Formula bočne površine cijevi. Kako pronaći površinu cilindra

Postoji veliki broj problema povezanih s cilindrom. U njima morate pronaći polumjer i visinu tijela ili vrstu njegovog presjeka. Osim toga, ponekad morate izračunati površinu cilindra i njegov volumen.

Koje tijelo je cilindar?

U školskom kurikulumu proučava se kružni cilindar, odnosno jedan u bazi. Ali eliptični izgled ove figure također se ističe. Iz naziva je jasno da će njegova baza biti elipsa ili oval.

Cilindar ima dvije baze. Međusobno su jednaki i povezani su segmentima koji spajaju odgovarajuće točke baza. Oni se nazivaju generatori cilindra. Svi generatori su međusobno paralelni i jednaki. Oni čine bočnu površinu tijela.

Općenito, cilindar je nagnuto tijelo. Ako generatori s bazama tvore pravi kut, tada govorimo o ravnom liku.

Zanimljivo je da je kružni cilindar tijelo rotacije. Dobiva se rotiranjem pravokutnika oko jedne njegove stranice.

Glavni elementi cilindra

Glavni elementi cilindra izgledaju ovako.

Visina. To je najkraća udaljenost između baza cilindra. Ako je ravna, tada se visina podudara s generatrisom.
Radius. Poklapa se s onim koji se može nacrtati u podnožju.
Os. Ovo je ravna crta koja sadrži središta obiju baza. Os je uvijek paralelna sa svim generatorima. U ravnom valjku je okomit na baze.
Aksijalni presjek. Nastaje kada valjak siječe ravninu koja sadrži os.
Tangentna ravnina. Prolazi kroz jednu od generatrisa i okomita je na osni presjek koji je povučen kroz tu generatrisu.

Kako je cilindar povezan s prizmom koja je u njega upisana ili opisana oko njega?

Ponekad postoje problemi u kojima je potrebno izračunati površinu cilindra, ali neki elementi pripadajuće prizme su poznati. Kako su te brojke povezane?

Ako je prizma upisana u valjak, tada su njezine baze jednaki poligoni. Štoviše, oni su upisani u odgovarajuće baze cilindra. Bočni bridovi prizme poklapaju se s generatorima.

Opisana prizma ima pravilne poligone u osnovi. Oni su opisani oko krugova valjka, koji su njegove baze. Ravnine koje sadrže plohe prizme svojim generatorima dodiruju cilindar.

Na području bočne površine i baze za desni kružni cilindar

Ako razmotate bočnu površinu, dobit ćete pravokutnik. Njegove strane će se podudarati s generatrixom i opsegom baze. Stoga će bočna površina cilindra biti jednaka proizvodu ove dvije količine. Ako zapišete formulu, dobit ćete sljedeće:

S strana = l * n,

gdje je n generator, l je opseg.

Štoviše, posljednji parametar izračunava se pomoću formule:

l = 2 π * r,

ovdje je r radijus kruga, π je broj "pi" jednak 3,14.

Budući da je baza krug, njegova se površina izračunava pomoću sljedećeg izraza:

S glavni = π * r 2 .

Na površini cijele površine pravog kružnog valjka

Budući da se sastoji od dvije baze i bočne površine, potrebno je zbrojiti ove tri količine. Odnosno, ukupna površina cilindra izračunat će se formulom:

S kat = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Često se piše u drugom obliku:

S kat = 2 π * r (n + r).

Na površinama kosog kružnog valjka

Što se tiče baza, sve formule su iste, jer su i dalje krugovi. Ali bočna površina više ne daje pravokutnik.

Da biste izračunali površinu bočne površine nagnutog cilindra, morat ćete pomnožiti vrijednosti generatrixa i opsega presjeka, koji će biti okomit na odabranu generatrix.

Formula izgleda ovako:

S strana = x * P,

gdje je x duljina generatrise cilindra, P je opseg presjeka.

Usput, bolje je odabrati dio tako da tvori elipsu. Tada će izračuni njegovog opsega biti pojednostavljeni. Duljina elipse izračunava se pomoću formule koja daje približan odgovor. Ali često je dovoljno za zadatke školskog tečaja:

l = π * (a + b),

gdje su "a" i "b" poluosi elipse, odnosno udaljenost od središta do njezine najbliže i najudaljenije točke.

Površina cijele površine mora se izračunati pomoću sljedećeg izraza:

S kat = 2 π * r 2 + x * R.

Koji su dijelovi pravog kružnog valjka?

Kada presjek prolazi kroz os, njegova se površina određuje kao umnožak generatrise i promjera baze. To se objašnjava činjenicom da ima oblik pravokutnika, čije se strane podudaraju s označenim elementima.

Da biste pronašli površinu poprečnog presjeka cilindra koji je paralelan s aksijalnim, trebat će vam i formula za pravokutnik. U ovoj situaciji, jedna od njegovih strana će se i dalje podudarati s visinom, a druga će biti jednaka akordu baze. Potonji se podudara s linijom presjeka duž baze.

Kada je presjek okomit na os, izgleda kao krug. Štoviše, njegova površina je ista kao i baza figure.

Također je moguće presjeći pod nekim kutom u odnosu na os. Tada se presjekom dobije oval ili njegov dio.

Uzorak problema

Zadatak br. 1. Dan je ravni valjak čija je baza 12,56 cm 2 . Potrebno je izračunati ukupnu površinu cilindra ako je njegova visina 3 cm.

Riješenje. Potrebno je koristiti formulu za ukupnu površinu kružnog ravnog cilindra. Ali nedostaju podaci, naime radijus baze. Ali područje kruga je poznato. Iz ovoga je lako izračunati radijus.

Ispada da je jednak kvadratnom korijenu kvocijenta, koji se dobiva dijeljenjem površine baze s pi. Nakon dijeljenja 12,56 s 3,14, rezultat je 4. Kvadratni korijen iz 4 je 2. Stoga će radijus imati ovu vrijednost.

Odgovor: S kat = 50,24 cm 2.

Zadatak br. 2. Cilindar polumjera 5 cm presječen je ravninom paralelnom s osi. Udaljenost od presjeka do osi je 3 cm Visina valjka je 4 cm Treba pronaći površinu presjeka.

Riješenje. Oblik presjeka je pravokutan. Jedna njegova stranica poklapa se s visinom valjka, a druga je jednaka tetivi. Ako je poznata prva količina, onda je potrebno pronaći drugu.

Da biste to učinili, potrebno je napraviti dodatnu konstrukciju. U podnožju nacrtamo dva segmenta. Obojica će početi u središtu kruga. Prvi će završiti u središtu tetive i jednak je poznatoj udaljenosti do osi. Sekunda je na kraju akorda.

Dobit ćete pravokutni trokut. U njemu su poznati hipotenuza i jedna od kateta. Hipotenuza se poklapa s polumjerom. Druga kateta jednaka je polovici tetive. Nepoznati krak pomnožen s 2 dat će željenu duljinu akorda. Izračunajmo njegovu vrijednost.

Da biste pronašli nepoznati krak, morat ćete kvadrirati hipotenuzu i poznati krak, oduzeti drugi od prvog i izvaditi kvadratni korijen. Kvadrati su 25 i 9. Njihova razlika je 16. Nakon vađenja kvadratnog korijena ostaje 4. To je željeni krak.

Tetiva će biti jednaka 4 * 2 = 8 (cm). Sada možete izračunati površinu poprečnog presjeka: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odgovor: S križ je jednak 32 cm 2.

Zadatak br. 3. Potrebno je izračunati površinu aksijalnog presjeka cilindra. Poznato je da je u nju upisana kocka s bridom 10 cm.

Riješenje. Osni presjek valjka poklapa se s pravokutnikom koji prolazi kroz četiri vrha kocke i sadrži dijagonale njegovih baza. Strana kocke je generatrix cilindra, a dijagonala baze podudara se s promjerom. Umnožak ove dvije količine dat će površinu koju trebate pronaći u zadatku.

Da biste pronašli promjer, morat ćete se koristiti spoznajom da je baza kocke kvadrat, a njezina dijagonala čini jednakostranični pravokutni trokut. Njegova hipotenuza je željena dijagonala figure.

Da biste ga izračunali, trebat će vam formula Pitagorinog teorema. Trebate kvadrirati stranicu kocke, pomnožiti je s 2 i izvaditi kvadratni korijen. Deset na drugu potenciju je sto. Pomnoženo s 2 je dvjesto. Kvadratni korijen od 200 je 10√2.

Odsjek je opet pravokutnik sa stranicama 10 i 10√2. Njegova se površina može lako izračunati množenjem ovih vrijednosti.

Odgovor. S presjek = 100√2 cm 2.

Naziv znanosti "geometrija" prevodi se kao "mjerenje Zemlje". Nastao je naporima prvih drevnih upravitelja zemlje. I dogodilo se ovako: tijekom poplava svetog Nila, potoci vode ponekad su ispirali granice poljoprivrednih parcela, a nove granice možda se nisu podudarale sa starim. Seljaci su plaćali poreze u riznicu faraona proporcionalno veličini zemljišne parcele. U mjerenje površina obradivih površina u novim granicama nakon izlijevanja bile su uključene posebne osobe. Kao rezultat njihovih aktivnosti nastala je nova znanost koja se razvila u staroj Grčkoj. Tamo je dobio svoje ime i stekao gotovo moderan izgled. Kasnije je pojam postao međunarodni naziv za znanost o ravnim i trodimenzionalnim figurama.

Planimetrija je grana geometrije koja se bavi proučavanjem ravnih figura. Druga grana znanosti je stereometrija, koja ispituje svojstva prostornih (volumetrijskih) figura. Takve brojke uključuju onu opisanu u ovom članku - cilindar.

Brojni su primjeri prisutnosti cilindričnih predmeta u svakodnevnom životu. Gotovo svi rotirajući dijelovi - osovine, čahure, rukavci, osovine itd. - imaju cilindrični (mnogo rjeđe - stožasti) oblik. Cilindar se također široko koristi u građevinarstvu: tornjevi, potporni stupovi, ukrasni stupovi. I također posuđe, neke vrste ambalaže, cijevi različitih promjera. I na kraju - poznati šeširi, koji su odavno postali simbol muške elegancije. Popis se nastavlja i nastavlja.

Definicija valjka kao geometrijskog lika

Cilindar (kružni cilindar) obično se naziva figura koja se sastoji od dva kruga, koji se po želji kombiniraju paralelnim prijevodom. Ovi krugovi su baze cilindra. Ali linije (ravni segmenti) koje povezuju odgovarajuće točke nazivaju se "generatori".

Bitno je da su osnovice valjka uvijek jednake (ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda imamo krnji stožac, nešto drugo, ali ne valjak) i da su u paralelnim ravninama. Odsječci koji spajaju odgovarajuće točke na kružnicama su paralelni i jednaki.

Skup beskonačnog broja elemenata za oblikovanje nije ništa drugo do bočna površina cilindra - jedan od elemenata dane geometrijske figure. Njegova druga važna komponenta su gore razmotreni krugovi. Nazivaju se bazama.

Vrste cilindara

Najjednostavniji i najčešći tip cilindra je kružni. Formiraju ga dva pravilna kruga koji djeluju kao baze. Ali umjesto njih mogu postojati druge figure.

Osnovice cilindara mogu činiti (osim krugova) elipse i druge zatvorene likove. Ali cilindar ne mora nužno imati zatvoren oblik. Na primjer, baza cilindra može biti parabola, hiperbola ili neka druga otvorena funkcija. Takav cilindar će biti otvoren ili raspoređen.

Prema kutu nagiba cilindri koji čine baze mogu biti ravni ili nagnuti. Za ravni cilindar, generatrise su strogo okomite na ravninu baze. Ako je ovaj kut različit od 90°, cilindar je nagnut.

Što je površina revolucije

Ravni kružni cilindar je bez sumnje najčešća rotacijska površina koja se koristi u inženjerstvu. Ponekad se iz tehničkih razloga koriste konusne, sferne i neke druge vrste površina, ali 99% svih rotirajućih osovina, osi itd. izrađeni su u obliku cilindara. Kako bismo bolje razumjeli što je površina rotacije, možemo razmotriti kako je formiran sam cilindar.

Recimo da postoji određena ravna linija a, smješten okomito. ABCD je pravokutnik čija jedna stranica (odsječak AB) leži na pravcu a. Ako pravokutnik zakrenemo oko pravca, kao što je prikazano na slici, volumen koji će zauzimati dok se okreće bit će naše okretno tijelo - pravi kružni cilindar visine H = AB = DC i polumjera R = AD = BC.

U ovom slučaju, kao rezultat rotacije figure - pravokutnika - dobiva se cilindar. Rotacijom trokuta možete dobiti stožac, rotacijom polukruga - loptu itd.

Površina cilindra

Da bi se izračunala površina običnog pravog kružnog valjka, potrebno je izračunati površine baza i bočnih ploha.

Prvo, pogledajmo kako se izračunava bočna površina. Ovo je umnožak opsega cilindra i visine cilindra. Opseg je pak jednak dvostrukom umnošku univerzalnog broja P polumjerom kruga.

Poznato je da je površina kruga jednaka proizvodu P po kvadratnom radijusu. Dakle, zbrajanjem formula za površinu bočne plohe s dvostrukim izrazom za površinu baze (ima ih dvije) i izvođenjem jednostavnih algebarskih transformacija, dobivamo konačni izraz za određivanje površine cilindra.

Određivanje volumena figure

Volumen cilindra određuje se prema standardnoj shemi: površina baze pomnožena je s visinom.

Dakle, konačna formula izgleda ovako: željena vrijednost je definirana kao umnožak visine tijela s univerzalnim brojem P a kvadratom polumjera baze.

Mora se reći da je dobivena formula primjenjiva na rješavanje najneočekivanijih problema. Na isti način kao i volumen cilindra, na primjer, određuje se volumen električne instalacije. Ovo može biti potrebno za izračunavanje mase žica.

Jedina razlika u formuli je da umjesto radijusa jednog cilindra postoji promjer žice žice podijeljen na pola i broj niti u žici pojavljuje se u izrazu N. Također, umjesto visine, koristi se dužina žice. Na taj način se volumen "cilindra" izračunava ne samo po jednoj, već i po broju žica u pletenici.

Takvi izračuni često su potrebni u praksi. Uostalom, značajan dio spremnika za vodu izrađen je u obliku cijevi. I često je potrebno izračunati volumen cilindra čak iu kućanstvu.

Međutim, kao što je već spomenuto, oblik cilindra može biti drugačiji. A u nekim slučajevima potrebno je izračunati koliki je volumen nagnutog cilindra.

Razlika je u tome što se površina baze ne množi s duljinom generatrixa, kao u slučaju ravnog cilindra, već s udaljenosti između ravnina - okomitog segmenta izgrađenog između njih.

Kao što se može vidjeti sa slike, takav segment jednak je umnošku duljine generatrixa i sinusa kuta nagiba generatrixa prema ravnini.

Kako izgraditi razvijanje cilindra

U nekim slučajevima potrebno je izrezati snop cilindra. Na donjoj slici prikazana su pravila prema kojima se konstruira praznina za izradu cilindra zadane visine i promjera.

Imajte na umu da je crtež prikazan bez šavova.

Razlike između skošenog cilindra

Zamislimo određeni ravni cilindar, s jedne strane omeđen ravninom okomitom na generatore. Ali ravnina koja omeđuje cilindar s druge strane nije okomita na generatore i nije paralelna s prvom ravninom.

Na slici je prikazan ukošeni cilindar. Avion A pod određenim kutom, različitim od 90° prema generatorima, siječe lik.

Ovaj geometrijski oblik se u praksi češće nalazi u obliku cjevovodnih spojeva (koljena). Ali postoje čak i zgrade izgrađene u obliku ukošenog cilindra.

Geometrijske karakteristike kosog cilindra

Nagib jedne od ravnina ukošenog cilindra malo mijenja postupak izračuna i površine takve figure i njenog volumena.

Površina cilindra. U ovom ćemo članku pogledati zadatke vezane uz površinu. Blog je već obradio zadatke s tijelom rotacije kao što je stožac. Cilindar također pripada tijelima rotacije. Što je potrebno i potrebno znati o površini cilindra? Pogledajmo razvoj cilindra:

Gornja i donja baza su dva jednaka kruga:

Bočna površina je pravokutnik. Štoviše, jedna stranica ovog pravokutnika jednaka je visini valjka, a druga je jednaka opsegu baze. Dopustite mi da vas podsjetim da je opseg kruga:

Dakle, formula za površinu cilindra je:

*Nema potrebe učiti ovu formulu! Dovoljno je znati formule za površinu kruga i duljinu njegova opsega, a zatim uvijek možete zapisati navedenu formulu. Razumijevanje je važno! Razmotrimo zadatke:

Opseg baze cilindra je 3. Bočna površina je 6. Pronađite visinu i površinu cilindra (pretpostavite da je Pi 3,14 i zaokružite rezultat na najbližu desetinu).

Ukupna površina cilindra:

Dati su opseg baze i bočna površina cilindra. Odnosno, dana nam je površina pravokutnika i jedna od njegovih strana, moramo pronaći drugu stranu (ovo je visina cilindra):

Potreban je radijus i tada možemo pronaći navedeno područje.

Opseg baze jednak je tri, a zatim pišemo:

Tako

Zaokružujući na najbližu desetinu, dobivamo 7,4.

Odgovor: h = 2; S = 7,4

Bočna površina cilindra je 72Pi, a promjer baze je 9. Nađite visinu cilindra.

Sredstva

Odgovor: 8

Bočna površina cilindra je 64Pi, a visina 8. Pronađite promjer baze.

Bočna površina cilindra nalazi se formulom:

Promjer je jednak dvama polumjerima, što znači:

Odgovor: 8

27058. Polumjer baze valjka je 2, a visina 3. Nađite bočnu površinu cilindra podijeljenu s Pi.

27133. Opseg baze cilindra je 3, visina je 2. Nađite površinu bočne površine cilindra.

Formula radijusa cilindra:
gdje je V volumen cilindra, h visina

Cilindar je geometrijsko tijelo koje se dobije rotiranjem pravokutnika oko njegove stranice. Također, valjak je tijelo omeđeno cilindričnom plohom i dvije paralelne ravnine koje je sijeku. Ova površina nastaje kada se ravna linija pomiče paralelno sama sa sobom. U tom slučaju odabrana točka pravca kreće se duž određene ravninske krivulje (vodilice). Taj se pravac naziva generatorom cilindrične plohe.
Formula radijusa cilindra:
gdje je Sb bočna površina, h je visina

To je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindričnom plohom.

Cilindar se sastoji od bočne plohe i dvije baze. Formula za površinu cilindra uključuje zasebni izračun površine baze i bočne površine. Budući da su baze u cilindru jednake, njegova ukupna površina izračunat će se po formuli:

Razmotrit ćemo primjer izračuna površine cilindra nakon što znamo sve potrebne formule. Prvo nam je potrebna formula za površinu baze cilindra. Budući da je baza cilindra krug, morat ćemo primijeniti:
Podsjećamo da se u ovim izračunima koristi konstantni broj Π = 3,1415926, koji se izračunava kao omjer opsega kruga i njegovog promjera. Ovaj broj je matematička konstanta. Također ćemo malo kasnije pogledati primjer izračuna površine baze cilindra.

Bočna površina cilindra

Formula za površinu bočne površine cilindra je proizvod duljine baze i njegove visine:

Sada pogledajmo problem u kojem trebamo izračunati ukupnu površinu cilindra. Na datoj slici visina je h = 4 cm, r = 2 cm. Nađimo ukupnu površinu cilindra.
Prvo, izračunajmo površinu baza:
Sada pogledajmo primjer izračuna površine bočne površine cilindra. Kada se raširi, predstavlja pravokutnik. Njegova se površina izračunava pomoću gornje formule. Zamijenimo sve podatke u njega:
Ukupna površina kruga je zbroj dvostruke površine baze i stranice:

Dakle, koristeći formule za površinu baza i bočnu površinu figure, uspjeli smo pronaći ukupnu površinu cilindra.
Osni presjek valjka je pravokutnik kojemu su stranice jednake visini i promjeru valjka.

Formula za površinu aksijalnog presjeka cilindra izvedena je iz formule za izračun:

Svidio vam se članak? Podijeli

Ispiši ovaj članak