препоръчително да се проверява в проекта и е възможно да се опрости отговора?

Представяме израз на числителя на генералния знаменател и се отърваваме от три етажа:

Минусът на допълнителни опростявания е, че съществува риск да се позволи грешка да не е повече, когато производителят вече е основател, но когато са банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често запомнят задачата и искат да "донесат" дериват ".

По-опростен пример за саморешения:

Пример 7.

Намерете деривативна функция

Ние продължаваме да научаваме приеманията на деривата и сега ще разгледаме типичен случай, когато се предлага "страшен" логаритъм за диференциация

Не забравяйте много лесно.

Е, нека не отидем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Каква функция е обратното за индикативна функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е номерът:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с база) се нарича "естествен", а за него използваме специално наименование: вместо да пишем.

Какво е равно на? Разбира се, .

Производството на естествения логаритъм също е много просто:

Примери:

1. Намерете функцията за получаване.
2. Какво е равна на получената функция?

Отговори: Изложител и естествен логаритъм - функциите са уникално прости от гледна точка на деривата. Обменните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат друго производно, което ще анализираме по-късно с вас, след като приемем правилата за диференциация.

Правила за диференциация

Правила какво? Отново новия термин отново?! ...

Диференциация - Това е процесът на намиране на дериват.

Само и всичко. И как иначе да назовем този процес в една дума? Не е производство на ... Диференциалът на математиката се нарича най-увеличаване на функцията. Този термин се случва от латински разлика - разлика. Тук.

Когато показвате всички тези правила, ние ще използваме две функции, например и. Ще се нуждаем и от формули за техните стъпки:

Общо има 5 правила.

Константата е направена от знака на деривата.

Ако - тогава някакъв постоянен номер (постоянен).

Очевидно това правило работи за разлика :.

Доказваме се. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете изпълнени функции:

1. в точката;
2. в точката;
3. в точката;
4. в точка.

Решения:

1. (производно е същото във всички точки, тъй като това е линейна функция, не забравяйте?);

Получена работа

Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

Дериватив:

Примери:

1. Намерете деривати на функции и;
2. Намерете функционалното производно в точката.

Решения:

Деривативна индикативна функция

Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намерите производно на всяка индикативна функция, а не само изложители (не забравяйте какво е това?).

Така че, къде е някакъв брой.

Вече знаем деривативната функция, така че нека се опитаме да върнем нашата функция в нова база:

За да направите това, ние използваме просто правило :. Тогава:

Е, се оказа. Сега се опитайте да намерите дериват и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Тук проверете себе си:

Формулата се оказа много подобна на производна експозиция: както беше, оставаше, само мултипликатор се появи, което е само число, но не и променлива.

Примери:
Намерете изпълнени функции:

Отговори:

Това е само номер, който не може да бъде преброен без калкулатор, т.е. да не се записва в по-проста форма. Следователно в отговор в тази форма и отпуск.

Обърнете внимание, че тук съществуват частни две функции, следователно прилагат правилото за подходящо диференциация:

В този пример продуктът от две функции:

Деривативна логаритмична функция

Ето подобно: вече знаете производа от естествения логаритъм:

Ето защо, да се намери произволно от логаритъм с друга причина, например:

Трябва да донесете този логаритъм в основата. И как да промените основата на логаритъма? Надявам се да помните тази формула:

Само сега ще пишем:

В знаменателя той се оказа само постоянен (постоянен номер, без променлива). Деривата е много проста:

Дериватите на индикативните и логаритмични функции почти не са намерени в изпита, но няма да бъде излишно да ги познаваме.

Деривативна сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм, а не Arcthangence. Тези функции могат да бъдат сложни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви е трудно, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще мине), но от гледна точка на математиката думата "комплекс" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и имат някакви действия с някои обекти. Например, първото обвиване на шоколад в обвивката и вторият го подсказва с лента. Оказва се такъв интегрален обект: шоколад, увит и облицован с лента. За да ядете шоколад, трябва да направите обратното действие в обратен ред.

Да създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинус на номера и след това получения номер, който ще бъде издигнат на квадрат. Така че, ние даваме номер (шоколад), намеря косинуса му (обвивка), и след това ще бъдете издигнат от това, което направих, на квадрат (вратовръзка към лентата). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: кога да се намерят нейните значения, ние правим първото действие директно с променливата, а след това друго действие с случилото се в резултат на първата.

С други думи, комплексната функция е функция, аргументът, който е друга характеристика.: .

За нашия пример.

Ние можем напълно да направим същите действия и в обратен ред: първо ще бъдете издигнат в квадрат, а след това търся косинус на получения номер :. Лесно е да се отгатне, че резултатът ще бъде почти винаги различен. Важна характеристика на сложни функции: когато процедурата се променя, функцията се променя.

Вторият пример: (същото). .

Действие, което правим последното, ще се обади "Външна" функцияи действието се извършва първо - съответно "Вътрешна" функция (Това са неформални имена, аз ги използвам само за обяснение на материала на прост език).

