Konstrukcija projekcija tačaka. Faza IV
Da biste konstruisali slike više delova, morate biti u stanju da pronađete projekcije pojedinačnih tačaka. Na primjer, teško je nacrtati pogled odozgo na dio prikazan na Sl. 139, bez konstruisanja horizontalnih projekcija tačaka A, B, C, D, E, F itd.
Problem pronalaženja projekcija tačaka jedne po jedne, datih na površini objekta, rješava se na sljedeći način. Prvo se pronađu projekcije površine na kojoj se nalazi tačka. Zatim, povlačenjem linije veze na projekciju, gdje je površina predstavljena linijom, nalazi se druga projekcija tačke. Treća projekcija leži na raskrsnici komunikacijskih linija.
Pogledajmo primjer.
Date su tri projekcije dijela (Sl. 140, a). Zadata je horizontalna projekcija a tačke A koja leži na vidljivoj površini. Moramo pronaći preostale projekcije ove tačke.
Prije svega, trebate nacrtati pomoćnu ravnu liniju. Ako su data dva pogleda, onda se lokacija pomoćne linije na crtežu bira proizvoljno, desno od pogleda odozgo, tako da je pogled lijevo na potrebnoj udaljenosti od glavnog pogleda (Sl. 141).
Ako su već izgrađena tri pogleda (Sl. 142, a), tada se lokacija pomoćne linije ne može birati proizvoljno; morate pronaći tačku kroz koju će proći. Da biste to učinili, dovoljno je nastaviti horizontalnu i profilnu projekciju ose simetrije dok se međusobno ne sijeku i kroz rezultirajuću tačku k (slika 142, b) nacrtati segment prave linije pod uglom od 45°, koji će biti pomoćna prava linija.
Ako nema osi simetrije, tada se horizontalne i profilne projekcije bilo kojeg lica, projektovane u obliku ravnih segmenata, nastavljaju sve dok se ne sijeku u tački k 1 (Sl. 142, b).
Nakon što su nacrtali pomoćnu liniju, počinju da grade projekcije tačke (vidi sliku 140, b).
Frontalne a" i profilne a" projekcije tačke A moraju se nalaziti na odgovarajućim projekcijama površine kojoj tački A pripada. Na sl. 140, b istaknute su bojom. Nacrtajte komunikacijske linije kako je prikazano strelicama. Na sjecištima komunikacijskih vodova sa projekcijama površine nalaze se željene projekcije a" i a".
Konstrukcija projekcija tačaka B, C, D prikazana je na sl. 140, u komunikacijskim linijama sa strelicama. Date projekcije tačaka su obojene. Vezne linije se povlače do projekcije na kojoj je površina prikazana kao linija, a ne kao figura. Stoga prvo pronađite frontalnu projekciju iz tačke C. Projekcija profila iz tačke C određena je presjekom komunikacijskih linija.
Ako površina nije predstavljena linijom ni na jednoj projekciji, tada se za konstruiranje projekcija tačaka mora koristiti pomoćna ravan. Na primjer, data je frontalna projekcija d tačke A koja leži na površini stošca (slika 143, a). Kroz tačku paralelnu sa bazom povučena je pomoćna ravan koja će kružno preseći konus; njegova frontalna projekcija je ravan segment, a horizontalna projekcija je kružnica čiji je prečnik jednak dužini ovog segmenta (sl. 143, b). Povlačenjem linije veze na ovu kružnicu iz tačke a dobija se horizontalna projekcija a tačke A.
Profilna projekcija a" tačke A nalazi se na uobičajen način na raskrsnici komunikacionih linija.
Koristeći istu tehniku, možete pronaći projekcije točke koja leži, na primjer, na površini piramide ili lopte. Kada piramidu presječe ravan paralelna osnovici i koja prolazi kroz datu tačku, formira se lik sličan bazi. Na projekcijama ove figure leže projekcije date tačke.
Odgovori na pitanja
1. Pod kojim uglom je povučena pomoćna prava?
2. Gdje crtate pomoćnu ravnu liniju ako su dati pogled sprijeda i odozgo, ali trebate konstruirati pogled s lijeve strane?
3. Kako odrediti lokaciju pomoćne linije ako postoje tri tipa?
4. Koji je metod za konstruisanje projekcije tačke na osnovu jedne date tačke, ako je jedna od površina objekta predstavljena linijom?
5. Za koja geometrijska tijela iu kojim slučajevima se projekcije tačke date na njihovu površinu nalaze pomoću pomoćne ravni?
Zadaci za § 20
Vježba 68
Pišite na radna sveska, koje projekcije tačaka označenih brojevima na pogledima odgovaraju tačkama označenim slovima na vizuelnoj slici u primeru koji vam je ukazao nastavnik (Sl. 144, a-d).
Vježba 69
Na sl. 145, a-b slova označena samo jednom projekcijom nekog od vrhova. U primjeru koji vam je dao učitelj, pronađite preostale projekcije ovih vrhova i označite ih slovima. U jednom od primjera konstruirajte nedostajuće projekcije tačaka navedenih na rubovima objekta (sl. 145, d i e). Označite bojom projekcije ivica na kojima se nalaze tačke. Dovršite zadatak na providnom papiru, ne morate ga ponovo crtati.
Vježba 70
Pronađite nedostajuće projekcije tačaka definisanih jednom projekcijom na vidljive površine objekta (Sl. 146). Označite ih slovima. Zadate projekcije tačaka označite bojom. Vizuelna slika će vam pomoći da riješite problem. Zadatak se može obaviti u radnoj svesci ili na providnom papiru, preklapajući ga na stranicu udžbenika. U potonjem slučaju, ponovo nacrtajte figuru. 146 nije potrebno.
Vježba 71
U primjeru koji vam je dao nastavnik, ponovo nacrtajte tri pogleda (Sl. 147). Konstruirajte nedostajuće projekcije tačaka navedenih na vidljivim površinama objekta. Zadate projekcije tačaka označite bojom. Označite sve projekcije tačaka slovima. Za konstruiranje projekcija tačaka koristite pomoćnu pravu liniju. Dovršite tehnički crtež i označite određene tačke na njemu.
U ovom članku naći ćemo odgovore na pitanja kako napraviti projekciju točke na ravan i kako odrediti koordinate te projekcije. U teorijskom dijelu ćemo se osloniti na koncept projekcije. Definisaćemo termine i pružiti informacije sa ilustracijama. Učvrstimo stečeno znanje rješavanjem primjera.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Projekcija, vrste projekcija
Za praktičnost gledanja prostornih figura koriste se crteži koji prikazuju ove figure.
Definicija 1
Projekcija figure na ravan– crtanje prostorne figure.
Očigledno, postoji niz pravila koja se koriste za konstruiranje projekcije.
Definicija 2
Projekcija– proces konstruisanja crteža prostorne figure na ravni koristeći pravila konstrukcije.
Projekciona ravan- ovo je ravan u kojoj je slika konstruisana.
Upotreba određenih pravila određuje vrstu projekcije: centralno ili paralelno.
Poseban slučaj paralelne projekcije je okomita ili ortogonalna projekcija: u geometriji se uglavnom koristi. Zbog toga se u govoru često izostavlja i sam pridjev “okomito”: u geometriji jednostavno kažu “projekcija figure” i pod tim podrazumijevaju konstruiranje projekcije metodom okomite projekcije. U posebnim slučajevima, naravno, može se dogovoriti i nešto drugo.
Zapazimo činjenicu da je projekcija figure na ravan u suštini projekcija svih tačaka ove figure. Dakle, da bi se mogla proučavati prostorna figura na crtežu, potrebno je steći osnovnu vještinu projektovanja tačke na ravan. O čemu ćemo pričati u nastavku.
Podsjetimo se najčešće u geometriji, kada se govori o projekciji na ravan, misli na upotrebu okomite projekcije.
Napravimo konstrukcije koje će nam dati priliku da dobijemo definiciju projekcije tačke na ravan.
Recimo da je zadan trodimenzionalni prostor iu njemu postoji ravan α i tačka M 1 koja ne pripada ravni α. Povucite pravu liniju kroz datu tačku M A okomito na datu ravan α. Tačku preseka prave a i ravni α označavamo kao H 1 po konstrukciji, ona će služiti kao osnova okomice spuštene iz tačke M 1 na ravan α;
Ako je data tačka M 2 koja pripada datoj ravni α, tada će M 2 služiti kao projekcija samog sebe na ravan α.
Definicija 3
- ovo je ili sama tačka (ako pripada datoj ravni), ili osnova okomice spuštene iz date tačke u datu ravan.
Nalaženje koordinata projekcije tačke na ravan, primjeri
Neka je u trodimenzionalnom prostoru dato: pravougaoni koordinatni sistem O x y z, ravan α, tačka M 1 (x 1, y 1, z 1). Potrebno je pronaći koordinate projekcije tačke M 1 na datu ravan.
Rješenje očito slijedi iz gore date definicije projekcije tačke na ravan.
Označimo projekciju tačke M 1 na ravan α kao H 1 . Prema definiciji, H 1 je presečna tačka date ravni α i prave a povučene kroz tačku M 1 (okomita na ravan). One. Koordinate projekcije tačke M1 koje su nam potrebne su koordinate tačke preseka prave a i ravni α.
Dakle, da bismo pronašli koordinate projekcije tačke na ravan potrebno je:
Dobiti jednačinu ravni α (ako nije navedena). Ovdje će vam pomoći članak o vrstama ravninskih jednačina;
Odrediti jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i okomita na ravan α (proučiti temu o jednačini prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu ravan);
Naći koordinate tačke preseka prave a i ravni α (članak - nalaženje koordinata tačke preseka ravni i prave). Dobiveni podaci će biti koordinate koje su nam potrebne za projekciju tačke M 1 na ravan α.
Pogledajmo teoriju s praktičnim primjerima.
Primjer 1
Odrediti koordinate projekcije tačke M 1 (- 2, 4, 4) na ravan 2 x – 3 y + z - 2 = 0.
Rješenje
Kao što vidimo, data nam je jednačina ravni, tj. nema potrebe za kompajliranjem.
Zapišimo kanonske jednačine prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i okomita je na datu ravan. U te svrhe određujemo koordinate usmjeravajućeg vektora prave a. Kako je prava a okomita na datu ravan, vektor pravca prave a je vektor normale ravni 2 x - 3 y + z - 2 = 0. dakle, a → = (2, - 3, 1) – vektor pravca a.
Sada ćemo sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru koja prolazi kroz tačku M 1 (- 2, 4, 4) i ima vektor smjera a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Da biste pronašli tražene koordinate, sljedeći korak je određivanje koordinata točke presjeka prave x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 i ravni 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . U ove svrhe prelazimo s kanonskih jednadžbi na jednačine dvije ravnine koje se sijeku:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Napravimo sistem jednačina:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
I riješimo ga Cramerovom metodom:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ - z ⇒ 140 - 28 = 5
Dakle, tražene koordinate date tačke M 1 na datoj ravni α će biti: (0, 1, 5).
odgovor: (0 , 1 , 5) .
Primjer 2
U pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z trodimenzionalnog prostora date su tačke A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) i M 1 (-1, -2, 5). Potrebno je pronaći koordinate projekcije M 1 na ravan A B C
Rješenje
Prije svega, zapisujemo jednačinu ravnine koja prolazi kroz tri date tačke:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Zapišimo parametarske jednačine prave a, koja će prolaziti kroz tačku M 1 okomito na ravan A B C. Ravan x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ima vektor normale sa koordinatama (1, - 2, 2), tj. vektor a → = (1, - 2, 2) – vektor pravca prave a.
Sada, imajući koordinate tačke prave M 1 i koordinate vektora pravca ove prave, pišemo parametarske jednačine prave u prostoru:
Zatim odredimo koordinate presečne tačke ravni x – 2 y + 2 z – 4 = 0 i prave linije
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
Da bismo to učinili, zamjenjujemo u jednadžbu ravnine:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
Sada, koristeći parametarske jednačine x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, nalazimo vrijednosti varijabli x, y i z za λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Tako će projekcija tačke M 1 na ravan A B C imati koordinate (- 2, 0, 3).
odgovor: (- 2 , 0 , 3) .
Odvojeno se zadržimo na pitanju pronalaženja koordinata projekcije tačke na koordinatne ravni i ravni koje su paralelne koordinatnim ravnima.
Neka su date tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i koordinatne ravni O x y, O x z i O y z. Koordinate projekcije ove tačke na ove ravni će biti: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) i (0, y 1, z 1). Razmotrimo i ravni paralelne datim koordinatnim ravnima:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
A projekcije date tačke M 1 na ove ravni će biti tačke sa koordinatama x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 i - D A, y 1, z 1.
Hajde da pokažemo kako je došlo do ovog rezultata.
Kao primjer, definirajmo projekciju tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravan A x + D = 0. Preostali slučajevi su slični.
Data ravan je paralelna sa koordinatnom ravninom O y z i i → = (1, 0, 0) je njen vektor normale. Isti vektor služi kao vektor pravca prave okomite na ravan O y z. Tada će parametarske jednadžbe prave linije povučene kroz tačku M 1 i okomite na datu ravan imati oblik:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Nađimo koordinate presečne tačke ove prave i date ravni. Prvo zamijenimo jednakosti u jednačinu A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 i dobićemo: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Zatim izračunavamo tražene koordinate koristeći parametarske jednadžbe prave linije sa λ = - D A - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Odnosno, projekcija tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravan će biti tačka sa koordinatama - D A, y 1, z 1.
Primjer 2
Potrebno je odrediti koordinate projekcije tačke M 1 (- 6, 0, 1 2) na koordinatnu ravan O x y i na ravan 2 y - 3 = 0.
Rješenje
Koordinatna ravan O x y odgovaraće nepotpunoj opštoj jednačini ravni z = 0. Projekcija tačke M 1 na ravan z = 0 imat će koordinate (- 6, 0, 0).
Jednačina ravni 2 y - 3 = 0 može se napisati kao y = 3 2 2. Sada samo zapišite koordinate projekcije tačke M 1 (- 6, 0, 1 2) na ravan y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
odgovor:(- 6 , 0 , 0) i - 6 , 3 2 2 , 1 2
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
PROJEKCIJE TAČKE.
ORTOGONALAN SISTEM DVIJE RAVNE PROJEKCIJA.
Suština metode ortogonalne projekcije je da se objekt projektuje na dvije međusobno okomite ravni zrakama koje su ortogonalne (okomite) na te ravni.
Jedna od ravni projekcije H je postavljena horizontalno, a druga V vertikalno. Ravan H se naziva horizontalna ravan projekcija, V se naziva frontalna ravan. H i V ravni su beskonačne i neprozirne. Linija presjeka ravnina projekcije naziva se koordinatna osa i označava se OX. Projekcione ravni dele prostor na četiri diedarska ugla - četvrtine.
Kada se razmatraju ortogonalne projekcije, pretpostavlja se da se posmatrač nalazi u prvoj četvrtini na beskonačno velikoj udaljenosti od ravni projekcije. Pošto su ove ravni neprozirne, posmatraču će biti vidljive samo one tačke, linije i figure koje se nalaze unutar iste prve četvrtine.
Prilikom izrade projekcija potrebno je to zapamtiti ortogonalna projekcija tačkeosnova okomice povučene iz date tačke naziva se ravanna ovaj avion.
Na slici je prikazana tačka A i njegove ortogonalne projekcije a 1 I a 2.
Tačka a 1 pozvao horizontalna projekcija bodova A, tačka a 2- nju frontalna projekcija. Svaki od njih je osnova okomice povučene iz tačke A odnosno u avionu H I V.
To se može dokazati projekcija tačkeuvijek se nalazi na ravnim linijama, okomitocular axisOH i sijeku ovu osuu istoj tački. Zaista, projektovanje zraka Aa 1 I Aa 2 definirati ravan okomitu na ravnine projekcije i liniju njihovog presjeka - os OH. Ova ravan se seče H I V u ravnim linijama a 1 ax I a 1 ax, koji se formiraju sa osom OX i međusobno pravi uglovi sa vrhom u tački Ax.
Vrijedi i suprotno, tj. ako su tačke date na projekcijskim ravnimaa 1 I a 2 , nalazi se na pravim linijama koje se ukrštaju osi OXu datoj tački pod pravim uglom,onda su to projekcije nekihtačka A. Ova tačka je određena presjekom okomica konstruiranih iz tačaka a 1 I a 2 do aviona H I V.
Imajte na umu da položaj ravni projekcije u prostoru može biti različit. Na primjer, obje ravni, budući da su međusobno okomite, mogu biti okomite, ali i u ovom slučaju ostaje važeća prethodno dokazana pretpostavka o orijentaciji suprotnih projekcija tačaka u odnosu na osu.
Da bi se dobio ravan crtež koji se sastoji od gore navedenih projekcija, ravan H kombinovano rotacijom oko ose OX sa avionom V, kao što je prikazano strelicama na slici. Kao rezultat, prednja poluravnina Hće biti poravnat sa donjom poluravninom V, i zadnja poluravnina H- sa gornjom poluravninom V.
Projekcioni crtež u kojem su ravni projekcije sa svime što je na njima prikazano na određeni način kombinovane jedna s drugom naziva se dijagram(od francuskog epure - crtež). Na slici je prikazan dijagram tačke A.
Ovom metodom kombinovanja aviona H I V projekcije a 1 I a 2 će se nalaziti na istoj okomici na osu OX. U ovom slučaju, udaljenost a 1 a x — od horizontalne projekcije tačke na os OX A u avion V, i udaljenost a 2 a x — od frontalne projekcije tačke do ose OX jednaka udaljenosti od same tačke A u avion H.
Dogovorimo se da zovemo prave linije koje spajaju suprotne projekcije tačke na dijagramu projekcijske komunikacijske linije.
Položaj projekcija tačaka na dijagramu zavisi od toga u kojoj se četvrtini nalazi data tačka. Dakle, ako je poenta IN nalazi se u drugoj četvrtini, tada će se nakon kombinovanja ravni činiti da obje projekcije leže iznad ose OX.
Ako je poenta WITH je u trećoj četvrtini, tada će njegova horizontalna projekcija, nakon spajanja ravnina, biti iznad ose, a frontalna projekcija ispod ose OX. Konačno, ako je poenta D se nalazi u četvrtom kvartalu, tada će obje njegove projekcije biti ispod ose OX. Na slici su prikazane tačke M I N, ležeći na projekcijskim ravnima. U ovom položaju, tačka se poklapa sa jednom od njenih projekcija, dok se ispostavlja da njena druga projekcija leži na osi OX. Ova karakteristika se ogleda i u oznaci: u blizini projekcije s kojom se poklapa sama tačka, napisano je veliko slovo bez indeksa.
Također treba napomenuti da se dvije projekcije tačke poklapaju. To će se dogoditi ako je tačka u drugoj ili četvrtoj četvrtini na istoj udaljenosti od ravni projekcije. Obje projekcije se kombinuju sa samom točkom ako se potonja nalazi na osi OX.
ORTOGONALAN SISTEM TRI PROJEKCIJE.
Gore je pokazano da dvije projekcije tačke određuju njen položaj u prostoru. Budući da je svaka figura ili tijelo skup tačaka, može se tvrditi da dvije ortogonalne projekcije objekta (u prisustvu slovnih oznaka) u potpunosti određuju njegov oblik.
Međutim, u praksi, slike građevinske konstrukcije, mašine i razne inženjerske konstrukcije, postoji potreba za izradom dodatnih projekcija. Oni to rade isključivo s ciljem da projekcijski crtež učine jasnijim i čitljivijim.
Na slici je prikazan model tri projekcijske ravni. Treća ravan, okomita i H I V, označeno slovom W i zove se profil.
Projekcije tačaka na ovu ravan će se takođe zvati profilom i označavaju se velikim slovima ili brojevima sa indeksom 3 (ah,bh,cz, ...1z, 2z, 3 3...).
Ravnine projekcije, koje se sijeku u parovima, definiraju tri ose: OX, OY I OZ, koji se može posmatrati kao sistem pravougaonih Dekartovih koordinata u prostoru sa početkom u tački O. Sistem znakova prikazan na slici odgovara „desnorukom sistemu“ koordinata.
Tri projekcijske ravni dijele prostor na osam triedarskih uglova - to su tzv oktanti. Numeracija oktanata je data na slici.
Da dobijemo dijagram ravnine H I W rotirajte kao što je prikazano na slici dok se ne poravna sa ravninom V. Kao rezultat rotacije, prednja poluravnina H ispada da je u kombinaciji sa donjom poluravninom V, i zadnja poluravnina H- sa gornjom poluravninom V. Kada se rotira za 90° oko ose OZ prednja poluravnina W poravnava sa desnom poluravninom V, i zadnja poluravnina W- sa lijevom poluravninom V.
Konačni izgled svih kombinovanih ravni projekcije dat je na slici. Na ovom crtežu osi OX I OZ, leži u fiksnoj ravni V, prikazani su samo jednom, a osa OY prikazano dva puta. To se objašnjava činjenicom da, rotirajući sa ravninom H, os OY na dijagramu je u kombinaciji sa osom OZ, i rotiranje sa ravninom W, ista os je poravnata sa osom OX.
U budućnosti, pri označavanju osa na dijagramu, negativne poluose (— OX, — OY, — OZ) neće biti naznačeno.
TRI KOORDINATE I TRI PROJEKCIJE TAČKE I NJENOG RADIJUS-VEKTORA.
Koordinate su brojevi kojiuskladiti tačku za određivanjemijenja svoj položaj u prostoru ili napovršine.
U trodimenzionalnom prostoru, položaj tačke se određuje korišćenjem pravougaonih Dekartovih koordinata x, y I z.
Koordinate X pozvao apscisa, at— ordinate I z — primijeniti. Abscisa X određuje udaljenost od date tačke do ravni W, ordinata y - u avion V i primijeniti z - u avion H. Pošto smo usvojili sistem prikazan na slici za mjerenje koordinata tačke, sastavit ćemo tabelu koordinatnih znakova u svih osam oktanata. Bilo koja tačka u prostoru A, dati koordinatama će biti označeni na sljedeći način: A(x, y,z).
Ako je x = 5, y = 4 i z = 6, onda će unos poprimiti sljedeći oblik A(5, 4, 6). Ova tačka A,čije su sve koordinate pozitivne, nalazi se u prvom oktantu
Koordinate tačaka A su u isto vrijeme koordinate njegovog radijus vektora
OA s obzirom na porijeklo. Ako i, j, k— jedinični vektori usmjereni duž koordinatnih osa x, y,z(slika), dakle
OA =OA x i+OAyj + OAzk , Gdje OA X, OA U, OA g - vektorske koordinate OA
Preporučuje se konstruisanje slike same tačke i njenih projekcija na prostornom modelu (figuri) pomoću koordinatnog pravougaonog paralelepipeda. Prije svega, na koordinatnoj osi iz tačke O položiti odgovarajuće jednake segmente 5, 4 i 6 jedinice dužine. Na ovim segmentima (Oa x , Oa y , Oa z ), kao na rebrima, grade se kuboid. Njegov vrh, suprotan ishodištu, odrediće datu tačku A. Lako je to vidjeti za određivanje tačke A dovoljno je konstruisati samo tri ivice paralelepipeda, na primer Oa x , a x a 1 I a 1 A ili Oa y , a y a 1 I a 1 A itd. Ove ivice formiraju koordinatnu poliliniju, čija je dužina svake veze određena odgovarajućom koordinatom tačke.
Međutim, konstruiranje paralelepipeda vam omogućava da odredite ne samo tačku A, ali i sve tri njegove ortogonalne projekcije.
Zrake koje projektuju tačku na ravan H, V, W su one tri ivice paralelepipeda koje se seku u tački A.
Svaka od ortogonalnih projekcija tačke A, budući da se nalazi na ravni, određuje ga samo dvije koordinate.
Dakle, horizontalna projekcija a 1 određena koordinatama X I y, frontalna projekcija a 2 — koordinate x iz, projekcija profila a 3 — koordinate at I z. Ali bilo koje dvije projekcije su određene sa tri koordinate. Zato je specificiranje tačke sa dve projekcije ekvivalentno određivanju tačke sa tri koordinate.
Na dijagramu (slika), gdje su objedinjene sve ravni projekcije, projekcije a 1 I a 2 biće na istoj okomitoj na osu OX, i projekcije a 2 I a 3 — na jednoj okomitoj na osu OZ.
Što se tiče projekcija a 1 I a 3 , tada su povezani pravim linijama a 1 a y I a 3 a y , okomito na osu OY. Ali pošto ova os na dijagramu zauzima dva položaja, onda segment a 1 a y ne može biti nastavak segmenta a 3 a y .
Izrada projekcija tačaka A (5, 4, 6) na dijagramu prema zadatim koordinatama izvršiti sljedećim redoslijedom: najprije se na os apscise ucrtava segment od početka koordinata Oa x = x(u našem slučaju x =5), zatim kroz tačku a x nacrtati okomito na osu OX, na koji, uzimajući u obzir znakove, iscrtavamo segmente a x a 1 = y(dobijamo a 1 ) I a x a 2 = z(dobijamo a 2 ). Ostaje da se napravi profilna projekcija tačke a 3 . Budući da profil i frontalna projekcija točke moraju biti smješteni na istoj okomiti na os OZ , zatim kroz a 3 sprovesti direktno a 2 a z ^ OZ.
Konačno, postavlja se posljednje pitanje: na kojoj udaljenosti od ose OZ treba da bude 3?
Uzimajući u obzir koordinatni paralelepiped (vidi sliku), čije su ivice a z a 3 = O a y = a x a 1 = y zaključujemo da je tražena udaljenost a z a 3 jednaki u. Segment a z a 3 položen desno od OZ ose ako je y>0, a lijevo ako je y
Pogledajmo kakve će se promjene dogoditi na dijagramu kada tačka počne mijenjati svoj položaj u prostoru.
Neka, na primjer, poen A (5, 4, 6) kretaće se pravolinijski okomito na ravan V. S takvim kretanjem samo jedna koordinata će se promijeniti y, koji pokazuje udaljenost od tačke do ravni V. Koordinate će ostati konstantne x iz , i projekciju tačke određene ovim koordinatama, tj. a 2 neće promijeniti svoju poziciju.
Što se tiče projekcija a 1 I a 3 , tada će se prvi početi približavati osi OX, drugi - do ose OZ. Na slikama nova pozicija tačke odgovara oznaci a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). U trenutku kada je tačka na ravni V(y = 0), dvije od tri projekcije ( a 1 2 I a 3 2 ) će ležati na osovinama.
Nakon preseljenja iz I oktant in II, tačka će početi da se udaljava od ravni V, koordinata at postane negativna, njegova apsolutna vrijednost će se povećati. Horizontalna projekcija ove tačke, koja se nalazi na zadnjoj poluravni H, na dijagramu će biti iznad ose OX, i projekcija profila, koja se nalazi na zadnjoj poluravni W, na dijagramu će biti lijevo od ose OZ. Kao i uvijek, segment a za 3 3 = y.
U narednim dijagramima nećemo označavati slovima točke presjeka koordinatnih osa sa projekcijskim spojnim linijama. Ovo će donekle pojednostaviti crtanje.
U budućnosti će postojati dijagrami bez koordinatnih osa. To je ono što se u praksi radi kada se prikazuju predmeti, kada značajna je samo slikacija objekta, a ne njegov relativni položajkonkretno projekcijske ravni.
Projekcione ravni u ovom slučaju određene su sa tačnošću samo do paralelnog translacije (slika). Obično se pomeraju paralelno sa sobom na način da su sve tačke objekta iznad ravni H i ispred aviona V. Budući da se položaj ose X 12 pokazuje nesigurnim, formiranje dijagrama u ovom slučaju ne mora biti povezano s rotacijom ravnina oko koordinatne ose. Prilikom prelaska na planski dijagram H I V se kombinuju tako da se suprotne projekcije tačaka nalaze na vertikalnim linijama.
Dijagram bez osi tačaka A i B(crtež) Neodređuje njihov položaj u prostoru,ali omogućava da se proceni njihova relativna orijentacija. Dakle, segment △x karakterizira pomak tačke A u odnosu na tačku IN u pravcu paralelnom sa ravnima H i V Drugim rečima, △x označava koliko je udaljena tačka A nalazi se lijevo od tačke IN. Relativni pomak tačke u pravcu okomitom na ravan V određen je segmentom △y, tj. I unutra u našem primeru bliže posmatraču nego tački IN, na rastojanje jednako △y.
Konačno, segment △z pokazuje višak tačke A iznad tačke IN.
Zagovornici bezosovinskog proučavanja kursa deskriptivne geometrije s pravom ističu da se pri rješavanju mnogih zadataka može bez koordinatnih osa. Međutim, njihovo potpuno napuštanje ne može se smatrati preporučljivim. Deskriptivna geometrija je dizajnirana da pripremi budućeg inženjera ne samo za kompetentno izvođenje crteža, već i za rješavanje različitih tehničkih problema, među kojima ne zauzimaju najmanje mjesto problemi prostorne statike i mehanike. A za to je potrebno razviti sposobnost orijentacije ovog ili onog objekta u odnosu na kartezijanske koordinatne osi. Ove vještine će također biti neophodne kada se proučavaju dijelovi deskriptivne geometrije kao što su perspektiva i aksonometrija. Stoga, na brojnim dijagramima u ovoj knjizi čuvamo slike koordinatnih osa. Takvi crteži određuju ne samo oblik objekta, već i njegovu lokaciju u odnosu na ravnine projekcije.
Položaj tačke u prostoru može se odrediti pomoću njene dvije ortogonalne projekcije, na primjer, horizontalna i frontalna, frontalna i profilna. Kombinacija bilo koje dvije ortogonalne projekcije omogućava vam da saznate vrijednost svih koordinata točke, konstruirate treću projekciju i odredite oktant u kojem se ona nalazi. Pogledajmo nekoliko tipičnih problema iz kursa deskriptivne geometrije.
Za dati složeni crtež tačaka A i B potrebno je:
Odredimo prvo koordinate tačke A koje se mogu napisati u obliku A (x, y, z). Horizontalna projekcija tačke A - tačka A", koja ima koordinate x, y. Povučemo okomite iz tačke A" na ose x, y i nađemo A x, A y, respektivno. Koordinata x za tačku A jednaka je dužini segmenta A x O sa znakom plus, jer A x leži u području pozitivnih vrijednosti ose x. Uzimajući u obzir razmeru crteža, nalazimo x = 10. Koordinata y jednaka je dužini segmenta A y O sa predznakom minus, pošto t A y leži u oblasti negativnih vrednosti y osi. Uzimajući u obzir razmeru crteža, y = –30. Frontalna projekcija tačke A - tačka A"" ima koordinate x i z. Spustimo okomicu iz A"" na osu z i nađimo A z. Koordinata z tačke A jednaka je dužini segmenta A z O sa predznakom minus, pošto A z leži u oblasti negativnih vrednosti z ose. Uzimajući u obzir skalu crteža z = –10. Dakle, koordinate tačke A su (10, –30, –10).
Koordinate tačke B se mogu napisati kao B (x, y, z). Razmotrimo horizontalnu projekciju tačke B - tačka B". Pošto ona leži na osi x, onda je B x = B" i koordinata B y = 0. Apscisa x tačke B jednaka je dužini segmenta B x O sa znakom plus. Uzimajući u obzir razmeru crteža x = 30. Frontalna projekcija tačke B je t B˝ ima koordinate x, z. Nacrtajmo okomicu iz B"" na osu z, tako da nađemo B z. Primjena z tačke B jednaka je dužini segmenta B z O sa predznakom minus, jer B z leži u području negativnih vrijednosti z ose. Uzimajući u obzir razmeru crteža, određujemo vrednost z = –20. Dakle, koordinate B su (30, 0, -20). Sve potrebne konstrukcije prikazane su na donjoj slici.
Konstrukcija projekcija tačaka
Tačke A i B u ravni P 3 imaju sljedeće koordinate: A""" (y, z); B""" (y, z). U ovom slučaju, A"" i A""" leže na istoj okomiti na osu z, pošto imaju zajedničku z koordinatu. Slično, B"" i B""" leže na zajedničkoj okomici na osu z. Da bismo pronašli profilnu projekciju točke A, crtamo duž y-ose vrijednost odgovarajuće koordinate pronađene ranije. Na slici je to učinjeno pomoću kružnog luka poluprečnika A y O. Nakon toga povucite okomicu iz A y dok se ne siječe sa okomicom vraćenom iz tačke A"" na os z. Tačka presjeka ove dvije okomice određuje položaj A""".
Tačka B""" leži na osi z, pošto je y ordinata ove tačke nula. Da biste pronašli projekciju profila tačke B u ovom zadatku, potrebno je samo povući okomicu iz B"" na osu z. tačka preseka ove okomice sa osom z je B """.
Određivanje položaja tačaka u prostoru
Vizuelno zamišljajući prostorni raspored, sastavljen od ravni projekcije P 1, P 2 i P 3, lokaciju oktanata, kao i redosled transformacije rasporeda u dijagrame, možete direktno odrediti da se tačka A nalazi u III oktantu. , a tačka B leži u ravni P 2.
Druga opcija za rješavanje ovog problema je metoda izuzetaka. Na primjer, koordinate tačke A su (10, -30, -10). Pozitivna apscisa x omogućava nam da procenimo da se tačka nalazi u prva četiri oktanta. Negativna ordinata y označava da je tačka u drugom ili trećem oktantu. Konačno, negativna aplikacija z označava da se tačka A nalazi u trećem oktantu. Sljedeća tabela jasno ilustruje gornje rezonovanje.
| Oktanti | Koordinatni znakovi | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Koordinate tačke B (30, 0, -20). Pošto je ordinata tačke B nula, ova tačka se nalazi u ravni projekcije P 2. Pozitivna apscisa i negativna primjena t B ukazuju na to da se nalazi na granici trećeg i četvrtog oktanta.
Konstrukcija vizuelne slike tačaka u sistemu ravnina P 1, P 2, P 3
Koristeći frontalnu izometrijsku projekciju, izgradili smo prostorni raspored III oktanta. To je pravougaoni triedar čije su strane ravni P 1, P 2, P 3, a ugao (-y0x) je 45 º. U ovom sistemu, segmenti duž x, y, z osa će biti ucrtani životnu veličinu bez izobličenja.
Počnimo sa konstruisanjem vizuelne slike tačke A (10, -30, -10) sa njenom horizontalnom projekcijom A. Ucrtavanjem odgovarajućih koordinata duž apscise i ordinatne ose nalazimo tačke A x i A y rekonstruisana od A x i A y do ose x i y određuje položaj tačke A". Odvajajući od A" paralelno osi z prema njenim negativnim vrijednostima segment AA, čija je dužina 10, nalazimo položaj tačke A.
Vizuelna slika tačke B (30, 0, -20) konstruisana je na sličan način - u ravni P2 duž osa x i z, potrebno je iscrtati odgovarajuće koordinate. Presek okomica rekonstruisanih iz B x i B z odrediće položaj tačke B.
Projektovanje tačke na tri ravni projekcija koordinatnog ugla počinje dobijanjem njene slike na H ravni - horizontalnoj ravni projekcije. Da bi se to učinilo, projekcijski snop prolazi kroz tačku A (slika 4.12, a) okomito na ravninu H.
Na slici, okomita na H ravan je paralelna sa Oz osom. Tačka preseka grede sa H ravninom (tačka a) bira se proizvoljno. Segment Aa određuje na kojoj udaljenosti se tačka A nalazi od ravni H, čime jasno pokazuje položaj tačke A na slici u odnosu na ravni projekcije. Tačka a je pravougaona projekcija tačke A na ravan H i naziva se horizontalna projekcija tačke A (slika 4.12, a).
Da bi se dobila slika tačke A na ravni V (slika 4.12,b), projekcijski snop prolazi kroz tačku A okomito na frontalnu ravan projekcija V. Na slici, okomica na ravninu V je paralelna sa Oy osom . Na ravni H, rastojanje od tačke A do ravni V biće predstavljeno segmentom aa x, paralelno sa Oy osi i okomito na Ox osu. Ako zamislimo da se projektovana zraka i njena slika odvijaju istovremeno u smjeru ravnine V, onda kada slika zraka siječe os Ox u tački a x, zraka će presjeći ravan V u tački a." Crtež iz tačke ax u ravnini V dobija se okomita na osu Ox, koja je slika projektovane zrake Aa na ravan V, u preseku sa projektovanom zrakom, dobija se tačka a." Tačka a" je frontalna projekcija tačke A, odnosno njena slika na ravan V.
Slika tačke A na ravni projekcije profila (slika 4.12, c) konstruisana je pomoću projekcijske grede, okomito na ravan W. Na slici, okomita na W ravan je paralelna sa Ox osom. Zraka koja se projektuje iz tačke A u ravan W na ravni H biće predstavljena segmentom aa y, paralelnim sa Ox osi i okomitim na Oy osu. Iz tačke Oy, paralelno sa osom Oz i okomito na osu Oy, konstruiše se slika projektovane zrake aA i na preseku sa projektovanom zrakom dobija se tačka a." Tačka a" je profilna projekcija tačke A , tj. slika tačke A na ravni W.
Tačka a" može se konstruisati crtanjem iz tačke a" segmenta a"a z (slika projektovane zrake Aa" na ravan V) paralelnog sa osom Ox, a iz tačke a z - segmenta a"a z paralelnog sa Oy osi dok se ne ukrsti sa zrakom koji se projektuje.
Dobivši tri projekcije tačke A na ravni projekcije, koordinatni ugao se širi u jednu ravan, kao što je prikazano na sl. 4.11, b, zajedno sa projekcijama tačke A i projektovanih zraka, te tačke A i projektovanih zraka Aa, Aa" i Aa" uklanjaju se. Rubovi kombinovanih ravni projekcije nisu nacrtani, već su nacrtane samo ose projekcije Oz, Oy i Ox, Oy 1 (slika 4.13).
Analiza ortogonalnog crteža tačke pokazuje da se tri udaljenosti - Aa", Aa i Aa" (sl. 4.12, c), koje karakterišu položaj tačke A u prostoru, mogu odrediti odbacivanjem samog projekcijskog objekta - tačke A, na koordinatni ugao pretvoren u jednu ravan (slika 4.13). Segmenti a"a z, aa y i Oa x jednaki su Aa" kao suprotne strane odgovarajućih pravougaonika (sl. 4.12c i 4.13). Oni određuju udaljenost na kojoj se tačka A nalazi od ravni projekcije profila. Segmenti a"a x, a"a y1 i Oa y jednaki su segmentu Aa, koji određuju rastojanje od tačke A do horizontalne ravni projekcije, segmenti aa x, a"a z i Oa y 1 jednaki su segmentu Aa ", određujući udaljenost od tačke A do frontalne ravni projekcija.
Segmenti Oa x, Oa y i Oa z, koji se nalaze na osi projekcije, grafički su izraz dimenzija X, Y i Z koordinata tačke A. Koordinate tačke su označene indeksom odgovarajućeg slova . Mjerenjem veličine ovih segmenata možete odrediti položaj tačke u prostoru, odnosno postaviti koordinate tačke.
Na dijagramu se segmenti a"a x i aa x nalaze kao jedna prava okomita na osu Ox, a segmenti a"a z i a"a z - na osu Oz. Ove prave se nazivaju projekcijske veze. One sijeku projekcijske ose u tačkama ax i a z, respektivno. Projekciona veza koja povezuje horizontalnu projekciju tačke A sa profilnom ispostavila se da je „presečena“ u tački a y.
Dvije projekcije iste tačke nalaze se uvijek na istoj projekcijskoj spojnoj liniji, okomitoj na osu projekcija.
Da bi se prikazao položaj tačke u prostoru, dovoljne su dve njene projekcije i dato poreklo (tačka O). 4.14, b, dvije projekcije tačke u potpunosti određuju njen položaj u prostoru Koristeći ove dvije projekcije, moguće je konstruirati profilnu projekciju tačke A. Dakle, u budućnosti, ako ne bude potrebe za profilnom projekcijom, dijagrami. biće konstruisana na dve projekcijske ravni: V i H.
Rice. 4.14. Rice. 4.15.
Pogledajmo nekoliko primjera konstruiranja i čitanja crteža točke.
Primjer 1. Određivanje koordinata tačke J navedene na dijagramu u dvije projekcije (slika 4.14). Mjere se tri segmenta: segment OB X (X koordinata), segment b X b (Y koordinata) i segment b X b" (Z koordinata). Koordinate se pišu sljedećim redoslijedom: X, Y i Z, nakon slova oznaka tačke, na primer, B20;
Primjer 2. Konstruisanje tačke na datim koordinatama. Tačka C je data koordinatama C30; 10; 40. Na osi Ox (slika 4.15) pronađite tačku c x u kojoj projekcijska veza siječe osu projekcije. Da bi se to postiglo, koordinata X (veličina 30) se iscrtava duž ose Ox od početka (tačka O) i dobije se tačka sa x. Kroz ovu tačku povučena je vezna linija okomito na osu Ox i iz tačke se polaže Y koordinata (veličina 10) i dobije se tačka c - horizontalna projekcija tačke C. Koordinata Z (veličina 40) je iscrtano naviše od tačke c x duž linije projekcije (veličina 40), dobija se tačka c" - frontalna projekcija tačke C.
Primjer 3. Konstrukcija profilne projekcije tačke koristeći date projekcije. Date su projekcije tačke D - d i d". Kroz tačku O povučene su ose projekcije Oz, Oy i Ou 1 (sl. 4.16, a). Da se konstruiše profilna projekcija tačke D tačka d", projekcija linija veze je povučena okomito na os Oz i nastavlja je desno iza ose Oz. Profilna projekcija tačke D će se nalaziti na istoj udaljenosti od ose Oz kao što se nalazi horizontalna projekcija tačke d: od ose Ox, odnosno na udaljenosti dd x. Segmenti d z d" i dd x su isti, jer definišu isto rastojanje - rastojanje od tačke D do frontalne ravni projekcija. Ovo rastojanje je Y koordinata tačke D.
Grafički, segment d z d" se konstruiše prenošenjem segmenta dd x iz horizontalne ravni projekcije u profilnu. Da biste to uradili, povucite liniju projekcijske veze paralelno sa osom Ox, dobijete tačku d y na osi Oy ( Slika 4.16, b Zatim prenesite veličinu segmenta Od y na osu Oy 1, crtanjem luka od tačke O poluprečnika koji je jednak segmentu Od y do preseka sa osom Oy 1 (slika 4.16). , b), dobijamo tačku dy 1. Ova tačka se takođe može konstruisati, kao što je prikazano na slici 4.16, c, povlačenjem prave linije pod uglom od 45° od tačke d y y1, povuče se projekcijska veza paralelna sa Oz osi i na nju se položi segment jednak segmentu d"d x, dobije se tačka d.
Prenos vrijednosti segmenta d x d na profilnu ravan projekcija može se izvršiti pomoću konstantne prave linije crteža (sl. 4.16, d). U ovom slučaju, projekcijska vezna linija dd y povlači se kroz horizontalnu projekciju tačke paralelne s osi Oy 1 dok se ne siječe s konstantnom ravnom linijom, a zatim paralelno s osom Oy dok se ne siječe s nastavkom projekcije priključni vod d"d z.
Posebni slučajevi položaja tačaka u odnosu na ravni projekcije
Položaj tačke u odnosu na ravan projekcije određen je odgovarajućom koordinatom, odnosno veličinom segmenta projekcijske spojne linije od ose Ox do odgovarajuće projekcije. Na sl. 4.17 Y koordinata tačke A određena je segmentom aa x - rastojanjem od tačke A do ravni V. Koordinata Z tačke A određena je segmentom a "a x - rastojanjem od tačke A do ravni H. Ako je jedna koordinata je nula, tada se tačka nalazi na ravni projekcije. Slika 4.17 prikazuje primjere različitih lokacija tačaka u odnosu na ravni projekcije. Z koordinata tačke B je jednaka nuli, tačka se nalazi u ravnini H. Njegova frontalna projekcija je na osi Ox i poklapa se sa tačkom b x. Koordinata Y tačke C je locirana na ravnini V, njena horizontalna projekcija je na osi Ox i poklapa se sa tačkom c x.
Dakle, ako je tačka na ravni projekcije, tada jedna od projekcija ove tačke leži na osi projekcije.
Na sl. 4.17, koordinate Z i Y tačke D jednake su nuli, stoga se tačka D nalazi na osi projekcije Ox i njene dvije projekcije se poklapaju.