Cual es el area de cualquier paralelogramo. Cómo encontrar el área de un paralelogramo

Tarea 4.

Una de las diagonales de un paralelogramo de longitud 4√6 forma un ángulo de 60° con la base, y la segunda diagonal forma un ángulo de 45° con la misma base. Encuentra la segunda diagonal.

Solución.

1. AO = 2√6.

2. Aplicar el teorema del seno al triángulo AOD.

AO/sen D = OD/sen A.

2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o.

OD = (2√6sen 60 o) / sen 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Respuesta: 12.

Tarea 5.

Para un paralelogramo con lados 5√2 y 7√2, el ángulo menor entre las diagonales es igual al ángulo menor del paralelogramo. Encuentra la suma de las longitudes de las diagonales.

Solución.

Sean d 1, d 2 las diagonales del paralelogramo, y sea φ el ángulo entre las diagonales y el ángulo menor del paralelogramo.

1. Contemos dos diferentes
caminos de su área.

S ABCD \u003d AB AD sen A \u003d 5√2 7√2 sen f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Obtenemos la igualdad 5√2 7√2 sen f = 1/2d 1 d 2 sen f o

2 5√2 7√2 = re 1 re 2 ;

2. Usando la razón entre los lados y las diagonales del paralelogramo, escribimos la igualdad

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = re 1 2 + re 2 2 .

re 1 2 + re 2 2 = 296.

3. Hagamos un sistema:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(re 1 + re 2 = 140.

Multiplica la segunda ecuación del sistema por 2 y súmala a la primera.

Obtenemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Por lo tanto, Id 1 + d 2 I = 24.

Como d 1, d 2 son las longitudes de las diagonales del paralelogramo, entonces d 1 + d 2 = 24.

Respuesta: 24.

Tarea 6.

Los lados del paralelogramo son 4 y 6. El ángulo agudo entre las diagonales es 45 o. Encuentra el área del paralelogramo.

Solución.

1. Del triángulo AOB, usando el teorema del coseno, escribimos la relación entre el lado del paralelogramo y las diagonales.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

re 1 2/4 + re 2 2/4 - 2 (re 1/2) (re 2/2)√2/2 = 16.

re 1 2 + re 2 2 - re 1 re 2 √2 = 64.

2. De manera similar, escribimos la relación para el triángulo AOD.

Tomamos en cuenta que<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obtenemos la ecuación d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Tenemos un sistema
(re 1 2 + re 2 2 - re 1 re 2 √2 = 64,
(re 1 2 + re 2 2 + re 1 re 2 √2 = 144.

Restando la primera de la segunda ecuación, obtenemos 2d 1 d 2 √2 = 80 o

re 1 re 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Nota: En este problema y en el anterior, no es necesario resolver el sistema por completo, previendo que en este problema necesitamos el producto de diagonales para calcular el área.

Respuesta: 10.

Tarea 7.

El área del paralelogramo es 96 y sus lados son 8 y 15. Halla el cuadrado de la diagonal menor.

Solución.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Hagamos una sustitución en la fórmula.

Obtenemos 96 = 8 15 sin VAD. Por tanto sen VAD = 4/5.

2. Encuentra cos MAL. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 MAL = 1. cos 2 MAL = 9/25.

Según la condición del problema, encontramos la longitud de la diagonal menor. La diagonal BD será menor si el ángulo BAD es agudo. Entonces cos MALO = 3/5.

3. Del triángulo ABD, usando el teorema del coseno, encontramos el cuadrado de la diagonal BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos MALO.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Respuesta: 145.

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Antes de aprender a encontrar el área de un paralelogramo, debemos recordar qué es un paralelogramo y cómo se llama su altura. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares (se encuentran en líneas paralelas). La perpendicular trazada desde un punto arbitrario en el lado opuesto a la línea que contiene este lado se llama altura del paralelogramo.

El cuadrado, el rectángulo y el rombo son casos especiales de paralelogramo.

El área de un paralelogramo se denota como (S).

Fórmulas para encontrar el área de un paralelogramo

S=a*h, donde a es la base, h es la altura que se dibuja a la base.

S=a*b*sinα, donde a y b son las bases, y α es el ángulo entre las bases a y b.

S \u003d p * r, donde p es el semiperímetro, r es el radio del círculo inscrito en el paralelogramo.

El área del paralelogramo formado por los vectores a y b es igual al módulo del producto de los vectores dados, a saber:

Considere el ejemplo No. 1: se da un paralelogramo, cuyo lado mide 7 cm y la altura es de 3 cm.Cómo encontrar el área del paralelogramo, necesitamos una fórmula para resolverlo.

Entonces S = 7x3. S=21. Respuesta: 21 cm2.

Considere el ejemplo No. 2: Las bases miden 6 y 7 cm, y el ángulo entre las bases es de 60 grados. ¿Cómo encontrar el área de un paralelogramo? Fórmula utilizada para resolver:

Así, primero encontramos el seno del ángulo. Seno 60 \u003d 0.5, respectivamente S \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 Respuesta: 21 cm 2.

Espero que estos ejemplos te ayuden a resolver problemas. Y recuerda, lo principal es el conocimiento de las fórmulas y la atención.

Paralelogramo: una figura geométrica, que a menudo se encuentra en las tareas del curso de geometría (sección de planimetría). Las características clave de este cuadrilátero son la igualdad de ángulos opuestos y la presencia de dos pares de lados opuestos paralelos. Los casos especiales de un paralelogramo son un rombo, un rectángulo, un cuadrado.

El cálculo del área de este tipo de polígonos se puede realizar de varias formas. Consideremos cada uno de ellos.

Hallar el área de un paralelogramo si se conocen el lado y la altura

Para calcular el área de un paralelogramo, puede usar los valores de su lado, así como la longitud de la altura que baja sobre él. En este caso, los datos obtenidos serán confiables tanto para el caso de un lado conocido, la base de la figura, como si tiene a su disposición el lado de la figura. En este caso, el valor deseado se obtendrá mediante la fórmula:

S = un * h(a) = segundo * h(b),

• S es el área a determinar,
• a, b - lado conocido (o calculado),
• h es la altura que baja sobre él.

Ejemplo: el valor de la base del paralelogramo es de 7 cm, la longitud de la perpendicular que cae sobre él desde el vértice opuesto es de 3 cm.

Solución: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Hallar el área de un paralelogramo si se conocen 2 lados y el ángulo entre ellos

Considere el caso cuando conoce la magnitud de los dos lados de la figura, así como la medida en grados del ángulo que forman entre sí. Los datos proporcionados también se pueden utilizar para encontrar el área del paralelogramo. En este caso, la expresión de la fórmula se verá así:

S = a * c * senα = a * c * senβ,

• un - lado,
• c es una base conocida (o calculada),
• α, β son los ángulos entre los lados a y c.

Ejemplo: la base de un paralelogramo mide 10 cm, su lado es 4 cm más pequeño. El ángulo obtuso de la figura es 135°.

Solución: determine el valor del segundo lado: 10 - 4 \u003d 6 cm.

S = a * c * senα = 10 * 6 * sen135° = 60 * sen(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Encuentra el área de un paralelogramo si se conocen las diagonales y el ángulo entre ellas

La presencia de valores conocidos de las diagonales de un polígono dado, así como el ángulo que forman como resultado de su intersección, le permite determinar el área de la figura.

S = (d1*d2)/2*senγ,
S = (d1*d2)/2*senφ,

S es el área a determinar,
d1, d2 son diagonales conocidas (o calculadas),
γ, φ son los ángulos entre las diagonales d1 y d2.

¿Qué es un paralelogramo? Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares.

1. El área de un paralelogramo se calcula mediante la fórmula:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

donde:
a es el lado del paralelogramo,
h a es la altura dibujada hacia este lado.

2. Si se conocen las longitudes de dos lados adyacentes del paralelogramo y el ángulo entre ellos, entonces el área del paralelogramo se calcula mediante la fórmula:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Si se dan las diagonales del paralelogramo y se conoce el ángulo entre ellas, entonces el área del paralelogramo se calcula mediante la fórmula:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Propiedades del paralelogramo

En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

En un paralelogramo, los ángulos opuestos son: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Las diagonales del paralelogramo en el punto de intersección se bisecan \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales.

La suma de los ángulos de un paralelogramo adyacente a un lado es 180 o:

\(\ángulo A + \ángulo B = 180^(o) \), \(\ángulo B + \ángulo C = 180^(o)\)

\(\ángulo C + \ángulo D = 180^(o) \), \(\ángulo D + \ángulo A = 180^(o)\)

Las diagonales y los lados de un paralelogramo están relacionados por la siguiente relación:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

En un paralelogramo, el ángulo entre las alturas es igual a su ángulo agudo: \(\angle K B H =\angle A \) .

Las bisectrices de ángulos adyacentes a un lado de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares.

Las bisectrices de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son paralelas.

Características del paralelogramo

Un cuadrilátero es un paralelogramo si:

\(AB = CD\) y \(AB || CD\)

\(AB = CD\) y \(BC = AD\)

\(AO = OC\) y \(BO = OD\)

\(\ángulo A = \ángulo C \) y \(\ángulo B = \ángulo D \)

Como en la geometría euclidiana, el punto y la línea son los elementos principales de la teoría de los planos, por lo que el paralelogramo es una de las figuras clave de los cuadriláteros convexos. De él, como hilos de una pelota, fluyen los conceptos de "rectángulo", "cuadrado", "rombo" y otras cantidades geométricas.

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Definición de un paralelogramo

cuadrilátero convexo, formado por segmentos, cada par de los cuales es paralelo, se conoce en geometría como paralelogramo.

El aspecto de un paralelogramo clásico está representado por el cuadrilátero ABCD. Los lados se llaman bases (AB, BC, CD y AD), la perpendicular trazada desde cualquier vértice al lado opuesto de este vértice se llama altura (BE y BF), las rectas AC y BD son las diagonales.

¡Atención! Cuadrado, rombo y rectángulo son casos especiales de paralelogramo.

Lados y ángulos: características de proporción

Propiedades clave, en general, predeterminado por la propia designación, se prueban por el teorema. Estas características son las siguientes:

1. Los lados que son opuestos son idénticos en pares.
2. Los ángulos que son opuestos entre sí son iguales en pares.

Prueba: considere ∆ABC y ∆ADC, que se obtienen dividiendo el cuadrilátero ABCD por la línea AC. ∠BCA=∠CAD y ∠BAC=∠ACD, ya que AC les es común (ángulos verticales para BC||AD y AB||CD, respectivamente). De esto se sigue: ∆ABC = ∆ADC (el segundo criterio para la igualdad de triángulos).

Los segmentos AB y BC en ∆ABC corresponden por pares a las rectas CD y AD en ∆ADC, lo que significa que son idénticas: AB = CD, BC = AD. Por lo tanto, ∠B corresponde a ∠D y son iguales. Dado que ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, que también son idénticos en pares, entonces ∠A = ∠C. La propiedad ha sido probada.

Características de las diagonales de la figura

Caracteristica principal estas líneas de paralelogramo: el punto de intersección las biseca.

Demostración: sea m.E el punto de intersección de las diagonales AC y BD de la figura ABCD. Forman dos triángulos proporcionales: ∆ABE y ∆CDE.

AB=CD ya que son opuestos. Según rectas y secantes, ∠ABE = ∠CDE y ∠BAE = ∠DCE.

Según el segundo signo de igualdad, ∆ABE = ∆CDE. Esto significa que los elementos ∆ABE y ∆CDE son: AE = CE, BE = DE y, además, son partes proporcionales de AC y BD. La propiedad ha sido probada.

Características de las esquinas adyacentes.

En los lados adyacentes, la suma de los ángulos es 180°, ya que se encuentran en el mismo lado de las rectas paralelas y la secante. Para el cuadrilátero ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propiedades de la bisectriz:

1. , caídos a un lado, son perpendiculares;
2. los vértices opuestos tienen bisectrices paralelas;
3. el triángulo obtenido al dibujar la bisectriz será isósceles.

Determinación de los rasgos característicos de un paralelogramo por el teorema

Las características de esta figura se derivan de su teorema principal, que dice lo siguiente: cuadrilátero se considera un paralelogramo en el caso de que sus diagonales se corten, y este punto las divida en segmentos iguales.

Demostración: Deje que las líneas AC y BD del cuadrilátero ABCD se intersequen en t.E. Como ∠AED = ∠BEC, y AE+CE=AC BE+DE=BD, entonces ∆AED = ∆BEC (por el primer signo de igualdad de triángulos). Es decir, ∠EAD = ∠ECB. También son los ángulos interiores de cruce de la secante AC para las rectas AD y BC. Así, por definición de paralelismo - AD || ANTES DE CRISTO. También se deriva una propiedad similar de las líneas BC y CD. El teorema ha sido probado.

Calcular el área de una figura

El área de esta figura. encontrado de varias maneras una de las más sencillas: multiplicar la altura por la base a la que se dibuja.

Prueba: dibuja las perpendiculares BE y CF desde los vértices B y C. ∆ABE y ∆DCF son iguales porque AB = CD y BE = CF. ABCD es igual al rectángulo EBCF, ya que también se componen de cifras proporcionales: S ABE y S EBCD, así como S DCF y S EBCD. De ello se deduce que el área de esta figura geométrica es la misma que la de un rectángulo:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Para determinar la fórmula general del área de un paralelogramo, denotamos la altura como media pensión, y el lado B. Respectivamente:

Otras formas de encontrar el área

Cálculos de área por los lados del paralelogramo y el ángulo, que forman, es el segundo método conocido.

,

Spr-ma - área;

a y b son sus lados

α - ángulo entre los segmentos a y b.

Este método está prácticamente basado en el primero, pero por si acaso se desconoce. siempre corta un triángulo rectángulo cuyos parámetros se encuentran por identidades trigonométricas, es decir, . Transformando la razón, obtenemos . En la ecuación del primer método, reemplazamos la altura con este producto y obtenemos una prueba de la validez de esta fórmula.

Por las diagonales de un paralelogramo y un ángulo, que crean cuando se cruzan, también puede encontrar el área.

Demostración: la intersección de AC y BD forma cuatro triángulos: ABE, BEC, CDE y AED. Su suma es igual al área de este cuadrilátero.

El área de cada uno de estos ∆ se puede encontrar a partir de la expresión , donde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dado que , se usa un solo valor del seno en los cálculos. Es decir . Dado que AE+CE=AC= d 1 y BE+DE=BD= d 2 , la fórmula del área se reduce a:

.

Aplicación en álgebra vectorial

Las características de las partes constituyentes de este cuadrilátero han encontrado aplicación en el álgebra vectorial, a saber: la suma de dos vectores. La regla del paralelogramo establece que Vectores de si dadoynoson colineales, entonces su suma será igual a la diagonal de esta figura, cuyas bases corresponden a estos vectores.

Prueba: desde un comienzo elegido arbitrariamente, eso es. - construimos vectores y . A continuación, construimos un paralelogramo OASV, donde los segmentos OA y OB son lados. Por lo tanto, el sistema operativo se encuentra en el vector o suma.

Fórmulas para calcular los parámetros de un paralelogramo

Las identidades se dan bajo las siguientes condiciones:

1. a y b, α - lados y el ángulo entre ellos;
2. d 1 y d 2 , γ - diagonales y en el punto de su intersección;
3. h a y h b - alturas rebajadas a los lados a y b;

Parámetro	Fórmula
Encontrar lados
a lo largo de las diagonales y el coseno del ángulo entre ellas
en diagonal y de lado
a través de la altura y el vértice opuesto
Hallar la longitud de las diagonales
en los lados y el tamaño de la parte superior entre ellos
a lo largo de los lados y una de las diagonales	 Conclusión El paralelogramo, como una de las figuras clave de la geometría, se usa en la vida, por ejemplo, en la construcción al calcular el área del sitio u otras medidas. Por lo tanto, el conocimiento sobre las características distintivas y los métodos para calcular sus diversos parámetros puede ser útil en cualquier momento de la vida.