Опитайте се да определите каква функция е външна и която е вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешните и външните функции е много подобно на подмяната на променливи: например, във функция

1. Първо ще извършим какви действия? Първо, помислете синус, но само след това се издига в куба. Така че, вътрешната функция и външната.
   И първоначалната функция е техният състав :.
2. Вътрешен:; Външен :.
   Проверете :.
3. Вътрешен:; Външен :.
   Проверете :.
4. Вътрешен:; Външен :.
   Проверете :.
5. Вътрешен:; Външен :.
   Проверете :.

ние произвеждаме подмяна на променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколадов шоколад - търсене на дериват. Процедурата винаги е обратна: първо търсим външно функционално производно, след това умножаваме резултата на производно на вътрешната функция. Що се отнася до първоначалния пример, той изглежда така:

Друг пример:

Така че най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на деривативна сложна функция:

Изглежда, че всичко е просто, да?

Проверете примерите:

Решения:

1) вътрешен:;

Външен:;

2) вътрешно:;

(Само не мислете сега, за да намалите! От Косинус нищо не се прави, не забравяйте?)

3) вътрешно:;

Външен:;

Веднага е ясно, че тук една трета сложна функция: в края на краищата, това е вече сложната функция, и тя все още отстранява корена от нея, т.е. ние извършваме третото действие (шоколад в обвивката и с в портфейла). Но няма причина да се страхувате: все пак "разопаковайте" тази функция ще бъде в същия ред както обикновено: от края.

Това е, първо използвайте корена, след това косинус и само след това изразяване в скоби. И тогава всичките тези променливи.

В такива случаи тя е удобна за номерирани действия. Това е, представете си, че сме известни. Какъв ред ще изпълняваме действия за изчисляване на стойността на този израз? Ще разгледаме примера:

Колкото по-късно се извършва действието, толкова повече "външното" ще бъде съответната функция. Последователност на действията - както преди:

Тук гнездването обикновено е 4-ниво. Да определим процедурата.

1. принудително изразяване. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. квадрат. .

5. Събираме всичко в група:

Производно. Накратко за най-важното нещо

Функция - съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни деривати:

Правила за диференциация:

Константата е направена за знака на деривата:

Получена сума:

Производствена работа:

Частна деривация:

Деривативна сложна функция:

Алгоритъм за намиране на дериват на сложна функция:

1. Ние определяме "вътрешната" функция, намираме производителя си.
2. Ние определяме "външната" функция, намираме деривата му.
3. Умножете резултатите от първия и втория елемент.

В този урок ще се научим да намираме деривативна сложна функция. Урокът е логично продължение на класовете Как да намерим дериват?Когато разглобяваме най-простите деривати, и също се запознахме с правилата за диференциация и някои технически техники за намиране на деривати. Така, ако не сте много ясни с деривати на функции, няма да сте напълно ясни, след това първо прочетете горния урок. Моля, задайте на сериозен начин - материалът не е прост, но аз все още се опитвам да го изключите просто и достъпно.

На практика дериват на сложна функция трябва да се изправи много често, дори бих казал, почти винаги, когато задачите да намерите деривати.

Разглеждаме таблицата за правило (№ 5) на диференциация на сложна функция:

Разбираме. На първо място, обърнете внимание на записа. Тук имаме две функции - и освен това функцията, образно казаното, се инвестира във функцията. Функцията от този тип (когато една функция е вградена в друга) и се нарича сложна функция.

Ще се обадя на функцията външна функцияи функция - Вътрешна (или вложена) функция.

! Тези дефиниции не са теоретични и не трябва да се появяват в буталото на задачите. Използвам неформални изрази "външна функция", "вътрешна" функция само за да ви улеснят да разберете материала.

За да се изясни ситуацията, помислете:

Пример 1.

Намерете деривативна функция

Под синуса не сме само буквата "X", но цяло число, така че няма да е възможно да се намери дериват веднага на масата. Също така забелязваме, че тук е невъзможно да се прилагат първите четири правила, изглежда, че има значение, но фактът е, че синусът не е "разделен на части":

В този пример, от моите обяснения, е интуитивно, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (приспособление) и е външна функция.

Първа стъпкада изпълнявате, когато намирането на деривативна комплексна функция е разберете каква функция е вътрешна и каква е външната.

В случай на прости примери, изглежда изглежда, че полиномът се инвестира под синус. Но какво, ако всичко не е очевидно? Как да определим точно каква функция е външна и какво е вътрешното? За да направите това, предлагам да използвам следващото приемане, което може да се извърши психически или върху проекта.

Представете си, че трябва да изчислим стойността на стойността на експресията на калкулатора (вместо единица може да има някакъв номер).

Какво изчисляваме първо? Преди всичко Ще трябва да извършите следното:, следователно, полиномът и ще бъде вътрешна функция:

Второ Ще бъде необходимо да се намери, така синус - тя ще бъде външна функция:

След We Са разбрали С вътрешни и външни функции е време да приложите правилото за диференциация на сложна функция.

Започваме да решаваме. От урок Как да намерим дериват? Спомням си, че декорацията на решението на всяко производно винаги започва така - сключваме израз в скобите и поставени вдясно в горната част на баркода:

Първо Ние намираме външната функционална деривация (синус), ние разглеждаме таблицата на деривативните елементарни функции и забелязваме това. Всички таблични формули са приложими и в случая, ако "X" се заменя със сложен израз, в такъв случай:

Обърнете внимание, че вътрешната функция не се промени, ние не я докосваме.

Е, съвсем очевидно е

Резултатът от прилагането на формулата в буталото изглежда така:

Постоянен мултипликатор обикновено издържа на изрази:

Ако остава никакво недоразумение, пренапишете решението за хартия и отново прочетете обясненията.

Пример 2.

Намерете деривативна функция

Пример 3.

Намерете деривативна функция

Както винаги, пишете:

Разбираме къде имаме външна функция и къде е вътрешното. За да направите това, опитайте (умствено или в проект), за да изчислите стойността на израза. Какво трябва да се извърши първо? Преди всичко е необходимо да се брои това, което е равно на базата:, това означава, че полиномът е вътрешна функция:

И едва тогава упражнението се извършва в степента, следователно, функцията на захранването е външна функция:

Според формулата първо трябва да намерите производно от външната функция, в този случай, в степента. Искахме необходимата формула в таблицата :. Повторете отново: всяка таблична формула е валидна не само за "X", но и за сложна експресия. Така резултатът от прилагането на диференциационния режим на сложна функция е както следва:

Отново подчертавам, че когато вземем производно на външна функция, вътрешната функция не се променя с нас:

Сега остава да се намери напълно просто производно от вътрешната функция и малко "разресване" в резултата:

Пример 4.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

За да се осигури разбиране на деривативната сложна функция, ще дам пример без коментар, опитвам се да го разбера, боя, където външната и къде е вътрешната функция, защо задачите са решени по този начин?

Пример 5.

а) Намерете дериватна функция

б) Намерете дериватна функция

Пример 6.

Намерете деривативна функция

Тук имаме корен, и за да информираме корена, тя трябва да бъде представена под формата на степен. По този начин първо дайте функцията на правилната форма:

Анализ на функцията, заключаваме, че сумата от трите термина е вътрешна функция, а външната функция е външната функция. Прилагане на правилото за диференциация на сложна функция:

Степента отново представлява под формата на радикал (root) и за производно на вътрешната функция, използвайте просто правило на размера на диференциацията:

Готов. Можете също да поставите израз на генералния знаменател и да запишете с една фракция в скоби. Красива, разбира се, но когато се получават обемисти дълго деривати - по-добре е да не се прави това (лесно е да се обърка, за да позволи ненужна грешка, а учителят ще се провери неудобно).

Пример 7.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо процедурата за диференциация на сложна функция можете да използвате правилото за диференциране на съотношение , Но такова решение ще изглежда като измамливо забавление. Ето един характерен пример:

Пример 8.

Намерете деривативна функция

Тук можете да използвате правилото за диференциране на съотношение Но е много по-изгодно да се намери дериват чрез правило за диференциране на сложна функция:

Ние подготвяме функцията за диференциация - вземаме минус на знак на производно, а косинусът в числатора:

Косинусът е вътрешна функция, външната функция е външна функция.
Ние използваме нашето правило:

Ние намираме дериват на вътрешната функция, косинусът изхвърля обратно:

Готов. В изследвания пример е важно да не се бърка в знаци. Между другото, опитайте се да го решите да използвате правилото. Отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

Досега сме разгледали случаи, когато в нашата сложна функция са били само една инвестиция. В практическите задачи често е възможно да се изпълнят производни, където, както MatRyoshki, един към друг, са вградени на веднъж 3, или дори 4-5 функции.

Пример 10.

Намерете деривативна функция

Ние разбираме в инвестициите на тази функция. Опитваме се да изчислим израза, използвайки експерименталната стойност. Как ще вярваме на калкулатора?

Първо трябва да намерите, това означава, че Arksinus е най-дълбоката инвестиция:

Тогава този арксинус трябва да бъде вграден в квадрата:

И накрая, седемте се издигат в степен:

Това е, в този пример, имаме три различни функции и две приставки, докато вътрешната функция е арксинус, а самата външна функция е индикативна функция.

Започваме да решаваме

Според правилото първо трябва да вземете дериват от външната функция. Разглеждаме таблицата на дериватите и намират производно на индикативната функция: единствената разлика е вместо "X" имаме труден израз, който не отменя валидността на тази формула. Така че, резултатът от прилагането на диференциационния режим на сложна функция е както следва:

Под хода отново имаме сложна функция! Но това е по-лесно. Лесно е да се уверите, че вътрешната функция е Arxinus, външната функция е степен. Според диференциацията на сложна функция първо трябва да вземете дериват.