Jak znaleźć pochodną kompleksowych przykładów rozwiązania. Funkcja złożona pochodna

Jest absolutnie niemożliwe do rozwiązania zadań fizycznych lub przykładów matematyki bez wiedzy na temat pochodnej i metod jego obliczenia. Pochodna jest jedną z najważniejszych koncepcji analizy matematycznej. Postanowiliśmy poświęcić ten fundamentalny temat do obecnego artykułu. Jaka jest pochodna, jaka jest jego znaczenie fizyczne i geometryczne, jak obliczyć funkcję pochodną? Wszystkie te pytania można łączyć do jednego: jak zrozumieć pochodną?

Pochodna geometryczna i fizyczna

Niech będzie funkcja f (x) ustawiony w określonym przedziale (A, B) . Punkty X i X0 należą do tego interwału. Podczas zmiany X zmienia samą funkcję. Zmiana argumentu - różnica swoich wartości x-x0. . Ta różnica jest napisana jako delta X. i nazywa się przyrostem argumentu. Zmiana lub zwiększanie funkcji jest różnicą wartości funkcyjnych w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Funkcja pochodna w punkcie jest limit funkcji funkcji funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni ma tendencję do zera.

W przeciwnym razie można go napisać:

Jaki jest punkt w znalezieniu takiego limitu? Ale co:

Pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kącie między osią wołową i styczną do wykresu funkcji w tym momencie.

Znaczenie fizyczne pochodne: Pochodna czasowa jest równa szybkości ruchu prostego.

Rzeczywiście, ponieważ czasy szkolne wszyscy wiedzą, że prędkość jest prywatną ścieżką x \u003d f (t) i czas t. . Średnia prędkość dla pewnego przedziału czasu:

Aby dowiedzieć się o szybkości ruchu w czasie t0. Musisz obliczyć limit:

Zasada Najpierw: Bierzemy stałą

Stała może zostać wyjęta ze znaku pochodnej. Co więcej, należy to zrobić. Podczas rozwiązywania przykładów matematyki należy zasięgnąć regułę - jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj, aby uprościć .

Przykład. Oblicz pochodną:

Zasada sekunda: funkcje pochodne

Pochodna dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie poprowadzimy dowodu tego twierdzenia, a lepiej rozważyć praktyczny przykład.

Znajdź funkcję pochodną:

Zasada trzecia: Prace pochodne funkcji

Pochodna dzieł dwóch funkcji różniących jest obliczana przez wzór:

Przykład: Znajdź funkcję pochodną:

Decyzja:

Ważne jest, aby powiedzieć o obliczeniu pochodnych kompleksowych funkcji. Pochodna funkcji złożonej jest równa produktowi pochodnej tej funkcji przez argument pośredni na pochodnej argumentu pośredniego na niezależnej zmiennej.

W powyższym przykładzie napotykamy wyrażenie:

W tym przypadku argument pośredni ma 8x do piątego stopnia. W celu obliczenia pochodnej takiej ekspresji, najpierw rozważamy pochodną funkcji zewnętrznej przez argument pośredni, a następnie pomnożyć na pochodną bezpośrednio bardzo pośredni argument na zmiennej niezależnej.

Rządzi czwarte: pochodna prywatnych dwóch funkcji

Formuła do określania pochodnej prywatnych dwóch funkcji:

Próbowaliśmy porozmawiać o instrumentach pochodnych dla czajników od podstaw. Ten temat nie jest taki prosty, jak się wydaje, więc ostrzegam: W przykładach są często pułapki, więc uważaj przy obliczaniu pochodnych.

Dzięki wszelkich kwestii na tym i inne tematy możesz skontaktować się z usługą studencką. W krótkim czasie pomożemy rozwiązać najtrudniejszą kontrolę i zajmować się zadaniami, nawet jeśli nigdy nie byłeś zaangażowany w obliczenie pochodnych.

Funkcje złożonego gatunku nie są całkowicie poprawnie zwane terminem "Funkcja złożona". Na przykład wygląda bardzo imponująco, ale ta funkcja nie jest trudna, w przeciwieństwie do.

W tym artykule zajmiemy się koncepcją kompleksowej funkcji, nauczyć się zidentyfikować go w składzie funkcji podstawowych, damy formułę do znalezienia go pochodnej i rozważyć szczegółowo rozwiązanie charakterystycznych przykładów.

Podczas rozwiązywania przykładów będziemy ciągle używać tabeli pochodnych i zasad różnicowania, więc trzymaj je przed oczami.

Kompleksowa funkcja - Jest to funkcja, której argument jest również funkcją.

Z naszego punktu widzenia ta definicja jest najbardziej jasna. Warunkowo może być oznaczony jako f (g (x)). To jest, g (x), jak to było, funkcja argumentu F (g (x)).

Na przykład, niech F będzie funkcją Arctangent, a G (x) \u003d LNX jest funkcją logarytmu naturalnego, a następnie kompleks Funkcja F (G (X)) jest ArctG (LNX). Inny przykład: F - funkcja czwartego stopnia i - Cała funkcja racjonalna (patrz), a następnie .

Z kolei G (x) może być również kompleksową funkcją. Na przykład, . Warunkowo taki wyraz można wyznaczyć jako . Tutaj f - funkcja zatoki - funkcja ekstrakcji kwadratowego korzenia, - Frakcyjna funkcja racjonalna. Logiczne jest założenie, że stopień zagnieżdżania immunitetu może być dowolną skończoną liczbą naturalną.

Często można usłyszeć, że nazywa się kompleksowa funkcja skład funkcji.

Formuła do znalezienia funkcji kompleksu pochodnego.

Przykład.

Znajdź funkcję kompleksu pochodnego.

Decyzja.

W tym przykładzie F - funkcja konstrukcyjna kwadratu i g (x) \u003d 2x + 1 jest funkcją liniową.

Oto szczegółowe rozwiązanie przy użyciu formuły funkcji kompleksu pochodnej:

Znajdźmy tę pochodną, \u200b\u200bupraszczając typ funkcji źródłowej.

W związku z tym,

Jak widać, wyniki pokrywają się.

Staraj się nie być zdezorientowany, jaka funkcja jest F, a który g (x).

Wyjaśnijmy przykład dla uwagi.

Przykład.

Znaleźć pochodne kompleksowych funkcji i.

Decyzja.

W pierwszym przypadku F - jest to funkcja konstrukcji kwadratu, a G (x) jest funkcją zatoką, więc
.

W drugim przypadku f jest funkcją zatok, a funkcja mocy. W związku z tym, według formuły kompleksu mamy

Pochodna formuły dla funkcji ma formularz

Przykład.

Różnicuj funkcję .

Decyzja.

W tym przykładzie kompleksowa funkcja może być warunkowo napisana jako , gdzie - funkcja zatoki, funkcja konstrukcyjna do trzeciego stopnia, funkcja logarytmowania dla podstawy E, funkcja przechwytywania ARCTGENNES i funkcji liniowej.

Według wzoru funkcji kompleksu pochodnego

Teraz znaleziono

Zbieramy ze sobą wyniki pośrednie:

Nie ma nic strasznego, demontuj kompleksowe funkcje jako Matryoshki.

Można zakończyć ten artykuł, jeśli nie ...

Wskazane jest jasno zrozumieć przy stosowaniu zasad różnicowania i tabeli pochodnej, a gdy formuła kompleksu pochodnej.

Teraz bądź szczególnie ostrożny. Porozmawiamy o różnicach między funkcjami złożonego widoku z kompleksowych funkcji. Z jak bardzo można zobaczyć to rozróżnienie, a sukces będzie zależny od znalezienia pochodnych.

Zacznijmy od prostych przykładów. Funkcjonować można uznać za kompleks: g (x) \u003d tgx, . Dlatego możesz natychmiast zastosować formułę kompleksu pochodnego

Ale funkcja Trudne do już nazwy nie można wywołać.

Ta funkcja jest sumą trzech funkcji, 3TGX i 1. Chociaż jest to kompleksowa funkcja: - funkcja mocy (kwadratowa parabola), a f jest funkcją stycznego. Dlatego też, najpierw stosować ilość wzoru zróżnicowania:

Pozostaje znaleźć funkcję kompleksu pochodnej:

W związku z tym .

Mamy nadzieję, że esencja cię złapała.

Jeśli będziesz wyglądać szerzej, można argumentować, że funkcje złożonego gatunku mogą być zawarte w złożonych funkcjach i kompleksowe funkcje mogą składać się części funkcji kompleksowych gatunków.

Jako przykład przeanalizujemy funkcję części składowej .

po pierwszeJest to kompleksowa funkcja, która może być reprezentowana w formie, w której F jest funkcją logarytmowania na podstawie 3, a G (x) jest sumą dwóch funkcji i . To znaczy, .

Po drugie, Weź funkcję H (x). Jest to stosunek do .

Jest to suma dwóch funkcji i gdzie - kompleksowa funkcja z współczynnikiem numerycznym 3. - Funkcja konstrukcji w kostce jest funkcja cosinusa, - funkcja liniowa.

Jest to suma dwóch funkcji i gdzie - Funkcja złożona - funkcja wykładniczego, jest funkcją mocy.

W ten sposób, .

Po trzecie, przejdź do, który jest elementem kompleksu i cała racjonalna funkcja

Funkcja Runoff jest funkcją logarytmowania opartą na E.

W związku z tym, .

Podsumujmy:

Teraz struktura struktury jest jasna i stała się widoczna, które wzory i w którym sekwencji stosuje się podczas jego różnicowania.

W sekcji zróżnicowania funkcji (znalezienie pochodnej) można zapoznać się z rozwiązaniem takich zadań.

Po wstępnym przygotowaniu sztuki przykłady będą mniej straszne, z 3-4-5 załączników funkcji. Być może następne dwa przykłady wydają się trochę skomplikowane, ale jeśli ich rozumieją (ktoś i peelies), a potem prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym wydaje się jak żart dla dzieci.

Przykład 2.

Znajdź funkcję pochodną

Jak zauważono, znajdując funkcję kompleksu pochodnego, przede wszystkim konieczne jest dobrzeZrozumieć inwestycje. W przypadkach, w których występują wątpliwości, przypominam użyteczną recepcję: bierzemy eksperymentalne znaczenie "X", na przykład i spróbuj (umysłowo lub na projekt), aby zastąpić tę wartość w "straszliwym wyrażeniu".

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, oznacza to, że kwota jest najgłębszą inwestycją.

2) Następnie konieczne jest obliczenie logarytmu:

4) Następnie Cosinus zbuduje na kostkę:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie, najbardziej zewnętrzna funkcja jest rootem kwadratowym:

Funkcja kompleksu różnicowania formuły Zostanie zastosowany w odwrotnej kolejności, z samej funkcji zewnętrznej, do najgłębszego. My decydujemy:

Wydaje się bez błędów:

1) Weź pochodną korzenia kwadratowego.

2) wziąć pochodną różnicy za pomocą reguły

3) pochodna trojki wynosi zero. W drugim okresie bierzemy pochodną na stopniu (Kuba).

4) Wykonujemy cosinus pochodną.

6) I wreszcie podejmij pochodną najgłębszej inwestycji.

Może wydawać się zbyt trudny, ale to nie jest najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuznetsov i docenicie piękno i prostotę demontowanej pochodnej. Zauważyłem, że lubię dać podobne, aby dać egzaminowi sprawdzić, rozumie ucznia, jak znaleźć pochodną kompleksowej funkcji lub nie rozumie.

Poniższy przykład jest dla niezależnego rozwiązania.

Przykład 3.

Znajdź funkcję pochodną

WSKAZÓWKA: Najpierw zastosuj reguły liniowości i wyprowadzenie pracy

Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Nadszedł czas, aby przejść do cokolwiek bardziej zwartych i ładnych.
Sytuacja nie jest rzadka, gdy przykład otrzymuje produkt nie dwóch, ale trzy funkcje. Jak znaleźć pochodną z pracy trzech mnożników?

Przykład 4.

Znajdź funkcję pochodną

Po pierwsze, spójrz i czy niemożliwe jest przekształcenie pracy trzech funkcji w pracę dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli dwie wielomianów w pracy, możliwe byłoby ujawnienie wsporników. Ale w tym przykładzie wszystkie funkcje są różne: stopień, wystawca i logarytm.

W takich przypadkach konieczne jest sekwencjazastosuj produkcję różnicowania reguły dwa razy

Skupiamy się na "Y", oznaczamy produkt dwóch funkcji:, i dla "ve" - \u200b\u200blogarytm :. Dlaczego to można zrobić? I nie - To nie jest praca dwóch mnożników, a reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje drugim razem, aby zastosować regułę Do wspornika:

Nadal możesz grać i wziąć coś za wspornikami, ale w tym przypadku odpowiedź lepiej pozostawić w tym formularzu - łatwiej będzie sprawdzić.

Uważny przykład można rozwiązać w drugim sposobie:

Oba rozwiązania są absolutnie równe.

Przykład 5.

Znajdź funkcję pochodną

Jest to przykład niezależnego rozwiązania, w próbce jest rozwiązany w pierwszej drodze.

Rozważ podobne przykłady z frakcjami.

Przykład 6.

Znajdź funkcję pochodną

Tutaj możesz przejść kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie napisane bardziej kompaktowe, jeśli najpierw użyje prywatnej reguły różnicowania , Akceptując dla całego numeratora:

Zasadniczo przykład jest rozwiązany, a jeśli zostawisz go w tym formularzu, nie będzie to błędu. Ale w obecności czasu jest zawsze wskazane, aby sprawdzić projekt i czy można uprościć odpowiedź?

Prezentujemy wyraz cyfrowego ogólnego mianownika i pozbyć się trzech opowiadań:

Minus dodatkowych uproszczeń jest to, że istnieje ryzyko, aby umożliwić błąd nie, gdy pochodna jest już założona, ale kiedy transformacje banalne. Z drugiej strony nauczyciele często pamiętają zadanie i poprosić o pochodną "przynieść".

Prostszy przykład dla samotnych rozwiązań:

Przykład 7.

Znajdź funkcję pochodną

Nadal dowiemy się o przyjęć pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy proponuje się logarytm "Straszny" do zróżnicowania

Pamiętaj bardzo proste.

Cóż, nie idziemy daleko, natychmiast rozważmy funkcję odwrotnej. Jaka funkcja jest odwrotna dla funkcji orientacyjnej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawa jest liczbą:

Taki logarytm (to znaczy logarytm z bazą) nazywany jest "naturalnym", a dla niego używamy specjalnego oznaczenia: zamiast pisania.

Co jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

Znajdź funkcję pochodną.
Jaka jest funkcja pochodna?

Odpowiedzi: Wystawca i logarytm naturalny - funkcje są wyjątkowo proste od punktu widzenia pochodnej. Funkcje wymiany i logarytmiczne z inną bazą będą miały kolejną pochodną, \u200b\u200bktórą analizujemy później z Tobą, po przekazaniu zasad różnicowania.

Zasady różnicowania

Rządzi co? Znowu nowy termin?!

Różnicowanie - Jest to proces znalezienia pochodnej.

Tylko i wszystko. I jak inaczej nazwać ten proces w jednym słowie? Nie jest to produkcja ... różnicowa matematyki nazywana jest największym przyrostem funkcji. Termin ten dzieje się z łacińskich różnic - różnicy. Tutaj.

Podczas wyświetlania wszystkich tych zasad będziemy używać dwóch funkcji, na przykład i. Potrzebujemy również formuł dla ich przyrostów:

Suma jest 5 zasad.

Stała jest wykonana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakiś rodzaj stałej liczby (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa na różnicę :.

Udowodniamy. Niech lub łatwiej.

Przykłady.

Znajdź funkcje pochodne:

w punkcie;
w punkcie;
w punkcie;
w punkcie.

Rozwiązania:

(pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętaj?);

Prace pochodzące

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadzamy nową funkcję i znajdź jego przyrost:

Pochodna:

Przykłady:

Znajdź pochodne funkcji i;
Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Funkcja orientacyjna pochodna

Teraz twoja wiedza wystarczy, aby nauczyć się znaleźć pochodną każdej funkcji orientacyjnej, a nie tylko wystawców (nie zapomniał, co to jest?).

Więc gdzie jest jakiś numer.

Znamy już funkcję pochodną, \u200b\u200bwięc spróbujmy przynieść naszą funkcję do nowej bazy:

Aby to zrobić, używamy prostej reguły :. Następnie:

Cóż, okazało się. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź siebie:

Formuła okazała się bardzo podobna do ekspozycji pochodnej: jak to było, pojawił się tylko mnożnik, który jest tylko liczbą, ale nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź funkcje pochodne:

Odpowiedzi:

Jest to tylko liczba, której nie można policzyć bez kalkulatora, czyli, że nie do nagrywania w prostszej formie. Dlatego w odpowiedzi w tym formularzu i odejdź.

Zauważ, że istnieją prywatne dwie funkcje tutaj, stosują zatem odpowiednią zasadę zróżnicowania:

W tym przykładzie produkt dwóch funkcji:

Funkcja logarytmiczna pochodna

Oto podobne: Znasz już pochodną z logarytmu naturalnego:

Dlatego znaleźć arbitralne z logarytmu z innym powodem, na przykład:

Musisz przynieść ten logarytm do bazy. I jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz piszemy:

W mianowniku okazało się stałą (stałą liczbę, bez zmiennej). Pochodna jest bardzo prosta:

Pochodne funkcji orientacyjnych i logarytmicznych są prawie nie znalezione w egzaminie, ale nie będzie zbędne, aby je poznać.

Funkcja kompleksu pochodnego.

Co to jest "kompleksowa funkcja"? Nie, to nie jest logarytm, a nie arctangence. Funkcje te mogą być złożone do zrozumienia (choć jeśli logarytm wydaje się trudny, przeczytaj temat "logarytmy" i wszystko przejdzie), ale z punktu widzenia matematyki słowo "kompleks" nie oznacza "trudnych".

Wyobraź sobie mały przenośnik: Dwie osoby siedzą i mają jakieś działania z niektórymi przedmiotami. Na przykład, pierwsze otacza czekoladę w opakowaniu, a drugi oznacza go wstążką. Okazuje się taki integralny obiekt: czekolada, owinięta i wyłożona wstążką. Aby jeść czekoladę, musisz wykonać odwrotną akcję w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny przenośnik matematyczny: Najpierw znajdziemy cosinus numeru, a następnie wynikowy numer zostanie wzniesiony na kwadrat. Dajemy więc numer (czekolada), znajduję jego cosinus (wrap), a następnie zostaniesz wzniesiony przez to, co zrobiłem, na placu (remis do wstążki). Co się stało? Funkcjonować. Jest to przykład kompleksowej funkcji: Kiedy znaleźć swoje znaczenia, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie kolejną akcję, co wydarzyło się w wyniku pierwszego.

Innymi słowy, złożona funkcja jest funkcją, której argument jest inną funkcją.: .

Dla naszego przykładu.

Możemy całkowicie wykonać te same działania i w odwrotnej kolejności: najpierw zostaniesz wzniesiony na kwadrat, a następnie szukam cosinusu o wynikowej liczbie :. Łatwo odgadnąć, że wynik będzie prawie zawsze inny. Ważną cechą kompleksowych funkcji: Po zmianie procedury zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (ten sam). .

Działanie, które robimy, to zadzwoni Funkcja "zewnętrzna", a działanie wykonane najpierw - odpowiednio Funkcja "wewnętrzna" (Są to nieformalne nazwy, używam ich tylko do wyjaśnienia materiału w prostym języku).

Spróbuj określić, jaka funkcja jest zewnętrzna, a która jest wewnętrzna:

Odpowiedzi:Oddzielenie funkcji wewnętrznych i zewnętrznych jest bardzo podobny do wymiany zmiennych: na przykład w funkcji

Najpierw wykonamy jakie działania? Po pierwsze, należy rozważyć zatokę, ale tylko wtedy wzniesiony do kostki. Tak więc funkcja wewnętrzna i zewnętrzna.
A początkowa funkcja jest ich składem :.
Wewnętrzny:; Zewnętrzny :.
Sprawdź :.
Wewnętrzny:; Zewnętrzny :.
Sprawdź :.
Wewnętrzny:; Zewnętrzny :.
Sprawdź :.
Wewnętrzny:; Zewnętrzny :.
Sprawdź :.

produkujemy wymianę zmiennych i uzyskać funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą czekoladę czekoladową - szukaj pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: Najpierw szukamy zewnętrznej pochodnej funkcji, a następnie pomnożyć wynik na pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda tak:

Inny przykład:

W końcu sformuluję oficjalną zasadę:

Algorytm do znalezienia funkcji kompleksu pochodnej:

Wydaje się, że wszystko jest proste, tak?

Sprawdź przykłady:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzny :;

Zewnętrzny :;

2) wewnętrzny:;

(Nie myśl teraz tylko do cięcia! Spod Cosino nic nie jest zrobione, pamiętaj?)

3) Wewnętrzny:;

Zewnętrzny :;

Należy natychmiast usunąć, że tutaj funkcja złożona trzypoziomowa: w końcu jest już sama kompleksowa funkcja i nadal usuwa korzenie z niego, to znaczy, wykonujemy trzecią działanie (czekolada w opakowaniu i z wstążka umieszczona w portfolio). Ale nie ma powodu, aby bać się: WSZYSTKIE SAME "UNPACK" Ta funkcja będzie w takiej samej kolejności jak zwykle: od końca.

To jest, najpierw użyj korzenia, następnie cosinus, a następnie wyrażenie w nawiasach. A następnie wszystkie te zmienne.

W takich przypadkach jest to wygodne do ponumerowanych działań. To znaczy, wyobraź sobie, że jesteśmy znani. Jakie zamówienie przeprowadzamy działania, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Będziemy badać na przykładzie:

Później ma miejsce, tym bardziej "zewnętrzna" będzie odpowiednią funkcją. Sekwencja działań - jak przed:

Tutaj gniazdowanie jest na ogół 4-poziom. Określmy procedurę.

1. Wyrazę przymusową. .

2. Korzeń. .

3. zatok. .

4. Kwadratowy. .

5. Zbieramy wszystko w wiązce:

POCHODNA. Krótko o głównej rzeczy

Funkcja pochodna - stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu z nieskończenie małym przyrostem argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest przeznaczona do znaku pochodnej:

Kwota pochodna:

Praca produkcyjna:

Prywatna pochodna:

Funkcja kompleksu pochodnego:

Algorytm do znalezienia pochodnej kompleksowej funkcji:

Definiujemy funkcję "wewnętrznej", znajdziemy jej pochodną.
Definiujemy funkcję "zewnętrznej", znajdziemy jej pochodną.
Pomnóż wyniki pierwszych i drugich przedmiotów.

W tej lekcji nauczysz się znaleźć funkcja złożona pochodna. Lekcja jest logiczną kontynuacją klas Jak znaleźć pochodną?Gdzie demontujemy najprostsze pochodne, a także zapoznały się z zasadami zróżnicowania i niektórych technik technicznych znalezienia pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś bardzo jasny z pochodnymi funkcjami, nie będziesz całkowicie wyczyścić, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Ustaw się do poważnego sposobu - materiał nie jest prosty, ale nadal staram się to prosto i dostępny.

W praktyce pochodna kompleksowej funkcji musi się stawić czoła bardzo często, powiedziałbym nawet prawie zawsze, gdy masz zadania znaleźć pochodne.

Patrzymy na tabelę do reguły (nr 5) zróżnicowania kompleksowej funkcji:

Rozumiemy. Przede wszystkim zwróć uwagę na rekord. Tutaj mamy dwie funkcje - a ponadto w funkcji zainwestowano funkcję w przenośni. Funkcja tego typu (gdy jedna funkcja jest osadzona w innym) i nazywana jest kompleksową funkcją.

Zadzwonię do funkcji funkcja zewnętrznai funkcja - Funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona).

! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawić się w projekcie zadań tłokowych. Używam wyrażeń nieformalnych "funkcji zewnętrznej", funkcji "wewnętrznej", aby ułatwić zrozumienie materiału.

W celu wyjaśnienia sytuacji, rozważ:

Przykład 1.

Znajdź funkcję pochodną

Pod zatokami nie jesteśmy tylko literą "X", ale wyrażeniem całkowitym, więc nie będzie można natychmiast znaleźć pochodną na stole. Zauważamy również, że tutaj nie można zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że istnieje różnica, ale faktem jest, że zatoka nie jest "rozdzielona na części":

W tym przykładzie, z moich wyjaśnień, intuicyjny jest to, że funkcja jest kompleksową funkcją, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (załącznikiem) i jest funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krokAby wykonać, gdy znajdują się funkcja kompleksu pochodnej dowiedz się, jaka funkcja jest wewnętrzna i co jest zewnętrzne.

W przypadku prostych przykładów wydaje się, że wydaje się, że w sine zainwestuje wielomian. Ale co, jeśli wszystko nie jest oczywiste? Jak dokładnie określić, jaka funkcja jest zewnętrzna, a co jest wewnętrznym? Aby to zrobić, proponuję użyć kolejnej recepcji, która może być przeprowadzona psychicznie lub na szkicu.

Wyobraź sobie, że musimy obliczyć wartość wartości ekspresyjnej na kalkulatorze (zamiast jednostki, może być dowolna liczba).

Co najpierw obliczymy? Po pierwsze Będziesz musiał wykonać następujące czynności:, Dlatego wielomian i będą funkcją wewnętrzną:

Po drugie Konieczne będzie znalezienie, tak zatokę - będzie to funkcja zewnętrzna:

Po tym, jak my Zorientowali się Z funkcjami wewnętrznymi i zewnętrznymi nadszedł czas, aby zastosować regułę zróżnicowania funkcji złożonej.

Zaczynamy rozwiązać. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? Pamiętamy, że dekoracja rozwiązania jakiejkolwiek pochodnej zawsze zaczyna się tak - zawieramy wyrażenie w nawiasach i umieścimy na prawym górnym kodzie kreskowym:

Pierwszy Znajdujemy zewnętrzną pochodną funkcji (zatokę), patrzymy na stół pochodnych funkcji podstawowych i zauważmy, że. Wszystkie wzory tabelaryczne mają zastosowanie iw przypadku, jeśli "X" zastępuje się kompleksową ekspresją, w tym przypadku:

Zauważ, że funkcja wewnętrzna nie zmienił się, nie dotykamy jej.

Cóż, to dość oczywiste

Wynik zastosowania formuły w projekcie tłoka wygląda tak:

Stały mnożnik zwykle wytrzymuje wyrażenia:

Jeśli jakieś nieporozumienie pozostaje, przepisać decyzję w dokumencie i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2.

Znajdź funkcję pochodną

Przykład 3.

Znajdź funkcję pochodną

Jak zawsze, napisz:

Rozumiemy, gdzie mamy funkcję zewnętrzną i gdzie jest wewnętrzny. Aby to zrobić, spróbuj (umysłowo lub na szkicu), aby obliczyć wartość ekspresji na. Co trzeba najpierw wykonać? Przede wszystkim konieczne jest liczenie tego, co jest równe podstawy:, oznacza to, że wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I tylko wtedy ćwiczenie jest przeprowadzane w zakresie, zatem funkcja mocy jest funkcją zewnętrzną:

Według formuły najpierw potrzebujesz znaleźć pochodną z funkcji zewnętrznej, w tym przypadku, w tym zakresie. Chcieliśmy niezbędnej formuły w tabeli :. Powtarzamy ponownie: każda formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla "X", ale także do złożonej ekspresji. Zatem wynik stosowania runtu zróżnicowania kompleksu jest następujące:

Ponownie podkreślam, że gdy podejmujemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna nie zmienia się u nas:

Teraz pozostaje całkowicie prostą pochodną z funkcji wewnętrznej i trochę "czesania" wyniku:

Przykład 4.

Znajdź funkcję pochodną

Jest to przykład dla niezależnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby zabezpieczyć zrozumienie funkcji złożonej pochodnej, podam przykład bez komentarza, spróbuję wymyślić to sam, farba, gdzie zewnętrzna i gdzie jest funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania rozwiązały ten sposób?

Przykład 5.

a) Znajdź funkcję pochodną

b) Znajdź funkcję pochodną

Przykład 6.

Znajdź funkcję pochodną

Tutaj mamy korzeń i w celu obojętnego korzenia, musi być reprezentowany w formie stopnia. Zatem najpierw podaj funkcję właściwej formie:

Analizując funkcję, stwierdzamy, że suma trzech terminów jest funkcją wewnętrzną, a funkcja zewnętrzna jest funkcją zewnętrzną. Zastosuj reguły zróżnicowania kompleksu:

Stopień ponownie reprezentuje w postaci radykalnej (root) i do pochodnej funkcji wewnętrznej, stosować prostą zasadę różnicowania:

Gotowy. Możesz także umieścić wyrażenie do ogólnego mianownika i zapisać jedną frakcję w nawiasach. Piękny, oczywiście, ale gdy uzyskuje się dużych długich pochodnych - lepiej nie robić tego (łatwo jest być zdezorientowany, aby umożliwić niepotrzebny błąd, a nauczyciel będzie niewygodnie sprawdzenie).

Przykład 7.

Znajdź funkcję pochodną

Jest to przykład dla niezależnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Ciekawe jest, że czasami zamiast procedury rozróżnienia kompleksowej funkcji można użyć reguły zróżnicowania proporcji , Ale takie rozwiązanie wygląda jak zabawa perwersji. Oto charakterystyczny przykład:

Przykład 8.

Znajdź funkcję pochodną

Tutaj możesz użyć reguły zróżnicowania proporcji Ale jest znacznie bardziej opłacalny, aby znaleźć pochodną poprzez reguły zróżnicowania kompleksu:

Przygotowujemy funkcję zróżnicowania - bierzemy minus na znak pochodnej, a cosinus podnosi się w liczniku:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, funkcja zewnętrzna jest funkcją zewnętrzną.
Korzystamy z naszej zasady:

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej, Cosino wyrzuca się z powrotem:

Gotowy. W badanym przykładzie ważne jest, aby nie zdezorientować się w znakach. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać go za pomocą reguły. Odpowiedzi muszą się dopasować.

Przykład 9.

Znajdź funkcję pochodną

Jest to przykład dla niezależnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory uważaliśmy przypadki, gdy tylko jedna inwestycja była w naszej kompleksowej funkcji. W zadaniach praktycznych często możliwe jest spełnienie pochodnych, gdzie, jako Matryoshki, jeden do drugiego, są osadzone na raz 3, a nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10.

Znajdź funkcję pochodną

Rozumiemy w inwestycjach tej funkcji. Staramy się obliczyć wyrażenie za pomocą wartości eksperymentalnej. Jak wierzylibyśmy na kalkulator?

Najpierw musisz znaleźć, oznacza, że \u200b\u200bArksinus jest najgłębszą inwestycją:

Następnie te jednostki arxinus powinny być wbudowane na placu:

I wreszcie siedem jest wzniesiony w pewnym stopniu:

W tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa załączniki, podczas gdy funkcja wewnętrzna jest arxinus, a sama funkcja zewnętrzna jest funkcją orientacyjną.

Zaczynamy decydować

Zgodnie z regułą, najpierw musisz wziąć pochodną z funkcji zewnętrznej. Patrzymy na stół pochodnych i znajdziemy pochodną funkcji orientacyjnej: jedyną różnicą jest zamiast "X", mamy trudne wyrażenie, które nie anuluje ważności tej formuły. Tak więc wynik stosowania runtu różnicowania kompleksu jest następujące:

Pod skokem ponownie mamy skomplikowaną funkcję! Ale łatwiej jest. Łatwo jest upewnić się, że funkcja wewnętrzna jest arxinus, funkcja zewnętrzna jest stopniem. Zgodnie z różnicowaniem kompleksowej funkcji, najpierw musisz wziąć pochodną.

Czy lubiłeś artykuł? Udostępnij to

Drukuj artykuł