Ъгъл по съотношение на страните. Площ на триъгълник

В геометрията ъгълът е фигура, образувана от два лъча, които излизат от една и съща точка (нарича се връх на ъгъла). В повечето случаи мерната единица за ъгъл е градуси (°) - не забравяйте, че пълен ъгъл или един оборот е равен на 360°. Можете да намерите стойността на ъгъла на многоъгълник по неговия тип и стойностите на други ъгли и ако е даден правоъгълен триъгълник, ъгълът може да се изчисли от две страни. Освен това ъгълът може да се измери с транспортир или да се изчисли с графичен калкулатор.

Стъпки

Как да намерите вътрешните ъгли на многоъгълник

Пребройте броя на страните на многоъгълника.За да изчислите вътрешните ъгли на многоъгълника, първо трябва да определите колко страни има многоъгълникът. Имайте предвид, че броят на страните на многоъгълника е равен на броя на неговите ъгли.

• Например, триъгълник има 3 страни и 3 вътрешни ъгъла, докато квадратът има 4 страни и 4 вътрешни ъгъла.

1. Изчислете сумата от всички вътрешни ъгли на многоъгълника.За да направите това, използвайте следната формула: (n - 2) x 180. В тази формула n е броят на страните на многоъгълника. Следват суми от ъгли на често срещани многоъгълници:

   • Сборът от ъглите на триъгълник (многоъгълник с 3 страни) е 180°.
   • Сборът от ъглите на четириъгълник (многоъгълник с 4 страни) е 360°.
   • Сборът от ъглите на петоъгълник (многоъгълник с 5 страни) е 540°.
   • Сборът от ъглите на шестоъгълник (многоъгълник с 6 страни) е 720°.
   • Сумата от ъглите на осмоъгълник (многоъгълник с 8 страни) е 1080°.

2. Разделете сбора от всички ъгли на правилния многоъгълник на броя на ъглите.Правилният многоъгълник е многоъгълник с равни страни и равни ъгли. Например, всеки ъгъл на равностранен триъгълник се изчислява по следния начин: 180 ÷ 3 = 60°, а всеки ъгъл на квадрат се изчислява, както следва: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Равностранният триъгълник и квадратът са правилни многоъгълници. А сградата на Пентагона (Вашингтон, САЩ) и пътният знак Стоп имат формата на правилен осмоъгълник.

3. Извадете сбора на всички известни ъгли от общата сума на ъглите на неправилния многоъгълник.Ако страните на многоъгълника не са равни една на друга и ъглите му също не са равни един на друг, първо се сумират известните ъгли на многоъгълника. Сега извадете получената стойност от сбора на всички ъгли на многоъгълника - така намирате неизвестния ъгъл.

   • Например, като се има предвид, че 4-те ъгъла на един петоъгълник са 80°, 100°, 120° и 140°, добавете тези числа: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Сега извадете тази стойност от сбора на всички ъгли на петоъгълникът; тази сума е равна на 540°: 540 - 440 = 100°. Така неизвестният ъгъл е 100°.

   съвет:неизвестният ъгъл на някои многоъгълници може да се изчисли, ако знаете свойствата на фигурата. Например в равнобедрен триъгълник две страни са равни и два ъгъла са равни; в успоредник (това е четириъгълник) противоположните страни са равни и противоположните ъгли са равни.

   Измерете дължината на двете страни на триъгълника.Най-дългата страна на правоъгълен триъгълник се нарича хипотенуза. Съседната страна е страната, която е близо до непознатия ъгъл. Противоположната страна е страната, която е срещу неизвестния ъгъл. Измерете две страни, за да изчислите неизвестните ъгли на триъгълник.

   съвет:използвайте графичния калкулатор, за да решите уравненията, или намерете онлайн таблица със стойностите на синусите, косинусите и тангентите.

   Изчислете синуса на ъгъла, ако знаете противоположната страна и хипотенузата.За да направите това, включете стойностите в уравнението: sin(x) = противоположната страна ÷ хипотенуза. Например, противоположната страна е 5 см, а хипотенузата е 10 см. Разделете 5/10 = 0,5. Така че sin(x) = 0,5, т.е. x = sin -1 (0,5).

Изграждането на всеки покрив не е толкова лесно, колкото изглежда. И ако искате да бъде надежден, издръжлив и да не се страхува от различни натоварвания, тогава предварително, дори на етапа на проектиране, трябва да направите много изчисления. И те ще включват не само количеството материали, използвани за монтаж, но и определянето на ъглите на наклон, площта на склоновете и т.н. Как да изчислим правилно ъгъла на покрива? От тази стойност до голяма степен ще зависят останалите параметри на този дизайн.

Проектирането и изграждането на всеки покрив винаги е много важен и отговорен бизнес. Особено когато става въпрос за покрив на жилищна сграда или покрив със сложна форма. Но дори и обичайният навес, инсталиран на невзрачен навес или гараж, просто се нуждае от предварителни изчисления.

Ако не определите предварително ъгъла на наклон на покрива, не разберете каква оптимална височина трябва да има билото, тогава има голям риск от изграждане на покрив, който ще се срути след първия снеговалеж или цялото довършително покритие от него ще бъде откъснат дори от умерен вятър.

Също така, ъгълът на наклона на покрива значително ще повлияе на височината на билото, площта и размерите на склоновете. В зависимост от това ще бъде възможно по-точно да се изчисли количеството материали, необходими за създаване на рафтова система и завършване.

Цени за различни видове покривни хребети

Покривно било

Единици

Спомняйки си геометрията, която всеки научи в училище, е безопасно да се каже, че ъгълът на покрива се измерва в градуси. Въпреки това, в книгите за строителство, както и в различни чертежи, можете да намерите и друга опция - ъгълът е посочен като процент (тук имаме предвид съотношението на страните).

В общи линии, ъгъл на наклон е ъгълът, образуван от две пресичащи се равнини- припокриване и директно наклон на покрива. Тя може да бъде само остра, тоест да лежи в диапазона от 0-90 градуса.

Забележка! Много стръмните склонове, чийто ъгъл е повече от 50 градуса, са изключително редки в чистата си форма. Обикновено те се използват само за декорация на покриви, могат да присъстват на таваните.

Що се отнася до измерването на ъглите на покрива в градуси, тогава всичко е просто - всеки, който е изучавал геометрия в училище, има тези знания. Достатъчно е да скицирате диаграма на покрива на хартия и да използвате транспортир, за да определите ъгъла.

Що се отнася до процентите, тогава трябва да знаете височината на билото и ширината на сградата. Първият индикатор се разделя на втория и получената стойност се умножава по 100%. Така процентът може да се изчисли.

Забележка! При процент от 1 типичната степен на наклон е 2,22%. Тоест, наклон с ъгъл от 45 обикновени градуса е равен на 100%. И 1 процент е 27 дъгови минути.

Таблица със стойности - градуси, минути, проценти

Какви фактори влияят на ъгъла на наклон?

Ъгълът на наклон на всеки покрив се влияе от много голям брой фактори, вариращи от желанията на бъдещия собственик на къщата до региона, където ще се намира къщата. При изчисляването е важно да се вземат предвид всички тънкости, дори и тези, които на пръв поглед изглеждат незначителни. В един момент те може да изиграят своята роля. Определете подходящия ъгъл на наклон на покрива, като знаете:

• видове материали, от които ще бъде изградена покривната пита, като се започне от рафтовата система и завършва с външното покритие;
• климатични условия в района (вятърно натоварване, преобладаваща посока на вятъра, валежи и др.);
• формата на бъдещата сграда, нейната височина, дизайн;
• предназначение на сградата, възможности за използване на таванското пространство.

В тези региони, където има силно натоварване от вятър, се препоръчва да се изгради покрив с един наклон и малък ъгъл на наклон. Тогава при силен вятър покривът е по-вероятно да устои и да не бъде откъснат. Ако регионът се характеризира с голямо количество валежи (сняг или дъжд), тогава е по-добре да направите наклона по-стръмен - това ще позволи на валежите да се търкалят / оттичат от покрива и да не създават допълнително натоварване. Оптималният наклон на навесен покрив във ветровитите райони варира между 9-20 градуса, а където има много валежи - до 60 градуса. Ъгъл от 45 градуса ще ви позволи да игнорирате натоварването от сняг като цяло, но в този случай налягането на вятъра върху покрива ще бъде 5 пъти по-голямо, отколкото на покрив с наклон само 11 градуса.

Забележка! Колкото по-големи са параметрите на наклона на покрива, толкова повече материали ще са необходими за създаването му. Цената се увеличава с поне 20%.

Ъгли на наклон и покривни материали

Не само климатичните условия ще окажат значително влияние върху формата и ъгъла на склоновете. Важна роля играят материалите, използвани за строителството, по-специално - покривните.

Таблица. Оптимални ъгли на наклона за покриви от различни материали.

Забележка! Колкото по-нисък е наклонът на покрива, толкова по-малък е наклонът, използван за създаване на щайгата.

Цени за метални плочки

метална плочка

Височината на кънката зависи и от ъгъла на наклона.

При изчисляване на всеки покрив за ориентир винаги се приема правоъгълен триъгълник, където краката са височината на наклона в горната точка, тоест на билото или прехода от долната част на цялата рафтова система към върха (в случай на мансардни покриви), както и проекцията на дължината на определен наклон върху хоризонтала, която е представена от припокривания. Тук има само една постоянна стойност - това е дължината на покрива между двете стени, тоест дължината на участъка. Височината на частта на билото ще варира в зависимост от ъгъла на наклон.

Познаването на формулите от тригонометрията ще помогне за проектиране на покрива: tgA = H / L, sinA = H / S, H = LхtgA, S = H / sinA, където A е ъгълът на наклона, H е височина на покрива до зоната на билото, L е ½ от целия участък на покрива (при двускатен покрив) или цялата дължина (в случай на навесен покрив), S - дължината на самия наклон. Например, ако е известна точната стойност на височината на частта на билото, тогава ъгълът на наклон се определя от първата формула. Можете да намерите ъгъла с помощта на таблицата на допирателните. Ако изчислението се основава на ъгъла на покрива, тогава можете да намерите параметъра на височината на билото, като използвате третата формула. Дължината на гредите, имаща стойността на ъгъла на наклон и параметрите на краката, може да се изчисли по четвъртата формула.

Триъгълникът е геометрично число, съставено от три сегмента, които свързват три точки, които не лежат на една и съща права. Точките, които образуват триъгълник, се наричат ​​негови точки, а отсечките са една до друга.

В зависимост от вида на триъгълника (правоъгълен, монохромен и др.) можете да изчислите страната на триъгълника по различни начини, в зависимост от входните данни и условията на задачата.

Бърза навигация за статия

За изчисляване на страните на правоъгълен триъгълник се използва питагоровата теорема, според която квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета.

Ако обозначим краката с "a" и "b", а хипотенузата с "c", тогава могат да бъдат намерени страници със следните формули:

Ако острите ъгли на правоъгълен триъгълник (a и b) са известни, неговите страни могат да бъдат намерени със следните формули:

изрязан триъгълник

Триъгълник се нарича равностранен триъгълник, в който двете страни са еднакви.

Как да намерим хипотенузата в два крака

Ако буквата "a" е идентична на същата страница, "b" е основата, "b" е ъгълът срещу основата, "a" е съседният ъгъл, следните формули могат да се използват за изчисляване на страници:

Два ъгъла и страна

Ако са известни една страница (c) и два ъгъла (a и b) на всеки триъгълник, за изчисляване на останалите страници се използва формулата на синусите:

Трябва да намерите третата стойност y = 180 - (a + b), защото

сумата от всички ъгли на триъгълник е 180°;

Две страни и ъгъл

Ако две страни на триъгълник (a и b) и ъгълът между тях (y) са известни, косинусовата теорема може да се използва за изчисляване на третата страна.

Как да определим периметъра на правоъгълен триъгълник

Триъгълният триъгълник е триъгълник, единият от които е 90 градуса, а другите два са остри. плащане периметъртакъв триъгълникв зависимост от количеството известна информация за него.

Ще ви трябва

• В зависимост от повода, умения 2 от трите страни на триъгълника, както и един от острите му ъгли.

инструкции

първоМетод 1. Ако са известни и трите страници триъгълникСлед това, независимо дали е перпендикулярен или не триъгълен, периметърът се изчислява като: P = A + B + C, където е възможно, c е хипотенузата; a и b са крака.

второМетод 2.

Ако правоъгълникът има само две страни, тогава използвайки питагоровата теорема, триъгълникможе да се изчисли по формулата: P = v (a2 + b2) + a + b или P = v (c2 - b2) + b + c.

третиМетод 3. Нека хипотенузата е c и остър ъгъл? Като се има предвид правоъгълен триъгълник, ще бъде възможно да се намери периметърът по този начин: P = (1 + sin?

четвъртиМетод 4. Казват, че в правоъгълния триъгълник дължината на единия крак е равна на a и, напротив, има остър ъгъл. След това изчислете периметърто триъгълникще се извърши по формулата: P = a * (1 / tg?

1 / син? + 1)

петиМетод 5.

Триъгълник онлайн изчисление

Нека нашия крак води и бъде включен в него, тогава диапазонът ще бъде изчислен като: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Подобни видеоклипове

Питагоровата теорема е в основата на всяка математика. Определя връзката между страните на истински триъгълник. Сега има 367 доказателства на тази теорема.

инструкции

първоКласическата училищна формулировка на Питагоровата теорема звучи така: квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета.

За да намерите хипотенузата в правоъгълен триъгълник от два Катета, трябва да завъртите квадратура на дължината на краката, да ги съберете и да вземете корен квадратен от сбора. В оригиналната формулировка на неговото твърдение пазарът се основава на хипотенузата, равна на сумата от квадратите на 2 квадрата, произведени от Катет. Съвременната алгебрична формулировка обаче не изисква въвеждането на представяне на домейна.

второНапример правоъгълен триъгълник, чиито катети са 7 см и 8 см.

Тогава според теоремата на Питагор квадратната хипотенуза е R + S = 49 + 64 = 113 см. Хипотенузата е равна на квадратен корен от 113.

Ъгли на правоъгълен триъгълник

Резултатът беше неоправдан брой.

третиАко триъгълниците са катета 3 и 4, тогава хипотенузата = 25 = 5. Когато вземете корен квадратен, получавате естествено число. Числата 3, 4, 5 образуват пигагорова тройка, тъй като удовлетворяват отношението x? +Y? = Z, което е естествено.

Други примери за питагорейска тройка са: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

четвъртиВ този случай, ако краката са идентични един с друг, питагоровата теорема се превръща в по-примитивно уравнение. Например, нека такава ръка е равна на числото A и хипотенузата е дефинирана за C, а след това c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. В този случай нямате нужда от A.

петиПитагоровата теорема е специален случай, който е по-голям от общата косинусова теорема, която установява връзка между трите страни на триъгълник за всеки ъгъл между две от тях.

Съвет 2: Как да определим хипотенузата за крака и ъгли

Хипотенузата се нарича страната в правоъгълен триъгълник, която е противоположна на ъгъла от 90 градуса.

инструкции

първоВ случай на добре познати катетри, както и остър ъгъл на правоъгълен триъгълник, размерът на хипотенузата може да бъде равен на съотношението на крака към косинуса / синуса на този ъгъл, ако ъгълът е противоположен / e включва: H = C1 (или C2) / sin, H = C1 (или С2 ?) / cos ?. Пример: Нека на ABC е даден неправилен триъгълник с хипотенуза AB и прав ъгъл C.

Нека B е 60 градуса, а A 30 градуса. Дължината на стъблото BC е 8 см. Трябва да се намери дължината на хипотенузата AB. За да направите това, можете да използвате един от горните методи: AB = BC / cos60 = 8 см. AB = BC / sin30 = 8 см.

Хипотенузата е най-дългата страна на правоъгълника триъгълник. Разположен е под прав ъгъл. Метод за намиране на хипотенузата на правоъгълник триъгълникв зависимост от изходните данни.

инструкции

първоАко краката ви са перпендикулярни триъгълник, след това дължината на хипотенузата на правоъгълника триъгълникможе да се намери чрез аналога на Питагор - квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите: c2 = a2 + b2, където a и b са дължината на катета на дясно триъгълник .

второАко е известно и един от катетата е под остър ъгъл, формулата за намиране на хипотенузата ще зависи от наличието или отсъствието под определен ъгъл по отношение на известния катет - съседен (кракът е разположен близо) или заместник обратно (обратният случай е разположен nego.V на посочения ъгъл е равен на хипотенузата на частния крак в косинус ъгъл: a = a / cos; E, от друга страна, хипотенузата е същата като съотношението на синусоидалните ъгли: da = a / sin.

Подобни видеоклипове

Полезни съвети
Ъглов триъгълник, чиито страни са свързани като 3:4:5, наречен египетска делта, поради факта, че тези фигури са били широко използвани от архитектите на древен Египет.

Това е и най-простият пример за триъгълници на Джерон, със страници и площ, представени като цели числа.

Триъгълник се нарича правоъгълник, чийто ъгъл е 90°. Страната срещу десния ъгъл се нарича хипотенуза, другата страна се нарича катета.

Ако искате да намерите как се образува правоъгълен триъгълник от някои свойства на правилните триъгълници, а именно факта, че сборът на острите ъгли е 90°, който се използва, и факта, че дължината на противоположния катет е половината от хипотенузата е 30°.

Бърза навигация за статия

изрязан триъгълник

Едно от свойствата на равен триъгълник е, че двата му ъгъла са еднакви.

За да изчислите ъгъла на правилния равностранен триъгълник, трябва да знаете, че:

• Не е по-лошо от 90°.
• Стойностите на острите ъгли се определят по формулата: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, т.е.

  Ъглите α и β са 45°.

Ако е известна известната стойност на един от острите ъгли, другият може да се намери по формулата: β = 180º-90º-α или α = 180º-90º-β.

Това съотношение най-често се използва, ако един от ъглите е 60° или 30°.

Ключови понятия

Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е 180°.

Тъй като това е едно ниво, две остават остри.

Изчислете триъгълник онлайн

Ако искате да ги намерите, трябва да знаете, че:

други методи

Стойностите на острия ъгъл на правоъгълен триъгълник могат да бъдат изчислени от средната стойност - с линия от точка от противоположната страна на триъгълника, а височината - линията е перпендикуляр, изтеглен от хипотенузата под прав ъгъл.

Нека медианата се простира от десния ъгъл до средата на хипотенузата, а h е височината. В този случай се оказва, че:

• sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sinα = h / b; sin β = h / a.

Две страници

Ако дължините на хипотенузата и един от краката са известни в правоъгълен триъгълник или от две страни, тогава се използват тригонометрични идентичности за определяне на стойностите на острите ъгли:

• α=арксин(a/c), β=арксин(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = арктан (a / b), β = арктан (b / a).

Дължина на правоъгълен триъгълник

Площ и площ на триъгълник

периметър

Обиколката на всеки триъгълник е равна на сбора от дължините на трите страни. Общата формула за намиране на триъгълен триъгълник е:

където P е обиколката на триъгълника, a, b и c са неговите страни.

Периметър на равен триъгълникможе да се намери чрез последователно комбиниране на дължините на страните му или умножаване на дължината на страната по 2 и добавяне на дължината на основата към продукта.

Общата формула за намиране на равновесен триъгълник ще изглежда така:

където P е периметърът на равен триъгълник, но или b, b са основата.

Периметър на равностранен триъгълникможе да се намери чрез последователно комбиниране на дължините на страните му или чрез умножаване на дължината на която и да е страница по 3.

Общата формула за намиране на ръба на равностранни триъгълници би изглеждала така:

където P е периметърът на равностранен триъгълник, a е всяка от неговите страни.

регион

Ако искате да измерите площта на триъгълник, можете да го сравните с успоредник. Помислете за триъгълник ABC:

Ако вземем същия триъгълник и го фиксираме така, че да получим успоредник, ще получим успоредник със същата височина и основа като този триъгълник:

В този случай общата страна на триъгълниците се сгъва заедно по диагонала на формования паралелограм.

От свойствата на паралелограма. Известно е, че диагоналите на паралелограма винаги са разделени на два равни триъгълника, тогава повърхността на всеки триъгълник е равна на половината от обхвата на успоредника.

Тъй като площта на успоредника е произведение на неговата основна височина, площта на триъгълника ще бъде половината от това произведение. Така че за ΔABC площта ще бъде същата

Сега помислете за правоъгълен триъгълник:

Два еднакви правоъгълни триъгълника могат да бъдат огънати в правоъгълник, ако се опря върху тях, което е всяка друга хипотенуза.

Тъй като повърхността на правоъгълника съвпада с повърхността на съседните страни, площта на този триъгълник е една и съща:

От това можем да заключим, че повърхността на всеки правоъгълен триъгълник е равна на произведението на краката, разделено на 2.

От тези примери можем да заключим, че повърхността на всеки триъгълник е същата като произведението на дължината, а височината се намалява до основата, разделена на 2.

Общата формула за намиране на площта на триъгълник би изглеждала така:

където S е площта на триъгълника, но неговата основа, но височината пада до дъното a.

Определение на триъгълник

триъгълник- Това е геометрична фигура, която се образува в резултат на пресичане на три сегмента, чиито краища не лежат на една права линия. Всеки триъгълник има три страни, три върха и три ъгъла.

Онлайн калкулатор

Триъгълниците са от различни видове. Например, има равностранен триъгълник (този, в който всички страни са равни), равнобедрен (две страни са равни в него) и правоъгълен (в който един от ъглите е прав, тоест равен на 90 градуса ).

Площта на триъгълник може да бъде намерена по различни начини, в зависимост от това кои елементи на фигурата са известни от условието на задачата, независимо дали са ъгли, дължини или като цяло радиусите на окръжностите, свързани с триъгълник. Разгледайте всеки метод поотделно с примери.

Формулата за площта на триъгълник, като се има предвид неговата основа и височина

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ а ⋅з,

А а а- основата на триъгълника;
ч ч з- височината на триъгълника, изтеглена към дадената основа a.

Пример

Намерете площта на триъгълник, ако дължината на основата му е известна, равна на 10 (см) и височината, изтеглена към тази основа, равна на 5 (см).

Решение

А=10 а=10 а =1 0
h=5 h=5 h =5

Заменете във формулата за площта и получете:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (виж кв.)

Отговор: 25 (виж кв.)

Формулата за площта на триъгълник, като се имат предвид дължините на всички страни

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c а, б, в- дължината на страните на триъгълника;
стр стр- половината от сбора на всички страни на триъгълника (тоест половината от периметъра на триъгълника):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (а +b+° С)

Тази формула се нарича Формулата на Херон.

Пример

Намерете площта на триъгълник, ако са известни дължините на трите му страни, равни на 3 (виж), 4 (виж), 5 (виж).

Решение

А=3 а=3 а =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

Намерете половината от периметъра стр стр:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Тогава, според формулата на Херон, площта на триъгълник е:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (виж кв.)

Отговор: 6 (виж кв.)

Формула за площта на триъгълник с една страна и два ъгъла

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 а 2 ​ ⋅ sin(β+γ)грях β грях γ ​ ,

А а а- дължината на страната на триъгълника;
β, γ \beta, \gamma β , γ - ъгли, съседни на страната а а а.

Пример

Дадена е страна на триъгълник, равна на 10 (виж) и два съседни ъгъла от 30 градуса. Намерете площта на триъгълник.

Решение

А=10 а=10 а =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

по формулата:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\прибл.14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ грях (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) грях 3 0 ∘ грях 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (виж кв.)

Отговор: 14,4 (виж кв.)

Формулата за площта на триъгълник с дадени три страни и радиус на описаната окръжност

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4 Rа ⋅ б ⋅ в​ ,

A, b, c a, b, c а, б, в- страни на триъгълник
Р Р Ре радиусът на описаната окръжност около триъгълника.

Пример

Взимаме числата от втората ни задача и добавяме радиус към тях Р Р Ркръгове. Нека е равно на 10 (виж).

Решение

А=3 а=3 а =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (виж кв.)

Отговор: 1,5 (см.кв.)

Формулата за площта на триъгълник с дадени три страни и радиус на вписана окръжност

S = p ⋅ r S=p\cdot rС= стр⋅ r,

стрстр- половината от периметъра на триъгълника:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)стр= 2 а+ б+ ° С​ ,

а, б, в а, б, ва, б, ° С- страни на триъгълник
r rrе радиусът на окръжността, вписана в триъгълника.

Пример

Нека радиусът на вписаната окръжност е равен на 2 (виж). Вземаме дължините на страните от предишния проблем.

Решение

$а=3b=4\; b=4б=4c=5\; c=5°\; С=5r=2\; r=2r=2$

$стр=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12С= 6 ⋅ 2 = 1 2 (виж кв.)

Отговор: 12 (виж кв.)

Формула за площта на триъгълник, дадени на две страни и ъгъла между тях

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)С= 2 1 ​ ⋅ б⋅ ° С⋅ грях(α ) ,

б, в, б, вб, ° С- страни на триъгълник

α\алфаα - ъгъл между страните ббби в в° С.

Пример

Страните на триъгълника са 5 (виж) и 6 (виж), ъгълът между тях е 30 градуса. Намерете площта на триъгълник.

Решение

$б=5c=6\; c=6°\; С=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5С= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ грях(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (виж кв.)

Отговор: 7,5 (виж кв.)

Първите са сегменти, които са съседни на десния ъгъл, а хипотенузата е най-дългата част на фигурата и е срещуположна на ъгъла от 90 градуса. Питагоров триъгълник е този, чиито страни са равни на естествени числа; техните дължини в този случай се наричат ​​"питагоровата тройка".

египетски триъгълник

За да може сегашното поколение да учи геометрията във вида, в който се преподава в училище сега, тя се развива в продължение на няколко века. Основният момент е Питагоровата теорема. Страните на правоъгълника са известни на целия свят) са 3, 4, 5.

Малко хора не са запознати с израза „Питагорейските панталони са равни във всички посоки“. Въпреки това, всъщност теоремата звучи така: c 2 (квадратът на хипотенузата) = a 2 + b 2 (сумата от квадратите на краката).

Сред математиците триъгълник със страни 3, 4, 5 (см, м и т.н.) се нарича "египетски". Интересно е, че това, което е вписано на фигурата, е равно на единица. Името възниква около 5-ти век пр.н.е., когато гръцките философи пътуват до Египет.

При изграждането на пирамидите архитекти и геодезисти са използвали съотношението 3:4:5. Такива конструкции се оказаха пропорционални, приятни за гледане и просторни, а също така рядко се срутваха.

За да изградят прав ъгъл, строителите са използвали въже, на което са вързани 12 възела. В този случай вероятността за построяване на правоъгълен триъгълник се увеличава до 95%.

Знаци за равенство на фигурите

• Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник и голяма страна, които са равни на същите елементи във втория триъгълник, е неоспорим знак за равенството на фигурите. Като се вземе предвид сумата от ъглите, лесно е да се докаже, че вторите остри ъгли също са равни. По този начин триъгълниците са идентични във втория критерий.
• Когато две фигури се наслагват една върху друга, ние ги завъртаме по такъв начин, че когато се комбинират, те се превръщат в един равнобедрен триъгълник. Според свойството си страните или по-скоро хипотенузите са равни, както и ъглите в основата, което означава, че тези фигури са еднакви.

По първия знак е много лесно да се докаже, че триъгълниците са наистина равни, основното е, че двете по-малки страни (т.е. краката) са равни една на друга.

Триъгълниците ще бъдат еднакви според знака II, чиято същност е равенството на крака и острия ъгъл.

Свойства на правоъгълен триъгълник

Височината, която е спусната под прав ъгъл, разделя фигурата на две равни части.

Страните на правоъгълния триъгълник и неговата медиана се разпознават лесно по правилото: медианата, която е спусната до хипотенузата, е равна на половината от нея. може да се намери както от формулата на Херон, така и от твърдението, че е равно на половината от произведението на краката.

В правоъгълен триъгълник се прилагат свойствата на ъглите от 30 o, 45 o и 60 o.

• При ъгъл, който е 30 °, трябва да се помни, че противоположният крак ще бъде равен на 1/2 от най-голямата страна.
• Ако ъгълът е 45o, тогава вторият остър ъгъл също е 45o. Това предполага, че триъгълникът е равнобедрен, а краката му са еднакви.
• Свойството на ъгъл от 60 градуса е, че третият ъгъл има мярка от 30 градуса.

Площта се намира лесно по една от трите формули:

1. през височината и страната, на която се спуска;
2. по формулата на Херон;
3. по страните и ъгъла между тях.

Страните на правоъгълния триъгълник, или по-скоро краката, се сближават с две височини. За да се намери третото, е необходимо да се разгледа полученият триъгълник и след това, използвайки питагоровата теорема, да се изчисли необходимата дължина. В допълнение към тази формула има и съотношението на удвоената площ и дължината на хипотенузата. Най-често срещаният израз сред учениците е първият, тъй като изисква по-малко изчисления.

Теореми, приложими за правоъгълен триъгълник

Геометрията на правоъгълен триъгълник включва използването на теореми като: