Asimptota grafa funkcije y = f(x) je ravna linija koja ima svojstvo da udaljenost od točke (x, f(x)) do ove ravne linije teži nuli kako se točka grafikona neograničeno pomiče od ishodišta.

Na slici 3.10. dati su grafički primjeri vertikalna, horizontalna I sklona asimptota.

Pronalaženje asimptota grafa temelji se na sljedeća tri teorema.

Teorem o vertikalnoj asimptoti. Neka je funkcija y = f(x) definirana u određenoj okolini točke x 0 (moguće isključujući samu točku) i neka je barem jedna od jednostranih limesa funkcije jednaka beskonačnosti, tj. Tada je pravac x = x 0 okomita asimptota grafa funkcije y = f(x).

Očito, pravac x = x 0 ne može biti vertikalna asimptota ako je funkcija kontinuirana u točki x 0, jer u tom slučaju . Posljedično, vertikalne asimptote treba tražiti na točkama diskontinuiteta funkcije ili na krajevima njezine definicijske domene.

Teorem o horizontalnoj asimptoti. Neka je funkcija y = f(x) definirana za dovoljno velik x i neka postoji konačna granica funkcije. Tada je pravac y = b vodoravna asimptota grafa funkcije.

Komentar. Ako je samo jedna granica konačna, tada funkcija ima, prema tome, ljevoruk ili desnostrani horizontalna asimptota.

U slučaju da , funkcija može imati kosu asimptotu.

Teorem o kosim asimptotama. Neka je funkcija y = f(x) definirana za dovoljno velik x i neka postoje konačne granice . Tada je pravac y = kx + b kosa asimptota grafa funkcije.

Nema dokaza.

Kosa asimptota, kao i horizontalna, može biti desna ili lijeva ako je osnova odgovarajućih granica beskonačnost određenog predznaka.

Proučavanje funkcija i konstruiranje njihovih grafova obično uključuje sljedeće korake:

1. Odredite domenu definicije funkcije.

2. Ispitajte funkciju za paritet par-nepar.

3. Odredite vertikalne asimptote ispitujući točke diskontinuiteta i ponašanje funkcije na granicama domene definicije, ako su one konačne.

4. Pronađite horizontalne ili kose asimptote ispitujući ponašanje funkcije u beskonačnosti.

5. Naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije.

6. Odredite intervale konveksnosti funkcije i točke infleksije.

7. Pronađite točke presjeka s koordinatnim osima i, eventualno, neke dodatne točke koje pojašnjavaju graf.

Funkcijski diferencijal

Može se dokazati da ako funkcija ima limit jednak konačnom broju za određenu bazu, tada se može prikazati kao zbroj tog broja i infinitezimalne vrijednosti za istu bazu (i obrnuto): .

Primijenimo ovaj teorem na diferencijabilnu funkciju: .

Dakle, prirast funkcije Du sastoji se od dva člana: 1) linearnog u odnosu na Dh, tj. f `(x)Dh; 2) nelinearni u odnosu na Dx, tj. a(Dx)Dh. Istovremeno, budući da , ovaj drugi izraz je infinitezimal višeg reda od Dx (kako Dx teži nuli, teži nuli još brže).

Diferencijal funkcije naziva se glavni, linearni u odnosu na Dx dio prirasta funkcije, jednak umnošku izvod za prirast nezavisne varijable dy = f `(x)Dx.

Nađimo diferencijal funkcije y = x.

Kako je dy = f `(x)Dh = x`Dh = Dh, onda je dx = Dh, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable.

Stoga se formula za diferencijal funkcije može napisati kao dy = f `(x)dh. Zato je jedna od oznaka za derivat razlomak dy/dh.

Geometrijsko značenje diferencijalno ilustrirano
Slika 3.11. Uzmimo proizvoljnu točku M(x, y) na grafu funkcije y = f(x). Dajmo argumentu x prirast Dx. Tada će funkcija y = f(x) dobiti prirast Dy = f(x + Dh) - f(x). Povucimo tangentu na graf funkcije u točki M koja s pozitivnim smjerom osi apscisa zaklapa kut a, tj. f `(x) = tan a. Iz pravokutni trokut MKN
KN = MN*tg a = Dh*tg a = f `(x)Dh = dy.

Dakle, diferencijal funkcije je priraštaj ordinate tangente povučene na graf funkcije u danoj točki kada x dobije priraštaj Dx.

Svojstva diferencijala su u osnovi ista kao svojstva derivata:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Međutim, postoji važno svojstvo diferencijala funkcije koje njegova derivacija nema - to je invarijantnost diferencijalnog oblika.

Iz definicije diferencijala za funkciju y = f(x), diferencijal dy = f `(x)dh. Ako je ova funkcija y kompleksna, tj. y = f(u), gdje je u = j(x), tada je y = f i f `(x) = f `(u)*u`. Tada je dy = f `(u)*u`dh. Ali za funkciju
u = j(x) diferencijal du = u`dh. Stoga je dy = f `(u)*du.

Uspoređujući jednakosti dy = f `(x)dh i dy = f `(u)*du, uvjeravamo se da se diferencijalna formula ne mijenja ako umjesto funkcije nezavisne varijable x uzmemo u obzir funkciju zavisna varijabla u. Ovo svojstvo diferencijala naziva se nepromjenjivost (tj. nepromjenjivost) oblika (ili formule) diferencijala.

Međutim, još uvijek postoji razlika u ove dvije formule: u prvoj je razlika nezavisne varijable jednaka prirastu ove varijable, tj. dx = Dx, a drugo, diferencijal funkcije du je samo linearni dio prirasta ove funkcije Du i to samo za male Dx du » Du.

- (od grčkog negativni dio., i symptotos koji se podudaraju zajedno). Ravna linija koja se stalno približava krivulji i susreće je tek u beskonačnosti. Rječnik strane riječi, uključen u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. ASIMPTOT iz... ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika

ASIMPTOTA- (od grčkog asymptotos nepoklapanje), ravna linija kojoj se neograničeno približava beskonačna grana krivulje, na primjer asimptota hiperbole ... Moderna enciklopedija

ASIMPTOTA- (od grčkog asymptotosa koji se ne podudara) krivulja s beskonačnom granom, ravna linija kojoj se ova grana približava bez ograničenja, na primjer, asimptota hiperbole ... Veliki enciklopedijski rječnik

asimptota- Ravna linija s krivuljom koja joj se postupno približava. asimptota Ravna linija prema kojoj krivulja neke funkcije, koja ima beskonačnu granu, teži (a da je nikada ne dosegne) kada njen argument raste bez ograničenja ili... Vodič za tehničke prevoditelje

Asimptota- (od grč. asymptotos nepoklapanje), ravna crta kojoj se neograničeno približava beskonačna grana krivulje, npr. asimptota hiperbole. ... Ilustrirani enciklopedijski rječnik

ASIMPTOTA- ženski, geom. ravna linija, koja se uvijek približava krivulji (hiperbola), ali nikad ne konvergira s njom. Primjer koji objašnjava ovo: ako se bilo koji broj podijeli na pola, onda će se smanjiti do beskonačnosti, ali nikada neće postati nula.... ... Rječnik Dahl

asimptota- imenica, broj sinonima: 1 red (182) ASIS Rječnik sinonima. V.N. Trishin. 2013… Rječnik sinonima

Asimptota- (od grčkih riječi: a, sunce, piptw) neusklađeno. Pod simptomom se misli na liniju koja se, neograničeno produžujući, približava danoj zakrivljenoj liniji ili nekom njezinom dijelu tako da udaljenost između zajedničkih linija postaje manja... ...

Asimptota- površina je ravna crta koja siječe površinu u najmanje dvije točke u beskonačnosti... Enciklopedija Brockhausa i Efrona

ASIMPTOTA- (asimptota) Vrijednost kojoj ova funkcija teži pri promjeni argumenta (argumenta), ali je ne postiže ni za jednu konačnu vrijednost argumenta. Na primjer, ako je ukupni trošak outputa x dan funkcijom TC=a+bx, gdje su a i b konstante... Ekonomski rječnik

Asimptota- ravna linija kojoj krivulja neke funkcije teži (a da je nikad ne dosegne), imajući beskonačnu granu, kada njen argument neograničeno raste ili opada. Na primjer, u funkciji: y = c + 1/x vrijednost y se približava s... ... Ekonomsko-matematički rječnik

1. Pojam asimptota

Jedna od važnih faza konstruiranja grafova funkcija je traženje asimptota. Više puta smo se susreli s asimptotama: pri konstruiranju grafova funkcija, y=tgx, y=stgx. Definirali smo ih kao linije kojima graf funkcije "teži", ali ih nikada ne prelazi. Vrijeme je davanja precizna definicija asimptota.

Postoje tri vrste asimptota: okomite, vodoravne i kose. Na crtežu se asimptote obično označavaju isprekidanim linijama.

Razmotrimo sljedeći umjetno konstruirani graf funkcije (slika 16.1), čiji primjer pokazuje sve vrste asimptota:

Definirajmo svaku vrstu asimptote:

1. Izravno x=a nazvao vertikalna asimptota funkcionira ako .

2. Izravno y=c nazvao horizontalna asimptota funkcionira ako .

3. Izravno y=kx+b nazvao kosa asimptota funkcionira ako .

Geometrijski, definicija kose asimptote znači da se na →∞ graf funkcije približava ravnoj liniji onoliko blizu koliko želite y=kx+b, tj. gotovo su identični. Razlika između praktički identičnih izraza teži nuli.

Imajte na umu da se horizontalne i kose asimptote razmatraju samo pod uvjetom →∞. Ponekad se razlikuju u horizontalne i kose asimptote na →+∞ i →-∞.

1. Algoritam za traženje asimptota

Da biste pronašli asimptote, možete koristiti sljedeći algoritam:

Može postojati jedna, više ili nijedna vertikalna asimptota.

• Ako je c broj, tada y=c– horizontalna asimptota;
• Ako je c beskonačno, tada nema horizontalnih asimptota.

Ako je funkcija omjer dvaju polinoma, onda ako funkcija ima horizontalne asimptote, nećemo tražiti kose asimptote - one ne postoje.

Pogledajmo primjere pronalaženja asimptota funkcije:

Primjer 16.1. Pronađite asimptote krivulje.

Riješenje x-1≠0; x≠1.

Provjerimo je li linija ravna x= 1 vertikalna asimptota. Da bismo to učinili, izračunavamo limit funkcije u točki x= 1: .

x= 1 - vertikalna asimptota.

S= .

S= = . Jer S=2 (broj), dakle y=2– horizontalna asimptota.

Budući da je funkcija omjer polinoma, ako postoje vodoravne asimptote, tvrdimo da nema kosih asimptota.

x= 1 i horizontalna asimptota y=2. Radi jasnoće, graf ove funkcije prikazan je na slici. 16.2.

Primjer 16.2. Pronađite asimptote krivulje.

Riješenje. 1. Pronađite domenu definicije funkcije: x-2≠0; x≠2.

Provjerimo je li linija ravna x= 2 vertikalna asimptota. Da bismo to učinili, izračunavamo limit funkcije u točki x= 2: .

Dobili smo to, dakle, x= 2 - vertikalna asimptota.

2. Za traženje horizontalnih asimptota nalazimo: S= .

Budući da se nesigurnost pojavljuje u limitu, koristimo L'Hopitalovo pravilo: S= = . Jer S– beskonačno, tada nema horizontalnih asimptota.

3. Za traženje kosih asimptota nalazimo:

Dobili smo nesigurnost oblika , upotrijebimo L'Hopitalovo pravilo: = = 1. Dakle, 1. Nađimo b prema formuli: .

b= = =

Kužim to b= 2. Zatim y=kx+b – kosa asimptota. U našem slučaju to izgleda ovako: y=x+2.

Riža. 16.3

Dakle, ova funkcija ima vertikalnu asimptotu x= 2 i kosa asimptota y=x+2. Radi jasnoće, graf funkcije je prikazan na sl. 16.3.

Kontrolna pitanja:

Predavanje 17. OPĆA SHEMA ZA PROUČAVANJE FUNKCIJE I KONSTRUKCIJU GRAFA

U ovom predavanju ćemo rezimirati sve prethodno proučeno gradivo. Konačni cilj našeg dugog putovanja je biti u stanju ispitati bilo koju analitički zadanu funkciju i izgraditi njezin graf. Važni dijelovi našeg istraživanja bit će proučavanje funkcije za ekstreme, određivanje intervala monotonosti, konveksnosti i konkavnosti grafa, traženje točaka infleksije i asimptota grafa funkcije.

Uzimajući u obzir sve gore navedene aspekte, predstavljamo shema za proučavanje funkcije i crtanje grafa .

1. Odredite domenu definicije funkcije.

2. Ispitajte funkciju za par-nepar paritet:

· ako je , tada je funkcija parna (graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os OU);

· ako je , tada je funkcija neparna (graf neparna funkcija simetričan u odnosu na podrijetlo);

· inače funkcija nije ni parna ni neparna.

3. Istražite periodičnost funkcije (od funkcija koje proučavamo samo trigonometrijske funkcije mogu biti periodične).

4. Odredite sjecišne točke grafa funkcije s koordinatnim osima:

· Oh: na=0 (jednadžbu rješavamo samo ako možemo koristiti nama poznate metode);

· OU: x=0.

5. Nađi prvu derivaciju funkcije i kritične točke prve vrste.

6. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

7. Naći drugu derivaciju funkcije i kritične točke druge vrste.

8. Odredite intervale konveksnosti-konkavnosti grafa funkcije i točke infleksije.

9. Odredite asimptote grafa funkcije.

10. Konstruirajte graf funkcije. Prilikom gradnje morate uzeti u obzir slučajevi mogućeg položaja grafa u blizini asimptota :

11. Ako je potrebno, odaberite kontrolne točke za točniju konstrukciju.

Razmotrimo shemu za proučavanje funkcije i konstruiranje njezinog grafikona koristeći konkretne primjere:

Primjer 17.1. Grafički nacrtajte funkciju.

Riješenje. 1. Ova je funkcija definirana na cijelom brojevnom pravcu osim x=3, jer u ovom trenutku nazivnik ide na nulu.

2. Da bismo odredili je li funkcija parna ili neparna, nalazimo:

Vidimo da i, prema tome, nije ni parna ni neparna funkcija.

3. Funkcija je neperiodična.

4. Pronađite točke presjeka s koordinatnim osima. Da biste pronašli točku sjecišta s osi Oh prihvatimo na=0. Dobivamo jednadžbu: . Dakle, točka (0; 0) je točka presjeka s koordinatnim osima.

5. Nađimo izvod funkcije pomoću pravila diferenciranja razlomaka: = = = = .

Da bismo pronašli kritične točke, nalazimo točke u kojima je derivacija funkcije jednaka 0 ili ne postoji.

Ako je =0, dakle . Umnožak je tada jednak 0 kada je barem jedan od faktora jednak 0: ili .

x-3) 2 je jednako 0, tj. ne postoji kada x=3.

Dakle, funkcija ima tri kritične točke prve vrste: ; ; .

6. Na brojevnoj osi označimo kritične točke prve vrste, a točku označimo ubodnom točkom, jer funkcija u njemu nije definirana.

Na svaki interval stavljamo znakove izvoda =:

t.min

t.max

Na intervalima gdje , originalna funkcija raste (pri (-∞;0]), gdje - opada (pri ).

Točka x=0 je najveća točka funkcije. Da bismo pronašli maksimum funkcije, nalazimo vrijednost funkcije u točki 0: .

Točka x=6 je minimalna točka funkcije. Da bismo pronašli minimum funkcije, nalazimo vrijednost funkcije u točki 6: .

Rezultati istraživanja mogu se unijeti u tablicu. Broj redaka u tablici je fiksan i jednak je četiri, a broj stupaca ovisi o funkciji koja se proučava. U ćelije prvog retka redoslijedom se upisuju intervali na koje kritične točke dijele područje definicije funkcije, uključujući i same kritične točke. Kako biste izbjegli pogreške prilikom konstruiranja točaka koje ne pripadaju domeni definicije, ne možete ih uključiti u tablicu.

U drugom retku tablice nalaze se predznaci derivacije na svakom od promatranih intervala i vrijednost derivacije u kritičnim točkama. Sukladno predznacima derivacije funkcije, u trećem retku označeni su intervali rasta, opadanja i ekstrema funkcije.

Zadnji redak služi za označavanje maksimuma i minimuma funkcije.

x	(-∞;0)		(0;3)		(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-		-		+
f(x)
zaključke		max				min

7. Nađimo drugu derivaciju funkcije kao derivaciju prve derivacije: = =

Stavimo to u brojnik x-3 za zagrade i izvršite smanjenje:

Navedimo slične pojmove u brojniku: .

Nađimo kritične točke druge vrste: točke u kojima je druga derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.

0 ako je =0. Ovaj razlomak ne može biti jednak nuli, stoga ne postoje točke u kojima je druga derivacija funkcije jednaka nuli.

Ne postoji ako je nazivnik ( x-3) 3 je jednako 0, tj. ne postoji kada x=3. :Oh , OU, ishodište, mjerne jedinice za svaku os.

Prije iscrtavanja funkcije potrebno je:

Nacrtajte asimptote isprekidanim linijama;

· označiti točke presjeka s koordinatnim osima;

Riža. 17.1

označiti maksimum i minimum funkcije, a preporuča se maksimum i minimum funkcije označiti izravno na crtežu lukovima: k ili ;

· pomoću dobivenih podataka o intervalima rasta, opadanja, konveksnosti i konkavnosti konstruirati graf funkcije. Grane grafa trebale bi "težiti" asimptotama, ali ih ne sijeći.

· provjeriti odgovara li graf funkcije provedenom istraživanju: ako je funkcija parna ili neparna, postoji li simetrija; Odgovaraju li intervali povećanja i smanjenja, konveksnosti i konkavnosti te točke infleksije teorijski utvrđenim?

11. Za točniju konstrukciju možete odabrati nekoliko kontrolnih točaka. Na primjer, pronađimo vrijednosti funkcije u točkama -2 i 7:

Raspored prilagođavamo uzimajući u obzir kontrolne točke.

Kontrolna pitanja:

1. Koji je algoritam za crtanje grafa funkcije?
2. Može li funkcija imati ekstrem u točkama izvan svoje domene definicije?

POGLAVLJE 3. 3. INTEGRALNI RAČUN FUNKCIJE

Koliko asimptota može imati graf funkcije?

Ne jedan, jedan, dva, tri,... ili beskonačno mnogo. Nećemo ići daleko s primjerima, sjetimo se elementarnih funkcija. Parabola, kubna parabola i sinusni val uopće nemaju asimptote. Graf eksponencijalne, logaritamske funkcije ima jednu asimptotu. Arktangens i arkotangens ih imaju dva, a tangens i kotangens beskonačno mnogo. Nije neuobičajeno da graf ima horizontalne i vertikalne asimptote. Hiperbola, uvijek ću te voljeti.

Što znači pronaći asimptote grafa funkcije?

To znači smišljanje njihovih jednadžbi i crtanje ravnih linija ako to problem zahtijeva. Proces uključuje pronalaženje granica funkcije.

Vertikalne asimptote grafa funkcije

Vertikalna asimptota grafa, u pravilu, nalazi se u točki beskonačnog diskontinuiteta funkcije. Jednostavno je: ako u nekoj točki funkcija trpi beskonačni diskontinuitet, tada je ravna linija određena jednadžbom okomita asimptota grafa.

Napomena: Imajte na umu da se unos odnosi na dva potpuno različita koncepta. Da li se podrazumijeva točka ili jednadžba pravca ovisi o kontekstu.

Dakle, da bi se utvrdila prisutnost vertikalne asimptote u točki, dovoljno je pokazati da je barem jedna od jednostranih granica beskonačna. Najčešće je to točka u kojoj je nazivnik funkcije nula. Uglavnom, vertikalne asimptote smo već pronašli u zadnjim primjerima lekcije o neprekidnosti funkcije. Ali u nekim slučajevima postoji samo jedna jednostrana granica, a ako je beskonačna, onda opet - volite i favorizirajte vertikalnu asimptotu. Najjednostavniji prikaz: i ordinatna os.

Iz navedenog proizlazi i očita činjenica: ako je funkcija kontinuirana on, tada nema vertikalnih asimptota. Iz nekog razloga parabola mi je pala na pamet. Stvarno, gdje ovdje možete "zalijepiti" ravnu liniju? ...da... razumijem... Sljedbenici strica Freuda postali su histerični =)

Obratna tvrdnja općenito je netočna: npr. funkcija nije definirana na cijelom brojevnom pravcu, već je potpuno lišena asimptota.

Nagnute asimptote grafa funkcije

Kose (kao poseban slučaj - horizontalne) asimptote mogu se crtati ako argument funkcije teži "plus beskonačno" ili "minus beskonačno". Dakle, graf funkcije ne može imati više od 2 nagnute asimptote. Na primjer, graf eksponencijalne funkcije ima jednu horizontalnu asimptotu u, a graf arktangensa u ima dvije takve asimptote, i to različite.

Kada se graf na oba mjesta približi jednoj kosoj asimptoti, uobičajeno je kombinirati "beskonačnosti" pod jednim unosom. Na primjer, ...točno ste pogodili: .

Upravo je ovako formuliran tipični zadatak, a uključuje pronalaženje SVIH asimptota grafa (okomitih, nagnutih/vodoravnih). Iako, da budemo precizniji u postavljanju pitanja, govorimo o istraživanju prisutnosti asimptota (uostalom, možda ih uopće nema).

Počnimo s nečim jednostavnim:

Primjer 1

Riješenje Pogodno je podijeliti ga u dvije točke:

1) Prvo provjeravamo postoje li vertikalne asimptote. Nazivnik ide na nulu na , i odmah je jasno da u ovom trenutku funkcija trpi beskrajni jaz, a ravna crta dana jednadžbom je vertikalna asimptota grafa funkcije. No, prije nego što se donese takav zaključak, potrebno je pronaći jednostrana ograničenja:

Podsjećam vas na tehniku ​​izračuna na koju sam se također usredotočio u članku kontinuitet funkcije. Prijelomne točke. U izrazu ispod znaka granice zamijenimo . U brojniku nema ništa zanimljivo:
.

Ali u nazivniku ispada infinitezimalni negativni broj:
, određuje sudbinu granice.

Lijeva granica je beskonačna i, u načelu, već je moguće donijeti presudu o prisutnosti vertikalne asimptote. Ali jednostrana ograničenja nisu potrebna samo za to - ona POMAŽU RAZUMIJEVATI KAKO locirati graf funkcije i izgraditi ga ISPRAVNO. Stoga moramo izračunati i desnu granicu:

Zaključak: jednostrane granice su beskonačne, što znači da je pravac okomita asimptota grafa funkcije na .

Prva granica konačan, što znači da je potrebno „nastaviti razgovor“ i pronaći drugu granicu:

I druga granica konačan.

Dakle, naša asimptota je:

Zaključak: ravna crta dana jednadžbom horizontalna je asimptota grafa funkcije na .

Za pronalaženje horizontalne asimptote možete koristiti pojednostavljenu formulu:

Ako postoji konačna granica, tada je ravna linija horizontalna asimptota grafa funkcije na .

Lako je vidjeti da brojnik i nazivnik funkcije isti red rasta, što znači da će tražena granica biti konačna:

Odgovor:

Prema stanju, ne trebate dovršiti crtež, ali ako je u punom jeku proučavanje funkcije, zatim na nacrtu odmah napravimo skicu:

Na temelju tri pronađene granice pokušajte sami zaključiti kako bi se mogao nalaziti graf funkcije. Je li uopće teško? Pronađite 5-6-7-8 točaka i označite ih na crtežu. Međutim, graf ove funkcije je konstruiran pomoću transformacije grafa elementarne funkcije, a čitatelji koji su pažljivo proučili primjer 21 gornjeg članka mogu lako pogoditi o kakvoj se krivulji radi.

Primjer 2

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo je primjer za neovisna odluka. Dopustite mi da vas podsjetim da je proces prikladno podijeljen u dvije točke - okomite asimptote i kose asimptote. U rješenju uzorka horizontalna asimptota nalazi se pomoću pojednostavljene sheme.

U praksi se najčešće susreću frakcijsko-racionalne funkcije, a nakon vježbanja na hiperbolama zakomplicirat ćemo zadatak:

Primjer 3

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: Jedan, dva i gotovo:

1) Smještene su okomite asimptote u točkama beskonačnog diskontinuiteta, pa morate provjeriti ide li nazivnik na nulu. Odlučimo se kvadratna jednadžba :

Diskriminanta je pozitivna, pa jednadžba ima dva realna korijena, a rad je značajno povećan =)

Kako bi se dalje pronalazile jednostrane granice, zgodno je faktorizirati kvadratni trinom:
(za kompaktni zapis, "minus" je uključen u prvu zagradu). Da bismo bili sigurni, provjerimo otvaranjem zagrada mentalno ili na propuhu.

Prepišimo funkciju u obliku

Pronađimo jednostrana ograničenja u točki:

I na mjestu:

Dakle, ravne linije su vertikalne asimptote grafa dotične funkcije.

2) Ako pogledate funkciju , tada je sasvim očito da će granica biti konačna i da imamo horizontalnu asimptotu. Pokažimo njegovu prisutnost ukratko:

Dakle, pravac (apscisna os) je horizontalna asimptota grafa ove funkcije.

Odgovor:

Pronađene granice i asimptote daju mnogo informacija o grafu funkcije. Pokušajte mentalno zamisliti crtež uzimajući u obzir sljedeće činjenice:

Skicirajte svoju verziju grafikona na nacrtu.

Naravno, pronađene granice ne određuju jasno izgled grafikona i možete pogriješiti, ali sama vježba pružit će neprocjenjivu pomoć tijekom studija pune funkcije. Točna slika je na kraju lekcije.

Primjer 4

Odredite asimptote grafa funkcije

Primjer 5

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo su zadaci za samostalno rješavanje. Oba grafa ponovno imaju horizontalne asimptote, koje se odmah otkrivaju po sljedećim značajkama: u primjeru 4 red rasta nazivnik je veći od reda rasta brojnika, au primjeru 5 brojnik i nazivnik isti red rasta. U rješenju uzorka, prva funkcija se ispituje na prisutnost kosih asimptota u cijelosti, a druga - kroz granicu.

Horizontalne asimptote, po mom subjektivnom dojmu, primjetno su češće od onih koje su "stvarno nagnute". Dugo očekivani opći slučaj:

Primjer 6

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: klasici žanra:

1) Budući da je nazivnik pozitivan, tada funkcija stalan duž cijelog brojevnog pravca, a nema okomitih asimptota. …Je li to dobro? Nije prava riječ - izvrsno! Točka broj 1 je zatvorena.

2) Provjerimo prisutnost kosih asimptota:

Prva granica konačan, pa idemo dalje. Tijekom izračuna drugog ograničenja eliminirati neizvjesnost "beskonačno minus beskonačno" Dovodimo izraz do zajedničkog nazivnika:

I druga granica konačan dakle, graf dotične funkcije ima kosu asimptotu:

Zaključak:

Dakle, kada je graf funkcije beskrajno blizu približava ravnoj liniji:

Imajte na umu da on siječe svoju kosu asimptotu u ishodištu, a takve sjecišne točke su sasvim prihvatljive - važno je da je u beskonačnosti "sve normalno" (zapravo, ovdje govorimo o asimptotama).

Primjer 7

Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje: Nema se što posebno komentirati, pa ću nacrtati približan primjer čistog rješenja:

1) Vertikalne asimptote. Istražimo poantu.

Ravna linija je okomita asimptota za graf na .

2) Kose asimptote:

Ravna linija je nagnuta asimptota za graf na .

Odgovor:

Pronađene jednostrane granice i asimptote omogućuju nam da s velikom pouzdanošću predvidimo kako izgleda graf ove funkcije. Ispravno crtanje na kraju lekcije.

Primjer 8

Odredite asimptote grafa funkcije

Ovo je primjer za neovisno rješenje; radi praktičnosti izračuna nekih granica, možete podijeliti brojnik s nazivnikom član po član. Opet, kada analizirate svoje rezultate, pokušajte nacrtati grafikon ove funkcije.

Očito su vlasnici “pravih” kosih asimptota grafovi onih razlomačkih racionalnih funkcija čiji je najveći stupanj brojnika još jedan najviši stupanj nazivnika. Ako je više, više neće biti kose asimptote (npr. ).

Ali u životu se događaju i druga čuda:

Primjer 9

Riješenje: funkcija stalan na cijelom brojevnom pravcu, što znači da nema okomitih asimptota. Ali možda ima i sklonih. Provjeravamo:

Sjećam se kako sam na sveučilištu naišao na sličnu funkciju i jednostavno nisam mogao vjerovati da ima kosu asimptotu. Dok nisam izračunao drugu granicu:

Strogo govoreći, ovdje postoje dvije nesigurnosti: i , ali na ovaj ili onaj način morate koristiti metodu rješenja, o kojoj se govori u primjerima 5-6 članka o granicama povećane složenosti. Množimo i dijelimo s konjugiranim izrazom da bismo koristili formulu:

Odgovor:

Možda najpopularnija kosa asimptota.

Do sada se beskonačnost "rezala istim kistom", ali se događa da graf funkcije dvije različite kose asimptote na i na:

Primjer 10

Ispitajte graf funkcije na prisutnost asimptota

Riješenje: radikalni izraz je pozitivan, što znači domena- vrijedi bilo koji broj i ne mogu biti okomite palice.

Provjerimo postoje li kose asimptote.

Ako "x" teži "minus beskonačno", tada:
(kada dodajete "X" ispod kvadratnog korijena, morate dodati znak "minus" kako ne biste izgubili negativnost nazivnika)

Izgleda neobično, ali ovdje je neizvjesnost "beskonačno minus beskonačno". Pomnožite brojnik i nazivnik s konjugiranim izrazom:

Dakle, ravna linija je nagnuta asimptota grafa na .

S "plus beskonačno" sve je trivijalnije:

A pravac je na .

Odgovor:

Ako ;
, Ako .

Ne mogu odoljeti grafička slika:


Ovo je jedna od grana hiperbole .

Nije neuobičajeno da je potencijalna dostupnost asimptota u početku ograničena domena funkcije:

Primjer 11

Ispitajte graf funkcije na prisutnost asimptota

Riješenje: to je očito , stoga razmatramo samo desnu poluravninu, gdje se nalazi graf funkcije.

1) Funkcija stalan na intervalu , što znači da ako postoji vertikalna asimptota, onda to može biti samo ordinatna os. Proučimo ponašanje funkcije u blizini točke desno:

Bilješka, ovdje NEMA neizvjesnosti(takvi slučajevi su naglašeni na početku članka Metode za rješavanje granica).

Dakle, pravac (ordinatna os) je okomita asimptota za graf funkcije na .

2) Proučavanje kose asimptote može se provesti pomoću puna shema, ali u članku L'Hopital pravila saznali smo da linearna funkcija ima viši red rasta od logaritamske, dakle: (Pogledajte primjer 1 iste lekcije).

Zaključak: x-os je horizontalna asimptota grafa funkcije na .

Odgovor:

Ako ;
, Ako .

Crtež radi jasnoće:

Zanimljivo je da naizgled slična funkcija uopće nema asimptote (tko želi to može provjeriti).

Dva posljednja primjera za samostalno učenje:

Primjer 12

Ispitajte graf funkcije na prisutnost asimptota

Da biste provjerili vertikalne asimptote, prvo morate pronaći domena funkcije, a zatim izračunajte nekoliko jednostranih granica na "sumnjivim" točkama. Kose asimptote također nisu isključene, jer je funkcija definirana u "plus" i "minus" beskonačnosti.

Primjer 13

Ispitajte graf funkcije na prisutnost asimptota

Ali ovdje mogu postojati samo kose asimptote, a pravce treba razmatrati odvojeno.

Nadam se da ste pronašli pravu asimptotu =)

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Riješenje :
. Pronađimo jednostrana ograničenja:

Ravno je vertikalna asimptota grafa funkcije at .
2) Kose asimptote.

Ravno .
Odgovor:

Crtanje na primjer 3:

Primjer 4:Riješenje :
1) Vertikalne asimptote. Funkcija trpi beskonačan prekid u jednoj točki . Izračunajmo jednostrana ograničenja:

Bilješka: infinitezimalni negativni broj na parnu potenciju jednak je infinitezimalnom pozitivnom broju: .

Ravno je vertikalna asimptota grafa funkcije.
2) Kose asimptote.


Ravno (os apscisa) je horizontalna asimptota grafa funkcije pri .
Odgovor: