El producto, o intersección, eventos L y en el evento que consiste en la aparición simultánea de eventos y L, y EN. Designación del trabajo. Au o l y v.

Por ejemplo, un doble golpe en el objetivo es un producto de dos eventos, la respuesta a ambas preguntas del boleto en el examen es un producto de dos eventos.

Eventos L I. EN Llame a no confidencial si su trabajo es un evento imposible, es decir, Lv \u003d v.

Por ejemplo, los eventos L, la deposición del escudo de armas y EN - La pérdida de los números con un solo lanzamiento de la moneda a paso simultáneamente no puede, su producto es un evento imposible, los eventos L y en incompletos.

Los conceptos de la cantidad y el trabajo de los eventos tienen una interpretación geométrica visual (Fig. 6.4).

Higo. 6.4. Interpretación geométrica del trabajo. (pero)y suma (B) Dos eventos conjuntos

Deje que el evento sea el conjunto de puntos de la región L, el evento B, el conjunto de puntos de la región. La región sombreada corresponde al evento de EFF en la FIG. 6. La y el evento L + en la FIG. 6.46.

Para eventos incompletos L y en tener LV \u003d V.(Fig. 6.5A). El evento L + B corresponde al área sombreada en la FIG. 6.56.

Higo. 6.5. Interpretación geométrica del trabajo ( pero) y suma (B) Dos eventos incompletos

Eventos PERO y PERO Consulte lo contrario si son incomprensibles y, en total, conforman un evento confiable, es decir,

A \u003d v; A + a \u003d u.

Por ejemplo, produciremos un disparo del objetivo: evento PERO- El tirador golpeó el objetivo. PERO- omitido; Se agrega la moneda:

evento PERO- Eagle cayendo PERO - Pérdida de números; Schoolchildren escribe las pruebas: evento PERO- ninguno

errores en el trabajo de control, PERO- Hay errores en el trabajo de control; El estudiante vino a alquilar una prueba: evento. PERO- aprobado

compensar PERO- No pasó

En la clase hay niños y niñas, excelentes estudiantes, horosistas y trínses, estudiando inglés y alemán. Deje el evento M - Boy, O - Excelente, y - Estudiar inglés. ¿Puede un estudiante que ocurrió de la clase y el excelente estudiante y estudiando inglés? Este será un trabajo o intersección de los eventos de MOA.

Ejemplo 6.15. Lanza un cubo jugando: un cubo hecho de material homogéneo, cuyos caras son amistos. Mire el número (número de puntos) cayendo en la cara superior. Deja que el evento PERO - La aparición de un número impar, evento. EN - La apariencia del número, múltiple de tres. Encuentra resultados que conforman cada uno de los eventos (? /, A, A. + En AV) Y especificar su significado.

Decisión. Éxodo: la apariencia en la cara superior de cualquiera de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. El conjunto de todos los resultados es el espacio de los eventos elementales. U. \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 6). Está claro que el evento. A \u003d. (1, 3, 5), evento En \u003d. {3, 6}.

Evento PERO + En \u003d. (1, 3, 5, 6) - la apariencia de un número o número impar, múltiplo de tres. Cuando se enumeran los resultados, se toma en cuenta que cada resultado en el conjunto se puede contener solo una vez.

Evento Ab \u003d. (3) - La apariencia y el número impar, y los números, múltiples de tres.

Ejemplo 6.16. Compruebe la tarea en tres estudiantes. Deja que el evento PERO ( - Haciendo la tarea del estudiante de I-M. gRAMO. = 1, 2, 3.

¿Cuál es el significado de los eventos: A \u003d a t + Un 2. + L 3, PERO y B \u003d a t a 2 a 3?

Decisión. Evento PERO = Un H. + Un 2. + 3 - Realizando una tarea al menos un estudiante, es decir, o cualquier estudiante (o primero, o segundo, o tercero), o cualquiera de los dos, o los tres.

Evento A \u003d a x -a 2 -a 3 - La tarea no se cumple con ningún estudiante, ni primero ni el segundo ni el tercero. Evento B \u003d a (2 a 3 -realizar una tarea en tres estudiantes, tanto primero como en segundo, y tercero.

Al considerar la aparición conjunta de varios eventos, hay casos en que la apariencia de uno de ellos afecta la posibilidad de la aparición de otro. Por ejemplo, si el otoño es un día soleado, es menos probable que el clima se eche a perder (la lluvia comienza). Si el sol no es visible, entonces más posibilidades de que la lluvia funcione.

Evento L. Llamado independiente del evento. EN, Si la probabilidad de un evento PERO no cambia dependiendo de si ocurrió o no un evento EN. Evento de lo contrario PERO llamado evento dependiente EN. Dos eventos AIEN Se les llama independiente si la probabilidad de que uno de ellos no depende de la apariencia o la falla del otro dependiente, de lo contrario. Los eventos se llaman pares independientes si cada dos de ellos son independientes entre sí.

El teorema de la multiplicación de probabilidad está formulado de la siguiente manera. La probabilidad de que el trabajo de dos eventos independientes sea igual al producto de las probabilidades de estos eventos:

Este teorema es válido para cualquier número finito de eventos, a menos que sean independientes en el agregado, es decir, La probabilidad de cualquiera de ellos no depende de si ocurrieron otros eventos.

Ejemplo 6.17. El estudiante da tres exámenes. La probabilidad de una entrega exitosa del primer examen 0.9, el segundo - 0.65, el tercero - 0.35. Encuentre la probabilidad de que no pase al menos un examen.

Decisión. Denotar PERO Evento: el estudiante no pasó al menos un examen. Luego P (A.) \u003d 1 - / - '(1/1), donde PERO - El evento opuesto: el estudiante aprobó todos los exámenes. Dado que la rendición de cada examen no depende de otros exámenes, R (a) \u003d 1 - P (1/1) \u003d \u003d 1 - 0.9 0.65 0.35 \u003d 0.7953.

Probabilidad de un evento PERO, calculado siempre que ocurra el evento EN, llamada la probabilidad condicionaleventos PERO sujeto a apariencia EN Y denota P en (a) o P (A / B).

Teorema.La probabilidad de la aparición de un trabajo de dos eventos es igual a la probabilidad de uno de ellos sobre la probabilidad condicional del segundo calculada, siempre que ocurrió el primer evento.:

Ejemplo 6.18. El estudiante recupera dos veces un boleto de 34. ¿Cuál es la probabilidad de que pase el examen, si se preparan 30 boletos y por primera vez se restablecerá un mal boleto?

Decisión. Deja que el evento PERO Es que la primera vez que recibí un boleto sin éxito, un evento. EN- La segunda vez se elimina un buen boleto. Luego ¿PERO?EN- El estudiante pasará el examen (bajo las circunstancias). Eventos PERO y EN Dependiente, ya que la probabilidad de elegir un boleto exitoso con un segundo intento depende del resultado de la primera opción. Por lo tanto, usamos la fórmula (6.6):

Tenga en cuenta que la probabilidad obtenida para resolver "0.107. ¿Por qué la probabilidad de pasar el examen, si 30 entradas de 34 estaban aprendiendo y se dan dos intentos?

Teorema de adición ampliadaformulado de la siguiente manera. La probabilidad de la suma de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin la probabilidad de su aspecto conjunto (obras):

Ejemplo 6.19. Dos estudiantes resuelven la tarea. La probabilidad de que el primer estudiante resuelva la tarea (evento PERO), igual a 0.9; la probabilidad de que el segundo estudiante resuelva la tarea (evento EN), igual a 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que se resuelva la tarea?

Decisión. Estamos interesados \u200b\u200ben un evento con, que es que la tarea se resolverá, es decir, El primer o segundo estudiante, o dos estudiantes al mismo tiempo. Por lo tanto, intereses el evento de paso. C \u003d a +EN. Eventos PERO y EN Conjunto, luego el teorema de la adición de probabilidad es aplicable para el caso de los eventos conjuntos: P (A. + EN) = R (a) + P (b) - P (AB). Para nuestro caso P (A. + C) \u003d \u003d 0.9 + 0.8 + 0.9 0.8 \u003d 0.98 (eventos PERO y EN Conjuntamente, pero independiente).

Ejemplo 6.20. El estudiante sabe 20 preguntas de 25. ¿Cuál es la probabilidad de responder tres preguntas de 25?

Decisión. Presentamos el evento L, - El estudiante conoce la respuesta a i.- Preguntar la pregunta propuesta. i. \u003d 1,2,3. Eventos L, L 2, L 3 - dependiente. por lo tanto

Al encontrar las probabilidades de los eventos, se utilizó una definición de probabilidad clásica.

El estudio de la teoría de la probabilidad comienza con la resolución de problemas de suma y la multiplicación de probabilidades. Es necesario mencionar de inmediato que un estudiante al dominar esta área de conocimiento puede enfrentar un problema: si se pueden imaginar los procesos físicos o químicos para visualmente y comprender empíricamente, el nivel de abstracción matemático es muy alto, y la comprensión aquí viene solo con experiencia.

Sin embargo, el juego vale la pena la vela, porque la fórmula es más compleja, utilizada hoy en día en todas partes y bien puede ser útil en el trabajo.

Origen

Curiosamente, el impulso para el desarrollo de esta sección de las matemáticas se ha convertido en ... Jambling. De hecho, un juego de huesos, lanzando monedas, póquer, la ruleta es ejemplos típicos en los que se utilizan la adición y la multiplicación de probabilidades. En el ejemplo de tareas en cualquier libro de texto, se puede ver claramente. La gente estaba interesada en saber cómo aumentar sus posibilidades de ganar, y, debo decir, algunos tuvieron éxito.

Por ejemplo, en el siglo XXI, una persona cuyo nombre de nosotros no abrirá, usó estos conocimientos acumulados en siglos para literalmente "limpiar" un casino, ganando varias decenas de millones de dólares.

Sin embargo, a pesar del mayor interés en el tema, solo para el siglo XX, se desarrolló la base teórica, lo que hace que el "teorer" de un completo hoy en día, en casi cualquier ciencia, puede encontrar cálculos utilizando métodos probabilísticos.

Aplicabilidad

Un punto importante cuando se utiliza las fórmulas para la adición y la multiplicación de probabilidades, la probabilidad condicional es la viabilidad del teorema del límite central. De lo contrario, aunque no puede ser realizado por un estudiante, todos los cálculos, lo que parezca, no será incorrecto.

Sí, en un estudiante altamente, hay una tentación de usar nuevos conocimientos con cada caso conveniente. Pero en este caso, debe disminuir la velocidad y delinear estrictamente el marco de aplicabilidad.

La teoría de la probabilidad trata de eventos aleatorios que son los resultados de los experimentos en un plan empírico: podemos lanzar un cubo con seis caras, sacar una carta de la cubierta, pronosticar el número de partes defectuosas en la fiesta. Sin embargo, en algunos temas, las fórmulas de esta sección de las matemáticas son categóricamente imposibles. Características de la consideración de las probabilidades del evento, los teoremas de los eventos de suma y multiplicación, discutiremos al final del artículo, pero mientras recurramos a los ejemplos.

Conceptos básicos

Bajo un evento aleatorio, significa algún proceso o resultado que puede manifestarse, y no puede ser manifestado como resultado del experimento. Por ejemplo, tiramos el sándwich, puede caerse con aceite hacia arriba o el aceite hacia abajo. Cualquiera de los dos resultados será aleatorio, y no sabemos de antemano cuál tendrá un lugar.

Al estudiar la adición y la multiplicación de las probabilidades, necesitaremos dos conceptos más.

Las articulaciones se denominan tales eventos, el surgimiento de uno de los cuales no excluye la apariencia de otro. Digamos que dos personas disparen simultáneamente objetivos. Si uno de ellos funciona, de alguna manera, de alguna manera, no afectará la posibilidad de que se ingrese en la "Apple" o la señorita.

Habrá tales eventos que sean la apariencia de los cuales es simultáneamente imposible. Por ejemplo, sacar solo una bola de la caja, es imposible conseguir tanto azul como en rojo.

Designacion

El concepto de probabilidad está indicado por la letra de capital latina P. Además, los argumentos indican que algunos eventos siguen entre paréntesis.

En las fórmulas del teorema de suma, la probabilidad acondicionada, los teoremas de la multiplicación verán en los paréntesis de la expresión, por ejemplo: A + B, AB o A | B. Se calculan de varias maneras, ahora nos dirigiremos a ellos.

Adición

Considere los casos en que se utilizan las fórmulas de suma y la multiplicación de probabilidades.

Para eventos incomprensibles, la fórmula más simple de suma es relevante: la probabilidad de cualquiera de los resultados aleatorios será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de estos resultados.

Supongamos que hay una caja con 2 azules azules, 3 bolas rojas y 5 amarillas. Total Hay 10 artículos en la caja. ¿Cuál es la proporción de la aprobación de que saquemos una bola azul o roja? Será igual a 2/10 + 3/10, es decir, cincuenta por ciento.

En el caso de eventos incompletos, la fórmula es complicada, ya que se agrega un término adicional. Volvamos a él a través de un párrafo, después de considerar otra fórmula.

Multiplicación

El ajuste y la multiplicación de las probabilidades de eventos independientes se utilizan en diferentes casos. Si, por la condición experimental, estamos satisfechos con cualquiera de los dos resultados posibles, consideramos la cantidad; Si queremos obtener dos resultados del otro, recurriremos al uso de otra fórmula.

Volviendo a ejemplo de la sección anterior, queremos sacar primero la bola azul, y luego en rojo. Sabemos el primer número: esto es 2/10. ¿Qué pasa después? Las bolas permanecen 9, el rojo entre ellos son todas las mismas: tres piezas. Según los cálculos, resultará 3/9 o 1/3. ¿Pero qué hacer con dos números ahora? La respuesta correcta es multiplicarse para funcionar 2/30.

Eventos conjuntos

Ahora puede referirse nuevamente a la cantidad de la suma para los eventos conjuntos. ¿Por qué nos distraemos del tema? Para descubrir cómo se prolongan las probabilidades. Ahora este conocimiento es útil para nosotros.

Ya sabemos cuáles serán los dos primeros componentes (los mismos que en la fórmula previamente revisados \u200b\u200bpor la fórmula), ahora será necesario restar el trabajo de las probabilidades que acabamos de aprender a contar. Para mayor claridad, escribimos la fórmula: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB). Resulta que en una expresión, se utilizan tanto la adición como la multiplicación de probabilidades.

Supongamos que tenemos que resolver cualquiera de las dos tareas para bajar. Podemos resolver los primeros con una probabilidad de 0.3, y la segunda - 0.6. Solución: 0.3 + 0.6 - 0.18 \u003d 0.72. Nota, simplemente resume los números aquí no es suficiente.

La probabilidad condicional

Finalmente, hay un concepto de una probabilidad condicionada, cuyos argumentos se designan entre paréntesis y están separados por una característica vertical. El registro P (A | B) dice lo siguiente: "La probabilidad de evento A Bajo la condición de la B".

Veamos por ejemplo: un amigo te da un poco de dispositivo, deja que sea un teléfono. Se puede romper (20%) o a cargo (80%). Cualquier dispositivo que caiga en mano sea capaz de solucionar con una probabilidad de 0.4 o no puede hacer esto (0.6). Finalmente, si el dispositivo está en condiciones de trabajo, puede llamar a la persona adecuada con una probabilidad de 0.7.

Es fácil ver cómo en este caso se manifiesta una probabilidad condicional: no podrá llamar a una persona si el teléfono está roto, y si está funcionando, no necesita repararlo. Por lo tanto, para obtener resultados en el "segundo nivel", debe saber qué evento se realizó en la primera.

Cálculos

Considere los ejemplos de resolver problemas de adición y multiplicación de probabilidades mediante el uso de los datos del párrafo anterior.

Para empezar, encontramos la probabilidad de que reproducirá el dispositivo que se le da. Para esto, en primer lugar, debe ser defectuoso, y en segundo lugar, debe hacer frente a la reparación. Esta es una tarea típica que utiliza la multiplicación: obtenemos 0.2 * 0.4 \u003d 0.08.

¿Cuál es la probabilidad de que llame inmediatamente a la persona adecuada? Más fácil simple: 0.8 * 0.7 \u003d 0.56. En este caso, encontró que el teléfono es mejor y exitosamente una llamada.

Finalmente, considere esta opción: recibió un teléfono roto, lo reparó, después de lo cual anotaron un número, y la persona en el extremo opuesto tomó el teléfono. Aquí ya se requiere multiplicar tres componentes: 0.2 * 0.4 * 0.7 \u003d 0.056.

¿Y si tienes dos teléfonos que no trabajaban a la vez? ¿Cuál es la probabilidad, arreglas al menos uno de ellos? Para la suma y la multiplicación de probabilidades, ya que se utilizan eventos conjuntos. Solución: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 \u003d 0.8 - 0.16 \u003d 0.64. Por lo tanto, si dos aparatos rotos caen en sus manos, lidiarán con la reparación en el 64% de los casos.

Uso atento

Como se mencionó al comienzo del artículo, el uso de la teoría de la probabilidad debe ser deliberada y consciente.

Cuanto mayor sea la serie de experimentos, los trajes más cercanos lo mencionó teóricamente importancia a la práctica. Por ejemplo, tiramos una moneda. Teóricamente, conociendo la existencia de las fórmulas de adición y multiplicación de probabilidades, podemos predecir cuántas veces "Eagle" y "Rushka" caen, si realizamos un experimento 10 veces. Realizamos un experimento, y por coincidencia, la proporción de los lados caídos fue de 3 a 7. Pero si tiene una serie de 100, 1000 o más intentos, resulta que el programa de distribución está más cerca de teórico: 44 k 56 , 482 k 518 y así sucesivamente.

Y ahora imagina que este experimento no se lleva a cabo con una moneda, sino con la producción de algún nuevo químico, la probabilidad de que no lo sepamos. Pasaríamos 10 experimentos y, sin haber recibido un resultado exitoso, podría generalmente: "No se puede obtener sustancia". Pero quién sabe, pasaremos el undécimo intento, ¿alcanzaríamos la meta o no?

Por lo tanto, si se aplica al área inexplorada, la teoría de la probabilidad puede no ser aplicable. Cada intento posterior en este caso puede ser exitoso y las generalizaciones de la "X no existe" o "X es imposible" será prematuro.

Palabra final

Entonces, revisamos dos tipos de adición, multiplicación y probabilidades condicionales. Con un estudio adicional de esta área, es necesario aprender a distinguir las situaciones cuando se usa cada fórmula específica. Además, es necesario presentar si los métodos probabilísticos son aplicables para resolver su tarea.

Si practicas, después de un tiempo, comenzará a implementar todas las operaciones requeridas exclusivamente en su mente. Para aquellos que están interesados \u200b\u200ben los juegos de cartas, esta habilidad puede considerarse extremadamente valiosa: aumentará significativamente sus posibilidades de ganar, solo contando la probabilidad de una pérdida de una u otra tarjeta o traje. Sin embargo, el conocimiento adquirido puede encontrar fácilmente la aplicación en otras áreas de actividad.

Evento un llamado independiente De los eventos B, si la probabilidad de evento A no depende de si se produjo un evento B o no. Evento un llamado dependientedesde el evento B, si la probabilidad de evento, varía según si ocurrió un evento B o no.

La probabilidad del evento A, calculada, siempre que el evento B ya ocurrió, se denomina probabilidad condicional del evento A y se indique.

La condición de independencia del evento A del evento B se puede escribir como
.

Probabilidad de la multiplicación del teorema. La probabilidad de que el trabajo de dos eventos sea igual al producto de la probabilidad de uno de ellos sobre la probabilidad condicional de la otra, calculada, siempre que la primera ocurre:

Si el evento A no depende del evento B, el evento B no depende del evento A. En este caso, la probabilidad del trabajo de los eventos es igual al producto de su probabilidad:

.

Ejemplo 14. Hay 3 cajones que contienen 10 partes. En el primer cajón 8, en el segundo - 7 y en los últimos 9 detalles estándar. De cada cajón, el fangoso saca una pieza. Encuentre la probabilidad de que los tres detalles sean estándar.

La probabilidad de que la parte estándar se elimine de la primera caja (el evento a) sea igual a
. La probabilidad de que la parte estándar se elimine de la segunda caja (evento) sea igual a
. La probabilidad de que la tercera caja se elimine la parte estándar (EVENTC) es igual a
.

Dado que los eventos A, B y C independientes en total, luego por el teorema de la multiplicación, la probabilidad deseada es igual

Damos un ejemplo de compartir la adición y la multiplicación por teoremas.

Ejemplo 15. La probabilidad de aparición de eventos independientes, 1 y A 2 es igual a P 1 y P 2, respectivamente. Encuentre la probabilidad de uno de estos eventos (evento a). Encuentre la probabilidad de al menos uno de estos eventos (evento b).

Denota la probabilidad de eventos opuestos y es 1 \u003d 1-P 1 y Q 2 \u003d 1-P 2, respectivamente.

El evento A se producirá si se produce un evento a 1 y se producirá un evento a 2, o si ocurre un evento a 2 y se producirá un evento a 1. Por eso,

El evento B se producirá si se produce un evento, o se producirá eventos a 1 y A 2 al mismo tiempo. Por eso,

La probabilidad del evento B se puede determinar de lo contrario. Evento El evento opuesto es que ambos eventos se producirán un 1 y A 2. Por lo tanto, por el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes obtendremos

que coincide con la expresión obtenida anteriormente, ya que la identidad tiene lugar

7. Fórmula de plena probabilidad. Fórmula de Bayes.

Teorema 1.. Supongamos que los eventos
forma un grupo completo en pares de eventos incompletos (tales eventos se llaman hipótesis). Vamos a ser un evento arbitrario. Luego, la probabilidad del evento A puede ser calculada por la fórmula.

Evidencia. Dado que la hipótesis forma un grupo completo, entonces, y, por lo tanto,.

Debido al hecho de que las hipótesis están en pares de eventos incompletos, los eventos también están en pares son discretos. Por probabilidad del teorema de la adición

Usando ahora el teorema de la multiplicación de probabilidades, obtenemos

La fórmula (1) se llama fórmula de probabilidad completa. En forma abreviada, se puede escribir de la siguiente manera.

.

La fórmula es útil si las probabilidades condicionales del evento A se calculan más fáciles que la probabilidad incondicional.

Ejemplo 16.. Hay 3 cubiertas de 36 cartas y 2 cubiertas de 52 cartas. Las mentes eligen una cubierta y traen una tarjeta de ella. Encuentra la posibilidad de que la tarjeta eliminada sea Ace.

Deje que sea un evento que consiste en el hecho de que el mapa de eliminación es ACE. Presentamos dos hipótesis a considerar:

- La tarjeta se retira de la cubierta en 36 cartas,

- La tarjeta se retira de la cubierta en 52 tarjetas.

Para calcular la probabilidad de un evento, utilizaremos la fórmula de la probabilidad completa:

Teorema 2.. Supongamos que los eventos
forma un grupo completo en pares de eventos incompletos. Vamos a ser un evento arbitrario. Probabilidad condicional de hipótesis. en el supuesto de que ocurrió un evento, puede ser calculado por la Fórmula Bayes:

Evidencia. Del teorema de multiplicación de probabilidad para eventos dependientes, sigue eso.

.

Aplicando la fórmula de probabilidad completa, obtenemos (2).

Hipótesis de probabilidad
Llamado a priori, y probabilidades de hipótesis.
Siempre que el evento A ocurrió se llame a posteriori. Los propios fórmulas de Bayeys se llaman fórmulas de probabilidad de hipótesis.

Ejemplo 17.. Hay 2 urnas. La primera urna contiene 2 tazones blancos y 4 negros, y la segunda urna contiene 7 bolas blancas y 5 negras. Elegí la urna y yo eliminaré una pelota de ella. Resultó ser negro (evento A sucedió). Encuentre la probabilidad de que la pelota haya sido retirada de la primera urna (hipótesis
). Encuentre la posibilidad de que la pelota haya sido retirada de la segunda urna (hipótesis.
).

Aplicar Fórmulas Bayes:

,

.

Ejemplo 18.. En la fábrica, los tornillos son producidos por tres máquinas, que se producen en un 25%, respectivamente, el 35% y el 40% de todos los tornillos. El matrimonio de estas máquinas es respectivamente el 5%, el 4%, el 2%. Un perno fue seleccionado de los productos de los tres coches. Resultó ser defectuoso (evento a). Encuentre la posibilidad de que el Bolt fue lanzado primero, segundo, tercer automóvil.

Permitir
- Un evento que consiste en el hecho de que el Bolt fue lanzado el primer automóvil.
- Segundo coche,
- Tercer coche. Estos eventos están en pares son incomprensibles y forman un grupo completo. Utilizamos fórmulas de Bayes

Como resultado, obtenemos

,

,

.

Establecimiento de la educación "Estado bielorruso

academia agrícola "

Departamento de Matemáticas Superiores

Adición y multiplicación de probabilidades. Pruebas independientes repetidas

Conferencia para estudiantes de la Facultad de Gestión de la Tierra.

formación de correspondencia

Gorki, 2012.

Adición y multiplicación de probabilidades. Repetido

pruebas independientes

1. Adición de probabilidades

Suma de dos eventos conjuntos PERO y EN evento llamado DEque consiste en la ocurrencia de al menos uno de los eventos PERO o EN. Similar a la suma de varios eventos conjuntos es el evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos eventos.

La suma de dos eventos inconsistentes. PERO y EN evento llamado DEocurrencia o evento PERO, o eventos EN. Similar a la suma de varios eventos incompletos es un evento que consiste en el inicio de cualquiera de estos eventos.

Justa El teorema de la adición de probabilidad de eventos incompletos: la probabilidad de la suma de dos eventos inconsistentes es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos. . . Este teorema se puede extender a cualquier número finito de eventos incompletos.

De este teorema sigue:

La suma de las probabilidades de eventos que forman un grupo completo es igual a una;

La suma de las probabilidades de los eventos opuestos es igual a uno, es decir,
.

Ejemplo 1. . Hay 2 blancos en la caja, 3 bolas rojas y 5 azules. Las bolas son mezcladas y al azar se eliminan una. ¿Cuál es la probabilidad de que la pelota sea color?

Decisión . Denota los eventos:

UNA.\u003d (Bola de colores eliminada);

B.\u003d (Bola blanca extraída);

C.\u003d (Bola roja extraída);

D.\u003d (Se elimina la bola azul).

Luego UNA.= C.+ D.. Dado que los eventos C., D. Incómodo, utilizaremos el teorema de la adición de probabilidades de eventos incompletos :.

Ejemplo 2. . En la urna hay 4 bolas blancas y 6 - negro. De la urna al azar, se necesitan 3 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que todos ellos sean un color?

Decisión . Denota los eventos:

UNA.\u003d (sacado de las bolas del mismo color);

B.\u003d (sacado de bolas blancas);

C.\u003d (corte bolas negras).

Como UNA.= B.+ C. y eventos EN y DE incomprensible, entonces por el teorema de la adición de probabilidades de eventos incompletos
. Probabilidad de un evento EN igual
dónde
4,

. Sustituir k. y nORTE. en la fórmula y obtener
Del mismo modo, encuentre la probabilidad de un evento. DE:
dónde
,
.
. Luego
.

Ejemplo 3. . Desde la cubierta en 36 cartas al azar saca 4 cartas. Encuentre la posibilidad de que entre ellos tenga al menos tres ases.

Decisión . Denota los eventos:

UNA.\u003d (entre las tarjetas eliminadas de al menos tres ases);

B.\u003d (entre los cortes de tres ases);

C.\u003d (Entre las tarjetas llenas cuatro ases).

Como UNA.= B.+ C., y eventos EN y DE inconsistente, T.
. Encuentra las probabilidades de los eventos. EN y DE:

,
. Por lo tanto, la probabilidad de que entre las tarjetas eliminadas de al menos tres ases sea igual a

0.0022.

1. Multiplicación de probabilidades

Trabaja Dos eventos PERO y EN evento llamado DEque consiste en la ocurrencia conjunta de estos eventos:
. Esta definición se aplica a cualquier número finito de eventos.

Se llaman dos eventos independiente Si la probabilidad de que la ocurrencia de uno de ellos no depende de si otro evento ocurrió o no. Eventos , , … , llamada independiente en agregado Si la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos no depende de si ocurrieron otros eventos o no se produjeron.

Ejemplo 4. . Dos tiradores disparan objetivo. Denota los eventos:

UNA.\u003d (las primeras flechas golpean el objetivo);

B.\u003d (Las segundas flechas golpean el objetivo).

Es obvio que la probabilidad de golpear al objetivo, el primer tirador no depende de si se cayó o no golpeó las segundas flechas, y viceversa. En consecuencia, eventos PERO y EN Independiente.

Justa El teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes: la probabilidad del trabajo de dos eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de estos eventos. : .

Este teorema es válido para nORTE. Independiente en eventos agregados :.

Ejemplo 5. . Dos flechas disparan un gol. La probabilidad de golpear la primera flecha es de 0.9, y la segunda - 0.7. Ambas flechas simultáneamente hacen un tiro. Determine la probabilidad de que haya dos hits en el objetivo.

Decisión . Denota los eventos:

UNA.

B.

C.\u003d (ambas flechas caerán en la meta).

Como
, y eventos PERO y EN Independiente, T.
. .

Eventos PERO y EN llamada dependiente Si la probabilidad de que la ocurrencia de uno de ellos depende de si otro evento ocurrió o no. La probabilidad de un evento PERO siempre que el evento EN ya ha venido, llamado la probabilidad condicional Y denota
o
.

Ejemplo 6. . Hay 4 bolas blancas y 7 negras en la urna. Las bolas se extraen de la urna. Denota los eventos:

UNA.\u003d (Bola blanca extraída);

B.\u003d (Bola negra extraída).

Antes del inicio de la extracción de bolas de la urna.
. Una bola fue removida de la urna y resultó ser negro. Luego la probabilidad de un evento. PERO Despues de los eventos EN será otro igual . Esto significa que la probabilidad de un evento. PERO Depende del evento EN. Estos eventos serán dependientes.

Feria El teorema de la multiplicación de las probabilidades de los eventos dependientes: la probabilidad del trabajo de dos eventos dependientes es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos sobre la probabilidad condicional de otro calculado en el supuesto de que el primer evento ya ha llegado. o .

Ejemplo 7. . En la urna hay 4 bolas blancas y 8 rojas. De ella al azar, se eliminan dos bolas. Encuentra la posibilidad de que ambas bolas sean negras.

Decisión . Denota los eventos:

UNA.\u003d (primera bola negra extraída);

B.\u003d (El segundo se extrae la bola negra).

Eventos PERO y EN dependiente porque
, pero
. Luego
.

Ejemplo 8. . Tres flechas disparan objetivos independientemente entre sí. La probabilidad de ingresar al objetivo para la primera flecha es de 0.5, para el segundo - 0.6 y para el tercero - 0.8. Encuentre la probabilidad de que se produzcan dos objetivos de golpe si cada tirador realiza uno disparos.

Decisión . Denota los eventos:

UNA.\u003d (hay dos hits en la meta);

B.\u003d (el primer tirador caerá en el objetivo);

C.\u003d (el segundo tirador caerá en la meta);

D.\u003d (las terceras flechas caerán en el objetivo);

\u003d (el primer tirador no caerá en la meta);

\u003d (el segundo tirador no caerá en la meta);

\u003d (El tercer tirador no caerá en el objetivo).

Bajo la condición del ejemplo
,
,
,

,
,
. Dado que, utilizando el teorema de la adición de probabilidades de eventos incompletos y el teorema de multiplicar las probabilidades de eventos independientes, obtenemos:

Deja que los eventos
Formar un grupo completo de eventos de alguna prueba, y el evento PERO Puede venir solo con uno de estos eventos. Si se conocen probabilidades y probabilidades condicionales. PERO, La probabilidad del evento A se calcula por la fórmula:

O
. Esta fórmula se llama probabilidad total de fórmula , y eventos
hipótesis .

Ejemplo 9. . 700 partes de la primera máquina y 300 partes llegan al transportador de la asamblea Desde el segundo. La primera máquina proporciona un matrimonio al 0,5%, y el segundo es del 0,7%. Encuentre la posibilidad de que los detalles tomados sean defectuosos.

Decisión . Denota los eventos:

UNA.\u003d (tomado el artículo será defectuoso);

\u003d (El artículo se realiza en la primera máquina);

\u003d (El artículo está hecho en la segunda máquina).

La probabilidad de que el artículo esté hecho en la primera máquina sea igual a
. Para la segunda máquina.
. Por condición, la probabilidad de obtener una parte defectuosa hecha en la primera máquina es igual a
. Para la segunda máquina, esta probabilidad es igual.
. Luego, la probabilidad de que los detalles tomados sean defectuosos, se calcula por la fórmula de la probabilidad total.

Si se sabe que un determinado evento ha llegado como resultado de la prueba. PEROLuego la probabilidad de que este evento vine con una hipótesis.
, igual
dónde
- Probabilidad total de un evento. PERO. Esta fórmula se llama fórmula Bayes y le permite calcular las probabilidades de los eventos.
Después de que se hizo saber que el evento. PERO ya ha llegado

Ejemplo 10. . El mismo tipo de coches se producen en dos fábricas y van a la tienda. La primera planta produce el 80% del número total de partes, y el segundo es del 20%. Los productos de la primera planta contienen el 90% de las piezas estándar, y la segunda es del 95%. El comprador compró un detalle y resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de que este artículo se haga en la segunda fábrica.

Decisión . Denota los eventos:

UNA.\u003d (artículo estándar comprado);

\u003d (el artículo se realiza en la primera fábrica);

\u003d (El artículo se realiza en la segunda fábrica).

Bajo la condición del ejemplo
,
,
y
. Calcular la probabilidad completa de un evento PERO: 0.91. La probabilidad de que el artículo se haga en la segunda fábrica, calculada por la Fórmula Bayes:

.

Tareas para trabajos independientes.

La probabilidad de ingresar al objetivo para la primera flecha es de 0.8, para el segundo - 0.7 y para el tercero - 0.9. Las flechas hicieron uno disparos. Encuentre la probabilidad de que haya al menos dos hits en el objetivo.

15 Tractores llegaron al taller de reparación. Se sabe que 6 de ellos necesitan reemplazar el motor, y el resto, en el reemplazo de los nodos individuales. Tres tractores son seleccionados al azar. Encuentre la probabilidad de que se requiera el reemplazo del motor no más de dos tractores seleccionados.

Se realizan paneles en la planta de hormigón armado, del 80% de los cuales son de la más alta calidad. Encuentre la probabilidad de que, desde tres al azar, los paneles seleccionados de al menos dos serán la calificación más alta.

Tres trabajadores recogen rodamientos. La probabilidad de que el cojinete ensamblado por el primer funcionamiento, la calidad superior sea de 0.7, segundo - 0.8 y tercero - 0.6. Para controlar al azar, se toma un rodamiento de todos los trabajadores. Encuentre la posibilidad de que al menos dos de ellos sean la más alta calidad.

La probabilidad de ganar el primer boleto de lotería de liberación es de 0.2, el segundo - 0.3 y el tercero - 0.25. Hay un boleto cada versión. Encuentre la posibilidad de que gane al menos dos boletos.

El contador realiza cálculos, utilizando tres directorios. La probabilidad de que sus intereses estén en el primer directorio es de 0.6, en el segundo - 0.7 yves tercero - 0.8. Encuentre la probabilidad de que el contador que le interese no sean más de dos libros de referencia.

Tres máquinas hacen detalles. La primera automática hace que el elemento de la más alta calidad sea una probabilidad de 0.9, la segunda, con una probabilidad de 0.7 y la tercera, con una probabilidad de 0.6. En los trapos toman un detalle de cada máquina. Encuentre la probabilidad de que entre ellos al menos dos de primera calidad.

En dos máquinas se procesan por el mismo tipo. La probabilidad de fabricar una parte no estándar para la primera máquina es de 0.03, en para el segundo - 0.02. Las piezas procesadas están plegadas en un solo lugar. Entre ellos se encuentran el 67% desde la primera máquina, y el resto, desde el segundo. Al azar, los detalles tomados son estándar. Encuentra la posibilidad de que se haga en la primera máquina.

Dos cajas del mismo tipo de condensadores llegaron al taller. En la primera caja había 20 condensadores, de los cuales 2 defectuosos. En el segundo cuadro 10 condensadores, de los cuales son 3 defectuosos. Los condensadores fueron transferidos a una caja. Encuentre la probabilidad de que el condensador tomado de la caja sea útil.

En tres ventanas, se realizan el mismo tipo de elementos, que vienen al transportador general. Entre todos los detalles hay un 20% de la primera máquina, 30%, desde la segunda y 505, desde el tercero. La probabilidad de fabricar una parte estándar en la primera máquina es de 0.8, en la segunda, 0.6 y en la tercera: 0.7. El detalle resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de este artículo se realiza en la tercera máquina.

Se obtiene un componente completo para el ensamblaje del 40% de los detalles de la fábrica. PERO, y el resto - desde la fábrica. EN. La probabilidad de que el artículo de la fábrica PERO - La más alta calidad, igual a 0.8, y de la fábrica. EN - 0.9. El compromiso al azar tomó una parte y no fue la más alta calidad. Encuentra la probabilidad de que este artículo de la fábrica EN.

Para la participación en las competiciones de deportes de estudiantes, se asignan a 10 estudiantes del primer grupo y 8, desde el segundo. La probabilidad de que un estudiante del primer grupo caiga en el equipo nacional de la Academia, es de 0.8 y de la segunda - 0.7. En los trapos, el estudiante seleccionado llegó a la selección nacional. Encuentra la probabilidad de que él fuera del primer grupo.

\\ (\\ blacktriangleright \\) Si es necesario realizar ambas juntas (que pueden ocurrir simultáneamente) eventos \\ (A \\ a) y \\ (b \\) (\\ (c \u003d \\ a \\) y \\ ((c \u003d \\) y \\ ((c \u003d \\ ( A \\) B \\) \\)), entonces la probabilidad de evento \\ (C \\) es igual al producto de las probabilidades de eventos \\ (A \\) y \\ (B \\).

Tenga en cuenta que si los eventos están incompletos, la probabilidad de su origen simultáneo es igual a \\ (0 \\).

\\ (\\ Blacktriangleright \\) Cada evento puede ser designado en forma de círculo. Luego, si los eventos se encuentran conjuntamente, los círculos deben intersectarse. La probabilidad de un evento \\ (C \\) es la probabilidad de meterse en ambos círculos al mismo tiempo.

\\ (\\ blacktriangleright \\), por ejemplo, al lanzar un hueso de reproducción para encontrar la probabilidad \\ (C \u003d \\) (la pérdida del número \\ (6 \\)).
El evento \\ (C \\) se puede formular como \\ (A \u003d \\) (la pérdida de un número par) y \\ (B \u003d \\) (la pérdida del número dividido por tres).
Luego \\ (P \\, (C) \u003d P \\, (A) \\ CDOT P \\, (B) \u003d \\ DFRAC12 \\ CDOT \\ DFRAC13 \u003d \\ DFRAC16 \\).

Tarea 1 # 3092

Nivel de tareas: igual al EGE

La tienda vende zapatillas de deporte de dos firmas: dique y ananas. La probabilidad de que el par de zapatillas de deporte seleccionado al azar sea un dique, es igual a \\ (0.6 \\). Cada firma puede estar equivocada al escribir su nombre en zapatillas. La probabilidad de que la compañía DIKE se confunda con la escritura, el nombre es igual a \\ (0.05 \\); La probabilidad de que Ananas esté equivocada por escrito, el nombre es igual a \\ (0.025 \\). Encuentre la probabilidad de que el par de zapatillas comprado al azar esté con la redacción correcta del nombre de la compañía.

Evento A: "Un par de zapatillas estarán con el nombre correcto" igual a la cantidad de eventos B: "Un par de zapatillas serán una compañía de diques y con el nombre correcto" y C: "El par de zapatillas serán ananas y con el nombre correcto ".
La probabilidad del evento B es igual al producto de la probabilidad de eventos "Las zapatillas de deporte serán la compañía DIBE" y "El nombre de la compañía Dike escribió correctamente": \\ Simpatamente para el evento C: \ Por eso, \

Respuesta: 0,96

Tarea 2 # 166

Nivel de tareas: igual al EGE

Si Timur interpreta a las damas blancas, gana en vani con una probabilidad de 0.72. Si Timur interpreta a las damas negras, gana la Vanya con una probabilidad de 0.63. Timur y Vanya juegan a dos partes, y en el segundo lote cambian el color de las damas. Encuentra la probabilidad de que Vanya gana en ambas ocasiones.

Vanya gana blanco con una probabilidad de probabilidad \\ (0.37 \\) y negro con una probabilidad \\ (0.28 \\). Los eventos "de dos lotes de Vanya ganaron White" \\ (\\ \\) y "de dos lotes vanya ganaron negro" \\ (\\ \\) - independientes, entonces la probabilidad de su aparición simultánea es igual a

Respuesta: 0.1036

Tarea 3 # 172

Nivel de tareas: igual al EGE

La entrada al museo está protegida por dos guardias. La probabilidad de que el senior de ellos olvide la radio igual a \\ (0.2 \\), y la probabilidad de que los más jóvenes de ellos olviden la radio igual a \\ (0.1 \\). ¿Cuál es la probabilidad de que no tengan una sola radio?

Dado que los eventos en consideración son independientes, la probabilidad de que su aparición simultánea sea igual al producto de sus probabilidades. Entonces la probabilidad deseada es igual a \\

Respuesta: 0.02.

Tarea 4 # 167

Nivel de tareas: igual al EGE

Saltando desde una altura de 1 metro, Kostya rompe su pierna con una probabilidad de probabilidad \\ (0.05 \\). Saltando desde una altura de 1 metro, Vanya rompe su pierna con una probabilidad de probabilidad \\ (0.01 \\). Saltando desde una altura de 1 metro, Anton rompe la pierna con una probabilidad de probabilidad \\ (0.01 \\). Kostya, Vanya y Anton salta simultáneamente desde una altura de 1 metro. ¿Cuál es la probabilidad de que solo Kostya rompa su pierna? Responde alrededor de milésimas.

Eventos "Cuando saltar desde una altura de 1 metro, Kostya rompió la pierna" \\ (, \\) "cuando saltando desde una altura de 1 metro, Vanya no rompió la pierna" \\ (\\) y "al saltar desde una altura de 1 metro , Anton no rompió la pierna "\\ (\\ \\): independiente, por lo tanto, la probabilidad de que su aparición simultánea sea igual al producto de su probabilidad: \ Después de redondear, finalmente obtengamos \\ (0.049 \\).

Respuesta: 0,049.

Tarea 5 # 170

Nivel de tareas: igual al EGE

MAXIM y VANYA decidieron jugar a los bolos. Maxim se descubrió bastante que en promedio golpea la huelga una vez en ocho tiros. Vanya pensó bastante en promedio, golpea la huelga una vez cada cinco disparos. MAXIM y VANYA hacen exactamente un tiro (independientemente del resultado). ¿Cuál es la probabilidad de que no habrá golpe entre ellos?

Dado que los eventos en consideración son independientes, la probabilidad de que su aparición simultánea sea igual al producto de sus probabilidades. En este caso, la probabilidad de que Maxim no elija una huelga igual \ La probabilidad de que Vanya no elija una huelga igual a \\ (1 - 0.2 \u003d 0.8 \\). Entonces la probabilidad deseada es igual \\ [\\ DFRAC (7) (8) \\ CDOT 0.8 \u003d 0.7 \\]

Respuesta: 0,7

Tarea 6 # 1646

Nivel de tareas: igual al EGE

Anton y Kostya Play Tennis Tennis. La probabilidad de que Kostya caiga como un golpe de corona a la mesa (0.9 \\). La probabilidad de que Anton gane el sorteo en el que Kostya intentó aplicar una huelga de corona \\ (0.3 \\). Kostya intentó llegar a su golpe de corona a la mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que Kostya realmente obtenga su golpe coronal y finalmente gane este sorteo?

Dado que los eventos en consideración son independientes, la probabilidad de que su aparición simultánea sea igual al producto de sus probabilidades. Al mismo tiempo, la probabilidad de que Anton no gane el sorteo, en el que Kostya intentó aplicar su huelga de corona \\ (1 - 0.3 \u003d 0.7 \\). Entonces la probabilidad deseada es igual a \\