Considere las proyecciones de puntos en dos planos, para lo cual tomamos dos planos perpendiculares (Fig. 4), que llamaremos planos frontales y horizontales. La línea de intersección de estos planos se llama eje de proyección. Proyectamos un punto A sobre los planos considerados utilizando una proyección plana. Para hacer esto, es necesario bajar las perpendiculares Aa y A desde el punto dado sobre los planos considerados.

La proyección sobre un plano horizontal se llama vista del plan puntos A, y la proyección ¿a? en el plano frontal se llama proyección frontal.

Los puntos que se van a proyectar en geometría descriptiva generalmente se denotan con letras latinas mayúsculas. A B C. Se utilizan letras minúsculas para designar proyecciones horizontales de puntos. a B C... Las proyecciones frontales se indican en minúsculas con un trazo en la parte superior ¿a B C?…

También se usa la designación de puntos con números romanos I, II, ..., y para sus proyecciones, con números arábigos 1, 2 ... y 1?, 2? ...

Cuando el plano horizontal se gira 90°, se puede obtener un dibujo en el que ambos planos están en el mismo plano (Fig. 5). Esta imagen se llama gráfico de puntos.

A través de líneas perpendiculares Ah y ah? dibujar un plano (Fig. 4). El plano resultante es perpendicular a los planos frontal y horizontal porque contiene perpendiculares a estos planos. Por lo tanto, este plano es perpendicular a la línea de intersección de los planos. La línea recta resultante interseca el plano horizontal en una línea recta. Automóvil club británico x, y el plano frontal - en línea recta ¿eh? X. Directo aah y ¿eh? x son perpendiculares al eje de intersección de los planos. Es decir Aaah? es un rectángulo.

Al combinar los planos de proyección horizontal y frontal a y ¿a? recaerá sobre una perpendicular al eje de intersección de los planos, ya que cuando el plano horizontal gira, la perpendicularidad de los segmentos Automóvil club británico x y ¿eh? x no está roto.

Obtenemos eso en el diagrama de proyección. a y ¿a? algún punto A siempre se encuentran en la misma perpendicular al eje de intersección de los planos.

Dos proyecciones a y ¿a? de algún punto A puede determinar de manera única su posición en el espacio (Fig. 4). Esto se confirma por el hecho de que al construir una perpendicular desde la proyección a al plano horizontal, pasará por el punto A. De manera similar, la perpendicular desde la proyección ¿a? al plano frontal pasará por el punto A, es decir punto A se encuentra en dos líneas definidas al mismo tiempo. El punto A es su punto de intersección, es decir, es definido.

Considere un rectángulo aaa X ¿a?(Fig. 5), para lo cual son verdaderas las siguientes afirmaciones:

1) Distancia del punto A desde el plano frontal es igual a la distancia de su proyección horizontal a desde el eje de intersección de los planos, es decir

ah? = Automóvil club británico X;

2) distancia del punto A desde el plano horizontal de proyecciones es igual a la distancia de su proyección frontal ¿a? desde el eje de intersección de los planos, es decir

Ah = ¿eh? X.

En otras palabras, incluso sin el punto en sí mismo en la gráfica, utilizando solo sus dos proyecciones, puede averiguar a qué distancia de cada uno de los planos de proyección se encuentra este punto.

La intersección de dos planos de proyección divide el espacio en cuatro partes, que se denominan cuarteles(Figura 6).

El eje de intersección de los planos divide el plano horizontal en dos cuartos: el frente y el dorso, y el plano frontal, en los cuartos superior e inferior. La parte superior del plano frontal y la parte anterior del plano horizontal se consideran como los límites del primer cuarto.

Al recibir el diagrama, el plano horizontal gira y coincide con el plano frontal (Fig. 7). En este caso, la parte delantera del plano horizontal coincidirá con la parte inferior del plano frontal, y la parte trasera del plano horizontal con la parte superior del plano frontal.

Las figuras 8-11 muestran los puntos A, B, C, D, ubicados en diferentes cuartos del espacio. El punto A está en el primer cuarto, el punto B está en el segundo, el punto C está en el tercero y el punto D está en el cuarto.

Cuando los puntos estén situados en el primer o cuarto cuarto de su proyecciones horizontales ubicados en el frente del plano horizontal, y en el diagrama estarán debajo del eje de intersección de los planos. Cuando un punto esté situado en el segundo o tercer cuarto, su proyección horizontal estará en la parte posterior del plano horizontal, y en el gráfico estará por encima del eje de intersección de los planos.

Proyecciones frontales los puntos que estén situados en el primer o segundo cuarto estarán situados en la parte superior del plano frontal, y en el diagrama estarán situados por encima del eje de intersección de los planos. Cuando un punto está situado en el tercer o cuarto cuarto, su proyección frontal está por debajo del eje de intersección de los planos.

La mayoría de las veces, en construcciones reales, la figura se coloca en el primer cuarto del espacio.

En algunos casos particulares, el punto ( mi) puede estar en un plano horizontal (Fig. 12). En este caso, su proyección horizontal e y el propio punto coincidirán. La proyección frontal de tal punto estará sobre el eje de la intersección de los planos.

En el caso de que el punto A se encuentra en el plano frontal (Fig. 13), su proyección horizontal k se encuentra en el eje de intersección de los planos, y el frontal k? muestra la ubicación real de ese punto.

Para tales puntos, la señal de que se encuentra en uno de los planos de proyección es que una de sus proyecciones se encuentra en el eje de intersección de los planos.

Si un punto se encuentra en el eje de intersección de los planos de proyección, él y sus dos proyecciones coinciden.

Cuando un punto no está en los planos de proyección, se llama punto de posición general. En lo que sigue, si no hay marcas especiales, el punto bajo consideración es un punto en posición general.

2. Falta de eje de proyección

Para explicar cómo obtener en el modelo las proyecciones de un punto sobre planos de proyección perpendiculares (Fig. 4), es necesario tomar una hoja de papel grueso en forma de rectángulo alargado. Necesita ser doblado entre proyecciones. La línea de plegado representará el eje de la intersección de los planos. Si después de eso el papel doblado se vuelve a enderezar, obtenemos un diagrama similar al que se muestra en la figura.

Combinando dos planos de proyección con el plano de dibujo, no puede mostrar la línea de plegado, es decir, no dibujar el eje de intersección de los planos en el diagrama.

Al construir en un diagrama, siempre debe colocar proyecciones a y ¿a? punto A en una línea vertical (Fig. 14), que es perpendicular al eje de intersección de los planos. Por lo tanto, incluso si la posición del eje de intersección de los planos permanece indefinida, pero su dirección está determinada, el eje de la intersección de los planos solo puede ser perpendicular a la línea recta en el diagrama. ah?.

Si no hay un eje de proyección en el diagrama de puntos, como en la primera figura 14 a, puedes imaginar la posición de este punto en el espacio. Para hacer esto, dibuje en cualquier lugar perpendicular a la línea. ah? eje de proyección, como en la segunda figura (Fig. 14) y doble el dibujo a lo largo de este eje. Si restablecemos las perpendiculares en los puntos a y ¿a? antes de que se crucen, puedes obtener un punto A. Al cambiar la posición del eje de proyección se obtienen diferentes posiciones del punto con respecto a los planos de proyección, pero la incertidumbre en la posición del eje de proyección no afecta acuerdo mutuo varios puntos o figuras en el espacio.

3. Proyecciones de un punto sobre tres planos de proyección

Considere el plano de perfil de las proyecciones. Las proyecciones sobre dos planos perpendiculares suelen determinar la posición de la figura y permiten conocer sus dimensiones y forma reales. Pero hay momentos en que dos proyecciones no son suficientes. Luego aplique la construcción de la tercera proyección.

El tercer plano de proyección se realiza de manera que sea perpendicular a ambos planos de proyección al mismo tiempo (Fig. 15). El tercer plano se llama perfil.

En tales construcciones, la línea común de los planos horizontal y frontal se llama eje X , la línea común de los planos horizontal y de perfil - eje en , y la recta común de los planos frontal y de perfil - eje z . Punto O, que pertenece a los tres planos, se llama punto de origen.

La Figura 15a muestra el punto A y tres de sus proyecciones. Proyección sobre el plano del perfil ( ¿¿a??) son llamados proyección de perfil y denota ¿¿a??.

Para obtener un diagrama del punto A, que consta de tres proyecciones un, un un, es necesario cortar el triedro formado por todos los planos a lo largo del eje y (Fig. 15b) y combinar todos estos planos con el plano de la proyección frontal. El plano horizontal debe rotarse sobre el eje X, y el plano del perfil está cerca del eje z en la dirección indicada por la flecha en la Figura 15.

La figura 16 muestra la posición de las proyecciones. ¿eh? y ¿¿a?? puntos A, obtenido como resultado de combinar los tres planos con el plano de dibujo.

Como resultado del corte, el eje y aparece en el diagrama en dos lugares diferentes. En un plano horizontal (Fig. 16), toma una posición vertical (perpendicular al eje X), y en el plano del perfil - horizontal (perpendicular al eje z).

La Figura 16 muestra tres proyecciones ¿eh? y ¿¿a?? los puntos A tienen una posición estrictamente definida en el diagrama y están sujetos a condiciones inequívocas:

a y ¿a? debe ubicarse siempre en una línea recta vertical perpendicular al eje X;

¿a? y ¿¿a?? debe ubicarse siempre en la misma línea horizontal perpendicular al eje z;

3) cuando se dibuja a través de una proyección horizontal y una línea horizontal, pero a través de una proyección de perfil ¿¿a??- una línea recta vertical, las líneas construidas necesariamente se cortarán en la bisectriz del ángulo entre los ejes de proyección, ya que la figura Oa en a 0 a n es un cuadrado.

Al construir tres proyecciones de un punto, es necesario verificar el cumplimiento de las tres condiciones para cada punto.

4. Coordenadas del punto

La posición de un punto en el espacio se puede determinar usando tres números llamados su coordenadas. Cada coordenada corresponde a la distancia de un punto a algún plano de proyección.

Distancia del punto A al plano del perfil es la coordenada X, en donde X = ¿eh?(Fig. 15), la distancia al plano frontal - por la coordenada y, y y = ¿eh?, y la distancia al plano horizontal es la coordenada z, en donde z = Automóvil club británico.

En la Figura 15, el punto A ocupa el ancho de una caja rectangular, y las medidas de esta caja corresponden a las coordenadas de este punto, es decir, cada una de las coordenadas se presenta en la Figura 15 cuatro veces, es decir:

x \u003d a?A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a?A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = ay a?.

En el diagrama (Fig. 16), las coordenadas x y z aparecen tres veces:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Todos los segmentos que corresponden a la coordenada X(o z) son paralelos entre sí. Coordinar en representado dos veces por el eje vertical:

y \u003d Oa y \u003d axa

y dos veces - ubicado horizontalmente:

y \u003d Oa y \u003d az a?.

Esta diferencia apareció debido al hecho de que el eje y está presente en el diagrama en dos posiciones diferentes.

Cabe señalar que la posición de cada proyección está determinada en el diagrama por solo dos coordenadas, a saber:

1) horizontal - coordenadas X y en,

2) frontal - coordenadas X y z,

3) perfil - coordenadas en y z.

Usando coordenadas x, y y z, puede crear proyecciones de un punto en el diagrama.

Si el punto A está dado por coordenadas, su registro se define de la siguiente manera: A ( X; y; z).

Al construir proyecciones puntuales A se deben verificar las siguientes condiciones:

1) proyecciones horizontales y frontales a y ¿a? X X;

2) proyecciones frontales y de perfil ¿a? y ¿a? debe ubicarse en la misma perpendicular al eje z, ya que tienen una coordenada común z;

3) proyección horizontal y también quitada del eje X, como la proyección del perfil a lejos del eje z, desde la proyección ah? y eh? tener una coordenada común en.

Si el punto se encuentra en cualquiera de los planos de proyección, entonces una de sus coordenadas es igual a cero.

Cuando un punto se encuentra en el eje de proyección, sus dos coordenadas son cero.

Si un punto se encuentra en el origen, sus tres coordenadas son cero.

En algunos casos, por conveniencia en la resolución de problemas, es necesario utilizar planos de proyección adicionales perpendiculares a los planos de proyección existentes.

Si se dan las proyecciones horizontal y frontal de un punto, la proyección del perfil se determina mediante el siguiente algoritmo.

Dibujamos una línea de conexión de proyección perpendicular al eje. Onz.

En esta línea de la conexión de proyección, posponemos el segmento A 1 A X =A Z A 3 .

Usando esta regla, es posible construir proyecciones de puntos en planos de proyección adicionales (método de reemplazo de planos).

Que se dé un punto AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO 2 ,A 1 ) y un nuevo plano de proyección adicional PAGS 4 PAGS 1 . Construir A 4 – punto de proyección A sobre el PAGS 4 .

Solución

a) Construimos una línea de intersección de planos PAGS 1 y PAGS 4 = X 1,4 ;

b) Por un punto A trazamos una línea de comunicación de proyección X 1,4 .

c) Construyendo una proyección A 4 , Yo uso segmentos de línea A 2 A X =A 4 A X .

Proyecciones de dos puntos A 1 y A 4 se encuentran en la misma línea de conexión de proyección perpendicular al eje X 1,4 .

Distancia desde la proyección del punto "nuevo" A 4 al eje “nuevo” X 1,4 es igual a la distancia desde la proyección del punto "antiguo" A 2 al eje “viejo” X 1,2 .

puntos de competencia

puntos de competencia llamar a un par de puntos que se encuentran en el mismo rayo de proyección.

De los dos puntos en competencia, el punto visible es el que está más alejado del plano de proyección.

puntos A y V llamado horizontalmente competitivo.

puntos CON y D se llaman competidores frontales.

Introduzca un plano adicional para que los puntos A y V se volvió competitivo.

Plan de solución:

1 Construyendo un eje X 1,4 A 1 , B 1 ;

2 Construimos una línea de conexión de proyección X 1,4 ;

3 En la línea de la conexión de proyección, coloque los segmentos A X A 2 = A / X A 4 , B X B 2 = B / X B 4 .

Material de autoaprendizaje Modelado de objetos gráficos en 2D en el sistema de gráficos de brújula Inicio y apagado del sistema de brújula

El sistema KOMPAS-3D-V8 se inicia de manera similar a otros programas. Para iniciar el sistema, seleccione el menú \ Comienzo\ Todo Pprogramas\ ASCON \KOMPAS-3D- V8 y correr BRÚJULA. Puede seleccionar el acceso directo del programa con el puntero del mouse en el campo del escritorio y hacer doble clic con el botón izquierdo del mouse. Para abrir un documento, haga clic en el botón Abierto en el panel Estándar . Para iniciar un nuevo documento, haga clic en el botón Crear en el panel Estándar o ejecuta el comando Archivo > Crear y en el cuadro de diálogo que se abre, seleccione el tipo de documento a crear y haga clic en OK.

Seleccione el menú para terminar. Archivo\Salida, la combinación de teclas Alt-F4, o haga clic en el botón Cerrar.

Los principales tipos de documentos del sistema gráfico de la brújula.

El tipo de documento creado en el sistema KOMPAS depende del tipo de información almacenada en este documento. Cada tipo de documento tiene una extensión de nombre de archivo y su propio icono.

1 dibujo- el principal tipo de documento gráfico en KOMPAS. El dibujo contiene una imagen gráfica del producto en una o más vistas, un bloque de título, un marco. Un dibujo KOMPAS siempre contiene una hoja de un formato definido por el usuario. El archivo de dibujo tiene la extensión .cdw.

2 fragmento- tipo auxiliar de documento gráfico en KOMPAS. Un fragmento se diferencia de un dibujo por la ausencia de un marco, bloque de título y otros objetos de diseño del documento de diseño. Los fragmentos almacenan soluciones estándar creadas para su uso posterior en otros documentos. El archivo de fragmento tiene la extensión .frw.

3 Documento de texto(extensión de archivo . kdw);

4 Especificación(extensión de archivo . spw);

5 Montaje(extensión de archivo . a3 D);

6 Detalle- Modelado 3D (extensión de archivo . metro3 D);

PROYECCIONES DE PUNTO.

SISTEMA ORTOGONAL DE DOS PLANOS DE PROYECCIONES.

La esencia del método de proyección ortogonal radica en el hecho de que el objeto se proyecta sobre dos planos perpendiculares entre sí mediante rayos ortogonales (perpendiculares) a estos planos.

Uno de los planos de proyección H se coloca horizontalmente y el otro V se coloca verticalmente. El plano H se llama plano horizontal de proyecciones, V - frontal. Los planos H y V son infinitos y opacos. La línea de intersección de los planos de proyección se denomina eje de coordenadas y se denota BUEY. Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro ángulos diedros: cuartos.

Considerando proyecciones ortogonales, se supone que el observador está en el primer cuarto a una distancia infinitamente grande de los planos de proyección. Como estos planos son opacos, sólo serán visibles para el observador aquellos puntos, líneas y figuras que se encuentren dentro del mismo primer cuarto.

Al construir proyecciones, es necesario recordar que punto de proyección ortogonalsobre un plano se llama base de la perpendicular que se deja caer desde un punto dadoa este avión.

La figura muestra el punto A y sus proyecciones ortogonales un 1 y un 2

punto un 1 llamado vista del plan puntos A, punto un 2- ella proyección frontal. Cada uno de ellos es la base de la perpendicular que cae desde el punto A respectivamente en el avión H y V.

Se puede probar que punto de proyecciónsiempre ubicado en líneas rectas, perpendiculareseje ocularOH y cruzando este ejeen el mismo punto. De hecho, proyectando rayos Aun 1 y Aun 2 definir un plano perpendicular a los planos de proyecciones y las líneas de su intersección - ejes OH. Este plano intersecta H y V en lineas rectas un 1 unX y un 1 unX, que forman con el eje BUEY y entre sí ángulos rectos con vértice en un punto aX.

Lo contrario también es cierto, es decir. si se dan puntos en los planos de proyeccióna 1 y a 2 , situado en rectas que se cortan eje BUEYen este punto en ángulo recto,entonces son proyecciones de algunospuntos a. Este punto está determinado por la intersección de las perpendiculares construidas a partir de los puntos a 1 y a 2 a los aviones H y V.

Tenga en cuenta que la posición de los planos de proyección en el espacio puede ser diferente. Por ejemplo, ambos planos, al ser mutuamente perpendiculares, pueden ser verticales, pero en este caso, la suposición anterior sobre la orientación de las proyecciones opuestas de los puntos con respecto al eje sigue siendo válida.

Para obtener un dibujo plano que consta de las proyecciones anteriores, el plano H alineado por rotación alrededor de un eje BUEY con avion V como muestran las flechas en la figura. Como resultado, el semiplano frontal H se alineará con el semiplano inferior V, y el semiplano trasero H- con semiplano superior V.

Un dibujo de proyección, en el que los planos de proyección con todo lo que se representa en ellos, se combinan de cierta manera entre sí, se llama diagrama(del francés epure - dibujo). La figura muestra un diagrama de un punto. UNA.

Con este método de combinar planos H y V proyecciones a 1 y a 2 se ubicará en la misma perpendicular al eje BUEY. Al mismo tiempo, la distancia a 1 una x — de la proyección horizontal del punto al eje BUEY A hasta el avión V, y la distancia a 2 una x — de la proyección frontal del punto al eje BUEY igual a la distancia del punto A hasta el avión H.

Líneas rectas que conectan proyecciones opuestas de un punto en el diagrama, acordamos llamar líneas de comunicación de proyección.

La posición de las proyecciones de puntos en el diagrama depende del cuarto en el que se encuentra el punto dado. Así que si el punto V está ubicado en el segundo cuarto, luego, después de la alineación de los planos, ambas proyecciones estarán sobre el eje BUEY.

si el punto CON está en el tercer cuarto, entonces su proyección horizontal, después de combinar los planos, estará por encima del eje, y la proyección frontal estará por debajo del eje BUEY. Finalmente, si el punto D ubicado en el cuarto trimestre, entonces sus dos proyecciones estarán bajo el eje BUEY. La figura muestra los puntos METRO y norte acostado en los planos de proyección. En esta posición, el punto coincide con una de sus proyecciones, mientras que su otra proyección resulta estar sobre el eje. BUEY. Esta característica también se refleja en la designación: cerca de la proyección con la que coincide el punto en sí, se escribe una letra mayúscula sin índice.

También hay que señalar que se da el caso cuando ambas proyecciones del punto coinciden. Esto sucederá si el punto está en el segundo o cuarto cuarto a la misma distancia de los planos de proyección. Ambas proyecciones se combinan con el propio punto, si este último se encuentra en el eje BUEY.

SISTEMA ORTOGONAL DE TRES PLANOS DE PROYECCIONES.

Se mostró arriba que dos proyecciones de un punto determinan su posición en el espacio. Dado que cada figura o cuerpo es una colección de puntos, se puede argumentar que dos proyecciones ortogonales de un objeto (en presencia de designaciones de letras) determinan completamente su forma.

Sin embargo, en la práctica, las imágenes estructuras de construccion, máquinas y diversas estructuras de ingeniería, se hace necesario crear proyecciones adicionales. Lo hacen con el único propósito de hacer que el dibujo de proyección sea más claro y legible.

El modelo de tres planos de proyección se muestra en la figura. El tercer plano, perpendicular y H y V, indicado por la letra W y llamó perfil.

Las proyecciones de puntos sobre este plano también se llamarán perfil, y se denotarán con letras mayúsculas o números con índice 3 (ah,Bh,Ch, ...1h, 2h, 3 3...).

Los planos de proyección, que se cruzan por parejas, definen tres ejes: OX, ohY y OZ, el cual puede ser considerado como un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio con origen en el punto O. El sistema de signos indicado en la figura corresponde al “sistema de coordenadas derecho”.

Tres planos de proyección dividen el espacio en ocho ángulos triédricos: estos son los llamados octantes. La numeración de octantes se da en la figura.

Para obtener una parcela de un plano H y W girar como se muestra en la figura hasta alinear con el plano V. Como resultado de la rotación, el semiplano frontal H resulta estar alineado con el semiplano inferior V, y el semiplano trasero H- con semiplano superior V. Cuando se gira 90° alrededor del eje OZ semiplano frontal W coincide con el semiplano derecho V, y el semiplano trasero W- con el semiplano izquierdo V.

La vista final de todos los planos de proyección combinados se muestra en la figura. En este dibujo, los ejes OX y OZ, acostado en un plano fijo V, se muestran una sola vez, y el eje OY mostrado dos veces. Esto se explica por el hecho de que, girando con el plano H, eje OY en el diagrama está alineado con el eje OZ, mientras gira con el avión W, el mismo eje está alineado con el eje OX.

En el futuro, al designar los ejes en el diagrama, los semiejes negativos (- OX, — OY, — OZ) no se indicará.

TRES COORDENADAS Y TRES PROYECCIONES DE UN PUNTO Y SU RADIO-VECTOR.

Las coordenadas son números queponer en correspondencia con un punto para determinarniya de su posición en el espacio o ensuperficies.

En el espacio tridimensional, la posición de un punto se establece mediante coordenadas cartesianas rectangulares. x, y y z.

Coordinar X llamado abscisa, en— ordenada y z — aplique Abscisa X define la distancia de un punto dado a un plano W, ordenada y- hasta el avión V y apliques z - hasta el avión H. Habiendo adoptado el sistema que se muestra en la figura para contar las coordenadas de un punto, compilaremos una tabla de signos de coordenadas en los ocho octantes. Cualquier punto en el espacio A, dado por coordenadas, se denotará de la siguiente manera: A(x, y,z).

Si x = 5, y = 4 y z = 6, entonces la entrada tomará la siguiente forma A(5, 4, 6). Este punto A, todas sus coordenadas son positivas, está en el primer octante

Coordenadas del punto A son, al mismo tiempo, las coordenadas de su radio-vector

OA con respecto al origen de coordenadas. Si I, j, k son vectores unitarios dirigidos respectivamente a lo largo de los ejes de coordenadas x, y,z(imagen), entonces

AO =OA x yo+OAyj + OAzk , donde OA X, OA U, OA g - coordenadas vectoriales OA

Se recomienda construir una imagen del punto en sí y sus proyecciones en un modelo espacial (figura) utilizando un paralelepípedo rectangular de coordenadas. En primer lugar, en los ejes de coordenadas desde el punto O posponer segmentos, respectivamente iguales 5, 4 y 6 unidades de longitud. En estos segmentos (Ouna x , ohun y , Ouna z ), como en las costillas, están construyendo cuboides. Su vértice, opuesto al origen, determinará el punto dado UNA. Es fácil ver que para determinar el punto A es suficiente construir solo tres aristas del paralelepípedo, por ejemplo Ouna x , un x un 1 y a 1 A o Oun y , un y un 1 y a 1 A y así sucesivamente Estos bordes forman una polilínea de coordenadas, la longitud de cada enlace de los cuales está determinada por la coordenada correspondiente del punto.

Sin embargo, la construcción de un paralelepípedo nos permite determinar no sólo el punto A, sino también sus tres proyecciones ortogonales.

Rayos que proyectan un punto en un plano H, V, W son las tres aristas del paralelepípedo que se cortan en el punto UNA.

Cada una de las proyecciones ortogonales del punto A, al estar situado en un plano, está determinado por sólo dos coordenadas.

Sí, la proyección horizontal. a 1 determinado por coordenadas X y y, proyección frontal a 2 - coordenadas x yz, proyección de perfil a 3 — coordenadas en y z. Pero cualesquiera dos proyecciones están determinadas por tres coordenadas. Por eso, especificar un punto con dos proyecciones equivale a especificar un punto con tres coordenadas.

En el diagrama (figura), donde se combinan todos los planos de proyección, las proyecciones a 1 y a 2 estará en la misma perpendicular al eje OX, y proyecciones a 2 y a 3 — uno perpendicular al eje onz.

En cuanto a las proyecciones a 1 y a 3 , entonces están conectados por líneas rectas a 1 un y y a 3 un y , perpendicular al eje OY. Pero como este eje ocupa dos posiciones en el diagrama, el segmento a 1 un y no puede ser una continuación de un segmento a 3 un y .

Construcción de proyecciones puntuales un (5, 4, 6) en el diagrama en las coordenadas dadas, se realizan en la siguiente secuencia: en primer lugar, en el eje de abscisas desde el origen, se coloca un segmento Ouna x = x(en nuestro caso x =5), luego a través del punto una x dibujar perpendicular al eje OX, en el que, teniendo en cuenta los signos, posponemos los segmentos un x un 1 = y(obtenemos a 1 ) y un x un 2 = z(obtenemos a 2 ). Queda por construir la proyección del perfil del punto. a 3 . Dado que las proyecciones de perfil y frontal del punto deben estar ubicadas en la misma perpendicular al eje onz , luego a través a 3 directo a 2 una z ^ onz.

Finalmente, surge la última pregunta: ¿a qué distancia del eje OZ debe ser un 3?

Considerando el cuadro de coordenadas (ver figura), cuyos bordes una za 3 =O un y = un x un 1 = y concluimos que la distancia deseada una za 3 es igual y. Sección una za 3 reservar a la derecha del eje OZ si y>0, y a la izquierda si y

Veamos qué cambios ocurrirán en el diagrama cuando el punto comience a cambiar su posición en el espacio.

Sea, por ejemplo, un punto un (5, 4, 6) se moverá en línea recta perpendicular al plano V. Con tal movimiento, solo cambiará una coordenada. y, mostrando la distancia de un punto a un plano V. Las coordenadas permanecerán constantes. x yz , y la proyección del punto definido por estas coordenadas, es decir a 2 no cambiará su posición.

En cuanto a las proyecciones a 1 y a 3 , entonces el primero comenzará a acercarse al eje OX, el segundo - al eje OZ. En las figuras, la nueva posición del punto corresponde a las designaciones a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). Cuando el punto está en el plano V(y = 0), dos de las tres proyecciones ( a 1 2 y a 3 2 ) reposará sobre los ejes.

Habiendose mudado de I octante en Yo, el punto comenzará a alejarse del plano V, coordinar en se vuelve negativo, su valor absoluto aumentará. La proyección horizontal de este punto, al estar situado en el semiplano posterior H, en el gráfico estará por encima del eje OX, y la proyección del perfil, estando en el semiplano posterior W, en el diagrama estará a la izquierda del eje OZ. Como siempre corta una za 3 3 = y.

En diagramas posteriores, no indicaremos con letras los puntos de intersección de los ejes de coordenadas con las líneas de la conexión de proyección. Esto simplificará el dibujo hasta cierto punto.

En el futuro, habrá diagramas sin ejes de coordenadas. Esto se hace en la práctica cuando se representan objetos, cuando sólo la imagen en sí es esencialobjeto, no su posición relativa aplanos de proyección.

Los planos de proyección en este caso se determinan con una precisión solo hasta la traslación paralela (figura). Por lo general, se mueven paralelos a sí mismos de tal manera que todos los puntos del objeto están por encima del plano. H y frente al avión V. Dado que la posición del eje X 12 resulta ser indefinida, la formación del diagrama en este caso no necesita estar asociada con la rotación de los planos alrededor del eje de coordenadas. Al cambiar a una gráfica plana H y V se combinan para que las proyecciones opuestas de los puntos se ubiquen en líneas verticales.

Gráfico sin eje de los puntos A y B(dibujo) nodetermina su posición en el espacio,pero nos permite juzgar su orientación relativa. Entonces, el segmento △x caracteriza el desplazamiento del punto A en relación con el punto V en una dirección paralela a los planos H y V. En otras palabras, △x indica cuánto el punto A ubicado a la izquierda del punto v Desplazamiento relativo de un punto en la dirección, perpendicular al plano V, está determinada por el segmento △y, es decir, el punto Y en en nuestro ejemplo, más cerca del observador que del punto v, una distancia igual a △y.

Finalmente, el segmento △z muestra el exceso del punto A sobre el punto v

Los defensores del estudio sin ejes del curso de geometría descriptiva señalan correctamente que cuando se resuelven muchos problemas, se puede prescindir de los ejes de coordenadas. Sin embargo, no se puede considerar conveniente un rechazo total de los mismos. La geometría descriptiva está diseñada para preparar al futuro ingeniero no solo para la ejecución competente de dibujos, sino también para resolver diversos problemas técnicos, entre los cuales los problemas de estática espacial y mecánica no ocupan el último lugar. Y para ello es necesario cultivar la capacidad de orientar tal o cual objeto en relación con los ejes de coordenadas cartesianas. Estas habilidades también serán necesarias al estudiar secciones de geometría descriptiva como la perspectiva y la axonometría. Por lo tanto, en varios diagramas de este libro, guardamos imágenes de los ejes de coordenadas. Dichos dibujos determinan no solo la forma del objeto, sino también su ubicación en relación con los planos de proyección.

aparato de proyección

El aparato de proyección (Fig. 1) incluye tres planos de proyección:

π 1 - plano de proyección horizontal;

π 2 - plano de proyección frontal;

π 3– plano de perfil de proyecciones .

Los planos de proyección son mutuamente perpendiculares ( 1^ π 2^ π 3), y sus líneas de intersección forman ejes:

Intersección de planos 1 y π 2 formar un eje 0X (1∩ π 2 = 0X);

Intersección de planos 1 y π 3 formar un eje 0A (1∩ π 3 = 0A);

Intersección de planos π 2 y π 3 formar un eje 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

El punto de intersección de los ejes (ОХ∩OY∩OZ=0) se considera el punto de referencia (punto 0).

Dado que los planos y los ejes son mutuamente perpendiculares, dicho aparato es similar al sistema de coordenadas cartesianas.

Los planos de proyección dividen todo el espacio en ocho octantes (en la Fig. 1 se indican con números romanos). Los planos de proyección se consideran opacos y el espectador siempre está en Iº octano.

Proyección ortogonal con centros de proyección S1, S2 y S3 respectivamente para los planos de proyección horizontal, frontal y de perfil.

A.

Desde los centros de proyección S1, S2 y S3 salen haces salientes el 1, el 2 y el 3 A

- un 1 A;

- un 2– proyección frontal del punto A;

- un 3– proyección de perfil de un punto A.

Un punto en el espacio se caracteriza por sus coordenadas A(x, y, z). puntos una x, Ay y Arizona respectivamente en los ejes 0X, 0A y 0Z mostrar coordenadas x, y y z puntos A. En la fig. 1 da todas las designaciones necesarias y muestra la relación entre el punto A espacio, sus proyecciones y coordenadas.

diagrama de puntos

Para trazar un punto A(Fig. 2), en el aparato de proyección (Fig. 1) el plano 1 un 1 0X π 2. Entonces el avión π 3 con proyección puntual un 3, gire en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje 0Z, hasta coincidir con el plano π 2. Sentido de giro de los planos π 2 y π 3 mostrado en la fig. 1 flechas. Al mismo tiempo, directo A 1 A x y A 2 A x 0X perpendicular Un 1 Un 2 y lineas rectas A 2 A x y A 3 A x se ubicarán en común al eje 0Z perpendicular Un 2 Un 3. Estas líneas se denominarán vertical y horizontal lineas de conexion

Cabe señalar que al pasar del aparato de proyección al diagrama, el objeto proyectado desaparece, pero se conserva toda la información sobre su forma, dimensiones geométricas y su posición en el espacio.

A(x A , y A , z Ax A, y A y z A en la siguiente secuencia (Fig. 2). Esta secuencia se denomina técnica de trazado de puntos.

1. Los ejes se dibujan ortogonalmente BUEY, OY y onz.

2. En el eje BUEY x un puntos A y obtener la posición del punto una x.

3. A través del punto una x perpendicular al eje BUEY

una x en la dirección del eje OY el valor numérico de la coordenada se pospone y un puntos A un 1 en la parcela

una x en la dirección del eje onz el valor numérico de la coordenada se pospone z A puntos A un 2 en la parcela

6. A través del punto un 2 paralelo al eje BUEY se dibuja una línea horizontal. La intersección de esta recta y el eje onz dará la posición del punto una z.

7. En una línea horizontal desde el punto una z en la dirección del eje OY el valor numérico de la coordenada se pospone y un puntos A y se determina la posición de la proyección del perfil del punto un 3 en la parcela

Característica del punto

Todos los puntos del espacio se subdividen en puntos de posiciones privadas y generales.

Puntos de posición privados. Los puntos pertenecientes al aparato de proyección se denominan puntos de posición particular. Estos incluyen puntos pertenecientes a los planos de proyección, ejes, origen y centros de proyección. Los rasgos característicos de los puntos de posición privada son:

Metamatemático: uno, dos o todos los valores numéricos de las coordenadas son iguales a cero y (o) infinito;

En el diagrama, dos o todas las proyecciones de un punto están ubicadas en los ejes y (o) están ubicadas en el infinito.

Puntos en posición general. Los puntos en posición general incluyen puntos que no pertenecen al aparato de proyección. Por ejemplo, punto A en la Fig. 1 y 2

En el caso general, los valores numéricos de las coordenadas de un punto caracterizan su distancia al plano de proyección: la coordenada X desde el avión π 3; coordinar y desde el avión π 2; coordinar z desde el avión 1. Cabe señalar que los signos en los valores numéricos de las coordenadas indican la dirección de eliminación del punto de los planos de proyección. Dependiendo de la combinación de signos para los valores numéricos de las coordenadas del punto, depende en cuál de los octanos se encuentra.

Método de dos imágenes

En la práctica, además del método de proyección completa, se utiliza el método de dos imágenes. Se diferencia en que en este método se excluye la tercera proyección del objeto. Para obtener un aparato de proyección para el método de dos imágenes, el plano de proyección de perfil con su centro de proyección se excluye del aparato de proyección completo (Fig. 3). Además, en el eje 0X se asigna el origen (punto 0 ) y desde ella perpendicular al eje 0X en planos de proyección 1 y π 2 eje de gasto 0A y 0Z respectivamente.

En este aparato, todo el espacio se divide en cuatro cuadrantes. En la fig. 3 están marcados con números romanos.

Los planos de proyección se consideran opacos y el espectador siempre está en I cuadrante.

Considere la operación del dispositivo usando el ejemplo de proyectar un punto A.

Desde los centros de proyección S1 y S2 salen haces salientes el 1 y el 2. Estos rayos pasan por el punto A y la intersección con los planos de proyección forman sus proyecciones:

- un 1- proyección horizontal de un punto A;

- un 2– proyección frontal del punto A.

Para trazar un punto A(Fig. 4), en el aparato de proyección (Fig. 3) el plano 1 con la proyección puntual resultante un 1 girar en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un eje 0X, hasta coincidir con el plano π 2. Dirección de rotación del plano 1 mostrado en la fig. 3 flechas Al mismo tiempo, solo queda un punto en el diagrama del punto obtenido por el método de dos imágenes. vertical línea de comunicación Un 1 Un 2.

En la práctica, trazar un punto A(x A , y A , z A) se realiza según los valores numéricos de sus coordenadas x A, y A y z A en la siguiente secuencia (Fig. 4).

1. Se dibuja un eje BUEY y se asigna el origen (punto 0 ).

2. En el eje BUEY el valor numérico de la coordenada se pospone x un puntos A y obtener la posición del punto una x.

3. A través del punto una x perpendicular al eje BUEY se dibuja una línea vertical.

4. En la línea vertical desde el punto una x en la dirección del eje OY el valor numérico de la coordenada se pospone y un puntos A y se determina la posición de la proyección horizontal del punto un 1 OY no se grafica, pero se supone que sus valores positivos están debajo del eje BUEY, mientras que los negativos son más altos.

5. En la línea vertical desde el punto una x en la dirección del eje onz el valor numérico de la coordenada se pospone z A puntos A y se determina la posición de la proyección frontal del punto un 2 en la parcela Cabe señalar que en el diagrama el eje onz no se dibuja, pero se supone que sus valores positivos se encuentran por encima del eje BUEY, mientras que los negativos son menores.

puntos de competencia

Los puntos en el mismo rayo que se proyecta se llaman puntos en competencia. Tienen una proyección común en la dirección del haz de proyección, es decir sus proyecciones coinciden idénticamente. característica distintiva puntos en competencia en el diagrama es la coincidencia idéntica de sus proyecciones del mismo nombre. La competencia radica en la visibilidad de estas proyecciones en relación con el observador. En otras palabras, en el espacio para el observador, uno de los puntos es visible, el otro no. Y, en consecuencia, en el dibujo: una de las proyecciones de los puntos en competencia es visible y la proyección del otro punto es invisible.

En un modelo de proyección espacial (Fig. 5) desde dos puntos en competencia A y V punto visible A por dos motivos mutuamente complementarios. Según la cadena S1→A→B punto A más cerca del observador que un punto V. Y, en consecuencia, más lejos del plano de proyección. 1(aquellos. z A > z A).

Arroz. 5 Figura 6

Si el punto en sí es visible A, entonces su proyección también es visible un 1. En relación con la proyección coincidente con ella B1. Para mayor claridad y, si es necesario, en el diagrama, las proyecciones invisibles de los puntos se suelen encerrar entre paréntesis.

Eliminar puntos en el modelo A y V. Sus proyecciones coincidentes en el plano permanecerán 1 y proyecciones separadas - en π 2. Dejamos condicionalmente la proyección frontal del observador (⇩), ubicado en el centro de la proyección S1. Luego a lo largo de la cadena de imágenes ⇩ → A2 → B2 será posible juzgar que z A > z B y que el punto mismo es visible A y su proyección un 1.

Del mismo modo, considere los puntos en competencia CON y D aparentemente relativo al plano π 2 . Dado que el haz de proyección común de estos puntos el 2 paralelo al eje 0A, luego el signo de visibilidad de los puntos en competencia CON y D está determinada por la desigualdad yC > yD. Por lo tanto, el punto D cerrado por un punto CON y, en consecuencia, la proyección del punto D2 será cubierto por la proyección del punto Desde 2 en la superficie π 2.

Consideremos cómo se determina la visibilidad de los puntos en competencia en un dibujo complejo (Fig. 6).

Según proyecciones coincidentes un 1≡EN 1 los puntos mismos A y V están en el mismo haz saliente paralelo al eje 0Z. Entonces las coordenadas deben ser comparadas z A y z B estos puntos. Para ello, utilizamos el plano de proyección frontal con imágenes puntuales separadas. En este caso z A > z B. De esto se deduce que la proyección es visible un 1.

puntos C y D en el dibujo complejo bajo consideración (Fig. 6) también están en el mismo haz saliente, pero solo paralelos al eje 0A. Por lo tanto, a partir de una comparación yC > yD concluimos que la proyección C 2 es visible.

Regla general. La visibilidad para proyecciones coincidentes de puntos en competencia se determina comparando las coordenadas de estos puntos en la dirección de un haz de proyección común. Visible es la proyección del punto para el cual esta coordenada es mayor. En este caso, la comparación de coordenadas se realiza en el plano de proyecciones con imágenes separadas de puntos.