Kvartil- jedna od statistika koja se koristi za opisivanje uzoraka (za više informacija o raznim statistikama, pogledajte). Dok medijan dijeli uređeni niz na pola, kvartili dijele skup podataka na četiri dijela. Prvi kvartil je broj koji dijeli uzorak na dva dijela: 25% elemenata je manje od, a 75% veće od vrijednosti prvog kvartila. Treći kvartil je broj koji također dijeli uzorak na dva dijela: 75% elemenata je manje od, a 25% veće od trećeg kvartila.

Rice. 1. Sažeci od 5 brojeva: M – medijana, H1 i H2 – nabori (poznati kao kvartili)

Preuzmite bilješku u ili formatu, primjere u formatu (datoteka sadrži VBA kod).

Za izračunavanje kvartila u programu Excel 2007 i starijim verzijama korištena je funkcija QUARTILE. Počevši od Excela 2010, koriste se dvije funkcije: QUARTILE.ON i QUARTILE.EXC (funkcija QUARTILE je zadržana radi kompatibilnosti s ranijim verzijama Excela; ova funkcija vraća iste vrijednosti kao QUARTILE.ON). Ove dvije funkcije vraćaju različite vrijednosti, ali nigdje nisam našao koji algoritam koriste u svojim proračunima. Imajte na umu da za ispravan rad funkcija podaci ne moraju biti naručeni.

Proučavanje literature pokazalo je da, za razliku od većine drugih statistika, ne postoji konsenzus o metodologiji za izračunavanje kvartila)) Pronašao sam spominjanje devet različitih pristupa...

Počnimo sa John Tukey metoda, koju je opisao u svom sada već klasičnom radu, objavljenom 1977. Počinje uvođenjem tri sažetka koji karakteriziraju uzorak: minimalne, maksimalne vrijednosti i medijan. On nastavlja: „Ako želimo da dodamo još dva broja da formiramo sažetak od 5 brojeva, onda je prirodno da ih odredimo brojanjem do polovine udaljenosti od svakog kraja do medijane. Proces pronalaženja medijane, a zatim i ovih novih vrijednosti može se zamisliti kao savijanje lista papira. Stoga je prirodno nazvati ove nove vrijednosti nabori"(engleski – šarka; sl. 1). Zovemo ih kvartili.

Takvi crteži izgledaju vrlo uredno ako je broj elemenata uzorka N = 4k + 1, na primjer, 9, 13, 17... Ali šta ako u uzorku ima 12 ili 19 elemenata? Jon Peltier je predstavio jasnu sliku u nizu postova na svom blogu. Složimo elemente slučajnog uzorka i postavimo ih iznad ravnala (slika 2; slučajni uzorak čiji su elementi uređeni naziva se varijacioni niz). Sivi brojevi ispod lenjira su indeks serije (iz nekog razloga Džon je uzeo niz celih brojeva kao uzorak iznad lenjira; verovatno da bi nas zbunio). Crveni broj iznad reda je zbirna vrijednost; ako je razlomak, onda je rezultujuća vrijednost interpolacija između susjednih vrijednosti. Medijan definiramo kao srednju vrijednost skupa podataka, a prvi kvartil kao medijan donje polovine podataka.

Rice. 2. Inkluzivni kvartili

Kada je John Tukey prvi put predložio ovaj pristup, odlučio je da medijan (ako je broj elemenata u uzorku neparan) treba uključiti iu donju (lijevu na slici) i gornju polovicu podataka prilikom određivanja medijana tih polovice, odnosno nabore. Stoga se ovaj pristup naziva inkluzivnim (sa uključivanjem).

Ekskluzivni pristup. Neki statističari ne vole činjenicu da se medijana broji dvaput. Odlučili su da nabore treba definirati kao medijan gornje i donje polovice skupa podataka, iz kojih je vrijednost medijane isključena (slika 3). Ovo gledište zastupali su Moore i McCabe, ili skraćeno M&M. Ako skup podataka sadrži paran broj vrijednosti, inkluzivni i isključivi kvartili su jednaki jer ne postoji element uzorka (koji odgovara središnjoj medijani) koji bi se uključio ili isključio iz razmatranja. Za neparan broj elemenata, inkluzivni nabori su uvijek bliži medijani.

Rice. 3. Ekskluzivni kvartili

Treći pristup, kompromis između Tukeya i M&M-a, naziva se empirijska distribucijska funkcija ili Kumulativna funkcija distribucije(engleska skraćenica CDF). Ako postoji neparan broj vrijednosti u skupu podataka, trebali biste uključiti ili isključiti medijanu, osiguravajući da preostale polovice sadrže neparan broj elemenata. Na primjer, ako u uzorku ima 9 elemenata, treba uključiti medijan, a ako ima 11 elemenata, treba ga isključiti. U oba slučaja, polovice će sadržavati 5 elemenata. Prednost ovog kompromisa je u tome što je kvartilna vrijednost uvijek jedan od elemenata u skupu podataka (a ne prosjek dva susjedna elementa). CDF je zadana metoda u SAS statističkom paketu.

Svi mogući slučajeviN. Ne možemo uvijek iscrtati podatke u obliku slova W kao na sl. 1, pa je prikladnije koristiti ravnalo. Generalno, postoje četiri opcije za broj elemenata u uzorku: N = 4k, N = 4k + 1, N = 4k + 2, N = 4k + 3... i tri pristupa izračunavanju kvartila: Tukey, M&M , CDF (sl. 4 –7).

Rice. 4. Broj elemenata u uzorku N = 4k; sve tri metode daju iste kvartilne vrijednosti

Rice. 5. Broj elemenata u uzorku N = 4k + 1; M&M daje vrijednosti dalje od medijane

Rice. 6. Broj elemenata u uzorku N = 4k + 2; sve tri metode daju iste kvartilne vrijednosti

Rice. 7. Broj elemenata u uzorku N = 4k + 3

Metode interpolacije. Pored tri gore opisane metode, koriste se i brojni indeksni algoritmi. Pogledaćemo tri od njih. Prvi indeks u svim metodama je 0, a posljednji je N–1, N, N + 1. Na primjer, za N=8 indeksirane serije su prikazane na Sl. 8.

Percentilna pozicija r– dio dužine indeksne linije, odnosno p(N–1), pN, p(N+1). p = 0,25 odgovara prvom kvartilu, a p = 0,75 trećem. Ispod je vizuelni prikaz izračunavanja kvartila za različit broj elemenata u uzorku i tri interpolacione metode zasnovane na N–1, N i N + 1 (sl. 9, 11–13). Imajte na umu da izračunati brojevi (koristeći formule desno od ravnala) nisu kvartilne vrijednosti, već vrijednosti kvartilnih indeksa. Iznad traka je prikazana kvartilna vrijednost za određeni broj vrijednosti (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Rice. 9. Broj elemenata u uzorku N = 4k

Ako je, na primjer, naš uzorak (2, 3, 5, 8, 11, 12, 14, 17), tada će izračunavanje kvartila na osnovu N–1 metode dati indekse 1,75, 3,5 i 5,25, a vrijednosti kvartile 4.5, 9.5 i 12.5 (slika 10).

Rice. 10. Od indeksa do kvartilnih vrijednosti za metodu N–1 i N = 4k

Rice. 11. Broj elemenata u uzorku N = 4k + 1

Rice. 12. Broj elemenata u uzorku N = 4k + 2

Rice. 13. Broj elemenata u uzorku N = 4k + 3

Koji se algoritam smatra standardnim za izračunavanje kvartila?

Godine 1996. Rob J. Hindman i Yanan Fan objavili su članak u American Statistician pod naslovom Kvantili uzorka u statističkim paketima. U njemu su razmatrali različite algoritme za izračunavanje kvantila (kvartili su poseban slučaj kvantila). Njihov cilj je bio da specificiraju metodologiju koja bi mogla postati standard za dobavljače statističkog softvera tako da izračunavanje kvartila bude nezavisno od tipa paketa. U članku su opisali devet metoda za izračunavanje kvantila. Tabela prikazuje neke statističke pakete i algoritme koje oni koriste (Slika 14; tabela, ovaj odeljak napomene i VBA kod u nastavku su zasnovani na tekstu sa veb lokacije Bacon Bits). Imajte na umu da R i Maple pokrivaju čitav niz algoritama.

Rice. 14. Algoritmi koji se koriste u statističkim paketima

Inače, Hindman i Phan su svoj rad zaključili preporukom metode 8 kao standarda za statističke pakete. Po njihovom mišljenju, ova metoda kvantilne procjene ne zavisi od distribucije, što je čini najpogodnijom za proračun.

Izračunavanje kvartila u Excelu

Excel funkcija QUARTILE.EXC koristi sljedeću formulu za izračunavanje kvartila:

Gdje Q str – str kvantil: str= 0 – za minimalnu vrijednost, 0,25 – za prvi kvartil, 0,5 – za medijanu, 0,75 – za treći kvartil, 1 – za maksimalnu vrijednost;

x– kvantilni indeks (može biti frakcijski); x = (n+1)p, Gdje n– broj elemenata u uzorku; obratite pažnju na (n+1) , zato se metoda naziva N+1-interpolacija;

i– indeks elementa u naređenom izboru; najveća cjelina je još uvijek manja od x;

A 1 , A 2 , …, A i, A i +1 , …, A n– elementi slučajnog uzorka, poredani uzlaznim redom.

Formula za QUARTILE.IN razlikuje se samo u metodi izračuna x: x = (n-1)p+1; obratite pažnju na (n–1) , pa se metoda naziva N–1 interpolacija. Više detalja o tome kako formule rade možete pronaći u priloženoj Excel datoteci na listu Formule.

Izračunavanje kvartila u R i SAS

Funkcija kvantil u R koristi svih devet kvantilnih algoritama, slijedeći numeraciju koju su predložili Hyndman i Fan 1996. (Slika 15; ako niste upoznati sa R, preporučujem da počnete sa ). Kvantil za i-tu metodu izračunavanja:

Rice. 15. Izračunajte kvartile u R na devet načina

Izračunavanje kvartila u Excelu koristeći bilo koju metodu koristeći VBA

Ispod je kod za prilagođenu funkciju koja vam omogućava da reprodukujete bilo koju od šest metoda navedenih u tabeli na Sl. 14. Čak i ako imate Excel 2007 i funkcija QUARTILE.EXC vam nije dostupna, možete izračunati kvartil koristeći šestu metodu koristeći ovu funkciju.

Kvantil funkcije (MyRange As Range, p As Double, Optional m As Variant) "Mike Alexander: www.datapigtechnologies.com "Zasnovano na kodu koji je originalno objavio Jerry W. Lewis (bivši MVP Excel) "******** **************************************** ********** * "Ova funkcija će replicirati različite kvantilne kalkulacije pronađene "u statističkim softverskim paketima "Izračun je određen Hyndman-Fan metodom. "Hyndman-Fan metoda 4 Replika: "SAS(PCTLDEF=1), R(tip=4), Javor(metod=3) "Hyndman-Fan metoda 5 Replika: R(tip=5), Javor(metod=4) "Hyndman-Fan metoda 6 Replika: Excel(QUARTILE.EXC), SAS(PCTLDEF=4), "R(tip=6), Minitab, SPSS, BMDP, JMP, Maple(metod=5) "Hyndman-Fan metoda 7 Replikacije: Excel (QUARTILE i QUARTILE.INC), "R(tip=7), S-Plus, Maxima, Maple(metod=6) "Hyndman-Fan metoda 8 Replika: R(tip=8), Maple(metod= 7) "Hyndman-Fan metoda 9 ponavljanja: R(tip=9), javor(metod=8) "************************** ********************************************* "Funkcija poziva iz Excel Spreadhseet-a unosom "=Kvantil(Raspon, p, m) "Unesite p kao udio populacije "(.25 za kvartil 1, .75 za kvartil 3, itd....) "Unesite m kao Hyndman-Fan kvantil broj metode (4, 5, 6, 7, 8 ili 9) "Ako je m ostavljeno prazno, funkcija će po defaultu koristiti metod 6 "******************** **************************************** * Dim n As Long Dim i As Long Dim QDef As Double Dim x As Double "Identifikujte metodu i postavite interpolacionu osnovu koja se koristi Odaberite Case m Case Is = 4 QDef = 0 Case Is = 5 QDef = 0,5 Case Is = 6 QDef = p Case Is = 7 QDef = 1 - p Case Is = 8 QDef = (p + 1) / 3 Slučaj Is = 9 QDef = (p + 1,5) / 4 Drugi slučaj "Koristi Hyndman-Fan 6 prema zadanim postavkama QDef = p Kraj Odaberite "Broj vrijednosti unutar MyRange i izračunajte potrebni indeks pozicije n = WorksheetFunction.Count(MyRange) x = n * p + QDef i = WorksheetFunction.Max(WorksheetFunction.Min(Fix(x), n), 1) "Izvrši interpolaciju i vrati odgovor Ako (x - i) >= 0 I i< n Then Quantile = (1 - (x - i)) * WorksheetFunction.Small(MyRange, i) + _ (x - i) * WorksheetFunction.Small(MyRange, i + 1) Else Quantile = WorksheetFunction.Small(MyRange, i) End If End Function

Kvantil funkcije (MyRange kao raspon, p kao dvostruko, opcionalno m kao varijanta) „Mike Alexander: www.datapigtechnologies.com " Na osnovu koda koji je originalno objavio Jerry W. Lewis (bivši MVP Excel) "********************************************************************* " Ova funkcija će replicirati različite pronađene kvantilne kalkulacije "u statističkim softverskim paketima. „Izračun je određen metodom Hyndman – Fan. "Hyndman-Fan metoda 4 replika: "SAS (PCTLDEF = 1), R (tip = 4), Javor (metod = 3) "Hyndman-Fan metoda 5 ponavljanja: R(tip=5), javor(metod=4) "Hyndman - metoda ventilatora 6 replika: Excel (QUARTILE. EXC), SAS (PCTLDEF = 4), "R(tip=6), Minitab, SPSS, BMDP, JMP, Maple(metod=5) "Hyndman - metoda ventilatora 7 replika: Excel (QUARTILE i QUARTILE. INC), "R(tip=7), S-Plus, Maxima, Javor(metod=6) "Hyndman - metoda ventilatora 8 replika: R (tip = 8), javor (metod = 7) "Hyndman-Fan metoda 9 ponavljanja: R(tip=9), javor(metod=8) " * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * "Pozovite funkciju iz Excel Spreadhseet unosom " = Kvantil (Raspon, p, m) „Unesite p kao udio stanovništva "(. 25 za kvartil 1, . 75 za kvartil 3, itd. . .) "Unesite m kao broj metode Hyndman-Fan Quantile (4, 5, 6, 7, 8 ili 9) " Ako je m ostavljeno prazno, funkcija će po defaultu koristiti metodu 6 "********************************************************************** Dim n As Long Dim i As Long Dim QDef As Double Dim x As Double " Identifikujte metodu i postavite interpolacionu osnovu koja se koristi Odaberite Case m Slučaj je = 4 QDef = 0 Slučaj je = 5 QDef = 0,5 Slučaj je = 6 QDef = str Slučaj je = 7 QDef = 1 - str Slučaj je = 8 QDef = (p + 1) / 3 Funkcija radnog lista Krajnja funkcija

Nakon što zalijepite kod u standardni modul knjige, možete koristiti funkciju (slika 16): =Quantile(MyRange; P; M), gdje je MyRange opseg koji uključuje uzorak (možete ga ostaviti neuređenim); P – statistika: 0 – minimum, 0,25 – 1. kvartil, 0,5 – medijan, 0,75 – 3. kvartil, 1 – maksimum; moguće je unijeti druge vrijednosti u rasponu od 0 do 1; M – broj metode iz tabele na sl. 14.

Rice. 16. Sintaksa korisničke funkcije Kvantil

Tabela (slika 17) prikazuje izračunavanje kvartila za sve metode. Obratite pažnju na to kako Metoda 8 (koju Hindman i Phan preporučuju kao standard) izračunava kvartile koje spadaju između vrijednosti izračunatih Metodama 6 i 7. Zaista, Metoda 8 proizvodi najizbalansiraniji skup kvartila.

Rice. 17. Kvartilne vrijednosti izračunate različitim metodama

Poređenje algoritama za izračunavanje kvartila

De facto standard za izračunavanje kvartila u statističkim paketima i Excel-u je metoda 6 zasnovana na N+1 interpolaciji. Ako želite da vaši podaci budu konzistentni u različitim alatima, koristite ovu metodu. U Excelu čini osnovu funkcije QUARTILE.EX. Nažalost, ova metoda rezultira proširenjem interkvartilnog raspona. Za naš primjer (slika 17) od 13.0 do 15.5. Ako uporedimo svih pet metoda proračuna (slika 18), možemo vidjeti da minimalni interkvartilni raspon odgovara metodi 7, a maksimalni metodi 6. Pogledaćemo na šta to utiče u bilješci. Ako koristite samo Excel, preporučujem metod 7 zasnovan na N–1 interpolaciji. Ovo će vam omogućiti da radite unutar najužeg interkvartilnog raspona.

Rice. 18. Utjecaj algoritma za izračunavanje kvartila na interkvartilni raspon; brojevi od 5 do 9 – brojevi metoda

Formule u Excelu su njegova glavna suština, zato je ovaj program kreirao Microsoft. Formule vam omogućavaju da izračunate vrijednosti ćelija na osnovu podataka iz drugih ćelija, a ako se izvorni podaci promijene, rezultat proračuna u ćeliji u kojoj je formula upisana će se automatski ponovo izračunati!

Kreiranje formula u Excel-u

Pogledajmo kako formule rade koristeći najjednostavniji primjer - zbir dva broja. Neka se u jednu ćeliju Excela unese broj 2, a u drugu 3. Potrebno je da se zbir ovih brojeva pojavi u trećoj ćeliji.

Zbir 2 i 3 je, naravno, 5, ali ne morate ručno unositi 5 u sljedeću ćeliju, inače se gubi smisao proračuna u Excelu. Morate unijeti formulu sume u ćeliju sa zbrojem i tada će program automatski izračunati rezultat.

U primjeru, izračun izgleda jednostavno, ali kada su brojevi veliki ili razlomci, jednostavno ne možete bez formule.

Formule u Excel-u mogu sadržavati aritmetičke operacije (sabiranje +, oduzimanje -, množenje *, dijeljenje /), koordinate ćelija izvornih podataka (pojedinačno i raspon) i funkcije proračuna.

Razmotrite formulu za zbir brojeva u gornjem primjeru:

ZBIR (A2; B2)

Svaka formula počinje znakom jednakosti. Ako želite dodati formulu u ćeliju tako što ćete je napisati ručno, ovaj znak bi trebao biti napisan prvi.

Sljedeća u primjeru je funkcija SUM, što znači da je potrebno zbrojiti neke podatke, a već u zagradama funkcije, odvojene točkom i zarezom, navedeni su neki argumenti, u ovom slučaju koordinate ćelija (A2 i B2), čije se vrijednosti moraju dodati i rezultat staviti u ćeliju u kojoj je napisana formula. Ako trebate dodati tri ćelije, možete napisati tri argumenta u funkciju SUM, odvajajući ih točkom i zarezom, na primjer:

ZBIR (A4,B4,C4)

Kada trebate dodati veliki broj ćelija, navođenje svake od njih u formuli će potrajati dosta vremena, pa umjesto jednostavnog popisivanja, možete koristiti navođenje raspona ćelija:

ZBIR (B2:B7)

Opseg ćelija u Excel-u je specificiran pomoću koordinata prve i posljednje ćelije, odvojenih dvotočkom. Ovaj primjer dodaje vrijednosti ćelija počevši od ćelije B2 do ćelije B7.

Funkcije u formulama mogu se povezivati ​​i kombinovati kako je potrebno da biste dobili željeni rezultat. Na primjer, zadatak je sabrati tri broja i, ovisno o tome da li je rezultat manji od 100 ili više, pomnožiti zbroj sa faktorom 1,2 ili 1,3. Sljedeća formula će pomoći u rješavanju problema:

IF(SUM(A2:C2)

Analizirajmo rješenje problema detaljnije. Korištene su dvije funkcije IF i SUM. Funkcija IF uvijek ima tri argumenta: prvi je uslov, drugi je akcija ako je uslov tačan, treći je akcija ako je uslov netačan. Podsjećamo vas da su argumenti odvojeni tačkom i zarezom.

IF (uvjet; istina; netačno)

Uslov pokazuje da je zbir opsega ćelija A2:C2 manji od 100. Ako je tokom izračunavanja uslov ispunjen i zbir ćelija u opsegu je jednak, na primer, 98, onda će Excel izvršiti radnju specificiranu u drugom argumentu funkcije IF, tj. ZBIR (A2:C2)*1.2. Ako zbir prelazi broj 100, tada će se izvršiti akcija u trećem argumentu funkcije IF, tj. ZBIR (A2:C2)*1.3.

Ugrađene funkcije u Excel-u

U Excelu postoji ogroman broj funkcija i jednostavno je nemoguće sve znati. Neke često korišćene možete zapamtiti, ali neke će vam trebati samo povremeno i vrlo je teško zapamtiti njihovo ime, a posebno oblik snimanja.

Ali Excel ima standardni način umetanja funkcija sa njihovom kompletnom listom. Ako želite dodati funkciju u ćeliju, kliknite na ćeliju i odaberite funkciju umetanja u glavnom izborniku. Program će prikazati listu funkcija i možete odabrati onu koja je neophodna za rješavanje problema.

Da biste umetnuli funkciju u Excel 2007, odaberite stavku “Formule” u glavnom izborniku i kliknite na ikonu “Insert Function” ili pritisnite kombinaciju tipki Shift+F3 na tipkovnici.

U programu Excel 2003, funkcija se ubacuje kroz "Insert" -> "Function" meni. Kombinacija tastera Shift+F3 radi na isti način.

U ćeliji na koju je postavljen kursor pojavit će se znak jednakosti, a na vrhu lista će se pojaviti prozor "Čarobnjak za funkcije".

Funkcije u Excel-u su podijeljene u kategorije. Ako znate kojoj kategoriji vaša predviđena funkcija može pripadati, odaberite odabir prema njoj. U suprotnom, odaberite "Potpuna abecedna lista". Program će prikazati sve dostupne funkcije na listi funkcija.

Pomičite se kroz listu i pomoću miša označite naziv funkcije koja vas zanima. Odmah ispod liste pojavit će se njegov obrazac za snimanje, potrebni argumenti i kratak opis koji će vam objasniti svrhu funkcije. Kada pronađete ono što vam treba, kliknite na dugme “OK” da nastavite sa određivanjem argumenata.

U prozoru za argumente nalaze se polja pod nazivom “Broj 1”, “Broj 2” itd. Moraju biti popunjene koordinatama ćelija (ili raspona) u koje želite uzeti podatke. Možete ga popuniti ručno, ali je mnogo zgodnije kliknuti na ikonu tabele na kraju polja kako biste označili izvornu ćeliju ili opseg.

Prozor argumenata će poprimiti pojednostavljeni oblik. Sada morate kliknuti na prvu izvornu ćeliju sa podacima, a zatim ponovo na ikonu tabele u prozoru argumenata.

Polje “Broj 1” će biti popunjeno koordinatama odabrane ćelije. Isti postupak treba uraditi za polje “Broj 2” i za sljedeća polja ako imate više od dva argumenta funkcije.

Nakon što popunite sve argumente, možete pregledati rezultat izračunavanja rezultirajuće formule. Da bi se pojavio u ćeliji na radnom listu, kliknite na dugme "OK". U razmatranom primjeru ćelija D2 sadrži proizvod brojeva u ćelijama B2 i C2.

Razmatrana metoda umetanja funkcije je univerzalna i omogućava vam da dodate bilo koju funkciju sa opće liste standardnih Excel funkcija.

Sviđa mi se

Formula govori Excelu što da radi s brojevima ili vrijednostima u ćeliji ili grupi ćelija. Bez formula, proračunske tabele u principu nisu potrebne.

Konstrukcija formula uključuje: konstante, operatore, veze, funkcije, imena opsega, zagrade koje sadrže argumente i druge formule. Koristeći primjer, analizirat ćemo praktičnu primjenu formula za početnike.

Formule u Excelu za lutke

Da biste postavili formulu za ćeliju, potrebno je da je aktivirate (postavite kursor) i unesete jednako (=). Također možete unijeti znak jednakosti u traku formule. Nakon unosa formule, pritisnite Enter. Rezultat izračuna će se pojaviti u ćeliji.

Excel koristi standardne matematičke operatore:

Simbol “*” je potreban prilikom množenja. Neprihvatljivo je izostaviti, kao što je uobičajeno prilikom pismenih aritmetičkih proračuna. To jest, Excel neće razumjeti unos (2+3)5.

Excel se može koristiti kao kalkulator. Odnosno, u formulu unesite brojeve i operatore matematičkog izračuna i odmah dobijete rezultat.

Ali češće se unose adrese ćelija. Odnosno, korisnik unosi vezu na ćeliju čiju će vrijednost formula raditi.

Kada se vrijednosti u ćelijama promijene, formula automatski ponovo izračunava rezultat.

Operator je pomnožio vrijednost ćelije B2 sa 0,5. Da biste unijeli referencu ćelije u formulu, samo kliknite na tu ćeliju.

U našem primjeru:

1. Postavite kursor u ćeliju B3 i unesite =.
2. Kliknuli smo na ćeliju B2 - Excel ju je "označio" (ime ćelije se pojavilo u formuli, "treperi" pravougaonik formiran oko ćelije).
3. Unesite znak *, vrijednost 0,5 sa tastature i pritisnite ENTER.

Ako se u jednoj formuli koristi nekoliko operatora, program će ih obraditi sljedećim redoslijedom:

• %, ^;
• *, /;
• +, -.

Redoslijed možete promijeniti pomoću zagrada: Excel prvo izračunava vrijednost izraza u zagradama.



Kako odrediti konstantnu ćeliju u Excel formuli

Postoje dvije vrste referenci na ćelije: relativne i apsolutne. Prilikom kopiranja formule, ove veze se ponašaju drugačije: relativne se mijenjaju, a apsolutne ostaju konstantne.

Pronađite marker za automatsko popunjavanje u donjem desnom uglu prve ćelije kolone. Kliknite na ovu tačku lijevom tipkom miša, držite je i “povucite” je niz kolonu.

Otpustite tipku miša - formula će se kopirati u odabrane ćelije s relativnim vezama. Odnosno, svaka ćelija će imati svoju formulu sa svojim argumentima.

Interes— zgodna relativna mjera koja vam omogućava da radite s brojevima u formatu poznatom ljudima, bez obzira na veličinu samih brojeva. Ovo je vrsta skale na koju se može svesti bilo koji broj. Jedan posto je stoti dio. Sama reč posto dolazi od latinskog "pro centum", što znači "stoti dio".

Kamata je neophodna u osiguranju, finansijama i ekonomskim proračunima. Procenti izražavaju poreske stope, povrat ulaganja, naknade za pozajmljena sredstva (na primjer, bankarski krediti), stope ekonomskog rasta i još mnogo toga.

1. Formula za izračunavanje procentualnog udjela.

Neka su data dva broja: A 1 i A 2. Potrebno je odrediti koliki je procenat broja A 1 od A 2.

P = A 1 / A 2 * 100.

U finansijskim proračunima često se piše

P = A 1 / A 2 * 100%.

Primjer. Koliki je postotak 10 od 200?

P = 10 / 200 * 100 = 5 (posto).

2. Formula za izračunavanje procenta broja.

Neka je zadan broj A 2. Potrebno je izračunati broj A 1, koji je dati procenat P od A 2.

A 1 = A 2 * P / 100.

Primjer. Bankarski kredit 10.000 rubalja uz kamatu od 5 posto. Iznos kamate će biti.

P = 10000 * 5 / 100 = 500.

3. Formula za povećanje broja za dati procenat. Iznos sa PDV-om.

Neka je zadan broj A 1. Moramo izračunati broj A 2, koji je veći od broja A 1 za dati procenat P. Koristeći formulu za izračunavanje procenta broja, dobijamo:

A 2 = A 1 + A 1 * P / 100.

A 2 = A 1 * (1 + P / 100).

Primjer 1. Bankarski kredit 10.000 rubalja uz kamatu od 5 posto. Ukupan iznos duga će biti.

A 2 = 10000 * (1 + 5 / 100) = 10 000 * 1,05 = 10 500.

Primjer 2. Iznos bez PDV-a je 1000 rubalja, PDV 18 posto. Iznos sa PDV-om je:

A 2 = 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1,18 = 1180.

style="center">

4. Formula za smanjenje broja za dati procenat.

Neka je zadan broj A 1. Moramo izračunati broj A 2, koji je manji od broja A 1 za dati procenat P. Koristeći formulu za izračunavanje procenta broja, dobijamo:

A 2 = A 1 - A 1 * P / 100.

A 2 = A 1 * (1 - P / 100).

Primjer. Iznos novca za izdavanje umanjen za porez na dohodak (13 posto). Neka plata bude 10.000 rubalja. Tada je iznos koji se izdaje:

A 2 = 10000 * (1 - 13 / 100) = 10 000 * 0,87 = 8700.

5. Formula za izračunavanje početnog iznosa. Iznos bez PDV-a.

Neka je zadan broj A 1, jednak nekom početnom broju A 2 sa dodatim procentom P. Trebamo izračunati broj A 2 . Drugim riječima: znamo novčani iznos sa PDV-om, moramo izračunati iznos bez PDV-a.

Označimo p = P / 100, tada:

A 1 = A 2 + p * A 2 .

A 1 = A 2 * (1 + p).

Onda

A 2 = A 1 / (1 + p).

Primjer. Iznos sa PDV-om je 1180 rubalja, PDV 18 posto. Cijena bez PDV-a je:

A 2 = 1180 / (1 + 0,18) = 1000.

style="center">

6. Obračun kamate na depozit u banci. Formula za izračunavanje proste kamate.

Ako se kamata na depozit obračunava jednom na kraju roka oročenja, tada se iznos kamate obračunava po formuli jednostavne kamate.

S = K + (K*P*d/D)/100
Sp = (K*P*d/D)/100

gdje:
S je iznos bankovnog depozita sa kamatama,
Sp - iznos kamate (prihoda),
K - početni iznos (kapital),

d — broj dana obračuna kamate na privučeni depozit,
D je broj dana u kalendarskoj godini (365 ili 366).

Primjer 1. Banka je prihvatila depozit u iznosu od 100 hiljada rubalja na period od 1 godine po stopi od 20 posto.

S = 100000 + 100000*20*365/365/100 = 120000
Sp = 100000 * 20*365/365/100 = 20000

Primjer 2. Banka je prihvatila depozit u iznosu od 100 hiljada rubalja na period od 30 dana po stopi od 20 posto.

S = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643,84
Sp = 100000 * 20*30/365/100 = 1643,84

7. Obračun kamate na depozit u banci kod obračuna kamate na kamatu. Formula za obračun složenih kamata.

Ako se kamata na depozit obračunava više puta u redovnim intervalima i pripisuje depozitu, tada se iznos depozita sa kamatom obračunava po formuli složene kamate.

S = K * (1 + P*d/D/100) N

gdje:


P—godišnja kamatna stopa,

Prilikom obračuna složene kamate lakše je izračunati ukupan iznos sa kamatom, a zatim izračunati iznos kamate (prihoda):

Sp = S - K = K * (1 + P*d/D/100) N - K

Sp = K * ((1 + P*d/D/100) N - 1)

Primjer 1. Prihvaćen je depozit od 100 hiljada rubalja na period od 90 dana po stopi od 20 posto godišnje sa kamatom koja se obračunava svakih 30 dana.

S = 100000 * (1 + 20*30/365/100) 3 = 105 013,02
Sp = 100000 * ((1 + 20*30/365/100) N - 1) = 5 013,02

style="center">

Primjer 2. Provjerimo formulu za izračunavanje složene kamate za slučaj iz prethodnog primjera.

Podijelimo period depozita na 3 perioda i izračunajmo obračun kamate za svaki period koristeći formulu jednostavne kamate.

S 1 = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643,84
Sp 1 = 100000 * 20*30/365/100 = 1643,84

S 2 = 101643,84 + 101643,84*20*30/365/100 = 103314,70
Sp 2 = 101643,84 * 20*30/365/100 = 1670,86

S 3 = 103314,70 + 103314,70*20*30/365/100 = 105013,02
Sp 3 = 103314,70 * 20*30/365/100 = 1698,32

Ukupan iznos kamate, uzimajući u obzir obračun kamate na kamatu (složenu kamatu)

Sp = Sp 1 + Sp 2 + Sp 3 = 5013.02

Dakle, formula za obračun složene kamate je tačna.

8. Još jedna formula složene kamate.

Ako se kamatna stopa ne daje na godišnjem nivou, već direktno za obračunski period, onda formula složene kamate izgleda ovako.

S = K * (1 + P/100) N

gdje:
S—iznos depozita sa kamatama,
K - iznos depozita (kapital),
P - kamatna stopa,
N je broj kamatnih perioda.

Primjer. Prihvaćen je depozit od 100 hiljada rubalja na period od 3 mjeseca uz mjesečnu kamatu po stopi od 1,5 posto mjesečno.

S = 100000 * (1 + 1,5/100) 3 = 104.567,84
Sp = 100000 * ((1 + 1,5/100) 3 - 1) = 4.567,84

Približni proračuni pomoću diferencijala

U ovoj lekciji ćemo se baviti uobičajenim problemom o približnom izračunavanju vrijednosti funkcije pomoću diferencijala. Ovdje i dalje ćemo govoriti o diferencijalima prvog reda, radi kratkoće, često ću jednostavno reći „diferencijal“. Problem približnih proračuna korištenjem diferencijala ima strogi algoritam rješenja, pa stoga ne bi trebalo nastati posebne poteškoće. Jedina stvar je da postoje male zamke koje će takođe biti očišćene. Zato slobodno zaronite u glavu.

Pored toga, stranica sadrži formule za pronalaženje apsolutne i relativne greške proračuna. Materijal je vrlo koristan, jer se u drugim problemima moraju izračunati greške. Fizičari, gdje je vaš aplauz? =)

Da biste uspješno savladali primjere, morate biti u stanju pronaći izvode funkcija barem na srednjem nivou, pa ako ste potpuno na gubitku s diferencijacijom, počnite s lekcijom Kako pronaći derivat? Također preporučujem čitanje članka Najjednostavniji problemi sa izvedenicama, odnosno paragrafi o pronalaženju derivacije u tački I pronalaženje diferencijala u tački. Od tehničkih sredstava trebat će vam mikrokalkulator s različitim matematičkim funkcijama. Možete koristiti Excel, ali u ovom slučaju je manje zgodan.

Radionica se sastoji iz dva dela:

– Približna izračunavanja pomoću diferencijala funkcije jedne varijable.

– Približna izračunavanja koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable.

Kome šta treba? U stvari, bilo je moguće podijeliti bogatstvo na dvije gomile, iz razloga što se druga tačka odnosi na primjenu funkcija nekoliko varijabli. Ali šta da radim, volim dugačke članke.

Približne kalkulacije
koristeći diferencijal funkcije jedne varijable

Zadatak o kojem je riječ i njegovo geometrijsko značenje već su obrađeni u lekciji Šta je derivacija? , a sada ćemo se ograničiti na formalno razmatranje primjera, što je sasvim dovoljno da naučimo kako ih rješavati.

U prvom paragrafu pravila je funkcija jedne varijable. Kao što svi znaju, označava se sa ili sa . Za ovaj zadatak mnogo je zgodnije koristiti drugu notaciju. Prijeđimo odmah na popularan primjer koji se često susreće u praksi:

Primjer 1

Rješenje: Kopirajte radnu formulu za približan izračun koristeći diferencijal u svoju bilježnicu:

Počnimo da shvatimo, ovdje je sve jednostavno!

Prvi korak je kreiranje funkcije. Prema uslovu, predlaže se izračunavanje kubnog korijena broja: , pa odgovarajuća funkcija ima oblik: . Moramo koristiti formulu da pronađemo približnu vrijednost.

Hajde da pogledamo lijevoj strani formule, pa mi padne na pamet misao da broj 67 mora biti predstavljen u obliku. Koji je najlakši način da to uradite? Preporučujem sljedeći algoritam: izračunajte ovu vrijednost na kalkulatoru:
– ispalo je 4 sa repom, ovo je važna smjernica za rješenje.

Kao kvalitet biramo "dobru" vrijednost, tako da se korijen potpuno ukloni. Naravno, ova vrijednost bi trebala biti što bliže do 67. U ovom slučaju: . Zaista: .

Napomena: Kada se i dalje pojave poteškoće s odabirom, jednostavno pogledajte izračunatu vrijednost (u ovom slučaju ), uzmite najbliži cijeli broj (u ovom slučaju 4) i podignite ga na traženi stepen (u ovom slučaju ). Kao rezultat, biće izvršena potrebna selekcija: .

Ako je , tada je inkrement argumenta: .

Dakle, broj 67 je predstavljen kao zbir

Prvo, izračunajmo vrijednost funkcije u tački. Zapravo, ovo je već urađeno ranije:

Diferencijal u tački se nalazi po formuli:
- Možete ga i kopirati u svoju bilježnicu.

Iz formule proizilazi da trebate uzeti prvi izvod:

I pronađite njegovu vrijednost u tački:

ovako:

Sve je spremno! prema formuli:

Pronađena približna vrijednost je prilično blizu vrijednosti , izračunato pomoću mikrokalkulatora.

odgovor:

Primjer 2

Izračunajte približno, zamjenjujući priraštaje funkcije njenim diferencijalom.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije. Za početnike, prvo preporučujem da izračunaju točnu vrijednost na mikrokalkulatoru kako bi saznali koji se broj uzima kao , a koji kao . Treba napomenuti da će u ovom primjeru biti negativan.

Neki su se možda zapitali zašto je potreban ovaj zadatak ako se sve može mirnije i preciznije izračunati na kalkulatoru? Slažem se, zadatak je glup i naivan. Ali pokušaću da to malo opravdam. Prvo, zadatak ilustruje značenje diferencijalne funkcije. Drugo, u antičko doba, kalkulator je bio nešto poput ličnog helikoptera u modernim vremenima. I sam sam vidio kako je iz lokalnog politehničkog instituta izbačen kompjuter veličine sobe negdje 1985-86 (radio amateri su trčali iz cijelog grada sa šrafcigerima, a nakon par sati od aparata je ostalo samo kućište jedinica). Bilo je i antikviteta na našem odsjeku za fiziku i matematiku, iako su bili manji po veličini - otprilike veličine stola. Tako su se naši preci borili sa metodama približnih proračuna. Prevoz je i konjska zaprega.

Na ovaj ili onaj način, problem ostaje u standardnom kursu više matematike i moraće da se reši. Ovo je glavni odgovor na vaše pitanje =)

Primjer 3

u tački . Izračunajte precizniju vrijednost funkcije u nekoj tački pomoću mikrokalkulatora, procijenite apsolutnu i relativnu grešku izračunavanja.

Zapravo, isti zadatak, lako se može preformulisati na sljedeći način: „Izračunajte približnu vrijednost koristeći diferencijal"

Rješenje: Koristimo poznatu formulu:
U ovom slučaju, već je data gotova funkcija: . Još jednom želim da vam skrenem pažnju na činjenicu da je praktičniji za upotrebu.

Vrijednost mora biti prikazana u obliku . Pa, ovdje je lakše, vidimo da je broj 1,97 vrlo blizu "dvojci", pa se sam po sebi sugeriše. I stoga: .

Korištenje formule , izračunajmo diferencijal u istoj tački.

Nalazimo prvi izvod:

I njegova vrijednost u ovom trenutku:

Dakle, diferencijal u tački:

Kao rezultat, prema formuli:

Drugi dio zadatka je pronaći apsolutnu i relativnu grešku proračuna.

Apsolutna i relativna greška proračuna

Apsolutna greška u proračunu nalazi se po formuli:

Znak modula pokazuje da nas nije briga koja je vrijednost veća, a koja manja. važno, koliko daleko približni rezultat je odstupio od tačne vrijednosti u jednom ili drugom smjeru.

Relativna greška u proračunu nalazi se po formuli:
, ili ista stvar:

Relativna greška se pokazuje u kom procentu približni rezultat je odstupio od tačne vrijednosti. Postoji verzija formule bez množenja sa 100%, ali u praksi skoro uvijek vidim gornju verziju sa procentima.

Nakon kratke reference, vratimo se na naš problem u kojem smo izračunali približnu vrijednost funkcije korišćenjem diferencijala.

Izračunajmo tačnu vrijednost funkcije pomoću mikrokalkulatora:
, striktno govoreći, vrijednost je još uvijek približna, ali ćemo je smatrati tačnom. Takvi problemi se dešavaju.

Izračunajmo apsolutnu grešku:

Izračunajmo relativnu grešku:
, dobijene su hiljaditi dio procenta, pa je diferencijal dao samo odličnu aproksimaciju.

odgovor: , apsolutna greška proračuna, relativna greška proračuna

Sljedeći primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 4

Izračunajte približno vrijednost funkcije koristeći diferencijal u tački . Izračunajte precizniju vrijednost funkcije u datoj tački, procijenite apsolutnu i relativnu grešku proračuna.

Približan uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.

Mnogi ljudi su primijetili da se korijeni pojavljuju u svim razmatranim primjerima. Ovo nije slučajno u većini slučajeva, problem koji se razmatra zapravo nudi funkcije s korijenima.

Ali za napaćene čitaoce, iskopao sam mali primjer sa arksinom:

Primjer 5

Izračunajte približno vrijednost funkcije koristeći diferencijal u tački

Ovaj kratak, ali informativan primjer je također za vas da sami riješite. I malo sam se odmorio kako bih s obnovljenom snagom mogao razmisliti o posebnom zadatku:

Primjer 6

Izračunajte približno koristeći diferencijal, zaokružite rezultat na dvije decimale.

Rješenje:Šta je novo u zadatku? Uslov zahtijeva zaokruživanje rezultata na dvije decimale. Ali to nije poenta, mislim da vam problem zaokruživanja škole nije težak. Činjenica je da nam je data tangenta sa argumentom koji se izražava u stepenima. Šta trebate učiniti kada se od vas traži da riješite trigonometrijsku funkciju sa stupnjevima? Na primjer, itd.

Algoritam rješenja je u osnovi isti, odnosno potrebno je, kao u prethodnim primjerima, primijeniti formulu

Napišimo očiglednu funkciju

Vrijednost mora biti prikazana u obliku . Pružiće ozbiljnu pomoć tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Inače, za one koji to nisu odštampali, preporučujem da to urade, jer ćete tamo morati da gledaju tokom čitavog studija više matematike.

Analizirajući tabelu, primjećujemo "dobru" vrijednost tangente, koja je blizu 47 stepeni:

ovako:

Nakon preliminarne analize stepeni se moraju pretvoriti u radijane. Da, i samo ovako!

U ovom primjeru možete saznati direktno iz trigonometrijske tablice da je . Koristeći formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane: (formule se mogu naći u istoj tabeli).

Ono što slijedi je formulativno:

ovako: (koristimo vrijednost za proračune). Rezultat, kako to zahtijeva uvjet, zaokružuje se na dvije decimale.

odgovor:

Primjer 7

Izračunajte približno koristeći diferencijal, zaokružite rezultat na tri decimale.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano, pretvaramo stupnjeve u radijane i pridržavamo se uobičajenog algoritma rješenja.

Približne kalkulacije
koristeći potpuni diferencijal funkcije dvije varijable

Sve će biti vrlo, vrlo slično, pa ako ste došli na ovu stranicu posebno za ovaj zadatak, onda prvo preporučujem da pogledate barem nekoliko primjera iz prethodnog paragrafa.

Da biste proučili pasus morate biti u stanju pronaći parcijalni derivati ​​drugog reda, gdje bismo bili bez njih? U gornjoj lekciji označio sam funkciju dvije varijable pomoću slova . U odnosu na zadatak koji se razmatra, pogodnije je koristiti ekvivalentnu notaciju.

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, uvjet problema se može formulirati na različite načine, a ja ću pokušati razmotriti sve formulacije na koje se susrećemo.

Primjer 8

Rješenje: Bez obzira na to kako je uvjet napisan, u samom rješenju za označavanje funkcije, ponavljam, bolje je koristiti ne slovo "z", već .

A evo radne formule:

Ono što imamo pred sobom je zapravo starija sestra formule iz prethodnog paragrafa. Varijabla se samo povećala. Šta da kažem, sebe algoritam rješenja bit će u osnovi isti!

Prema uslovu, potrebno je pronaći približnu vrijednost funkcije u tački.

Predstavimo broj 3.04 u obliku . Sama lepinja traži da se pojede:
,

Predstavimo broj 3,95 kao . Došao je red na drugu polovinu Koloboka:
,

I ne gledajte sve lisičje trikove, postoji Kolobok - morate ga pojesti.

Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:

Pronalazimo diferencijal funkcije u točki koristeći formulu:

Iz formule slijedi da moramo pronaći parcijalni derivati prvog reda i izračunajte njihove vrijednosti u tački .

Izračunajmo parcijalne izvode prvog reda u tački:

Ukupni diferencijal u tački:

Dakle, prema formuli, približna vrijednost funkcije u tački:

Izračunajmo tačnu vrijednost funkcije u tački:

Ova vrijednost je apsolutno tačna.

Greške se izračunavaju pomoću standardnih formula, o kojima je već bilo riječi u ovom članku.

Apsolutna greška:

Relativna greška:

odgovor:, apsolutna greška: , relativna greška:

Primjer 9

Izračunajte približnu vrijednost funkcije u tački koristeći ukupni diferencijal, procijenite apsolutnu i relativnu grešku.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Svako ko bolje pogleda ovaj primjer primijetit će da su se greške u proračunu pokazale vrlo, vrlo uočljive. To se dogodilo iz sljedećeg razloga: u predloženom problemu priraštaji argumenata su prilično veliki: . Opšti obrazac je sljedeći: što su veći ovi priraštaji apsolutne vrijednosti, to je niža tačnost proračuna. Tako, na primjer, za sličnu tačku prirast će biti mali: , a tačnost približnih proračuna bit će vrlo visoka.

Ova karakteristika vrijedi i za slučaj funkcije jedne varijable (prvi dio lekcije).

Primjer 10

Rješenje: Izračunajmo ovaj izraz približno koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable:

Razlika od primjera 8-9 je u tome što prvo trebamo konstruirati funkciju dvije varijable: . Mislim da svi intuitivno razumiju kako je funkcija sastavljena.

Vrijednost 4,9973 je blizu "pet", dakle: , .
Vrijednost 0,9919 je blizu “jedan”, stoga pretpostavljamo: , .

Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:

Pronalazimo diferencijal u tački koristeći formulu:

Da bismo to učinili, izračunavamo parcijalne izvode prvog reda u tački.

Izvodi ovdje nisu najjednostavniji i treba biti oprezan:

;

.

Ukupni diferencijal u tački:

Dakle, približna vrijednost ovog izraza je:

Izračunajmo precizniju vrijednost pomoću mikrokalkulatora: 2,998899527

Nađimo relativnu grešku u proračunu:

odgovor: ,

Samo ilustracija gore navedenog, u razmatranom problemu, inkrementi argumenata su vrlo mali, a greška se pokazala fantastično sićušnom.

Primjer 11

Koristeći potpuni diferencijal funkcije dvije varijable, izračunajte približno vrijednost ovog izraza. Izračunajte isti izraz pomoću mikrokalkulatora. Procijenite relativnu grešku proračuna kao postotak.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Kao što je već napomenuto, najčešći gost u ovoj vrsti zadatka je neka vrsta korijena. Ali s vremena na vrijeme postoje i druge funkcije. I posljednji jednostavan primjer za opuštanje:

Primjer 12

Koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable, izračunajte približno vrijednost funkcije if

Rješenje je bliže dnu stranice. Još jednom, obratite pažnju na formulacije zadataka lekcije u različitim primjerima u praksi, formulacije mogu biti različite, ali to suštinski ne mijenja suštinu i algoritam rješenja.

Da budem iskren, bio sam malo umoran jer je materijal bio pomalo dosadan. Nije bilo pedagoški reći ovo na početku članka, ali sada je već moguće =) Zaista, problemi u računskoj matematici obično nisu baš složeni, nisu baš zanimljivi, najvažnije je, možda, ne pogriješiti u običnim proračunima.

Neka se ključevi vašeg kalkulatora ne izbrišu!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , ,

ovako:
odgovor:

Primjer 4: Rješenje: Koristimo formulu:
u ovom slučaju: , ,