Riješite sistem mijenjajući proizvoljne konstante. Metoda varijacije proizvoljnih konstanti
Razmotrimo sada linearnu nehomogenu jednačinu
. (2)
Neka je y 1 ,y 2 ,.., y n osnovni sistem rješenja i neka je opšte rješenje odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Slično kao u slučaju jednadžbi prvog reda, tražit ćemo rješenje jednačine (2) u obliku
. (3)
Uvjerimo se da rješenje u ovom obliku postoji. Da bismo to učinili, zamjenjujemo funkciju u jednadžbu. Da bismo ovu funkciju zamijenili u jednačinu, nalazimo njene derivate. Prvi izvod je jednak 
. (4)
Prilikom izračunavanja drugog izvoda, četiri člana će se pojaviti na desnoj strani od (4), kada se računa treći izvod pojavit će se osam članova i tako dalje. Stoga je, radi pogodnosti daljih proračuna, prvi član u (4) postavljen jednak nuli. Uzimajući ovo u obzir, drugi izvod je jednak 
. (5)
Iz istih razloga kao i ranije, u (5) smo također postavili prvi član jednak nuli. Konačno, n-ti izvod je 
. (6)
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvoda u originalnu jednačinu imamo 
. (7)
Drugi član u (7) jednak je nuli, jer su funkcije y j , j=1,2,..,n rješenja odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Kombinacijom sa prethodnim dobijamo sistem algebarskih jednadžbi za nalaženje funkcija C" j (x) 
(8)
Determinanta ovog sistema je determinanta Wronskog osnovnog sistema rješenja y 1 ,y 2 ,..,y n odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0 i stoga nije jednaka nuli. Posljedično, postoji jedinstveno rješenje za sistem (8). Nakon što smo ga pronašli, dobijamo funkcije C" j (x), j=1,2,…,n, i, posljedično, C j (x), j=1,2,…,n Zamjenom ovih vrijednosti u (3), dobijamo rješenje linearne nehomogene jednačine.
Navedena metoda naziva se metodom varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeovom metodom.
Primjer br. 1. Nađimo opšte rješenje jednačine y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednačinu y"" + 4y" + 3y = 0. Korijeni njene karakteristične jednačine r 2 + 4r + 3 = 0 jednaki su -1 i - 3. Dakle, osnovni sistem rješenja homogene jednačine sastoji se od funkcija y 1 = e - x i y 2 = e -3 x. Tražimo rješenje nehomogene jednačine u obliku y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Da bismo pronašli izvode C" 1 , C" 2 sastavljamo sistem jednadžbi (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
rješavajući koje, nalazimo , Integrirajući dobivene funkcije, imamo 
Konačno dobijamo
Primjer br. 2. Riješite linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima koristeći metodu varijabilnih proizvoljnih konstanti: 
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Rješenje:
Ova diferencijalna jednadžba se odnosi na linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima.
Tražit ćemo rješenje jednačine u obliku y = e rx. Da bismo to učinili, sastavljamo karakterističnu jednačinu linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Korijeni karakteristične jednadžbe: r 1 = 4, r 2 = 2
Prema tome, osnovni sistem rješenja sastoji se od funkcija: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Opće rješenje homogene jednačine ima oblik: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Tražiti određeno rješenje metodom variranja proizvoljne konstante.
Da bismo pronašli izvode od C" i sastavljamo sistem jednačina:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izrazimo C" 1 iz prve jednadžbe:
C" 1 = -c 2 e -2x
i zamijenite ga drugom. Kao rezultat dobijamo:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Dobijene funkcije C" i integriramo:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Kako je y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, zapisujemo rezultirajuće izraze u obliku:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Dakle, opšte rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ili
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Nađimo određeno rješenje pod uslovom:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Zamjenom x = 0 u pronađenu jednačinu dobijamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Nalazimo prvi izvod dobijenog opšteg rešenja:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Zamjenom x = 0 dobijamo:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Dobijamo sistem od dve jednačine:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ili
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ili
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Od: C 1 = 0, C * 2 = 2
Privatno rješenje će biti napisano kao:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Metoda varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeova metoda je još jedan način rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda i Bernoullijeve jednadžbe.
Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda su jednadžbe oblika y’+p(x)y=q(x). Ako je na desnoj strani nula: y’+p(x)y=0, onda je ovo linearna homogena Jednačina 1. reda. Prema tome, jednadžba s desnom stranom različitom od nule, y’+p(x)y=q(x), je heterogena linearna jednačina 1. red.
Metoda varijacije proizvoljne konstante (Lagrangeova metoda) je kako slijedi:
1) Tražimo opšte rješenje homogene jednačine y’+p(x)y=0: y=y*.
2) U opštem rješenju, C nije konstanta, već funkcija od x: C = C (x). Pronalazimo derivaciju opšteg rješenja (y*)’ i zamjenjujemo rezultirajući izraz za y* i (y*)’ u početni uvjet. Iz rezultirajuće jednačine nalazimo funkciju C(x).
3) U opštem rešenju homogene jednačine, umesto C, zamenjujemo pronađeni izraz C(x).
Pogledajmo primjere metode mijenjanja proizvoljne konstante. Uzmimo iste zadatke kao u, uporedimo napredak rješenja i uvjerimo se da se dobijeni odgovori poklapaju.
1) y’=3x-y/x
Prepišimo jednačinu u standardnom obliku (za razliku od Bernoullijeve metode, gdje nam je oblik notacije bio potreban samo da bismo vidjeli da je jednadžba linearna).
y’+y/x=3x (I). Sada nastavljamo prema planu.
1) Riješite homogenu jednačinu y’+y/x=0. Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama. Zamislite y’=dy/dx, zamjena: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obe strane jednačine množimo sa dx i delimo sa xy≠0: dy/y=-dx/x. Hajde da integrišemo:
2) U rezultirajućem opštem rješenju homogene jednadžbe, smatrat ćemo C ne konstantom, već funkcijom od x: C=C(x). Odavde
Dobivene izraze zamjenjujemo u uvjet (I):
Integrirajmo obje strane jednačine:
ovdje je C već neka nova konstanta.
3) U opštem rješenju homogene jednačine y=C/x, gdje smo pretpostavili C=C(x), odnosno y=C(x)/x, umjesto C(x) zamjenjujemo pronađeni izraz x³ +C: y=(x³ +C)/x ili y=x²+C/x. Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernoullijevom metodom.
Odgovor: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Ovdje je jednačina već napisana u standardnom obliku;
1) Riješite homogenu linearnu jednačinu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Hajde da integrišemo:
Da bismo dobili prikladniji oblik notacije, uzimamo eksponent na stepen C kao novi C:
Ova transformacija je izvedena da bi bilo pogodnije pronaći izvod.
2) U rezultujućem opštem rješenju linearne homogene jednadžbe, smatramo da C nije konstanta, već funkcija x: C=C(x). Pod ovim uslovom
Zamjenjujemo rezultirajuće izraze y i y' u uvjet:
Pomnožite obje strane jednačine sa
Integriramo obje strane jednačine koristeći formulu integracije po dijelovima, dobivamo:
Ovdje C više nije funkcija, već obična konstanta.
3) U opštem rešenju homogene jednačine
zamijeni pronađenu funkciju C(x):
Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernoullijevom metodom.
Metoda varijacije proizvoljne konstante je također primjenjiva za rješavanje.
y'x+y=-xy².
Svodimo jednačinu na standardni pogled: y’+y/x=-y² (II).
1) Riješite homogenu jednačinu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obe strane jednačine množimo sa dx i delimo sa y: dy/y=-dx/x. Sada da integrišemo:
Dobivene izraze zamjenjujemo u uslov (II):
Hajde da pojednostavimo:
Dobili smo jednadžbu sa odvojivim varijablama za C i x:
Ovdje je C već obična konstanta. Tokom procesa integracije pisali smo jednostavno C umjesto C(x), kako ne bismo preopteretili notaciju. I na kraju smo se vratili na C(x), da ne pobrkamo C(x) sa novim C.
3) U opštem rješenju homogene jednadžbe y=C(x)/x zamjenjujemo pronađenu funkciju C(x):
Dobili smo isti odgovor kao kada smo ga rješavali Bernulijevom metodom.
Primjeri samotestiranja:
1. Prepišimo jednačinu u standardnom obliku: y’-2y=x.
1) Riješite homogenu jednačinu y’-2y=0. y’=dy/dx, dakle dy/dx=2y, pomnožite obje strane jednadžbe sa dx, podijelite sa y i integrirajte:
Odavde nalazimo y:
Zamjenjujemo izraze za y i y’ u uvjet (radi kratkoće koristit ćemo C umjesto C(x) i C’ umjesto C"(x)):
Da bismo pronašli integral na desnoj strani, koristimo formulu integracije po dijelovima:
Sada zamjenjujemo u, du i v u formulu:
Ovdje C =konst.
3) Sada u rastvor stavljamo homogeno
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti se koristi za rješavanje nehomogenih diferencijalnih jednadžbi. Ova lekcija je namijenjena onim učenicima koji su već manje-više upućeni u temu. Ako tek počinjete da se upoznajete sa daljinskim upravljanjem, tj. Ako ste čajnik, preporučujem da počnete s prvom lekcijom: Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. A ako već završavate, odbacite moguće predrasude da je metoda teška. Jer je jednostavno.
U kojim slučajevima se koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti?
1) Za rješavanje se može koristiti metoda varijacije proizvoljne konstante linearni nehomogeni DE 1. reda. Pošto je jednačina prvog reda, onda je i konstanta jedna.
2) Za rješavanje nekih koristi se metoda varijacije proizvoljnih konstanti linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Ovdje se razlikuju dvije konstante.
Logično je pretpostaviti da će se lekcija sastojati od dva pasusa... Tako sam napisao ovu rečenicu, i nekih 10 minuta sam bolno razmišljao o tome koje bih još pametne gluposti mogao dodati za lagani prijelaz na praktične primjere. Ali iz nekog razloga nemam nikakvih misli nakon praznika, iako izgleda da nisam ništa zloupotrijebio. Stoga, idemo direktno na prvi pasus.
Metoda varijacije proizvoljne konstante
za linearnu nehomogenu jednačinu prvog reda
Prije razmatranja metode varijacije proizvoljne konstante, preporučljivo je upoznati se sa člankom Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Na toj lekciji smo vežbali prvo rešenje nehomogena DE 1. reda. Ovo prvo rješenje, podsjećam, zove se metoda zamjene ili Bernulijeva metoda(ne treba se brkati sa Bernulijeva jednačina!!!)
Sada ćemo pogledati drugo rešenje– metoda varijacije proizvoljne konstante. Navest ću samo tri primjera, a uzeću ih iz gore navedene lekcije. Zašto tako malo? Jer u stvari, rješenje na drugi način će biti vrlo slično rješenju na prvi način. Osim toga, prema mojim zapažanjima, metoda varijacije proizvoljnih konstanti se koristi rjeđe od metode zamjene.
Primjer 1
(Diffur iz primjera br. 2 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje: Ova jednadžba je linearno nehomogena i ima poznati oblik: 
U prvoj fazi potrebno je riješiti jednostavniju jednačinu: 
Odnosno, glupo resetujemo desnu stranu i umjesto toga upisujemo nulu.
Jednačina Ja ću nazvati pomoćna jednačina.
U ovom primjeru morate riješiti sljedeću pomoćnu jednačinu:
Pred nama odvojiva jednačina, čije vam rješenje (nadam se) više nije teško: 
ovako: 
– opšte rješenje pomoćne jednačine.
Na drugom koraku mi ćemo zameniti neka konstanta za sada nepoznata funkcija koja ovisi o "x":
Otuda i naziv metode - variramo konstantu. Alternativno, konstanta bi mogla biti neka funkcija koju sada moramo pronaći.
IN original nehomogena jednačina napravimo zamjenu:
Zamenimo i 
u jednačinu :
Kontrolna tačka - dva termina na lijevoj strani se poništavaju. Ako se to ne dogodi, trebali biste potražiti gornju grešku.
Kao rezultat zamjene, dobijena je jednadžba sa odvojivim varijablama. Odvajamo varijable i integrišemo.
Kakav blagoslov, eksponenti takođe otkazuju:
Pronađenoj funkciji dodajemo "normalnu" konstantu:
On završna faza Prisjetimo se naše zamjene:
Funkcija je upravo pronađena!
Dakle, generalno rješenje je: 
odgovor: generalno rješenje: 
Ako odštampate dva rješenja, lako ćete primijetiti da smo u oba slučaja pronašli iste integrale. Jedina razlika je u algoritmu rješenja.
Sada za nešto komplikovanije, komentirat ću i drugi primjer:
Primjer 2
Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe 
(Diffur iz primjera br. 8 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje: Svedujmo jednačinu na oblik :
Resetujmo desnu stranu i riješimo pomoćnu jednačinu:
Opće rješenje pomoćne jednadžbe:
U nehomogenoj jednadžbi vršimo zamjenu:
Prema pravilu diferencijacije proizvoda: 
Zamenimo i u originalnu nehomogenu jednačinu:
Dva termina na lijevoj strani se poništavaju, što znači da smo na na pravom putu:
Integrirajmo po dijelovima. Ukusno slovo iz formule integracije po dijelovima već je uključeno u rješenje, pa koristimo, na primjer, slova “a” i “be”:
Sada se prisjetimo zamjene:
odgovor: generalno rješenje:
I jedan primjer za nezavisna odluka:
Primjer 3
Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datom početnom uvjetu.
,
(Diffur iz primjera br. 4 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje:
Ovaj DE je linearno nehomogen. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti. Rešimo pomoćnu jednačinu:
Odvajamo varijable i integrišemo: 
Opšte rješenje: 
U nehomogenoj jednadžbi vršimo zamjenu: 
Izvršimo zamjenu: 
Dakle, generalno rješenje je: 
Nađimo određeno rješenje koje odgovara datom početnom uvjetu: 
odgovor: privatno rješenje:
Rješenje na kraju lekcije može poslužiti kao grubi primjer za završetak zadatka.
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti
za linearnu nehomogenu jednačinu drugog reda
sa konstantnim koeficijentima
Često sam čuo mišljenje da metoda variranja proizvoljnih konstanti za jednačinu drugog reda nije laka stvar. Ali pretpostavljam sljedeće: najvjerovatnije, metoda se mnogima čini teškom jer se ne pojavljuje tako često. Ali u stvarnosti nema posebnih poteškoća - tok odluke je jasan, transparentan i razumljiv. I predivno.
Da bi se savladala metoda, poželjno je biti u stanju riješiti nehomogene jednadžbe drugog reda odabirom određenog rješenja na osnovu oblika desne strane. Ova metoda detaljno razmotreno u članku Nehomogeni DE 2. reda. Podsjećamo da linearna nehomogena jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik:
Metoda odabira, o kojoj je bilo riječi u gornjoj lekciji, radi samo u ograničenom broju slučajeva kada desna strana sadrži polinome, eksponencijale, sinuse i kosinuse. Ali šta učiniti kada je na desnoj strani, na primjer, razlomak, logaritam, tangenta? U takvoj situaciji u pomoć dolazi metoda varijacije konstanti.
Primjer 4
Pronađite opšte rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda 
Rješenje: Na desnoj strani ove jednadžbe nalazi se razlomak, tako da odmah možemo reći da metoda za odabir određenog rješenja ne funkcionira. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.
Nema znakova grmljavine, početak rješenja je sasvim običan:
Naći ćemo opšte rešenje prikladno homogena jednadžbe: 
Sastavimo i riješimo karakterističnu jednačinu: 
– dobiju se konjugirani kompleksni korijeni, pa je opće rješenje:
Obratite pažnju na zapis općeg rješenja - ako postoje zagrade, onda ih otvorite.
Sada radimo gotovo isti trik kao za jednadžbu prvog reda: mijenjamo konstante, zamjenjujući ih nepoznatim funkcijama. to je, opšte rešenje nehomogenog tražićemo jednačine u obliku:
Gdje - za sada nepoznate funkcije.
Izgleda kao deponija kućnog otpada, ali sad ćemo sve srediti.
Nepoznate su derivati funkcija. Naš cilj je pronaći izvode, a pronađeni derivati moraju zadovoljiti i prvu i drugu jednačinu sistema.
Odakle dolaze “Grci”? Roda ih donosi. Gledamo ranije dobijeno opće rješenje i pišemo:
Nađimo derivate:
Lijevi dijelovi su obrađeni. Šta je na desnoj strani?
je desna strana originalne jednadžbe, u ovom slučaju:
Koeficijent je koeficijent druge derivacije:
U praksi, gotovo uvijek, i naš primjer nije izuzetak.
Sve je jasno, sada možete kreirati sistem: 
Sistem je obično riješen prema Cramerovim formulama koristeći standardni algoritam. Jedina razlika je u tome što umjesto brojeva imamo funkcije.
Nađimo glavnu determinantu sistema: 
Ako ste zaboravili kako se otkriva determinanta dva po dva, pogledajte lekciju Kako izračunati determinantu? Link vodi na tablu srama =)
Dakle: to znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
Pronalaženje derivata: 
Ali to nije sve, do sada smo pronašli samo derivat.
Sama funkcija se vraća integracijom:
Pogledajmo drugu funkciju: 
Ovdje dodajemo „normalnu“ konstantu
U završnoj fazi rješenja, sjećamo se u kojem obliku smo tražili opšte rješenje nehomogene jednačine? u ovome:
Funkcije koje su vam potrebne upravo su pronađene! 
Ostaje samo izvršiti zamjenu i zapisati odgovor:
odgovor: generalno rješenje:
U principu, odgovor je mogao proširiti zagrade.
Potpuna provjera odgovora provodi se prema standardnoj šemi, o kojoj je bilo riječi u lekciji. Nehomogeni DE 2. reda. Ali provjera neće biti laka, jer je potrebno pronaći prilično teške derivate i izvršiti glomaznu zamjenu. Ovo je neugodna karakteristika kada rješavate takve difuzore.
Primjer 5
Riješite diferencijalnu jednadžbu mijenjajući proizvoljne konstante
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U stvari, na desnoj strani se nalazi i razlomak. Podsjetimo se trigonometrijska formula, usput, moraće da se primeni tokom rešenja.
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti je najuniverzalnija metoda. Može riješiti bilo koju jednačinu koja se može riješiti način odabira određenog rješenja na osnovu oblika desne strane. Postavlja se pitanje: zašto i tu ne koristiti metodu varijacije proizvoljnih konstanti? Odgovor je očigledan: odabir određenog rješenja, o čemu se razgovaralo na času Nehomogene jednadžbe drugog reda, značajno ubrzava rješenje i skraćuje snimanje - bez gužve sa determinantama i integralima.
Pogledajmo dva primjera sa Cauchy problem.
Primjer 6
Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datim početnim uvjetima
, 
Rješenje: Opet razlomak i eksponent u zanimljivo mjesto.
Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.
Naći ćemo opšte rešenje prikladno homogena jednadžbe: 
– dobijaju se različiti pravi koreni, pa je opšte rešenje:
Opće rješenje nehomogenih tražimo jednačine u obliku: , gdje – za sada nepoznate funkcije.
Kreirajmo sistem:
u ovom slučaju:
,
Pronalaženje derivata: 
, 
ovako: 
Rešimo sistem koristeći Cramerove formule:
, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
Vraćamo funkciju integracijom:
Koristi se ovdje metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.
Vraćamo drugu funkciju integracijom: 
Ovaj integral je riješen varijabilna metoda zamjene:
Iz same zamjene izražavamo:
ovako: 
Ovaj integral se može naći metoda potpune kvadratne ekstrakcije, ali u primjerima s difuzorima radije širim frakciju metoda neodređenih koeficijenata:
Pronađene obje funkcije:
Kao rezultat, opšte rješenje nehomogene jednadžbe je:
Nađimo određeno rješenje koje zadovoljava početne uslove .
Tehnički, potraga za rješenjem se odvija na standardni način, o čemu je bilo riječi u članku Nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.
Čekaj, sada ćemo pronaći izvod pronađenog općeg rješenja:
Ovo je takva sramota. Nije potrebno pojednostaviti ga, lakše je odmah napraviti sistem jednačina. Prema početnim uslovima :
Zamijenimo pronađene vrijednosti konstanti 
na opšte rešenje:
U odgovoru, logaritmi se mogu malo spakovati.
odgovor: privatno rješenje: 
Kao što vidite, poteškoće se mogu pojaviti u integralima i derivatima, ali ne i u samom algoritmu za metodu varijacije proizvoljnih konstanti. Nisam vas ja zastrašio, sve je to kolekcija Kuznjecova!
Za opuštanje, konačni, jednostavniji primjer da sami riješite:
Primjer 7
Riješite Cauchyjev problem
, 
Primjer je jednostavan, ali kreativan, kada kreirate sistem, pažljivo ga pogledajte prije nego što odlučite ;-),
Kao rezultat, generalno rješenje je:
Nađimo određeno rješenje koje odgovara početnim uvjetima .
Zamijenimo pronađene vrijednosti konstanti u opće rješenje:
odgovor: privatno rješenje:
Teoretski minimumU teoriji diferencijalnih jednadžbi postoji metoda koja tvrdi da ima prilično visok stepen univerzalnosti za ovu teoriju.
Riječ je o metodi varijacije proizvoljne konstante, primjenjivoj na rješavanje različitih klasa diferencijalnih jednadžbi i njihovih
sistemima To je upravo slučaj kada je teorija - ako izvučemo dokaze tvrdnji iz zagrada - minimalna, ali nam omogućava da postignemo
značajni rezultati, pa će akcenat biti na primjerima.Opća ideja metode je prilično jednostavna za formuliranje. Neka je data jednadžba (sistem jednačina) teško rješiva ili čak neshvatljiva,
kako to riješiti. Međutim, jasno je da se eliminacijom nekih članova iz jednačine ona rješava. Tada rješavaju upravo ovo pojednostavljeno
jednadžbe (sistema), dobijamo rješenje koje sadrži određeni broj proizvoljnih konstanti - ovisno o redoslijedu jednačine (broj
jednačine u sistemu). Tada se pretpostavlja da konstante u pronađenom rješenju zapravo nisu konstante
se zameni u originalnu jednačinu (sistem), dobije se diferencijalna jednačina (ili sistem jednačina) da bi se odredile „konstante“.
Postoji određena specifičnost u primjeni metode varijacije proizvoljne konstante na različite probleme, ali to su već specifičnosti koje će
demonstrirano na primjerima.Razmotrimo posebno rješenje linearnih nehomogenih jednačina višeg reda, tj. jednačine oblika
.
Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe je zbir opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine i određenog rješenja
ove jednačine. Pretpostavimo da je opšte rešenje homogene jednačine već pronađeno, odnosno da je konstruisan fundamentalni sistem rešenja (FSS).
. Tada je opće rješenje homogene jednadžbe jednako .
Moramo pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednačine. U tu svrhu smatra se da konstante zavise od varijable.
Zatim morate riješiti sistem jednačina.
Teorija garantuje da ovaj sistem algebarskih jednadžbi u odnosu na izvode funkcija ima jedinstveno rešenje.
Prilikom pronalaženja samih funkcija, konstante integracije se ne pojavljuju: na kraju krajeva, traži se bilo koje jedno rješenje.U slučaju rješavanja sistema linearnih nehomogenih jednačina prvog reda oblika
algoritam ostaje gotovo nepromijenjen. Prvo morate pronaći FSR odgovarajućeg homogenog sistema jednadžbi, sastaviti osnovnu matricu
sistema, čije kolone predstavljaju elemente FSR-a. Zatim se sastavlja jednačina.
Prilikom rješavanja sistema određujemo funkcije i na taj način nalazimo određeno rješenje za originalni sistem
(osnovna matrica se množi sa stupcem pronađenih funkcija).
Dodajemo ga opštem rješenju odgovarajućeg sistema homogenih jednačina, koji je konstruisan na osnovu već pronađenog FSR-a.
Dobija se generalno rješenje originalnog sistema.Primjeri.
Primjer 1. Linearne nehomogene jednadžbe prvog reda.
Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednačinu (označavamo željenu funkciju):
.
Ova jednačina se lako može riješiti metodom razdvajanja varijabli:
.
Sada zamislimo rješenje originalne jednadžbe u obliku, gdje funkcija tek treba biti pronađena.
Ovu vrstu rješenja zamjenjujemo u originalnu jednačinu:
.
Kao što vidite, drugi i treći termin na lijevoj strani se međusobno poništavaju - to je karakteristična karakteristika metoda varijacije proizvoljne konstante.
Ovdje je to već zaista proizvoljna konstanta. dakle,
.Primjer 2. Bernulijeva jednačina.
Nastavljamo slično kao u prvom primjeru - rješavamo jednačinu
metoda razdvajanja varijabli. Ispostavilo se da tražimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku
.
Ovu funkciju zamjenjujemo u originalnu jednadžbu:
.
I opet dolazi do smanjenja:
.
Ovdje morate zapamtiti da se prilikom dijeljenja rješenjem ne izgubi. I rješenje originalnog odgovara slučaju
jednačine Zapamtimo to. dakle,.
Hajde da to zapišemo.
Ovo je rješenje. Prilikom pisanja odgovora treba navesti i prethodno pronađeno rješenje, jer ono ne odgovara nijednoj konačnoj vrijednosti
konstantePrimjer 3. Linearne nehomogene jednadžbe višeg reda.
Odmah napominjemo da se ova jednačina može jednostavnije riješiti, ali je zgodno demonstrirati metodu pomoću nje. Iako neke prednosti
Metoda varijacije također ima proizvoljnu konstantu u ovom primjeru.
Dakle, morate početi sa FSR-om odgovarajuće homogene jednadžbe. Podsjetimo da se za pronalaženje FSR-a sastavlja karakteristična kriva
jednačina
.
Dakle, opšte rešenje homogene jednačine
.
Ovdje uključene konstante moraju se mijenjati. Pravljenje sistema
Predavanje 44. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Metoda varijacije proizvoljnih konstanti. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima. (posebna desna strana).
Društvene transformacije. Država i crkva.
Socijalna politika Boljševici su uglavnom bili diktirani klasnim pristupom. Dekretom od 10. novembra 1917. uništen je staleški sistem, ukinuti su predrevolucionarni činovi, titule i nagrade. Ustanovljen je izbor sudija; izvršena je sekularizacija građanskih država. Ustanovljeno je besplatno školovanje i zdravstvena zaštita (ukaz od 31. oktobra 1918.). Žene su dobile jednaka prava sa muškarcima (dekreti od 16. i 18. decembra 1917.). Uredbom o braku uvedena je institucija građanskog braka.
Dekretom Vijeća narodnih komesara od 20. januara 1918. crkva je odvojena od države i od obrazovnog sistema. Većina crkvene imovine je oduzeta. Patrijarh moskovski i cele Rusije Tihon (izabran 5. novembra 1917.) 19. januara 1918. anatemisao je sovjetsku vlast i pozvao na borbu protiv boljševika.
Razmotrimo linearnu nehomogenu jednačinu drugog reda
Struktura općeg rješenja takve jednačine određena je sljedećom teoremom:
Teorema 1. Opće rješenje nehomogene jednadžbe (1) je predstavljeno kao zbir nekog posebnog rješenja ove jednačine i općeg rješenja odgovarajuće homogene jednačine
Dokaz. Potrebno je dokazati da je iznos
je opšte rješenje jednačine (1). Dokažimo prvo da je funkcija (3) rješenje jednadžbe (1).
Zamjena sume u jednačinu (1) umjesto at, imaćemo
Pošto postoji rješenje jednačine (2), izraz u prvim zagradama identično je jednak nuli. Pošto postoji rješenje jednačine (1), izraz u drugoj zagradi je jednak f(x). Dakle, jednakost (4) je identitet. Dakle, prvi dio teoreme je dokazan.
Dokažimo drugu tvrdnju: izraz (3) je general rješenje jednačine (1). Moramo dokazati da proizvoljne konstante uključene u ovaj izraz mogu biti odabrane tako da su početni uvjeti zadovoljeni:
kakve god da su brojke x 0 , y 0 i (ako samo x 0 je preuzeta sa područja gdje se obavlja funkcija a 1, a 2 I f(x) kontinuirano).
Primjećujući da se može predstaviti u obliku . Tada ćemo, na osnovu uslova (5), imati
Hajde da riješimo ovaj sistem i odredimo C 1 I C 2. Prepišimo sistem u obliku:
Imajte na umu da je determinanta ovog sistema determinanta Wronskog za funkcije u 1 I u 2 u tački x=x 0. Pošto su ove funkcije linearno nezavisne po uslovu, determinanta Wronskog nije jednaka nuli; stoga sistem (6) ima definitivno rješenje C 1 I C 2, tj. postoje takva značenja C 1 I C 2, po kojoj formula (3) određuje rješenje jednačine (1) koje zadovoljava date početne uslove. Q.E.D.
Idemo dalje opšta metoda pronalaženje parcijalnih rješenja nehomogene jednačine.
Napišimo opšte rješenje homogene jednadžbe (2)
Potražićemo posebno rješenje nehomogene jednadžbe (1) u obliku (7), s obzirom na C 1 I C 2 poput nekih još nepoznatih funkcija iz X.
Razlikujemo jednakost (7):
Odaberimo funkcije koje tražite C 1 I C 2 tako da vrijedi jednakost
Ako uzmemo u obzir ovaj dodatni uslov, tada će prvi izvod poprimiti oblik
Razlikujući sada ovaj izraz, nalazimo:
Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo
Izrazi u prva dva zagrada postaju nula, pošto y 1 I y 2– rješenja homogene jednačine. Stoga posljednja jednakost poprima oblik
Dakle, funkcija (7) će biti rješenje nehomogene jednadžbe (1) ako su funkcije C 1 I C 2 zadovoljavaju jednačine (8) i (9). Napravimo sistem jednačina iz jednačina (8) i (9).
Pošto je determinanta ovog sistema determinanta Wronskog za linearno nezavisne odluke y 1 I y 2 jednačina (2), onda nije jednako nuli. Dakle, rješavajući sistem, naći ćemo obje određene funkcije od X:
Rješavajući ovaj sistem, nalazimo , odakle, kao rezultat integracije, dobijamo . Zatim, zamjenjujemo pronađene funkcije u formulu, dobivamo opće rješenje nehomogene jednadžbe, gdje su proizvoljne konstante.