Metode pretvaranja složenog crteža. Način zamjene ravnina projekcije.Način zamjene ravnina projekcije je određivanje stvarne veličine.
Zadatak 1. Pretvorite dijagram prikazan na sl. 9.9 tako da se linija općeg položaja pokaže paralelnom s jednom od ravnina projekcije novog sustava.
Da bismo riješili problem, potrebno je postaviti novu ravninu projekcije paralelno sa zadanim segmentom ( P 4 ║AB ). Zatim se segment projicira na ovu projekcijsku ravninu bez promjena.
Rješenje ovog problema prikazano je na sl. 9.9, b. Paralelno A 1 B 1 nacrtana os X 1, a nova frontalna projekcija segmenta konstruirana je u sustavu projekcijskih ravnina A 4 B 4. Očito je da / A 4 B 4/=/AB/ i kut φ , formirana projekcijom A 4 B 4 s osovinom X 1 jednak nagibu pravca AB do aviona P 1.
Zadatak 2. Pretvorite dijagram prikazan na sl. 9.10 tako da segment AB ravna crta u općem položaju pokazala se okomitom na jednu od ravnina projekcije.
Da biste riješili problem, morate napraviti dvije uzastopne zamjene ravnina projekcije:
1) zamijenimo sustav sustavom, postavljajući avion P 4 paralelno AB;
2) iz sustava prelazimo na , postavljajući ravninu P 5 okomito na ravnu liniju AB. Završene konstrukcije prikazane su na sl. 9.10.
Zadatak 3. Pretvorite opću ravninu u ravninu projekcije.
Za rješavanje ovog problema potrebno je uvesti novu ravninu projekcije tako da bude okomita na zadanu ravninu Γ(ABC) i jedna od ravnina projekcije, tj. okomito na liniju njihova sjecišta. Crta presjeka ravnina Γ s ravninom projekcije pripadajući je trag ravnine Γ. Zbog toga nova ravnina projekcije mora biti okomita na jedan od tragova dane ravnine ili jednu od njezinih ravnina, koja je paralelna s odgovarajućim tragom.
Na slici 9.11 prikazana je transformacija ravnine Γ(ABC) u projektor. Da biste to učinili u avionu Γ nacrtana vodoravna crta h (h 2 h 1) i okomito na njega, i, prema tome, na cijelu ravninu Γ predstavljen je novi avion P 4,čemu služi osovina? X 1 novi sustav projekcijskih ravnina nacrtana okomito na horizontalnu projekciju horizontale X 1┴ h 1, te se u skladu s poznatim pravilom konstruira nova projekcija A 4 B 4 C 4 trokut ABC, koji predstavlja segment ravne linije. Nakon konstrukcija, avion Γ(ABC) P 4 i s avionom P 1čini kut a.
Zadatak 4. Pretvori generičku ravninu Γ(ABC) u ravninu ravnine.
Transformacija ravnine općeg položaja u ravninu ravnine provodi se uzastopno dvjema zamjenama ravnina projekcije - prvo se ravnina općeg položaja transformira u ravninu projiciranja, a zatim se rezultirajuća ravnina projiciranja transformira u ravninu ravnine.
Na sl. 9.12 za transformaciju ravnine Γ u ravninu projiciranja uvedena je nova projekcijska ravnina P 4, okomito na ravninu Γ . Os novog sustava ravnina povučena je okomito na horizontalnu projekciju horizontale. Rezultirajuća projekcija A 4 B 4 C 4 je degenerirana projekcija ravnine Γ, jer avion Γ je projektivan u odnosu na ravninu P 4.
Za transformaciju ravnine projekcije u ravninu ravnine uvedena je nova ravnina projekcije P 5, paralelno s ravninom Γ . Os X 2 novi sustav projekcijskih ravnina je paralelan s degeneriranom projekcijom A 4 B 4 C 4 avion Γ . Prilikom konstruiranja nove projekcije A 5 B 5 C 5 korištene su udaljenosti od zamijenjenih projekcija A 1 B 1 C 1 do osi X 1. Budući da u novom sustavu projekcijskih ravnina ravnina Γ(ABC) je paralelna s ravninom P 5, onda se na tu ravninu projiciranja projicira u prirodnoj veličini.
Četiri glavna razmatrana problema temelj su rješenja mnogih drugih problema zamjenom ravnina projekcije. Pogledajmo primjere rješavanja nekih problema.
Primjer 1. Pretvori avion Γ opći položaj, zadan tragovima, u izbočeni (sl. 9.13).
Avion Γ pretvoriti u prednju projekciju. Poznato je da je horizontalni trag frontalno projicirane ravnine okomit na os X, dakle nova os X 1 crtati okomito na Γ P1. Kroz točku gdje Γ P1 ∩ H 1 = Γ X1 proći će frontalni trag Γ P4. Da bi se odredio njegov smjer, dovoljno je pronaći jednu točku. Kao takva točka može se uzeti proizvoljna točka 1∈Γ i označite njegovu frontalnu projekciju 1 4 u novom avionu P 4. Kroz Γ X1 I 1 4 izvršiti Γ P4 .
Primjer 2. Odredite udaljenost od točke T Gornja traka Σ opći stav koji je dao D ABC(Sl. 9.14)
Avion Σ(ABC) transformiramo ga u projicirajući, za što konstruiramo horizontalnu liniju u ravnini h (h 2 h 1). Nacrtajmo os okomitu na horizontalnu projekciju horizontale X 1 novi sustav projekcijskih ravnina. Konstruiranje novih projekcija točaka A 4 B 4 C 4, iscrtavanje udaljenosti od osi X 1, jednake udaljenostima od zamijenjenih projekcija A 2 B 2 C 2 do osi X.
Avion Σ(ABC) pokazalo se da je okomito na ravninu projekcije P 4 i projiciran je na ovu ravninu u pravoj liniji. Do aviona P 4 premjestiti točku T(T 4) i spustite okomicu na ravninu D ( ABC). T 4 K 4 ┴ (A 4 B 4 C 4) , Gdje DO– osnovica okomice. Udaljenost od točke T do aviona D ABC na površini P 4 projicira se bez izobličenja. |T 4 K 4 |= |TK|. Vraćamo projekciju okomice na ravninu; za to iz točke T 1 nacrtamo projekciju okomice T 1 K 1 paralelno s osi X 1 i okomito na h 1. Daljnje dovršene konstrukcije prikazane su na sl. 9.14.
Metode transformacije projekcija i njihove
primjena za rješavanje problema
Predstavimo novu ravninu projekcije P 4 paralelno sa segmentom AB(slika 32) i okomito P 1 . U ovom slučaju, nova x 14 os će biti paralelna A 1 U 1 (inače izravno AB i avion P 4 će se presijecati). Kut segmenta AB do aviona P 4 je nula, i AB na P 4 je projiciran u punoj veličini, tj. A 4 V 4 = AB. Izmjerivši segment A 4 U 4, dobivamo duljinu segmenta AB.
Otkrivanje prirodne veličine ravne figure
metoda zamjene projekcijskih ravnina
Neka je ∆ ABC– ravnina općeg položaja (slika 33). U ravnini trokuta nacrtamo vodoravnu liniju h, projicirajte horizontalu h točno h 4 po avionu P 4 (x 14 ⊥ h 1 , P 4 ⊥ h), konstruirajte nove projekcije točaka A 4 , U 4 , S 4 . Ravnina ∆ ABC se projicira na pravac koji prolazi kroz točke A 4 , U 4 , S 4 . Ravnina trokuta u sustavu ( P 1 P 4) je projicirajuća ravnina, okomita je P 4 . Trokut ABC projiciran na P 4 po segmentu U 4 S 4 .
Da bismo pronašli prirodnu vrijednost ∆ ABC uvedimo ravninu projekcije P 5 paralelna s ravninom trokuta i okomita P 4 . Nova os x 45 je paralelan segmentu D 4 C 4 (inače ∆ ABC I P 5 će se presijecati). Trokut ABC projiciran na ravninu P 5 prirodnoj veličini Δ A 5 U 5 S 5 = Δ ABC.
Slično se pronalazi prirodna veličina bilo koje ravne figure.
Praktični zadatak broj 3. Nacrtati crtež dviju ravnina koje se sijeku (format A4).
Tema 4
POVRŠINE
Nacrtna geometrija proučava kinematičku metodu oblikovanja i definiranja površina. U ovom slučaju, ploha se promatra kao skup uzastopnih položaja pokretne linije ili druge plohe u prostoru. Pravac koji se kreće u prostoru i tvori plohu naziva se generatrisa. Generatori mogu biti ravni ili zakrivljeni. Generirajuće krivulje mogu biti konstantne i promjenjive, na primjer, prirodno se mijenjati.
Zakon kretanja generatrise obično je određen drugim linijama tzv vodiči, po kojoj generatrix klizi tijekom svog kretanja, kao i priroda kretanja generatrixa. U nekim slučajevima, jedna od vodilica može se pretvoriti u točku, na primjer, vrh blizu stožaste površine, ili biti u beskonačnosti, na primjer, blizu cilindrične površine.
Skup geometrijskih elemenata koji definiraju plohu naziva se determinanta površine, uzimajući u obzir da je zakon kretanja generatrixa određen nazivom površine.
Određivanje površine projekcijama njezine odrednice ne daje uvijek jasnoću, a to zauzvrat otežava čitanje crteža, stoga, da biste dobili vizualnu sliku površine u složenom crtežu, trebali biste naznačiti tematski članak ovu površinu. Obris projekcije plohe je projekcija odgovarajuće vidljive konturne linije. Linija vidljive konture plohe dijeli je na dva dijela - vidljivi, okrenut prema promatraču, i nevidljivi.
Klasifikacija površina
Površine se klasificiraju, u pravilu, ovisno o obliku generatrixa i zakonu njegovog kretanja u prostoru (slika 35):
Površina se zove vladao, ako se može formirati pomicanjem ravne linije. Ploha koja ne može nastati kretanjem pravca naziva se nevladani. Na primjer, stožac rotacije je vladao površina, a sfera je nevladani. Kroz bilo koju točku plohe s linijama moguće je povući barem jednu ravnu liniju koja u cijelosti pripada plohi. Skup takvih linija predstavlja kontinuiranu okvir ravna površina. Površine s linijama dijele se u dvije vrste:
– odvijanje površine;
– nerazmjestiv, ili kosi površine.
Nerazvojne površine nemoguće je kombinirati s ravninom bez stvaranja nabora i suza.
Fasetirane površine
Površina koju čine dijelovi ravnina koje se u paru sijeku naziva se višeznačan. Na sl. Slika 36 prikazuje neke vrste fasetiranih površina.
a B C
Riža. 36 Fasetirane plohe
Njihovi elementi su rubovi, rebra I vrhovi. Ravnine koje tvore poliedarsku plohu nazivaju se rubovi, linije presjeka susjednih lica – rebra, točke presjeka najmanje tri plohe – vrhovi.
Fasetirana ploha naziva se piramidalni, ako se svi njegovi rubovi sijeku u jednoj točki - vrhu (sl. 36 A). Fasetirana ploha naziva se prizmatičan, ako su svi njegovi rubovi međusobno paralelni (sl. 36 b). Geometrijsko tijelo omeđeno sa svih strana ravnim poligonima naziva se poliedar. Prizmatoid zove se poliedar čija su gornja i donja baza poligoni koji se nalaze u paralelnim ravninama, a bočne strane su trokuti ili trapezi (sl. 36). V).
Površine torza
Torzo ploha je ploha nastala kretanjem pravocrtne generatrise po zakrivljenoj vodilici.
Cilindrična površina(Sl. 37 A) nastaje kretanjem ravne crte koja klizi duž neke fiksne zatvorene ili otvorene krivulje i ostaje paralelna sa svojim izvornim položajem. Skup pravocrtnih generatrisa predstavlja kontinuirani okvir cilindrične plohe. Kroz svaku točku plohe prolazi jedna pravocrtna generatrisa.
a B C
Riža. 37 Plohe: torzo cilindričan, torzo koničan, torzo
Dio zatvorene cilindrične plohe zatvoren između dva ravnoparalelna odsječka naziva se cilindar, a slike odjeljka su njegove razloga.
Stožasta površina(Sl. 37 b) nastaje kretanjem pravca koji klizi duž neke fiksne zatvorene ili otvorene krivulje i prolazi u svim svojim položajima kroz fiksnu točku.
Konus zove se dio zatvorene stožaste plohe omeđen vrhom i nekom ravninom koja siječe sve njegove generatore. Lik presjeka stožaste plohe ovom ravninom naziva se baza stošca.
Plohe s ravninom paralelnosti u općem slučaju nastaju kretanjem pravocrtne generatrise po trima smjernicama koje jednoznačno određuju zakon njezina gibanja.
Vodilice mogu biti krivulje I ravno. Raznolikosti kosih ploha su ravnane plohe s vodećom ravninom i njihove posebne vrste - linijske površine s ravninom paralelizma(katalonske površine).
Površine s ravninom paralelnosti u sličnim slučajevima nazivaju se redom ravni cilindroidi, ravne konoide I kosa ravnina.
Ravni cilindroid(Sl. 38) je ploha koja nastaje kretanjem pravca koji klizi duž dviju zakrivljenih vodilica koje ne pripadaju istoj ravnini, au svim svojim položajima ostaje paralelan s nekom zadanom ravninom. Ta se ravnina naziva ravninom paralelizma.
Riža. 38 Ravni cilindar Sl. 39 Ravni konoid Sl. 40 Kosa ravnina
Kosa ravnina(slika 40) je ploha nastala kretanjem pravca koji klizi duž dviju ravnina koje se sijeku i ostaje u svim svojim položajima paralelan s određenom ravninom paralelnosti.
Zavojne površine
Ploha nastala zavojnim kretanjem pravca naziva se ravna spiralna površina– helikoid(kretanje vijka karakterizira rotacija oko određene osi ja a translatorno kretanje paralelno s ovom osi).
a b
Riža. 41 Zavojne plohe
Nagnuti helikoid je ploha nastala kretanjem pravca koji klizi duž dviju vodilica (jedna od njih je cilindrična zavojnica, a druga je os zavojnice) i održavajući konstantan kut β u svim položajima S vodeća ravnina, koja je postavljena okomito na os površine vijka. Prilikom konstruiranja projekcija nagnutog helikoida prikladno je koristiti konus za vođenje (slika 41. b).
Površine revolucije
Ako je kretanje tvorne linije rotacija oko neke fiksne ravne linije (osi), tada se površina nastala u tom slučaju naziva površina rotacije.
Generirajuća linija može biti ravna ili prostorna krivulja, kao i ravna linija. Svaka točka generirajuće linije, kada se okrene oko osi, opisuje kružnicu, koja se nalazi u ravnini okomitoj na os rotacije (slika 42).
Ti se krugovi zovu paralele. Posljedično, ravnine okomite na os sijeku površinu revolucije duž paralele. Linija presjeka kružne plohe s ravninom Σ koja prolazi kroz os zove se meridijan.
Meridijan koji nastaje sjecištem kružne plohe s ravninom razine naziva se glavni. Projekcija glavni meridijan na ravninu paralelnu s ravninom ravni je linija obrisa odgovarajuća projekcija rotacijske površine.
Pri projektiranju raznih inženjerskih konstrukcija, strojeva i mehanizama najraširenije su površine oblikovane rotacijom pravca i krivulja drugog reda.
Rotacijom pravca nastaju:
–rotacijski cilindar, ako je ravno l paralelno s osi ja(Sl. 43 A);
– stožac rotacije, ako je ravno l prelazi os ja(Sl. 43 b);
– jednolistni hiperboloid, ako je ravno l prelazi os ja(Sl. 43 V).
 |
||
| A | b | V |
| Riža. 43 Kružne plohe revolucije | ||
Okretne površine formirane rotiranjem krivulja drugog reda oko osi uključuju:
– sfera nastaje rotiranjem kruga oko njegovog promjera (sl. 44 A);
– elipsoid revolucije nastaje rotiranjem elipse oko velike ili male osi (44 b, V);
– torus nastaje rotacijom kruga oko vanjske osi (sl. 44 G);
 |  |  |
| A | b | V |
 |  |  |
| G | d | e |
| Riža. 44 Obrtne plohe drugog reda |
– jednolistni hiperboloid revolucije nastaje rotacijom hiperbole oko svoje zamišljene osi. Ova ploha također nastaje rotiranjem ravne linije (sl. 44 e).
Kanalne i cikličke plohe
Kanal je ploha koju tvori kontinuirani okvir zatvorenih ravnih dijelova na određeni način orijentiranih u prostoru. Područja ovih odjeljaka mogu ostati konstantna ili se monotono mijenjati tijekom prijelaza iz jednog odjeljka u drugi. Na sl. 45 prikazuje dvije slike kanal površine. U inženjerskoj praksi najraširenije su dvije metode orijentacije ravnina generatrise:
– paralelno s bilo kojom ravninom – površine kanala s ravninom paralelnosti;
– okomito na vodeću liniju – ravne površine kanala.
Površina kanala može se koristiti za stvaranje prijelaznih dijelova između dvije površine kao što su cjevovodi koji imaju:
– različitih oblika, ali iste normalne površine presjeka;
– isti oblik, ali različite površine presjeka;
– različiti oblici i različite površine presjeka.
Ciklička površina može se smatrati posebnim slučajem površine kanala. Formira se pomoću kruga čije se središte pomiče duž zakrivljene vodilice. Tijekom kretanja radijus kružnice se monotono mijenja. Primjer cikličke površine prikazan je na sl. 46.
Grafičke površine
Grafičke površine dane su konačnim skupom linija razine koje čine okvir ovih površina. Primjeri grafičkih površina prikazani su na sl. 48.
 |
| Riža. 48 Grafičke površine |
Presjek plohe i ravnine
Pravac presjeka plohe s ravninom je pravac koji se zove presjek. Točke ove krivulje mogu se smatrati točkama sjecišta linija površine s ravninom ili ravnina ravnine s površinom.
To dovodi do dvije opcije za izradu odjeljka:
1) odabrati konačan broj pravaca na plohi i odrediti njihove sjecišne točke s ravninom;
2) odabrati konačan broj ravnih linija na ravnini i konstruirati njihove sjecišne točke s plohom.
Imajte na umu da je moguće rješenje kombinacija ovih opcija. U svakom slučaju, konstrukcija presjeka svodi se na ponovnu primjenu algoritma za rješavanje problema presjeka pravca i plohe.
Konstrukcija presjeka je znatno pojednostavljena ako ravnina zauzima izbočeni položaj. To je zbog činjenice da projicirajuću ravninu karakterizira svojstvo sakupljanja. U ovom slučaju jedna od presječnih projekcija nalazi se na tragu ravnine, tj. znan.
Na sjecištu fasetiranih ploha s ravninama dobivaju se poligoni (sl. 49 A). Njihovi vrhovi definirani su kao točke presjeka bridova fasetiranih ploha s reznom ravninom. Rezna ravnina Σ je projicirana naprijed, stoga će se sve linije koje leže u ovoj ravnini podudarati s frontalnim tragom Σ 2 ravnine Σ. Prema tome, frontalna projekcija presjeka 1 2 2 2 3 2 određena je sjecištem frontalnih projekcija bridova piramide s tragom Σ(Σ 2). Horizontalne projekcije točaka 1(1 1), 2(2 1) i 3(3 1) nalazimo iz uvjeta da točke pripadaju bridovima piramide.
Riža. 49 Konstruiranje presječne linije plohe s ravninom
Razmotrimo konstrukciju sfernog izreza formiranog pomoću četiri projicirane sekantne ravnine (Sl. 51, A). Svaki od njih siječe sferu po liniji koja je dio kružnice. Osim, G I R su vodoravna, odnosno profilna ravnina libele. Projekcije izreza na P 1 i P 3 će biti simetrična.
 |  |
|
| A | b | |
 |  |
|
| V | G | |
Na projekcijskim ravninama P 1 i P 3 izrezane grane iz ravnina Q I Tće se projicirati kao dijelovi elipse. Bodovi A I U su krajevi osi ovih elipsa.
Označimo referentne točke u ravninama ravni: 1, 2 i 4 krajnje točke izrezanih grana; 5 i 3 točke promjene vidljivosti na ravninama P 1 i P 3 respektivno.
Konstruirajmo projekcije referentnih točaka izrezanih dijelova iz reznih ravnina G I R na projekcijskim ravninama P 1 i P 3 (Sl. 51, b).
Q. Kontrolne točke 6 mijenjaju vidljivost u P 1 . Referentna točka 7 najniža točka (Sl. 51, V).
Konstruirajmo izrezanu granu iz ravnine T. Kontrolne točke 8 mijenjaju vidljivost u P 3. Referentna točka 9 najniža točka (Sl. 51, G).
Obrisi sfere i vidljivost linija reza na ravninama P 1 i P 3 određuju se uzimajući u obzir prolazni izrez.
Međusobno djelovanje površina
Linija presjeka dviju ploha je, općenito, prostorna krivulja. Bilo koja točka na ovoj liniji pripada i prvoj i drugoj plohi i može se odrediti u sjecištu linija nacrtanih na tim plohama. Tada imamo sljedeće opcije za rješavanje ovog problema:
1) odabrati konačan broj linija na jednoj od ploha i konstruirati njihove sjecišne točke s drugom plohom;
2) odabrati dvije porodice pravaca na zadanim plohama i pronaći njihove sjecišne točke. U drugoj opciji odabir parova krivulja koje se sijeku vrši se pomoću pomoćnih površina posrednika.
Kao medijske površine najčešće se koriste ravnine ili sfere. Ovisno o vrsti posrednika, razlikuju se sljedeći najčešće korišteni načini konstruiranja sjecišta dviju površina:
a) način rezanja ravnina;
b) metoda sfera.
Metoda pomoćnih reznih ravnina
Razmotrimo korištenje pomoćnih reznih ravnina na primjeru konstrukcije presjecišta sfere s stošcem rotacije (slika 52).
Karakteristične točke projekcija linije presjeka ploha su točke Α , Β I S, D. Bodovi Α , Β nalaze se na sjecištu ploha koje stvaraju obrise, jer ti se generatori nalaze u istoj reznoj ravnini F, prolazeći duž ravnine simetrije površina. Α I Β najviša i najniža točka presječne crte. Bodovi S I D su točke vidljivosti horizontalne projekcije crte presjeka. Njihova konstrukcija se izvodi u sljedećem redoslijedu:
1) kroz središte sfere OKO nacrtana je horizontalna ravnina razine Θ;
2) konstruirana je horizontalna projekcija kruga polumjera R
Riža. 52 Primjena metode pomoćnih reznih ravnina
3) konstruirana je horizontalna projekcija kruga polumjera R 1 po kojoj ravnina Θ siječe stožastu plohu; ista ravnina siječe sferu po ekvatoru (kružnica najvećeg radijusa);
4) utvrđuju se bodovi C 1 , D 1 krug radijusa raskrižja R 1 s obrisom sfere;
5) utvrđuju se frontalne projekcije točaka S(S 2), D(D 2) iz uvjeta da pripadaju ravnini Θ.
Za konstruiranje međutočaka 1(1 1 ,1 2), 2(2 1 ,2 2), ..., 6(6 1 ,6 2) sjecišta zadanih ploha koristimo ravnine , i .
Rezultirajuće točke povezujemo glatkom zakrivljenom linijom. U svakoj ravnini projekcije određuje se vidljivost presječne linije.
Zatim se postavljaju područja koja su vidljiva objema površinama u isto vrijeme. Dakle, tijekom projekcije, stožasta ploha ne pokriva svoje točke, ali kugla pokriva točke koje se nalaze ispod horizontalne konture. Bodovi S I D, koji se nalaze na vodoravnom obrisu, odvajaju vidljivi dio crte od nevidljivog. Nevidljivi dio prikazan je isprekidanom linijom. Na P 2, projekcija vidljivog dijela presječne linije podudara se s nevidljivom projekcijom, budući da se frontalni obrisi obje površine nalaze u ravnini simetrije površina.
Metoda koncentrične kugle
Ova metoda se naširoko koristi u rješavanju problema konstruiranja linija sjecišta okretnih površina s osi koje se sijeku. Ova se metoda temelji na sljedećem svojstvu rotacijskih površina: dvije koaksijalne rotacijske plohe sijeku se duž kružnica čiji je broj jednak broju sjecišta njihovih polumeridijana. Ove kružnice leže u ravninama okomitim na osi kružnih površina. Za sferu se kao os rotacije može uzeti bilo koji promjer. Prema tome, sfera sa središtem na osi kružne plohe siječe ovu plohu duž jedne ili više kružnica.
a B C
Riža. 53 Sjecište koaksijalnih okretnih ploha
Razmotrimo korištenje pomoćnih koncentričnih sfera – sfera s konstantnim središtem. Ova metoda se koristi kada su ispunjeni sljedeći uvjeti:
a) površine koje se sijeku moraju biti kružne površine;
b) osi ovih površina moraju se sijeći; točka njihova sjecišta uzima se kao središte pomoćnih sfera;
c) ravnina simetrije ploha mora biti paralelna s bilo kojom ravninom projekcije (u suprotnom se koristi transformacija crteža).
Razmotrimo konstrukciju linije presjeka stožastih ploha revolucije (slika 54). Površine i njihov položaj zadovoljavaju gore navedene uvjete.
Prije konstruiranja međutočaka potrebno je pronaći referentne točke presječne linije. Bodovi A, U, K I L, i E, F, S I D– to su točke koje pripadaju konturama površina. Mogu se pronaći metodom koncentričnih sfera ili pomoću ravnina medijatora Σ(Σ 2) i Δ(Δ 1).
Razmotrimo sada konstrukciju međutočaka na primjeru točaka 5 i 6. Konstrukcije izvodimo na frontalnoj ravnini projekcija. Posrednik sfere Θ(Θ 2) sa središtem u točki OKO(OKO 2) siječe stožaste plohe duž kružnica koje su na P 2 projiciraju se u segmente 
I 
(projekcije druge dvije kružnice nisu prikazane). Točke 5 2 = 6 2 njihova sjecišta su frontalne projekcije točaka 5 i 6 koje pripadaju presjecištima ploha, budući da pripadaju svakoj od tih ploha.
Polumjer maksimalne sfere jednak je udaljenosti od sjecišta osi ploha do najudaljenije sjecišta generatrisa kontura tih ploha. Na slici 54 nalazi se kugla R max =[ O 2 L 2 ].
Da bismo utvrdili vidljivost projekcija crte presjeka, analiziramo položaj točaka u odnosu na obrise površina. Da, relativno P 1, bit će vidljiv dio krivulje koji se nalazi iznad konture horizontalne stožaste površine (druga površina je vidljiva na P 1 nema učinka). Horizontalna projekcija nevidljivog dijela linije prikazana je isprekidanom linijom.
Bodovi A, U I K, L pripadaju frontalnim konturama površina i odvajaju vidljivi dio presječne crte od nevidljivog kada se projicira na P 2. Frontalne projekcije vidljivog i nevidljivog dijela presječne linije na sl. 54 utakmica.
Praktični zadatak broj 5. Nacrtati dvije plohe koje se sijeku. Odredite liniju njihova sjecišta metodom pomoćnih ravnina (format A4).
Rad se izvodi u sljedećem redoslijedu (Sl. 55):
1) odrediti točke sjecišta obrisa jedne površine s drugom;
2) odrediti najvišu i najnižu točku sjecišta;
3) pomoću pomoćnih ravnina odrediti međutočke presječne linije;
4) sve pronađene sjecišne točke uzastopno su povezane zakrivljenom linijom, uzimajući u obzir njihovu vidljivost.
Pri odabiru pomoćnih reznih ravnina potrebno je zapamtiti da one moraju istovremeno presijecati obje površine i davati najjednostavnije presječne figure. Za sve varijante zadataka ravnine se mogu odabrati kao pomoćne rezne ravnine: za neke - vodoravne, za druge - okomite ili oboje. Sjecišta ploha su sjecišta kontura presjeka ploha koje leže u istoj pomoćnoj reznoj ravnini. Svaka rezna ravnina može definirati od jedne do četiri točke presječne linije, ovisno o prirodi presječnih površina, njihovom međusobnom položaju i položaju same rezne ravnine.
Tema 5
SLIKE: PRIKAZI, PRESJECI, ODSJECI
Crteži se izvode u strogom skladu s pravilima projekcije u skladu s utvrđenim zahtjevima i konvencijama.
Zahtjevi za crtež: reverzibilnost, točnost, jasnoća, jednostavnost.
Crtež se zove reverzibilan, ako je iz slike figure moguće rekonstruirati njezin oblik, veličinu i položaj u prostoru. Crtež mora biti vizualni i dati jasnu predodžbu o predmetu koji se prikazuje. Crtež mora biti jednostavan za grafičku izvedbu.
Opći zahtjevi za sadržaj crteža utvrđeni su GOST 2.109-73.
Prilikom izrade crteža u elektroničkom obliku morate se rukovoditi GOST 2.051-2006, GOST 2.052-2006, GOST 2.053-2006.
Pravila za izvođenje slika u crtežima utvrđena su GOST 2.305-2008.
Prilikom izrade grafičkih dokumenata u obliku elektroničkih modela potrebno je koristiti spremljene prikaze za dobivanje odgovarajućih slika.
Slika na prednjoj ravnini projekcija uzima se kao glavna na crtežu. Glavna slika odabrana tako da daje što cjelovitiju sliku oblika i veličine predmeta.
Slika je svaki crtež. Ovisno o sadržaju, slike se dijele na vrste, dijelove i odjeljke.
Vrste
Pogled je slika vidljivog dijela površine predmeta okrenutog prema promatraču. Kako bi se smanjio broj slika, dopušteno je prikazati nevidljive površine objekta s isprekidanim linijama u pogledima (vidi sliku 56).
Vrste se dijele na osnovne, dodatne i lokalne.
Glavni nazivaju se pogledi koji se nalaze na bilo kojoj od šest glavnih ravnina uz zadržavanje projekcijskog odnosa između njih. Pogled sprijeda - glavni pogled; pogled odozgo - pogled sprijeda; pogled slijeva - desno od glavnog; pogled desno - lijevo od glavnog; pogled odozdo - iznad glavnog pogleda; pogled straga - desno od lijevog pogleda ili lijevo od desnog pogleda (vidi sl. 56). Imena tipova nisu ispisana na crtežu.
Ako se neki pogled nalazi izvan veze projekcije s glavnom slikom ili je od nje odvojen drugim slikama, tada strelica označava smjer projekcije. Iznad strelice je naznačeno veliko ćirilično slovo. Istim slovom označen je konstruirani pogled (slika 57).
Promjena relativnog položaja predmeta koji se proučava i ravnina projekcije postiže se zamjenom jedne od ravnina P 1 ili P 2 novi avioni P 4 (Slika 148). Nova ravnina uvijek se odabire okomito na preostalu ravninu projekcije.
Za rješavanje nekih problema može biti potrebna dvostruka zamjena ravnina projekcije (Sl. 149). Uzastopni prijelaz s jednog sustava projekcijskih ravnina na drugi mora se izvesti prema sljedećem pravilu: udaljenost od nove projekcije točke do nove osi mora biti jednaka udaljenosti od zamijenjene projekcije točke do zamijenjene osi.
Problem 1: Odredite prirodnu veličinu segmenta AB ravna linija općih odredbi (slika 148). Iz svojstva paralelne projekcije poznato je da se segment projicira na ravninu u punoj veličini ako je paralelan s tom ravninom.
Izaberimo novu ravninu projekcije P 4 , paralelno sa segmentom AB a okomito na ravninu P 1 . Uvođenjem novog aviona prelazimo iz sustava aviona P 1 P 2 u sustav P 1 P 4 , a u novom sustavu ravnina projekcija segmenta A 4 U 4 bit će prirodna vrijednost segmenta AB .
Problem 2: Odredite udaljenost od točke A na ravnu liniju u općem položaju zadanom segmentom Sunce (Sl._149).
Pojam poliedra.
Poliedri su zatvoreni prostorni likovi omeđeni ravnim poligonima. Vrhovi i stranice poliedara su vrhovi i bridovi poliedara. Oni čine prostornu mrežu. Ako su vrhovi i bridovi poliedra na istoj strani ravnine bilo koje njegove plohe, tada se poliedar naziva konveksnim; sve njegove plohe su konveksne.
Od sve raznolikosti poliedra, prizme, piramide, pravilni poliedri i njihove varijante su od najvećeg praktičnog interesa.
Poliedar čije su dvije plohe n-kuti u paralelnim ravninama, a preostale n-plohe su paralelogrami, naziva se n-kutna prizma. Poliedri su osnovice prizme, a paralelogrami su bočne strane prizme.
Poliedar kojemu je jedna ploha proizvoljni poligon, a preostala ploha su trokuti sa zajedničkim vrhom, naziva se piramida. Lice poligona naziva se baza prizme, a trokuti se zovu bočne strane piramide. Zajednički vrh trokuta naziva se posebnim vrhom piramide (obično samo vrhom).
Ako piramidu odsječemo ravninom paralelnom s bazom, dobit ćemo krnju piramidu.
Poliedar se naziva metrički pravilnim ako su mu sva lica pravilni poligoni. To uključuje kocku, tetraedar, oktaedar, ikosaedar, dodekaedar.
Pod slikom poliedra na crtežu podrazumijevamo sliku poliedarske plohe koja ga ograničava, tj. slika ukupnosti njegovih sastavnih poliedara. Jednostavnu poliedarsku plohu zgodno je grafički definirati projekcijama njezine mreže.
Izrada projekcija:
Konstrukcija projekcija poliedara
Konstruiranje projekcije poliedra na određenu ravninu svodi se na konstruiranje projekcija točaka. Na primjer, projiciranjem piramide SABC na kvadrat 2 (sl. 256, lijevo), konstruiramo projekcije vrhova S, A, B i C i, kao posljedicu, projekcije baze ABC, lica SAB, SBC, SAC, rubovi SA, SB itd.
Također, kada projiciramo trokutni kut ") s vrhom S (slika 256, desno), mi, osim vrha S, uzimamo jednu točku (K, M, N) na bridovima kuta i projiciramo ih
na trgu i 2; Kao rezultat toga dobivamo projekcije bridova i lica (ravni kutovi) trokutnog kuta i, općenito, samog kuta.
Na sl. 257 prikazuje poliedarsko tijelo ACBB 1 D... (tj. dio prostora omeđen sa svih strana ravnim likovima - poligonima) i njegovu projekciju na kvadrat. I 1 - slika A"C"F)