Rješavanje racionalnih nejednačina metodom intervala.

Intervalna metoda se smatra univerzalnom za rješavanje nejednačina. Ponekad se ova metoda naziva i metodom praznina. Može se koristiti kako za rješavanje racionalnih nejednačina s jednom promjenljivom, tako i za nejednakosti drugih vrsta. U našem materijalu pokušali smo da obratimo pažnju na sve aspekte problema.

Šta vas čeka u ovoj rubrici? Analizirat ćemo metodu intervala i razmotriti algoritme za rješavanje nejednačina pomoću nje. Dotaknimo se teorijskih aspekata na kojima se zasniva primjena metode.

Posebnu pažnju posvećujemo nijansama teme koje se obično ne obrađuju školski program. Na primjer, razmotrimo pravila za raspoređivanje znakova na intervalima i samu metodu intervala u općenitom obliku, bez njegove veze s racionalnim nejednačinama.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritam

Ko se sjeća kako je metoda intervala uvedena u školski kurs algebre? Obično sve počinje rješavanjem nejednačina oblika f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >ili ≥). Ovdje f(x) može biti polinom ili omjer polinoma. Polinom se, zauzvrat, može predstaviti kao:

• proizvod linearnih binoma sa koeficijentom 1 za varijablu x;
• proizvod kvadratnih trinoma sa vodećim koeficijentom 1 i negativnim diskriminantom njihovih korijena.

Evo nekoliko primjera takvih nejednakosti:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Napišimo algoritam za rješavanje nejednačina ovog tipa, kao što smo dali u primjerima, koristeći metodu intervala:

• nalazimo nule brojnika i nazivnika, za to izjednačavamo brojilac i nazivnik izraza na lijevoj strani nejednačine sa nulom i rješavamo rezultirajuće jednačine;
• odredimo tačke koje odgovaraju pronađenim nulama i označimo ih crticama na koordinatnoj osi;
• definisati znakove izraza f(x) sa lijeve strane nejednakosti koja se rješava na svakom intervalu i staviti ih na graf;
• nanesite senčenje preko prava područja grafike, vodeći se sljedećim pravilom: ako nejednakost ima predznake< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >ili ≥ , zatim ističemo senčenjem oblasti označene znakom „+“.

Obrazac s kojim ćemo raditi može imati shematski prikaz. Prekomjerni detalji mogu preopteretiti crtež i otežati rješavanje. Malo će nas zanimati obim. Biće dovoljno da se zalepi ispravna lokacija tačke kako se njihove vrijednosti koordinata povećavaju.

Kada radimo sa strogim nejednačinama, koristićemo notaciju tačke u obliku kruga sa nepopunjenim (praznim) centrom. U slučaju nestrogih nejednakosti, tačke koje odgovaraju nulama nazivnika prikazaćemo kao prazne, a sve ostale kao obične crne.

Označene tačke dijele koordinatnu liniju na nekoliko numeričkih intervala. To nam omogućava da dobijemo geometrijski prikaz numeričkog skupa, koji je zapravo rješenje ove nejednakosti.

Metoda nauke o jazu

Pristup koji leži u osnovi metode intervala zasniva se na sljedećem svojstvu kontinuirane funkcije: funkcija održava konstantan predznak na intervalu (a, b) na kojem je ova funkcija kontinuirana i ne nestaje. Isto svojstvo karakteristično je za numeričke zrake (− ∞ , a) i (a, + ∞).

Ovo svojstvo funkcije potvrđuje Bolzano-Cauchyjeva teorema, koja se daje u mnogim udžbenicima za pripremu za prijemni ispit.

Konstantnost predznaka na intervalima može se opravdati i na osnovu svojstava numeričkih nejednačina. Na primjer, uzmite nejednakost x - 5 x + 1 > 0. Ako pronađemo nule brojnika i nazivnika i ucrtamo ih na brojevnu pravu, dobićemo niz intervala: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) i (5 , + ∞) .

Uzmimo bilo koji od intervala i na njemu pokažimo da će kroz cijeli interval izraz na lijevoj strani nejednakosti imati konstantan predznak. Neka je ovo interval (− ∞, − 1) . Uzmimo bilo koji broj t iz ovog intervala. Zadovoljiće uslove t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Koristeći i rezultirajuće nejednakosti i svojstvo numeričkih nejednakosti, možemo pretpostaviti da je t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t na intervalu (− ∞ , − 1) .

Koristeći pravilo za dijeljenje negativnih brojeva, možemo reći da će vrijednost izraza t - 5 t + 1 biti pozitivna. To znači da će vrijednost izraza x - 5 x + 1 biti pozitivna za bilo koju vrijednost x između (− ∞ , − 1) . Sve ovo nam omogućava da tvrdimo da na intervalu uzetom kao primjer, izraz ima konstantan predznak. U našem slučaju, ovo je znak "+".

Pronalaženje nula brojnika i nazivnika

Algoritam za pronalaženje nula je jednostavan: izraze iz brojnika i nazivnika izjednačavamo sa nulom i rješavamo rezultirajuće jednačine. Ako imate bilo kakvih poteškoća, možete pogledati temu “Rješavanje jednadžbi faktorizacijom”. U ovom odeljku ćemo se ograničiti samo na jedan primer.

Razmotrimo razlomak x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Da bismo pronašli nule brojnika i nazivnika, izjednačavamo ih sa nulom kako bismo dobili i riješili jednadžbe: x (x − 0, 6) = 0 i x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

U prvom slučaju možemo prijeći na skup dvije jednačine x = 0 i x − 0, 6 = 0, što nam daje dva korijena 0 i 0, 6. Ovo su nule brojioca.

Druga jednačina je ekvivalentna skupu od tri jednačine x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Izvodimo seriju transformacija i dobijamo x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. Korijen prve jednadžbe je 0, druge jednadžbe nema korijena, budući da ima negativan diskriminant, korijen treće jednačine je 5. Ovo su nule nazivnika.

0 u ovom slučaju je i nula brojnika i nula nazivnika.

Općenito, kada lijeva strana nejednačine sadrži razlomak koji nije nužno racionalan, brojilac i nazivnik su također jednaki nuli da bi se dobile jednadžbe. Rješavanje jednadžbi omogućava vam da pronađete nule brojnika i nazivnika.

Određivanje predznaka intervala je jednostavno. Da biste to učinili, možete pronaći vrijednost izraza s lijeve strane nejednakosti za bilo koju proizvoljno odabranu tačku iz zadanog intervala. Rezultirajući predznak vrijednosti izraza u proizvoljno odabranoj tački u intervalu će se poklopiti sa predznakom cijelog intervala.

Pogledajmo ovu izjavu na primjeru.

Uzmimo nejednačinu x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Izraz na lijevoj strani nejednakosti nema nule u brojniku. Nula nazivnika bit će broj - 3. Dobijamo dva intervala na brojevnoj pravoj (− ∞ , − 3) i (− 3 , + ∞) .

Da bismo odredili predznake intervala, izračunavamo vrijednost izraza x 2 - x + 4 x + 3 za tačke koje se uzimaju proizvoljno na svakom od intervala.

Od prvog jaza (− ∞ , − 3) uzmimo − 4. At x = − 4 imamo (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24. Dobili smo negativnu vrijednost, što znači da će cijeli interval imati predznak “-”.

Za jaz (− 3 , + ∞) Izvršimo proračune sa tačkom koja ima nultu koordinatu. Kod x = 0 imamo 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3. Dobili smo pozitivnu vrijednost, što znači da će cijeli interval imati predznak “+”.

Možete koristiti drugi način da odredite znakove. Da bismo to učinili, možemo pronaći znak na jednom od intervala i sačuvati ga ili promijeniti prilikom prolaska kroz nulu. Da bismo sve uradili ispravno, potrebno je pridržavati se pravila: pri prolasku kroz nulu imenilac, ali ne i brojnik, ili brojilac, ali ne i imenilac, možemo promeniti predznak u suprotan, ako je stepen od izraz koji daje ovu nulu je neparan, i ne možemo promijeniti predznak , ako je stepen paran. Ako smo dobili tačku koja je i nula brojnika i nazivnika, onda možemo promijeniti predznak u suprotan samo ako je zbir stepena izraza koji daju ovu nulu neparan.

Ako se prisjetimo nejednakosti koju smo ispitali na početku prvog pasusa ovog materijala, onda na krajnjem desnom intervalu možemo staviti znak "+".

Pogledajmo sada primjere.

Uzmite nejednačinu (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 i riješite je metodom intervala . Da bismo to učinili, moramo pronaći nule brojnika i nazivnika i označiti ih na koordinatnoj liniji. Nule brojioca će biti tačke 2 , 3 , 4 , nazivnik tačka 1 , 3 , 4 . Označimo ih crticama na koordinatnoj osi.

Nule nazivnika označavamo praznim tačkama.

S obzirom da se radi o nestriktnoj nejednakosti, preostale crtice zamjenjujemo običnim tačkama.

Sada stavimo tačke na intervale. Krajnji desni razmak (4 , + ∞) će biti znak +.

Krećući se s desna na lijevo, postavljat ćemo znakove za preostale intervale. Prolazimo kroz tačku sa koordinatom 4. Ovo je i nula brojnika i nazivnika. Sve u svemu, ove nule daju izraze (x − 4) 2 I x − 4. Dodajmo njihove potencije 2 + 1 = 3 i dobijemo neparan broj. To znači da se znak tokom tranzicije u ovom slučaju mijenja u suprotan. Interval (3, 4) će imati predznak minus.

Prelazimo na interval (2, 3) kroz tačku sa koordinatom 3. Ovo je takođe nula i za brojnik i za imenilac. Dobili smo ga zahvaljujući dva izraza (x − 3) 3 i (x − 3) 5, čiji je zbir potencija 3 + 5 = 8. Dobivanje parnog broja omogućava nam da ostavimo predznak intervala nepromijenjen.

Tačka sa koordinatom 2 je nula brojilaca. Potencija izraza x - 2 je 1 (neparna). To znači da se prilikom prolaska kroz ovu tačku znak mora promijeniti u suprotan.

Ostao nam je posljednji interval (− ∞ , 1) . Tačka sa koordinatom 1 je nula nazivnika. Izvedeno je iz izraza (x − 1) 4, sa parnim stepenom 4 . Dakle, znak ostaje isti. Konačni crtež će izgledati ovako:

Metoda intervala je posebno efikasna kada izračunavanje vrijednosti izraza uključuje puno posla. Primjer bi bila potreba za izračunavanjem vrijednosti izraza

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

u bilo kojoj tački u intervalu 3 - 3 4, 3 - 2 4.

Sada krenimo s primjenom stečenog znanja i vještina u praksi.

Primjer 1

Riješite nejednačinu (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

Rješenje

Za rješavanje nejednakosti preporučljivo je koristiti metodu intervala. Pronađite nule brojnika i nazivnika. Nule brojioca su 1 i - 5, nule nazivnika su 7 i 1. Označimo ih na brojevnoj pravoj. Radimo sa nestrogom nejednakošću, pa ćemo nule nazivnika označiti praznim tačkama, a nulu brojnika - 5 - pravilnom popunjenom tačkom.

Postavimo predznake intervala koristeći pravila za promjenu predznaka pri prolasku kroz nulu. Počnimo s krajnjim desnim intervalom, za koji izračunavamo vrijednost izraza s lijeve strane nejednakosti u tački proizvoljno uzetoj iz intervala. Dobijamo znak “+”. Krećemo se uzastopno kroz sve tačke na koordinatnoj liniji, raspoređujući znakove, i dobićemo:

Radimo sa nestrogom nejednakošću sa predznakom ≤. To znači da trebamo senčenjem označiti prostore označene znakom “-”.

odgovor: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Rješenje racionalnih nejednakosti u većini slučajeva zahtijeva njihovu preliminarnu transformaciju u pravi tip. Tek nakon toga postaje moguće koristiti metodu intervala. Algoritmi za izvođenje takvih transformacija obrađeni su u materijalu “Rješavanje racionalnih nejednakosti”.

Pogledajmo primjer pretvaranja kvadratnih trinoma u nejednačine.

Primjer 2

Pronađite rješenje nejednačine (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0.

Rješenje

Pogledajmo jesu li diskriminanti kvadratnih trinoma u zapisu nejednakosti zapravo negativni. Ovo će nam omogućiti da utvrdimo da li nam oblik ove nejednakosti dozvoljava korištenje intervalne metode za rješenje.

Izračunajmo diskriminant za trinom x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Sada izračunajmo diskriminant za trinom x 2 + 2 · x − 8: D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Kao što vidite, nejednakost zahtijeva preliminarnu transformaciju. Da bismo to učinili, predstavljamo trinom x 2 + 2 x − 8 kao (x + 4) · (x − 2), a zatim primijenite metodu intervala za rješavanje nejednakosti (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0.

odgovor: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Metoda generaliziranog intervala se koristi za rješavanje nejednakosti oblika f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , gdje je f (x) proizvoljan izraz sa jednom promjenljivom x.

Sve radnje se izvode prema određenom algoritmu. U ovom slučaju, algoritam za rješavanje nejednačina korištenjem metode generaliziranog intervala bit će malo drugačiji od onoga o čemu smo ranije govorili:

• nalazimo domen definicije funkcije f i nule ove funkcije;
• označiti granične tačke na koordinatnoj osi;
• nacrtati nule funkcije na brojevnoj liniji;
• odrediti znakove intervala;
• primijeniti sjenčanje;
• zapišite odgovor.

Na brojevnoj pravoj potrebno je, između ostalog, označiti pojedinačne tačke iz domena definicije. Na primjer, domen definicije funkcije je skup (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . To znači da moramo označiti tačke sa koordinatama − 5, 1, 3, 4 , 7 I 10 . Poeni − 5 i 7 će biti prikazani kao prazni, ostali se mogu označiti olovkom u boji kako bi se razlikovali od nula funkcije.

U slučaju nestrogih nejednakosti, nule funkcije se iscrtavaju kao obične (osenčene) tačke, a u slučaju strogih nejednakosti – kao prazne tačke. Ako se nule poklapaju sa graničnim tačkama ili pojedinačnim tačkama domene definicije, tada se mogu prefarbati u crno, čineći ih praznim ili zasjenjenim, ovisno o vrsti nejednakosti.

Zapis odgovora je numerički skup koji uključuje:

• prostori sa senčenjem;
• pojedinačne tačke domene definicije sa znakom plus, ako se radi o nejednakosti čiji je predznak > ili ≥, ili sa znakom minus, ako nejednakost ima predznake< или ≤ .

Sada je postalo jasno da je algoritam koji smo predstavili na samom početku teme poseban slučaj algoritma za korištenje metode generaliziranog intervala.

Razmotrimo primjer korištenja metode generaliziranog intervala.

Primjer 3

Riješite nejednačinu x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Rješenje

Uvodimo funkciju f takvu da je f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Nađimo domenu definicije funkcije f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Sada pronađimo nule funkcije. Da bismo to učinili, riješit ćemo iracionalnu jednačinu:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Dobijamo korijen x = 12.

Za označavanje graničnih točaka na koordinatnoj osi koristimo se narandžasta. Bodovi - 6, 4 će biti popunjeni, a 7 će ostati prazni. dobijamo:

Označimo nulu funkcije praznom crnom tačkom, pošto radimo sa strogom nejednakošću.

Određujemo znakove u pojedinačnim intervalima. Da biste to učinili, uzmite jednu tačku iz svakog intervala, na primjer, 16 , 8 , 6 I − 8 , i izračunajte vrijednost funkcije u njima f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Postavljamo upravo definisane znakove i stavljamo senčenje na prostore sa znakom minus:

Odgovor će biti unija dva intervala sa znakom “-”: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

Kao odgovor, uključili smo tačku sa koordinatom - 6. Ovo nije nula funkcije, koju ne bismo uključili u odgovor pri rješavanju stroge nejednakosti, već granična tačka domene definicije koja je uključena u domen definicije. Vrijednost funkcije u ovoj tački je negativna, što znači da zadovoljava nejednakost.

U odgovor nismo uključili tačku 4, kao što nismo uključili ni cijeli interval [4, 7). U ovom trenutku, kao iu cijelom naznačenom intervalu, vrijednost funkcije je pozitivna, što ne zadovoljava nejednakost koja se rješava.

Zapišimo ovo ponovo radi jasnijeg razumijevanja: obojene tačke moraju biti uključene u odgovor u sljedećim slučajevima:

• ove tačke su dio šrafirane praznine,
• ove tačke su pojedinačne tačke u domenu definicije funkcije, vrednosti funkcije u kojima zadovoljavaju nejednakost koja se rešava.

odgovor: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kako riješiti nejednačine metodom intervala (algoritam sa primjerima)

Primjer . (zadatak od OGE) Riješite nejednačinu koristeći intervalnu metodu \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Rješenje:

Odgovori : \((7;7+\sqrt(11))\)

Primjer . Riješite nejednačinu koristeći intervalnu metodu \(≥0\)
Rješenje:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Ovdje, na prvi pogled, sve izgleda normalno, a nejednakost je u početku dovedena u željeni oblik. Ali to nije tako - uostalom, u prvoj i trećoj zagradi brojnika, x se pojavljuje sa znakom minus. Transformišemo zagrade, uzimajući u obzir činjenicu da je četvrti stepen paran (tj. uklanjaće znak minus), a treći je neparan (tj. neće ukloniti). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Ovako. Sada vraćamo zagrade "na mjesto" već transformirane.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Sada sve zagrade izgledaju kako treba (prvo je nepotpisano ime, a zatim broj). Ali ispred brojioca pojavio se minus. Uklanjamo ga množenjem nejednakosti sa \(-1\), ne zaboravljajući da obrnemo znak poređenja
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Spreman. Sada nejednakost izgleda kako treba. Možete koristiti metodu intervala.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Postavimo tačke na osu, znakove i obojimo preko potrebnih intervala.
		U intervalu od \(4\) do \(6\), predznak nije potrebno mijenjati, jer je zagrada \((x-6)\) na paran stepen (vidi tačku 4 algoritma) . Zastava će biti podsjetnik da je šest također rješenje za nejednakost. Hajde da zapišemo odgovor.

Odgovori : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\lijevo\(6\desno\)\)

Primjer.(Zadatak od OGE) Riješite nejednačinu koristeći metodu intervala \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Rješenje:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Ima ih identičnih s lijeve i desne strane - to očito nije slučajnost. Prva želja je podijeliti sa \(-x^2-64\), ali ovo je greška, jer postoji šansa da izgubite root. Umjesto toga, pomaknite \(64(-x^2-64)\) ulijevo
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Izvadimo minus u prvoj zagradi i faktorujmo drugu
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Imajte na umu da je \(x^2\) ili jednako nuli ili veće od nule. To znači da je \(x^2+64\) jedinstveno pozitivan za bilo koju vrijednost x, odnosno ovaj izraz ni na koji način ne utiče na predznak lijeve strane. Stoga možemo sa sigurnošću podijeliti obje strane nejednakosti ovim izrazom. Podijelimo i nejednakost sa \(-1\) da se riješimo minusa.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Sada možete koristiti metodu intervala
\(x=8;\) \(x=-8\)		Hajde da zapišemo odgovor

Odgovori : \((-∞;-8]∪}