Površina četverokutne piramide. Odredite površinu pravilne trokutaste piramide
Definicija. Bočni rub- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a suprotna strana se podudara sa stranom baze (poligon).
Definicija. Bočna rebra- ovo su uobičajene strane bočnih strana. Piramida ima onoliko bridova koliko kutova ima mnogokut.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do baze piramide.
Definicija. Apotema- ovo je okomica na bočnu stranu piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.
Volumen i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:
Svojstva piramide
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada se oko baze piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada su nagnuti prema ravnini baze pod istim kutovima.
Bočni bridovi su jednaki kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njeno središte.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, onda su apoteme bočnih ploha jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.
2. Svi bočni rubovi su jednaki.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim kutom u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih lica su jednake.
5. Površine svih bočnih ploha su jednake.
6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.
7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane sfere bit će sjecište okomica koje prolaze kroz sredinu bridova.
8. Kuglu možete uklopiti u piramidu. Središte upisane sfere bit će točka presjeka simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.
9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravninskih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π/n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.
Veza piramide i kugle
Oko piramide se može opisati sfera kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će sjecište ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.
Uvijek je moguće opisati sferu oko bilo koje trokutaste ili pravilne piramide.
U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.
Veza piramide sa stošcem
Kaže se da je stožac upisan u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.
Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide međusobno jednake.
Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.
Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.
Odnos piramide i valjka
Piramida se naziva upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.
Oko piramide se može opisati cilindar ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, pri čemu bilo koja dva brida nemaju zajedničke vrhove, ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutasti kut.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).
Bimedijan naziva segment koji spaja središta suprotnih rubova koji se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju bimedijane se dijele na pola, a medijane se dijele u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Oštrokutna piramida- piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.
Definicija. Pravilni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru svi diedarski kutovi (između ploha) i trokutni kutovi (u vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravokutni tetraedar naziva se tetraedar u kojem između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti) ima pravi kut. Formiraju se tri lica rectangular trokutasti kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su bočne strane međusobno jednake, a baza je pravilan trokut. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokračni trokuti.
Definicija. Ortocentrični tetraedar zove se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.
Definicija. Zvjezdana piramida zove se poliedar čija je baza zvijezda.
Površina bočne površine proizvoljne piramide jednaka je zbroju površina njezinih bočnih stranica. Ima smisla dati posebnu formulu za izražavanje ove površine u slučaju pravilne piramide. Dakle, neka nam je dana pravilna piramida u čijoj osnovi leži pravilan n-kut sa stranicom jednakom a. Neka je h visina bočne strane, koja se također naziva apotema piramide. Površina jedne bočne plohe jednaka je 1/2ah, a cijela bočna ploha piramide ima površinu jednaku n/2ha. Kako je na opseg baze piramide, možemo napisati pronađenu formulu u obliku:
Bočna površina pravilne piramide jednak je umnošku njezina apotema i polovice opsega baze.
O ukupna površina, onda jednostavno dodamo površinu baze bočnoj.
Upisana i opisana kugla i kugla. Treba primijetiti da središte sfere upisane u piramidu leži u sjecištu simetrala unutarnjih diedarskih kutova piramide. Središte sfere opisane u blizini piramide nalazi se u sjecištu ravnina koje prolaze središtima bridova piramide i okomite su na njih.
Krnja piramida. Ako je piramida presječena ravninom paralelnom s bazom, tada se dio između rezne ravnine i baze naziva krnja piramida. Na slici je prikazana piramida; odbacivanjem njenog dijela koji leži iznad rezne ravnine, dobivamo krnju piramidu. Jasno je da je mala odbačena piramida homotetična velikoj piramidi sa središtem homotetije na vrhu. Koeficijent sličnosti jednak je omjeru visina: k=h 2 /h 1, odnosno bočnih bridova, odnosno drugih odgovarajućih linearnih dimenzija obiju piramida. Znamo da su površine sličnih likova međusobno povezane poput kvadrata linearnih dimenzija; pa su površine baza obiju piramida (tj. površina baza krnje piramide) povezane kao
Ovdje je S 1 područje donje baze, a S 2 područje gornje baze krnje piramide. Bočne plohe piramida su u istom odnosu. Slično pravilo postoji i za volumene.
Volumeni sličnih tijela međusobno su povezani kao kocke svojih linearnih dimenzija; na primjer, volumeni piramida povezani su kao umnožak njihovih visina i površine baza, iz čega se odmah dobiva naše pravilo. Posve je općenite naravi i izravno proizlazi iz činjenice da volumen uvijek ima dimenziju treće potencije duljine. Koristeći ovo pravilo, izvodimo formulu koja izražava volumen krnje piramide kroz visinu i površinu baza.
Neka je zadana krnja piramida visine h i baza S 1 i S 2 . Ako zamislimo da se produži na punu piramidu, tada se koeficijent sličnosti između pune piramide i male piramide lako može pronaći kao korijen omjera S 2 /S 1 . Visina krnje piramide izražava se kao h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Sada imamo za volumen krnje piramide (V 1 i V 2 označavaju volumen pune i male piramide)
formula za volumen krnje piramide
Izvedimo formulu za površinu S bočne plohe pravilne krnje piramide kroz opsege P 1 i P 2 baza i duljinu apoteme a. Rezoniramo na potpuno isti način kao kod izvođenja formule za volumen. Piramidu dopunimo gornjim dijelom, imamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, gdje je k koeficijent sličnosti, P 1 i P 2 su perimetri baza, a S 1 i S 2 su površine bočnih ploha cijele dobivene piramide i njezinog gornjeg dijela prema tome. Za bočnu površinu nalazimo (a 1 i a 2 su apoteme piramida, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
formula za bočnu površinu pravilne krnje piramide
Koju figuru nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u podnožju ovog poliedra nalazi se proizvoljni poligon, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se skupljaju na jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo razumjeli pojam, saznajmo kako pronaći površinu piramide.
Jasno je da je površina takvog geometrijskog tijela sastavljena od zbroja površina baze i cijele njegove bočne površine.
Izračunavanje površine baze piramide
Odabir formule za izračun ovisi o obliku poligona ispod naše piramide. Može biti pravilan, odnosno sa stranicama iste duljine, ili nepravilan. Razmotrimo obje opcije.
Osnova je pravilan mnogokut
Iz školskog tečaja znamo:
- površina kvadrata bit će jednaka duljini kvadratne stranice;
- Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljenom s 4 i pomnoženom s kvadratnim korijenom iz tri.
Ali postoji i opća formula za izračunavanje površine bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti opseg ovog poligona (P) s polumjerom kruga upisanog u njega (r), a zatim podijeliti rezultat za dva: Sn=1/2P*r .
U osnovi je nepravilan poligon
Shema za pronalaženje njegove površine je prvo podijeliti cijeli poligon na trokute, izračunati površinu svakog od njih pomoću formule: 1/2a*h (gdje je a baza trokuta, h je visina spuštena na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.
Bočna površina piramide
Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbroj površina svih njegovih bočnih stranica. Ovdje također postoje 2 opcije.
- Neka imamo proizvoljnu piramidu, tj. jedan s nepravilnim poligonom u svojoj osnovi. Zatim biste trebali izračunati površinu svakog lica zasebno i zbrojiti rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trokuti, izračun se provodi pomoću gore navedene formule: S=1/2a*h.
- Neka je naša piramida ispravna, tj. u njenoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njenom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne plohe (Sb), dovoljno je pronaći polovicu umnoška opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) bočne strane (isto za sva lica ): Sb = 1/2 P*h. Opseg mnogokuta određuje se zbrajanjem duljina svih njegovih stranica.
Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njezine baze s površinom cijele bočne površine.
Primjeri
Na primjer, izračunajmo algebarski površine nekoliko piramida.
Površina trokutaste piramide
U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Pomoću formule So=1/2a*h nalazimo površinu baze. Koristimo istu formulu za pronalaženje površine svakog lica piramide, koja također ima trokutasti oblik, i dobivamo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbroj svih površina: Sb = S1+ S2+ S3. Zbrajanjem površina stranica i baze dobivamo ukupnu površinu željene piramide: Sp= So+ Sb.
Površina četverokutne piramide
Površina bočne površine je zbroj 4 člana: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule za površinu trokuta. A područje baze morat će se tražiti, ovisno o obliku četverokuta - pravilnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide opet se dobije zbrajanjem površine baze i ukupne površine date piramide.
Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, trebali biste razumjeti neke pojmove. Kad čovjek čuje za piramidu, zamišlja ogromne građevine u Egiptu. Ovako izgledaju oni najjednostavniji. Ali dolaze u različitim vrstama i oblicima, što znači da će formula za izračun geometrijskih oblika biti drugačija.
Piramida - geometrijski lik, označavajući i predstavljajući nekoliko lica. U biti, ovo je isti poliedar, u čijoj osnovi leži poligon, a na stranama su trokuti koji se spajaju u jednoj točki - vrhu. Figura dolazi u dvije glavne vrste:
- ispravan;
- krnji.
U prvom slučaju baza je pravilan poligon. Ovdje su sve bočne površine jednake između sebe i same figure ugodit će oku perfekcionista.
U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, krnja piramida je poliedar s presjekom formiranim paralelno s bazom.
Termini i simboli
Ključni pojmovi:
- Pravilni (jednakostranični) trokut- lik s tri jednaka kuta i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi kutovi su 60 stupnjeva. Figura je najjednostavniji pravilni poliedar. Ako ta figura leži na bazi, tada će se takav poliedar nazvati pravilnim trokutastim. Ako je baza kvadrat, piramida će se zvati pravilna četverokutna piramida.
- Vertex– najviša točka gdje se spajaju rubovi. Visinu vrha oblikuje ravna linija koja se proteže od vrha do baze piramide.
- Rub– jedna od ravnina poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza kod krnje piramide.
- Odjeljak- ravna figura nastala kao rezultat disekcije. Ne treba ga brkati s odjeljkom, budući da odjeljak također pokazuje što se nalazi iza odjeljka.
- Apotema- segment nacrtan od vrha piramide do njezine baze. To je ujedno i visina lica na kojoj se nalazi druga visinska točka. Ova definicija vrijedi samo u odnosu na pravilan poliedar. Na primjer, ako ovo nije krnja piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trokuta postat će apotem.
Formule za površine
Nađite površinu bočne površine piramide bilo koja vrsta može se izvesti na nekoliko načina. Ako lik nije simetričan i poligon je s različitim stranama, tada je u tom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, trebate izračunati površinu svakog lica i zbrojiti ih.
Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračun kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule u različitim slučajevima također će imati razlike.
U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je puno lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva izračuni su potrebni posebno za takve brojke. Stoga će u nastavku biti dane odgovarajuće formule. Inače biste morali sve ispisivati na nekoliko stranica, što bi vas samo zbunjivalo i zbunjivalo.
Osnovna formula za izračun Bočna površina pravilne piramide imat će sljedeći oblik:
S=½ Pa (P je opseg baze i apotem)
Pogledajmo jedan primjer. Poliedar ima bazu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5, a svi su jednaki 10 cm. Neka je apotem jednak 5 cm. Prvo treba pronaći opseg. Budući da je svih pet lica baze isto, možete ga pronaći ovako: P = 5 * 10 = 50 cm Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat.
Bočna površina pravilne trokutaste piramide najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:
S =½* ab *3, gdje je a apotem, b lice baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Pogledajmo primjer. Zadan je lik s apotemom 5 cm i osnovnim rubom 8 cm. Računamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm na kvadrat.
Bočna površina krnje piramide Malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza, a apotem. Pogledajmo primjer. Recimo da su za četverokutni lik dimenzije stranica baza 3 i 6 cm, a apotema 4 cm.
Ovdje prvo morate pronaći opsege baza: r_01 =3*4=12 cm; r_02=6*4=24 cm Ostaje zamijeniti vrijednosti u glavnu formulu i dobivamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.
Tako možete pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Treba biti oprezan i ne zbuniti se ove izračune s ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako to još trebate učiniti, samo izračunajte površinu najveće baze poliedra i dodajte je površini bočne površine poliedra.
Video
Ovaj video će vam pomoći da konsolidirate informacije o tome kako pronaći bočnu površinu različitih piramida.
Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.
Prilikom pripreme za jedinstveni državni ispit iz matematike, učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija s bočnim stranama jasna, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći područje baze piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. A ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili nepravilan. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
Pravilni trokut
Odnosno, jednakostraničan. Ona u kojoj su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kvadrat
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni pravilni n-kut
Stranica poligona ima istu oznaku. Za broj kutova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Što učiniti pri izračunu bočne i ukupne površine?
Budući da je baza pravilan lik, sva lica piramide su jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:
S = ½ P*A, gdje je P opseg baze piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njezinu vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak br. 1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njezina baza ima stranicu 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.
Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P = 3 * 4 = 12 cm. Budući da je apotem poznat, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm 2.
Za trokut u osnovi dobivate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovor. 10√3 cm 2.
Problem br. 2
Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina donje stranice je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.
Riješenje. Budući da je poliedar četverokutan i pravilan, baza mu je kvadrat. Nakon što saznate površinu baze i bočnih stranica, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.
Prvi izračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Problem br. 3
Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo kompliciraniji.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Traženi apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) jednak je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati traženu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odgovor. 96 cm 2.
Problem broj 4
Stanje. Dana je točna stranica. Stranice njegove baze su 22 mm, bočni rubovi su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.
Prije svega, osnovna površina izračunava se pomoću gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm.Preostaje samo pomoću Heronove formule izračunati površinu svakog takvog trokuta, a zatim ga pomnožiti sa šest i dodati onom dobivenom za bazu.
Izračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovor. Baza je 726√3 cm 2, bočna površina 3960 cm 2, cjelokupna površina 5217 cm 2.