Sva bočna rebra pravilna piramida su jednaki, a bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti. Zadano je: PA1A2…An – pravilna piramida Doc: 1) A1R = A2R = … = AnR 2) ?A1A2R = ?A2A3R = … = = ?An-1AnR – r/b.

Slajd 7 iz prezentacije "Piramide".

Veličina arhive s prezentacijom je 181 KB.

Geometrija 10. razred sažetak

druge prezentacije “Piramida 10. razreda” - A2. Sadržaj. Poliedar sastavljen od n-kuta A1A2...An i n trokuta zove se piramida. Baza. Sat matematike u 10. razredu na temu "Piramida". An. Vrh piramide. MBOU "Srednja škola br. 22 s produbljenim studijem engleski jezik

»Nizhnekamsk RT. A. A3. A1. C.

“Paralelepiped razred 10” - Susjedna lica. C1. Geometrija 10. razred. A1. C. D1. D. Suprotna lica. Broj 76. Dokažite da su AC II A1C1 i BD II B1D1.

“Vektorska geometrija 10. razred” - Vektori. Vektori u prostoru. Geometrija 10. razred. CB CM. Općinska obrazovna ustanova Shagaeva Anna Borisovna "Srednja škola Baragash". Akcije s vektorima. Ekspresni vektor. Zbroj vektora. Ac an am. Vektor je poput usmjerenog segmenta.

“Presjeci paralelopipeda” - 4. ? MNK - presjek paralelopipeda ABCDA’B’C’D’. Lekcija - radionica u 10. razredu Učiteljica matematike Shvenk A.V. (MNK) ? (ADD'A') = MN. (MNK) ? (A'B'C'D') = NK. Odsječci paralelopipeda. Ciljevi lekcije. Rezna ravnina siječe suprotne plohe paralelopipeda po paralelnim segmentima. Odsječci paralelopipeda.

“Vektor u geometriji” - Oduzimanje vektora. Zbrajanje i oduzimanje vektora. Pravilo paralelograma. Takav se vektor naziva nula. Razlika između vektora a i b može se pronaći pomoću formule gdje je vektor nasuprot vektoru. Duljina vektora različitog od nule je duljina segmenta AB. Na sl. 2, jer i, a, jer . - vektori se smatraju kosmjernim. - vektori su suprotno usmjereni.

Koncept piramide

Definicija 1

Geometrijski lik koji čine mnogokut i točka koja ne leži u ravnini koja sadrži taj mnogokut, povezana sa svim vrhovima mnogokuta, naziva se piramida (slika 1).

Mnogokut od kojeg se sastoji piramida naziva se baza piramide; dobiveni trokuti, kada su povezani s točkom, bočne su strane piramide, stranice trokuta su stranice piramide, a točka zajednička. svim trokutima je vrh piramide.

Vrste piramida

Ovisno o broju kutova u podnožju piramide, može se nazvati trokutasta, četverokuta i tako dalje (slika 2).

Druga vrsta piramide je pravilna piramida.

Uvedimo i dokažimo svojstvo pravilne piramide.

Teorem 1

Sve bočne strane pravilne piramide su jednakokračni trokuti koji su međusobno jednaki.

Dokaz.

Promotrimo pravilnu $n-$kutnu piramidu s vrhom $S$ visine $h=SO$. Nacrtajmo krug oko baze (slika 4).

Slika 4.

Promotrimo trokut $SOA$. Prema Pitagorinoj teoremi dobivamo

Očito je da će svaki bočni rub biti definiran na ovaj način. Prema tome, svi su bočni bridovi međusobno jednaki, odnosno sve su bočne plohe jednakokračni trokuti. Dokažimo da su međusobno jednaki. Budući da je baza pravilan mnogokut, osnovice svih bočnih stranica su međusobno jednake. Prema tome, sve bočne plohe su jednake prema III kriteriju jednakosti trokuta.

Teorem je dokazan.

Predstavimo se sada sljedeća definicija, povezan s konceptom pravilne piramide.

Definicija 3

Apotem pravilne piramide je visina njezine bočne strane.

Očito, prema teoremu jedan, svi su apotemi međusobno jednaki.

Teorem 2

Bočna površina pravilne piramide određena je kao umnožak poluopsega baze i apoteme.

Dokaz.

Označimo stranicu baze $n-$kutne piramide s $a$, a apotemu s $d$. Stoga je površina bočne strane jednaka

Kako su prema teoremu 1 sve strane jednake, onda

Teorem je dokazan.

Drugi tip piramide je krnja piramida.

Definicija 4

Ako se kroz običnu piramidu povuče ravnina paralelna s njezinom bazom, tada se lik formiran između te ravnine i ravnine baze naziva krnja piramida (slika 5).

Slika 5. Krnja piramida

Bočne strane krnje piramide su trapezi.

Teorem 3

Bočna površina pravilne krnje piramide određena je kao umnožak zbroja poluperimetara baza i apoteme.

Dokaz.

Označimo stranice baza $n-$kutne piramide s $a\ odnosno\ b$, a apotemu s $d$. Stoga je površina bočne strane jednaka

Budući da su sve strane jednake, dakle

Teorem je dokazan.

Ogledni zadatak

Primjer 1

Odredite površinu bočne površine krnje trokutaste piramide ako je dobivena iz pravilne piramide s osnovnom stranom 4 i apotemom 5 odsijecanjem ravnine koja prolazi kroz središnju liniju bočnih stranica.

Otopina.

Koristeći teorem srednje crte, nalazimo da je gornja baza krnje piramide jednaka $4\cdot \frac(1)(2)=2$, a apotem je jednak $5\cdot \frac(1)(2) =2,5 dolara.

Tada, prema teoremu 3, dobivamo

Uvod

Kada smo počeli proučavati stereometrijske figure, dotakli smo se teme "Piramida". Ova tema nam se svidjela jer se piramida vrlo često koristi u arhitekturi. A budući da je naš buduća profesija arhitektica, inspirirani ovom figurom, mislimo da nas ona može pogurati prema velikim projektima.

Čvrstoća arhitektonskih građevina njihova je najvažnija kvaliteta. Povezujući čvrstoću, prvo, s materijalima od kojih su stvoreni, i, drugo, sa značajkama dizajnerskih rješenja, ispada da je čvrstoća strukture izravno povezana s geometrijskim oblikom koji je za nju osnovni.

Drugim riječima, riječ je o geometrijskom liku koji se može smatrati modelom odgovarajućeg arhitektonskog oblika. Ispada da geometrijski oblik također određuje snagu arhitektonske strukture.

Od davnina su se egipatske piramide smatrale najtrajnijim arhitektonskim građevinama. Kao što znate, imaju oblik pravilnih četverokutnih piramida.

Upravo ovaj geometrijski oblik pruža najveću stabilnost zbog velike površine baze. S druge strane, oblik piramide osigurava da se masa smanjuje s povećanjem visine iznad tla. Upravo ta dva svojstva čine piramidu stabilnom, a time i čvrstom u uvjetima gravitacije.

Cilj projekta: naučite nešto novo o piramidama, produbite svoje znanje i pronađite praktičnu primjenu.

Za ostvarenje ovog cilja bilo je potrebno riješiti sljedeće zadatke:

· Saznajte povijesne informacije o piramidi

· Piramidu promatrajte kao geometrijski lik

· Pronađite primjenu u životu i arhitekturi

· Pronađite sličnosti i razlike između piramida koje se nalaze u različite dijelove Sveta

Teorijski dio

Povijesni podaci

Početak geometrije piramide postavljen je u starom Egiptu i Babilonu, ali se aktivno razvijao u Stara Grčka. Prvi koji je utvrdio obujam piramide bio je Demokrit, a dokazao Eudoks iz Knida. Starogrčki matematičar Euklid sistematizirao je znanje o piramidi u XII svesku svojih "Elemenata", a također je izveo prvu definiciju piramide: čvrsta figura omeđena ravninama koje konvergiraju iz jedne ravnine u jednu točku.

Grobnice egipatskih faraona. Najveće od njih - Keopsova, Kefrenova i Mikerinova piramida u El Gizi - smatrane su jednim od sedam svjetskih čuda u antičko doba. Izgradnja piramide, u kojoj su već Grci i Rimljani vidjeli spomenik neviđenom ponosu kraljeva i okrutnosti koja je cijeli narod Egipta osudila na besmislenu gradnju, bila je najvažniji kultni čin i trebala je izraziti, po svemu sudeći, mistični identitet zemlje i njezina vladara. Stanovništvo zemlje radilo je na izgradnji grobnice u dijelu godine slobodnom od poljoprivrednih radova. Brojni tekstovi svjedoče o pažnji i brizi koju su sami kraljevi (iako kasnijeg vremena) posvećivali izgradnji svoje grobnice i njenim graditeljima. Poznate su i posebne kultne počasti koje su davane samoj piramidi.

Osnovni pojmovi

Piramida naziva se poliedar čija je osnovica mnogokut, a preostale plohe su trokuti koji imaju zajednički vrh.

Apotema- visina bočne strane pravilne piramide, izvučena iz njenog vrha;

Bočna lica- trokuti koji se sastaju u vrhu;

Bočna rebra- zajedničke strane bočnih lica;

Vrh piramide- točka koja povezuje bočna rebra i ne leži u ravnini baze;

Visina- okomit segment povučen kroz vrh piramide do ravnine njezine baze (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i baza okomice);

Dijagonalni presjek piramide- presjek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu baze;

Baza- poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Osnovna svojstva pravilne piramide

Bočni bridovi, bočne strane i apoteme su redom jednaki.

Diedarski kutovi na bazi su jednaki.

Diedarski kutovi na bočnim bridovima su jednaki.

Svaka visinska točka je jednako udaljena od svih vrhova baze.

Svaka visinska točka je jednako udaljena od svih bočnih stranica.

Osnovne piramidne formule

Površina bočne i ukupne površine piramide.

Površina bočne površine piramide (pune i skraćene) zbroj je površina svih njezinih bočnih stranica, a ukupna površina je zbroj površina svih njezinih stranica.

Teorem: Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovici umnoška opsega baze i apoteme piramide.

str- osnovni perimetar;

h- apotema.

Površina bočne i pune plohe krnje piramide.

str 1, str 2 - osnovni perimetri;

h- apotema.

R- ukupna površina pravilne krnje piramide;

S strana- područje bočne površine pravilne krnje piramide;

S 1 + S 2- osnovna površina

Volumen piramide

Oblik volumen ula se koristi za piramide bilo koje vrste.

H- visina piramide.

Kutovi piramide

Kutovi koje tvore bočna stranica i baza piramide nazivaju se diedralnim kutovima na bazi piramide.

Diedralni kut tvore dvije okomice.

Da biste odredili ovaj kut, često morate koristiti teorem o tri okomice.

Kutovi koje tvore bočni brid i njegova projekcija na ravninu baze nazivaju se kut između bočnog brida i ravnine baze.

Kut koji čine dva bočna brida naziva se diedralski kut na bočnom rubu piramide.

Kut koji čine dva bočna brida jedne strane piramide naziva se kut na vrhu piramide.

Sekcije piramide

Ploha piramide je ploha poliedra. Svako njezino lice je ravnina, stoga je presjek piramide određen reznom ravninom izlomljena linija koja se sastoji od pojedinačnih ravnih linija.

Dijagonalni presjek

Odsjek piramide ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne leže na istoj plohi naziva se dijagonalni presjek piramide.

Paralelni odsjeci

Teorema:

Ako je piramida presječena ravninom paralelnom s osnovicom, tada se bočni bridovi i visine piramide dijele tom ravninom na proporcionalne dijelove;

Odsjek ove ravnine je poligon sličan osnovici;

Površine odsječka i baze međusobno se odnose kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha.

Vrste piramida

Ispravna piramida– piramida čija je baza pravilan mnogokut, a vrh piramide je projiciran u središte baze.

Za pravilnu piramidu:

1. bočna rebra su jednaka

2. bočne strane su jednake

3. apoteme su jednake

4. diedarski kutovi na bazi su jednaki

5. diedarski kutovi na bočnim bridovima su jednaki

6. svaka točka visine jednako je udaljena od svih vrhova baze

7. svaka visinska točka je jednako udaljena od svih bočnih rubova

Krnja piramida- dio piramide zatvoren između njezine baze i rezne ravnine paralelne s bazom.

Baza i odgovarajući presjek krnje piramide nazivaju se baze krnje piramide.

Zove se okomica povučena iz bilo koje točke jedne baze na ravninu druge visina krnje piramide.

Zadaci

broj 1. U pravilnoj četverokutnoj piramidi točka O je središte baze, SO=8 cm, BD=30 cm Nađi bočni brid SA.

Rješavanje problema

broj 1. U pravilnoj piramidi sva lica i bridovi su jednaki.

Razmotrite OSB: OSB je pravokutni pravokutnik, jer.

SB2=SO2+OB2

SB 2 =64+225=289

Piramida u arhitekturi

Piramida je monumentalna građevina u obliku obične pravilne geometrijske piramide, u kojoj se strane spajaju u jednoj točki. Po svojoj funkcionalnoj namjeni piramide su u antičko doba bile mjesta ukopa ili kulta. Baza piramide može biti trokutastog, četverokutnog ili poligonalnog oblika s proizvoljnim brojem vrhova, no najčešća inačica je četverokutna baza.

Postoji znatan broj piramida koje su izgradile različite kulture. Antički svijet uglavnom kao hramovi ili spomenici. Velike piramide uključuju egipatske piramide.

Diljem Zemlje možete vidjeti arhitektonske građevine u obliku piramida. Građevine piramida podsjećaju na davna vremena i izgledaju vrlo lijepo.

Egipatske piramide su najveće arhitektonski spomenici Stari Egipat, među kojima je jedno od “Sedam svjetskih čuda” Keopsova piramida. Od podnožja do vrha doseže 137,3 m, a prije nego što je izgubio vrh, visina mu je bila 146,7 m.

Zgrada radio postaje u glavnom gradu Slovačke, nalik na obrnutu piramidu, izgrađena je 1983. godine. Osim ureda i uslužnih prostorija, unutar volumena nalazi se prilično prostrana koncertna dvorana, koja ima jedne od najvećih orgulja u Slovačkoj.

Louvre, koji je "tihi, nepromjenjivi i veličanstveni, poput piramide", doživio je mnoge promjene tijekom stoljeća prije nego što je postao najveći muzej na svijetu. Rođen je kao utvrda koju je podigao Filip August 1190. godine, a koja je ubrzo postala kraljevska rezidencija. Godine 1793. palača je postala muzej. Zbirke se obogaćuju ostavštinom ili otkupom.

Piramida. Krnja piramida

Piramida je poliedar, čija je jedna strana poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočna lica ) (Slika 15). Piramida se zove ispraviti , ako je njezina baza pravilan mnogokut, a vrh piramide projiciran u središte baze (slika 16). Trokutasta piramida kojoj su svi bridovi jednaki naziva se tetraedar .

Bočno rebro piramide je stranica bočne plohe koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravnine baze. Svi bočni bridovi pravilne piramide su međusobno jednaki, sve su bočne strane jednaki jednakokračni trokuti. Visina bočne plohe pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apotema . Dijagonalni presjek naziva se presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.

Bočna površina piramida je zbroj površina svih bočnih strana. Ukupna površina naziva se zbroj površina svih bočnih stranica i baze.

Teoremi

1. Ako su u piramidi svi bočni bridovi podjednako nagnuti prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice opisane blizu baze.

2. Ako u piramidi svi bočni bridovi imaju jednake duljine, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice opisane blizu baze.

3. Ako su sva lica u piramidi jednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice upisane u bazu.

Za izračun obujma proizvoljne piramide ispravna je formula:

Gdje V- volumen;

S baza– osnovna površina;

H– visina piramide.

Za pravilnu piramidu točne su sljedeće formule:

Gdje str– osnovni opseg;

h a– apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S baza– osnovna površina;

V– volumen pravilne piramide.

Krnja piramida naziva se dio piramide zatvoren između baze i sječne ravnine paralelne s bazom piramide (slika 17). Pravilna krnja piramida je dio pravilne piramide zatvoren između baze i sjecišta paralelne s bazom piramide.

Temelji krnja piramida – slični poligoni. Bočna lica – trapezi. Visina krnje piramide je udaljenost između njezinih baza. Dijagonalno krnja piramida je segment koji povezuje njezine vrhove koji ne leže na istoj plohi. Dijagonalni presjek presjek je krnje piramide ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.

Za krnju piramidu vrijede sljedeće formule:

(4)

Gdje S 1 , S 2 – područja gornje i donje baze;

S puna– ukupna površina;

S strana– površina bočne površine;

H- visina;

V– volumen krnje piramide.

Za pravilnu krnju piramidu točna je formula:

Gdje str 1 , str 2 – obodi baza;

h a– apotem pravilne krnje piramide.

Primjer 1. U desnoj trokutasta piramida diedralni kut na bazi je 60º. Odredite tangens kuta nagiba bočnog brida na ravninu baze.

Otopina. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je ispravna, znači u osnovi jednakostranični trokut a sve su bočne strane jednaki jednakokračni trokuti. Diedarski kut pri bazi je kut nagiba bočne strane piramide prema ravnini baze. Linijski kut je kut a između dvije okomice itd. Vrh piramide je projiciran u središte trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice trokuta ABC). Kut nagiba bočnog ruba (npr S.B.) je kut između samog brida i njegove projekcije na ravninu baze. Za rebro S.B. ovaj kut će biti kut SBD. Da biste pronašli tangentu morate znati krake TAKO I O.B.. Neka duljina segmenta BD jednako 3 A. Točka OKO segment BD dijeli se na dijelove: i Od nalazimo TAKO: Od nalazimo:

Odgovor:

Primjer 2. Pronađite volumen ispravnog skraćenog četverokutna piramida, ako su dijagonale njegovih baza jednake cm i cm, a visina mu je 4 cm.

Otopina. Za pronalaženje volumena krnje piramide koristimo formulu (4). Da biste pronašli područje baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice baza jednake su 2 cm odnosno 8 cm. To znači površine baza i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo volumen krnje piramide:

Odgovor: 112 cm 3.

Primjer 3. Odredite površinu bočne strane pravilne trokutaste krnje piramide čije su stranice baza 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Otopina. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokračan trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati bazu i visinu. Osnove su date prema stanju, samo visina ostaje nepoznata. Odakle ćemo je pronaći A 1 E okomito od točke A 1 na ravnini donje baze, A 1 D– okomito od A 1 osoba AC. A 1 E= 2 cm, jer je to visina piramide. Pronaći DE Napravimo dodatni crtež koji prikazuje pogled odozgo (slika 20). Točka OKO– projekcija središta gornje i donje baze. budući (vidi sliku 20) i S druge strane U REDU– polumjer upisan u krug i OM– radijus upisan u krug:

MK = DE.

Prema Pitagorinom teoremu iz

Bočno područje lica:

Odgovor:

Primjer 4. U osnovi piramide nalazi se jednakokračni trapez čije su osnovice A I b (a> b). Svaka bočna strana tvori kut jednak ravnini baze piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Otopina. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak zbroju površina i površine trapeza ABCD.

Poslužimo se tvrdnjom da ako su sve stranice piramide jednako nagnute prema ravnini baze, tada se vrh projicira u središte kružnice upisane u bazu. Točka OKO– projekcija vrha S u podnožju piramide. Trokut TRAVNJAK je ortogonalna projekcija trokuta CSD na ravninu baze. Koristeći teorem o području ortogonalne projekcije ravnog lika, dobivamo:

Isto tako znači Dakle, problem je smanjen na pronalaženje površine trapeza ABCD. Nacrtajmo trapez ABCD zasebno (slika 22). Točka OKO– središte kružnice upisane u trapez.

Kako se krug može upisati u trapez, tada ili Iz Pitagorine teoreme imamo