Izračunavamo površinu paralelopipeda. Kako izračunati površinu paralelopipeda Kako se mjeri površina pravokutnog paralelopipeda?

Paralelepiped je najčešća figura koja okružuje ljude. Većina soba je upravo ovakva. Posebno je važno znati područje paralelopipeda, barem njegovih bočnih strana, tijekom popravaka. Uostalom, morate točno znati koliko materijala kupiti.

Što je on?

Ovo je prizma s četverokutnom bazom. Stoga ima četiri bočne strane, koje su paralelogrami. Odnosno, takvo tijelo ima samo 6 lica.

Za određivanje paralelepipeda u prostoru određuju se njegova površina i volumen. Prvi može biti zasebno za svako lice ili za cijelu površinu. Osim toga, također se razlikuje područje samo bočnih strana.

Koje vrste paralelopipeda postoje?

Nagnut. Onaj koji ima bočna lica tvore s bazom kut koji nije 90 stupnjeva. Njegov gornji i donji četverokut ne leže jedan nasuprot drugome, već su pomaknuti.

Ravno. Paralelepiped, čije su bočne strane pravokutnici, au podnožju se nalazi lik s proizvoljnim kutovima.

Pravokutan. Poseban slučaj prethodnog tipa: u njegovoj osnovi nalazi se pravokutnik.

Kocka Posebna vrsta pravilnog paralelopipeda u kojem su sve plohe prikazane kvadratima.

Neke matematičke značajke paralelopipeda

Može postojati situacija u kojoj će biti korisni u pronalaženju površine paralelopipeda.

• Lica koja leže jedno nasuprot drugome nisu samo paralelna, nego su i jednaka.
• Dijagonale paralelopipeda dijele se na jednake dijelove točkom presjeka.
• Općenitiji slučaj, ako segment spaja dvije točke na površini tijela i prolazi kroz točku sjecišta dijagonala, tada ga ta točka dijeli na dva dijela.
• Za pravokutni paralelopiped vrijedi jednakost u kojoj je u jednom dijelu kvadrat dijagonale, a u drugom zbroj kvadrata njegove visine, širine i duljine.

Površina pravog paralelopipeda

Ako visinu tijela označimo s "n", a opseg baze slovom P os, tada se cijela bočna površina može izračunati pomoću formule:

S strana = P os * n

Pomoću ove formule i određivanjem površine baze možete izračunati ukupnu površinu:

S = S strana + 2 * S sjekira

U posljednjem unosu, S os., odnosno površina baze paralelopipeda, može se izračunati pomoću formule za paralelogram. Drugim riječima, trebat će vam izraz u kojem ćete pomnožiti stranicu i visinu koju ona ispušta.

Površina pravokutnog paralelopipeda

Standardna oznaka za duljinu, širinu i visinu takvog tijela su slova "a", "b" i "c". Bočna površina će se izraziti formulom:

S strana = 2 * c * (a + b)

Da biste izračunali ukupnu površinu pravokutnog paralelopipeda, trebat će vam sljedeći izraz:

S = 2 * (av + sun + ac)

Ako se ispostavi da je potrebno saznati područje njegove baze, onda je dovoljno zapamtiti da je ovo pravokutnik, što znači da je dovoljno pomnožiti "a" i "b".

Površina kocke

Njegovu bočnu površinu tvore četiri kvadrata. To znači da ćete morati upotrijebiti formulu poznatu za kvadrat i pomnožiti je s četiri.

S strana = 4 * a 2

A zbog činjenice da su njegove baze isti kvadrati, ukupna površina određena je formulom:

S = 6 * a 2

Površina nagnutog paralelopipeda

Budući da su njegova lica paralelogrami, morate saznati površinu svakog od njih, a zatim ih dodati. Srećom, suprotnosti su jednake. Stoga površine trebate izračunati samo tri puta, a zatim ih pomnožiti s dva. Ako ovo zapišete kao formulu, dobit ćete sljedeće:

S strana = (S 1 + S 2) * 2,

S = (S 1 + S 2 + S 3) * 2

Ovdje su S1 i S2 površine dviju bočnih stranica, a S3 je baza.

Zadaci na temu

Zadatak jedan. Stanje. Potrebno je saznati duljinu dijagonale kocke ako je njezina cijela površina 200 mm 2.

Riješenje. Morate započeti dobivanjem izraza za željenu količinu. Njegov kvadrat jednak je trima kvadratima stranice kocke. To znači da je dijagonala jednaka "a" puta korijen iz 3.

Ali strana kocke je nepoznata. Ovdje ćete morati iskoristiti činjenicu da je područje cijele površine poznato. Iz formule ispada da je "a" jednako kvadratnom korijenu kvocijenta od S i 6.

Odgovor. Dijagonala kocke je 10 mm.

Zadatak dva. Stanje. Potrebno je izračunati površinu kocke ako se zna da je njezin volumen 343 cm2.

Riješenje. Morat ćete upotrijebiti istu formulu za područje kocke. U njemu je opet nepoznato rebro tijela. Ali volumen je dan. Iz formule za kocku vrlo je lako saznati "a". To će biti jednako kubnom korijenu od 343. Jednostavan izračun daje sljedeću vrijednost za rub: a = 7 cm.

Odgovor. S = 294 cm 2.

Treći zadatak. Stanje. Zadana je pravilna četverokutna prizma s baznom stranicom 20 dm. Morate pronaći njegov bočni rub. Poznato je da je površina paralelepipeda 1760 dm 2.

Riješenje. Svoje razmišljanje morate započeti formulom za površinu cijele površine tijela. Samo u njemu morate uzeti u obzir da su rubovi "a" i "b" jednaki. To slijedi iz tvrdnje da je prizma pravilna. To znači da u njegovoj osnovi leži četverokut s jednakim stranicama. Odatle je a = b = 20 dm.

Uzimajući to u obzir, formula površine bit će pojednostavljena na ovo:

S = 2 * (a 2 + 2ac).

Sve je u njemu poznato osim željene vrijednosti “c”, a to je upravo bočni brid paralelopipeda. Da biste ga pronašli, morate izvršiti transformacije:

• sve nejednakosti podijelite s 2;
• zatim pomaknite članove tako da lijevo bude član 2ac, a desno površina podijeljena s 2 i kvadratić “a”, a potonji će imati znak “-”;
• zatim podijelite jednadžbu s 2a.

Rezultirajući izraz će biti:

c = (S/2 - a 2) / (2a)

Nakon zamjene svih poznatih veličina i izvođenja radnji ispada da je bočni brid 12 dm.

Odgovor. Bočni brid “c” je 12 dm.

Četvrti zadatak. Stanje. Zadan je pravokutni paralelopiped. Jedno od njegovih lica ima površinu jednaku 12 cm 2. Potrebno je izračunati duljinu ruba koji je okomit na ovo lice. Dodatni uvjet: obujam tijela je 60 cm 3 .

Riješenje. Neka se zna područje lica koje je okrenuto prema promatraču. Ako kao oznaku uzmemo standardna slova za mjerenje paralelopipeda, tada će u dnu ruba biti "a" i "b", a okomito će biti "c". Na temelju toga se površina poznatog lica određuje kao umnožak "a" i "c".

Sada morate koristiti poznati volumen. Njegova formula za pravokutni paralelopiped daje umnožak sve tri veličine: “a”, “b” i “c”. To jest, poznata površina pomnožena s "v" daje volumen. Ispada da se željeni rub može izračunati iz jednadžbe:

Jednostavan izračun daje rezultat 5.

Odgovor. Potreban rub je 5 cm.

Zadatak peti. Stanje. Zadan je pravi paralelopiped. Na njegovoj osnovi leži paralelogram sa stranicama od 6 i 8 cm, čiji je oštar kut 30º. Bočni rub ima duljinu od 5 cm. Potrebno je izračunati ukupnu površinu paralelopipeda.

Riješenje. To je slučaj kada morate zasebno saznati područja svih lica. Ili, točnije, tri para: baza i dva bočna.

Budući da se u osnovi nalazi paralelogram, njegova se površina izračunava kao umnožak stranice i visine. Strana se zna, ali visina ne. Treba prebrojati. To će zahtijevati vrijednost oštrog kuta. Visina čini pravokutni trokut u paralelogramu. Ima nogu jednak umnošku sinus oštrog kuta koji je nasuprot hipotenuzi.

Neka poznata stranica paralelograma bude "a". Tada će visina biti zapisana kao * sin 30º. Dakle, površina baze jednaka je a * b * sin 30º.

S bočnim rubovima sve je jednostavnije. Oni su pravokutnici. Stoga su njihove površine proizvod jedne i druge strane. Prvi je a * s, drugi je b * s.

Ostaje samo spojiti sve u jednu formulu i izračunati:

S = 2 * (a * b * sin 30º + a * c + b * c)

Nakon zamjene svih vrijednosti, ispada da je tražena površina 188 cm 2.

Odgovor. S = 188 cm 2.

U kolegiju matematike 5. razreda obrađuje se tema pravokutnog paralelopipeda. Danas ćemo govoriti o formulama za pronalaženje površine bočne površine pravokutnog paralelopipeda i ukupne površine ove figure, koje učenicima najčešće stvaraju poteškoće pri proučavanju ove teme.

Definicije

Paralelepiped je lik koji se sastoji od šest četverokuta. Ako se u osnovi ove figure nalazi pravokutnik, tada se poliedar naziva kvadar.

Pravokutni paralelopiped ima četiri bočne strane. Dvije od njih nazivaju se baza poliedra. Za označavanje vrhova figure koriste se velika latinična slova.

Ako dva lica nemaju zajednički rub, onda se nazivaju suprotnim. Budući da je svaka strana pravokutnik, gdje su suprotne stranice jednake, tada su suprotne stranice kvadra jednake.

Bočne strane lica su rubovi, lik ima 12 rubova. Duljina bridova određuje glavne karakteristike pravokutnog paralelopipeda: područje, opseg, volumen.

Riža. 1. Pravokutni paralelopiped

Često u životu nailazimo na primjere takvih figura: cigla, kutija, jedinica računalnog sustava.

Matematička figura - pravokutni paralelopiped - aktivno se koristi u umjetnosti, arhitekturi i drugim područjima.

Postoji nekoliko vrsta paralelopipeda, s bazom u obliku kvadrata, paralelograma ili pravokutnika.

Formula za pronalaženje površine

Da biste pronašli površinu bočne površine pravokutnog paralelopipeda, potrebno je zasebno izračunati površinu svake bočne strane, a zatim zbrojiti dobivene vrijednosti.

$S = ac, a, b, c$ – stranice figure.

Riža. 2. Pravokutni paralelopiped

A budući da su suprotna lica jednaka, to jest $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, njihov zbroj će biti površina bočne površine poligona.

Prema tome, za izračunavanje ukupne površine pravokutnog paralelopipeda potrebno je dodati površinu bočne površine i dvije površine baze. Rezultat je formula za površinu pravokutnog paralelopipeda.

$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$

Ponekad se, radi pojašnjenja, uz znak površine piše kratka oznaka, na primjer S p.p - ukupna površina ili S b.p - bočna površina. To pomaže u izbjegavanju brkanja potrebnih podataka prilikom dovršavanja zadatka.

Primjer zadatka

Odredite ukupnu površinu pravokutnog paralelopipeda ako su duljina i širina baze 4 cm, odnosno 3 cm, a visina 2 cm.

Paralelepiped je poliedar koji predstavlja privatni pogled pravokutna šesterokutna prizma. U podnožju paralelopipeda leži pravokutnik ili njemu ekvivalentan četverokut, a paralelogrami djeluju kao bočne plohe. Kao i svaka prizmatična figura, paralelopiped se široko koristi u stvarnom životu, ali u većini slučajeva pravi poliedar ima oblik pravokutnog paralelopipeda.

Geometrija paralelopipeda

Pravokutni paralelopiped sastoji se od dva identična pravokutnika koji leže u paralelnim ravninama i četiri pravokutnika koji ih povezuju, a koji čine bočnu plohu figure. Općenito, paralelopiped je poseban slučaj pravilne četverokutne prizme. Paralelepiped je najčešća figura u stvarnom životu. Upravo oblik ovog poliedra imaju objekti kao što su kuće, sobe, cigle, kartonske kutije, blokovi računala, kutije za mlijeko, kutije šibica i još mnogo toga.

Stvarni svijet sastoji se od raznih geometrijskih oblika, pa vam može trebati kalkulator koji će odmah izračunati površinu objekta u obliku pravokutnog paralelopipeda, bilo da se radi o ormariću, skladištu ili jedinici sustava stolnog računala.

Površina paralelopipeda

Ukupna površina takve prizme određena je kao zbroj površina svih lica. Paralelepiped je šesterokut, čiji je svaki par lica jednak jedan drugom. To znači da svaka strana paralelopipeda ima svoj sukladan par. Dakle, površina dane prizmatične figure izražena je kao dvostruki zbroj površina svake strane.

S = 2 (Sa + Sb + Sc)

Budući da je svaka strana paralelopipeda običan pravokutnik, površina jedne strane određena je kao umnožak stranica poligona. Ako prizmatični lik ima stranice a, b i c, tada će njegova ukupna površina biti jednaka:

S = 2 (ab + bc + ac)

Radi jednostavnijeg razumijevanja formulu možemo prikazati u obliku duljine, širine i visine paralelopipeda. U ovom slučaju doći će do samo male promjene u formuli:

S = 2 (ab + bh + ah)

Dakle, da biste odredili ukupnu površinu prizmatičnog lika, morat ćete znati njegova tri parametra. Unesite ove podatke u obrazac online kalkulatora i dobit ćete trenutne rezultate. Osim toga, kalkulator će odmah izračunati duljinu dijagonale poliedra. Možda ćete morati izračunati površinu prizmatičnog lika u mnogim situacijama.

Primjeri iz života

Bojenje zidova

Recimo da želite obojiti zidove, pod i strop svoje kuhinje bijelom bojom. Morate kupiti dovoljno boje da prekrijete odabranu prostoriju. Znajući da trošak Uljana boja po 1 četvornom metru površine iznosi otprilike 200 grama, možete odrediti koliko će vam materijala trebati za posao. Neka visina kuhinjskog prostora bude 3 m, širina 2 m, a duljina 5 m. Unesite ove podatke u online kalkulator i dobit ćete rezultat kao:

Dakle, trebat ćete obojiti 62 četvorna metra površine. Da biste to učinili, morat ćete kupiti 12,4 kg uljane boje ili 5 limenki boje od 2,8 kg.

Proizvodnja

Recimo da radite u proizvodnom pogonu i premažete kvadratni čelični profil zaštitnim premazom umakanjem dijelova u kupku s otopinom. Da biste ispravno izračunali parametre slikanja, morate znati površinu jednog čeličnog profila koji ima oblik paralelopipeda. Standardni kvadratni profil ima dimenzije: duljina 6 m, stranica a = 80 mm, stranica b = 80 mm. Za točan izračun morate zamijeniti sve dimenzije u istim mjernim jedinicama, na primjer, u centimetrima. U tom slučaju u online kalkulator unesite tri strane paralelopipeda koje su jednake 600, 8 i 8. Rezultat ćete dobiti u obliku:

Dakle, ukupna površina čeličnog profila je 19,328 kvadratnih centimetara ili 1,9828 četvornih metara. Poznavajući površinu jednog profila, lako možete odrediti parametre za bojanje dijelova zaštitnim premazom.

Zaključak

Velik broj stvarnih objekata ima oblik paralelopipeda: to su cigle, sobe, zgrade, dijelovi strojeva i još mnogo toga. Izračunavanje površine zadanog poliedra može biti potrebno u najneočekivanijim situacijama, poput svakodnevnih problema ili profesionalnih izračuna. Naš online kalkulator pomoći će vam da brzo odredite volumene i površine svih pravilnih geometrijskih oblika.

Jedan od najjednostavnijih može se nazvati paralelopipedom. Ima oblik prizme u čijem se dnu nalazi paralelogram. Nije teško izračunati površinu paralelopipeda, jer je formula vrlo jednostavna.

Prizma se sastoji od ploha, vrhova i bridova. Raspodjela ovih sastavnih elemenata napravljena je u minimalnoj količini potrebnoj za oblikovanje ovog geometrijskog oblika. Paralelepiped ima 6 stranica koje su povezane s 8 vrhova i 12 bridova. Štoviše, suprotne strane paralelopipeda uvijek će biti jednake jedna drugoj. Stoga, da biste saznali područje paralelopipeda, dovoljno je odrediti dimenzije njegova tri lica.

Paralelepiped (u prijevodu s grčkog izraz znači "paralelna lica") ima neka svojstva koja vrijedi spomenuti. Prvo, simetričnost figure potvrđuje se samo u sredini svake od njezinih dijagonala. Drugo, povlačenjem dijagonale između bilo kojeg od suprotnih vrhova, možete ustanoviti da svi vrhovi imaju jednu sjecišnu točku. Također je vrijedno zapaziti svojstvo da su suprotna lica uvijek jednaka i sigurno će biti međusobno paralelna.

U prirodi se razlikuju sljedeće vrste paralelopipeda:

pravokutni - sastoji se od pravokutnih lica;

ravno - ima samo pravokutne bočne strane;

nagnuti paralelopiped ima bočne strane koje nisu okomite na baze;

kocka - sastoji se od lica kvadratnog oblika.

Pokušajmo pronaći područje paralelopipeda koristeći pravokutni tip ove figure kao primjer. Kao što već znamo, sva njegova lica su pravokutna. A budući da je broj ovih elemenata smanjen na šest, tada, nakon što ste saznali područje svakog lica, trebate rezimirati dobivene rezultate u jedan broj. A pronaći područje svakog od njih nije teško. Da biste to učinili, morate pomnožiti dvije strane pravokutnika.

korišteno matematička formula odrediti površinu pravokutnog paralelopipeda. Sastoji se od ikoničnih simbola koji označavaju rubove, površinu i izgleda ovako: S=2(ab+bc+ac), gdje je S površina figure, a, b stranice baze, c je bočni rub.

Dajmo približan izračun. Recimo a = 20 cm, b = 16 cm, c = 10 cm Sada trebate pomnožiti brojeve u skladu sa zahtjevima formule: 20*16+16*10+20*10 i dobivamo broj 680 cm2. Ali ovo će biti samo polovica figure, jer smo naučili i zbrojili površine triju lica. Budući da svako lice ima svoj "dvostruki", potrebno je udvostručiti dobivenu vrijednost, a dobivamo površinu paralelepipeda jednaku 1360 cm2.

Za izračun bočne površine upotrijebite formulu S=2c(a+b). Područje baze paralelopipeda može se pronaći množenjem duljina stranica baze jedna s drugom.

U svakodnevnom životu često se mogu naći paralelopipedi. Oblik cigle nas podsjeća na njihovo postojanje, drvena kutija obična kutija šibica. Svatko može pronaći primjere u izobilju oko nas. U školski programi U geometriji je nekoliko lekcija posvećeno proučavanju paralelopipeda. Prvi od njih demonstriraju modele pravokutnog paralelopipeda. Zatim se učenicima pokazuje kako u nju smjestiti loptu ili piramidu ili druge figure i pronaći površinu paralelopipeda. Jednom riječju, ovo je najjednostavnija trodimenzionalna figura.

Paralelepiped je četverokutna prizma s paralelogramom u osnovi. postojati gotove formule za izračunavanje bočnih i puna površina površine lika, za koje su potrebne samo duljine triju dimenzija paralelopipeda.

Kako pronaći površinu bočne površine pravokutnog paralelopipeda

Potrebno je razlikovati pravokutni i ravni paralelopiped. Osnovica pravog lika može biti bilo koji paralelogram. Područje takve figure mora se izračunati pomoću drugih formula.

Zbroj S bočnih stranica pravokutnog paralelopipeda izračunava se pomoću jednostavne formule P*h, gdje je P opseg, a h visina. Slika pokazuje da su suprotne stranice pravokutnog paralelopipeda jednake, a visina h podudara se s duljinom bridova okomitih na bazu.

Površina kvadra

Ukupna površina figure sastoji se od strane i površine 2 baze. Kako pronaći površinu pravokutnog paralelopipeda:

Gdje su a, b i c dimenzije geometrijskog tijela.
Opisane formule su lako razumljive i korisne u rješavanju mnogih geometrijskih problema. Primjer tipičnog zadatka prikazan je na sljedećoj slici.

Pri rješavanju problema ove vrste treba imati na umu da se baza četverokutne prizme odabire proizvoljno. Ako kao bazu uzmemo lice dimenzija x i 3, tada će vrijednosti Sside biti drugačije, a Total će ostati 94 cm2.

Površina kocke

Kocka je pravokutni paralelopiped u kojem su sve 3 dimenzije jednake. U tom smislu, formule za ukupnu i bočnu površinu kocke razlikuju se od standardnih.

Opseg kocke je 4a, dakle, Sstrana = 4*a*a = 4*a2. Ovi izrazi nisu potrebni za pamćenje, ali značajno ubrzavaju rješavanje zadataka.

Primjer rješenja problema

Navedene formule mogu se koristiti pri traženju dijagonala paralelopipeda.

Da biste pronašli B1D, dovoljno je primijeniti Pitagorin poučak: zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze.