Umnožak ili presjek događaja A i B je događaj koji se sastoji od istodobnog pojavljivanja događaja A i U. Oznaka rada AB ili L i V.

Na primjer, dva puta pogoditi metu umnožak je dvaju događaja, odgovor na oba pitanja na ispitnoj listići umnožak je dvaju događaja.

Događaji L i U nazivaju se nekompatibilnima ako je njihov proizvod nemoguć događaj, tj. LV = V.

Na primjer, događaji L - gubitak grba i U- broj koji ispadne tijekom jednog bacanja novčića ne može se dogoditi istovremeno, njihov umnožak je nemoguć događaj, događaji A i B su nekompatibilni.

Koncepti zbroja i umnoška događaja imaju jasnu geometrijsku interpretaciju (slika 6.4).

Riža. 6.4. Geometrijska interpretacija djela (A) i iznose (b) dva zajednička događaja

Neka je događaj A skup točaka u području A, a događaj B skup točaka u području B. Osjenčano područje odgovara događaju LV na slici. 6 La i događaj L + B na sl. 6.46.

Za nekompatibilne događaje A i B imamo LV = V(Sl. 6.5a). Događaj A+B odgovara osjenčanom području na slici. 6.56.

Riža. 6.5. Geometrijska interpretacija djela ( A) i iznose (b) dva nespojiva događaja

Događaji A I A nazivaju se suprotnim ako su nekompatibilni i ukupno čine pouzdan događaj, tj.

A A = V; A+A=U.

Na primjer, ispalimo jedan metak u metu: događaj A- strijelac je pogodio metu, A- propušteno; bačen novčić:

događaj A- orlova kap, A- gubitak broja; školarci pišu test: događaj A- nikakav

greške u ispitnom radu, A- postoje greške u testu; student je došao polagati test: događaj A- prošao

test, A- nije prošao test.

U razredu ima dječaka i djevojčica, odličnih učenika, dobrih učenika i učenika C, koji uče engleski i njemački. Neka događaj M budi dječak, O budi odličan učenik, A budi učenik Engleski jezik. Može li nasumični učenik koji izađe iz razreda biti dječak, odličan učenik i učenik engleskog? Ovo će biti produkt ili presjek MOA događaja.

Primjer 6.15. Bacaju kocku – kocku od homogenog materijala čije su stranice numerirane. Promatrajte broj (broj točaka) koji se pojavljuje na gornjem rubu. Neka događaj A - pojava neparnog broja, događaj U - pojava broja koji je višekratnik tri. Pronađite ishode koji čine svaki od događaja (?/, A, A + B U AB) i navesti njihovo značenje.

Riješenje. Ishod - pojavljivanje na gornjem rubu bilo kojeg od brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6. Skup svih ishoda čini prostor elementarnih događaja U= (1, 2, 3, 4, 5, 6). Jasno je da događaj A =(1, 3, 5), događaj B = {3, 6}.

Događaj A + B =(1, 3, 5, 6) - pojavljivanje ili neparnog broja ili višekratnika tri. Prilikom navođenja ishoda vodi se računa da svaki ishod može biti sadržan u skupu samo jednom.

Događaj AB =(3) - pojavljivanje i neparnog broja i višekratnika tri.

Primjer 6.16. Provjerene su domaće zadaće troje učenika. Neka događaj A (- dovršavanje zadatka i-ti učenik, G = 1, 2, 3.

Koje je značenje događaja: A = A t + A 2+ L 3, A I B = A t A 2 A 3 ?

Riješenje. Događaj A = A x + A 2 + A 3 - izvršenje zadatka od strane najmanje jednog učenika, tj. ili bilo koji učenik (ili prvi, ili drugi, ili treći), ili bilo koja dva, ili sva tri.

Događaj A = A x -A 2 -A 3- zadatak nije riješio niti jedan učenik - ni prvi, ni drugi, ni treći. Događaj B = A ( A 2 A 3 - rješavanje zadatka od strane tri učenika – prvog, drugog i trećeg.

Kada se razmatra zajedničko događanje više događaja, mogu postojati slučajevi u kojima događanje jednog od njih utječe na mogućnost događanja drugog. Na primjer, ako je dan u jesen sunčan, tada je manja vjerojatnost da će se vrijeme pogoršati (počet će padati kiša). Ako se sunce ne vidi, veća je vjerojatnost da će padati kiša.

Događaj L nazvan neovisnim o događaju U, ako je vjerojatnost događaja A ne mijenja ovisno o tome je li se događaj dogodio ili ne U. Inače događaj A nazvane ovisne o događaju U. Dva događaja A iU nazivaju se neovisnima ako vjerojatnost jednog od njih ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju drugog, ovisnom - inače. Događaji se nazivaju neovisni po parovima ako su svaka dva od njih neovisna jedan o drugome.

Teorem množenja vjerojatnosti je formuliran na sljedeći način. Vjerojatnost umnoška dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja:

Ovaj teorem vrijedi za bilo koji konačan broj događaja, pod uvjetom da su kolektivno neovisni, tj. vjerojatnost bilo kojeg od njih ne ovisi o tome jesu li se drugi od ovih događaja dogodili ili nisu.

Primjer 6.17. Student polaže tri ispita. Vjerojatnost uspješnog polaganja prvog ispita je 0,9, drugog 0,65 i trećeg 0,35. Odredite vjerojatnost da će pasti barem jedan ispit.

Riješenje. Označimo A događaj - student nije položio barem jedan ispit. Zatim GODIŠNJE) = 1 - /-’(1/1), gdje je A- suprotni događaj - student je položio sve ispite. Budući da je polaganje svakog ispita neovisno o drugim ispitima, GODIŠNJE)= 1 - P(1/1) = = 1 - 0,9 0,65 0,35 = 0,7953.

Vjerojatnost događaja A, izračunati pod uvjetom da se događaj dogodi U, nazvao uvjetna vjerojatnost događanja A podložni izgledu U i naznačen je R V (A) ili P(A/B).

Teorema.Vjerojatnost pojavljivanja umnoška dva događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih puta uvjetna vjerojatnost drugi, izračunat pod uvjetom da se dogodio prvi događaj:

Primjer 6.18. Student dva puta izvlači jedan listić od 34. Kolika je vjerojatnost da će položiti ispit ako je pripremio 30 listića i prvi put izvuče neuspješni listić?

Riješenje. Neka događaj A je da ste prvi put primili neuspješnu kartu, događaj U- drugi put se izvlači sretan listić. Zatim A?U- student će položiti ispit (pod određenim okolnostima). Događaji A I U ovisno, budući da vjerojatnost odabira uspješne karte u drugom pokušaju ovisi o ishodu prvog izbora. Stoga koristimo formulu (6.6):

Imajte na umu da je vjerojatnost dobivena u rješenju “0,107. Zašto je vjerojatnost da ćete položiti ispit tako mala ako naučite 30 od 34 karte i imate dva pokušaja?!

Prošireni adicijski teorem formulira se na sljedeći način. Vjerojatnost zbroja dvaju događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez vjerojatnosti njihovog zajedničkog događanja (djela):

Primjer 6.19. Dva učenika rješavaju zadatak. Vjerojatnost da će prvi učenik riješiti problem (događaj A), jednako 0,9; vjerojatnost da će drugi učenik riješiti problem (događaj U), jednako 0,8. Koja je vjerojatnost da će problem biti riješen?

Riješenje. Zanima nas događaj C, a to je da će problem biti riješen, tj. prvi, ili drugi učenik, ili dva učenika istovremeno. Dakle, događaj od interesa C = A +U. Događaji A I U su kompatibilni, što znači da je adicijski teorem vjerojatnosti primjenjiv za slučaj istodobnih događaja: GODIŠNJE + U) = GODIŠNJE) + P(B) - P(AB). Za naš slučaj GODIŠNJE + B) = = 0,9 + 0,8 + 0,9 0,8 = 0,98 (događaji A I U kooperativan ali samostalan).

Primjer 6.20. Učenik zna 20 pitanja od 25. Koja je vjerojatnost da odgovori na tri pitanja od 25?

Riješenje. Predstavimo događaj A, na koji učenik zna odgovor ja-to predloženo pitanje, ja= 1,2,3. Događaji L, L 2, L 3 su ovisni. Zato

Pri iznalaženju vjerojatnosti događaja korištena je klasična definicija vjerojatnosti.

Proučavanje teorije vjerojatnosti počinje rješavanjem problema koji uključuju zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Vrijedno je odmah spomenuti da se učenik može susresti s problemom pri svladavanju ovog područja znanja: ako se fizikalni ili kemijski procesi mogu prikazati vizualno i razumjeti empirijski, tada je razina matematičke apstrakcije vrlo visoka, a razumijevanje ovdje dolazi samo s iskustvom.

Međutim, igra je vrijedna svijeća, jer se formule - i one o kojima se govori u ovom članku i one složenije - danas koriste posvuda i mogu biti korisne u radu.

Podrijetlo

Začudo, poticaj za razvoj ove grane matematike bilo je... kockanje. Doista, kocka, bacanje novčića, poker, rulet tipični su primjeri koji koriste zbrajanje i množenje vjerojatnosti. To se jasno može vidjeti na primjerima zadataka u bilo kojem udžbeniku. Ljude je zanimalo kako povećati svoje šanse za dobitak, a mora se reći da su neki u tome i uspjeli.

Primjerice, već u 21. stoljeću jedna je osoba, čije ime nećemo otkriti, iskoristila stoljećima skupljano znanje kako bi doslovno “očistila” kockarnicu, osvojivši nekoliko desetaka milijuna dolara na ruletu.

Međutim, usprkos povećanom interesu za ovu temu, tek u 20. stoljeću razvijen je teorijski okvir koji je "teorem" učinio potpunim.Danas se u gotovo svakoj znanosti mogu naći izračuni pomoću probabilističkih metoda.

Primjenjivost

Važna točka pri korištenju formula za zbrajanje i množenje vjerojatnosti i uvjetne vjerojatnosti je zadovoljivost teorema središnje granice. U suprotnom, iako student to možda ne shvaća, svi izračuni, ma koliko vjerojatni izgledali, bit će netočni.

Da, visoko motivirani student je u iskušenju koristiti novo znanje u svakoj prilici. Ali u ovom slučaju potrebno je malo usporiti i strogo ocrtati opseg primjenjivosti.

Teorija vjerojatnosti bavi se slučajnim događajima, koji u empirijskom smislu predstavljaju rezultate eksperimenata: možemo baciti šesterostranu kockicu, izvući kartu iz špila, predvidjeti broj neispravnih dijelova u seriji. Međutim, u nekim pitanjima strogo je zabranjeno koristiti formule iz ovog dijela matematike. O značajkama razmatranja vjerojatnosti događaja, teorema zbrajanja i množenja događaja raspravljat ćemo na kraju članka, ali za sada se okrenimo primjerima.

Osnovni koncepti

Slučajni događaj odnosi se na neki proces ili rezultat koji se može ili ne mora pojaviti kao rezultat eksperimenta. Na primjer, bacimo sendvič - može pasti s maslacem prema gore ili s maslacem prema dolje. Svaki od dva ishoda bit će slučajan, a ne znamo unaprijed koji će se od njih dogoditi.

Kada proučavamo zbrajanje i množenje vjerojatnosti, trebat će nam još dva pojma.

Takvi se događaji nazivaju zajedničkim, od kojih pojava jednog ne isključuje pojavu drugog. Recimo da dvoje ljudi istovremeno puca u metu. Ako jedan od njih proizvede uspješnu, to ni na koji način neće utjecati na sposobnost druge da pogodi metu ili promaši.

Nekompatibilni događaji bit će oni događaji čije je istovremeno događanje nemoguće. Na primjer, ako izvadite samo jednu kuglicu iz kutije, ne možete dobiti i plavu i crvenu odjednom.

Oznaka

Pojam vjerojatnosti označava se velikim latiničnim slovom P. Sljedeći u zagradama su argumenti koji označavaju određene događaje.

U formulama teorema zbrajanja, uvjetne vjerojatnosti i teorema množenja vidjet ćete izraze u zagradama, na primjer: A+B, AB ili A|B. Oni će biti izračunati različiti putevi, sada ćemo se okrenuti njima.

Dodatak

Razmotrimo slučajeve u kojima se koriste formule za zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Za nekompatibilne događaje relevantna je najjednostavnija formula zbrajanja: vjerojatnost bilo kojeg od slučajnih ishoda bit će jednaka zbroju vjerojatnosti svakog od tih ishoda.

Pretpostavimo da postoji kutija s 2 plave, 3 crvene i 5 žutih kuglica. U kutiji je ukupno 10 predmeta. Što je istinita tvrdnja da ćemo izvući plavu ili crvenu kuglicu? To će biti jednako 2/10 + 3/10, tj. pedeset posto.

U slučaju nekompatibilnih događaja, formula postaje kompliciranija, jer se dodaje dodatni član. Vratimo se tome u jednom odlomku, nakon razmatranja druge formule.

Množenje

Zbrajanje i množenje vjerojatnosti neovisnih događaja koristi se u različitim slučajevima. Ako smo, prema uvjetima eksperimenta, zadovoljni s bilo kojim od dva moguća ishoda, izračunat ćemo zbroj; ako želimo dobiti dva sigurna ishoda jedan za drugim, pribjeći ćemo korištenju druge formule.

Vraćajući se na primjer iz prethodnog odjeljka, prvo želimo nacrtati plavu kuglu, a zatim crvenu. Znamo prvi broj - to je 2/10. Što je slijedeće? Ostalo je 9 kuglica, a crvenih je ostalo još toliko - tri. Prema izračunima, to će biti 3/9 ili 1/3. Ali što sad s dva broja? Točan odgovor je da pomnožite da biste dobili 2/30.

Zajednički događaji

Sada se ponovno možemo okrenuti formuli zbroja za zajedničke događaje. Zašto smo skrenuli s teme? Da bismo saznali kako se množe vjerojatnosti. Sada će nam trebati ovo znanje.

Već znamo kolika će biti prva dva člana (isto kao u formuli zbrajanja o kojoj smo ranije govorili), ali sada trebamo oduzeti umnožak vjerojatnosti, koji smo upravo naučili izračunati. Radi jasnoće, napišimo formulu: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Ispada da se i zbrajanje i množenje vjerojatnosti koriste u jednom izrazu.

Recimo da moramo riješiti bilo koji od dva problema da bismo dobili kredit. Prvu možemo riješiti s vjerojatnošću 0,3, a drugu s vjerojatnošću 0,6. Rješenje: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Imajte na umu da jednostavno zbrajanje brojeva ovdje neće biti dovoljno.

Uvjetna vjerojatnost

Konačno, postoji koncept uvjetne vjerojatnosti, čiji su argumenti navedeni u zagradama i odvojeni okomitom crtom. Unos P(A|B) glasi kako slijedi: "vjerojatnost događaja A danog događaja B."

Pogledajmo primjer: prijatelj ti da neki uređaj, neka to bude telefon. Može biti slomljen (20%) ili netaknut (80%). Možete popraviti bilo koji uređaj koji vam dođe u ruke s vjerojatnošću 0,4 ili niste u mogućnosti to učiniti (0,6). Konačno, ako je uređaj u ispravnom stanju, možete doći do prave osobe s vjerojatnošću od 0,7.

Lako je vidjeti kako se uvjetna vjerojatnost igra u ovom slučaju: nećete moći doći do osobe ako je telefon pokvaren, ali ako radi, ne morate ga popravljati. Dakle, da biste dobili bilo kakve rezultate na "drugoj razini", morate saznati koji je događaj izvršen na prvoj.

Izračuni

Pogledajmo primjere rješavanja zadataka sa zbrajanjem i množenjem vjerojatnosti, koristeći podatke iz prethodnog odlomka.

Prvo, odredimo vjerojatnost da ćete popraviti uređaj koji vam je dan. Da biste to učinili, prvo mora biti neispravan, a drugo, morate ga moći popraviti. Ovo je tipičan problem s množenjem: dobivamo 0,2 * 0,4 = 0,08.

Koja je vjerojatnost da ćete odmah doći do prave osobe? To je tako jednostavno: 0,8*0,7 = 0,56. U ovom slučaju ste ustanovili da telefon radi i uspješno ste uputili poziv.

Na kraju, razmislite o ovom scenariju: dobijete pokvaren telefon, popravite ga, zatim birate broj i osoba s druge strane se javlja. Ovdje već trebamo pomnožiti tri komponente: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Što učiniti ako imate dva neradna telefona odjednom? Koliko je vjerojatno da ćete popraviti barem jedan od njih? na zbrajanje i množenje vjerojatnosti, budući da se koriste zajednički događaji. Rješenje: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Dakle, ako dobijete dva pokvarena uređaja, to ćete moći popraviti u 64% slučajeva.

Pažljivo korištenje

Kao što je rečeno na početku članka, korištenje teorije vjerojatnosti treba biti namjerno i svjesno.

Što je serija eksperimenata veća, to je teoretski predviđena vrijednost bliža onoj dobivenoj u praksi. Na primjer, bacamo novčić. Teoretski, znajući postojanje formula za zbrajanje i množenje vjerojatnosti, možemo predvidjeti koliko će se puta pojaviti "glave" i "repovi" ako eksperiment izvedemo 10 puta. Proveli smo eksperiment i slučajno je omjer nacrtanih stranica bio 3 prema 7. Ali ako napravimo niz od 100, 1000 ili više pokušaja, ispada da se graf distribucije sve više približava teoretskom: 44 do 56, 482 do 518, i tako dalje.

Sada zamislite da se ovaj eksperiment ne izvodi s novčićem, već s proizvodnjom neke nove kemijske tvari, čiju vjerojatnost ne znamo. Proveli bismo 10 eksperimenata i, bez dobivanja uspješnog rezultata, mogli bismo generalizirati: "nemoguće je dobiti tvar." Ali tko zna, da smo pokušali iz jedanaestog puta, bismo li postigli cilj ili ne?

Dakle, ako idete u nepoznato, u neistraženo područje, teorija vjerojatnosti možda neće vrijediti. Svaki sljedeći pokušaj u ovom slučaju može biti uspješan, a generalizacije poput "X ne postoji" ili "X je nemoguće" bit će preuranjene.

Završna riječ

Dakle, pogledali smo dvije vrste zbrajanja, množenje i uvjetne vjerojatnosti. Daljnjim proučavanjem ovog područja potrebno je naučiti razlikovati situacije kada se koristi pojedina formula. Osim toga, trebate zamisliti jesu li probabilističke metode općenito primjenjive za rješavanje vašeg problema.

Ako vježbate, nakon nekog vremena počet ćete sve potrebne radnje izvoditi isključivo u svom umu. Za one koje zanima kartaške igre, ova se vještina može smatrati iznimno vrijednom - znatno ćete povećati svoje šanse za dobitak samim izračunavanjem vjerojatnosti ispadanja određene karte ili boje. No, stečeno znanje lako možete pronaći u primjeni u drugim područjima djelovanja.

Događaj A se zove nezavisna od događaja B ako vjerojatnost događaja A ne ovisi o tome hoće li se događaj B dogoditi ili ne. Događaj A se zove ovisan od događaja B ako se vjerojatnost događaja A mijenja ovisno o tome hoće li se događaj B dogoditi ili ne.

Vjerojatnost događaja A, izračunata pod uvjetom da se događaj B već dogodio, naziva se uvjetna vjerojatnost događaja A i označava se .

Uvjet za neovisnost događaja A od događaja B može se napisati kao
.

Teorem množenja vjerojatnosti. Vjerojatnost da se dogode dva događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih i uvjetne vjerojatnosti drugog, izračunate pod uvjetom da se prvi dogodio:

Ako događaj A ne ovisi o događaju B, tada događaj B ne ovisi o događaju A. Štoviše, vjerojatnost pojavljivanja događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti:

.

Primjer 14. Postoje 3 kutije koje sadrže 10 dijelova. Prva kutija sadrži 8, druga 7 i treća 9 standardnih dijelova. Iz svake kutije nasumce se izvadi po jedan dio. Nađite vjerojatnost da će sva tri izvađena dijela biti standardna.

Vjerojatnost da je standardni dio uzet iz prve kutije (događaj A) jednaka je
. Vjerojatnost da je standardni dio uklonjen iz druge kutije (događaj B) jednaka je
. Vjerojatnost da je standardni dio uklonjen iz treće kutije (događaj C) jednaka je
.

Budući da su događaji A, B i C kolektivno neovisni, tada je prema teoremu množenja tražena vjerojatnost jednaka

Navedimo primjer zajedničke uporabe teorema zbrajanja i množenja.

Primjer 15. Vjerojatnosti pojavljivanja neovisnih događaja A 1 i A 2 jednake su p 1 odnosno p 2 . Odredite vjerojatnost događanja samo jednog od tih događaja (događaj A). Odredite vjerojatnost pojave barem jednog od tih događaja (događaj B).

Označimo vjerojatnosti suprotnih događaja I kroz q 1 =1-p 1 odnosno q 2 =1-p 2 .

Događaj A će se dogoditi ako se dogodi događaj A 1, a događaj A 2 ne dogodi, ili ako se dogodi događaj A 2, a događaj A 1 ne dogodi. Stoga,

Događaj B će se dogoditi ako se dogodi događaj A ili ako se događaji A 1 i A 2 dogode istovremeno. Stoga,

Vjerojatnost događaja B može se odrediti i drugačije. Događaj Suprotno od događaja B je da se oba događaja A 1 i A 2 neće dogoditi. Stoga, korištenjem teorema množenja vjerojatnosti za neovisne događaje, dobivamo

što se poklapa s ranije dobivenim izrazom, budući da identitet vrijedi

7. Formula ukupne vjerojatnosti. Bayesova formula.

Teorem 1. Pretpostavimo da događaji
tvore potpunu skupinu u parovima nekompatibilnih događaja (takvi događaji nazivaju se hipoteze). Neka je A proizvoljan događaj. Tada se vjerojatnost događaja A može izračunati pomoću formule

Dokaz. Budući da hipoteze čine potpunu skupinu, tada , i, prema tome,.

Zbog činjenice da su hipoteze parno nekompatibilni događaji, događaji su također parno nekompatibilni. Po teoremu zbrajanja vjerojatnosti

Primjenjujući sada teorem množenja vjerojatnosti, dobivamo

Formula (1) naziva se formula ukupne vjerojatnosti. U skraćenom obliku može se napisati na sljedeći način

.

Formula je korisna ako je uvjetne vjerojatnosti događaja A lakše izračunati nego bezuvjetnu vjerojatnost.

Primjer 16. Postoje 3 špila od 36 karata i 2 špila od 52 karte. Nasumično biramo jedan špil i iz njega nasumično jednu kartu. Odredite vjerojatnost da je izvučena karta as.

Neka je A događaj da je izvučena karta as. Uvedimo dvije hipoteze u razmatranje:

- karta se izvlači iz špila od 36 karata,

- karta se izvlači iz špila od 52 karte.

Za izračun vjerojatnosti događaja A koristimo se formulom ukupne vjerojatnosti:

Teorem 2. Pretpostavimo da događaji
tvore potpunu skupinu po parovima nekompatibilnih događaja. Neka je A proizvoljan događaj. Uvjetna vjerojatnost hipoteze uz pretpostavku da se dogodio događaj A, može se izračunati pomoću Bayesove formule:

Dokaz. Iz teorema množenja vjerojatnosti za zavisne događaje slijedi da je .

.

Primjenom formule ukupne vjerojatnosti dobivamo (2).

Vjerojatnosti hipoteza
nazivaju se apriori, a vjerojatnosti hipoteza
pod uvjetom da se događaj A dogodio nazivaju se aposteriori. Same Bayesove formule također se nazivaju formulama vjerojatnosti hipoteze.

Primjer 17. Postoje 2 urne. Prva urna sadrži 2 bijele i 4 crne kugle, a druga urna sadrži 7 bijelih i 5 crnih kugli. Nasumično biramo urnu i iz nje nasumično izvlačimo jednu kuglicu. Ispostavilo se da je crno (zbio se događaj A). Odredite vjerojatnost da je kugla izvučena iz prve urne (nagađanje
). Odredite vjerojatnost da je kugla izvučena iz druge urne (nagađanje
).

Primijenimo Bayesove formule:

,

.

Primjer 18. U tvornici se vijci proizvode na tri stroja, koji proizvode 25%, 35% odnosno 40% svih vijaka. Greške u proizvodima ovih strojeva su 5%, 4%, 2%, redom. Od proizvoda sva tri stroja odabran je jedan vijak. Ispostavilo se da je neispravan (događaj A). Nađite vjerojatnost da je prvi, drugi, treći stroj otpustio vijak.

Neka
- slučaj da je vijak otpustio prvi stroj,
- drugi automobil,
- treći auto. Ovi su događaji u paru nekompatibilni i čine potpunu skupinu. Upotrijebimo Bayesove formule

Kao rezultat dobivamo

,

,

.

Obrazovna ustanova "Bjeloruska država

poljoprivredna akademija"

Katedra za višu matematiku

ZBRAJANJE I MNOŽENJE VJEROJATNOSTI. PONOVLJENI NEZAVISNI TESTOVI

Predavanje studentima Fakulteta za zemljišno gospodarstvo

dopisni tečajevi

Gorki, 2012. (monografija).

Zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Ponavlja se

nezavisni testovi

1. Zbrajanje vjerojatnosti

Zbroj dvaju zajedničkih događaja A I U naziva događaj S, koji se sastoji u pojavi barem jednog od događaja A ili U. Slično tome, zbroj nekoliko zajedničkih događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od tih događaja.

Zbroj dva nekompatibilna događaja A I U naziva događaj S koji se sastoji od pojave ili događaja A, ili događaja U. Slično tome, zbroj nekoliko nekompatibilnih događaja je događaj koji se sastoji od pojave bilo kojeg od tih događaja.

Vrijedi teorem za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja: vjerojatnost zbroja dvaju nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja , tj. . Ovaj se teorem može proširiti na bilo koji konačan broj nekompatibilnih događaja.

Iz ovog teoreme slijedi:

zbroj vjerojatnosti događaja koji tvore potpunu grupu jednak je jedan;

zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja jednak je jedan, tj.
.

Primjer 1 . Kutija sadrži 2 bijele, 3 crvene i 5 plavih kuglica. Kuglice se miješaju i jedna se nasumično izvlači. Kolika je vjerojatnost da će lopta biti obojena?

Riješenje . Označimo događaje:

A=(izvučena kuglica u boji);

B=(izvučena bijela kugla);

C=(izvučena crvena kugla);

D=(izvučena plava kuglica).

Zatim A= C+ D. Od događaja C, D nekonzistentni, tada ćemo koristiti teorem za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja: .

Primjer 2 . Urna sadrži 4 bijele kugle i 6 crnih. Iz urne se nasumično izvlače 3 kuglice. Kolika je vjerojatnost da su sve iste boje?

Riješenje . Označimo događaje:

A=(izvlače se kuglice iste boje);

B=(vade se bijele kuglice);

C=(vade se crne kuglice).

Jer A= B+ C i događanja U I S su nekonzistentni, zatim po teoremu zbrajanja vjerojatnosti nekompatibilnih događaja
. Vjerojatnost događaja U jednak
, Gdje
4,

. Zamijenimo k I n u formulu i dobivamo
Slično, nalazimo vjerojatnost događaja S:
, Gdje
,
, tj.
. Zatim
.

Primjer 3 . Iz špila od 36 karata nasumično se izvlače 4 karte. Nađite vjerojatnost da će među njima biti najmanje tri asa.

Riješenje . Označimo događaje:

A=(među izvađenim kartama nalaze se najmanje tri asa);

B=(među izvađenim kartama su tri asa);

C=(među izvađenim kartama su četiri asa).

Jer A= B+ C, i događaji U I S su onda nekompatibilni
. Nađimo vjerojatnosti događaja U I S:

,
. Stoga je vjerojatnost da među izvučenim kartama budu barem tri asa jednaka

0.0022.

1. Množenje vjerojatnosti

Posao dva događaja A I U naziva događaj S, koji se sastoji od zajedničkog događanja ovih događaja:
. Ova se definicija odnosi na bilo koji konačan broj događaja.

Dva događaja se zovu nezavisna , ako vjerojatnost da se jedan od njih dogodi ne ovisi o tome je li se drugi događaj dogodio ili ne. Događaji , , … , se zovu kolektivno neovisni , ako vjerojatnost pojavljivanja svakog od njih ne ovisi o tome jesu li se drugi događaji dogodili ili nisu dogodili.

Primjer 4 . Dva strijelca gađaju metu. Označimo događaje:

A=(prvi strijelac je pogodio metu);

B=(drugi strijelac je pogodio metu).

Očito, vjerojatnost da prvi strijelac pogodi metu ne ovisi o tome je li drugi strijelac pogodio ili promašio, i obrnuto. Stoga događaji A I U nezavisna.

Vrijedi teorem za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja: vjerojatnost umnoška dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja : .

Ovaj teorem također vrijedi za n kolektivno neovisni događaji: .

Primjer 5 . Dva strijelca gađaju istu metu. Vjerojatnost pogotka prvog strijelca je 0,9, a drugog 0,7. Oba strijelca pucaju jedan po jedan. Odredite vjerojatnost da će biti dva pogotka na meti.

Riješenje . Označimo događaje:

A

B

C=(oba strijelca će pogoditi metu).

Jer
, i događaji A I U neovisni su, dakle
, tj. .

Događaji A I U se zovu ovisan , ako vjerojatnost da se jedan od njih dogodi ovisi o tome je li se drugi događaj dogodio ili ne. Vjerojatnost događanja događaja A pod uvjetom da događaj U već je stiglo, zove se uvjetna vjerojatnost i naznačen je
ili
.

Primjer 6 . Urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica. Iz urne se izvlače kuglice. Označimo događaje:

A=(izvučena bijela kuglica) ;

B=(izvučena crna kugla).

Prije početka vađenja kuglica iz urne
. Jedna kugla je izvađena iz urne i pokazalo se da je crna. Zatim vjerojatnost događaja A nakon događaja U bit će drugi, jednaki . To znači da vjerojatnost događaja A ovisi o događaju U, tj. ti će događaji biti ovisni.

Vrijedi teorem za množenje vjerojatnosti zavisnih događaja: vjerojatnost pojavljivanja dva zavisna događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih i uvjetne vjerojatnosti drugog, izračunate pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio, tj. ili .

Primjer 7 . Urna sadrži 4 bijele kugle i 8 crvenih kugli. Iz njega se nasumično izvlače dvije kuglice. Odredite vjerojatnost da su obje kuglice crne.

Riješenje . Označimo događaje:

A=(prva izvučena crna kuglica);

B=(izvučena je druga crna kuglica).

Događaji A I U ovisan jer
, A
. Zatim
.

Primjer 8 . Tri strijelca gađaju metu neovisno jedan o drugom. Vjerojatnost pogađanja mete za prvog strijelca je 0,5, za drugog – 0,6 i za trećeg – 0,8. Nađite vjerojatnost da će biti dva pogotka u metu ako svaki strijelac opali po jedan hitac.

Riješenje . Označimo događaje:

A=(u metu će biti dva pogotka);

B=(prvi strijelac će pogoditi metu);

C=(drugi strijelac će pogoditi metu);

D=(treći strijelac će pogoditi metu);

=(prvi strijelac neće pogoditi metu);

=(drugi strijelac neće pogoditi metu);

=(treći strijelac neće pogoditi metu).

Prema primjeru
,
,
,

,
,
. Budući da , onda korištenjem teorema za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja i teorema za množenje vjerojatnosti nezavisnih događaja, dobivamo:

Neka događaji
čine potpunu skupinu događaja nekog testa i događaja A može se dogoditi samo s jednim od ovih događaja. Ako su poznate vjerojatnosti i uvjetne vjerojatnosti događaja A, tada se vjerojatnost događaja A izračunava po formuli:

Ili
. Ova formula se zove formula ukupne vjerojatnosti , i događaji
hipoteze .

Primjer 9 . Na montažnu traku dolazi 700 dijelova od prvog stroja i 300 dijelova iz drugog. Prvi stroj proizvodi 0,5% otpada, a drugi - 0,7%. Nađite vjerojatnost da će uzeti dio biti neispravan.

Riješenje . Označimo događaje:

A=(uzeti dio bit će neispravan);

=(dio je napravljen na prvom stroju);

=(dio je izrađen na drugom stroju).

Vjerojatnost da je dio izrađen na prvom stroju jednaka je
. Za drugu mašinu
. Prema uvjetu, vjerojatnost primanja neispravnog dijela izrađenog na prvom stroju jednaka je
. Za drugi stroj ta je vjerojatnost jednaka
. Tada se izračunava vjerojatnost da će uzeti dio biti neispravan pomoću formule ukupne vjerojatnosti

Ako se zna da se neki događaj dogodio kao rezultat testa A, zatim vjerojatnost da se taj događaj dogodio s hipotezom
, je jednako
, Gdje
- ukupna vjerojatnost događaja A. Ova formula se zove Bayesova formula i omogućuje izračunavanje vjerojatnosti događaja
nakon što se saznalo da je događaj A je već stigao.

Primjer 10 . Ista vrsta autodijelova proizvodi se u dvije tvornice i isporučuje u trgovinu. Prva biljka proizvodi 80% ukupnog broja dijelova, a druga - 20%. Proizvodi prve tvornice sadrže 90% standardnih dijelova, a druge - 95%. Kupac je kupio jedan dio i pokazalo se da je standardni. Nađite vjerojatnost da je ovaj dio proizveden u drugoj tvornici.

Riješenje . Označimo događaje:

A=(kupljen standardni dio);

=(dio je proizveden u prvom pogonu);

=(dio je proizveden u drugoj tvornici).

Prema primjeru
,
,
I
. Izračunajmo ukupnu vjerojatnost događaja A: 0,91. Izračunavamo vjerojatnost da je dio proizveden u drugoj tvornici pomoću Bayesove formule:

.

Zadaci za samostalan rad

Vjerojatnost pogađanja mete za prvog strijelca je 0,8, za drugog – 0,7 i za trećeg – 0,9. Strijelci su ispalili po jedan metak. Nađite vjerojatnost da postoje najmanje dva pogotka na meti.

Radionica je dobila 15 traktora. Poznato je da za njih 6 treba zamijeniti motor, a za ostale pojedine komponente. Nasumično su odabrana tri traktora. Nađite vjerojatnost da je potrebna zamjena motora za najviše dva odabrana traktora.

Tvornica armiranog betona proizvodi panele od kojih je 80% vrhunske kvalitete. Odredite vjerojatnost da će od tri nasumično odabrane ploče barem dvije biti najviše ocjene.

Trojica radnika montiraju ležajeve. Vjerojatnost da je ležaj koji je montirao prvi radnik najkvalitetniji je 0,7, drugi – 0,8 i treći – 0,6. Za kontrolu je nasumično uzet jedan ležaj od onih koje je sastavljao svaki radnik. Nađite vjerojatnost da će barem dva od njih biti najviše kvalitete.

Vjerojatnost dobitka prve srećke je 0,2, druge 0,3 i treće 0,25. Za svaki broj ide jedna ulaznica. Odredite vjerojatnost da će barem dva listića biti dobitna.

Računovođa izvodi izračune koristeći tri referentne knjige. Vjerojatnost da se podaci koji ga zanimaju nalaze u prvom direktoriju je 0,6, u drugom - 0,7 i u trećem - 0,8. Odredite vjerojatnost da se podaci koji zanimaju računovođu nalaze u najviše dva direktorija.

Tri stroja proizvode dijelove. Prvi stroj proizvodi najkvalitetniji dio s vjerojatnošću 0,9, drugi s vjerojatnošću 0,7, a treći s vjerojatnošću 0,6. Iz svakog stroja nasumično se uzima jedan dio. Odredite vjerojatnost da su barem dva od njih najviše kvalitete.

Ista vrsta dijelova obrađuje se na dva stroja. Vjerojatnost proizvodnje nestandardnog dijela za prvi stroj je 0,03, za drugi - 0,02. Obrađeni dijelovi se skladište na jednom mjestu. Među njima je 67% s prvog stroja, a ostali s drugog. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Nađite vjerojatnost da je napravljen na prvom stroju.

Radionica je dobila dvije kutije istog tipa kondenzatora. U prvoj kutiji bilo je 20 kondenzatora, od kojih su 2 bila neispravna. Druga kutija sadrži 10 kondenzatora, od kojih su 3 neispravna. Kondenzatori su smješteni u jednu kutiju. Nađite vjerojatnost da će kondenzator uzet nasumce iz kutije biti u dobrom stanju.

Tri stroja proizvode istu vrstu dijelova, koji se isporučuju na zajednički transporter. Među svim dijelovima, 20% je iz prvog stroja, 30% iz drugog i 505 iz trećeg. Vjerojatnost proizvodnje standardnog dijela na prvom stroju je 0,8, na drugom – 0,6 i na trećem – 0,7. Pokazalo se da je uzeti dio standardni. Nađite vjerojatnost da je ovaj dio izrađen na trećem stroju.

Monter dobiva 40% dijelova iz tvornice za montažu A, a ostatak - iz tvornice U. Vjerojatnost da je dio iz tvornice A– vrhunska kvaliteta, jednaka 0,8, i iz tvornice U– 0,9. Monter je nasumce uzeo jedan dio i pokazalo se da je loše kvalitete. Nađite vjerojatnost da je ovaj dio tvornički U.

Na studentska sportska natjecanja raspoređeno je 10 učenika iz prve i 8 iz druge skupine. Vjerojatnost da će student iz prve skupine biti uključen u tim akademije je 0,8, a iz druge 0,7. U tim je uvršten slučajno odabran učenik. Odredite vjerojatnost da je on iz prve skupine.

\(\blacktriangleright\) Ako želite izvršiti događaj \(C\), potrebno je izvršiti oba zajednička (koji se mogu dogoditi istovremeno) događaja \(A\) i \(B\) (\(C=\(A\ ) i \( B\)\) ), tada je vjerojatnost događaja \(C\) jednaka umnošku vjerojatnosti događaja \(A\) i \(B\) .

Imajte na umu da ako su događaji nekompatibilni, tada je vjerojatnost njihovog istovremenog pojavljivanja jednaka \(0\) .

\(\blacktriangleright\) Svaki događaj može se prikazati krugom. Onda ako su događaji zajednički, onda se krugovi moraju presijecati. Vjerojatnost događaja \(C\) je vjerojatnost ulaska u oba kruga u isto vrijeme.

\(\blacktriangleright\) Na primjer, prilikom bacanja kocke pronađite vjerojatnost \(C=\) (ispuštanjem broja \(6\)).
Događaj \(C\) može se formulirati kao \(A=\) (ispuštanje parnog broja) i \(B=\) (ispuštanje broja djeljivog s tri).
Zatim \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Zadatak 1 #3092

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

U trgovini se prodaju tenisice dva brenda: Dike i Ananas. Vjerojatnost da će slučajno odabrani par tenisica biti iz Dikea je \(0,6\) . Svaka tvrtka može pogriješiti ispisujući svoje ime na tenisicama. Vjerojatnost da će Dike pogrešno napisati svoje ime je \(0,05\) ; vjerojatnost da će Ananas pogrešno napisati svoje ime je \(0,025\) . Odredite vjerojatnost da će nasumično kupljeni par tenisica imati ispravno napisano ime tvrtke.

Događaj A: “par tenisica će biti s točnim nazivom” jednak je zbroju događaja B: “par tenisica će biti od Dike i s točnim nazivom” i C: “par tenisica će biti od Ananas i točnim imenom.”
Vjerojatnost događaja B jednaka je umnošku vjerojatnosti događaja “tenisice će biti iz Dike” i “ime tvrtke Dike je ispravno napisano”: \ Slično za događaj C: \ Stoga, \

Odgovor: 0,96

Zadatak 2 #166

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Ako Timur igra bijelim damama, tada pobjeđuje Vanju s vjerojatnošću 0,72. Ako Timur igra crnim damama, tada pobjeđuje Vanju s vjerojatnošću 0,63. Timur i Vanya igraju dvije partije, au drugoj igri mijenjaju boju dama. Odredite vjerojatnost da Vanja pobijedi oba puta.

Vanja pobjeđuje bijelim s vjerojatnošću \(0,37\), a crnim s vjerojatnošću \(0,28\) . Događaji “Vanja je pobijedio iz dvije partije s bijelim”\(\ \) i “Vanja je pobijedio iz dvije partije s crnim”\(\\) su nezavisni, tada je vjerojatnost njihove istodobne pojave \

Odgovor: 0,1036

Zadatak 3 #172

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Ulaz u muzej čuvaju dva čuvara. Vjerojatnost da će najstariji od njih zaboraviti walkie-talkie je \(0,2\) , a vjerojatnost da će najmlađi od njih zaboraviti walkie-talkie je \(0,1\) . Koja je vjerojatnost da neće imati niti jedan radio?

Budući da su događaji koji se razmatraju neovisni, vjerojatnost njihove istodobne pojave jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti. Tada je tražena vjerojatnost jednaka \

Odgovor: 0,02

Zadatak 4 #167

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Skočivši s visine od 1 metra, Kostya slomi nogu s vjerojatnošću \(0,05\) . Skočivši s visine od 1 metra, Vanja slomi nogu s vjerojatnošću \(0,01\) . Skočivši s visine od 1 metar, Anton slomi nogu s vjerojatnošću \(0,01\) . Kostja, Vanja i Anton istovremeno skaču s visine od jednog metra. Koja je vjerojatnost da će samo Kostya slomiti nogu? Zaokružite svoj odgovor na najbližu tisuću.

Događaji “pri skoku s visine od 1 metra, Kostya je slomio nogu”\(,\ \) “pri skoku s visine od 1 metra, Vanja nije slomio nogu”\(\ \) i “pri skoku s visine 1 metar, Anton nije slomio nogu”\( \ \) su neovisni, stoga je vjerojatnost njihove istodobne pojave jednaka umnošku njihovih vjerojatnosti: \ Nakon zaokruživanja konačno dobivamo \(0,049\) .

Odgovor: 0,049

Zadatak 5 #170

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Maxim i Vanya odlučili su igrati kuglanje. Maxim je s pravom procijenio da u prosjeku dobije udarac jednom na svakih osam bacanja. Vanja je s pravom procijenio da u prosjeku dobije udarac jednom u pet bacanja. Maxim i Vanya izvode točno jedno bacanje svaki (bez obzira na rezultat). Kolika je vjerojatnost da među njima neće biti štrajkova?

Budući da su događaji koji se razmatraju neovisni, vjerojatnost njihove istodobne pojave jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti. U ovom slučaju, vjerojatnost da Maxim neće dobiti udarac jednaka je \ Vjerojatnost da Vanja neće dobiti opomenu je \(1 - 0,2 = 0,8\) . Tada je tražena vjerojatnost jednaka \[\dfrac(7)(8)\cdot 0,8 = 0,7.\]

Odgovor: 0,7

6. zadatak #1646

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Anton i Kostya igraju stolni tenis. Vjerojatnost da će Kostya pogoditi stol svojim prepoznatljivim udarcem je \(0,9\) . Vjerojatnost da će Anton pobijediti u nadigravanju u kojem je Kostja pokušao zadati prepoznatljivi udarac je \(0,3\) . Kostya je pokušao pogoditi stol svojim prepoznatljivim udarcem. Koja je vjerojatnost da će Kostya zaista pogoditi svojim prepoznatljivim udarcem i na kraju pobijediti na ovom nadigravanju?

Budući da su događaji koji se razmatraju neovisni, vjerojatnost njihove istodobne pojave jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti. Štoviše, vjerojatnost da Anton neće pobijediti u nadigravanju u kojem je Kostja pokušao zadati svoj prepoznatljivi udarac jednaka je \(1 - 0,3 = 0,7\) . Tada je tražena vjerojatnost jednaka \