Metode za pretvaranje složenog crteža. Metoda zamjene ravni projekcije Metoda zamjene projekcijskih ravni je određivanje stvarne veličine.

Zadatak 1. Pretvorite dijagram prikazan na sl. 9.9 tako da se linija opšte pozicije pokaže paralelnom sa jednom od ravni projekcije novog sistema.

Da bi se riješio problem, potrebno je postaviti novu ravan projekcije paralelno sa datim segmentom ( P 4 ║AB ). Tada se segment projektuje na ovu ravan projekcije bez promjena.

Rješenje ovog problema je prikazano na sl. 9.9, b. Paralelno A 1 B 1 osa nacrtana X 1, a nova frontalna projekcija segmenta je konstruisana u sistemu projekcijskih ravni A 4 B 4. Očigledno je da / A 4 B 4/=/AB/ i ugao φ , formirana projekcijom A 4 B 4 sa osovinom X 1 jednak nagibu prave linije AB u avion P 1.

Zadatak 2. Pretvorite dijagram prikazan na sl. 9.10 tako da segment AB ispostavilo se da je prava linija u opštem položaju okomita na jednu od ravni projekcije.

Da biste riješili problem, potrebno je izvršiti dvije uzastopne zamjene ravni projekcije:

1) sistem zamenjujemo sistemom, postavljajući avion P 4 paralelno AB;

2) iz sistema prelazimo na , postavljajući avion P 5 okomito na pravu liniju AB. Završene konstrukcije prikazane su na sl. 9.10.

Zadatak 3. Pretvorite opštu ravan u ravan projekcije.

Za rješavanje ovog problema potrebno je uvesti novu ravan projekcije tako da bude okomita na datu ravan Γ(ABC) i jedna od ravni projekcije, tj. okomito na liniju njihovog presjeka. Ukrštanje ravnine Γ sa ravninom projekcije je odgovarajući trag ravni Γ. Prema tome, nova ravan projekcije mora biti okomita na jedan od tragova date ravni ili jednu od njegovih ravnih linija, koja je paralelna sa odgovarajućim tragom.

Slika 9.11 prikazuje ravansku transformaciju Γ(ABC) u projektor. Da to uradite u avionu Γ nacrtana horizontalna linija h(h 2 h 1) i okomito na njega, i, posljedično, na cijelu ravan Γ uveden je novi avion P 4,čemu služi osa? X 1 novi sistem projekcijskih ravni nacrtana okomito na horizontalnu projekciju horizontale X 1┴ h 1, a u skladu sa poznatim pravilom konstruiše se nova projekcija A 4 B 4 C 4 trougao ABC, koji predstavlja segment prave linije. Nakon konstrukcija, avion Γ(ABC) P 4 i sa avionom P 1 pravi ugao a.

Zadatak 4. Pretvorite generičku ravan Γ(ABC) u ravan nivoa.

Transformacija ravni opšteg položaja u ravninu se vrši uzastopno sa dve zamene ravni projekcije - prvo se ravan opšteg položaja transformiše u ravan projekcije, a zatim se rezultujuća projekcijska ravan transformiše u ravninu.

Na slici 9.12 za ravansku transformaciju Γ nova ravan projekcije je uvedena u ravan projekcije P 4, okomito na ravan Γ . Osa novog sistema ravnina povučena je okomito na horizontalnu projekciju horizontale. Rezultirajuća projekcija A 4 B 4 C 4 je degenerirana projekcija ravnine Γ, jer avion Γ je projektivan u odnosu na ravan P 4.

Za transformaciju projekcijske ravni u ravninu uvedena je nova projekcijska ravan P 5, paralelno sa ravninom Γ . Axis X 2 novi sistem projekcijskih ravni je paralelan sa degenerisanom projekcijom A 4 B 4 C 4 avion Γ . Prilikom izrade nove projekcije A 5 B 5 C 5 korištene su udaljenosti od zamijenjenih projekcija A 1 B 1 C 1 do ose X 1. Pošto u novom sistemu projekcijskih ravni ravan Γ(ABC) je paralelna sa ravninom P 5, zatim se na ovu ravan projekcije projektuje u prirodnoj veličini.

Četiri glavna problema koja se razmatraju leže u osnovi rješavanja mnogih drugih problema zamjenom ravni projekcije. Pogledajmo primjere rješavanja nekih problema.

Primjer 1. Convert Plane Γ opšti položaj, dat tragovima, u istureni (sl. 9.13).

Avion Γ pretvorite ga u prednju projekciju. Poznato je da je horizontalni trag frontalno izbačene ravni okomit na osu X, dakle nova osovina X 1 nacrtati okomito na Γ P1. Kroz tačku gde Γ P1 ∩ H 1 = Γ X1 frontalni trag će proći Γ P4. Da biste odredili njegov smjer, dovoljno je pronaći jednu tačku. Kao takva se može uzeti proizvoljna tačka 1∈Γ i naznačiti njegovu frontalnu projekciju 1 4 na novom avionu P 4. Kroz Γ X1 I 1 4 izvršiti Γ P4 .

Primjer 2. Odredite udaljenost od tačke T u avion Σ opšti stav koji je dao D ABC(Sl. 9.14)

Avion Σ(ABC) transformišemo ga u projekciju, za šta konstruišemo horizontalnu liniju u ravni h(h 2 h 1). Nacrtajmo os okomitu na horizontalnu projekciju horizontale X 1 novi sistem projekcijskih ravni. Izrada novih projekcija tačaka A 4 B 4 C 4, crtanje udaljenosti od ose X 1, jednaka udaljenostima od zamijenjenih projekcija A 2 B 2 C 2 do ose X.

Avion Σ(ABC) ispostavilo se da je okomito na ravan projekcije P 4 i projektovan je na ovu ravan u pravoj liniji. U avion P 4 pomerite tačku T(T 4) i spusti okomicu na ravan D ( ABC). T 4 K 4 ┴ (A 4 B 4 C 4) , Gdje TO– osnova okomice. Udaljenost od tačke T u avion D ABC u avionu P 4 se projektuje bez izobličenja. |T 4 K 4 |= |TK|. Vraćamo projekciju okomice na ravan, iz tačke T 1 povlačimo projekciju okomice T 1 K 1 paralelno sa osom X 1 i okomito na h 1. Dalje završene konstrukcije prikazane su na sl. 9.14.

Metode transformacije projekcija i njihove

aplikacija za rješavanje problema

Hajde da predstavimo novu ravan projekcije P 4 paralelno sa segmentom AB(Sl. 32) i okomito P 1. U ovom slučaju, nova os x 14 će biti paralelna A 1 IN 1 (inače direktno AB i avion P 4 će se ukrštati). Ugao segmenta AB u avion P 4 je nula, i AB on P 4 je projektovan u punoj veličini, tj. A 4 V 4 = AB. Nakon mjerenja segmenta A 4 IN 4, dobijamo dužinu segmenta AB.

Otkrivanje prirodne veličine ravne figure

način zamjene projekcijskih ravni

Neka je ∆ ABC– ravan opšteg položaja (Sl. 33). U ravni trokuta nacrtamo horizontalnu liniju h, projektirati horizontalu h do tačke h 4 po avionu P 4 (x 14 ⊥ h 1 , P 4 ⊥ h), konstruisati nove projekcije tačaka A 4 , IN 4 , WITH 4. Ravan ∆ ABC se projektuje na pravu koja prolazi kroz tačke A 4 , IN 4 , WITH 4. Ravan trougla u sistemu ( P 1 P 4) je projektovana ravan, okomita je P 4. Trougao ABC projektovano na P 4 po segmentu IN 4 WITH 4 .

Da bismo pronašli prirodnu vrijednost ∆ ABC uvedemo ravan projekcije P 5 paralelno sa ravninom trougla i okomito P 4. Nova osovina x 45 je paralelno sa segmentom D 4 C 4 (inače ∆ ABC I P 5 će se ukrštati). Trougao ABC projektovan na ravan P 5 prirodnoj veličini Δ A 5 IN 5 WITH 5 = Δ ABC.

Slično, pronalazi se prirodna veličina bilo koje ravne figure.

Praktični zadatak br. 3. Nacrtajte crtež dvije ravnine koje se ukrštaju (format A4).

Tema 4

POVRŠINE

Deskriptivna geometrija proučava kinematičku metodu formiranja i definisanja površina. U ovom slučaju, površina se smatra skupom uzastopnih pozicija pokretne linije ili druge površine u prostoru. Zove se linija koja se kreće u prostoru i formira površinu generatrix. Generatori mogu biti ravni ili zakrivljeni. Generisanje krivulja može biti konstantno i promjenjivo, na primjer, prirodno se mijenja.

Zakon kretanja generatrise obično se određuje drugim linijama tzv vodiči, po kojoj generatriksa klizi tokom svog kretanja, kao i prirodu kretanja generatrike. U nekim slučajevima, jedna od vodilica može se pretvoriti u točku, na primjer, vrh blizu konične površine, ili biti u beskonačnosti, na primjer, blizu cilindrične površine.

Skup geometrijskih elemenata koji definiraju površinu naziva se odrednica površine, uzimajući u obzir da je zakon kretanja generatrike određen imenom površine.

Određivanje površine projekcijama njene determinante ne daje uvijek jasnoću, a to zauzvrat otežava čitanje crteža, stoga, da biste dobili vizualnu sliku površine u složenom crtežu, trebate naznačiti esej ovu površinu. Obris projekcije površine je projekcija odgovarajuće vidljive linije konture. Vidljiva konturna linija površine dijeli je na dva dijela - vidljivi, okrenuti prema posmatraču i nevidljivi.

Površinska klasifikacija

Površine se po pravilu klasifikuju u zavisnosti od oblika generatrikse i zakona njenog kretanja u prostoru (slika 35):

Površina se zove vladao, ako se može formirati pomicanjem prave linije. Površina koja se ne može formirati kretanjem prave linije naziva se nevladani. Na primjer, konus rotacije je vladao površina, a sfera je nevladani. Kroz bilo koju tačku ravne površine moguće je povući barem jednu pravu liniju koja u potpunosti pripada površini. Skup takvih linija predstavlja kontinuitet okvir ravna površina. Rubirane površine se dijele na dvije vrste:

– odvijanje površine;

– non-deployable, ili koso površine.

Površina se zove odvijanje, ako se može kombinovati sa ravninom bez stvaranja nabora i suza.

Nerazvojne površine nemoguće je kombinovati sa ravninom bez stvaranja nabora i suza.

Fasetirane površine

Površina koju čine dijelovi ravnina koje se seku u paru naziva se višestruko. Na sl. Slika 36 prikazuje neke vrste fasetiranih površina.

a b c

Rice. 36 Fasetirane površine

Njihovi elementi su ivice, rebra I vrhovi. Ravnine koje formiraju poliedarsku površinu nazivaju se ivice, linije preseka susednih lica – rebra, tačke preseka najmanje tri lica – vrhovi.

Fasetirana površina se zove piramidalni, ako se sve njegove ivice sijeku u jednoj tački - vrhu (Sl. 36 A). Fasetirana površina se zove prizmatični, ako su svi njegovi rubovi međusobno paralelni (slika 36 b). Zove se geometrijsko tijelo koje je sa svih strana ograničeno ravnim poligonima poliedar. Prismatoid naziva se poliedar čija su gornja i donja osnova poligoni smješteni u paralelnim ravninama, a bočne strane su trokuti ili trapezi (Sl. 36 V).

Površine torza

Površina trupa je površina formirana kretanjem pravolinijske generatrike duž zakrivljene vodilice.

Postoje tri vrste takvih površina: torzos, konične i cilindrične površine (sl. 37).

Cilindrična površina(Sl. 37 A) nastaje kretanjem prave linije koja klizi duž neke fiksne zatvorene ili otvorene krive i ostaje paralelna sa svojim prvobitnim položajem. Skup pravolinijskih generatrisa predstavlja kontinuirani okvir cilindrične površine. Kroz svaku tačku površine prolazi jedna pravolinijska generatrisa.

a b c

Rice. 37 Površine: torzo cilindričan, torzo konusni, torzo

Deo zatvorene cilindrične površine zatvoren između dva ravna paralelna preseka naziva se cilindar, a figure u sekcijama su njegove razlozi.

Konusna površina(Sl. 37 b) nastaje kretanjem prave linije koja klizi duž neke fiksne zatvorene ili otvorene krive i prolazi u svim svojim položajima kroz fiksnu tačku.

Konus nazivamo dio zatvorene konusne površine omeđen vrhom i nekom ravninom koja siječe sve njene generatore. Lik poprečnog presjeka konične površine ovom ravninom naziva se osnovu konusa.

Površine sa ravninom paralelizma u opštem slučaju, formiraju se kretanjem pravolinijske generatrike duž tri vodeće linije, koje na jedinstven način definišu zakon njenog kretanja.

Vodilice mogu biti krive I ravno. Vrste kosih površina su ravnane površine sa ravninom vodilice i njihove posebne vrste - ravnane površine sa ravninom paralelizma(katalonske površine).

Površine sa ravninom paralelizma u sličnim slučajevima nazivaju se respektivno ravni cilindroidi, ravni konoidi I kosoj ravni.

Ravni cilindroid(Sl. 38) je površina nastala kretanjem prave linije koja klizi duž dvije zakrivljene vodilice koje ne pripadaju istoj ravni, a koja ostaje u svim svojim položajima paralelna s nekom datom ravninom. Ova ravan se naziva ravan paralelizma.

Pravi konoid(Sl. 39) je površina nastala kretanjem prave linije koja klizi duž dvije vodilice, od kojih je jedna zakrivljena, a druga ravna, i ostaje u svim svojim položajima paralelna s određenom ravninom paralelizma.

Rice. 38 Pravi cilindar Sl. 39 Pravi konoid Sl. 40 Kosa ravan

Kosa ravnina(Sl. 40) je površina nastala kretanjem prave linije koja klizi duž dvije prave linije koje se seku i ostaju u svim svojim položajima paralelne s određenom ravninom paralelizma.

Spiralne površine

Površina nastala spiralnim kretanjem prave linije naziva se ravna spiralna površina– helikoid(pokret vijaka karakterizira rotacija oko određene ose i i translatorno kretanje paralelno ovoj osi).

a b

Rice. 41 Spiralne površine

Ako uzmemo cilindričnu spiralu kao zakrivljenu vodilicu konoida, osu zavojnice kao ravnu vodilicu, a ravan okomitu na osu spirale kao ravan paralelizma, tada se površina nastala pod ovim uvjetima naziva spiralni konoid ili pravi helikoid(Sl. 41 A).

Kosi helikoid je površina nastala kretanjem prave linije koja klizi duž dvije vodilice (jedna od njih je cilindrična spirala, a druga os spirale) i održavajući konstantan kut β u svim položajima WITH ravnina vodilice, koja je postavljena okomito na os površine vijka. Prilikom konstruisanja projekcija kosog helikoida zgodno je koristiti konus za vođenje (sl. 41 b).

Površine revolucije

Ako je kretanje generirajuće linije rotacija oko neke fiksne prave linije (ose), tada se površina nastala u ovom slučaju naziva površina rotacije.

Generirajuća linija može biti ravna ili prostorna kriva, kao i prava linija. Svaka tačka generirajuće linije, kada se rotira oko ose, opisuje krug, koji se nalazi u ravni okomitoj na os rotacije (Sl. 42).

Ovi krugovi se zovu paralele. Prema tome, ravni okomite na osu sijeku površinu okretanja duž paralele. Linija presjeka okretne površine sa ravninom Σ koji prolazi kroz osu naziva se meridijan.

Meridijan koji nastaje presekom okretne površine sa ravninom se naziva main. Projekcija glavni meridijan na ravan paralelnu ravni ravni je linija obrisa odgovarajuću projekciju površine rotacije.

Skup svih paralela ili meridijana je kontinuiran okvir površine rotacije. Kroz svaku tačku na površini prolazi jedna paralela i jedan meridijan. Projekcije tačke se nalaze na odgovarajućim projekcijama paralele ili meridijana. Možete postaviti tačku na površinu ili konstruisati drugu projekciju tačke, ako je data, koristeći paralelu ili meridijan koji prolazi kroz ovu tačku.

Pri projektovanju različitih inženjerskih konstrukcija, mašina i mehanizama najrasprostranjenije su površine nastale rotacijom prave linije i krivulje drugog reda.

Rotacijom prave linije formiraju se:

–rotacioni cilindar, ako je ravno l paralelno sa osom i(Sl. 43 A);

– konus rotacije, ako je ravno l prelazi osu i(Sl. 43 b);

– hiperboloid od jednog lista, ako je ravno l prelazi osu i(Sl. 43 V).

A	b	V
Rice. 43 Pravljene površine okretanja

Površine okretanja formirane rotacijom krivulja drugog reda oko ose uključuju:

– sfera nastaje rotacijom kruga oko svog prečnika (Sl. 44 A);

– elipsoid revolucije nastaje rotacijom elipse oko velike ili male ose (44 b, V);

– torus nastaje rotacijom kruga oko vanjske ose (Sl. 44 G);

A	b	V
G	d	e
Rice. 44 Površine revolucije drugog reda

– paraboloid revolucije nastaje rotacijom parabole oko svoje ose (slika 44 d);

– hiperboloid okretanja jednog lista nastaje rotacijom hiperbole oko svoje imaginarne ose. Ova površina se takođe formira rotacijom prave linije (Sl. 44.). e).

Kanalske i ciklične površine

Kanal je površina formirana neprekinutim okvirom zatvorenih ravnih dijelova orijentiranih na određeni način u prostoru. Površine ovih sekcija mogu ostati konstantne ili se monotono mijenjati tokom prijelaza iz jednog dijela u drugi. Na sl. 45 prikazuje dvije slike kanal površine. U inženjerskoj praksi najrasprostranjenije su dvije metode orijentacije ravnina generatriksa:

– paralelno sa bilo kojom ravninom – površine kanala sa ravninom paralelizma;

– okomito na vodeću liniju – ravne površine kanala.

Površina kanala može se koristiti za kreiranje prijelaza između dvije površine kao što su cjevovodi koji imaju:

– različiti oblici, ali ista normalna površina poprečnog presjeka;

– isti oblik, ali različite površine poprečnog presjeka;

– različiti oblici i različite površine poprečnog presjeka.

Ciklična površina može se smatrati posebnim slučajem površine kanala. Formira se pomoću kruga, čije se središte kreće duž zakrivljene vodilice. Tokom kretanja, polumjer kružnice se monotono mijenja. Primjer ciklične površine prikazan je na Sl. 46.

Grafičke površine

Grafičke površine date su konačnim skupom ravnih linija koje čine okvir ovih površina. Primjeri grafičkih površina prikazani su na sl. 48.

Rice. 48 Grafičke površine

Presjek površine i ravni

Linija presjeka površine sa ravninom je prava koja se zove presjek. Tačke ove krive mogu se smatrati tačkama preseka površinskih linija sa ravnim ili pravih linija ravnine sa površinom.

Ovo dovodi do dvije opcije za izgradnju sekcije:

1) izabrati konačan broj pravih na površini i odrediti njihove presečne tačke sa ravni;

2) izabrati konačan broj pravih na ravni i konstruisati njihove tačke preseka sa površinom.

Imajte na umu da je moguće rješenje kombinacija ovih opcija. U svakom slučaju, konstruisanje preseka se svodi na ponovnu primenu algoritma za rešavanje problema preseka prave i površine.

Preporučljivo je započeti određivanje projekcija linija presjeka konstruiranjem njegovih referentnih (karakterističnih) tačaka. To uključuje tačke koje se nalaze na konturama površine (one određuju granice vidljivosti projekcija krivulje), tačke koje se nalaze na ekstremnim udaljenostima od ravni projekcije i neke druge. Nakon toga se određuju međutočke presjeka.

Konstrukcija presjeka je znatno pojednostavljena ako ravnina zauzima istureni položaj. To je zbog činjenice da je projekcijska ravan karakterizirana sabirnim svojstvom. U ovom slučaju jedna od projekcija presjeka je na tragu ravni, tj. poznato.

Na preseku fasetiranih površina sa ravnima dobijaju se poligoni (slika 49.). A). Njihovi vrhovi su definisani kao tačke preseka ivica fasetiranih površina sa ravninom sečenja. Sečna ravan Σ je frontalno projekcija, stoga će se sve prave koje leže u ovoj ravni poklapati sa frontalnim tragom Σ 2 ravni Σ. Prema tome, frontalna projekcija presjeka 1 2 2 2 3 2 određena je presjekom čeonih projekcija ivica piramide sa tragom Σ(Σ 2). Horizontalne projekcije tačaka 1(1 1), 2(2 1) i 3(3 1) nalazimo iz uslova da tačke pripadaju ivicama piramide.

Rice. 49 Konstrukcija linije presjeka površine sa ravninom

Razmotrimo konstrukciju izreza sfere formiranog pomoću četiri isturene sekantne ravni (Sl. 51, A). Svaki od njih siječe sferu duž linije koja je dio kružnice. osim toga, G I R su horizontalna i profilna ravan nivoa, respektivno. Projekcije izreza na P 1 i P 3 će biti simetrično.

A	b
V	G

Rice. 51 Postupak za rješavanje praktičnog zadatka br

Na projekcijskim ravnima P 1 i P 3 izrezane grane iz aviona Q I T biće projektovani kao delovi elipsa. Poeni A I IN su krajevi osa ovih elipsa.

Označimo referentne tačke u ravnima nivoa: 1, 2 i 4 krajnje tačke isečenih grana; 5 i 3 tačke promene vidljivosti na avionima P 1 i P 3 respektivno.

Napravimo projekcije referentnih tačaka izrezanih dijelova iz reznih ravnina G I R na projekcijskim ravnima P 1 i P 3 (sl. 51, b).

Q. Kontrolne tačke 6 mijenjaju vidljivost u P 1. Referentna tačka 7 najniža tačka (sl. 51, V).

Konstruirajmo izrezanu granu iz ravni T. Kontrolne tačke 8 mijenjaju vidljivost u P 3. Referentna tačka 9 najniža tačka (sl. 51, G).

Obrisi sfere i vidljivost linije reza na ravninama P 1 i P 3 se određuju uzimajući u obzir prolazni izrez.

Interakcija površina jedna s drugom

Linija presjeka dvije površine je, općenito, prostorna kriva. Bilo koja tačka na ovoj pravoj pripada i prvoj i drugoj površini i može se odrediti na preseku linija povučenih na ovim površinama. Tada imamo sljedeće opcije za rješavanje ovog problema:

1) izabrati konačan broj pravih na jednoj od površina i konstruisati njihove presečne tačke sa drugom površinom;

2) odabrati dvije porodice pravih na datim površinama i pronaći njihove točke sjecišta. U drugoj opciji odabir parova krivulja koji se seku vrši se pomoću pomoćnih površina posrednika.

Kao medijske površine najčešće se koriste ravni ili sfere. Ovisno o vrsti posrednika, razlikuju se sljedeće najčešće korištene metode za konstruiranje linije presjeka dviju površina:

a) način sečenja ravnina;

b) metoda sfera.

Metoda pomoćnih reznih ravnina

Razmotrimo upotrebu pomoćnih reznih ravnina na primjeru konstruiranja linije presjeka kugle sa konusom rotacije (Sl. 52).

Date površine su okretne površine. Osi navedenih površina su paralelne P 2, (bilo koji prečnik sfere može se uzeti kao osa rotacije), a njihova zajednička ravan simetrije je paralelna sa frontalnom ravninom projekcija. Prema tome, na datim površinama mogu se razlikovati dvije porodice krugova, smještenih u ravninama paralelnim s horizontalnom ravninom projekcije. To znači da se za rješavanje ovog problema mogu koristiti horizontalne ravnine kao posrednici.

Karakteristične tačke projekcija linije preseka površina su tačke Α , Β I WITH, D. Poeni Α , Β nalaze se na sjecištu obrisnih generirajućih površina, jer ovi generatori se nalaze u istoj ravni sečenja F, prolazeći duž ravnine simetrije površina. Α I Β najviša i najniža tačka linije raskrsnice. Poeni WITH I D su tačke vidljivosti horizontalne projekcije linije raskrsnice. Njihove konstrukcije se izvode u sljedećem redoslijedu:

1) kroz centar sfere O nacrtana je horizontalna ravan nivoa Θ;

2) konstruisana je horizontalna projekcija kružnice poluprečnika R

Rice. 52 Primjena metode pomoćnih reznih ravnina

3) konstruisana je horizontalna projekcija kružnice poluprečnika R 1 duž koje ravan Θ seče konusnu površinu; ista ravan seče sferu duž ekvatora (krug maksimalnog radijusa);

4) određuju se bodovi C 1 , D 1 krug radijusa raskrsnice R 1 sa obrisom sfere;

5) utvrđuju se frontalne projekcije tačaka WITH(WITH 2), D(D 2) iz uslova da pripadaju ravni Θ.

Za konstruiranje međutačaka 1(1 1 ,1 2), 2(2 1 ,2 2), ..., 6(6 1 ,6 2) linija presjeka datih površina koristimo ravnine , i .

Rezultirajuće tačke povezujemo glatkom zakrivljenom linijom. U svakoj ravni projekcije određuje se vidljivost linije ukrštanja.

Zatim se ugrađuju površine koje su istovremeno vidljive za obje površine. Dakle, tokom projekcije, konusna površina ne pokriva svoje tačke, ali sfera pokriva tačke koje se nalaze ispod horizontalne konture. Poeni WITH I D, koji se nalazi na horizontalnoj liniji, odvajaju vidljivi dio linije od nevidljivog. Nevidljivi dio je prikazan isprekidanom linijom. On P 2, projekcija vidljivog dijela presječne linije poklapa se sa nevidljivom projekcijom, budući da se čeoni obrisi obje površine nalaze u ravni simetrije površina.

Metoda koncentrične sfere

Ova metoda se široko koristi u rješavanju problema konstruisanja linija presjeka okretnih površina sa osama koje se seku. Ova metoda se zasniva na sljedećem svojstvu okretnih površina: dvije koaksijalne površine okretanja se sijeku po kružnicama, čiji je broj jednak broju presječnih točaka njihovih polumeridijana. Ove kružnice leže u ravninama okomitim na os okretnih površina. Za sferu, bilo koji prečnik se može uzeti kao os rotacije. Posljedično, sfera sa središtem na osi površine okretanja siječe ovu površinu duž jedne ili više kružnica.

Ako je osa okretnih površina paralelna s ravninom projekcije, tada se presječna linija projektuje na ovu ravan u pravi segment. Na sl. 53 A, b prikazuje presek sfere sa cilindričnim i konusnim površinama okretanja, respektivno. Na sl. 53 V Prikazane su koaksijalne cilindrične i konusne površine rotacije koje se ukrštaju.

a b c

Rice. 53 Presjek koaksijalnih površina okretanja

Razmotrimo upotrebu pomoćnih koncentričnih sfera - sfera sa konstantnim centrom. Ova metoda se koristi kada su ispunjeni sljedeći uslovi:

a) površine koje se seku moraju biti okretne površine;

b) ose ovih površina moraju se ukrštati; tačka njihovog preseka se uzima kao centar pomoćnih sfera;

c) ravan simetrije površina mora biti paralelna nekoj ravni projekcije (u suprotnom se koristi transformacija crteža).

Razmotrimo konstrukciju linije presjeka konusnih okretnih površina (sl. 54). Površine i njihova lokacija zadovoljavaju gore navedene uslove.

Prije konstruiranja međutačaka, potrebno je pronaći referentne točke linije ukrštanja. Poeni A, IN, K I L, i također E, F, WITH I D– to su tačke koje pripadaju konturama površina. Mogu se pronaći metodom koncentričnih sfera ili pomoću ravni posrednika Σ(Σ 2) i Δ(Δ 1).

Razmotrimo sada konstrukciju međutačaka na primjeru tačaka 5 i 6. Konstrukcije izvodimo na frontalnoj ravni projekcija. Posrednik sfere Θ(Θ 2) sa centrom u tački O(O 2) seče konične površine duž kružnica koje su na P 2 se projektuju u segmente I (projekcije druga dva kruga nisu prikazane). Tačke 5 2 = 6 2 njihova sjecišta su frontalne projekcije tačaka 5 i 6, koje pripadaju liniji presjeka površina, budući da pripadaju svakoj od ovih površina.

Razmotrimo granične granice pomoćnih sfera. Radijus posredničkih sfera varira u rasponu R max ≥ R ≥ R min, gdje R min – minimalni poluprečnik sfere, R max – maksimalni radijus sfere. Sfera minimalnog radijusa R min je sfera koja dodiruje jednu površinu i siječe drugu. Na sl. 54 takva sfera dodiruje "vertikalnu" konusnu površinu. Koristeći sferu minimalnog polumjera, konstruiraju se tačke 1 2 = 2 2 i 3 2 = 4 2. Horizontalne projekcije tačaka 1, 2, 3 i 4 konstruišu se slično tačkama 5 i 6.

Poluprečnik maksimalne sfere jednak je udaljenosti od tačke preseka osa površina do najudaljenije tačke preseka konturnih generatrisa ovih površina. Na slici 54 nalazi se sfera R max =[ O 2 L 2 ].

Da bismo utvrdili vidljivost projekcija linije presjeka, analiziramo položaj tačaka u odnosu na konture površina. Da, relativno P 1, bit će vidljiv dio krivulje koji se nalazi iznad konture horizontalne konusne površine (druga površina je vidljiva na P 1 nema efekta). Horizontalna projekcija nevidljivog dijela linije prikazana je isprekidanom linijom.

Poeni A, IN I K, L pripadaju frontalnim konturama površina i odvajaju vidljivi dio linije ukrštanja od nevidljivog kada se projektuje na P 2. Frontalne projekcije vidljivih i nevidljivih dijelova linije raskrsnice na sl. 54 utakmica.

Praktični zadatak br. 5. Nacrtajte dvije površine koje se ukrštaju. Odredite liniju njihovog presjeka metodom pomoćnih ravnina (format A4).

Rad se izvodi sljedećim redoslijedom (Sl. 55):

1) odredi tačke preseka obrisa jedne površine sa drugom;

2) odredi najvišu i najnižu tačku raskrsnice;

3) odredi međutačke raskrsnice pomoću pomoćnih ravni;

4) sve pronađene tačke preseka su uzastopno povezane krivom linijom, uzimajući u obzir njihovu vidljivost.

Prilikom odabira pomoćnih reznih ravnina, potrebno je zapamtiti da one moraju istovremeno presijecati obje površine i dati najjednostavnije figure presjeka. Za sve varijante zadataka, ravni ravni se mogu odabrati kao pomoćne rezne ravnine: za neke - horizontalne, za druge - vertikalne, ili oboje. Površinske presječne točke su točke presjeka kontura poprečnih presjeka površina koje leže u istoj pomoćnoj ravni sečenja. Svaka rezna ravan može definisati od jedne do četiri tačke presečne linije, u zavisnosti od prirode presecanih površina, njihove međusobne lokacije i položaja same ravnine sečenja.

Tema 5

SLIKE: PREGLED, SEKCIJE, SEKCIJE

Crteži se izvode u strogom skladu sa pravilima projekcije u skladu sa utvrđenim zahtjevima i konvencijama.

Zahtjevi za crtež: reverzibilnost, tačnost, jasnoća, jednostavnost.

Crtež se zove reverzibilan, ako se iz slike figure može rekonstruisati njen oblik, veličina i položaj u prostoru. Crtež mora biti vizuelno i dati jasnu predstavu o subjektu koji se prikazuje. Crtež mora biti jednostavan za grafičko izvođenje.

Opći zahtjevi za sadržaj crteža utvrđeni su GOST 2.109-73.

Prilikom izrade crteža u elektronskom obliku morate se rukovoditi GOST 2.051-2006, GOST 2.052-2006, GOST 2.053-2006.

Pravila za izvođenje slika na crtežima utvrđena su GOST 2.305-2008.

Prilikom izvođenja grafičkih dokumenata u obliku elektronskih modela, sačuvane poglede treba koristiti za dobijanje odgovarajućih slika.

Rice. 56 Predmet i njegove projekcije na glavne ravni

Slika na frontalnoj ravni projekcija uzima se kao glavna na crtežu. Glavna slika odabran na takav način da daje najpotpuniju sliku o obliku i veličini predmeta.

Slika je bilo koji crtež. U zavisnosti od sadržaja, slike se dijele na vrste, sekcije i sekcije.

Vrste

Pogled je slika vidljivog dijela površine objekta okrenuta prema promatraču. Da bi se smanjio broj slika, dozvoljeno je prikazivanje nevidljivih površina objekta isprekidanim linijama u prikazima (vidi sliku 56).

Vrste se dijele na osnovne, dodatne i lokalne.

Main nazivaju se pogledi koji se nalaze na bilo kojoj od šest glavnih ravni uz održavanje projekcijskog odnosa između njih. Pogled sprijeda - glavni pogled; pogled odozgo - pogled sprijeda; pogled slijeva - desno od glavnog; pogled desno - lijevo od glavnog; pogled odozdo - iznad glavnog pogleda; pogled otpozadi - desno od lijevog pogleda ili lijevo od desnog pogleda (vidi sl. 56). Nazivi tipova nisu ispisani na crtežu.

Ako se bilo koji pogled nalazi izvan projekcijske veze sa glavnom slikom ili je odvojen od nje drugim slikama, tada strelica pokazuje smjer projekcije. Iznad strelice je naznačeno veliko ćirilično slovo. Isto slovo označava konstruisani pogled (Sl. 57).

Promjena relativnog položaja objekta koji se proučava i ravni projekcije postiže se zamjenom jedne od ravnina P 1 ili P 2 novi avioni P 4 (Sl. 148). Nova ravan se uvijek bira okomito na preostalu ravninu projekcije.

Za rješavanje nekih problema može biti potrebna dvostruka zamjena ravni projekcije (Sl. 149). Uzastopni prelazak iz jednog sistema projekcijskih ravni u drugi mora se izvršiti po sledećem pravilu: udaljenost od nove projekcije točke do nove ose mora biti jednaka udaljenosti od zamijenjene projekcije točke do zamijenjene ose.

Problem 1: Odredite prirodnu veličinu segmenta AB prava linija opštih odredbi (Sl. 148). Iz svojstva paralelne projekcije poznato je da se segment projektuje na ravan u punoj veličini ako je paralelan sa ovom ravninom.

Odaberimo novu ravan projekcije P 4 , paralelno sa segmentom AB i okomito na ravan P 1 . Uvođenjem novog aviona izlazimo iz sistema aviona P 1 P 2 u sistem P 1 P 4 , au novom sistemu ravnina projekcija segmenta A 4 IN 4 će biti prirodna vrijednost segmenta AB .

Problem 2: Odredite udaljenost od tačke A na pravu liniju u općem položaju koji je dat segmentom Ned (Sl._149).

Koncept poliedra.

Poliedri su zatvorene prostorne figure omeđene ravnim poligonima. Vrhovi i stranice poliedara su vrhovi i ivice poliedara. Oni formiraju prostornu mrežu. Ako su vrhovi i ivice poliedra na istoj strani ravni bilo koje njegove strane, tada se poliedar naziva konveksan.

Od svih raznolikosti poliedara, prizme, piramide, pravilni poliedri i njihove varijante su od najvećeg praktičnog interesa.

Poliedar, čija su dva lica n-ugla u paralelnim ravnima, a preostale n-strane su paralelogrami, naziva se n-ugaona prizma. Poliedri su osnove prizme, a paralelogrami su bočne strane prizme.

Poliedar u kojem je jedno od lica proizvoljan poligon, a preostale su trouglovi sa zajedničkim vrhom, naziva se piramida. Lice poligona naziva se osnova prizme, a trouglovi su bočne strane piramide. Zajednički vrh trouglova naziva se specijalni vrh piramide (obično samo vrh).

Ako je piramida odsječena ravninom koja je paralelna osnovici, dobićemo skraćenu piramidu.

Poliedar se naziva metrički pravilnim ako su mu sve strane pravilni poligoni. To uključuje kocku, tetraedar, oktaedar, ikosaedar, dodekaedar.

Pod slikom poliedra na crtežu podrazumijevamo sliku poliedarske površine koja ga ograničava, tj. slika ukupnosti njegovih sastavnih poliedara. Pogodno je grafički definirati jednostavnu poliedarsku površinu projekcijama njene mreže.

Izrada projekcija:

Konstrukcija projekcija poliedara

Konstrukcija projekcije poliedra na određenu ravan svodi se na konstruisanje projekcija tačaka. Na primjer, projektujući piramidu SABC na kvadrat 2 (slika 256, lijevo), gradimo projekcije vrhova S, A, B i C i, kao posljedicu, projekcije baze ABC, lica SAB, SBC, SAC, ivice SA, SB i sl.

Takođe, prilikom projektovanja trougla") sa vrhom S (Sl. 256, desno), mi, pored temena S, uzimamo jednu tačku (K, M, N) na ivicama ugla i projektujemo ih

na trgu i 2 ; Kao rezultat, dobijamo projekcije ivica i lica (ravnih uglova) trodelnog ugla i, uopšte, samog ugla.

Na sl. 257 prikazuje poliedarsko tijelo ACBB 1 D... (tj. dio prostora omeđen sa svih strana ravnim figurama - poligonima) i njegovu projekciju na kvadrat. I 1 - figura A"C"F)