Formula bočne površine cijevi. Kako pronaći površinu cilindra
Postoji veliki broj problemi vezani za cilindar. U njima morate pronaći polumjer i visinu tijela ili vrstu njegovog presjeka. Osim toga, ponekad morate izračunati površinu cilindra i njegovu zapreminu.
Koje tijelo je cilindar?
Upoznat školski program proučava se kružni cilindar, odnosno jedan u osnovi. Ali razlikuje se i eliptični izgled ove figure. Iz imena je jasno da će njegova osnova biti elipsa ili ovalna.
Cilindar ima dvije baze. Jednake su jedna drugoj i povezane su segmentima koji kombinuju odgovarajuće tačke baza. Zovu se generatori cilindra. Svi generatori su međusobno paralelni i jednaki. Oni čine bočnu površinu tijela.
Općenito, cilindar je nagnuto tijelo. Ako generatori čine pravi ugao sa bazama, onda govorimo o pravoj figuri.
Zanimljivo je da je kružni cilindar tijelo revolucije. Dobiva se rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih stranica.
Glavni elementi cilindra
Glavni elementi cilindra izgledaju ovako.
- Visina. To je najkraća udaljenost između baza cilindra. Ako je ravna, tada se visina poklapa sa generatricom.
- Radijus. Poklapa se s onim koji se može nacrtati u osnovi.
- Axis. Ovo je prava linija koja sadrži centre obje baze. Osa je uvijek paralelna sa svim generatorima. U ravnom cilindru je okomita na baze.
- Aksijalni presek. Nastaje kada cilindar siječe ravan u kojoj se nalazi os.
- Tangentna ravan. Prolazi kroz jednu od generatrisa i okomita je na aksijalni presjek, koji je povučen kroz ovu generatrisu.
Kako je cilindar spojen na prizmu upisanu u njega ili opisanu oko njega?
Ponekad postoje problemi u kojima morate izračunati površinu cilindra, ali su poznati neki elementi povezane prizme. Kako se ove brojke odnose?
Ako je prizma upisana u cilindar, tada su njene osnove jednaki poligoni. Štaviše, oni su upisani u odgovarajuće baze cilindra. Bočne ivice prizme poklapaju se sa generatorima.
Opisana prizma ima pravilne poligone u svojoj osnovi. Oni su opisani oko krugova cilindra, koji su njegove baze. Ravnine koje sadrže lica prizme dodiruju cilindar duž svojih generatora.
Na području bočne površine i osnove za desni kružni cilindar
Ako odmotate bočnu površinu, dobit ćete pravougaonik. Njegove strane će se poklapati sa generatrisom i obimom baze. Dakle, bočna površina cilindra će biti jednaka proizvodu ove dvije veličine. Ako zapišete formulu, dobit ćete sljedeće:
S strana = l * n,
gdje je n generator, l je obim.
Štoviše, posljednji parametar se izračunava pomoću formule:
l = 2 π * r,
ovdje je r polumjer kružnice, π je broj “pi” jednak 3,14.
Budući da je baza kružnica, njena površina se izračunava pomoću sljedećeg izraza:
S glavni = π * r 2 .
Na površini cijele površine desnog kružnog cilindra
Budući da je formirana od dvije baze i bočne površine, potrebno je dodati ove tri količine. Odnosno, ukupna površina cilindra će se izračunati po formuli:
S sprat = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .
Često se piše u drugačijem obliku:
S sprat = 2 π * r (n + r).
Na područjima nagnutog kružnog cilindra
Što se tiče baza, sve formule su iste, jer su i dalje kružnice. Ali bočna površina više ne proizvodi pravougaonik.
Da biste izračunali površinu bočne površine nagnutog cilindra, morat ćete pomnožiti vrijednosti generatrike i perimetra presjeka, koji će biti okomit na odabranu generatricu.
Formula izgleda ovako:
S strana = x * P,
gdje je x dužina generatrike cilindra, P je obim presjeka.
Usput, bolje je odabrati dio tako da čini elipsu. Tada će proračuni njegovog perimetra biti pojednostavljeni. Dužina elipse se izračunava pomoću formule koja daje približan odgovor. Ali često je dovoljno za zadatke školskog kursa:
l = π * (a + b),
gdje su “a” i “b” poluose elipse, odnosno udaljenost od centra do najbliže i najudaljenije tačke.
Površina cijele površine mora se izračunati pomoću sljedećeg izraza:
S sprat = 2 π * r 2 + x * R.
Koji su neki dijelovi desnog kružnog cilindra?
Kada presjek prolazi kroz osu, njegova površina se određuje kao proizvod generatrise i promjera baze. To se objašnjava činjenicom da ima oblik pravokutnika, čije se stranice poklapaju s naznačenim elementima.
Da biste pronašli površinu poprečnog presjeka cilindra koja je paralelna s aksijalnom, trebat će vam i formula za pravougaonik. U ovoj situaciji, jedna od njegovih strana i dalje će se podudarati s visinom, a druga će biti jednaka tetivi baze. Posljednji se poklapa s linijom presjeka duž baze.
Kada je presjek okomit na osu, izgleda kao krug. Štaviše, njegova površina je ista kao i baza figure.
Također je moguće ukrštati pod nekim uglom u odnosu na osu. Tada poprečni presjek rezultira ovalnim ili njegovim dijelom.
Problemi sa uzorcima
Zadatak br. 1. Dat je ravan cilindar čija je površina osnove 12,56 cm 2 . Treba izračunati puna površina cilindar ako je njegova visina 3 cm.
Rješenje. Potrebno je koristiti formulu za ukupnu površinu kružnog ravnog cilindra. Ali nedostaju podaci, naime radijus baze. Ali površina kruga je poznata. Iz ovoga je lako izračunati radijus.
Ispada da je jednak kvadratnom korijenu količnika, koji se dobiva dijeljenjem površine baze s pi. Nakon dijeljenja 12,56 sa 3,14, rezultat je 4. Kvadratni korijen od 4 je 2. Prema tome, radijus će imati ovu vrijednost.
Odgovor: S pod = 50,24 cm 2.
Zadatak br. 2. Cilindar polumjera 5 cm seče ravninom koja je paralelna s osi. Udaljenost od presjeka do ose je 3 cm Visina cilindra je 4 cm.
Rješenje. Oblik poprečnog presjeka je pravougaonog oblika. Jedna od njegovih strana poklapa se sa visinom cilindra, a druga je jednaka tetivi. Ako je prva veličina poznata, onda treba pronaći drugu.
Da biste to učinili, potrebno je napraviti dodatnu konstrukciju. Na bazi crtamo dva segmenta. Obojica će početi u centru kruga. Prvi će završiti u centru tetive i jednak je poznatoj udaljenosti do ose. Drugi je na kraju akorda.
Dobićete pravougli trougao. U njemu su poznati hipotenuza i jedan od krakova. Hipotenuza se poklapa sa radijusom. Drugi krak je jednak polovini tetive. Nepoznati krak pomnožen sa 2 će dati željenu dužinu akorda. Izračunajmo njegovu vrijednost.
Da biste pronašli nepoznati krak, morat ćete kvadrirati hipotenuzu i poznatu nogu, oduzeti drugu od prve i uzeti kvadratni korijen. Kvadrati su 25 i 9. Njihova razlika je 16. Nakon uzimanja kvadratnog korijena, ostaje 4 Ovo je željena noga.
Tetiva će biti jednaka 4 * 2 = 8 (cm). Sada možete izračunati površinu poprečnog presjeka: 8 * 4 = 32 (cm 2).
Odgovor: S krst je jednak 32 cm 2.
Zadatak br. 3. Potrebno je izračunati aksijalnu površinu poprečnog presjeka cilindra. Poznato je da je u nju upisana kocka sa ivicom od 10 cm.
Rješenje. Aksijalni presjek cilindra poklapa se s pravokutnikom koji prolazi kroz četiri vrha kocke i sadrži dijagonale njegovih baza. Stranica kocke je generatriksa cilindra, a dijagonala baze poklapa se sa prečnikom. Umnožak ove dvije količine dat će područje koje trebate pronaći u zadatku.
Da biste pronašli promjer, morat ćete koristiti znanje da je osnova kocke kvadrat, a njegova dijagonala čini jednakostranični pravougaonog trougla. Njegova hipotenuza je željena dijagonala figure.
Da biste ga izračunali, trebat će vam formula Pitagorine teoreme. Morate kvadrirati stranu kocke, pomnožiti je sa 2 i uzeti kvadratni korijen. Deset na drugi stepen je sto. Pomnoženo sa 2 je dvije stotine. Kvadratni korijen od 200 je 10√2.
Presjek je opet pravougaonik sa stranicama 10 i 10√2. Njegova površina se može lako izračunati množenjem ovih vrijednosti.
Odgovori. S presek = 100√2 cm 2.
Naziv nauke "geometrija" preveden je kao "zemljino merenje". Nastao je zahvaljujući naporima prvih drevnih zemljoposjednika. A dogodilo se ovako: tokom poplava svetog Nila potoci vode ponekad su ispirali granice poljoprivrednih parcela, a nove granice se možda neće poklapati sa starim. Poreze su plaćali seljaci u blagajnu faraona srazmjerno veličini zemljišne parcele. Posebni ljudi su bili uključeni u mjerenje površina obradivog zemljišta unutar novih granica nakon izlivanja. Kao rezultat njihovih aktivnosti nastala je nova nauka koja se razvila u Ancient Greece. Tamo je dobio ime i praktično stekao moderan izgled. Kasnije je termin postao međunarodno ime za nauku o ravnim i trodimenzionalnim figurama.
Planimetrija je grana geometrije koja se bavi proučavanjem ravnih figura. Druga grana nauke je stereometrija, koja ispituje svojstva prostornih (volumetrijskih) figura. Takve brojke uključuju onu opisanu u ovom članku - cilindar.
Primjeri prisutnosti cilindričnih objekata u svakodnevni život dosta. Gotovo svi rotirajući dijelovi - osovine, čahure, rukavci, osovine itd. - imaju cilindrični (mnogo rjeđe - konusni) oblik. Cilindar se takođe široko koristi u građevinarstvu: tornjevi, nosači, ukrasni stubovi. I posuđe, neke vrste ambalaže, cijevi raznih promjera. I na kraju - poznati šeširi, koji su odavno postali simbol muške elegancije. Lista se nastavlja i nastavlja.
Definicija cilindra kao geometrijske figure
Cilindar (kružni cilindar) obično se naziva figura koja se sastoji od dva kruga, koji se, po želji, kombiniraju paralelnim prijevodom. Ovi krugovi su osnove cilindra. Ali linije (ravne segmente) koje povezuju odgovarajuće tačke nazivaju se "generatori".
Važno je da su osnovice cilindra uvijek jednake (ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda imamo krnji konus, nešto drugo, ali ne i cilindar) i da su u paralelnim ravnima. Segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke na kružnicama su paralelni i jednaki.
Skup beskonačnog broja generatrisa nije ništa drugo do bočna površina cilindra - jedan od elemenata date geometrijske figure. Njegova druga važna komponenta su krugovi o kojima smo gore govorili. Zovu se baze.
Vrste cilindara
Najjednostavniji i najčešći tip cilindra je kružni. Sastoji se od dva pravilna kruga koji djeluju kao baze. Ali umjesto njih mogu biti druge figure.
Osnove cilindara mogu formirati (pored krugova) elipse i druge zatvorene figure. Ali cilindar ne mora nužno imati zatvoreni oblik. Na primjer, baza cilindra može biti parabola, hiperbola ili neka druga otvorena funkcija. Takav cilindar će biti otvoren ili raspoređen.
Prema kutu nagiba cilindara koji formiraju baze mogu biti ravni ili kosi. Za ravan cilindar, generatrise su strogo okomite na ravan baze. Ako je ovaj ugao drugačiji od 90°, cilindar je nagnut.
Šta je površina revolucije
Ravni kružni cilindar je bez sumnje najčešća površina rotacije koja se koristi u inženjerstvu. Ponekad se iz tehničkih razloga koriste konusne, sferne i neke druge vrste površina, ali 99% svih rotirajućih osovina, osovina itd. izrađuju se u obliku cilindara. Da bismo bolje razumjeli što je okretna površina, možemo razmotriti kako se formira sam cilindar.
Recimo da postoji određena prava linija a, smještena okomito. ABCD je pravougaonik čija jedna stranica (odsječak AB) leži na pravoj a. Ako zakrenemo pravougaonik oko prave linije, kao što je prikazano na slici, zapremina koju će on zauzimati dok se okreće biće naše telo rotacije - pravi kružni cilindar visine H = AB = DC i poluprečnika R = AD = BC.
U ovom slučaju, kao rezultat rotacije figure - pravokutnika - dobiva se cilindar. Rotacijom trougla možete dobiti konus, rotacijom polukruga - loptu itd.
Površina cilindra
Da bi se izračunala površina običnog desnog kružnog cilindra, potrebno je izračunati površine baza i bočnih površina.
Prvo, pogledajmo kako se izračunava bočna površina. Ovo je proizvod obima cilindra i visine cilindra. Opseg je, pak, jednak dvostrukom proizvodu univerzalnog broja P po poluprečniku kružnice.
Poznato je da je površina kruga jednaka proizvodu P po kvadratnom radijusu. Dakle, dodavanjem formula za područje određivanja bočne površine sa dvostrukim izrazom za površinu baze (postoje ih dvije) i jednostavnim algebarskim transformacijama, dobijamo konačni izraz za određivanje površine površina cilindra.
Određivanje zapremine figure
Volumen cilindra određuje se prema standardnoj shemi: površina baze se množi s visinom.
Dakle, konačna formula izgleda ovako: željena vrijednost je definirana kao proizvod visine tijela univerzalnim brojem P i kvadratom polumjera baze.
Rezultirajuća formula, mora se reći, primjenjiva je na rješavanje najneočekivanijih problema. Na isti način kao i zapremina cilindra, na primjer, određuje se volumen električnih instalacija. Ovo može biti potrebno za izračunavanje mase žica.
Jedina razlika u formuli je da umjesto polumjera jednog cilindra postoji prečnik žice ožičenja podijeljen na pola i broj žica u žici se pojavljuje u izrazu N. Također, umjesto visine, koristi se dužina žice. Na ovaj način, volumen "cilindra" se ne izračunava samo po jednom, već po broju žica u pletenici.
Takvi proračuni su često potrebni u praksi. Uostalom, značajan dio posuda za vodu napravljen je u obliku cijevi. I često je potrebno izračunati zapreminu cilindra čak iu domaćinstvu.
Međutim, kao što je već spomenuto, oblik cilindra može biti različit. A u nekim slučajevima je potrebno izračunati koliki je volumen nagnutog cilindra.
Razlika je u tome što se površina baze ne množi s dužinom generatrike, kao u slučaju ravnog cilindra, već s razmakom između ravnina - okomitim segmentom koji je izgrađen između njih.
Kao što se može vidjeti sa slike, takav segment jednak proizvodu dužina generatrise po sinusu ugla nagiba generatrise prema ravni.
Kako napraviti razvoj cilindra
U nekim slučajevima potrebno je izrezati cilindar. Na slici ispod prikazana su pravila po kojima se konstruira blank za proizvodnju cilindra zadane visine i promjera.
Imajte na umu da je crtež prikazan bez šavova.
Razlike između zakošenog cilindra
Zamislimo određeni pravi cilindar, omeđen s jedne strane ravninom koja je okomita na generatore. Ali ravan koja ograničava cilindar s druge strane nije okomita na generatore i nije paralelna s prvom ravninom.
Na slici je prikazan zakošeni cilindar. Avion A pod određenim uglom, različitim od 90° prema generatorima, siječe figuru.
Ovaj geometrijski oblik se u praksi češće sreće u obliku cevovodnih priključaka (koljena). Ali postoje čak i zgrade izgrađene u obliku zakošenog cilindra.
Geometrijske karakteristike zakošenog cilindra
Nagib jedne od ravnina zakošenog cilindra malo mijenja postupak izračunavanja i površine takve figure i njenog volumena.
Površina cilindra. U ovom članku ćemo pogledati zadatke vezane za površinu. Blog je već pokrio zadatke sa tijelom rotacije kao što je konus. Cilindar takođe pripada tijelima revolucije. Što je potrebno i potrebno znati o površini cilindra? Pogledajmo razvoj cilindra:
Gornja i donja osnova su dva jednaka kruga:
Bočna površina je pravougaonik. Štaviše, jedna strana ovog pravokutnika je jednaka visini cilindra, a druga je jednaka obimu baze. Da vas podsjetim da je obim kruga:
Dakle, formula za površinu cilindra je:
*Nema potrebe da učite ovu formulu! Dovoljno je znati formule za površinu kruga i dužinu njegovog obima, tada uvijek možete zapisati navedenu formulu. Važno je razumjeti! Razmotrimo zadatke:
Obim osnove cilindra je 3. Bočna površina je 6. Nađite visinu i površinu cilindra (pretpostavite da je Pi 3,14 i zaokružite rezultat na najbližu desetinu).
Ukupna površina cilindra:
Dati su obim baze i bočna površina cilindra. Odnosno, dana nam je površina pravokutnika i jedna od njegovih stranica, moramo pronaći drugu stranu (ovo je visina cilindra):
Potreban je radijus i tada možemo pronaći navedenu oblast.
Obim baze je jednak tri, tada pišemo:
Dakle
Zaokružujući na najbližu desetinu dobijamo 7,4.
Odgovor: h = 2; S = 7,4
Bočna površina cilindra je 72Pi, a prečnik baze je 9. Nađite visinu cilindra.
Sredstva
Odgovor: 8
Bočna površina cilindra je 64Pi, a visina 8. Pronađite prečnik baze.
Bočna površina cilindra se nalazi po formuli:
Prečnik je jednak dva radijusa, što znači:
Odgovor: 8
27058. Poluprečnik osnove cilindra je 2, a visina 3. Nađite površinu bočne površine cilindra podijeljenu sa Pi.
27133. Obim osnove cilindra je 3, visina je 2. Nađite površinu bočne površine cilindra.
Formula radijusa cilindra:
gdje je V zapremina cilindra, h visina
Cilindar je geometrijsko tijelo koje se dobija rotacijom pravougaonika oko njegove stranice. Također, cilindar je ograničeno tijelo cilindrična površina i dvije paralelne ravni koje ga seku. Ova površina nastaje kada se prava linija kreće paralelno sa sobom. U ovom slučaju, odabrana tačka prave se kreće duž određene ravninske krive (vodiče). Ova prava linija se naziva generator cilindrične površine.
Formula radijusa cilindra:
gdje je Sb bočna površina, h visina
Cilindar je geometrijsko tijelo koje se dobija rotacijom pravougaonika oko njegove stranice. Također, cilindar je tijelo ograničeno cilindričnom površinom i dvije paralelne ravni koje ga seku. Ova površina nastaje kada se prava linija kreće paralelno sa sobom. U ovom slučaju, odabrana tačka prave se kreće duž određene ravninske krive (vodiče). Ova prava linija se naziva generator cilindrične površine.
Formula radijusa cilindra:
gdje je S ukupna površina, h visina
To je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravnima i cilindričnom površinom.
Cilindar se sastoji od bočne površine i dvije baze. Formula za površinu cilindra uključuje odvojeno izračunavanje površine baze i bočne površine. Budući da su baze u cilindru jednake, njegova ukupna površina će se izračunati po formuli:
Razmotrit ćemo primjer izračunavanja površine cilindra nakon što znamo sve potrebne formule. Prvo nam je potrebna formula za površinu baze cilindra. Budući da je osnova cilindra krug, morat ćemo primijeniti: 
Podsjećamo da se u ovim proračunima koristi konstantni broj Π = 3,1415926, koji se izračunava kao omjer obima kruga i njegovog prečnika. Ovaj broj je matematička konstanta. Također ćemo pogledati primjer izračunavanja površine baze cilindra malo kasnije.
Bočna površina cilindra
Formula za površinu bočne površine cilindra je proizvod dužine baze i njegove visine:
Pogledajmo sada problem u kojem trebamo izračunati ukupnu površinu cilindra. Na datoj slici visina je h = 4 cm, r = 2 cm. Nađimo ukupnu površinu cilindra.
Prvo, izračunajmo površinu baza:
Pogledajmo sada primjer izračunavanja površine bočne površine cilindra. Kada se proširi, predstavlja pravougaonik. Njegova površina se izračunava korištenjem gornje formule. Zamenimo sve podatke u njega:
Ukupna površina kruga je zbir dvostruke površine baze i stranice:
Tako smo, koristeći formule za površinu baza i bočne površine figure, uspjeli pronaći ukupnu površinu cilindra.
Aksijalni presjek cilindra je pravougaonik u kojem su stranice jednake visini i prečniku cilindra.
Formula za aksijalnu površinu poprečnog presjeka cilindra izvedena je iz formule za izračunavanje: