SREDNJA ŠKOLA 3. br

SAŽETAK

u geometriji

Predmet:

"Poliedri".

Izvedena: učenica 11. razreda

Općinska obrazovna ustanova srednja škola br

Alyabyeva Julija.

Provjereno: profesorica matematike

Željeznovodsk

Plan

I. Uvod. 3

II. Teorijski dio

1. Diedralni kut4

2. Trostrani i poliedarski kutovi4

3. Poliedar. . 5

4. Prizma6

7. Paralelepiped 9

8. Centralna simetrija paralelopipeda10

9. Pravokutni paralelopiped. . jedanaest

11. Piramida

13. Krnja piramida

14. Pravilna piramida. 15

15. Pravilni poliedri

III. Praktični dio

IV. Zaključak

V. Književnost

I. Uvod

Dostupno u školskoj geometriji posebne teme, kojem se veselite, očekujući sastanak s nevjerojatno lijepim materijalom. Takve teme uključuju "Poliedre". Ne otvara se samo ovdje nevjerojatan svijet geometrijska tijela jedinstvenih svojstava, ali i zanimljive znanstvene hipoteze. I tada lekcija geometrije postaje svojevrsno proučavanje neočekivanih aspekata poznatog školskog predmeta.

Nijedno geometrijsko tijelo nema takvo savršenstvo i ljepotu kao poliedri. "Postoji šokantno mali broj poliedara", napisao je jednom L. Carroll, "ali ovaj vrlo skroman brojčano odjeljak uspio je ući u same dubine raznih znanosti."

II. Teorijski dio.

1. Diedralni kut

Diedralni kut je figura koju tvore dvije "poluravnine sa zajedničkom ravnom linijom koja ih omeđuje (slika 1). Poluravnine se nazivaju rubovi, a pravac koji ih ograničava je rub diedralni kut.

Ravnina okomita na brid diedralnog kuta siječe njegove plohe po dva polupravca. Kut koji čine ti polupravci naziva se linearni. kut diedralni kut.

Mjera diedralnog kuta je mjera njegovog odgovarajućeg linearnog kuta. Svi linearni kutovi diedralnog kuta kombiniraju se paralelnom translacijom, pa su stoga jednaki. Stoga mjera diedralnog kuta ne ovisi o izboru linearnog kuta.

2. Trostrani i poliedarski kutovi

Razmotrite tri zrake a, b, c, koje proizlaze iz iste točke i ne leže u istoj ravnini. Trokutasti kut (abc) je lik sastavljen od tri ravna kuta (ab),(bc) i (ac) (slika 2). Ti se kutovi nazivaju rubovi trostrani kut, a stranice su im rebra, zajednički vrh ravnih kutova naziva se vrh trokutni kut. Dvostrani kutovi koje tvore plohe trostranog kuta nazivaju se dihedral angles trokutnih kutova.

Slično se definira pojam poliedarskog kuta (slika 3).

3. Poliedar

U stereometriji se proučavaju figure u prostoru koje nazivamo tijelima. Vizualno (geometrijsko) tijelo treba zamisliti kao dio okupiranog prostora fizičko tijelo a ograničena površinom.

Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona (slika 4). Poliedar se naziva konveksnim ako se nalazi s jedne strane ravnine svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravnine i plohe konveksnog poliedra naziva se ploha. Stranice konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Stranice ploha nazivamo bridovima poliedra, a vrhove nazivamo vrhovima poliedra.

Objasnimo to na primjeru poznate kocke (slika 5). Kocka je konveksni poliedar. Njegova ploha sastoji se od šest kvadrata: ABCD, BEFC, .... To su njegova lica. Bridovi kocke su stranice ovih kvadrata: AB, BC, BE,.... Vrhovi kocke su vrhovi kvadrata: A, B, C, D, E, .... Kocka ima šest stranica, dvanaest bridova i osam vrhova.

Dat ćemo najjednostavnije poliedre - prizme i piramide, koji će biti glavni predmet našeg proučavanja - definicije koje u biti ne koriste pojam tijela. Definirat će se kao geometrijski likovi koji označavaju sve točke u prostoru koje im pripadaju. Pojam geometrijskog tijela i njegove površine u općem slučaju bit će dan kasnije.

Prizma je poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u različitim ravninama i spojeni paralelnom translacijom, te svih segmenata koji povezuju odgovarajuće točke tih poligona (slika 6). Poligoni se nazivaju bazama prizme, a odsječci koji spajaju odgovarajuće vrhove nazivaju se bočnim bridovima prizme.

Budući da je paralelna translacija gibanje, osnovice prizme su jednake.

Kako se pri paralelnoj translaciji ravnina pretvara u paralelnu ravninu (ili u samu sebe), tada osnovice prizme leže u paralelnim ravninama.

Budući da su tijekom paralelne translacije točke pomaknute duž paralelnih (ili koincidirajućih) pravaca za istu udaljenost, tada su bočni bridovi prizme paralelni i jednaki.

Ploha prizme sastoji se od baze i bočne plohe. Bočna površina sastoji se od paralelograma. U svakom od tih paralelograma dvije stranice su odgovarajuće stranice baza, a druge dvije su susjedni bočni bridovi.

Visina prizme je udaljenost između ravnina njezinih baza. Isječak koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi naziva se dijagonala prizme.

Prizma se naziva n-kutna ako su joj baze n-kuti.

Ubuduće ćemo razmatrati samo prizme čije su baze konveksni poligoni. Takve prizme su konveksni poliedri.

Slika 6 prikazuje peterokutnu prizmu. Njegove baze su peterokuti A1A2...A5, A1'A"2...A"5. XX" - segment koji povezuje odgovarajuće točke baza. Bočni rubovi segmenata prizme A1A"2, A1A"2, ..., A5A"5.Bočna lica prizme – paralelogrami A1A2A"2A1 , A2A3A'3A"2, ... .

5. Slika prizme i konstrukcija njezinih presjeka

U skladu s pravilima paralelnog projektiranja, slika prizme se konstruira na sljedeći način. Prvo se gradi jedan od temelja R(slika 7). Ovo će biti neki ravni poligon. Zatim iz vrhova poligona R Bočni rubovi prizme nacrtani su u obliku paralelnih odsječaka jednakih duljina. Krajevi ovih segmenata se spajaju i dobiva se još jedna baza prizme. Nevidljivi rubovi iscrtani su isprekidanim linijama.

Odsječci prizme s ravninama paralelnim s bočnim bridovima su paralelogrami. Konkretno, dijagonalni presjeci su paralelogrami. To su presjeci ravninama koje prolaze kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi (slika 8).

U praksi, osobito pri rješavanju zadataka, često je potrebno konstruirati presjek prizme s ravninom koja prolazi kroz zadanu ravnicu g na ravnini jedne od baza prizme. Ova linija se zove Sljedeći rezna ravnina na osnovnoj ravnini. Za konstruiranje presjeka prizme dovoljno je konstruirati segmente sjecišta ravnine presjeka s plohama prizme. Pokazat ćemo kako se takav presjek konstruira ako je poznata neka točka A na površini prizme koja pripada presjeku (slika 9).

Ako ova točka A pripada drugoj osnovici prizme, tada je njezino sjecište s ravninom presjeka segment Sunce, paralelno sa stazom g i koji sadrži zadanu točku A(Slika 9, a).

Ako ova točka A pripada bočnoj plohi, tada se konstruira sjecište ove plohe sa reznom ravninom, kao što je prikazano na slici 9, b. Naime: prvo se konstruira točka D, u kojoj ravnina lica siječe zadani trag g. Zatim nacrtajte ravnu liniju kroz točke A I D. Segment linije Sunce ravno OGLAS na plohi koja se razmatra je presjek ove plohe s ravninom rezanja. Ako lice koje sadrži točku A, paralelno sa stazom g, zatim rezna ravnina siječe ovo lice duž segmenta Sunce, prolazeći kroz točku A i paralelna s pravom linijom g.

Krajevi segmenta Sunce pripadaju i susjednim licima. Stoga opisanom metodom možemo konstruirati sjecište ovih ploha s našom reznom ravninom. itd.

Slika 10 prikazuje konstrukciju presjeka četverokutne prizme ravninom koja prolazi kroz ravnu liniju A u ravnini donje osnovice prizme i točka A na jednom od bočnih rebara.

Prizma se naziva ravnom ako su joj bočni rubovi okomiti na baze. Inače, prizma se naziva kosa.

Ravna prizma ima pravokutne bočne strane. Kada se na slici prikazuje ravna prizma, bočna rebra obično se crtaju okomito (slika 11).

Pravilna prizma se naziva pravilnom ako su joj baze pravilni mnogokuti.

Bočna ploha prizme (točnije, bočna ploha) zbroj je površina bočnih ploha. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba.

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Iz toga slijedi da bočna površina prizma je jednaka

S=a1l+a1l+...+anl=pl,

Gdje a1,..., an- duljina osnovnih rebara, R - opseg baze prizme, i 1 - duljina bočnih rebara. Teorem je dokazan.

7. Paralelepiped

Ako je osnovica prizme paralelogram, onda se ona naziva paralelopiped. Sva lica paralelopipeda su paralelogrami.

Slika 12, a prikazuje nagnuti paralelopiped, a slika 12, b - ravni paralelopiped.

Lica paralelopipeda koja nemaju zajedničke vrhove nazivaju se suprotnim.

Teorem 19.2. Nasuprotna lica paralelepipeda su paralelna i jednaka.

Dokaz. Razmotrimo neka dva suprotna lica paralelopipeda, na primjer A1A2A"2A"1 i A3A4A"4A"3. (slika 13). Kako su sve stranice paralelopipeda paralelogrami, pravac A1A2 je paralelan s pravcem A4A3, a pravac A1A"1 paralelan je s pravcem A4A4". Slijedi da su ravnine lica koja se razmatraju paralelne.

Iz činjenice da su stranice paralelopipeda paralelogrami, slijedi da su segmenti A1A4, A1"A4", A"2A"3 i A2A3 paralelni i jednaki. Odavde zaključujemo da je lice A1A2A"2A"1 kombinirano paralelnom translacijom duž ruba A1A4. s rubom A3A4A"4A"3. To znači da su ovi rubovi jednaki.

Slično se dokazuje paralelizam i jednakost svih drugih suprotnih stranica paralelopipeda. Teorem je dokazan.

8. Centralna simetrija paralelopipeda

Teorem 19.3. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecištem ih dijeli popola.

Dokaz. Promotrimo neke dvije dijagonale paralelopipeda, na primjer A1A"3 i A4A"2 (slika 14). Kako su četverokuti A1A2A3A4 i A2A"2A"3A3 paralelogrami sa zajedničkom stranicom A2A3, onda su njihove stranice A1A4 i A"2A"3 međusobno paralelne, što znači da leže u istoj ravnini. Ta ravnina siječe ravnine nasuprotnih ploha paralelopipeda po paralelnim pravcima A1A"2 i A4A"3. Dakle, četverokut A4A1A"2A"3 je paralelogram. Dijagonale paralelopipeda A1A"3 i A4A"2 su dijagonale ovog paralelograma. Zbog toga se sijeku i dijele popola sjecišnom točkom O.

Slično se dokazuje da se dijagonale A1A"3 i A2A"4, kao i dijagonale A1A"3 i A3A"1 sijeku i raspolavljaju u sjecištu. Iz ovoga zaključujemo da se sve četiri dijagonale paralelopipeda sijeku u jednoj točki i da ih sjecište dijeli na pola. Teorem je dokazan.

Iz teorema 19.3 slijedi da sjecište dijagonala paralelopipeda je njegov centar simetrije.

9. Pravokutni paralelopiped

Pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik naziva se kvadar. Sva lica pravokutnog paralelopipeda su pravokutnici.

Pravokutni paralelopiped kojemu su svi bridovi jednaki naziva se kocka.

Duljine neparalelnih bridova pravokutnog paralelopipeda nazivaju se njegovim linearnim dimenzijama (mjerama). Pravokutni paralelopiped ima tri dimenzije.

Teorem 19.4. U pravokutnom paralelopipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Dokaz. Razmotrimo kuboidan ABCDA"B"C"D" (slika 15). Iz pravokutni trokut AC"C pomoću Pitagorine teoreme dobivamo:

AC"2 = AC2 + CC"2.

Iz pravokutnog trokuta ACB pomoću Pitagorinog poučka dobivamo

AC2 = AB2 + BC2.

Stoga je AC"2 =CC"2 +AB2 + BC2.

Bridovi AB, BC i CC" nisu paralelni, pa su stoga njihove duljine linearne dimenzije paralelopipeda. Teorem je dokazan.

10. Simetrija pravokutnog paralelopipeda

Pravokutni paralelopiped, kao i svaki paralelopiped, ima centar simetrije - točku sjecišta njegovih dijagonala. Također ima tri ravnine simetrije, koje prolaze kroz centar simetrije paralelno s licima. Slika 16 prikazuje jednu takvu ravninu. Prolazi kroz sredine četiriju paralelnih bridova paralelopipeda. Krajevi rebara su simetrične točke.

Ako su sve linearne dimenzije paralelopipeda različite, tada on nema druge ravnine simetrije osim navedenih.

Ako paralelopiped ima dvije linearne dimenzije koje su jednake, tada ima još dvije ravnine simetrije. To su ravnine dijagonalnih presjeka prikazane na slici 17.

Ako su paralelopipedu sve linearne dimenzije jednake, tj. on je kocka, tada je ravnina bilo kojeg dijagonalnog presjeka ravnina simetrije. Dakle, kocka ima devet ravnina simetrije.

11. Piramida

Piramida naziva se poliedar koji se sastoji od ravnog poligona - baza piramide, točka koja ne leži u ravnini baze - vrh piramide i sve segmente koji povezuju vrh piramide s baznim točkama (slika 18).

Segmenti koji povezuju vrh piramide s vrhovima baze nazivaju se bočna rebra.

Površina piramide sastoji se od baze i bočnih stranica. Svaka bočna strana je trokut. Jedan od njegovih vrhova je vrh piramide, a suprotna strana je stranica baze piramide.

Visina piramide, zove se okomica spuštena s vrha piramide na ravninu baze.

Piramida se naziva n-kutna ako joj je baza n-kut. Trokutasta piramida se također naziva tetraedar.

Piramida prikazana na slici 18 ima bazu poligona A1A2 ...An, vrh piramide - S, bočne bridove - SA1, S A2, ..., S An, bočne strane - DSA1A2, DSA2A3, ....

U nastavku ćemo razmatrati samo piramide s konveksnim poligonom u osnovi. Takve piramide su konveksni poliedri.

12. Konstrukcija piramide i njezinih ravnih presjeka

U skladu s pravilima paralelnog projektiranja, slika piramide je konstruirana na sljedeći način. Prvo se gradi temelj. Ovo će biti neki ravni poligon. Zatim se označava vrh piramide koji je bočnim rebrima povezan s vrhovima baze. Slika 18 prikazuje sliku peterokutne piramide.

Presjeci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trokuti (slika 19). Konkretno, trokuti su dijagonalni presjeci. To su presjeci ravninama koje prolaze kroz dva nesusjedna bočna brida piramide (slika 20).

Presjek piramide ravninom sa zadanim tragom g na ravnini baze konstruira se na isti način kao i presjek prizme.

Za konstruiranje presjeka piramide s ravninom dovoljno je konstruirati sjecišta njezinih bočnih stranica s ravninom reza.

Ako je na plohi koja nije paralelna s tragom g poznata neka točka A koja pripada presjeku, tada se prvo konstruira sjecište traga g rezne ravnine s ravninom te plohe - točka D na slici 21. Točka D je s točkom A povezana ravnom linijom. Tada je segment ove linije koji pripada plohi sjecište te plohe s ravninom rezanja. Ako točka A leži na plohi paralelnoj s tragom g, tada rezna ravnina siječe tu plohu po segmentu paralelnom s pravcem g. Prelazeći na susjednu bočnu plohu, konstruiraju njezino sjecište s ravninom rezanja, itd. Kao rezultat, dobiva se traženi dio piramide.

Slika 22 prikazuje presjek četverokutna piramida ravnina koja prolazi bočnom stranom baze i točkom A na jednom od njezinih bočnih bridova.

13. Krnja piramida

Teorem 19.5. Ravnina koja siječe piramidu i paralelna je s njezinom bazom odsijeca sličnu piramidu.

Dokaz. Neka je S vrh piramide, A vrh baze i A" točka presjeka rezne ravnine s bočnim bridom SA (slika 23). Podvrgnimo piramidu transformaciji homotetije s obzirom na vrh S s koeficijentom homotetije

Ovom homotetijom ravnina baze prelazi u paralelnu ravninu koja prolazi kroz točku A, odnosno u sekantičnu ravninu, a time i cijela piramida u dio koji je tom ravninom odsječen. Budući da je homotetija transformacija sličnosti, odsječeni dio piramide je piramida, slična ovoj. Teorem je dokazan.

Prema teoremu 19.5, ravnina koja je paralelna s ravninom baze piramide i siječe njezine bočne bridove odsijeca sličnu piramidu od nje. Drugi dio je poliedar koji se naziva krnja piramida (slika 24). Stranice krnje piramide koje leže u paralelnim ravninama nazivaju se bazama; preostala lica se zovu bočni rubovi. Osnove krnje piramide su slični (štoviše, homotetični) poligoni, bočne strane su trapezi.

14. Ispravna piramida

Piramida se naziva pravilnom ako joj je baza pravilan mnogokut i osnovica njene visine se poklapa sa središtem tog mnogokuta. Os pravilne piramide je pravac koji sadrži njezinu visinu. Očito, pravilna piramida ima jednake bočne bridove; dakle, bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti.

Visina bočne strane pravilne piramide, izvučena iz njenog vrha, naziva se apotemom. Bočna površina piramide je zbroj površina njezinih bočnih stranica.

Teorem 19.6. Bočna ploha pravilne piramide jednaka je umnošku poluopsega baze i apoteme.

Dokaz. Ako se strana baze A, broj strana P, tada je bočna površina piramide jednaka:

(a1/2)ap=a1p/2= p1/2"

Gdje ja - apotema, a p- opseg baze piramide. Teorem je dokazan.

Naziva se i krnja piramida koja se dobiva iz pravilne piramide ispraviti. Bočna lica pravilne krnje piramide su jednaki jednakokračni trapezi; njihove visine se zovu apoteme.

15. Pravilni poliedri

Konveksni poliedar naziva se pravilnim ako su mu plohe pravilni mnogokuti s istim brojem stranica i istim brojem bridova koji konvergiraju u svakom vrhu poliedra.)

Postoji pet vrsta pravilnih konveksnih poliedara (slika 25): pravilni tetraedar (1), kocka (2), oktaedar (3), dodekaedar (4); ikosaedar (5).

Pravilni tetraedar ima lica - pravilni trokuti; Tri brida konvergiraju u svakom vrhu. Tetraedar predstavlja trokutasta piramida, u kojem su svi rubovi jednaki.

Sve strane kocke su kvadrati; Tri brida konvergiraju u svakom vrhu. Kocka je pravokutni paralelopiped jednakih bridova.

Lica oktaedra su pravilni trokuti, ali za razliku od tetraedra, četiri ruba konvergiraju u svakom vrhu.

Dodekaedar ima pravilna peterokutna lica. Tri brida konvergiraju u svakom vrhu.

Ikozaedar ima pravilne površine trokuta, ali za razliku od tetraedra i oktaedra, pet bridova konvergira u svakom vrhu.

III. Praktični dio.

Zadatak 1.

Iz točaka A i B koje leže na plohama dvostranog kuta spuštene su okomice AA\ i BB\ na rub kuta. Odredite duljinu odsječka AB ako je AA1=a, BB1=b, A1B1=c i diedralski kut jednak a (slika 26).

Riješenje. Nacrtajmo ravne linije A1C||BB1 i VS||A1V1. Četverokut A1B1BC je paralelogram, što znači AA1==BB1=b. Pravac A1B1 okomit je na ravninu trokuta AA1C, jer je okomit na dva pravca u ovoj ravnini AA1 i CA1. Prema tome, pravac BC paralelan s njom također je okomit na tu ravninu. To znači da je trokut ABC pravokutan s pravim kutom C. Po teoremu kosinusa

AC2=AA12+A1C2-2AA1 A1C cos a=a2+b2-2abcos a.

Prema Pitagorinoj teoremi

AB = AC2 + BC2 = a2 + b2- 2ab cos a + c2.

Zadatak 2.

Trostrani kut (abc) ima diedarski kut na bridu s ravnom crtom, diedarski kut na bridu b jednak je j, a ravninski kut (bc) jednak je g (j, g

Riješenje. Iz proizvoljne točke A spustimo iz proizvoljne točke A okomicu AB na brid b i okomicu AC na brid c (sl. 27). Prema teoremu o tri okomice, CB je okomita na brid b.

Iz pravokutnih trokuta OAB, OSV, AOS i ABC dobivamo:

tg a =AB/OB=(BC/ cos j)/(BC/tg g)= tg g/ cos j

tg b =AC/OC=BC tg j / (BC/sin g)= tg g sin g

Problem 3.

Nagnuta prizma ima presjek okomit na bočna rebra i siječe sva bočna rebra. Odredite bočnu plohu prizme ako opseg presjeka jednak je p, a bočni bridovi jednaki su l.

Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 28). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prevođenju, kombinirajući baze prizme. U tom slučaju dobivamo ravnu prizmu čija je baza presjek izvorne prizme, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna ploha izvorne prizme jednaka je pl.

Zadatak 4.

Bočni brid piramide podijeljen je na četiri jednaka dijela, a kroz razdjelne točke povučene su ravnine paralelne s bazom. Površina baze je 400 cm2. Pronađite površine presjeka.

Riješenje. Presjeci su slični osnovici piramide s faktorima sličnosti ¼, 2/4 i ¾. Površine sličnih likova odnose se kao kvadrati linearnih dimenzija. Stoga su omjeri površina poprečnog presjeka i površine baze piramide (¼)2, (2/4)2 i (¾)2. Stoga su površine presjeka jednake

400 (¼)2 =25 (cm2),

400 (2/4)2 =100 (cm2),

400 (¾)2 = 225 (cm2).

Zadatak 5.

Dokažite da je bočna ploha pravilne krnje piramide jednaka umnošku polovice zbroja opsega baza i apoteme.

Riješenje. Bočne strane krnje piramide su trapezi s istom gornjom osnovicom a, donjom b i visinom (apotema) l. Dakle, površina jednog lica je ½ (a + b)l. Površina svih stranica, odnosno bočne plohe, jednaka je ½ (an + bn)l, gdje je n broj vrhova na bazi piramide, an i bn su perimetri baza piramide. .

IV. Zaključak

Zahvaljujući ovom radu sažela sam i sistematizirala znanja stečena tijekom tečaja 11. razreda, upoznala se s pravilima izvođenja kreativnog rada, stekla nova znanja i primijenila ih u praksi.

Željela bih istaknuti 3 knjige koje su mi se najviše svidjele:. “Geometrija”, G. Yakusheva “Matematika - priručnik za školarce”, “Iza stranica udžbenika geometrije”. Ove su mi knjige pomogle više nego druge.

Htjela bih češće primjenjivati ​​novo stečeno znanje u praksi.

V. Književnost

1. "Geometrija". – M.: Obrazovanje, 1992

2. G. Yakusheva “Matematika - priručnik za školarce.” M.: Slovo, 1995

3. “Tečaj matematičke analize” tom 1, Moskva 1981

4. “Iza stranica udžbenika geometrije.” – M.: Obrazovanje, 1990

Ministarstvo općeg i strukovnog obrazovanja
Sverdlovska regija

MOOOO

Obrazovna ustanova:

Obrazovno područje: prirodne znanosti
Predmet: matematika

Tema istraživačkog projekta:
"pravilni poliedri"

Izvršitelj:

Nadglednik:

Vanjski recenzent:

2010

Sadržaj:
Uvod 3-4
Poglavlje 1. Elementi teorije pravilnih poliedara 5-10
§ 1. Definicija poliedra i njegovih elemenata 5-6
§ 2. Pet pravilnih poliedara 7-8
§ 3. Eulerov teorem 9
Poglavlje 2. Studije pravilnih poliedara u
razdoblje prije Krista 10-12
Poglavlje 3. Proučavanje pravilnih poliedara
u 16. – 19. stoljeću. 13-15 (prikaz, ostalo).
Poglavlje 4. Pravilni poliedri u našim životima 16-18
§ 1. Poliedri oko nas 16-17
§ 2. Pravilni poliedri u umjetnosti 18
Primjeri zadataka 19-22
Zaključak 23-24
Prijave 25-34
Literatura 35

Uvod

U školskoj geometriji postoje posebne teme kojima se radujete, očekujući susret s nevjerojatno lijepim materijalom. Takve teme uključuju "pravilne poliedre". Ovdje se ne otvara samo nevjerojatan svijet geometrijskih tijela s jedinstvenim svojstvima, već i zanimljive znanstvene hipoteze. I tada lekcija geometrije postaje svojevrsno proučavanje neočekivanih aspekata poznatog školskog predmeta.

Nijedno geometrijsko tijelo nema takvo savršenstvo i ljepotu kao pravilni poliedri. "Postoji šokantno mali broj pravilnih poliedara", jednom je napisao L. Carroll, "ali ovaj vrlo skroman brojčano odjeljak uspio je prodrijeti u same dubine raznih znanosti."

Hipoteza:
Ako rasporedite događaje istraživanja pravilnih poliedara kronološki, možete identificirati glavne faze i značajke proučavanja Platonovih tijela
Predmet proučavanja:
pravilni poliedri (platonova tijela)
Predmet proučavanja:
glavna periodizacija istraživanja pravilnih poliedra, glavne komponente istraživanja, njihov međusobni odnos.
primarni cilj ovog projekta - upoznati se s konceptom pravilnih poliedra i identificirati glavne značajke proučavanja Platonova tijela.
Postavljanje takvog cilja unaprijed je odredilo formuliranje sljedećih zadataka:

Proučite povijest otkrića u području pravilnih poliedara
Odrediti glavne faze istraživanja Platonovih tijela, njihov sadržaj, odnose
Identificirati i karakterizirati glavne sastavnice istraživanja pravilnih poliedra, njihovu dinamiku i značajke

Poglavlje 1
Elementi teorije pravilnih poliedra

§ 1. Definicija poliedra i njegovih elemenata

Definicija: Poliedar je ploha sastavljena od poligona koja omeđuje određeno geometrijsko tijelo.
Poliedri se dijele na konveksan I nekonveksan
Definicija: konveksni poliedar je poliedar takav da ako uzmemo ravninu bilo kojeg njegovog lica, tada će cijeli poliedar biti na jednoj strani ove ravnine
Konveksan poliedri se pak dijele na netočno I ispraviti
Definicija: Pravilni poliedar ili Platonovo tijelo je konveksni poliedar s najvećom mogućom simetrijom.
Poliedar se naziva pravilnim ako:
1 je konveksan
2 sva njegova lica jednaki su pravilni poligoni
3 na svakom njegovom vrhu konvergira isti broj bridova 1
Postoji 5 pravilnih poliedara (tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar, ikozaedar), razmotrit ću dokaz ove činjenice u sljedećem paragrafu
stol 1

Pravilni poliedar	Broj
	Fasete	Vershin	Rebra
Kocka tetraedra Oktaedar Dodekaedar Ikozaedar	4 6 8 12 20	4 8 6 20 12	6 12 12 30 30

Tablica 1 daje podatke o broju stranica, bridova i vrhova pravilnih poliedara

§ 2. Pet pravilnih poliedara

Nijedno geometrijsko tijelo nema takvo savršenstvo i ljepotu kao pravilni poliedri. " Zabrinjavajuće je malo pravilnih poliedra, - jednom je napisao L. Carroll, - ali je ovaj vrlo skromni odred uspio ući u same dubine raznih znanosti".
Koliki je to prkosno mali broj i zašto ih je toliko? Koliko? Ispada da ih ima točno pet - ni više, ni manje. Razmotrimo dokaz ove činjenice. 2
Dokažimo da ne postoji pravilan poliedar čija su lica pravilni šesterokuti, sedmerokuti i općenito n-kuti s n većim ili jednakim šest.
Zapravo, kut pravilnog n-kuta s n većim ili jednakim šest nije manji od 120 stupnjeva ( kutovi između stranaka pravilan mnogokut ništa manje 180-360/p stupnjeva (gdje je p broj rubova)). S druge strane, na svakom vrhu poliedra moraju postojati najmanje tri ravna kuta. Stoga, kad bi postojao pravilan poliedar čija su lica pravilan n-kut s n većim ili jednakim šest, tada zbroj ravninskih kutova na svakom vrhu takvog poliedra ne bi bio manji od 120 * 3 = 360 stupnjeva. Ali to nije moguće jer je zbroj svih ravninskih kutova na svakom vrhu konveksnog poliedra manji od 360 stupnjeva. 3
Dokazali smo da postoji pet i samo pet pravilnih konveksnih poliedara. Dokaz da više ne može biti sadržan je u Euklidovim Elementima, a Teetet se smatra autorom tog dokaza. Poznato je da je Teetet nekoliko godina bio član Akademije i bio blizak Platonu, a ta bliskost može objasniti činjenicu da se pokazalo da je Platon bio upoznat s najnovijim otkrićima na polju stereometrije u to vrijeme 4.

§ 3. Eulerov teorem

Eulerov teorem za poliedre - teorem koji utvrđuje odnos između broja vrhova, bridova i stranica za poliedre koji su topološki ekvivalentni sferi.
Gledajući u stol 1, postavimo pitanje: "postoji li obrazac u rastućim brojevima u svakom stupcu?" Očigledno nije. U stupcu “rubovi” isprva je sve išlo dobro (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), a zatim je željeni uzorak “podbacio” (8 + 2). Ne postoji čak ni stabilan porast u stupcu “vrhovi”. Broj vrhova se ili povećava (od 4 do 8, od 6 do 20), ili se ponekad smanjuje (od 8 do 6, od 20 do 12). U stupcu "rubovi" također se ne vidi uzorak.
Uspoređivali smo brojeve unutar istog stupca. Ali možete uzeti u obzir zbroj brojeva u dva stupca, barem u stupcima "rubova" i "vrhova" (G + V). Usporedimo novu tablicu naših izračuna (vidi tablicu 2).
Tablica br. 2

Pravilni poliedar	Broj
	Lica i vrhovi (G + V)	Rebra (P)
Kocka tetraedar Oktaedar Dodekaedar Ikozaedar	4 + 4 = 8 6 + 8 = 14 8 + 6 = 14 12 + 20 = 32 20 + 12 = 32	6 12 12 30 30

Sada je uzorak vidljiv.
Formulirajmo to ovako: "Zbroj lica i vrhova jednak je broju bridova uvećanih za 2": G + B = P + 2.
Dakle, dobili smo formulu koju je već zabilježio Descartes 1640. godine, a kasnije ju je ponovno otkrio Euler (1752.), čije ime od tada i nosi. Eulerova formula vrijedi za sve konveksne poliedre. 5

2. Poglavlje
Proučavanja pravilnih poliedara u razdoblju pr

Imena pravilnih poliedara potječu od Drevna grčka. U doslovnom prijevodu s grčkog, "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar", "dodekaedar", "ikosaedar" znači: "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar". "dodekaedar", "dvadesetedar". Tim prekrasnim tijelima posvećena je 13. knjiga Euklidovih Elemenata. Nazivaju se i Platonova tijela, jer. zauzeli su važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira. Četiri poliedra personificirala su četiri esencije ili "elementa" u njemu. Tetraedar je simbolizirao vatru, jer. vrh mu je usmjeren prema gore; ikosaedar - voda, jer to je najviše "streamlined"; kocka - zemlja, kao "najstabilnija"; oktaedar - zrak, kao najprozračniji. Peti poliedar, dodekaedar, utjelovio je "sve što postoji", simbolizirao je cijeli svemir i smatrao se glavnim. 6
Unutar ove faze, po mom mišljenju, mogu se identificirati dvije glavne komponente:
1. Platonova teorija "4 elementa".
2. Konstrukcija pravilnih poligona po Euklidu
Stari Grci su harmonične odnose smatrali osnovom svemira, pa su njihova četiri elementa povezana omjerom: zemlja/voda = zrak/vatra. Platon je atome "elemenata" ugodio u savršene suzvučje, poput četiri žice lire. Dopustite mi da vas podsjetim da je suzvučje ugodno suzvučje. Mora se reći da su osebujni glazbeni odnosi u Platonovim tijelima čisto spekulativni i nemaju geometrijsku osnovu. Niti broj vrhova Platonova tijela, niti volumeni pravilnih poliedara, niti broj bridova ili stranica nisu povezani ovim odnosima.
U vezi s tim tijelima, bilo bi prikladno reći da je prvi sustav elemenata, koji je uključivao četiri elementa - zemlju, vodu, zrak i vatru - kanonizirao Aristotel. Ti su elementi stoljećima ostali četiri kamena temeljca svemira. Sasvim ih je moguće poistovjetiti s četiri nama poznata stanja materije - čvrstim, tekućim, plinovitim i plazmom. 7
Euklid se u svojim “Načelima” bavio konstrukcijom pravilnih poligona u IV. knjizi, rješavajući problem za n = 3, 4, 5, 6, 15. Osim toga, on je već definirao prvi kriterij za konstrukciju poligona: iako je ovaj kriterij bio nije navedeno u “Principima”", starogrčki matematičari uspjeli su konstruirati mnogokut sa 2m stranica (s cijelim brojem m > 1), nakon što su već konstruirali mnogokut s brojem stranica 2m - 1: korištenjem sposobnosti razdvajanja luka na dva dijela, od dva polukruga gradimo kvadrat, zatim pravilan osmerokut, pravilan šesterokut i tako dalje. Osim toga, u istoj knjizi Euklid ukazuje na drugi kriterij: ako se zna kako konstruirati poligone s r i s stranicama, a r i s su prosti, tada je moguće konstruirati mnogokut s r · s stranicama. Sintetizirajući ove dvije metode, možemo doći do zaključka da su stari matematičari mogli konstruirati pravilne poligone sa stranicama gdje je m nenegativan cijeli broj, p1, p2 su brojevi 3 i 5, a k1, k2 imaju vrijednosti 0 ili 1.
Počevši od 7. stoljeća prije Krista, u staroj Grčkoj stvaraju se filozofske škole u kojima se postupno prelazi s praktične na filozofsku geometriju. Rasuđivanje uz pomoć kojeg je bilo moguće dobiti nova geometrijska svojstva u tim je školama dobilo veliku važnost.
Jedna od prvih i najpoznatijih škola bila je pitagorejska škola, nazvana po svom osnivaču Pitagori. .
Prepoznatljivi znak pitagorejaca bio je pentagram, na matematičkom jeziku to je pravilan nekonveksan ili peterokut u obliku zvijezde.
Pentagramu je dodijeljena sposobnost da zaštiti osobu od zlih duhova. Postojanje samo pet pravilnih poliedara pripisivalo se strukturi materije i Svemira. Pitagorejci, a potom i Platon, vjerovali su da se materija sastoji od četiri osnovna elementa: vatre, zemlje, zraka i vode.
Srednjovjekovna matematika nije napravila gotovo nikakav napredak po pitanju konstruiranja pravilnih poliedara. Započelo je novo razdoblje proučavanja pravilnih poliedara, koje ću razmotriti u sljedećem poglavlju.

Poglavlje 3
Proučavanje pravilnih poliedara u 16. – 19. stoljeću.

A sada, iz antičke Grčke, prijeđimo u Europu u 16. – 17. stoljeću, kada je živio i djelovao divni njemački astronom i matematičar Johannes Kepler (1571.-1630.). Zamislimo sebe na Keplerovom mjestu. Ispred njega su razne tablice – stupci brojeva. Ovo su rezultati promatranja kretanja planeta Sunčev sustav- kako svoje, tako i velikih prethodnika - astronoma. U ovom svijetu računalnog rada, on želi pronaći neke obrasce. Johannes Kepler, kojemu su pravilni poliedri bili omiljeni predmet proučavanja, sugerirao je da postoji veza između pet pravilnih poliedara i šest planeta Sunčevog sustava otkrivenih u to vrijeme. Prema ovoj pretpostavci, u sferu Saturnove orbite može se upisati kocka u koju se uklapa sfera Jupiterove orbite.
Tetraedar opisan u blizini sfere Marsove orbite se pak uklapa u nju. Dodekaedar se uklapa u sferu orbite Marsa, u koju se uklapa sfera orbite Zemlje. I opisano je u blizini ikosaedra, u koji je upisana sfera orbite Venere. Sfera ovog planeta je opisana oko oktaedra, u koji se uklapa sfera Merkura. Ovaj model Sunčevog sustava nazvan je Keplerov "Kozmički pehar". Znanstvenik je rezultate svojih izračuna objavio u knjizi “Misterij svemira”. Vjerovao je da je tajna svemira otkrivena. Godinu za godinom, znanstvenik je usavršavao svoja zapažanja, dvostruko provjeravao podatke svojih kolega, ali je konačno smogao snage da odustane od primamljive hipoteze. Međutim, njegovi tragovi vidljivi su u trećem Keplerovom zakonu koji govori o kubovima prosječnih udaljenosti od Sunca.
Danas sa sigurnošću možemo reći da udaljenosti između planeta i njihov broj ni na koji način nisu povezani s poliedrima. Naravno, struktura Sunčevog sustava nije slučajna, ali stvarni razlozi, zašto je uređeno ovako, a ne drugačije, još uvijek nije poznato. Keplerove ideje su se pokazale pogrešnim, ali bez hipoteza, ponekad najneočekivanijih, naizgled suludih, znanost ne može postojati. 8
Osim polupravilnih poliedra, od pravilnih poliedra - Platonova tijela - mogu se dobiti tzv. pravilni zvjezdasti poliedri. Ima ih samo četiri. Prva dva otkrio je J. Kepler (1571. - 1630.), a druga dva sagradio je gotovo dvjesto godina kasnije francuski matematičar i mehaničar Louis Poinsot (1777. - 1859.). Zato se pravilni zvjezdasti poliedri nazivaju Kepler–Poinsotova tijela. U svom djelu “O poligonima i poliedrima” (1810.), Louis Poinsot je naveo i opisao sve pravilne poliedre u obliku zvijezde, postavljene, ali nije riješio pitanje postojanja pravilnih poliedra, čiji je broj lica različit od 4. , 6, 8, 12, 20. Odgovor na ovo pitanje dao je godinu dana kasnije, 1811. godine, francuski matematičar Auguste Louis Cauchy (1789. - 1857.) u svom djelu “Studija o poliedrima”. To dokazuje da ne postoje drugi pravilni poliedri osim onih koje je naveo Poinsot. Autor dolazi do zaključka da se pravilni zvjezdasti poliedri dobivaju iz konveksnih pravilnih poliedra produženjem njihovih bridova ili ploha te se istražuje pitanje koji se pravilni zvjezdasti poliedri mogu dobiti iz pravilnih zvjezdastih poliedra. Zaključuje se da tetraedar, kocka i oktaedar nemaju zvjezdaste oblike, dodekaedar ima tri, a ikosaedar jedan zvjezdasti oblik (to su mali zvjezdani dodekaedar, veliki dodekaedar i veliki ikozaedar). 9
Dakle, u okviru druge faze istraživanja mogu se identificirati 3 komponente:

Keplerov "Kozmički pehar"
Djelo “O poligonima i poliedrima” i teoriji pravilnih zvjezdastih poliedara Louisa Poinsota
Djelo "Studija poliedara" Louisa Cauchyja

Louis Carroll je napisao: "Zabrinjavajuće je malo pravilnih poliedara, ali ovaj vrlo skromni tim uspio je ući u same dubine raznih znanosti."
U dubine kojih znanosti su se probili pravilni poliedri? Gdje ih u životu možemo sresti? Pokušat ćemo odgovoriti na ovo pitanje u sljedećem poglavlju.

Poglavlje 4
Pravilni poliedri u našim životima
§ 1. Poliedri oko nas
Pravilni poliedri su najpovoljniji oblici, zbog čega su široko rasprostranjeni u prirodi. To potvrđuje i oblik nekih kristala. Na primjer, kristali kuhinjske soli imaju oblik kocke.
U proizvodnji aluminija koristi se aluminij-kalijev kvarc (K ? 12H2O) čiji monokristal ima oblik pravilnog oktaedra. Proizvodnja sumporne kiseline, željeza i posebnih vrsta cementa nije potpuna bez piritnog sumpora (FeS). Kristali ove kemikalije imaju oblik dodekaedra. U raznim kemijskim reakcijama koristi se natrijev antimonov sulfat (Na5(SbO4(SO4)) - tvar koju su sintetizirali znanstvenici. Kristal natrijevog antimonovog sulfata ima oblik tetraedra. Posljednji pravilni poliedar - ikosaedar - prenosi oblik kristali bora.
Pravilni poliedri se nalaze i u živoj prirodi. Na primjer, kostur jednostaničnog organizma Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) ima oblik ikosaedra.
Što je uzrokovalo ovu prirodnu geometrizaciju feodarije? Očigledno, zbog svih poliedara s istim brojem stranica, ikosaedar ima najveći volumen s najmanjom površinom. Ovo svojstvo pomaže morskom organizmu da prevlada pritisak vodenog stupca.
Ideje Platona i Keplera o povezanosti pravilnih poliedara sa skladnom strukturom svijeta u našem vremenu nastavljene su u zanimljivoj znanstvenoj hipotezi, koja je početkom 80-ih. izrazili su moskovski inženjeri V. Makarov i V. Morozov. Oni vjeruju da jezgra Zemlje ima oblik i svojstva rastućeg kristala, koji utječe na razvoj svih prirodnih procesa koji se odvijaju na planetu. Zrake ovog kristala, odnosno njegovo polje sile, određuju ikosaedar-dodekaedar strukturu Zemlje. Očituje se u činjenici da se u zemljinoj kori pojavljuju projekcije pravilnih poliedra upisanih u globus: ikozaedar i dodekaedar.
Mnoga ležišta minerala protežu se duž mreže ikosaedra-dodekaedra; 62 vrhova i središta bridova poliedara, koje autori nazivaju čvorovima, imaju niz specifičnih svojstava koja omogućuju
objasniti neke čudne pojave. Ovdje su središta drevnih kultura i civilizacija: Perua, Sjeverne Mongolije, Haitija, Obske kulture i drugih. Na tim se točkama opažaju maksimalni i minimalni atmosferski tlak i ogromni vrtlozi Svjetskog oceana. Ovi čvorovi sadrže Loch Ness i Bermudski trokut.
Daljnja proučavanja Zemlje mogu odrediti stav prema ovoj znanstvenoj hipotezi, u kojoj, kao što se vidi, pravilni poliedri zauzimaju važno mjesto. 10
Također je zanimljivo da je upravo ikozaedar postao žarište pozornosti biologa u njihovim sporovima o obliku virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se dosad mislilo. Kako bi ustanovili njegov oblik, uzeli su različite poliedre i usmjerili svjetlost na njih pod istim kutovima kao protok atoma na virus. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu - ikosaedar. Njegova geometrijska svojstva, gore spomenuta, omogućuju vam uštedu genetske informacije.
§ 2. Pravilni poliedri u umjetnosti
Tijekom renesanse kipari su pokazivali veliko zanimanje za oblike pravilnih poliedara. arhitekti, umjetnici. Leonardo da Vinci (1452. -1519.), primjerice, bio je oduševljen teorijom poliedra i često ih je prikazivao na svojim platnima. Knjigu monaha Luce Paciolija "O božanskoj proporciji" ilustrirao je pravilnim i polupravilnim poliedrima.
Slavni renesansni umjetnik Albrecht Durer prikazao je dodekaedar u prvom planu svoje gravure "Melankolija". Godine 1525. napisao je raspravu u kojoj je prikazao pet pravilnih poliedara čije plohe služe dobri modeli izgledi
Salvador Dali koristi dodekaedar na svojoj slici "Posljednja večera", koji služi kao svojevrsni "prozor" u vanjski svijet i naglašava važnost ovog događaja.

Uzorak problema
Problem 1 Je li moguće spojiti deset gradova cestama koje se ne sijeku tako da iz svakog grada postoji pet cesta koje vode u pet drugih gradova?

Riješenje Pretpostavimo da se gradovi mogu povezati cestama kako je navedeno u problemu. U tom slučaju, ako bilo koja dva grada nisu izravno povezana cestom, tada će postojati treći grad koji će već biti izravno povezan sa svakim od njih. Prikazujući gradove na ravnini kao točke, a ceste kao lukove, dobivamo da su bilo koje dvije točke povezane lancem lukova. Budući da pet lukova konvergira u svakoj točki, ukupan broj lukova je?·5·10 = 25. Prema Eulerovom teoremu, ti lukovi dijele ravninu na 2 + 25 – 10 = 17 područja. Svaka od tih sedamnaest regija ograničena je s najmanje tri luka, jer bi inače postojala dva grada izravno povezana s najmanje dvije ceste, a to je u suprotnosti s postavkom problema. Dakle, broj lukova nije manji od?·3·17 = 25,5. Dakle, početna nas pretpostavka dovodi do kontradikcije, a gradovi se ne mogu međusobno povezati na način koji se u problemu traži. jedanaest

Problem 2 Tri zavađena susjeda imaju tri zajednička bunara. Je li moguće izgraditi staze koje se ne sijeku od svake kuće do svakog bunara?

Riješenje Pretpostavimo da se to može učiniti.

Nacrtajmo kuće plavim, a bunare crnim točkama i spojimo svaku plavu točku lukom sa svakom crnom točkom tako da se devet rezultirajućih lukova ne sijeku u paru. Tada će bilo koje dvije točke koje predstavljaju kuće ili bunare biti povezane lancem lukova, a na temelju Eulerovog teorema, tih će devet lukova podijeliti ravninu na 9–6+2=5 područja. Svako od pet područja ograničeno je s najmanje četiri luka, budući da prema uvjetima problema nijedna od staza ne bi trebala izravno spajati dvije kuće ili dva bunara. Dakle, broj lukova ne smije biti manji od ?·5·4 = 10, pa je naša pretpostavka netočna. 12

Problem 3 Dokažite da na svakoj karti postoji država koja graniči s najviše pet zemalja.

Riješenje. Ako broj zemalja na karti ne prelazi šest, onda je izjava problema očita. Dokazat ćemo da će se na karti s više od šest država nalaziti čak četiri države od kojih svaka graniči s najviše pet država. Obojimo vrhove i lukove originalne karte u crno, a crvenom bojom označimo jednu točku u svakoj zemlji. Spojimo bilo koje dvije označene točke koje leže u susjednim zemljama (odnosno zemljama koje imaju zajednički granični luk) unutar tih zemalja crvenim lukom tako da se crveni lukovi ne sijeku u paru. Tada će svake dvije crvene točke biti spojene lancem lukova, a budući da dva izgrađena luka neće povezivati ​​iste točke, tada će svaka država na karti koja se sastoji od crvenih točaka i lukova biti ograničena s najmanje tri luka. Ako je država na ovoj karti ograničena s više od tri luka, tada na njezinoj granici možete odabrati dva vrha koja nisu povezana lukom i spojiti ih crvenim lukom unutar te zemlje. Ponavljajući ovu operaciju nekoliko puta, dobivamo crvenu kartu na kojoj je svaka država ograničena s točno tri luka. Kako, osim toga, na ovoj karti ne postoje dva luka koja spajaju iste vrhove i budući da je broj vrhova veći od tri, tada iz svakog vrha izlaze najmanje tri luka. Označimo s n broj lukova, s l broj država, s m broj svih vrhova crvene karte, a s a broj vrhova iz kojih izlazi manje od šest lukova. Tada dobivamo 3l = 2n, (1)
itd.................

U školskoj geometriji postoje posebne teme kojima se radujete, očekujući susret s nevjerojatno lijepim materijalom. Takve teme uključuju "pravilne poliedre".Ovdje se ne otvara samo nevjerojatan svijet geometrijskih tijela s jedinstvenim svojstvima, već i zanimljive znanstvene hipoteze. I tada lekcija geometrije postaje svojevrsno proučavanje neočekivanih aspekata poznatog školskog predmeta.

Nijedno geometrijsko tijelo nema takvo savršenstvo i ljepotu kao pravilni poliedri. "Postoji šokantno mali broj pravilnih poliedara", jednom je napisao L. Carroll, "ali ovaj vrlo skroman brojčano odjeljak uspio je prodrijeti u same dubine raznih znanosti."

Koliki je to prkosno mali broj i zašto ih je toliko? Koliko? Ispada da ih ima točno pet - ni više, ni manje. To se može potvrditi razvijanjem konveksnog poliedarskog kuta. Zapravo, da bi se dobio bilo koji pravilni poliedar prema njegovoj definiciji, isti broj stranica mora konvergirati u svakom vrhu, od kojih je svaki pravilan mnogokut. Zbroj ravnih kutova poliedarskog kuta mora biti manji od 360°, inače se neće dobiti poliedarska ploha. Nabrajanje mogućih cjelobrojnih rješenja nejednadžbi: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Nazivi pravilnih poliedara potječu iz Grčke. U doslovnom prijevodu s grčkog, "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar", "dodekaedar", "ikosaedar" znači: "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar". "dodekaedar", "dvadesetedar". Tim prekrasnim tijelima posvećena je 13. knjiga Euklidovih Elemenata. Nazivaju se i Platonova tijela, jer. zauzeli su važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira. Četiri poliedra personificirala su četiri esencije ili "elementa" u njemu. Tetraedar je simbolizirao vatru, jer. vrh mu je usmjeren prema gore; ikosaedar - voda, jer to je najviše "streamlined"; kocka - zemlja, kao "najstabilnija"; oktaedar - zrak, kao najprozračniji. Peti poliedar, dodekaedar, utjelovio je "sve što postoji", simbolizirao je cijeli svemir i smatrao se glavnim.

Stari Grci su skladne odnose smatrali osnovom svemira, pa su njihova četiri elementa bila povezana sljedećim omjerom: zemlja/voda=zrak/vatra. Platon je atome "elemenata" ugodio u savršene suzvučje, poput četiri žice lire. Dopustite mi da vas podsjetim da je suzvučje ugodno suzvučje. Mora se reći da su osebujni glazbeni odnosi u Platonovim tijelima čisto spekulativni i nemaju geometrijsku osnovu. Niti broj vrhova Platonova tijela, niti volumeni pravilnih poliedara, niti broj bridova ili stranica nisu povezani ovim odnosima.

U vezi s tim tijelima, bilo bi prikladno reći da je prvi sustav elemenata, koji je uključivao četiri elementa - zemlju, vodu, zrak i vatru - kanonizirao Aristotel. Ti su elementi stoljećima ostali četiri kamena temeljca svemira. Sasvim ih je moguće poistovjetiti s četiri nama poznata stanja materije - čvrstim, tekućim, plinovitim i plazmom.

Pravilni poliedri zauzimali su važno mjesto u sustavu harmonične strukture svijeta I. Keplera. Ista vjera u sklad, ljepotu i matematički pravilnu strukturu svemira dovela je I. Keplera do ideje da im, budući da postoji pet pravilnih poliedra, odgovara samo šest planeta. Po njegovom mišljenju, sfere planeta međusobno su povezane Platonovim tijelima upisanim u njih. Budući da se za svaki pravilan poliedar središta upisane i opisane sfere poklapaju, cijeli model će imati jedno središte u kojem će se nalaziti Sunce.

Nakon ogromnog računalnog rada, I. Kepler je 1596. objavio rezultate svog otkrića u knjizi "Misterij svemira". On upisuje kocku u sferu Saturnove orbite, u kocku - Jupiterovu sferu, u Jupiterovu sferu - tetraedar, i tako dalje, Marsovu sferu - dodekaedar, Zemljinu sferu - ikosaedar, sfera Venere - oktaedar, sfera Merkura. Čini se da je misterij svemira otvoren.

Danas možemo sa sigurnošću reći da udaljenosti između planeta nisu povezane ni s jednim poliedrom. Međutim, moguće je da bez „Misterija svemira“, „Harmonije svijeta“ I. Keplera, pravilnih poliedra ne bi bilo tri poznata zakona I. Keplera, koji igraju važnu ulogu u opisivanju kretanja planeta.

Gdje drugdje možete vidjeti ova nevjerojatna tijela? U vrlo lijepoj knjizi njemačkog biologa s početka ovog stoljeća, E. Haeckela, "Ljepota oblika u prirodi", možete pročitati sljedeće retke: "Priroda njeguje u svojim grudima neiscrpan broj nevjerojatnih stvorenja, koja u ljepoti i raznolikosti daleko nadmašuju sve oblike stvorene ljudskom umjetnošću.” Stvorenja prirode prikazana u ovoj knjizi su lijepa i simetrična. Ovo je neodvojivo svojstvo prirodnog sklada. Ali ovdje možete vidjeti i jednostanične organizme - feodariju, čiji oblik točno odražava ikosaedar. Što uzrokuje ovu prirodnu geometrizaciju? Možda zbog svih poliedara s istim brojem stranica, ikosaedar ima najveći volumen i najmanju površinu. Ovo geometrijsko svojstvo pomaže morskom mikroorganizmu da prevlada pritisak vodenog stupca.

Također je zanimljivo da je upravo ikozaedar postao žarište pozornosti biologa u njihovim sporovima o obliku virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se dosad mislilo. Kako bi ustanovili njegov oblik, uzeli su različite poliedre i usmjerili svjetlost na njih pod istim kutovima kao protok atoma na virus. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu - ikosaedar. Njegova gore spomenuta geometrijska svojstva omogućuju spremanje genetskih informacija. Pravilni poliedri su najpovoljniji likovi. A priroda to uvelike koristi. Kristali nekih nama poznatih tvari imaju oblik pravilnih poliedara. Tako kocka prenosi oblik kristala kuhinjske soli NaCl, monokristal aluminij-kalijeve stipse (KAlSO4)2 · 12H2O ima oblik oktaedra, kristal sumpornog pirita FeS ima oblik dodekaedra, natrijev antimon sulfat ima oblik tetraedra, a bor ima oblik ikosaedra. Pravilni poliedri određuju oblik kristalnih rešetki nekih kemijskih tvari. Ovu ideju ću ilustrirati sljedećim problemom.

Zadatak. Model molekule metana CH4 ima oblik pravilnog tetraedra, s atomima vodika u četiri vrha i atomom ugljika u središtu. Odredite vezni kut između dvije CH veze.

Riješenje. Budući da pravilan tetraedar ima šest jednakih bridova, moguće je odabrati kocku tako da su dijagonale njezinih stranica bridovi pravilnog tetraedra (slika 2). Središte kocke je i središte tetraedra, jer su četiri vrha tetraedra ujedno i vrhovi kocke, a sfera opisana oko njih jednoznačno je određena s četiri točke koje ne leže u istoj ravnini. Željeni kut j između dvije CH veze jednak je kutu AOS. Trokut AOC je jednakokračan. Dakle, gdje je a stranica kocke, d je duljina dijagonale bočne strane ili ruba tetraedra. Dakle, odakle dolazi =54,73561 O i j = 109,47 O?

Ideje Pitagore, Platona, I. Keplera o povezanosti pravilnih poliedara sa skladnom strukturom svijeta već su pronašle svoj nastavak u našem vremenu u zanimljivoj znanstvenoj hipotezi, čiji su autori (ranih 80-ih) bili moskovski inženjeri V. Makarov i V. Morozov. Oni vjeruju da jezgra Zemlje ima oblik i svojstva rastućeg kristala, koji utječe na razvoj svih prirodnih procesa koji se odvijaju na planetu. Zrake ovog kristala, odnosno njegovo polje sile, određuju ikosaedarsko-dodekaedarsku strukturu Zemlje (sl. 3), koja se očituje u činjenici da se u zemljinoj kori pojavljuju projekcije pravilnih poliedra upisanih u globus: ikosaedar i dodekaedar. Njihova 62 vrha i središta bridova, koje autori nazivaju čvorovima, imaju niz specifičnih svojstava koja omogućuju objašnjenje nekih neshvatljivih pojava.

Ako ucrtamo središta najvećih i najznamenitijih kultura i civilizacija na kugli zemaljskoj Drevni svijet, možete primijetiti uzorak u njihovom položaju u odnosu na geografske polove i ekvator planeta. Mnoga nalazišta minerala protežu se duž mreže ikosaedra-dodekaedra. Na raskrižju ovih rubova događaju se još nevjerojatnije stvari: ovdje su središta drevnih kultura i civilizacija: Perua, Sjeverne Mongolije, Haitija, kulture Ob i drugih. Na tim točkama postoje maksimumi i minimumi atmosferskog tlaka, ogromni vrtlozi Svjetskog oceana, ovdje škotsko jezero Loch Ness, Bermudski trokut. Daljnja proučavanja Zemlje mogu odrediti stav prema ovoj lijepoj znanstvenoj hipotezi, u kojoj, kao što se vidi, pravilni poliedri zauzimaju važno mjesto.

Dakle, utvrđeno je da postoji točno pet pravilnih poliedara. Kako možemo odrediti broj bridova, stranica i vrhova u njima? To nije teško učiniti za poliedre s malim brojem bridova, ali kako, na primjer, dobiti takve informacije za ikozaedar? Poznati matematičar L. Euler dobio je formulu B+G-P=2, koja povezuje broj vrhova /B/, stranica /G/ i bridova /P/ bilo kojeg poliedra. Jednostavnost ove formule leži u činjenici da nije povezana niti s udaljenosti niti s kutovima. Da bismo odredili broj bridova, vrhova i stranica pravilnog poliedra, prvo nalazimo broj k = 2y - xy + 2x, gdje je x broj bridova koji pripadaju jednoj plohi, y je broj ploha koje se sastaju na jedan vrh. Da bismo pronašli broj stranica, vrhova i bridova pravilnog poliedra, koristimo formule. Nakon toga je lako ispuniti tablicu koja daje informacije o elementima pravilnih poliedra:

poliedar G V R

tetraedar 4-4-6

heksaedar 6-8-12

oktaedar 8-6-12

dodekaedar 12-20-30

ikosaedar 20-12-30

I još se jedno pitanje postavlja u vezi s pravilnim poliedrima: je li moguće njima ispuniti prostor tako da između njih nema praznina? Nastaje po analogiji s pravilnim poligonima, od kojih neki mogu ispuniti ravninu. Ispada da se prostor može ispuniti samo uz pomoć jedne pravilne kocke poliedra. Prostor se može ispuniti i rombskim dodekaedrom. Da biste to razumjeli, morate riješiti problem.

Zadatak. Od sedam kockica koje tvore prostorni "križ" sagradite rombični dodekaedar i pokažite da mogu ispuniti prostor.

Riješenje. Kocke mogu ispuniti prostor. Razmotrimo dio kubične rešetke prikazane na sl. 4. Srednju kocku ostavit ćemo netaknutu, au svakoj od “rubnih” kocki povući ćemo ravnine kroz svih šest pari suprotnih rubova. U ovom slučaju, "rubne" kocke će biti podijeljene u šest jednakih piramida s kvadratnim bazama i bočnim bridovima jednakim polovici dijagonale kocke. Piramide uz netaknutu kocku tvore, zajedno s potonjom, rombični dodekaedar. Iz ovoga je jasno da rombski dodekaedri mogu ispuniti cijeli prostor. Kao posljedica toga, nalazimo da je volumen rombskog dodekaedra jednak dvostrukom volumenu kocke, čiji rub koincidira s manjom dijagonalom lica dodekaedra.

Rješavajući posljednji problem, došli smo do rombskih dodekaedra. Zanimljivo je da su pčelinje stanice, koje također ispunjavaju prostor bez praznina, također idealno geometrijske figure. Vrh pčelinje ćelije dio je rombičnog dodekaedra.

Dakle, pravilni poliedri otkrili su nam pokušaje znanstvenika da se približe tajni harmonije svijeta i pokazali neodoljivu privlačnost geometrije.

Federalna agencija za obrazovanje
Državna obrazovna ustanova
visoko stručno obrazovanje
"Državna društvena i humanitarna akademija regije Volga"

Fakultet primarnog obrazovanja

Esej

Poliedar. Istraživanje poliedra

u osnovnoj školi.

Izvršio: student

51 skupina TNF-a

Petrušina O.V.

SAMARA 2009

Uvod………………………………………………………………………………….4

Osnovni pojmovi………………………………………………………….6

Povijesni podaci o pravilnim poliedrima……………..….9

Eulerova formula…………………………………………………………...13

Pravilni poliedri oko nas………………………………....14

Zaključak………………………………………………………………...18

Literatura………………………………………………………………………..20

Uvod

Tema "Poliedri" jedna je od glavnih u tradicionalnom školskom tečaju geometrije. Oni čine, moglo bi se reći, središnji predmet stereometrije. Proučavanje paralelnih i okomitih linija i ravnina, diedralnih kutova i više, kao i uvođenje vektora i koordinata, sve je to samo početak stereometrije, pripremajući alate za proučavanje njezinih značajnijih objekata - uglavnom tijela i površina.
Središnja uloga poliedra određena je prvenstveno činjenicom da su mnogi rezultati koji se odnose na druga tijela dobiveni na temelju odgovarajućih rezultata za poliedre; Dovoljno je prisjetiti se određivanja volumena tijela i površina ploha graničnim prelaskom iz poliedra.
Osim toga, sami poliedri predstavljaju izuzetno značajan predmet proučavanja, ističući se među svim tijelima po mnogim zanimljivim svojstvima i teoremima te problemima koji se na njih posebno odnose. Možemo se, primjerice, prisjetiti Eulerovog teorema o broju stranica, bridova i vrhova, simetrije pravilnih poliedara, pitanja popunjavanja prostora poliedrima itd.
Poliedrima treba posvetiti veću pozornost u školskim tečajevima i zato što oni daju posebno bogatu građu za razvoj prostornih pojmova, za razvoj onog spoja žive prostorne imaginacije sa strogom logikom, što je bit geometrije. Čak i najjednostavnije činjenice koje se tiču ​​poliedra zahtijevaju takvo povezivanje, što se ne pokazuje posve lako. Čak i tako jednostavna činjenica kao što je sjecište dijagonala paralelopipeda u jednoj točki zahtijeva napor mašte da se jasno vidi i treba rigorozan dokaz.
Štoviše, uporaba poliedara od samog početka proučavanja stereometrije služi u razne didaktičke svrhe. Na poliedrima je prikladno pokazati relativni položaj linija i ravnina u prostoru, pokazati korištenje znakova paralelnosti i okomitosti linija i ravnina u prostoru. Ilustracija prvih teorema stereometrije na određenim modelima povećava interes učenika za predmet.
Također, jedan od glavnih ciljeva nastave matematike je razvoj apstraktnog mišljenja kod učenika. Ovaj cilj uvelike je olakšan korištenjem vizualnih pomagala, ne samo u nižim razredima, već iu višim razredima. Tema "Poliedri" pruža široke mogućnosti za realizaciju ovog cilja, posebice samostalnu izradu vizualnih pomagala učenika. U procesu izrade modela poliedara, osim teorijskih znanja i vještina, učenici učvršćuju novonastale pojmove uz pomoć crteža i stvarnog rješavanja konstrukcijskih problema. Kod samostalne izrade modela slika se stvara u dijelovima pa se s njima mogu raditi razne manipulacije. U isto vrijeme, sva njihova svojstva i značajke lako se prepoznaju i čvrsto fiksiraju u sjećanju učenika.

Osnovni koncepti.

Poliedar je geometrijsko tijelo omeđeno sa svih strana ravnim poligonima tzv rubovi.

Strane lica – rebra poliedra, a krajevi bridova su vrhovi poliedar. Na temelju broja stranica razlikuju se tetraedri, pentaedri itd.

Poliedar se zove konveksan, ako se sve nalazi na jednoj strani ravnine, svaka njegova strana.

Konveksni poliedar naziva se ispraviti ako su sve njegove plohe identični pravilni poligoni, isti broj bridova konvergira u svakom vrhu, a susjedne plohe tvore jednake kutove.

Slika prikazuje tetraedar, heksaedar, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar. Njihov oblik je primjer savršenstva! Zašto su pravilni poliedri dobili ovo ime? Koje značajke imaju? Kako napraviti model bilo kojeg pravilnog poliedra? Gdje možete pronaći ova nevjerojatna tijela?

Odgovoriti na ova i druga pitanja: cilj ovog rada.

Svi pravilni poliedri imaju različiti broj stranica i po tom broju se nazivaju.

Tetraedar (od tetra - četiri i grčkog hedra - lice) sastoji se od 4 pravilna trokuta, 3 brida se sastaju na svakom vrhu.

Heksaedar (od grčkog hexa - šest i hedra - lice) ima 6 kvadratnih lica, 3 ruba konvergiraju na svakom vrhu.

Heksahedron je poznatiji kao kocka(od latinskog, cubus"; od grčkog, kubos".

Oktaedar (od grčkog okto - osam i hedra - lice) ima 8 lica (trokutastih), 4 ruba konvergiraju na svakom vrhu.

Dodekaedar (od grčkog dodeka - dvanaest i hedra - lice) ima 12 lica (pentagonalnih), 3 ruba konvergiraju na svakom vrhu.

Ikozaedar (od grčkog eikosi - dvadeset i hedra - lice) ima 20 lica (trokutastih), 5 rubova konvergira na svakom vrhu. (5, str.267-269)

Ispada da postoji točno pet pravilnih poliedara - ni više, ni manje. Doista, da bi se dobio bilo koji pravilan poliedar, na svakom vrhu, prema njegovoj definiciji, mora konvergirati isti broj stranica, od kojih je svaka pravilan mnogokut.

Zbroj ravnih kutova poliedarskog kuta mora biti manji od 360°, inače se neće dobiti poliedarska ploha. Nabrajanje mogućih cjelobrojnih rješenja nejednadžbi: 60k

Povijesni podaci o pravilnim poliedrima.

Starogrčki filozof Platon, (428. ili 427. pr. Kr. - 348. ili 347.), koji je vodio razgovore sa svojim učenicima u Academusovom gaju (Academus je starogrčki mitološki junak, koji je, prema legendi, pokopan u svetom gaju blizu Atena, odakle dolazi naziv, akademija”), proglasio je jedan od mota svoje škole: “Oni koji ne znaju geometriju nisu primljeni!”

Pravilni poliedri nazivaju se i Platonova tijela. Iako su njihovi znakovi pitagorejski nekoliko stoljeća prije Platona.

U dijalogu Timej povezao je pravilne poliedre s četiri osnovna elementa. Tetraedar je simbolizirao vatru, jer. vrh mu je usmjeren prema gore; ikosaedar - voda, jer to je najviše "streamlined"; kocka - zemlja, kao "najstabilnija"; oktaedar - zrak, kao najprozračniji. Peti poliedar, dodekaedar, utjelovio je "sve što postoji", simbolizirao je cijeli svemir i smatrao se glavnim. Iako su pravilni poliedri bili poznati Pitagorejcima nekoliko stoljeća prije Platona, oni se nazivaju Platonova tijela. (4, str.340)

Pravilni poliedri zauzimali su važno mjesto u sustavu harmonične strukture svijeta I. Keplera.

Ako promatrate i ispitujete višestruke oblike, ne samo da možete osjetiti njihovu ljepotu, već i otkriti neke obrasce koji mogu imati praktično značenje.

Neka od pravilnih i polu-pravilnih tijela nalaze se u prirodi u obliku kristala, druga - u obliku virusa, jednostavnih mikroorganizama.

Kristali su tijela koja imaju višestruki oblik. Evo jednog primjera takvih tijela: kristal pirita (sumporni pirit FeS) - prirodni model dodekaedra. Pirit (od grčkog “pyr” - vatra) je željezni sulfid ili sumporni pirit, najčešći mineral iz skupine sulfida. Kristali pirita često dosežu veličinu od nekoliko centimetara i dobar su kolekcijski materijal. Od drugih sličnih minerala razlikuje se po tvrdoći: grebe staklo.

Primijećeno je da naša Majka Zemlja dosljedno prolazi kroz evoluciju pravilnih trodimenzionalnih figura. Postoji mnogo podataka koji uspoređuju strukture i procese na Zemlji s gornjim brojkama. Vjeruje se da četiri geološke ere Zemlje odgovaraju četirima okvirima snage pravilnih Platonovih tijela: protozoik - tetraedar (četiri ploče) paleozoik - heksaedar (šest ploča) mezozoik - oktaedar (osam ploča) kenozoik - dodekaedar (dvanaest ploča).

Postoji hipoteza prema kojoj jezgra Zemlje ima oblik i svojstva rastućeg kristala, što utječe na razvoj svih prirodnih procesa koji se odvijaju na planetu. “Zrake” ovog kristala, odnosno njegovo polje sile, određuju ikozaedarsko-dodekaedarsku strukturu Zemlje, koja se očituje u tome što se u zemljinoj kori pojavljuju projekcije pravilnih poliedra upisanih u zemljinu kuglu: ikozaedar i dodekaedar . Ispostavilo se da njihova 62 vrha i sredine bridova, zvani čvorovi, imaju niz specifičnih svojstava koja omogućuju objašnjenje mnogih neshvatljivih pojava.

Ako nacrtate središta najvećih i najznačajnijih kultura i civilizacija starog svijeta na kugli zemaljskoj, primijetit ćete uzorak u njihovom položaju u odnosu na geografske polove i ekvator planeta. Mnoga ležišta minerala protežu se duž mreže ikosaedra-dodekaedra. Na raskrižju ovih rubova događaju se još nevjerojatnije stvari: ovdje su središta drevnih kultura i civilizacija: Perua, Sjeverne Mongolije, Haitija, kulture Ob i drugih. Na tim točkama postoje maksimumi i minimumi atmosferskog tlaka, ogromni vrtlozi Svjetskog oceana, ovdje škotsko jezero Loch Ness, Bermudski trokut. Daljnja proučavanja Zemlje mogu odrediti stav prema ovoj lijepoj znanstvenoj hipotezi, u kojoj, kao što se vidi, pravilni poliedri zauzimaju važno mjesto.

Sovjetski inženjeri V. Makarov i V. Morozov proveli su desetljeća istražujući ovo pitanje. Došli su do zaključka da se razvoj Zemlje odvijao u fazama, a trenutno su procesi koji se odvijaju na površini Zemlje doveli do pojave naslaga s uzorkom ikosaedra - dodekaedra. Davne 1929. godine S.N. Kislitsin je u svojim radovima usporedio strukturu dodekaedra-ikosaedra s nalazištima nafte i dijamanata.

V. Makarov i V. Morozov tvrde da trenutno životni procesi Zemlje imaju strukturu dodekaedra-ikosaedra. Dvadeset regija planeta (vrhovi dodekaedra) središta su pojaseva bježeće materije koji čine osnovu biološkog života (flora, fauna, ljudi). Središta svih magnetskih anomalija i magnetskog polja planeta nalaze se u čvorovima sustava trokuta. Osim toga, prema istraživanju autora, u sadašnjoj eri sva obližnja nebeska tijela raspoređuju svoje procese prema sustavu dodekaedar-ikosaedar, koji je opažen kod Marsa, Venere i Sunca. Slični energetski okviri svojstveni su svim elementima kozmosa (galaksije, zvijezde itd.).

Sa stajališta proučavanja simetrije, uzimajući u obzir ideju dodekaedarsko-ikosaedarskog okvira sile Zemlje kao planeta, treba priznati da je u tom smislu Zemlja živo biće. S dušom koju je P.A. Florenski je to slobodnom voljom i razumom nazvao “pneumatosferom”.

Dodekaedarska struktura, prema D. Winteru (američki matematičar), svojstvena je ne samo energetskom okviru Zemlje, već i strukturi žive tvari. U procesu diobe jajeta najprije nastaje tetraedar od četiri stanice, zatim oktaedar, kocka i na kraju dodekaedarsko-ikosaedarska struktura gastrule. I konačno, možda najvažnije, DNK struktura genetskog koda života je četverodimenzionalni razvoj (duž vremenske osi) rotirajućeg dodekaedra! Dakle, ispada da je cijeli Svemir - od Metagalaksije do žive stanice - izgrađen prema jednom principu - dodekaedar i ikosaedar beskonačno upisani jedan u drugi, smješteni u omjeru zlatnog reza!

Postoji obitelj tijela srodna Platonovim - to su polupravilni konveksni poliedri, ili Arhimedova tijela. Svi su im poliedarski kutovi jednaki, sva su im lica pravilni mnogokuti, ali više različitih vrsta. Zvao se 13 ili 14 Arhimedova tijela(broj je neprecizan, budući da pseudorhombokuboktaedar ponekad nije uključen u ovu obitelj).

Osim toga, nekoliko vrsta tijela iz dvije beskonačne obitelji - prizme i antiprizme - imaju jednake poliedarske kutove i pravilne plohe.

Johann Kepler (Kepler I, 1571-1630) - njemački astronom. Otkrio je zakone planetarnog gibanja. Godine 1596. Kepler je predložio pravilo prema kojem se oko kugle Zemlje opisuje dodekaedar, a u nju se uklapa ikosaedar. (“Harmony of the World”, 1619.) I. Kepler je predložio da se udaljenosti između orbita planeta mogu dobiti na temelju Platonovih tijela ugniježđenih jedno u drugo. Rezultati njegovih izračuna dobro su se slagali sa stvarnim udaljenostima između planetarnih orbita.

Vrlo je originalna Keplerova kozmološka hipoteza u kojoj je pokušao povezati neka svojstva Sunčeva sustava sa svojstvima pravilnih poliedra. Kepler je predložio da su udaljenosti između šest tada poznatih planeta izražene u smislu veličina pet pravilnih konveksnih poliedara (Platonovih tijela). Između svakog para nebeskih sfera duž kojih se, prema ovoj hipotezi, planeti okreću, Kepler je upisao jedno od Platonovih tijela. Oko sfere Merkura, planeta najbližeg Suncu, opisan je oktaedar. Ovaj oktaedar je upisan u sferu Venere, oko koje je opisan ikosaedar. Oko ikosaedra je opisana Zemljina sfera, a oko te sfere dodekaedar.

Dodekaedar je upisan u sferu Marsa, oko koje je opisan tetraedar. Jupiterova sfera, upisana u kocku, opisana je oko tetraedra. Konačno, oko kocke je opisana Saturnova sfera.

Ovaj model izgledao je prilično uvjerljivo za svoje vrijeme. Prvo, udaljenosti izračunate pomoću ovog modela bile su prilično blizu pravih (s obzirom na točnost mjerenja koja je bila dostupna u to vrijeme). Drugo, Keplerov model pružio je objašnjenje zašto je postojalo samo šest (toliko se tada znalo) planeta - bilo je to šest planeta koji su bili u harmoniji s pet Platonovih tijela.

Eulerova formula.

Izbrojimo vrhove (B), plohe (D), bridove (P) i zapišimo rezultate u tablicu.

Poliedar
Tetraedar
Heksahedron
Dodekaedar
Ikozaedar

U zadnjem stupcu rezultat je isti za sve poliedre: B+G- P=2. Ovaj nevjerojatan odnos dokazao je jedan od najvećih matematičara, Leonhard Euler (1707. – 1783.), pa je formula po njemu nazvana: Eulerova formula. Ovaj briljantni znanstvenik, rođen u Švicarci, gotovo cijeli život proživio je u Rusiji, te ga s pravom i ponosom možemo smatrati sunarodnjakom.

Najnevjerojatnija stvar u vezi s ovom formulom je to što ona vrijedi ne samo za pravilne poliedre, već za sve poliedre!

Samo zabave radi, ovo možete provjeriti za nekoliko nasumično uzetih poliedra. (3, str.42)

Pravilni poliedri su svuda oko nas.

U knjizi njemačkog biologa s početka ovog stoljeća E. Haeckela “Ljepota oblika u prirodi” možete pročitati sljedeće retke: “Priroda u svojim njedrima njeguje neiscrpan broj čudesnih stvorenja, koja u ljepoti a raznolikost daleko nadmašuje sve oblike stvorene ljudskom umjetnošću.” Na primjer, jednostanični organizmi Feodarije imaju oblik ikosaedra.

Također je zanimljivo da je upravo ikozaedar postao žarište pozornosti biologa u njihovim sporovima o obliku virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se dosad mislilo. Kako bi ustanovili njegov oblik, uzeli su različite poliedre i usmjerili svjetlost na njih pod istim kutovima kao protok atoma na virus. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu - ikosaedar. Njegova gore spomenuta geometrijska svojstva omogućuju spremanje genetskih informacija. Pravilni poliedri su najpovoljniji likovi. A priroda to uvelike koristi. Kristali nekih nama poznatih tvari imaju oblik pravilnih poliedara. Tako kocka prenosi oblik kristala kuhinjske soli NaCl, pojedinačni kristal aluminij-kalijeve stipse ima oblik oktaedra, kristal sumpornog pirita FeS ima oblik dodekaedra, natrijev antimonov sulfat ima oblik tetraedra, a bor ima oblik ikosaedra.

Zanimljiva znanstvena hipoteza, čiji su autori (ranih 80-ih) bili moskovski inženjeri V. Makarov i V. Morozov. Oni vjeruju da jezgra Zemlje ima oblik i svojstva rastućeg kristala, koji utječe na razvoj svih prirodnih procesa koji se odvijaju na planetu. Zrake ovog kristala, odnosno njegovo polje sile, određuju ikosaedarsko-dodekaedarsku strukturu Zemlje, koja se očituje u činjenici da se u zemljinoj kori pojavljuju projekcije pravilnih poliedra upisanih u zemljinu kuglu: ikozaedar i dodekaedar. Njihova 62 vrha i središta bridova, koje autori nazivaju čvorovima, imaju niz specifičnih svojstava koja omogućuju objašnjenje nekih neshvatljivih pojava.

Ako nacrtate središta najvećih i najznačajnijih kultura i civilizacija starog svijeta na kugli zemaljskoj, primijetit ćete uzorak u njihovom položaju u odnosu na geografske polove i ekvator planeta. Mnoga nalazišta minerala protežu se duž mreže ikosaedra-dodekaedra. Na raskrižju ovih rubova događaju se još nevjerojatnije stvari: ovdje su središta drevnih kultura i civilizacija: Perua, Sjeverne Mongolije, Haitija, kulture Ob i drugih. Na tim točkama postoje maksimumi i minimumi atmosferskog tlaka, ogromni vrtlozi Svjetskog oceana, ovdje škotsko jezero Loch Ness, Bermudski trokut. Daljnja proučavanja Zemlje mogu odrediti stav prema ovoj lijepoj znanstvenoj hipotezi, u kojoj, kao što se vidi, pravilni poliedri zauzimaju važno mjesto. (2, str.2)

Zaključak.

Istraživački rad bio je zanimljiv i raznovrstan te sam shvatio da se svijet oko nas pokorava zakonima geometrije.

U sklopu rada na sažetku proučena je literatura na temu, identificirane su značajke pravilnih poliedara, izrađeni crteži, razrade i modeli pravilnih poliedara.

Poliedar u trodimenzionalnom prostoru, skup konačnog broja ravnih poligona, tako da je svaka stranica bilo kojeg poligona istodobno stranica drugog (ali samo jednog), koji se naziva susjednim prvom (na ovoj strani); od bilo kojeg od poligona koji čine Poliedar, možete doći do bilo kojeg od njih tako da odete do onog koji je uz njega, a od ovog, zauzvrat, do onog koji je uz njega, itd. Ti mnogokuti se nazivaju lica, njihove strane su bridovi, a njihovi vrhovi su vrhovi Poliedar.

Naš svijet je pun simetrije. Od davnina su naše ideje o ljepoti povezane s njom. Ovo vjerojatno objašnjava čovjekov trajni interes za pravilne poliedre - nevjerojatne simbole simetrije koji su privukli pažnju mnogih izvanrednih mislilaca, od Platona i Euklida do Eulera i Cauchyja.

Oblik primarnog elementa Zemlje je kocka, Zraka je oktaedar, Vatre je tetraedar, Vode je ikosaedar, a Stvoritelj je cijelom svijetu dao oblik peterokutnog dodekaedra. Pitagorejci su učili da je Zemlja sferna. Prema Pitagori postoji 5 tjelesnih figura: samo vrhovno božanstvo izgradilo je Svemir na temelju geometrijskog oblika dodekaedra. Zemlja je slična Svemiru, a za Platona je Zemlja također dodekaedar.

Grčka matematika, u kojoj se prvi put pojavila teorija poliedra, razvila se pod velikim utjecajem slavnog mislioca Platona.
Platon (427.–347. pr. Kr.) veliki je starogrčki filozof, utemeljitelj Akademije i začetnik tradicije platonizma. Jedno od bitnih obilježja njegova učenja je razmatranje idealnih objekata – apstrakcija. Matematika je, usvojivši ideje Platona, proučavala apstraktne, idealne objekte još od Euklidova vremena. Međutim, i sam Platon i mnogi antički matematičari u pojam ideal stavljaju ne samo apstraktno značenje, već i najbolje značenje. Prema tradiciji koja potječe od starih matematičara, među svim poliedrima najbolji su oni koji za lica imaju pravilne mnogokute.

Teorija poliedara jedna je od fascinantnih i živahnih grana matematike. U predstavljenom sažetku razmatran je samo jedan dio ove teorije. Od pravilnih poliedra - Platonova tijela - mogu se dobiti takozvani polupravilni poliedri, ili Arhimedova tijela, čija su lica također pravilni, ali nasuprotni poligoni, kao i zvjezdasta pravilna tijela.

Bibliografija

1. Dorofeev G.V., Peterson L.G. Matematika. 6. razred. 3. dio – M: Balass, 1988.

2. Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. Vizualna geometrija.Udžbenik za V. – VI. – M: Miroš 1992.

3. Enciklopedija za djecu. T. 11. Matematika. – M: Avanta plus, 2002.

4.Enciklopedija za djecu. Ja istražujem svijet.Matematika. – M: Izdavačka kuća AST, 1999.

5. Pogorelov A.V. Geometrija. Udžbenik za 7-11. M., Obrazovanje, 1992.

Početna > Sažetak

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA

SREDNJA ŠKOLA 3. br

SAŽETAK

u geometriji

Predmet:

"Poliedri".

Izvedena: učenica razreda 11-"b" Općinska obrazovna ustanova Srednja škola br. 3 Yulia Alyabyeva. Provjereno: učiteljica matematike Sergeeva Lyubov Alekseevna.

Željeznovodsk

Plan

I. Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Teorijski dio

Diedralni kut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Trostrani i poliedarski kutovi. . . . . . . . . . . . . . . . 4 Poliedar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prizma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Slika prizme i konstrukcija njezinih presjeka. . . . . 7 Ravna prizma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Paralelopiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Centralna simetrija paralelopipeda. . . . . . . . 10 Pravokutni paralelopiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . jedanaest

10. Simetrija pravokutnog paralelopipeda. . . . 12 11. Piramida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 12. Konstrukcija piramide i njezinih ravnih presjeka. . . . . . 13 13. Krnja piramida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 14. Pravilna piramida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15. Pravilni poliedri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III. Praktični dio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Zaključak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 V. Književnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I. Uvod

U školskoj geometriji postoje posebne teme kojima se radujete, očekujući susret s nevjerojatno lijepim materijalom. Takve teme uključuju "Poliedre". Ovdje se ne otvara samo nevjerojatan svijet geometrijskih tijela s jedinstvenim svojstvima, već i zanimljive znanstvene hipoteze. I tada lekcija geometrije postaje svojevrsno proučavanje neočekivanih aspekata poznatog školskog predmeta. Nijedno geometrijsko tijelo nema takvo savršenstvo i ljepotu kao poliedri. "Postoji šokantno mali broj poliedara", napisao je jednom L. Carroll, "ali ovaj vrlo skroman brojčano odjeljak uspio je ući u same dubine raznih znanosti."

II. Teorijski dio.

1. Diedralni kut Diedralni kut je figura koju tvore dvije "poluravnine sa zajedničkom ravnom linijom koja ih omeđuje (slika 1). Poluravnine se nazivaju rubovi, a pravac koji ih ograničava je rub diedralni kut. Ravnina okomita na brid diedralnog kuta siječe njegove plohe po dva polupravca. Kut koji čine ti polupravci naziva se linearni. kut diedralni kut. Mjera diedralnog kuta je mjera njegovog odgovarajućeg linearnog kuta. Svi linearni kutovi diedralnog kuta kombiniraju se paralelnom translacijom, pa su stoga jednaki. Stoga mjera diedralnog kuta ne ovisi o izboru linearnog kuta. 2. Trostrani i poliedarski kutovi Razmotrite tri zrake a, b, c, koje proizlaze iz iste točke i ne leže u istoj ravnini. Trokutasti kut (abc) je lik sastavljen od tri ravna kuta (ab),(bc) i (ac) (slika 2). Ti se kutovi nazivaju rubovi trostrani kut, a stranice su im rebra, zajednički vrh ravnih kutova naziva se vrh trokutni kut. Dvostrani kutovi koje tvore plohe trostranog kuta nazivaju se dihedral angles trokutnih kutova. Slično se definira pojam poliedarskog kuta (slika 3).

3. Poliedar

U stereometriji se proučavaju figure u prostoru koje nazivamo tijelima. Vizualno se (geometrijsko) tijelo mora zamisliti kao dio prostora koji zauzima fizičko tijelo i ograničen je površinom. Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona (slika 4). Poliedar se naziva konveksnim ako se nalazi s jedne strane ravnine svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravnine i plohe konveksnog poliedra naziva se ploha. Stranice konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Stranice ploha nazivamo bridovima poliedra, a vrhove nazivamo vrhovima poliedra. Objasnimo to na primjeru poznate kocke (slika 5). Kocka je konveksni poliedar. Njegova ploha sastoji se od šest kvadrata: ABCD, BEFC, .... To su njegova lica. Bridovi kocke su stranice ovih kvadrata: AB, BC, BE,.... Vrhovi kocke su vrhovi kvadrata: A, B, C, D, E, .... Kocka ima šest stranica, dvanaest bridova i osam vrhova.. Najjednostavnijim poliedrima – prizmama dat ćemo sljedeće definicije. i piramide, koje će biti glavni predmet našeg proučavanja, koje u biti ne koriste koncept tijela. Definirat će se kao geometrijski likovi koji označavaju sve točke u prostoru koje im pripadaju. Pojam geometrijskog tijela i njegove površine u općem slučaju bit će dan kasnije.

4. Prizma

Prizma je poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u različitim ravninama i spojeni paralelnom translacijom, te svih segmenata koji povezuju odgovarajuće točke tih poligona (slika 6). Poligoni se nazivaju bazama prizme, a odsječci koji spajaju odgovarajuće vrhove nazivaju se bočnim bridovima prizme. Budući da je paralelna translacija gibanje, osnovice prizme su jednake. Budući da se tijekom paralelne translacije ravnina pretvara u paralelnu ravninu (ili u samu sebe), tada baze prizme leže u paralelnim ravninama. Budući da su tijekom paralelne translacije točke pomaknute duž paralelnih (ili koincidirajućih) pravaca za istu udaljenost, tada je prizma ima bočne rubove su paralelne i jednake. Ploha prizme sastoji se od baze i bočne plohe. Bočna površina sastoji se od paralelograma. U svakom od tih paralelograma dvije stranice su odgovarajuće stranice baza, a druge dvije su susjedni bočni bridovi. Visina prizme je udaljenost između ravnina njezinih baza. Isječak koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi naziva se dijagonala prizme. Prizma se naziva n-kutna ako su joj baze n-kuti. Ubuduće ćemo razmatrati samo prizme čije su baze konveksni poligoni. Takve prizme su konveksni poliedri. Slika 6 prikazuje peterokutnu prizmu. Njegove baze su peterokuti A 1 A 2 ...A 5 , A 1 ’ A" 2 ...A" 5 . XX" - segment koji povezuje odgovarajuće točke baza. Bočni rubovi segmenata prizme A 1 A" 2 , A 1 A" 2 , ..., A 5 A" 5 . Bočne strane prizme su paralelogrami A 1 A 2 A" 2 A 1 , A 2 A 3 A ’ 3 A" 2 , ... .

5. Slika prizme i konstrukcija njezinih presjeka

U skladu s pravilima paralelnog projektiranja, slika prizme se konstruira na sljedeći način. Prvo se gradi jedan od temelja R(slika 7). Ovo će biti neki ravni poligon. Zatim iz vrhova poligona R Bočni rubovi prizme nacrtani su u obliku paralelnih odsječaka jednakih duljina. Krajevi ovih segmenata se spajaju i dobiva se još jedna baza prizme. Nevidljivi rubovi iscrtani su isprekidanim linijama. Odsječci prizme s ravninama paralelnim s bočnim bridovima su paralelogrami. Konkretno, dijagonalni presjeci su paralelogrami. To su presjeci ravninama koje prolaze kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi (slika 8). U praksi, osobito pri rješavanju zadataka, često je potrebno konstruirati presjek prizme s ravninom koja prolazi kroz zadanu ravnicu g na ravnini jedne od baza prizme. Ova linija se zove Sljedeći rezna ravnina na osnovnoj ravnini. Za konstruiranje presjeka prizme dovoljno je konstruirati segmente sjecišta ravnine presjeka s plohama prizme. Pokazat ćemo kako se takav presjek konstruira ako je poznata neka točka A na površini prizme koja pripada presjeku (slika 9). Ako ova točka A pripada drugoj osnovici prizme, tada je njezino sjecište s ravninom presjeka segment Sunce, paralelno sa stazom g i koji sadrži zadanu točku A(Slika 9, a). Ako ova točka A pripada bočnoj plohi, tada se konstruira sjecište ove plohe sa reznom ravninom, kao što je prikazano na slici 9, b. Naime: prvo se konstruira točka D, u kojoj ravnina lica siječe zadani trag g. Zatim nacrtajte ravnu liniju kroz točke A I D. Segment linije Sunce ravno OGLAS na plohi koja se razmatra je presjek ove plohe s ravninom rezanja. Ako lice koje sadrži točku A, paralelno sa stazom g, zatim rezna ravnina siječe ovo lice duž segmenta Sunce, prolazeći kroz točku A i paralelna s pravom linijom g.

Krajevi segmenta Sunce pripadaju i susjednim licima. Stoga opisanom metodom možemo konstruirati sjecište ovih ploha s našom reznom ravninom. itd. Slika 10 prikazuje konstrukciju presjeka četverokutne prizme ravninom koja prolazi kroz ravnu liniju A u ravnini donje osnovice prizme i točka A na jednom od bočnih rebara. 6. Ravna prizma Prizma se naziva ravnom ako su joj bočni rubovi okomiti na baze. Inače, prizma se naziva kosa. Ravna prizma ima pravokutne bočne strane. Kada se na slici prikazuje ravna prizma, bočna rebra obično se crtaju okomito (slika 11). Pravilna prizma se naziva pravilnom ako su joj baze pravilni mnogokuti. Bočna ploha prizme (točnije, bočna ploha) zbroj je površina bočnih ploha. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza. Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba. Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S=a 1 l+a 1 l+...+a n l=pl,

Gdje a 1 ,..., a n- duljina osnovnih rebara, R - opseg baze prizme, i 1 - duljina bočnih rebara. Teorem je dokazan. 7. Paralelepiped Ako je osnovica prizme paralelogram, onda se ona naziva paralelopiped. Sva lica paralelopipeda su paralelogrami. Slika 12, a prikazuje nagnuti paralelopiped, a slika 12, b - ravni paralelopiped. Lica paralelopipeda koja nemaju zajedničke vrhove nazivaju se suprotnim. Teorem 19.2. Nasuprotna lica paralelepipeda su paralelna i jednaka. Dokaz. Razmotrimo neka dva suprotna lica paralelopipeda, na primjer A1A2A"2A"1 i A3A4A"4A"3. (slika 13). Kako su sve stranice paralelopipeda paralelogrami, pravac A1A2 je paralelan s pravcem A4A3, a pravac A1A"1 paralelan je s pravcem A4A4". Slijedi da su ravnine lica koja se razmatraju paralelne. Iz činjenice da su stranice paralelopipeda paralelogrami, slijedi da su segmenti A1A4, A1"A4", A"2A"3 i A2A3 paralelni i jednaki. Odavde zaključujemo da je lice A1A2A"2A"1 kombinirano paralelnom translacijom duž ruba A1A4. s rubom A3A4A"4A"3. To znači da su ovi rubovi jednaki. Slično se dokazuje paralelizam i jednakost svih drugih suprotnih stranica paralelopipeda. Teorem je dokazan.
8. Centralna simetrija paralelopipeda Teorem 19.3. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecištem ih dijeli popola. Dokaz. Promotrimo neke dvije dijagonale paralelopipeda, na primjer A 1 A" 3 i A 4 A" 2 (slika 14). Kako su četverokuti A 1 A 2 A 3 A 4 i A 2 A" 2 A" 3 A 3 paralelogrami sa zajedničkom stranicom A 2 A 3, onda su im stranice A 1 A 4 i A" 2 A" 3 paralelne sa svakom. drugi, što znači da leže u istoj ravnini. Ta ravnina siječe ravnine nasuprotnih ploha paralelepipeda po paralelnim pravcima A 1 A" 2 i A 4 A" 3. Prema tome, četverokut A 4 A 1 A" 2 A" 3 je paralelogram. Dijagonale paralelopipeda A 1 A" 3 i A 4 A" 2 su dijagonale ovog paralelograma. Zbog toga se sijeku i dijele popola sjecišnom točkom O. Slično se dokazuje da se dijagonale A1A"3 i A2A"4, kao i dijagonale A1A"3 i A3A"1 sijeku i raspolavljaju u sjecištu. Iz ovoga zaključujemo da se sve četiri dijagonale paralelopipeda sijeku u jednoj točki i da ih sjecište dijeli na pola. Teorem je dokazan. Iz teorema 19.3 slijedi da sjecište dijagonala paralelopipeda je njegov centar simetrije. 9. Pravokutni paralelopiped Pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik naziva se kvadar. Sva lica pravokutnog paralelopipeda su pravokutnici. Pravokutni paralelopiped kojemu su svi bridovi jednaki naziva se kocka. Duljine neparalelnih bridova pravokutnog paralelopipeda nazivaju se njegovim linearnim dimenzijama (mjerama). Pravokutni paralelopiped ima tri dimenzije. Teorem 19.4. U pravokutnom paralelopipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije. Dokaz. Promotrimo pravokutni paralelopiped ABCDA"B"C"D" (slika 15). Iz pravokutnog trokuta AC"C pomoću Pitagorine teoreme dobivamo:

AC" 2 = AC 2 + CC" 2.

Iz pravokutnog trokuta ACB pomoću Pitagorinog poučka dobivamo

AC 2 = AB 2 + BC 2.

Stoga je AC" 2 = CC" 2 + AB 2 + BC 2.

Bridovi AB, BC i CC" nisu paralelni, pa su stoga njihove duljine linearne dimenzije paralelopipeda. Teorem je dokazan. 10. Simetrija pravokutnog paralelopipeda Pravokutni paralelopiped, kao i svaki paralelopiped, ima centar simetrije - točku sjecišta njegovih dijagonala. Također ima tri ravnine simetrije, koje prolaze kroz centar simetrije paralelno s licima. Slika 16 prikazuje jednu takvu ravninu. Prolazi kroz sredine četiriju paralelnih bridova paralelopipeda. Krajevi rebara su simetrične točke. Ako su sve linearne dimenzije paralelopipeda različite, tada on nema druge ravnine simetrije osim navedenih. Ako paralelopiped ima dvije linearne dimenzije koje su jednake, tada ima još dvije ravnine simetrije. To su ravnine dijagonalnih presjeka prikazane na slici 17. Ako paralelepiped ima sve linearne dimenzije jednake, tj. on je kocka, tada je ravnina bilo kojeg dijagonalnog presjeka ravnina simetrije. Dakle, kocka ima devet ravnina simetrije. 11. Piramida Piramida naziva se poliedar koji se sastoji od ravnog poligona - baza piramide, točka koja ne leži u ravnini baze - vrh piramide i sve segmente koji povezuju vrh piramide s baznim točkama (slika 18). Segmenti koji povezuju vrh piramide s vrhovima baze nazivaju se bočna rebra. Površina piramide sastoji se od baze i bočnih stranica. Svaka bočna strana je trokut. Jedan od njegovih vrhova je vrh piramide, a suprotna strana je stranica baze piramide. Visina piramide zove se okomica spuštena s vrha piramide na ravninu baze. Piramida se naziva n-kutna ako joj je baza n-kut. Trokutasta piramida se također naziva tetraedar. Piramida prikazana na slici 18 ima bazu - poligon A 1 A 2 ...A n, vrh piramide - S, bočne bridove - SA 1, S A 2, ..., S A n, bočne plohe - SA 1 A 2,  SA 2 A 3, .... U nastavku ćemo razmatrati samo piramide s konveksnim poligonom u osnovi. Takve piramide su konveksni poliedri. 12. Konstrukcija piramide i njezinih ravnih presjeka U skladu s pravilima paralelnog projektiranja, slika piramide je konstruirana na sljedeći način. Prvo se gradi temelj. Ovo će biti neki ravni poligon. Zatim se označava vrh piramide koji je bočnim rebrima povezan s vrhovima baze. Slika 18 prikazuje sliku peterokutne piramide. Presjeci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trokuti (slika 19). Konkretno, trokuti su dijagonalni presjeci. To su presjeci ravninama koje prolaze kroz dva nesusjedna bočna brida piramide (slika 20). Presjek piramide ravninom sa zadanim tragom g na ravnini baze konstruira se na isti način kao i presjek prizme. Za konstruiranje presjeka piramide s ravninom dovoljno je konstruirati sjecišta njezinih bočnih stranica s ravninom reza. Ako je na plohi koja nije paralelna s tragom g poznata neka točka A koja pripada presjeku, tada se prvo konstruira sjecište traga g rezne ravnine s ravninom te plohe - točka D na slici 21. Točka D je s točkom A povezana ravnom linijom. Tada je segment ove linije koji pripada plohi sjecište te plohe s ravninom rezanja. Ako točka A leži na plohi paralelnoj s tragom g, tada rezna ravnina siječe tu plohu po segmentu paralelnom s pravcem g. Prelazeći na susjednu bočnu plohu, konstruiraju njezino sjecište s ravninom rezanja, itd. Kao rezultat, dobiva se traženi dio piramide.
Slika 22 prikazuje presjek četverokutne piramide s ravninom koja prolazi bočnom stranom baze i točkom A na jednom od njezinih bočnih bridova.

13. Krnja piramida Teorem 19.5. Ravnina koja siječe piramidu i paralelna je s njezinom bazom odsijeca sličnu piramidu. Dokaz. Neka je S vrh piramide, A vrh baze i A" točka presjeka rezne ravnine s bočnim bridom SA (slika 23). Podvrgnimo piramidu transformaciji homotetije s obzirom na vrh S s koeficijentom homotetije

Ovom homotetijom ravnina baze prelazi u paralelnu ravninu koja prolazi kroz točku A, odnosno u sekantičnu ravninu, a time i cijela piramida u dio koji je tom ravninom odsječen. Budući da je homotetija transformacija sličnosti, odsječeni dio piramide je piramida, slična ovoj. Teorem je dokazan.

Prema teoremu 19.5, ravnina koja je paralelna s ravninom baze piramide i siječe njezine bočne bridove odsijeca sličnu piramidu od nje. Drugi dio je poliedar koji se naziva krnja piramida (slika 24). Stranice krnje piramide koje leže u paralelnim ravninama nazivaju se bazama; preostala lica se zovu bočni rubovi. Osnove krnje piramide su slični (štoviše, homotetični) poligoni, bočne strane su trapezi. 14. Ispravna piramida Piramida se naziva pravilnom ako joj je baza pravilan mnogokut i osnovica njene visine se poklapa sa središtem tog mnogokuta. Os pravilne piramide je pravac koji sadrži njezinu visinu. Očito, pravilna piramida ima jednake bočne bridove; dakle, bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti. Visina bočne strane pravilne piramide, izvučena iz njenog vrha, naziva se apotemom. Bočna površina piramide je zbroj površina njezinih bočnih stranica. Teorem 19.6. Bočna ploha pravilne piramide jednaka je umnošku poluopsega baze i apoteme. Dokaz. Ako se strana baze A, broj strana P, tada je bočna površina piramide jednaka:

(a1/2)ap=a1p/2= p1/2"

Gdje ja - apotema, a p- opseg baze piramide. Teorem je dokazan. Naziva se i krnja piramida koja se dobiva iz pravilne piramide ispraviti. Bočna lica pravilne krnje piramide su jednaki jednakokračni trapezi; njihove visine se zovu apoteme. 15. Pravilni poliedri Konveksni poliedar naziva se pravilnim ako su mu plohe pravilni mnogokuti s istim brojem stranica i istim brojem bridova koji konvergiraju u svakom vrhu poliedra.) Postoji pet vrsta pravilnih konveksnih poliedara (slika 25): pravilni tetraedar (1), kocka (2), oktaedar (3), dodekaedar (4); ikosaedar (5). Pravilni tetraedar ima lica koja su pravilni trokuti; Tri brida konvergiraju u svakom vrhu. Tetraedar je trokutasta piramida u kojoj su svi bridovi jednaki. Sve strane kocke su kvadrati; Tri brida konvergiraju u svakom vrhu. Kocka je pravokutni paralelopiped jednakih bridova. Lica oktaedra su pravilni trokuti, ali za razliku od tetraedra, četiri ruba konvergiraju u svakom vrhu. Dodekaedar ima pravilna peterokutna lica. Tri brida konvergiraju u svakom vrhu. Ikozaedar ima pravilne površine trokuta, ali za razliku od tetraedra i oktaedra, pet bridova konvergira u svakom vrhu.

III. Praktični dio.

Zadatak 1. Iz točaka A i B koje leže na plohama dvostranog kuta spuštene su okomice AA\ i BB\ na rub kuta. Odredite duljinu odsječka AB ako je AA 1 =a, BB 1 =b, A 1 B 1 =c i diedralski kut jednak a (slika 26). Riješenje. Nacrtajmo ravne linije A 1 C||BB 1 i BC||A 1 B 1. Četverokut A 1 B 1 BC je paralelogram, što znači AA 1 == BB 1 =b. Pravac A 1 B 1 okomit je na ravninu trokuta AA 1 C, jer je okomit na dva pravca u toj ravnini AA 1 i CA 1. Prema tome, pravac BC paralelan s njom također je okomit na tu ravninu. To znači da je trokut ABC pravokutni trokut s pravim kutom C. Po kosinusnom teoremu je AC 2 =AA 1 2 +A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos =a 2 +b 2 -2abcos . Prema Pitagorinom poučku je AB = AC 2 + BC 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos  + c 2. Zadatak 2. Trostrani kut (abc) ima diedarski kut na bridu s ravnom crtom, diedarski kut na bridu b jednak je , a ravninski kut (bs) jednak je  (, </2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). Riješenje. Iz proizvoljne točke A spustimo iz proizvoljne točke A okomicu AB na brid b i okomicu AC na brid c (sl. 27). Prema teoremu o tri okomice, CB je okomita na brid b. Iz pravokutnih trokuta OAB, OSV, AOS i ABC dobivamo: tg  =AB/OB=(BC/ cos )/(BC/tg )= tg / cos  tg  =AC/OC=BC tg  / ( BC/sin )= tan  sin  Problem 3. Nagnuta prizma ima presjek okomit na bočna rebra i siječe sva bočna rebra. Odredite bočnu plohu prizme ako je opseg presjeka jednak p, a bočni bridovi jednaki l. Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 28). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prevođenju, kombinirajući baze prizme. U tom slučaju dobivamo ravnu prizmu čija je baza presjek izvorne prizme, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna ploha izvorne prizme jednaka je pl. Zadatak 4. Bočni brid piramide podijeljen je na četiri jednaka dijela, a kroz razdjelne točke povučene su ravnine paralelne s bazom. Površina baze je 400 cm2. Pronađite površine presjeka. Riješenje. Presjeci su slični osnovici piramide s faktorima sličnosti ¼, 2/4 i ¾. Površine sličnih likova odnose se kao kvadrati linearnih dimenzija. Stoga su omjeri površina poprečnog presjeka i površine baze piramide (¼) 2, (2/4) 2 i (¾) 2. Stoga su površine poprečnog presjeka 400 (¼) 2 =25 (cm 2), 400 (2/4) 2 =100 (cm 2), 400 (¾) 2 =225 (cm 2). Zadatak 5. Dokažite da je bočna ploha pravilne krnje piramide jednaka umnošku polovice zbroja opsega baza i apoteme. Riješenje. Bočne strane krnje piramide su trapezi s istom gornjom osnovicom a, donjom b i visinom (apotema) l. Dakle, površina jednog lica je ½ (a + b)l. Površina svih stranica, odnosno bočne plohe, jednaka je ½ (an + bn)l, gdje je n broj vrhova na bazi piramide, an i bn su perimetri baza piramide. .

IV. Zaključak

Zahvaljujući ovom radu sažela sam i sistematizirala znanja stečena tijekom tečaja 11. razreda, upoznala se s pravilima izvođenja kreativnog rada, stekla nova znanja i primijenila ih u praksi. Željela bih istaknuti 3 knjige koje su mi se najviše svidjele:. A.V. Pogorelov “Geometrija”, G. Yakusheva “Matematika - priručnik za školarce”, L.F. Pichurin “Iza stranica udžbenika geometrije.” Ove su mi knjige pomogle više nego druge. Htjela bih češće primjenjivati ​​novo stečeno znanje u praksi.

V. Književnost

1. A.V. Pogorelov "Geometrija". - M.: Obrazovanje, 1992. 2. G. Yakusheva “Matematika - priručnik za školarce.” M.: Slovo, 1995 3. L.D. Kudryavtsev “Course of mathematical analysis” vol. 1, Moskva 1981 4. L.F. Pichurin “Iza stranica udžbenika geometrije.” – M.: Obrazovanje, 1990 5. I.N. Bashmakov "Geometrija".