Kako su raspoređeni grafikoni? Proučavanje grafa funkcije
Duljina segmenta na koordinatnoj osi određena je formulom:
Duljina segmenta na koordinatnoj ravnini nalazi se pomoću formule:
Da biste pronašli duljinu segmenta u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu, koristite sljedeću formulu:
Koordinate sredine segmenta (za koordinatnu os koristi se samo prva formula, za koordinatnu ravninu - prve dvije formule, za trodimenzionalni koordinatni sustav - sve tri formule) izračunavaju se pomoću formula:
Funkcija– ovo je dopisivanje obrasca g= f(x) između varijabilnih veličina, zbog čega svaka razmatrana vrijednost neke varijabilne veličine x(argument ili nezavisna varijabla) odgovara određenoj vrijednosti druge varijable, g(ovisna varijabla, ponekad se ova vrijednost jednostavno naziva vrijednost funkcije). Imajte na umu da funkcija pretpostavlja tu jednu vrijednost argumenta x može odgovarati samo jedna vrijednost zavisne varijable na. Međutim, ista vrijednost na može se dobiti s različitim x.
Funkcijska domena– ovo su sve vrijednosti nezavisne varijable (argument funkcije, obično ovo x), za koju je definirana funkcija, tj. njegovo značenje postoji. Označeno je područje definicije D(g). Uglavnom, već ste upoznati s ovim konceptom. Područje definiranja funkcije inače se zove područje dopuštenih vrijednosti ili VA, koje ste odavno uspjeli pronaći.
Raspon funkcija su sve moguće vrijednosti zavisne varijable dane funkcije. Određeni E(na).
Funkcija se povećava na interval u kojem većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije. Funkcija se smanjuje na intervalu u kojem manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta.
Intervali konstantnog predznaka funkcije- to su intervali nezavisne varijable u kojima zavisna varijabla zadržava svoj pozitivan ili negativan predznak.
Funkcijske nule– to su vrijednosti argumenta pri kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli. U tim točkama graf funkcije siječe apscisnu os (OX os). Vrlo često potreba za pronalaženjem nula funkcija znači potrebu jednostavnog rješavanja jednadžbe. Također, često potreba za pronalaženjem intervala konstantnosti predznaka znači potrebu jednostavnog rješavanja nejednadžbe.
Funkcija g = f(x) se zovu čak x
To znači da za bilo koji suprotna značenja argument, vrijednosti parne funkcije su jednake. Graf parne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na ordinatnu os op-amp-a.
Funkcija g = f(x) se zovu neparan, ako je definiran na simetričnom skupu i za bilo koji x iz domene definicije vrijedi jednakost:
To znači da su za sve suprotne vrijednosti argumenta, vrijednosti neparne funkcije također suprotne. Graf neparne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na ishodište.
Zbroj korijena parnih i neparnih funkcija (sjecišta x-osi OX) uvijek je jednak nuli, jer za svaki pozitivan korijen x ima negativan korijen - x.
Važno je napomenuti: neka funkcija ne mora biti parna ili neparna. Postoje mnoge funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takve se funkcije nazivaju opće funkcije, i za njih nijedna od gore navedenih jednakosti ili svojstava nije zadovoljena.
Linearna funkcija je funkcija koja se može dati formulom:
Graf linearne funkcije je prava linija i u općem slučaju izgleda ovako (naveden je primjer za slučaj kada k> 0, u ovom slučaju funkcija raste; za tu priliku k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratne funkcije (parabola)
Graf parabole dan je kvadratnom funkcijom:
Kvadratna funkcija, kao i svaka druga funkcija, siječe os OX u točkama koje su njezini korijeni: ( x 1 ; 0) i ( x 2 ; 0). Ako nema korijena, tada kvadratna funkcija ne siječe os OX; ako postoji samo jedan korijen, tada u ovoj točki ( x 0 ; 0) kvadratna funkcija samo dodiruje os OX, ali je ne siječe. Kvadratna funkcija uvijek siječe os OY u točki s koordinatama: (0; c). Graf kvadratne funkcije (parabole) može izgledati ovako (slika prikazuje primjere koji su daleko od iscrpnih moguće vrste parabole):
pri čemu:
- ako je koeficijent a> 0, u funkciji g = sjekira 2 + bx + c, tada su grane parabole usmjerene prema gore;
- ako a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinate vrha parabole mogu se izračunati pomoću sljedećih formula. X vrhovi (str- na gornjim slikama) parabole (ili točka u kojoj kvadratni trinom doseže najveću ili najmanju vrijednost):
Vrhovi Igrek (q- na gornjim slikama) parabole ili maksimum ako su grane parabole usmjerene prema dolje ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrijednost kvadratnog trinoma:
Grafovi ostalih funkcija
Funkcija snage
Evo nekoliko primjera grafova funkcija snage:
Obrnuto proporcionalan je funkcija dana formulom:
Ovisno o predznaku broja k Grafikon obrnuto proporcionalne ovisnosti može imati dvije temeljne opcije:
Asimptota je linija kojoj se graf funkcije beskonačno približava, ali se ne siječe. Asimptote za grafove obrnute proporcionalnosti prikazane na gornjoj slici su koordinatne osi kojima se graf funkcije beskonačno približava, ali ih ne siječe.
Eksponencijalna funkcija s bazom A je funkcija dana formulom:
a raspored eksponencijalna funkcija može imati dvije temeljne opcije (također dajemo primjere, pogledajte dolje):
Logaritamska funkcija je funkcija dana formulom:
Ovisno o tome je li broj veći ili manji od jedan a Graf logaritamske funkcije može imati dvije osnovne opcije:
Graf funkcije g = |x| kako slijedi:
Grafovi periodičkih (trigonometrijskih) funkcija
Funkcija na = f(x) Zove se periodički, ako postoji takav broj različit od nule T, Što f(x + T) = f(x), za bilo koga x iz domene funkcije f(x). Ako funkcija f(x) je periodičan s periodom T, tada funkcija:
Gdje: A, k, b su konstantni brojevi, i k nije jednak nuli, također periodičan s periodom T 1, koji se određuje formulom:
Većina primjera periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije. Ovdje su grafikoni glavnih trigonometrijske funkcije. Sljedeća slika prikazuje dio grafa funkcije g= grijeh x(cijeli graf se nastavlja neograničeno lijevo i desno), graf funkcije g= grijeh x nazvao sinusoida:
Graf funkcije g=cos x nazvao kosinus. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Budući da se sinusni grafikon neograničeno nastavlja duž OX osi lijevo i desno:
Graf funkcije g= tg x nazvao tangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičkih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž OX osi lijevo i desno.
I na kraju, graf funkcije g=ctg x nazvao kotangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičkih i trigonometrijskih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž OX osi lijevo i desno.
- leđa
- Naprijed
Kako se uspješno pripremiti za CT iz fizike i matematike?
Za uspješnu pripremu za CT iz fizike i matematike, između ostalog, potrebno je ispuniti tri najvažnija uvjeta:
- Proučite sve teme i ispunite sve testove i zadatke dane u obrazovnim materijalima na ovoj stranici. Da biste to učinili, ne trebate baš ništa, naime: svaki dan posvetite tri do četiri sata pripremi za CT iz fizike i matematike, proučavanju teorije i rješavanju zadataka. Činjenica je da je CT ispit na kojem nije dovoljno samo znati fiziku ili matematiku, već treba znati brzo i bez grešaka riješiti veliki broj zadaci za različite teme i različite složenosti. Ovo posljednje se može naučiti samo rješavanjem tisuća problema.
- Naučite sve formule i zakone u fizici, te formule i metode u matematici. Zapravo, i to je vrlo jednostavno učiniti, u fizici postoji samo oko 200 potrebnih formula, au matematici još nešto manje. U svakom od ovih predmeta postoji desetak standardnih metoda za rješavanje zadataka osnovne razine složenosti, koje se također mogu naučiti, te tako potpuno automatski i bez poteškoća riješiti većinu CT-a u pravo vrijeme. Nakon ovoga ćete morati razmišljati samo o najtežim zadacima.
- Prisustvujte svim trima fazama probnog testiranja iz fizike i matematike. Svaki RT može se posjetiti dva puta kako bi se odlučilo za obje opcije. Opet, na CT-u, osim sposobnosti brzog i učinkovitog rješavanja zadataka, te poznavanja formula i metoda, morate znati i pravilno planirati vrijeme, rasporediti snage, i što je najvažnije, ispravno ispuniti obrazac za odgovore, bez brkanje brojeva odgovora i zadataka ili vlastitog prezimena. Također, tijekom RT-a važno je naviknuti se na stil postavljanja pitanja u problemima, koji se nespremnoj osobi na DT-u može učiniti vrlo neobičnim.
Uspješno, marljivo i odgovorno provođenje ove tri točke, kao i odgovorno proučavanje završnih testova obuke, omogućit će vam da pokažete na CT-u odličan rezultat, maksimum za što ste sposobni.
Pronašli ste grešku?
Ako mislite da ste pronašli grešku u materijalima za obuku, pišite o tome e-poštom (). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) gdje je po Vašem mišljenju greška. Također opišite koja je greška na koju se sumnja. Vaše pismo neće proći nezapaženo, pogreška će biti ispravljena ili će vam biti objašnjeno zašto nije pogreška.
Odaberimo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i na apscisnu os nanesemo vrijednosti argumenta x, a na ordinati - vrijednosti funkcije y = f(x).
Grafikon funkcije y = f(x) je skup svih točaka čije apscise pripadaju domeni definiranosti funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.
Drugim riječima, graf funkcije y = f (x) je skup svih točaka ravnine, koordinata X, na koji zadovoljavaju relaciju y = f(x).
Na sl. 45 i 46 prikazani su grafovi funkcija y = 2x + 1 I y = x 2 - 2x.
Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (čija je točna matematička definicija navedena gore) i nacrtanu krivulju, koja uvijek daje samo koliko-toliko točnu skicu grafa (a i tada, u pravilu, ne cijeli graf, već samo njegov dio koji se nalazi u završnim dijelovima ravnine). Međutim, u nastavku ćemo općenito reći "graf", a ne "skica grafikona".
Pomoću grafikona možete pronaći vrijednost funkcije u točki. Naime, ako je točka x = a spada u domenu definiranja funkcije y = f(x), zatim pronaći broj fa)(tj. vrijednosti funkcije u točki x = a) trebali biste to učiniti. Potrebno je kroz točku apscise x = a nacrtati ravnu crtu paralelnu s ordinatnom osi; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove točke će, prema definiciji grafa, biti jednaka fa)(Slika 47).
Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x pomoću grafa (sl. 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.
Grafikon funkcije jasno prikazuje ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da funkcija y = x 2 - 2x poprima pozitivne vrijednosti kada x< 0 i kod x > 2, negativno - na 0< x < 2; najmanja vrijednost funkcija y = x 2 - 2x prihvaća na x = 1.
Nacrtati graf funkcije f(x) morate pronaći sve točke ravnine, koordinate x,na koji zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće učiniti, jer takvih točaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - s većom ili manjom točnošću. Najjednostavniji je način crtanja grafa pomoću nekoliko točaka. Sastoji se u tome što argument x dati konačan broj vrijednosti - recimo, x 1, x 2, x 3,..., x k i izraditi tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.
Tablica izgleda ovako:
Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko točaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove točke glatkom linijom, dobivamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).
Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja s više točaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ponašanje grafa između željenih točaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih točaka ostaje nepoznato.
Primjer 1. Nacrtati graf funkcije y = f(x) netko je sastavio tablicu vrijednosti argumenata i funkcija:
Odgovarajućih pet točaka prikazano je na sl. 48.
Na temelju položaja tih točaka zaključio je da je graf funkcije ravna crta (na slici 48 prikazana točkastom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako ne postoje dodatna razmatranja koja podupiru ovaj zaključak, teško da se može smatrati pouzdanim. pouzdan.
Kako bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju
.
Izračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u točkama -2, -1, 0, 1, 2 točno opisane gornjom tablicom. Međutim, graf ove funkcije uopće nije ravna linija (prikazano je na slici 49). Drugi primjer bi bila funkcija y = x + l + sinπx; njegova su značenja također opisana u gornjoj tablici.
Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda crtanja grafa pomoću nekoliko točaka nepouzdana. Stoga, da bi se nacrtao graf dane funkcije, obično se postupa na sljedeći način. Prvo proučavamo svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih možemo izgraditi skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko točaka (čiji izbor ovisi o utvrđenim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I na kraju, pomoću svojstava ove funkcije crta se krivulja kroz konstruirane točke.
Kasnije ćemo pogledati neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo pogledati neke najčešće korištene metode za konstruiranje grafova.
Graf funkcije y = |f(x)|.
Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gdje f(x) - dana funkcija. Podsjetimo vas kako se to radi. Definiranjem apsolutne vrijednosti broja možemo pisati
To znači da graf funkcije y =|f(x)| može se dobiti iz grafikona, funkcije y = f(x) kako slijedi: sve točke na grafu funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto točaka grafa funkcije y = f(x) s negativnim koordinatama, trebate konstruirati odgovarajuće točke na grafu funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod osi X, treba simetrično reflektirati u odnosu na os x).
Primjer 2. Grafički nacrtajte funkciju y = |x|.
Uzmimo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona na x< 0 (leži ispod osi x) simetrično reflektirana u odnosu na os x. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).
Primjer 3. Grafički nacrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.
Prvo, nacrtajmo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe x-os u točkama 0 i 2. U intervalu (0; 2) funkcija uzima negativne vrijednosti, stoga se ovaj dio grafikona simetrično odražava u odnosu na os apscise. Slika 51 prikazuje graf funkcije y = |x 2 -2x|, na temelju grafa funkcije y = x 2 - 2x
Graf funkcije y = f(x) + g(x)
Razmotrimo problem konstruiranja grafa funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafici funkcija y = f(x) I y = g(x).
Primijetimo da je domena definicije funkcije y = |f(x) + g(x)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ova domena definicije je presjek domena definicije, funkcije f(x) i g(x).
Neka bodovi (x 0, y 1) I (x 0, y 2) redom pripadaju grafovima funkcija y = f(x) I y = g(x), tj. g 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Tada točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. i bilo koje točke na grafu funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Prema tome, graf funkcije y = f(x) + g(x) mogu se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). I y = g(x) zamjena svake točke ( x n, y 1) grafika funkcije y = f(x) točka (x n, y 1 + y 2), Gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž osi na po iznosu y 1 = g(x n). U ovom slučaju uzimaju se u obzir samo takve točke x n za koje su obje funkcije definirane y = f(x) I y = g(x).
Ova metoda crtanja funkcije y = f(x) + g(x) naziva se zbrajanje grafova funkcija y = f(x) I y = g(x)
Primjer 4. Na slici je metodom zbrajanja grafova konstruiran graf funkcije
y = x + sinx.
Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx to smo mislili f(x) = x, A g(x) = sinx. Za iscrtavanje grafa funkcije odabiremo točke s apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Izračunajmo na odabranim točkama i smjestimo rezultate u tablicu.
Prvo pokušajte pronaći domenu funkcije:
Jeste li uspjeli? Usporedimo odgovore:
Je li sve u redu? Dobro napravljeno!
Pokušajmo sada pronaći raspon vrijednosti funkcije:
Pronađeno? Usporedimo:
kužiš Dobro napravljeno!
Idemo ponovno raditi s grafovima, samo što je sada malo kompliciranije - pronađite i domenu definicije funkcije i raspon vrijednosti funkcije.
Kako pronaći i domenu i raspon funkcije (napredno)
Evo što se dogodilo:
Mislim da ste shvatili grafikone. Pokušajmo sada pronaći domenu definicije funkcije u skladu s formulama (ako ne znate kako to učiniti, pročitajte odjeljak o):
Jeste li uspjeli? Provjerimo odgovori:
- , budući da radikalni izraz mora biti veći ili jednak nuli.
- , budući da ne možete dijeliti s nulom i radikalni izraz ne može biti negativan.
- , jer, odnosno, za sve.
- , jer ne možete dijeliti s nulom.
Međutim, imamo još jednu neodgovorenu točku...
Još jednom ću ponoviti definiciju i naglasiti je:
Jeste li primijetili? Riječ "samac" je vrlo, vrlo važan element naše definicije. Pokušat ću vam objasniti prstima.
Recimo da imamo funkciju definiranu ravnom linijom. . At, zamijenimo ovu vrijednost u naše "pravilo" i dobijemo to. Jedna vrijednost odgovara jednoj vrijednosti. Možemo čak napraviti i stol različita značenja i iscrtajte ovu funkciju da to potvrdite.
"Izgled! - kažete, "" pojavljuje se dva puta!" Pa možda parabola nije funkcija? Ne, jest!
Činjenica da se “ ” pojavljuje dva puta nije razlog za optuživanje parabole za dvosmislenost!
Činjenica je da smo, računajući za, dobili jednu utakmicu. I kad se računa s, dobili smo jednu igru. Dakle, to je točno, parabola je funkcija. Pogledajte grafikon:
kužiš Ako ne, evo životnog primjera koji je jako daleko od matematike!
Recimo da imamo grupu podnositelja zahtjeva koji su se upoznali prilikom predaje dokumenata, od kojih je svaki u razgovoru rekao gdje živi:
Slažem se, sasvim je moguće da nekoliko momaka živi u jednom gradu, ali je nemoguće da jedna osoba živi u nekoliko gradova u isto vrijeme. Ovo je kao logičan prikaz naše "parabole" - Nekoliko različitih X-ova odgovara istoj igri.
Smislimo sada primjer gdje ovisnost nije funkcija. Recimo da su nam ti isti dečki rekli za koje su se specijalnosti prijavili:
Ovdje imamo potpuno drugačiju situaciju: jedna osoba može lako predati dokumente za jedan ili više smjerova. To je jedan element setovi se stavljaju u korespondenciju nekoliko elemenata mnoštva. Odnosno, ovo nije funkcija.
Provjerimo vaše znanje u praksi.
Odredite prema slikama što je funkcija, a što nije:
kužiš I evo ga odgovori:
- Funkcija je - B, E.
- Funkcija nije - A, B, D, D.
Pitate se zašto? Da, evo zašto:
Na svim slikama osim U) I E) Postoji nekoliko za jednog!
Siguran sam da sada možete lako razlikovati funkciju od ne-funkcije, reći što je argument, a što zavisna varijabla, te također odrediti raspon dopuštenih vrijednosti argumenta i raspon definicije funkcije . Prijeđimo na sljedeći odjeljak - kako postaviti funkciju?
Metode za specificiranje funkcije
Što mislite što riječi znače? "postavi funkciju"? Tako je, to znači svima objasniti o kojoj funkciji govorimo u ovom slučaju. Štoviše, objasnite to tako da vas svi dobro razumiju i da grafikoni funkcija koje crtaju ljudi na temelju vašeg objašnjenja budu isti.
Kako to mogu učiniti? Kako postaviti funkciju? Najjednostavnija metoda, koja je već više puta korištena u ovom članku, jest pomoću formule. Napišemo formulu i zamjenom vrijednosti u nju izračunamo vrijednost. I kao što se sjećate, formula je zakon, pravilo po kojem i nama i drugoj osobi postaje jasno kako se X pretvara u Y.
Obično je to upravo ono što rade - u zadacima vidimo gotove funkcije specificirane formulama, no postoje i drugi načini postavljanja funkcije na koje svi zaborave, pa se postavlja pitanje "kako drugačije postaviti funkciju?" pregrade. Razumimo sve redom i počnimo s analitičkom metodom.
Analitička metoda zadavanja funkcije
Analitička metoda je određivanje funkcije pomoću formule. Ovo je najuniverzalnija, sveobuhvatnija i nedvosmislena metoda. Ako imate formulu, onda znate apsolutno sve o funkciji - iz nje možete napraviti tablicu vrijednosti, možete izgraditi grafikon, odrediti gdje funkcija raste, a gdje opada, općenito, proučavajte je u cijelosti.
Razmotrimo funkciju. Koja je razlika?
"Što to znači?" - pitaš. Sad ću objasniti.
Podsjećam vas da se u notaciji izraz u zagradama naziva argument. A ovaj argument može biti bilo koji izraz, ne nužno jednostavan. U skladu s tim, koji god argument (izraz u zagradama) bio, umjesto toga ćemo ga napisati u izrazu.
U našem primjeru to će izgledati ovako:
Razmotrimo još jedan zadatak vezan uz analitičku metodu zadavanja funkcije, koji ćete imati na ispitu.
Pronađite vrijednost izraza na.
Siguran sam da ste se isprva uplašili kada ste vidjeli takav izraz, ali u tome nema apsolutno ničeg strašnog!
Sve je isto kao u prethodnom primjeru: koji god argument (izraz u zagradama) bio, to ćemo napisati umjesto njega u izraz. Na primjer, za funkciju.
Što treba učiniti u našem primjeru? Umjesto toga trebate napisati, a umjesto toga -:
skratite dobiveni izraz:
To je sve!
Samostalni rad
Sada pokušajte sami pronaći značenje sljedećih izraza:
- , Ako
- , Ako
Jeste li uspjeli? Usporedimo naše odgovore: Navikli smo da funkcija ima oblik
Čak iu našim primjerima definiramo funkciju upravo na ovaj način, no analitički je moguće odrediti funkciju npr. u implicitnom obliku.
Pokušajte sami izgraditi ovu funkciju.
Jeste li uspjeli?
Ovako sam ga izgradio.
Koju smo jednadžbu na kraju izveli?
Pravo! Linearno, što znači da će grafikon biti ravna linija. Napravimo tablicu da odredimo koje točke pripadaju našem pravcu:
Upravo o tome smo govorili... Jedan odgovara nekoliko.
Pokušajmo nacrtati što se dogodilo:
Je li ono što imamo funkcija?
Tako je, ne! Zašto? Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje uz pomoć crteža. Što si dobio?
“Jer jedna vrijednost odgovara više vrijednosti!”
Kakav zaključak možemo izvući iz ovoga?
Tako je, funkcija se ne može uvijek eksplicitno izraziti, a ono što je “prerušeno” kao funkcija nije uvijek funkcija!
Tablični način zadavanja funkcije
Kao što naziv sugerira, ova metoda je jednostavan znak. Da da. Kao onaj koji smo ti i ja već napravili. Na primjer:
Ovdje ste odmah primijetili uzorak - Y je tri puta veći od X. A sada zadatak da “dobro razmislite”: mislite li da je funkcija dana u obliku tablice ekvivalentna funkciji?
Da ne pričamo dugo, nego crtajmo!
Tako. Funkciju određenu pozadinom crtamo na sljedeće načine:
Vidite li razliku? Nije sve u označenim bodovima! Pogledaj bolje:
Jeste li ga sada vidjeli? Kada funkciju definiramo tablično, na grafu prikazujemo samo one točke koje imamo u tablici i pravac (kao u našem slučaju) prolazi samo kroz njih. Kada analitički definiramo funkciju, možemo uzeti bilo koje točke, a naša funkcija nije ograničena na njih. Ovo je posebnost. Zapamtiti!
Grafička metoda konstruiranja funkcije
Grafička metoda konstruiranja funkcije nije ništa manje prikladna. Mi nacrtamo svoju funkciju, a druga zainteresirana osoba može pronaći čemu je y jednak na određenom x i tako dalje. Grafičke i analitičke metode su među najčešćim.
No, ovdje se trebate prisjetiti o čemu smo govorili na samom početku - nije svaka "vrkutina" nacrtana u koordinatnom sustavu funkcija! Sjećaš li se? Za svaki slučaj, ovdje ću kopirati definiciju funkcije:
U pravilu, ljudi obično imenuju točno tri načina specificiranja funkcije o kojima smo govorili - analitički (pomoću formule), tablični i grafički, potpuno zaboravljajući da se funkcija može opisati verbalno. Kao ovo? Da, vrlo jednostavno!
Verbalni opis funkcije
Kako verbalno opisati funkciju? Uzmimo naš nedavni primjer - . Ova se funkcija može opisati kao "svaka realna vrijednost x odgovara njegovoj trostrukoj vrijednosti." To je sve. Ništa komplicirano. Vi ćete, naravno, prigovoriti - "postoje tako složene funkcije koje je jednostavno nemoguće usmeno odrediti!" Da, ima i takvih, ali postoje funkcije koje je lakše verbalno opisati nego definirati formulom. Na primjer: "svaka prirodna vrijednost x odgovara razlici između znamenki od kojih se sastoji, dok se minuend smatra najvećom znamenkom sadržanom u zapisu broja." Sada pogledajmo kako je naš verbalni opis funkcije se implementiraju u praksi:
Najveća znamenka u određenom broju je, odnosno, umanjenik, a zatim:
Glavne vrste funkcija
Sada prijeđimo na najzanimljiviji dio - pogledajmo glavne tipove funkcija s kojima si radio/radiš i radit ćeš u školskoj i fakultetskoj matematici, odnosno upoznajmo ih, da tako kažemo , i dati im Kratak opis. Pročitajte više o svakoj funkciji u odgovarajućem odjeljku.
Linearna funkcija
Funkcija oblika gdje su realni brojevi.
Graf ove funkcije je ravna linija, pa se konstruiranje linearne funkcije svodi na pronalaženje koordinata dviju točaka.
Položaj pravca na koordinatnoj ravnini ovisi o kutnom koeficijentu.
Opseg funkcije (poznat i kao opseg valjanih vrijednosti argumenata) je .
Raspon vrijednosti - .
Kvadratna funkcija
Funkcija oblika, gdje
Graf funkcije je parabola; kada su grane parabole usmjerene prema dolje, kada su grane usmjerene prema gore.
Mnoga svojstva kvadratne funkcije ovise o vrijednosti diskriminante. Diskriminant se izračunava pomoću formule
Položaj parabole na koordinatnoj ravnini u odnosu na vrijednost i koeficijent prikazan je na slici:
Domena
Raspon vrijednosti ovisi o ekstremumu zadane funkcije (točka vrha parabole) i koeficijentu (smjer grana parabole)
Obrnuta proporcionalnost
Funkcija dana formulom, gdje je
Broj se naziva koeficijent obrnute proporcionalnosti. Ovisno o vrijednosti, grane hiperbole su u različitim kvadratima:
Domena - .
Raspon vrijednosti - .
SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE
1. Funkcija je pravilo prema kojem se svakom elementu skupa pridružuje jedan element skupa.
- - ovo je formula koja označava funkciju, odnosno ovisnost jedne varijable o drugoj;
- - vrijednost varijable, odnosno argument;
- - ovisna veličina - mijenja se kada se mijenja argument, odnosno prema bilo kojoj specifičnoj formuli koja odražava ovisnost jedne količine o drugoj.
2. Valjane vrijednosti argumenata, ili domena funkcije, je ono što je povezano s mogućnostima u kojima funkcija ima smisla.
3. Raspon funkcija- to su vrijednosti koje su potrebne, s obzirom na prihvatljive vrijednosti.
4. Postoje 4 načina za postavljanje funkcije:
- analitički (pomoću formula);
- tablični;
- grafički
- verbalni opis.
5. Glavne vrste funkcija:
- : , gdje su, realni brojevi;
- : , Gdje;
- : , Gdje.
1. Frakcijska linearna funkcija i njezin graf
Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se frakcijska racionalna funkcija.
Vjerojatno ste već upoznati s konceptom racionalnih brojeva. Također racionalne funkcije su funkcije koje se mogu prikazati kao kvocijent dvaju polinoma.
Ako je razlomačka racionalna funkcija kvocijent dviju linearnih funkcija – polinoma prvog stupnja, t.j. funkcija forme
y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakcijski linearni.
Imajte na umu da je u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače je funkcija je konstantna). Linearna frakcijska funkcija definirana je za sve realne brojeve osim za x = -d/c. Grafovi razlomljenih linearnih funkcija ne razlikuju se po obliku od grafa y = 1/x koji poznajete. Krivulja koja je graf funkcije y = 1/x naziva se hiperbola. Neograničenim povećanjem apsolutne vrijednosti x funkcija y = 1/x neograničeno opada u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju apscisi: desna odozgo, a lijeva odozdo. Pravci kojima se približavaju grane hiperbole nazivaju se njezinim asimptote.
Primjer 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Riješenje.
Odaberimo cijeli dio: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanjem duž osi Oy 7 puta i pomakom za 2 jedinične segmente prema gore.
Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na sličan način, ističući "cijeli dio". Prema tome, grafovi svih frakcijskih linearnih funkcija su hiperbole, pomaknute na različite načine duž koordinatnih osi i razvučene duž osi Oy.
Da bi se konstruirao graf bilo koje proizvoljne frakcijsko-linearne funkcije, uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira tu funkciju. Budući da znamo da je graf hiperbola, bit će dovoljno pronaći prave linije kojima se približavaju njeni ogranci - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.
Primjer 2.
Odredite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).
Riješenje.
Funkcija nije definirana, pri x = -1. To znači da služi pravac x = -1 vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, saznajmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada argument x raste u apsolutnoj vrijednosti.
Da biste to učinili, podijelite brojnik i nazivnik razlomka s x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Kako je x → ∞, razlomak će težiti 3/2. To znači da je horizontalna asimptota pravac y = 3/2.
Primjer 3.
Grafički nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).
Riješenje.
Odaberimo "cijeli dio" razlomka:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 1 jedinicu ulijevo, simetričnim prikazom u odnosu na Ox i pomakom za 2 jedinična segmenta prema gore duž osi Oy.
Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Sjecišta s osima: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom intervalu definirane domene.
Odgovor: Slika 1.
2. Razlomačka racionalna funkcija
Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.
Primjeri takvih racionalnih funkcija:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ili y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ako funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja kvocijent dvaju polinoma višeg stupnja od prvog, tada će njezin graf u pravilu biti složeniji i ponekad ga je teško točno konstruirati , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno koristiti tehnike slične onima koje smo već predstavili gore.
Neka je razlomak pravi razlomak (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Očito je da se graf razlomačke racionalne funkcije može dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka.
Crtanje grafova razlomljenih racionalnih funkcija
Razmotrimo nekoliko načina konstruiranja grafova frakcijske racionalne funkcije.
Primjer 4.
Nacrtajte graf funkcije y = 1/x 2 .
Riješenje.
Pomoću grafa funkcije y = x 2 konstruiramo graf y = 1/x 2 i koristimo tehniku “dijeljenja” grafova.
Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).
Nema točaka sjecišta s osi. Funkcija je parna. Raste za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x od 0 do +∞.
Odgovor: Slika 2.
Primjer 5.
Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Riješenje.
Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Ovdje smo koristili tehniku faktorizacije, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.
Odgovor: Slika 3.
Primjer 6.
Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Riješenje.
Područje definicije je D(y) = R. Budući da je funkcija parna, graf je simetričan oko ordinate. Prije izgradnje grafikona, ponovno transformirajmo izraz, ističući cijeli dio:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Imajte na umu da je izdvajanje cijelog dijela u formuli frakcijske racionalne funkcije jedno od glavnih pri izradi grafikona.
Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. pravac y = 1 je horizontalna asimptota.
Odgovor: Slika 4.
Primjer 7.
Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajmo točno pronaći njezinu najveću vrijednost, tj. najviša točka na desnoj polovici grafikona. Za preciznu konstrukciju ovog grafikona današnje znanje nije dovoljno. Očito je da se naša krivulja ne može "uzdići" jako visoko, jer nazivnik brzo počinje “prestizati” brojnik. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da bismo to učinili, moramo riješiti jednadžbu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ova jednadžba nema pravih korijena. To znači da je naša pretpostavka netočna. Da biste pronašli najveću vrijednost funkcije, trebate saznati pri kojem će najvećem A jednadžba A = x/(x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo izvornu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 – x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 – 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveću vrijednost A = 1/2. 
Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate crtati graf funkcija?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Učenici se na samom početku učenja algebre suočavaju sa zadatkom konstruiranja grafa funkcije i nastavljaju ga graditi iz godine u godinu. Počevši od grafa linearne funkcije, za koji trebate znati samo dvije točke, do parabole, za koju je već potrebno 6 točaka, hiperbole i sinusnog vala. Svake godine funkcije postaju sve složenije i njihove grafove više nije moguće konstruirati pomoću šablona, već je potrebno provoditi složenije studije pomoću derivacija i limita.
Hajdemo shvatiti kako pronaći graf funkcije? Da bismo to učinili, počnimo s najjednostavnijim funkcijama, čiji su grafikoni izgrađeni točku po točku, a zatim razmotrimo plan za izgradnju više složene funkcije.
Grafičko crtanje linearne funkcije
Za izradu najjednostavnijih grafikona upotrijebite tablicu vrijednosti funkcije. Graf linearne funkcije je pravac. Pokušajmo pronaći točke na grafu funkcije y=4x+5.
- Da bismo to učinili, uzmimo dvije proizvoljne vrijednosti varijable x, zamijenimo ih jednu po jednu u funkciju, pronađemo vrijednost varijable y i sve unesemo u tablicu.
- Uzmite vrijednost x=0 i zamijenite je u funkciju umjesto x - 0. Dobivamo: y=4*0+5, odnosno y=5, ovu vrijednost upišite u tablicu pod 0. Slično uzmite x= 0, dobivamo y=4*1+5 , y=9.
- Sada, da biste izgradili grafikon funkcije, trebate iscrtati ove točke na koordinatnoj ravnini. Zatim morate nacrtati ravnu liniju.
Grafički prikaz kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija je funkcija oblika y=ax 2 +bx +c, gdje je x varijabla, a,b,c su brojevi (a nije jednako 0). Na primjer: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.
Za konstruiranje najjednostavnije kvadratne funkcije y=x 2 obično se uzima 5-7 točaka. Uzmimo vrijednosti za varijablu x: -2, -1, 0, 1, 2 i pronađimo vrijednosti y na isti način kao kod konstruiranja prvog grafikona.
Graf kvadratne funkcije naziva se parabola. Nakon konstruiranja grafova funkcija učenici imaju nove zadatke vezane uz graf.
Primjer 1: pronađite apscisu točke grafikona funkcije y=x 2 ako je ordinata 9. Da biste riješili problem, trebate zamijeniti njegovu vrijednost 9 u funkciju umjesto y. Dobivamo 9=x 2 i rješavamo ova jednadžba. x=3 i x=-3. To se može vidjeti i na grafu funkcije.
Istraživanje funkcije i njeno crtanje
Da biste iscrtali grafove složenijih funkcija, morate izvršiti nekoliko koraka usmjerenih na njihovo proučavanje. Da biste to učinili potrebno vam je:
- Odredi domenu definicije funkcije. Domena definicije su sve vrijednosti koje varijabla x može poprimiti. One točke u kojima nazivnik postaje 0 ili radikalni izraz postaje negativan trebaju biti isključene iz domene definicije.
- Postavite je li funkcija parna ili neparna. Podsjetimo se da je parna funkcija ona koja zadovoljava uvjet f(-x)=f(x). Njegov graf je simetričan u odnosu na Oy. Funkcija će biti neparna ako ispunjava uvjet f(-x)=-f(x). U ovom slučaju, graf je simetričan u odnosu na ishodište.
- Pronađite točke sjecišta s koordinatnim osima. Da bi se našla apscisa točke presjeka s osi Ox, potrebno je riješiti jednadžbu f(x) = 0 (ordinata je jednaka 0). Da bi se odredila ordinata točke presjeka s osi Oy, potrebno je umjesto varijable x u funkciju zamijeniti 0 (apscisa je 0).
- Odredite asimptote funkcije. Asiptota je ravna linija kojoj se graf neograničeno približava, ali je nikada ne prelazi. Smislimo kako pronaći asimptote grafa funkcije.
- Vertikalna asimptota pravca x=a
- Horizontalna asimptota - pravac y=a
- Kosa asimptota - pravac oblika y=kx+b
- Naći točke ekstrema funkcije, intervale rasta i opadanja funkcije. Nađimo točke ekstrema funkcije. Da biste to učinili, trebate pronaći prvu derivaciju i izjednačiti je s 0. Upravo u tim točkama funkcija se može promijeniti iz rastuće u opadajuću. Odredimo predznak derivacije na svakom intervalu. Ako je derivacija pozitivna, onda graf funkcije raste, ako je negativna, pada.
- Pronađite točke infleksije grafa funkcije, intervale konveksnosti prema gore i dolje.
Pronalaženje točaka infleksije sada je lakše nego ikada. Samo trebate pronaći drugu derivaciju, a zatim je izjednačiti s nulom. Zatim nalazimo predznak druge derivacije na svakom intervalu. Ako je pozitivna, onda je graf funkcije konveksan prema dolje, ako je negativna, onda je konveksan prema gore.