Konstrukcija projekcija točaka. Faza IV

Da biste konstruirali slike određenog broja dijelova, morate moći pronaći projekcije pojedinačnih točaka. Na primjer, teško je nacrtati pogled odozgo na dio prikazan na sl. 139, bez konstruiranja horizontalnih projekcija točaka A, B, C, D, E, F itd.

Problem pronalaženja projekcija točaka jedne po jedne, zadanih na površini objekta, rješava se na sljedeći način. Prvo se pronađu projekcije plohe na kojoj se točka nalazi. Zatim se povlačenjem spojne linije na projekciju, gdje je ploha prikazana linijom, pronađe druga projekcija točke. Treća projekcija nalazi se na raskrižju komunikacijskih linija.

Pogledajmo primjer.

Dane su tri projekcije dijela (slika 140, a). Dana je horizontalna projekcija a točke A koja leži na vidljivoj površini. Moramo pronaći preostale projekcije ove točke.

Prije svega, morate nacrtati pomoćnu ravnu liniju. Ako su data dva pogleda, tada se mjesto pomoćne crte na crtežu odabire proizvoljno, desno od gornjeg pogleda, tako da pogled s lijeve strane bude na potrebnoj udaljenosti od glavnog pogleda (slika 141).

Ako su već izgrađena tri pogleda (slika 142, a), tada se mjesto pomoćne linije ne može odabrati proizvoljno; morate pronaći točku kroz koju će proći. Da biste to učinili, dovoljno je nastaviti horizontalne i profilne projekcije osi simetrije dok se međusobno ne presijecaju i kroz rezultirajuću točku k (Sl. 142, b) povući segment ravne linije pod kutom od 45 °, koji će biti pomoćna ravna linija.

Ako nema osi simetrije, tada se vodoravne i profilne projekcije bilo kojeg lica, projicirane u obliku ravnih segmenata, nastavljaju dok se ne sijeku u točki k 1 (Sl. 142, b).

Nakon što su nacrtali pomoćnu liniju, počinju konstruirati projekcije točke (vidi sl. 140, b).

Frontalna a" i profilna a" projekcija točke A moraju se nalaziti na odgovarajućim projekcijama plohe kojoj pripada točka A. Te se projekcije nalaze. Na sl. 140, b istaknuti su bojom. Nacrtajte komunikacijske linije kako je označeno strelicama. Na sjecištima komunikacijskih linija s projekcijama površine nalaze se željene projekcije a" i a".

Konstrukcija projekcija točaka B, C, D prikazana je na sl. 140, u komunikacijskim linijama sa strelicama. Zadane projekcije točaka su obojene. Vezne linije se crtaju na projekciju na kojoj je površina prikazana kao linija, a ne kao lik. Stoga najprije pronađite frontalnu projekciju iz točke C. Projekciju profila iz točke C određujemo sjecištem komunikacijskih linija.

Ako površina nije prikazana linijom ni na jednoj projekciji, tada se za konstruiranje projekcija točaka mora koristiti pomoćna ravnina. Na primjer, dana je frontalna projekcija d točke A koja leži na površini stošca (slika 143, a). Kroz točku paralelnu s bazom povuče se pomoćna ravnina koja će kružno presijecati stožac; njegova frontalna projekcija je ravni segment, a njegova horizontalna projekcija je krug promjera jednakog duljini ovog segmenta (slika 143, b). Povlačenjem spojne linije na tu kružnicu iz točke a dobiva se horizontalna projekcija a točke A.

Projekcija profila a" točke A nalazi se na uobičajeni način u sjecištu komunikacijskih linija.

Koristeći istu tehniku, možete pronaći projekcije točke koja leži, na primjer, na površini piramide ili lopte. Kada se piramida presječe ravninom koja je paralelna s bazom i prolazi kroz danu točku, nastaje lik sličan bazi. Na projekcijama te figure leže projekcije dane točke.

Odgovori na pitanja

1. Pod kojim kutom je povučena pomoćna pravac?

2. Gdje nacrtati pomoćnu ravnu crtu ako su dani pogled sprijeda i odozgo, ali trebate konstruirati pogled s lijeve strane?

3. Kako odrediti mjesto pomoćnog voda ako postoje tri vrste?

4. Koja je metoda za konstruiranje projekcija točke na temelju jedne zadane točke, ako je jedna od površina objekta prikazana linijom?

5. Za koja se geometrijska tijela i u kojim slučajevima projekcije točke zadane na njihovoj površini nalaze pomoću pomoćne ravnine?

Zadaci za § 20

Vježba 68

Pišite radna bilježnica, koje projekcije točaka označenih brojevima na pogledima odgovaraju točkama označenim na vizualnoj slici slovima u primjeru koji vam je pokazao učitelj (Sl. 144, a-d).

Vježba 69

Na sl. 145, a-b slova naznačeno samo jednom projekcijom nekog od vrhova. U primjeru koji vam je dao vaš učitelj pronađite preostale projekcije ovih vrhova i označite ih slovima. U jednom od primjera konstruirajte nedostajuće projekcije točaka navedenih na rubovima objekta (sl. 145, d i e). Označi bojom projekcije bridova na kojima se nalaze točke.Zadatak riješi na prozirnom papiru, postavi ga na stranicu udžbenika.Sl.145 nije potrebno ponovno crtati.

Vježba 70

Pronađite nedostajuće projekcije točaka definiranih jednom projekcijom na vidljivim površinama predmeta (slika 146). Označite ih slovima. Zadane projekcije točaka označite bojom. Vizualna slika pomoći će vam da riješite problem. Zadatak se može rješavati u radnoj bilježnici ili na prozirnom papiru na stranici udžbenika. U potonjem slučaju, ponovno nacrtajte lik. 146 nije potrebno.

Vježba 71

Na primjeru koji vam je dao vaš učitelj ponovno nacrtajte tri pogleda (slika 147). Konstruirajte nedostajuće projekcije navedenih točaka na vidljivim površinama predmeta. Zadane projekcije točaka označite bojom. Sve projekcije točaka označite slovima. Za konstruiranje projekcija točaka koristite pomoćnu ravnu liniju. Dovršite tehnički crtež i označite na njemu navedene točke.

U ovom ćemo članku pronaći odgovore na pitanja o tome kako napraviti projekciju točke na ravninu i kako odrediti koordinate te projekcije. U teoretskom dijelu oslonit ćemo se na pojam projekcije. Definirat ćemo pojmove i dati informacije ilustracijama. Učvrstimo stečeno znanje rješavanjem primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Projekcija, vrste projekcije

Radi lakšeg pregledavanja prostornih figura koriste se crteži koji prikazuju te figure.

Definicija 1

Projekcija figure na ravninu– crtanje prostorne figure.

Očito, postoji niz pravila koja se koriste za izradu projekcije.

Definicija 2

Projekcija– postupak konstruiranja crteža prostornog lika u ravnini pomoću pravila konstruiranja.

Ravnina projekcije- ovo je ravnina u kojoj je slika izgrađena.

Korištenje određenih pravila određuje vrstu projekcije: središnji ili paralelno.

Poseban slučaj paralelnog projiciranja je okomito projiciranje ili ortogonalno: u geometriji se uglavnom koristi. Zbog toga se u govoru često izostavlja sam pridjev "okomit": u geometriji se jednostavno kaže "projekcija figure" i pod tim se misli na konstruiranje projekcije metodom okomitog projiciranja. U posebnim slučajevima, naravno, može se dogovoriti nešto drugo.

Primijetimo činjenicu da je projekcija figure na ravninu u biti projekcija svih točaka te figure. Dakle, da bi se mogao proučavati prostorni lik na crtežu, potrebno je steći osnovnu vještinu projiciranja točke na ravninu. O čemu ćemo govoriti u nastavku.

Podsjetimo se da se u geometriji najčešće kada se govori o projekciji na ravninu misli na korištenje okomite projekcije.

Napravimo konstrukcije koje će nam omogućiti da dobijemo definiciju projekcije točke na ravninu.

Recimo da je dan trodimenzionalni prostor, au njemu se nalaze ravnina α i točka M 1 koja ne pripada ravnini α. Nacrtaj ravnu liniju kroz zadanu točku M A okomito na zadanu ravninu α. Točku presjeka pravca a i ravnine α označavamo kao H 1, ona će prema konstrukciji služiti kao osnovica okomice spuštene iz točke M 1 na ravninu α.

Ako je dana točka M 2 koja pripada zadanoj ravnini α, tada će M 2 služiti kao projekcija same sebe na ravninu α.

Definicija 3

- ovo je ili sama točka (ako pripada danoj ravnini), ili osnovica okomice spuštene iz dane točke na danu ravninu.

Određivanje koordinata projekcije točke na ravninu, primjeri

Neka su u trodimenzionalnom prostoru zadani: pravokutni koordinatni sustav O x y z, ravnina α, točka M 1 (x 1, y 1, z 1). Potrebno je pronaći koordinate projekcije točke M 1 na zadanu ravninu.

Rješenje očito slijedi iz gornje definicije projekcije točke na ravninu.

Označimo projekciju točke M 1 na ravninu α kao H 1 . Prema definiciji, H 1 je sjecišna točka zadane ravnine α i pravca a povučenog kroz točku M 1 (okomito na ravninu). Oni. Koordinate projekcije točke M1 koje su nam potrebne su koordinate točke presjeka pravca a i ravnine α.

Dakle, za pronalaženje koordinata projekcije točke na ravninu potrebno je:

Dobiti jednadžbu ravnine α (ako nije navedena). Ovdje će vam pomoći članak o vrstama jednadžbi ravnina;

Odrediti jednadžbu pravca a koji prolazi kroz točku M 1 i okomit je na ravninu α (proučiti temu o jednadžbi pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravninu);

Nađite koordinate točke presjeka pravca a i ravnine α (članak - nalaženje koordinate točke presjeka ravnine i pravca). Dobiveni podaci bit će koordinate koje su nam potrebne za projekciju točke M 1 na ravninu α.

Pogledajmo teoriju s praktičnim primjerima.

Primjer 1

Odredite koordinate projekcije točke M 1 (- 2, 4, 4) na ravninu 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Riješenje

Kao što vidimo, dana nam je jednadžba ravnine, tj. nema potrebe sastavljati ga.

Napišimo kanonske jednadžbe pravca a koji prolazi točkom M 1 i okomit je na zadanu ravninu. U tu svrhu odredimo koordinate vektora usmjeravanja pravca a. Budući da je pravac a okomit na zadanu ravninu, vektor smjera pravca a je normalni vektor ravnine 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Tako, a → = (2, - 3, 1) – vektor smjera pravca a.

Sastavimo sada kanonske jednadžbe pravca u prostoru koji prolazi točkom M 1 (- 2, 4, 4) i ima vektor smjera a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Da bismo pronašli tražene koordinate, sljedeći korak je određivanje koordinata sjecišta pravca x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 i ravnine 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . U tu svrhu prelazimo s kanonskih jednadžbi na jednadžbe dviju ravnina koje se sijeku:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Kreirajmo sustav jednadžbi:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

I riješimo to pomoću Cramerove metode:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Dakle, tražene koordinate zadane točke M 1 na zadanoj ravnini α bit će: (0, 1, 5).

Odgovor: (0 , 1 , 5) .

Primjer 2

U pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z trodimenzionalnog prostora zadane su točke A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) i M 1 (-1, -2, 5). Potrebno je pronaći koordinate projekcije M 1 na ravninu A B C

Riješenje

Najprije napišemo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Zapišimo parametarske jednadžbe pravca a koji će prolaziti točkom M 1 okomito na ravninu A B C. Ravnina x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ima normalni vektor s koordinatama (1, - 2, 2), tj. vektor a → = (1, - 2, 2) – vektor smjera pravca a.

Sada, imajući koordinate točke linije M 1 i koordinate vektora smjera ove linije, pišemo parametarske jednadžbe linije u prostoru:

Zatim odredimo koordinate sjecišta ravnine x – 2 y + 2 z – 4 = 0 i pravca

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Da bismo to učinili, zamijenimo u jednadžbu ravnine:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Sada, koristeći parametarske jednadžbe x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, nalazimo vrijednosti varijabli x, y i z za λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Tako će projekcija točke M 1 na ravninu A B C imati koordinate (- 2, 0, 3).

Odgovor: (- 2 , 0 , 3) .

Zasebno se zadržimo na pitanju pronalaženja koordinata projekcije točke na koordinatne ravnine i ravnine koje su paralelne s koordinatnim ravninama.

Neka su zadane točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i koordinatne ravnine O x y, O x z i O y z. Koordinate projekcije te točke na te ravnine bit će redom: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) i (0, y 1, z 1). Razmotrimo i ravnine paralelne zadanim koordinatnim ravninama:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

A projekcije date točke M 1 na te ravnine bit će točke s koordinatama x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 i - D A, y 1, z 1.

Pokažimo kako je dobiven ovaj rezultat.

Kao primjer, definirajmo projekciju točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravninu A x + D = 0. Ostali slučajevi su slični.

Zadana ravnina je paralelna s koordinatnom ravninom O y z i i → = (1, 0, 0) je njen normalni vektor. Isti vektor služi kao vektor smjera pravca okomitog na O y z ravninu. Tada će parametarske jednadžbe pravca povučenog kroz točku M 1 i okomitog na zadanu ravninu imati oblik:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Nađimo koordinate sjecišta ovog pravca i zadane ravnine. Zamijenimo prvo jednakosti u jednadžbu A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 i dobijemo: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Zatim izračunavamo potrebne koordinate koristeći parametarske jednadžbe ravne linije s λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Odnosno, projekcija točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravninu bit će točka s koordinatama - D A, y 1, z 1.

Primjer 2

Potrebno je odrediti koordinate projekcije točke M 1 (- 6, 0, 1 2) na koordinatnu ravninu O x y i na ravninu 2 y - 3 = 0.

Riješenje

Koordinatna ravnina O x y odgovarat će nepotpunoj općoj jednadžbi ravnine z = 0. Projekcija točke M 1 na ravninu z = 0 imat će koordinate (- 6, 0, 0).

Jednadžba ravnine 2 y - 3 = 0 može se napisati kao y = 3 2 2. Sada samo zapišite koordinate projekcije točke M 1 (- 6, 0, 1 2) na ravninu y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Odgovor:(- 6 , 0 , 0) i - 6 , 3 2 2 , 1 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

PROJEKCIJE TOČKE.

ORTOGONALNI SUSTAV DVIJE RAVNINE PROJEKCIJA.

Bit metode ortogonalne projekcije je da se predmet projicira na dvije međusobno okomite ravnine zrakama ortogonalnima (okomitima) na te ravnine.

Jedna od ravnina projiciranja H postavljena je vodoravno, a druga V okomito. Ravnina H naziva se horizontalna ravnina projekcija, V se naziva frontalna ravnina. Ravnine H i V su beskonačne i neprozirne. Pravac presjeka ravnina projekcija naziva se koordinatna os i označava se VOL. Projekcijske ravnine dijele prostor na četiri diedarska kuta – četvrtine.

Pri razmatranju ortogonalnih projekcija pretpostavlja se da je promatrač u prvoj četvrtini na beskonačno velikoj udaljenosti od ravnina projekcije. Budući da su te ravnine neprozirne, promatraču će biti vidljive samo one točke, linije i figure koje se nalaze unutar iste prve četvrtine.

Prilikom konstruiranja projekcija potrebno je to zapamtiti ortogonalna projekcija točkeosnovica okomice povučene iz dane točke naziva se ravninana ovaj avion.

Na slici je prikazana točka A i njegove ortogonalne projekcije a 1 I a 2.

Točka a 1 nazvao horizontalna projekcija bodova A, točka a 2- nju frontalna projekcija. Svaki od njih je baza okomice povučene iz točke A odnosno u avionu H I V.

Može se dokazati da točkasta projekcijauvijek se nalaze na ravnim linijama, okomitokularna osOH i sijeku ovu osna istoj točki. Doista, projiciranje zraka Aa 1 I Aa 2 definirati ravninu okomitu na ravnine projekcija i crtu njihova sjecišta - os OH. Ova ravnina siječe H I V u ravnim crtama a 1 ax I a 1 ax, koji tvore s osi VOL a međusobno pravi kutovi s vrhom u točki Ax.

Vrijedi i suprotno, tj. ako su točke zadane na ravninama projekcijaa 1 I a 2 , smještene na ravnim linijama koje se sijeku os VOLu određenoj točki pod pravim kutom,onda su to projekcije nekihtočka A. Ta je točka određena sjecištem okomica izgrađenih iz točaka a 1 I a 2 do aviona H I V.

Imajte na umu da položaj projekcijskih ravnina u prostoru može biti različit. Na primjer, obje ravnine, budući da su međusobno okomite, mogu biti okomite, ali čak iu tom slučaju ostaje važeća gore dokazana pretpostavka o usmjerenosti suprotnih projekcija točaka u odnosu na os.

Da biste dobili ravni crtež koji se sastoji od gornjih projekcija, ravnina H u kombinaciji rotacijom oko osi VOL s avionom V, kao što je prikazano strelicama na slici. Kao rezultat toga, prednja poluravnina H bit će poravnat s donjom poluravninom V, a stražnja poluravnina H- s gornjom poluravninom V.

Projekcijski crtež u kojem su ravnine projekcije sa svime što je na njima prikazano na određeni način spojene jedna s drugom naziva se dijagram(od francuskog epure - crtež). Na slici je prikazan dijagram točke A.

Ovom metodom kombiniranja ravnina H I V projekcije a 1 I a 2 nalazit će se na istoj okomici na os VOL. U ovom slučaju udaljenost a 1 a x — od horizontalne projekcije točke na os VOL A Gornja traka V, i udaljenost a 2 a x — od čeone projekcije točke na os VOL jednaka udaljenosti od same točke A Gornja traka H.

Dogovorimo se da ćemo prave linije nazvati ravnima koje povezuju suprotne projekcije točke na dijagramu projekcijske komunikacijske linije.

Položaj projekcija točaka na dijagramu ovisi o tome u kojoj se četvrtini nalazi navedena točka. Dakle, ako je točka U nalazi se u drugoj četvrtini, tada će se nakon kombiniranja ravnina činiti da obje projekcije leže iznad osi VOL.

Ako je točka S nalazi se u trećoj četvrtini, tada će njegova horizontalna projekcija, nakon spajanja ravnina, biti iznad osi, a frontalna projekcija ispod osi VOL. Konačno, ako točka D nalazi se u četvrtoj četvrtini, tada će obje njegove projekcije biti ispod osi VOL. Na slici su prikazane točke M I N, ležeći na ravninama projekcije. U tom položaju točka se poklapa s jednom od svojih projekcija, dok njena druga projekcija leži na osi VOL. Ova se značajka također odražava u oznaci: u blizini projekcije s kojom se sama točka podudara, veliko slovo je napisano bez indeksa.

Također treba primijetiti da se dvije projekcije točke podudaraju. To će se dogoditi ako je točka u drugoj ili četvrtoj četvrtini na istoj udaljenosti od ravnina projekcije. Obje projekcije se kombiniraju sa samom točkom ako se potonja nalazi na osi VOL.

ORTOGONALNI SUSTAV TRI RAVNINE PROJEKCIJA.

Gore je pokazano da dvije projekcije točke određuju njezin položaj u prostoru. Budući da je svaka figura ili tijelo skup točaka, može se tvrditi da dvije ortogonalne projekcije objekta (uz prisutnost slovnih oznaka) u potpunosti određuju njegov oblik.

Međutim, u praksi, slike građevinske strukture, strojeva i raznih inženjerskih konstrukcija, postoji potreba za izradom dodatnih projekcija. Oni to čine s jedinom svrhom da projekcijski crtež učine jasnijim i čitljivijim.

Na slici je prikazan model tri ravnine projekcije. Treća ravnina, okomita i H I V, označen slovom W i zove se profil.

Projekcije točaka na ovu ravninu također ćemo zvati profil, a označavaju se velikim slovima ili brojevima s indeksom 3 (ah,bh,cz, ...1z, 2z, 3 3...).

Ravnine projekcije, koje se sijeku u parovima, definiraju tri osi: OKOx, OKOY I OKOZ, koji se može promatrati kao sustav pravokutnih Kartezijevih koordinata u prostoru s početkom u točki O. Sustav znakova naznačen na slici odgovara “desnom sustavu” koordinata.

Tri projekcijske ravnine dijele prostor na osam trokutnih kutova – to su tzv oktanti. Numeracija oktanata data je na slici.

Za dobivanje dijagrama ravnine H I W rotirajte kao što je prikazano na slici dok ne poravnate s ravninom V. Kao rezultat rotacije, prednja poluravnina H ispada da je u kombinaciji s donjom poluravninom V, a stražnja poluravnina H- s gornjom poluravninom V. Kada se zakrene za 90° oko osi OKOZ prednja poluravnina W poravnava s desnom poluravninom V, a stražnja poluravnina W- s lijevom poluravninom V.

Konačni izgled svih kombiniranih ravnina projekcija dan je na slici. Na ovom crtežu osi OKOx I OKOZ, ležeći u fiksnoj ravnini V, prikazani su samo jednom, a os OKOY prikazano dva puta. To se objašnjava činjenicom da, rotirajući s ravninom H, os OKOY na dijagramu se kombinira s osi OKOZ, i rotirajući s ravninom W, ista os je poravnata s osi OKOx.

U budućnosti, pri označavanju osi na dijagramu, negativne poluosi (— OKOx, — OKOY, — OKOZ) neće biti naznačeno.

TRI KOORDINATE I TRI PROJEKCIJE TOČKE I NJENOG RADIJUS-VEKTORA.

Koordinate su brojevi kojiuskladiti točku za određivanjemijenjajući svoj položaj u prostoru ili napovršine.

U trodimenzionalnom prostoru položaj točke određuje se pomoću pravokutnih Kartezijevih koordinata x, y I z.

Koordinirati x nazvao apscisa, na— ordinata I z — primijeniti. Apscisa x određuje udaljenost od zadane točke do ravnine W, ordinata y - Gornja traka V i primijeniti z - Gornja traka H. Usvojivši sustav prikazan na slici za mjerenje koordinata točke, sastaviti ćemo tablicu koordinatnih znakova u svih osam oktanata. Bilo koja točka u prostoru A, zadan koordinatama označit ćemo na sljedeći način: A(x, y,z).

Ako je x = 5, y = 4 i z = 6, tada će unos imati sljedeći oblik A(5, 4, 6). Ova točka A,čije su sve koordinate pozitivne, nalazi se u prvom oktantu

Koordinate točke A su ujedno i koordinate njegovog radijus vektora

OA s obzirom na porijeklo. Ako ja, j, k— jedinični vektori usmjereni duž koordinatnih osi x, y,z(slika), zatim

OA =OKOA x i+OAgj + OAzk , Gdje OA X, OA U, OA g - vektorske koordinate OA

Preporuča se konstruirati sliku same točke i njezinih projekcija na prostornom modelu (figuri) pomoću koordinatnog pravokutnog paralelopipeda. Prije svega, na koordinatnim osima iz točke OKO položiti odgovarajuće jednake segmente 5, 4 i 6 jedinice duljine. Na ovim segmentima (OKOa x , OKOa y , OKOa z ), kao na rebrima, grade kuboidan. Njegov vrh, nasuprot ishodištu, odredit će zadanu točku A. Lako je vidjeti da za određivanje točke A dovoljno je konstruirati samo tri ruba paralelopipeda npr OKOa x , a x a 1 I a 1 A ili OKOa y , a y a 1 I a 1 A itd. Ti rubovi tvore koordinatnu poliliniju, čija je duljina svake veze određena odgovarajućom koordinatom točke.

Međutim, konstrukcija paralelopipeda omogućuje vam da odredite ne samo točku A, ali i sve tri njegove ortogonalne projekcije.

Zrake koje projiciraju točku na ravninu H, V, W su ona tri ruba paralelopipeda koji se sijeku u točki A.

Svaka od ortogonalnih projekcija točke A, budući da se nalazi na ravnini, određuju ga samo dvije koordinate.

Dakle, horizontalna projekcija a 1 određena koordinatama x I y, frontalna projekcija a 2 — koordinate x iz, projekcija profila a 3 — koordinate na I z. Ali bilo koje dvije projekcije određene su s tri koordinate. Zato je zadavanje točke s dvije projekcije jednako zadavanju točke s tri koordinate.

Na dijagramu (slika), gdje su sve ravnine projekcija kombinirane, projekcije a 1 I a 2 bit će na istoj okomici na os OKOx, i projekcije a 2 I a 3 — na jednoj okomitoj na os OZ.

Što se tiče projekcija a 1 I a 3 , tada su spojeni ravnim crtama a 1 a y I a 3 a y , okomito na os OKOY. Ali budući da ova os na dijagramu zauzima dva položaja, tada segment a 1 a y ne može biti nastavak segmenta a 3 a y .

Izrada projekcija točaka A (5, 4, 6) na dijagramu prema zadanim koordinatama izvršite sljedećim redoslijedom: prvo se na apscisnoj osi iscrtava segment iz ishodišta koordinata. OKOa x = x(u našem slučaju x =5), zatim kroz točku a x crtati okomito na os OKOx, na koje uzimajući u obzir predznake ucrtavamo segmente a x a 1 = g(dobijamo a 1 ) I a x a 2 = z(dobijamo a 2 ). Ostaje konstruirati profilnu projekciju točke a 3 . Budući da profil i frontalne projekcije točke moraju biti smješteni na istoj okomici na os OZ , zatim kroz a 3 izvršiti izravno a 2 a z ^ OZ.

Na kraju se postavlja posljednje pitanje: na kojoj udaljenosti od osi OKOZ treba biti 3?

Uzimajući u obzir koordinatni paralelopiped (vidi sliku), čiji rubovi a z a 3 = O a y = a x a 1 = g zaključujemo da je potrebna udaljenost a z a 3 jednaki u. Segment linije a z a 3 položena desno od osi OZ ako je y>0, a lijevo ako je y

Pogledajmo kakve će se promjene dogoditi na dijagramu kada točka počne mijenjati svoj položaj u prostoru.

Neka, na primjer, točka A (5, 4, 6) kretat će se pravocrtno okomito na ravninu V. S takvim kretanjem promijenit će se samo jedna koordinata y, koji pokazuje udaljenost od točke do ravnine V. Koordinate će ostati konstantne x iz , i projekcija točke određena tim koordinatama,tj. a 2 neće promijeniti svoj položaj.

Što se tiče projekcija a 1 I a 3 , tada će se prvi početi približavati osi OKOx, drugi - do osi OKOZ. Na slikama novi položaj točke odgovara oznaci a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). U trenutku kada je točka na ravnini V(y = 0), dvije od tri projekcije ( a 1 2 I a 3 2 ) ležat će na osovinama.

Preselivši se iz ja oktant u II, točka će se početi udaljavati od ravnine V, Koordinirati na postane negativan, njegova će se apsolutna vrijednost povećati. Horizontalna projekcija ove točke koja se nalazi na stražnjoj poluravnini H, na dijagramu će se pojaviti iznad osi OKOx, a profilna projekcija, koja se nalazi na stražnjoj poluravnini W, na dijagramu će biti lijevo od osi OKOZ. Kao i uvijek, segment a za 3 3 = g.

U daljnjim dijagramima nećemo slovima označavati točke sjecišta koordinatnih osi s komunikacijskim linijama projekcije. To će donekle pojednostaviti crtež.

U budućnosti će postojati dijagrami bez koordinatnih osi. To je ono što se radi u praksi pri prikazivanju predmeta, kada značajna je samo sama slikacija objekta, a ne njegov relativni položajkonkretno projekcijske ravnine.

Ravnine projekcije se u ovom slučaju određuju s točnošću samo do paralelne translacije (slika). Obično se pomiču paralelno sami sa sobom na način da su sve točke objekta iznad ravnine H a ispred aviona V. Budući da se položaj osi X 12 pokazuje nesigurnim, formiranje dijagrama u ovom slučaju ne mora biti povezano s rotacijom ravnina oko koordinatne osi. Pri prelasku na ravninski dijagram H I V kombiniraju se tako da se suprotne projekcije točaka nalaze na okomitim crtama.

Bezosni dijagram točaka A i B(crtanje) Neodređuje njihov položaj u prostoru,ali omogućuje prosudbu njihove relativne orijentacije. Dakle, segment △x karakterizira pomak točke A u odnosu na točku U u smjeru paralelnom s ravninama H i V. Drugim riječima, △x označava koliko je udaljena točka A koji se nalazi lijevo od točke U. Relativni pomak točke u smjeru okomitom na ravninu V određen je segmentom △y, tj. točkom I u u našem primjeru bliže promatraču nego točki U, na udaljenost jednaku △y.

Konačno, isječak △z pokazuje višak točke A iznad točke U.

Zagovornici bezosnog proučavanja tečaja deskriptivne geometrije s pravom ističu da se pri rješavanju mnogih problema može bez koordinatnih osi. Međutim, njihovo potpuno napuštanje ne može se smatrati preporučljivim. Deskriptivna geometrija je osmišljena da pripremi budućeg inženjera ne samo za kompetentno izvođenje crteža, već i za rješavanje različitih tehničkih problema, među kojima problemi prostorne statike i mehanike ne zauzimaju najmanje mjesto. A za to je potrebno razviti sposobnost orijentacije ovog ili onog objekta u odnosu na kartezijeve koordinatne osi. Ove će vještine također biti potrebne pri proučavanju dijelova deskriptivne geometrije kao što su perspektiva i aksonometrija. Stoga na nizu dijagrama u ovoj knjizi spremamo slike koordinatnih osi. Takvi crteži određuju ne samo oblik objekta, već i njegov položaj u odnosu na ravnine projekcije.

Položaj točke u prostoru može se odrediti njezinim dvjema ortogonalnim projekcijama, npr. horizontalnom i frontalnom, frontalnom i profilnom. Kombinacija bilo koje dvije ortogonalne projekcije omogućuje vam da saznate vrijednost svih koordinata točke, konstruirate treću projekciju i odredite oktant u kojem se nalazi. Pogledajmo nekoliko tipičnih problema iz tečaja nacrtne geometrije.

Za zadani složeni crtež točaka A i B potrebno je:

Odredimo najprije koordinate točke A koje se mogu napisati u obliku A (x, y, z). Horizontalna projekcija točke A - točka A", koja ima koordinate x, y. Povucimo okomice iz točke A" na osi x, y i pronađimo redom A x, A y. Koordinata x za točku A jednaka je duljini segmenta A x O sa znakom plus, budući da A x leži u području pozitivnih vrijednosti osi x. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, nalazimo x = 10. Y koordinata je jednaka duljini segmenta A y O s znakom minus, budući da t. A y leži u području negativnih vrijednosti y os. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, y = –30. Frontalna projekcija točke A - točka A"" ima koordinate x i z. Spustimo okomicu s A"" na os z i pronađimo A z. Koordinata z točke A jednaka je duljini segmenta A z O s znakom minus, jer A z leži u području negativnih vrijednosti osi z. Uzimajući u obzir mjerilo crteža z = –10. Dakle, koordinate točke A su (10, –30, –10).

Koordinate točke B mogu se napisati kao B (x, y, z). Promotrimo horizontalnu projekciju točke B - točka B". Budući da leži na osi x, tada je B x = B" i koordinata B y = 0. Apscisa x točke B jednaka je duljini segmenta B x O sa znakom plus. Uzimajući u obzir mjerilo crteža x = 30. Frontalna projekcija točke B je t.B˝ ima koordinate x, z. Povucimo okomicu iz B"" na os z, pronalazeći B z. Primjena z točke B jednaka je duljini segmenta B z O s predznakom minus, jer B z leži u području negativnih vrijednosti osi z. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, određujemo vrijednost z = –20. Dakle, koordinate B su (30, 0, -20). Sve potrebne konstrukcije prikazane su na slici ispod.

Konstrukcija projekcija točaka

Točke A i B u ravnini P 3 imaju sljedeće koordinate: A""" (y, z); B""" (y, z). U ovom slučaju, A"" i A""" leže na istoj okomici na os z, jer imaju zajedničku z koordinatu. Slično, B"" i B""" leže na zajedničkoj okomici na z os. Da bismo pronašli projekciju profila točke A, duž y-osi nacrtamo vrijednost odgovarajuće koordinate koju smo ranije pronašli. Na slici je to učinjeno pomoću kružnog luka radijusa A y O. Nakon toga povucite okomicu iz A y dok se ne siječe s okomicom vraćenom iz točke A"" na os z. Sjecište ovih dviju okomica određuje položaj A""".

Točka B""" leži na osi z, jer je y ordinata ove točke nula. Da biste pronašli projekciju profila točke B u ovom problemu, trebate samo povući okomicu iz B"" na os z. sjecište ove okomice s osi z je B """.

Određivanje položaja točaka u prostoru

Vizualno zamišljajući prostorni raspored, sastavljen od ravnina projekcija P 1, P 2 i P 3, položaja oktanata, kao i redoslijeda transformacije rasporeda u dijagrame, možete izravno utvrditi da se točka A nalazi u III oktantu. , a točka B leži u ravnini P 2.

Druga opcija za rješavanje ovog problema je metoda izuzetaka. Na primjer, koordinate točke A su (10, -30, -10). Pozitivna apscisa x omogućuje nam da prosudimo da se točka nalazi u prva četiri oktanta. Negativna y-ordinata označava da je točka u drugom ili trećem oktantu. Konačno, negativna primjena z označava da se točka A nalazi u trećem oktantu. Sljedeća tablica jasno ilustrira gore navedeno razmišljanje.

oktanti	Koordinatni znakovi
	x	g	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Koordinate točke B (30, 0, -20). Budući da je ordinata točke B nula, ta se točka nalazi u ravnini projekcije P 2. Pozitivna apscisa i negativni aplikat t.B pokazuju da se nalazi na granici trećeg i četvrtog oktanta.

Konstrukcija vizualne slike točaka u sustavu ravnina P 1, P 2, P 3

Frontalnom izometrijskom projekcijom izgradili smo prostorni raspored III oktanta. To je pravokutni triedar čije su plohe ravnine P1, P2, P3, a kut (-y0x) je 45º. U ovom sustavu, segmenti duž x, y, z osi bit će iscrtani u prirodnoj veličini bez izobličenja.

Počnimo konstruirati vizualnu sliku točke A (10, -30, -10) s njezinom horizontalnom projekcijom A. Nakon što smo ucrtali odgovarajuće koordinate duž apscise i osi ordinata, nalazimo točke A x i A y. Sjecište okomica rekonstruiran od A x i A y do x i y osi određuje položaj točke A". Odlažući od A" paralelno s osi z prema njegovim negativnim vrijednostima segment AA", čija je duljina 10, nalazimo položaj točke A.

Vizualna slika točke B (30, 0, -20) konstruirana je na sličan način - u ravnini P2 po x i z osi potrebno je ucrtati odgovarajuće koordinate. Sjecište okomica rekonstruiranih iz B x i B z odredit će položaj točke B.

Projiciranje točke na tri ravnine projekcija koordinatnog kuta započinje dobivanjem njezine slike na H ravnini - horizontalnoj ravnini projiciranja. Da biste to učinili, projekcijska zraka prolazi kroz točku A (Sl. 4.12, a) okomito na ravninu H.

Na slici je okomica na H ravninu paralelna s osi Oz. Točka presjeka grede s ravninom H (točka a) odabire se proizvoljno. Segment Aa određuje na kojoj se udaljenosti točka A nalazi od ravnine H, čime se jasno pokazuje položaj točke A na slici u odnosu na ravnine projekcije. Točka a je pravokutna projekcija točke A na ravninu H i naziva se horizontalna projekcija točke A (slika 4.12, a).

Da bi se dobila slika točke A na ravnini V (sl. 4.12,b), projekcijska zraka prolazi kroz točku A okomito na prednju ravninu projekcija V. Na slici je okomica na ravninu V paralelna s osi Oy . Na ravnini H, udaljenost od točke A do ravnine V bit će predstavljena segmentom aa x, paralelnim s osi Oy i okomitom na os Ox. Ako zamislimo da se projicirajuća zraka i njezina slika izvode istovremeno u smjeru ravnine V, tada kada slika zrake siječe os Ox u točki a x, zraka će sijeći ravninu V u točki a." Crtanje iz točke a x u ravnini V okomita na os Ox, koja je slika projicirajuće zrake Aa na ravnini V, u sjecištu s projicirajućom zrakom dobiva se točka a." Točka a" je frontalna projekcija točke A, odnosno njezina slika na ravninu V.

Slika točke A na ravnini projekcije profila (slika 4.12, c) konstruirana je pomoću projekcijske zrake, okomito na ravninu W. Na slici je okomica na W ravninu paralelna s osi Ox. Projicirajuća zraka iz točke A u ravninu W na ravninu H bit će prikazana segmentom aa y, paralelnim s osi Ox i okomitom na os Oy. Iz točke Oy, paralelno s osi Oz i okomito na os Oy, konstruira se slika projicirajuće zrake aA i u sjecištu s projicirajućom zrakom dobije se točka a." Točka a" je profilna projekcija točke A. , tj. sliku točke A na ravnini W.

Točku a" možemo konstruirati tako da iz točke a" (slika projektirajuće zrake Aa" na ravninu V) povučemo odsječak a"a z paralelno s osi Ox, a iz točke a z - odsječak a"a z paralelno s Oy os dok se ne siječe s projicirajućom zrakom.

Primivši tri projekcije točke A na ravninama projekcija, koordinatni kut se proširuje u jednu ravninu, kao što je prikazano na sl. 4.11,b, zajedno s projekcijama točke A i projekcijskim zrakama, te točka A i projekcijskim zrakama Aa, Aa" i Aa" su uklonjene. Bridovi spojenih ravnina projekcija nisu nacrtani, već samo osi projekcija Oz, Oy i Ox, Oy 1 (sl. 4.13).

Analiza ortogonalnog crteža točke pokazuje da se tri udaljenosti - Aa", Aa i Aa" (sl. 4.12, c), koje karakteriziraju položaj točke A u prostoru, mogu odrediti odbacivanjem samog objekta projekcije - točke A, na koordinatnom kutu okrenutom u jednu ravninu (sl. 4.13). Segmenti a"a z, aa y i Oa x jednaki su Aa" kao suprotne stranice odgovarajućih pravokutnika (sl. 4.12c i 4.13). Oni određuju udaljenost na kojoj se nalazi točka A od ravnine projekcije profila. Segmenti a"a x, a"a y1 i Oa y jednaki su segmentu Aa, određujući udaljenost od točke A do horizontalne ravnine projekcije, segmenti aa x, a"a z i Oa y 1 jednaki su segmentu Aa ", definirajući udaljenost od točke A do frontalne ravnine projekcija.

Segmenti Oa x, Oa y i Oa z, smješteni na osi projekcija, grafički su izraz dimenzija X, Y i Z koordinata točke A. Koordinate točke označene su indeksom odgovarajućeg slova . Mjerenjem veličine ovih segmenata možete odrediti položaj točke u prostoru, tj. postaviti koordinate točke.

Na dijagramu su segmenti a"a x i aa x smješteni kao jedan pravac okomit na os Ox, a segmenti a"a z i a"a z - na os Oz. Te se pravce nazivaju projekcijskim spojnim pravcima. Oni sijeku osi projekcije u točkama ax odnosno a z. Spojna linija projekcije koja povezuje horizontalnu projekciju točke A s profilnom jedan pokazala se "presječenom" u točki a y.

Dvije projekcije iste točke uvijek se nalaze na istoj spojnoj liniji projekcije, okomitoj na os projekcija.

Za prikaz položaja točke u prostoru dovoljne su dvije njezine projekcije i zadano ishodište (točka O. Na sl. 4.14, b dvije projekcije točke u potpunosti određuju njezin položaj u prostoru.Koristeći ove dvije projekcije moguće je konstruirati projekciju profila točke A. Stoga će u budućnosti, ako nema potrebe za projekcijom profila, dijagrami konstruirati na dvije ravnine projekcije: V i H.

Riža. 4.14. Riža. 4.15.

Pogledajmo nekoliko primjera konstruiranja i čitanja crteža točke.

Primjer 1. Određivanje koordinata točke J navedene na dijagramu u dvije projekcije (sl. 4.14). Mjere se tri segmenta: segment OB X (X koordinata), segment b X b (Y koordinata) i segment b X b" (Z koordinata). Koordinate se pišu sljedećim redoslijedom: X, Y i Z, iza slova oznaka točke, na primjer, B20; 30; 15.

Primjer 2. Konstruiranje točke na zadanim koordinatama. Točka C je dana koordinatama C30; 10; 40. Na osi Ox (sl. 4.15) pronađite točku c x u kojoj vezni pravac projekcije siječe os projekcije. Da biste to učinili, koordinata X (veličina 30) iscrtana je duž osi Ox od ishodišta (točka O) i dobivena je točka s x. Kroz ovu točku povuče se projekcijska spojna linija okomito na os Ox i od točke se položi Y koordinata (veličina 10), dobije se točka c - horizontalna projekcija točke C. Koordinata Z (veličina 40) je položeno od točke c x duž linije spajanja projekcije, dobiva se točka c" - frontalna projekcija točke C.

Primjer 3. Konstrukcija profilne projekcije točke pomoću zadanih projekcija. Date su projekcije točke D - d i d". Kroz točku O nacrtane su osi projekcija Oz, Oy i Ou 1 (Sl. 4.16, a). Za konstrukciju projekcije profila točke D točka d", projekcija spojna linija je povučena okomito na os Oz i nastavlja je udesno iza osi Oz. Na toj liniji nalazit će se profilna projekcija točke D. Ona će se nalaziti na istoj udaljenosti od osi Oz kao što se nalazi horizontalna projekcija točke d: od osi Ox, tj. na udaljenosti dd x. Segmenti d z d" i dd x su isti jer određuju istu udaljenost - udaljenost od točke D do frontalne ravnine projekcija. Ta udaljenost je Y koordinata točke D.

Grafički, segment d z d" konstruira se prijenosom segmenta dd x iz horizontalne ravnine projekcije u ravninu profila. Da biste to učinili, nacrtajte liniju spajanja projekcije paralelnu s osi Ox, dobijete točku d y na osi Oy (Sl. 4.16, b). Zatim prenesite veličinu segmenta Od y na os Oy 1 , povlačenjem luka od točke O s polumjerom jednakim segmentu Od y do sjecišta s osi Oy 1 (Sl. 4.16, b ), dobivamo točku dy 1. Ova se točka također može konstruirati, kao što je prikazano na slici 4.16, c, povlačenjem ravne linije pod kutom od 45° na os Oy iz točke d y. Iz točke d y1 povucite a projekcijska spojna linija paralelna s osi Oz i na njoj položi segment jednak segmentu d"d x, dobivajući točku d".

Prijenos vrijednosti segmenta d x d na profilnu ravninu projekcija može se izvršiti pomoću konstantne ravne linije crteža (slika 4.16, d). U tom slučaju se kroz horizontalnu projekciju točke povlači vezni pravac projekcije dd y paralelno s osi Oy 1 dok se ne siječe s konstantnom ravnicom, a potom paralelno s osi Oy dok se ne siječe s nastavkom projekcije. spojni vod d"d z.

Posebni slučajevi položaja točaka u odnosu na ravnine projekcija

Položaj točke u odnosu na ravninu projekcije određen je odgovarajućom koordinatom, odnosno veličinom odsječka veznog pravca projekcije s osi Ox na odgovarajuću projekciju. Na sl. 4.17 Y koordinata točke A određena je segmentom aa x - udaljenost od točke A do ravnine V. Z koordinata točke A određena je segmentom a "a x - udaljenost od točke A do ravnine H. Ako je jedna koordinata je nula, tada se točka nalazi na ravnini projekcije Slika 4.17 prikazuje primjere različitih položaja točaka u odnosu na ravnine projekcije. Koordinata Z točke B je nula, točka je u ravnini H. Njena frontalna projekcija je na os Ox i podudara se s točkom b x. Y koordinata točke C je nula, točka se nalazi na ravnini V, njena horizontalna projekcija c je na os Ox i podudara se s točkom c x.

Dakle, ako je točka na ravnini projekcije, tada jedna od projekcija te točke leži na osi projekcije.

Na sl. 4.17, koordinate Z i Y točke D jednake su nuli, stoga se točka D nalazi na osi projekcije Ox i njezine dvije projekcije se podudaraju.