Kut prema omjeru stranica. Površina trokuta

U geometriji, kut je figura koju čine dvije zrake koje izlaze iz jedne točke (koja se naziva vrh kuta). U većini slučajeva, mjerna jedinica za kut je stupanj (°) - upamtite da je puni kut, ili jedan okretaj, 360°. Možete pronaći vrijednost kuta poligona prema njegovoj vrsti i vrijednostima drugih kutova, a ako je dan pravokutni trokut, kut se može izračunati s dvije strane. Štoviše, kut se može izmjeriti pomoću kutomjera ili izračunati pomoću grafičkog kalkulatora.

Koraci

Kako pronaći unutarnje kutove mnogokuta

Izbroji broj stranica mnogokuta. Da biste izračunali unutarnje kutove mnogokuta, prvo morate odrediti koliko mnogokut ima stranica. Imajte na umu da je broj stranica mnogokuta jednak broju njegovih kutova.

• Na primjer, trokut ima 3 stranice i 3 unutarnja kuta, a kvadrat ima 4 stranice i 4 unutarnja kuta.

1. Izračunaj zbroj svih unutarnjih kutova mnogokuta. Da biste to učinili, upotrijebite sljedeću formulu: (n - 2) x 180. U ovoj formuli n je broj stranica poligona. Sljedeći su zbrojevi kutova poligona koji se često susreću:

   • Zbroj kutova trokuta (mnogokuta s 3 stranice) je 180°.
   • Zbroj kutova četverokuta (mnogokuta s 4 stranice) je 360°.
   • Zbroj kutova peterokuta (mnogokuta s 5 stranica) je 540°.
   • Zbroj kutova šesterokuta (mnogokuta sa 6 stranica) je 720°.
   • Zbroj kutova osmerokuta (mnogokuta s 8 stranica) je 1080°.

2. Zbroj svih kutova pravilnog mnogokuta podijelite s brojem kutova. Pravilan mnogokut je mnogokut s jednakim stranicama i jednakim kutovima. Na primjer, svaki kut jednakostraničnog trokuta izračunava se na sljedeći način: 180 ÷ 3 = 60°, a svaki kut kvadrata izračunava se na sljedeći način: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Jednakostranični trokut i kvadrat su pravilni mnogokuti. I zgrada Pentagona (Washington, SAD) i prometni znak Stop imaju oblik pravilnog osmerokuta.

3. Od ukupnog zbroja kutova nepravilnog mnogokuta oduzmite zbroj svih poznatih kutova. Ako stranice mnogokuta nisu međusobno jednake, a ni njegovi kutovi nisu međusobno jednaki, prvo zbrojite poznati kutovi poligon. Sada oduzmite dobivenu vrijednost od zbroja svih kutova poligona - tako ćete pronaći nepoznati kut.

   • Na primjer, ako je zadano da su 4 kuta peterokuta 80°, 100°, 120° i 140°, zbrojite ove brojeve: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Sada oduzmite ovu vrijednost od zbroja svih kutovi peterokuta; ovaj zbroj je jednak 540°: 540 - 440 = 100°. Dakle, nepoznati kut je 100°.

   Savjet: nepoznati kut nekih poligona može se izračunati ako se poznaju svojstva figure. Na primjer, u jednakokračnom trokutu dvije stranice su jednake i dva su kuta jednaka; U paralelogramu (koji je četverokut) suprotne stranice su jednake i suprotni kutovi su jednaki.

   Izmjerite duljinu dviju stranica trokuta. Najduža strana pravokutni trokut naziva se hipotenuza. Susjedna stranica je stranica koja je blizu nepoznatog kuta. Suprotna stranica je stranica koja je nasuprot nepoznatom kutu. Izmjerite dvije stranice da biste izračunali nepoznate kutove trokuta.

   Savjet: upotrijebite grafički kalkulator za rješavanje jednadžbi ili pronađite online tablicu s vrijednostima sinusa, kosinusa i tangensa.

   Izračunajte sinus kuta ako znate suprotnu stranicu i hipotenuzu. Da biste to učinili, uključite vrijednosti u jednadžbu: sin(x) = suprotna strana ÷ hipotenuza. Na primjer, suprotna stranica je 5 cm, a hipotenuza je 10 cm. Podijelite 5/10 = 0,5. Dakle, sin(x) = 0,5, odnosno x = sin -1 (0,5).

Izgradnja bilo kojeg krova nije tako jednostavna kao što se čini. A ako želite da bude pouzdan, izdržljiv i da se ne boji raznih opterećenja, tada prvo, u fazi projektiranja, morate napraviti mnogo izračuna. I oni će uključivati ​​ne samo količinu materijala koji se koriste za ugradnju, već i određivanje kutova nagiba, područja nagiba itd. Kako pravilno izračunati kut nagiba krova? Upravo o ovoj vrijednosti uvelike će ovisiti preostali parametri ovog dizajna.

Projektiranje i izgradnja bilo kojeg krova uvijek je vrlo važna i odgovorna stvar. Pogotovo kada je riječ o krovu stambene zgrade ili krovu složenog oblika. Ali čak i obični naslon, postavljen na neuglednu šupu ili garažu, također zahtijeva preliminarne izračune.

Ako unaprijed ne odredite kut nagiba krova, nećete moći saznati što optimalna visina mora imati greben, tada postoji veliki rizik od izgradnje krova koji će se srušiti nakon prvog snijega ili će cijeli završni pokrov biti otrgnut čak i pri umjerenom vjetru.

Također, kut krova značajno će utjecati na visinu grebena, površinu i dimenzije padina. Ovisno o tome, bit će moguće točnije izračunati količinu potrebnu za stvaranje rafter sustav i završni materijali.

Cijene za različite vrste krovnih grebena

Krovni greben

Jedinice

Sjećajući se geometrije koju su svi učili u školi, sigurno je reći da se kut krova mjeri u stupnjevima. Međutim, u knjigama o građevinarstvu, kao iu raznim crtežima, možete pronaći drugu opciju - kut je označen kao postotak (ovdje mislimo na omjer visine).

općenito, Kut nagiba je kut koji čine dvije ravnine koje se sijeku– strop i sama krovna kosina. Može biti samo oštar, odnosno ležati u rasponu od 0-90 stupnjeva.

Napomena! Vrlo strme padine, čiji je kut nagiba veći od 50 stupnjeva, izuzetno su rijetke u svom čistom obliku. Obično se koriste samo kada dekorativni dizajn krovovi, mogu biti prisutni na tavanima.

Što se tiče mjerenja kutova krova u stupnjevima, sve je jednostavno - svi koji su učili geometriju u školi imaju to znanje. Dovoljno je nacrtati shemu krova na papiru i pomoću kutomjera odrediti kut.

Što se tiče postotaka, morate znati visinu grebena i širinu zgrade. Prvi pokazatelj se dijeli s drugim, a dobivena vrijednost se množi sa 100%. Na taj način se može izračunati postotak.

Napomena! Pri postotku od 1, tipični stupanj nagiba je 2,22%. To jest, nagib s kutom od 45 običnih stupnjeva jednak je 100%. A 1 posto je 27 lučnih minuta.

Tablica vrijednosti - stupnjevi, minute, postoci

Koji čimbenici utječu na kut nagiba?

Na kut nagiba bilo kojeg krova utječe vrlo velik broj čimbenika, počevši od želja budućeg vlasnika kuće i završavajući regijom u kojoj će se kuća nalaziti. Prilikom izračuna važno je uzeti u obzir sve suptilnosti, čak i one koje se na prvi pogled čine beznačajnima. Jednog dana oni mogu odigrati svoju ulogu. Odredite odgovarajući kut krova znajući:

• vrste materijala od kojih će se graditi krovna pita, počevši od sustava splavi i završavajući vanjskim ukrasom;
• klimatske prilike na određenom području (opterećenje vjetrom, prevladavajući smjer vjetra, količina padalina i sl.);
• oblik buduće zgrade, njegova visina, dizajn;
• namjena zgrade, mogućnosti korištenja tavanskog prostora.

U onim regijama gdje postoji jako opterećenje vjetrom, preporuča se izgraditi krov s jednim nagibom i blagim kutom nagiba. Tada, pri jakom vjetru, krov ima veće šanse da izdrži i da se ne otkine. Ako je tipično za regiju veliki broj padalina (snijeg ili kiša), onda je bolje napraviti nagib strmiji - to će omogućiti da se oborina kotrlja / odvodi s krova i ne stvara dodatno opterećenje. Optimalni nagib kosog krova u vjetrovitim područjima varira između 9-20 stupnjeva, a gdje ima puno padalina - do 60 stupnjeva. Kut od 45 stupnjeva omogućit će vam da zanemarite opterećenje snijegom u cjelini, ali će pritisak vjetra u ovom slučaju na krovu biti 5 puta veći nego na krovu s nagibom od samo 11 stupnjeva.

Napomena! Što su veći parametri nagiba krova, to velika količina bit će potrebni materijali za njegovu izradu. Trošak se povećava za najmanje 20%.

Kutovi nagiba i krovni materijali

Ne samo klimatskim uvjetima imat će značajan utjecaj na oblik i kut padina. Važnu ulogu igraju i materijali koji se koriste za gradnju, posebice krovni pokrivači.

Stol. Optimalni kutovi nagiba za krovove od različitih materijala.

Napomena! Što je niži nagib krova, to je manji nagib korišten prilikom izrade obloge.

Cijene metalnih pločica

Metalne pločice

Visina grebena također ovisi o kutu nagiba

Pri proračunu bilo kojeg krova uvijek se kao referentna točka uzima pravokutni trokut, gdje su noge visina nagiba na vrhu, odnosno na grebenu ili prijelazu donjeg dijela cijelog sustava splavi. do vrha (kod potkrovnih krovova), kao i projekcija duljine pojedinog nagiba na horizontalu, što se prikazuje preklapanjem. Ovdje postoji samo jedna konstantna vrijednost - to je duljina krova između dva zida, odnosno duljina raspona. Visina dijela grebena varirat će ovisno o kutu nagiba.

U projektiranju krova pomoći će vam poznavanje formula iz trigonometrije: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LxtgA, S = H/sinA, gdje je A kut nagiba, H visina krova. prema području sljemena, L je ½ cjelokupne duljine raspona krova (sa dvovodni krov) ili cijelom dužinom (kod kosog krova), S je duljina same kosine. Na primjer, ako je poznata točna vrijednost visine dijela grebena, tada se kut nagiba određuje pomoću prve formule. Kut možete pronaći pomoću tablice tangenti. Ako se izračuni temelje na kutu krova, tada se parametar visine grebena može pronaći pomoću treće formule. Duljina rogova, koja ima vrijednost kuta nagiba i parametre nogu, može se izračunati pomoću četvrte formule.

Trokut je geometrijski broj koji se sastoji od tri segmenta koji spajaju tri točke koje ne leže na istom pravcu. Točke koje tvore trokut nazivaju se njegovim točkama, a segmenti su jedan pored drugog.

Ovisno o vrsti trokuta (pravokutni, jednobojni i sl.), stranicu trokuta možete izračunati na različite načine, ovisno o ulaznim podacima i uvjetima zadatka.

Brza navigacija za članak

Za izračun stranica pravokutnog trokuta koristi se Pitagorin poučak koji kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrata kateta.

Ako katete označimo s "a" i "b", a hipotenuzu s "c", tada se stranice mogu pronaći sa sljedećim formulama:

Ako su poznati oštri kutovi pravokutnog trokuta (a i b), njegove se stranice mogu pronaći pomoću sljedećih formula:

Obrezani trokut

Trokutom se naziva jednakostranični trokut kojemu su obje stranice jednake.

Kako pronaći hipotenuzu u dvije noge

Ako je slovo "a" identično istoj stranici, "b" je baza, "b" je kut nasuprot osnovici, "a" je susjedni kut za izračun stranica možete koristiti sljedeće formule:

Dva ugla i strana

Ako su poznata jedna stranica (c) i dva kuta (a i b) bilo kojeg trokuta, za izračun preostalih stranica koristi se formula sinusa:

Morate pronaći treću vrijednost y = 180 - (a + b) jer

zbroj svih kutova trokuta je 180°;

Dvije strane i kut

Ako su poznate dvije stranice trokuta (a i b) i kut između njih (y), kosinusni teorem može se koristiti za izračun treće strane.

Kako odrediti opseg pravokutnog trokuta

Trokutasti trokut je trokut od kojih jedan ima 90 stupnjeva, a druga dva su šiljasta. izračun perimetar takav trokut ovisno o količini poznatih informacija o tome.

Trebat će ti

• Ovisno o slučaju, vještine 2 tri strane trokuta, kao i jedan od njegovih oštrih kutova.

upute

prvi Metoda 1. Ako su poznate sve tri stranice trokut Zatim, bilo da je okomit ili netrokutast, opseg se izračunava kao: P = A + B + C, gdje je moguće, c je hipotenuza; a i b su noge.

drugi Metoda 2.

Ako pravokutnik ima samo dvije strane, tada koristeći Pitagorin teorem, trokut može se izračunati pomoću formule: P = v (a2 + b2) + a + b ili P = v (c2 - b2) + b + c.

treći Metoda 3. Neka je hipotenuza c i šiljasti kut? S obzirom na pravokutni trokut, opseg će biti moguće pronaći na sljedeći način: P = (1 + sin?

Četvrta Metoda 4. Kažu da je u pravokutnom trokutu duljina jedne noge jednaka a i, naprotiv, ima oštar kut. Zatim izračunajte perimetar Ovaj trokutće se provesti prema formuli: P = a * (1 / tg?

1/sin? + 1)

petine Metoda 5.

Online izračun trokuta

Neka naša noga vodi i bude uključena u nju, tada će se raspon izračunati kao: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Povezani Videi

Pitagorina teorema je osnova cijele matematike. Određuje odnos između stranica pravog trokuta. Sada postoji 367 dokaza ove teoreme.

upute

prvi Klasična školska formulacija Pitagorinog teorema zvuči ovako: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata nogu.

Da biste pronašli hipotenuzu u pravokutnom trokutu od dva Cateta, morate kvadrirati duljine kateta, sakupiti ih i izvaditi kvadratni korijen zbroja. U izvornoj formulaciji njegove izjave, tržište se temelji na hipotenuzi, koja je jednaka zbroju kvadrata 2 kvadrata koje je proizveo Catete. Međutim, moderna algebarska formulacija ne zahtijeva uvođenje prikaza domene.

drugi Na primjer, pravokutni trokut čije su katete 7 cm i 8 cm.

Tada je prema Pitagorinom poučku kvadratna hipotenuza jednaka R + S = 49 + 64 = 113 cm Hipotenuza je jednaka kvadratnom korijenu iz broja 113.

Kutovi pravokutnog trokuta

Rezultat je bio neutemeljen broj.

treći Ako su trokuti katete 3 i 4, tada je hipotenuza = 25 = 5. Kad izvadite kvadratni korijen, dobit ćete prirodan broj. Brojevi 3, 4, 5 tvore Pygagorean triplet, budući da zadovoljavaju relaciju x? +Y? = Z, što je prirodno.

Drugi primjeri Pitagorinog trojca su: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

Četvrta U ovom slučaju, ako su noge identične jedna drugoj, Pitagorin teorem pretvara se u primitivniju jednadžbu. Na primjer, pretpostavimo da je takva kazaljka jednaka broju A i hipotenuza je definirana za C, a zatim c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. U ovom slučaju vam ne treba A.

petine Pitagorin poučak je poseban slučaj, veći od općeg kosinusnog poučka, koji utvrđuje odnos između tri stranice trokuta za bilo koji kut između njih dvije.

Savjet 2: Kako odrediti hipotenuzu za katete i kutove

Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kutu od 90 stupnjeva.

upute

prvi U slučaju poznatih katetera, kao i oštrog kuta pravokutnog trokuta, hipotenuza može imati veličinu jednaku omjeru noge prema kosinusu / sinusu ovog kuta, ako je kut bio suprotan / e uključuje: H = C1 (ili C2) / sin, H = C1 (ili C2?) / cos?. Primjer: Neka je ABC dan nepravilni trokut s hipotenuzom AB i pravim kutom C.

Neka B bude 60 stupnjeva, a A 30 stupnjeva. Duljina debla BC je 8 cm.Treba pronaći duljinu hipotenuze AB. Da biste to učinili, možete upotrijebiti jednu od gornjih metoda: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza je najduža stranica pravokutnika trokut. Nalazi se pod pravim kutom. Metoda određivanja hipotenuze pravokutnika trokut ovisno o izvornim podacima.

upute

prvi Ako su vam noge okomite trokut, zatim duljina hipotenuze pravokutnika trokut može se otkriti pitagorejskom analogijom - kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta: c2 = a2 + b2, gdje su a i b duljine kateta desne trokut .

drugi Ako je jedna od nogu poznata i pod oštrim kutom, formula za pronalaženje hipotenuze ovisit će o prisutnosti ili odsutnosti pod određenim kutom u odnosu na poznatu nogu - susjedna (noga se nalazi blizu), ili obrnuto ( suprotnom slučaju nalazi se nego.V navedenog kuta jednak je razlomku hipotenuze kraka u kosinusnom kutu: a = a/cos;E, s druge strane, hipotenuza je jednaka omjeru sinusnih kutova: da = a/grijeh.

Povezani Videi

Korisni savjeti
Kutni trokut čije su stranice povezane kao 3:4:5, nazvan je egipatska delta zbog činjenice da su ove figure naširoko koristili arhitekti drevnog Egipta.

Ovo je ujedno i najjednostavniji primjer Jeroovih trokuta u kojima su stranice i površina predstavljeni cijelim brojevima.

Trokutom se naziva pravokutnik čiji je kut 90°. Strana nasuprot desnom kutu naziva se hipotenuza, druga se zove katete.

Ako želite saznati kako pravokutni trokut nastaje pomoću nekih svojstava pravilnih trokuta, naime činjenice da je zbroj šiljastih kutova 90°, što se koristi, i činjenice da je duljina nasuprotnog kraka polovica hipotenuze je 30°.

Brza navigacija za članak

Obrezani trokut

Jedno od svojstava jednakog trokuta je da su mu dva kuta jednaka.

Da biste izračunali kut pravokutnog sukladnog trokuta, morate znati sljedeće:

• Ovo nije gore od 90°.
• Vrijednosti oštrih kutova određene su formulom: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, tj.

  Kutovi α i β jednaki su 45°.

Ako poznata vrijednost jedan od oštrih kutova je poznat, drugi se može pronaći pomoću formule: β = 180º-90º-α ili α = 180º-90º-β.

Ovaj omjer se najčešće koristi ako je jedan od kutova 60° ili 30°.

Ključni koncepti

Zbroj unutarnjih kutova trokuta je 180°.

Budući da je to jedna razina, dvije ostaju oštre.

Izračunajte trokut online

Ako ih želite pronaći, morate znati sljedeće:

druge metode

Vrijednosti oštrih kutova pravokutnog trokuta mogu se izračunati iz prosjeka - linijom iz točke na suprotnoj strani trokuta, a visina - linija je okomica povučena iz hipotenuze pod pravim kutom .

Neka se medijan proteže od desnog kuta do sredine hipotenuze, a h je visina. U ovom slučaju ispada da:

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Dvije stranice

Ako su duljine hipotenuze i jedne od nogu poznate u pravokutnom trokutu ili na obje strane, tada za određivanje vrijednosti oštrih kutova koristite trigonometrijski identiteti:

• α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Duljina pravokutnog trokuta

Površina i površina trokuta

perimetar

Opseg svakog trokuta jednak je zbroju duljina triju stranica. Opća formula za pronalaženje trokutastog trokuta je:

gdje je P opseg trokuta, a, b i c njegovih stranica.

Opseg jednakog trokuta može se pronaći uzastopnim kombiniranjem duljina njegovih stranica ili množenjem duljine stranice s 2 i dodavanjem osnovne duljine produktu.

Opća formula za pronalaženje ravnotežnog trokuta izgledat će ovako:

gdje je P opseg jednakog trokuta, ali ili b, b je baza.

Opseg jednakostraničnog trokuta može se pronaći uzastopnim kombiniranjem duljina njegovih stranica ili množenjem duljine bilo koje stranice s 3.

Opća formula za pronalaženje ruba jednakostraničnog trokuta izgledat će ovako:

gdje je P opseg jednakostraničnog trokuta, a je bilo koja njegova stranica.

regija

Ako želite izmjeriti površinu trokuta, možete ga usporediti s paralelogramom. Promotrimo trokut ABC:

Ako uzmemo isti trokut i popravimo ga tako da dobijemo paralelogram, dobit ćemo paralelogram iste visine i baze kao ovaj trokut:

U ovom slučaju, zajednička stranica trokuta presavijena je duž dijagonale oblikovanog paralelograma.

Iz svojstava paralelograma. Poznato je da su dijagonale paralelograma uvijek podijeljene na dva jednaka trokuta, tada je površina svakog trokuta jednaka polovici opsega paralelograma.

Budući da je površina paralelograma jednaka umnošku visine baze, površina trokuta bit će jednaka polovici ovog proizvoda. Dakle, za ΔABC površina će biti ista

Sada razmotrite pravokutni trokut:

Dva jednaka pravokutna trokuta mogu se saviti u pravokutnik ako se na njih nasloni, koji je jedan drugom hipotenuza.

Budući da se površina pravokutnika podudara s površinom susjednih stranica, površina ovog trokuta je ista:

Iz ovoga možemo zaključiti da je površina svakog pravokutnog trokuta jednaka umnošku kateta podijeljenom s 2.

Iz ovih primjera može se zaključiti da je površina svakog trokuta jednaka umnošku duljine, a visina se svodi na podlogu podijeljenu s 2.

Opća formula za pronalaženje površine trokuta izgledala bi ovako:

gdje je S površina trokuta, ali njegova baza, ali visina pada na dno a.

Definicija trokuta

Trokut je geometrijska figura koja nastaje kao rezultat sjecišta tri segmenta, čiji krajevi ne leže na istoj ravnoj liniji. Svaki trokut ima tri stranice, tri vrha i tri kuta.

Online kalkulator

Postoje trokuti različite vrste. Na primjer, postoji jednakostranični trokut (u kojem su sve stranice jednake), jednakokračan (u njemu su dvije stranice jednake) i pravokutni trokut (u kojem je jedan od kutova ravan, tj. jednak 90 stupnjeva).

Može se pronaći površina trokuta različiti putevi ovisno o tome koji su elementi figure poznati iz uvjeta problema, bilo da se radi o kutovima, duljinama ili čak polumjerima krugova povezanih s trokutom. Pogledajmo svaku metodu zasebno s primjerima.

Formula za površinu trokuta na temelju njegove baze i visine

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- osnovica trokuta;
h h h- visina trokuta povučena na zadanu osnovicu a.

Primjer

Nađite površinu trokuta ako je poznata duljina njegove baze jednaka 10 (cm) i visina povučena na tu bazu jednaka 5 (cm).

Riješenje

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Zamijenimo ovo u formulu za površinu i dobijemo:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (vidi kv.)

Odgovor: 25 (cm kvadratnih)

Formula za površinu trokuta na temelju duljina svih stranica

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- duljine stranica trokuta;
p str str- polovica zbroja svih stranica trokuta (odnosno polovica opsega trokuta):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (a +b+c)

Ova formula se zove Heronova formula.

Primjer

Odredite površinu trokuta ako su poznate duljine njegovih triju stranica jednake 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Riješenje

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Nađimo polovicu opsega p str str:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Tada je, prema Heronovoj formuli, površina trokuta:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (vidi kv.)

Odgovor: 6 (vidi kvadrat)

Formula za površinu trokuta s jednom stranom i dva kuta

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gama))S=2 a 2 ​ ⋅ sin(β + γ)grijeh β grijeh γ ​ ,

A a a- duljina stranice trokuta;
β , γ \beta, \gama β , γ - kutovi uz bočnu stranu a a a.

Primjer

Dana je stranica trokuta jednaka 10 (cm) i dva susjedna kuta od 30 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Prema formuli:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\približno 14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ grijeh (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) grijeh 3 0 ∘ grijeh 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (vidi kv.)

Odgovor: 14,4 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru opisane kružnice

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- stranice trokuta;
R R R- polumjer opisane kružnice oko trokuta.

Primjer

Uzmimo brojeve iz našeg drugog problema i dodajmo im radijus R R R krugovi. Neka bude jednak 10 (cm.).

Riješenje

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (vidi kv.)

Odgovor: 1,5 (cm2)

Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru upisane kružnice

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= str⋅ r,

p strstr- polovica opsega trokuta:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)str= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- stranice trokuta;
r rr- polumjer kružnice upisane u trokut.

Primjer

Neka je polumjer upisane kružnice 2 (cm). Duljine stranica uzet ćemo iz prethodnog zadatka.

Riješenje

$a=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4b=4c\; =\; 5\; c=5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$str=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (vidi kv.)

Odgovor: 12 (cm kvadratnih)

Formula za površinu trokuta koja se temelji na dvjema stranicama i kutu između njih

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ grijeh(α ) ,

b , c b, cb, c- stranice trokuta;

α\alfaα - kut između stranica b bb I c cc.

Primjer

Stranice trokuta su 5 (cm) i 6 (cm), a kut između njih je 30 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje

$b=5c\; =\; 6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ grijeh(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (vidi kv.)

Odgovor: 7,5 (cm kvadratnih)

Prvi su segmenti koji su uz pravi kut, a hipotenuza je najduži dio figure i nalazi se nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Pitagorin trokut je onaj čije su stranice jednake prirodnim brojevima; njihove se duljine u ovom slučaju nazivaju “Pitagorina trojka”.

Egipatski trokut

Da bi sadašnja generacija prepoznala geometriju u obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala kroz nekoliko stoljeća. Temeljnom točkom smatra se Pitagorin teorem. Stranice pravokutnika su poznate u cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo tko nije upoznat s izrazom "Pitagorine hlače jednake su u svim smjerovima." Međutim, u stvarnosti teorem zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) = a 2 + b 2 (zbroj kvadrata kateta).

Među matematičarima se trokut sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m itd.) naziva "egipatskim". Zanimljivo je da je ono što je upisano u lik jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. stoljeća prije Krista, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Pri gradnji piramida arhitekti i geodeti koristili su omjer 3:4:5. Pokazalo se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za gledanje i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Kako bi izgradili pravi kut, graditelji su koristili uže na koje je bilo vezano 12 čvorova. U ovom slučaju, vjerojatnost konstruiranja pravokutnog trokuta povećala se na 95%.

Znakovi jednakosti figura

• Oštri kut u pravokutnom trokutu i duža stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti likova. Uzimajući u obzir zbroj kutova, lako je dokazati da su i drugi šiljasti kutovi jednaki. Dakle, trokuti su identični prema drugom kriteriju.
• Kada postavljamo dvije figure jednu na drugu, okrećemo ih tako da, kada se spoje, postanu jedan jednakokračni trokut. Po svom svojstvu stranice, odnosno hipotenuze su jednake, kao i kutovi na bazi, što znači da su ti likovi jednaki.

Na temelju prvog znaka vrlo je lako dokazati da su trokuti doista jednaki, glavno je da su dvije manje stranice (tj. katete) međusobno jednake.

Trokuti će biti identični prema drugom kriteriju, čija je suština jednakost noge i oštrog kuta.

Svojstva trokuta s pravim kutom

Visina koja se spušta iz pravog kuta dijeli lik na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegovu središnju lako je prepoznati po pravilu: središnja koja pada na hipotenuzu jednaka je njezinoj polovici. može se pronaći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednaka polovici umnoška krakova.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva kutova od 30°, 45° i 60°.

• Uz kut od 30 °, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
• Ako je kut 45°, tada je i drugi šiljasti kut 45°. To sugerira da je trokut jednakokračan i da su mu katete iste.
• Svojstvo kuta od 60° je da treći kut ima stupanjsku mjeru 30°.

Područje se lako može pronaći pomoću jedne od tri formule:

1. kroz visinu i stranu na koju se spušta;
2. prema Heronovoj formuli;
3. na stranice i kut između njih.

Stranice pravokutnog trokuta, odnosno noge, konvergiraju s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je uzeti u obzir dobiveni trokut, a zatim pomoću Pitagorinog teorema izračunati potrebnu duljinu. Osim ove formule, postoji i odnos između dvostruke površine i duljine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje izračuna.

Primjena teoreme na pravokutni trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su: