Kako pronaći derivaciju složene funkcije – primjeri rješenja. Derivacija složene funkcije
Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivativa je jedna od najvažniji pojmovi matematička analiza. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivat, što je njegov fizički i geometrijsko značenje kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?
Geometrijsko i fizičko značenje derivacije
Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:
Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.
Inače se može napisati ovako:
Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:
derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.
Fizičko značenje izvedenica: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.
Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:
Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:
Prvo pravilo: postavite konstantu
Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .
Primjer. Izračunajmo derivaciju:
Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija
Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.
Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.
Pronađite izvod funkcije:
Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija
Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:
Primjer: pronađite izvod funkcije:
Riješenje: 
Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.
U gornjem primjeru nailazimo na izraz:
U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.
Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija
Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:
Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.
Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.
Nije sasvim ispravno nazivati funkcije složenog tipa terminom "složena funkcija". Na primjer, izgleda vrlo impresivno, ali ova funkcija nije komplicirana, za razliku od.
U ovom ćemo članku razumjeti koncept složene funkcije, naučiti kako je identificirati kao dio elementarnih funkcija, dati formulu za pronalaženje njezine derivacije i detaljno razmotriti rješenje tipičnih primjera.
Pri rješavanju primjera stalno ćemo se služiti tablicom derivacija i pravilima diferenciranja pa ih imajte pred očima.
Složena funkcija je funkcija čiji je argument također funkcija.
S naše točke gledišta, ova definicija je najrazumljivija. Konvencionalno se može označiti kao f(g(x)) . To jest, g(x) je kao argument funkcije f(g(x)) .
Na primjer, neka je f funkcija arktangensa i g(x) = lnx funkcija prirodnog logaritma, tada je kompleksna funkcija f(g(x)) arctan(lnx) . Drugi primjer: f je funkcija dizanja na četvrtu potenciju, i 
je cijela racionalna funkcija (vidi), onda 
.
Zauzvrat, g(x) također može biti složena funkcija. Na primjer, 
. Konvencionalno se takav izraz može označiti kao 
. Ovdje je f funkcija sinusa, funkcija kvadratnog korijena, 
- razlomačka racionalna funkcija. Logično je pretpostaviti da stupanj ugniježđenosti funkcija može biti bilo koji konačni prirodni broj.
Često možete čuti složenu funkciju tzv sastav funkcija.
Formula za pronalaženje izvoda složene funkcije.
Primjer.
Pronađite izvod složene funkcije.
Riješenje.
U ovom primjeru, f je funkcija kvadriranja, a g(x) = 2x+1 je linearna funkcija.
Ovdje je detaljno rješenje pomoću formule derivacije složene funkcije: 
Pronađimo ovu derivaciju tako da najprije pojednostavimo oblik izvorne funkcije.
Stoga,
Kao što vidite, rezultati su isti.
Pokušajte ne pobrkati koja je funkcija f, a koja g(x) .
Ilustrirajmo ovo primjerom da pokažemo vašu pozornost.
Primjer.
Naći derivacije složenih funkcija i .
Riješenje.
U prvom slučaju, f je funkcija kvadriranja, a g(x) je funkcija sinusa, dakle
.
U drugom slučaju, f je funkcija sinusa, a - funkcija snage. Dakle, po formuli za umnožak složene funkcije imamo
Formula izvoda funkcije ima oblik 
Primjer.
Razlikovati funkciju 
.
Riješenje.
U ovom primjeru, složena funkcija može se konvencionalno napisati kao 
, gdje je funkcija sinusa, funkcija treće potencije, funkcija baze e logaritma, funkcija arktangensa i linearna funkcija, redom.
Prema formuli za izvod složene funkcije 
Sada nalazimo
Spojimo dobivene međurezultate: 
Nema ništa strašno, analizirajte složene funkcije poput lutki za gniježđenje.
Ovo bi mogao biti kraj članka, da nije jedno...
Preporučljivo je jasno razumjeti kada primijeniti pravila diferenciranja i tablicu derivacija, a kada formulu za derivaciju složene funkcije.
SADA BUDITE VRLO OPREZNI. Govorit ćemo o razlici između složenih funkcija i složenih funkcija. Vaš uspjeh u pronalaženju izvedenica ovisit će o tome koliko vidite tu razliku.
Počnimo s jednostavni primjeri. Funkcija 
može se smatrati kompleksnim: g(x) = tanx , 
. Stoga možete odmah primijeniti formulu za izvod složene funkcije 
I ovdje je funkcija 
To se više ne može nazvati složenim.
Ova funkcija je zbroj triju funkcija, 3tgx i 1. Iako je - složena funkcija: - potencna funkcija (kvadratna parabola), a f je tangentna funkcija. Stoga prvo primjenjujemo formulu diferencijacije zbroja: 
Ostaje pronaći izvod kompleksne funkcije: 
Zato .
Nadamo se da ste shvatili bit.
Ako gledamo šire, može se tvrditi da funkcije složenog tipa mogu biti dio složenih funkcija, a složene funkcije mogu biti komponente funkcija složenog tipa.
Kao primjer, analizirajmo funkciju na sastavne dijelove 
.
Prvo, ovo je složena funkcija koja se može predstaviti kao , gdje je f funkcija logaritma baze 3, a g(x) je zbroj dviju funkcija 
I 
. To je, 
.
Drugo, pozabavimo se funkcijom h(x) . Predstavlja odnos prema 
.
Ovo je zbroj dviju funkcija i 
, Gdje 
- složena funkcija s numeričkim koeficijentom 3. - kubna funkcija, - kosinusna funkcija, - linearna funkcija.
Ovo je zbroj dviju funkcija i , gdje je 
- kompleksna funkcija, - eksponencijalna funkcija, - funkcija snage.
Tako, .
Treći, idite na , što je proizvod složene funkcije 
i cjelokupna racionalna funkcija
Funkcija kvadriranja je funkcija logaritma prema bazi e.
Stoga, .
Ukratko: 
Sada je struktura funkcije jasna i postalo je jasno koje formule i kojim redoslijedom treba primijeniti pri njezinom razlikovanju.
U odjeljku o diferenciranju funkcije (pronalaženje derivacije) možete se upoznati s rješenjem sličnih problema.
Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje strašni. Sljedeća dva primjera mogu se nekome činiti kompliciranima, ali ako ih razumijete (netko će patiti), onda će vam se gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu činiti kao dječja šala.
Primjer 2
Pronađite izvod funkcije
Kao što je već navedeno, pri pronalaženju izvoda složene funkcije, prije svega, potrebno je Pravo RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) zamijeniti tu vrijednost u "užasan izraz".
1) Prvo moramo izračunati izraz, što znači da je zbroj najdublje uloženje.
2) Zatim morate izračunati logaritam:
4) Zatim kubirajte kosinus:
5) U petom koraku razlika:
6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen: 
Formula za diferenciranje složene funkcije 
primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema najunutarnjoj. Mi odlučujemo:
Čini se bez grešaka:
1) Izvadite kvadratni korijen.
2) Izvedite derivaciju razlike pomoću pravila 
3) Derivacija trojke je nula. U drugom članu uzimamo izvod stupnja (kocke).
4) Uzmi izvod kosinusa.
6) I na kraju, uzimamo izvod najdublje uklopljenosti.
Možda se čini preteškim, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da sličnu stvar vole dati na ispitu kako bi provjerili razumije li student kako pronaći izvod složene funkcije ili ne razumije.
Sljedeći primjer je za neovisna odluka.
Primjer 3
Pronađite izvod funkcije
Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda
Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Vrijeme je da prijeđemo na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje umnožak ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?
Primjer 4
Pronađite izvod funkcije 
Prvo gledamo, je li moguće umnožak tri funkcije pretvoriti u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u umnošku, tada bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.
U takvim slučajevima potrebno je sekvencijalno primijeniti pravilo razlikovanja proizvoda 
dvaput
Trik je u tome što s "y" označavamo umnožak dviju funkcija: , a s "ve" označavamo logaritam: . Zašto se to može učiniti? Je li stvarno 
- ovo nije produkt dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:
Sada ostaje primijeniti pravilo drugi put u zagradu:
Također se možete uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju bolje je ostaviti odgovor točno u ovom obliku - lakše ćete ga provjeriti.
Razmatrani primjer može se riješiti na drugi način:
Oba rješenja su apsolutno jednaka.
Primjer 5
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer za samostalno rješenje, u uzorku je riješeno prvom metodom.
Pogledajmo slične primjere s razlomcima.
Primjer 6
Pronađite izvod funkcije 
Postoji nekoliko načina na koje možete doći ovdje:
Ili ovako:
No rješenje će biti kompaktnije napisano ako prvo upotrijebimo pravilo diferenciranja kvocijenta 
, uzimajući za cijeli brojnik:
U principu, primjer je riješen, a ako ostane takav, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli može li se odgovor pojednostaviti?
Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i riješimo se trokatne strukture razlomka:
Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od pogreške ne pri pronalaženju izvedenice, već tijekom banalnih školskih transformacija. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica “dosjeti pameti”.
Jednostavniji primjer za samostalno rješavanje:
Primjer 7
Pronađite izvod funkcije
Nastavljamo svladavati metode pronalaženja derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada je "strašni" logaritam predložen za diferencijaciju
Vrlo lako za pamćenje.
Pa, da ne idemo daleko, razmotrimo odmah inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalna funkcija? Logaritam:
U našem slučaju baza je broj:
Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim", a za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.
Čemu je to jednako? Naravno, .
Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:
Primjeri:
- Pronađite izvod funkcije.
- Što je derivacija funkcije?
odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive izvoda. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.
Pravila razlikovanja
Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...
Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.
To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim povećanjem funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.
Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:
Postoji ukupno 5 pravila.
Konstanta je izvučena iz predznaka izvoda.
Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.
Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .
Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.
Primjeri.
Pronađite izvode funkcija:
- u točki;
- u točki;
- u točki;
- u točki.
rješenja:
- (derivacija je ista u svim točkama, jer je linearna funkcija, sjećate se?);
Derivat proizvoda
Ovdje je sve slično: uvedimo novu funkciju i pronađemo njezin inkrement:
izvedenica:
Primjeri:
- Nađite derivacije funkcija i;
- Pronađite izvod funkcije u točki.
rješenja:
Derivacija eksponencijalne funkcije
Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći izvod bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili što je to?).
Dakle, gdje je neki broj.
Već znamo izvod funkcije, pa pokušajmo reducirati našu funkciju na novu bazu:
Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . Zatim:
Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.
Dogodilo se?
Evo, provjerite sami:
Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kakva je bila, ostaje ista, samo se pojavio faktor koji je samo broj, ali ne i varijabla.
Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:
odgovori:
Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.
Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferenciranja:
U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:
Derivacija logaritamske funkcije
Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:
Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:
Moramo svesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:
Samo što ćemo sada umjesto toga napisati:
Nazivnik je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobiva vrlo jednostavno:
Derivati eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.
Derivacija složene funkcije.
Što je "kompleksna funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako vam je logaritam težak, pročitajte temu "Logaritmi" i bit će vam sve u redu), ali s matematičke točke gledišta, riječ "kompleksno" ne znači "teško".
Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Rezultat je kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i povezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti obrnute korake obrnutim redoslijedom.
Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati dobiveni broj. Dakle, dan nam je broj (čokolada), ja mu pronađem kosinus (omot), a ti onda kvadriraš ono što sam ja dobio (zaveži vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvodimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što je proizašlo iz prve.
Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .
Za naš primjer,.
Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadrirate, a ja zatim tražim kosinus dobivenog broja: . Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.
Drugi primjer: (ista stvar). .
Pozvat će se radnja koju obavimo posljednju "vanjsku" funkciju, a radnja koja je prva izvedena - prema tome "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).
Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:
odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji
- Koju radnju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, a tek onda kubirajte. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
A izvorna funkcija je njihov sastav: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.
E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladicu i potražiti izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na izvorni primjer, to izgleda ovako:
Još jedan primjer:
Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:
Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:
Čini se jednostavno, zar ne?
Provjerimo na primjerima:
rješenja:
1) Interno: ;
Vanjski: ;
2) Interno: ;
(Samo ga nemojte pokušavati prerezati do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)
3) Interno: ;
Vanjski: ;
Odmah je jasno da je riječ o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo ovu funkciju "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.
Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.
U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:
Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji je isti kao i prije:
Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.
1. Radikalni izraz. .
2. Korijen. .
3. Sinus. .
4. Trg. .
5. Sve zajedno:
DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM
Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni priraštaj argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila razlikovanja:
Konstanta je izuzeta iz predznaka izvoda:
Derivacija zbroja:
Derivat proizvoda:
Derivacija kvocijenta:
Derivacija složene funkcije:
Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:
- Definiramo “unutarnju” funkciju i nalazimo njezinu derivaciju.
- Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
- Množimo rezultate prve i druge točke.
U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći izvod složene funkcije. Lekcija je logičan nastavak lekcije Kako pronaći izvedenicu?, u kojem smo ispitivali najjednostavnije izvodnice, a također smo se upoznali s pravilima diferenciranja i nekim tehničkim tehnikama pronalaženja izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili vam neke točke u ovom članku nisu posve jasne, prvo pročitajte gornju lekciju. Molim vas da se malo uozbiljite - gradivo nije jednostavno, ali ću ga ipak pokušati iznijeti jednostavno i jasno.
U praksi se s izvodom složene funkcije morate susresti vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kada dobijete zadatak pronaći izvode.
Gledamo u tablici pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:
Hajdemo shvatiti. Prije svega, obratimo pozornost na unos. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena unutar funkcije . Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.
Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.
! Ove definicije nisu teoretske i ne bi se trebale pojavljivati u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.
Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:
Primjer 1
Pronađite izvod funkcije
Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje derivata odmah iz tablice neće uspjeti. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može “rastrgati”:
U ovom primjeru je već iz mojih objašnjenja intuitivno jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom unutarnja funkcija (ugrađivanje), a vanjska funkcija.
Prvi korak ono što trebate učiniti kada pronalazite izvod složene funkcije je razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.
U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom umetnut ispod sinusa. Ali što ako sve nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.
Zamislimo da na kalkulatoru trebamo izračunati vrijednost izraza at (umjesto jedinice može biti bilo koji broj).
Što ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvršiti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti unutarnja funkcija: 
Drugo morat će se pronaći, pa će sinus – biti vanjska funkcija: 
Nakon što smo PRODANO Kod unutarnjih i vanjskih funkcija vrijeme je da se primijeni pravilo razlikovanja složenih funkcija.
Počnimo odlučivati. Iz razreda Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu gore desno:
Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus) pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice također su primjenjive ako se "x" zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:
Imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenio, ne diramo ga.
Pa, to je sasvim očito
Konačni rezultat primjene formule izgleda ovako:
Konstantni faktor obično se nalazi na početku izraza:
Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.
Primjer 2
Pronađite izvod funkcije
Primjer 3
Pronađite izvod funkcije
Kao i uvijek, zapisujemo: 
Idemo shvatiti gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Što trebate učiniti prvo? Prije svega, morate izračunati čemu je jednaka baza: dakle, polinom je unutarnja funkcija: 
I tek tada se vrši potenciranje, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija: 
Prema formuli, prvo morate pronaći izvod vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Traženu formulu tražimo u tablici: . Opet ponavljamo: svaka tablična formula vrijedi ne samo za "X", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila za razlikovanje složene funkcije je sljedeći:
Ponovno naglašavam da kada uzmemo izvod vanjske funkcije, naša unutarnja funkcija se ne mijenja: 
Sada sve što preostaje je pronaći vrlo jednostavnu derivaciju interne funkcije i malo dotjerati rezultat:
Primjer 4
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).
Da biste učvrstili svoje razumijevanje izvoda složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, zaključite gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na ovaj način?
Primjer 5
a) Pronađite izvod funkcije
b) Pronađite izvod funkcije
Primjer 6
Pronađite izvod funkcije 
Ovdje imamo korijen, a da bismo razlikovali korijen, on mora biti predstavljen kao moć. Dakle, prvo dovodimo funkciju u oblik prikladan za diferenciranje:
Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a dizanje na potenciju vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija:
Stupanj ponovno predstavljamo kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo diferenciranja zbroja:
Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i zapisati sve kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).
Primjer 7
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).
Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta 
, ali takvo će rješenje izgledati kao smiješna izopačenost. Evo tipičnog primjera:
Primjer 8
Pronađite izvod funkcije
Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali mnogo je isplativije pronaći derivaciju pomoću pravila diferenciranja složene funkcije:
Funkciju pripremimo za diferenciranje - iz predznaka izvoda izbacimo minus, a kosinus podignemo u brojnik:
Kosinus je unutarnja funkcija, potenciranje je vanjska funkcija.
Iskoristimo naše pravilo:
Pronalazimo izvod interne funkcije i vraćamo kosinus natrag prema dolje:
Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zbuniti se u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.
Primjer 9
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).
Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno gniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje su, poput lutkica, jedna u drugoj, ugniježđene 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.
Primjer 10
Pronađite izvod funkcije
Hajdemo razumjeti priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?
Prvo morate pronaći , što znači da je arkusinus najdublje ugrađivanje:
Ovaj arkusinus od jedan treba kvadrirati:
I na kraju, dižemo sedam na potenciju: 
To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najunutarnja funkcija arkus, a najunutarnja funkcija je eksponencijalna funkcija.
Počnimo odlučivati
Prema pravilu, prvo trebate uzeti derivat vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto “x” imamo složeni izraz, što ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila za razlikovanje složene funkcije je sljedeći:
Pod udarom opet imamo složenu funkciju! Ali to je već jednostavnije. Lako je provjeriti da je unutarnja funkcija arkus, a vanjska funkcija stupanj. Prema pravilu za diferenciranje složene funkcije, prvo trebate uzeti derivaciju potencije.