Toate coastele laterale piramida regulata sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Dat: PA1A2…An – piramidă regulată Document: 1) А1Р = А2Р = … = АnР 2) ?А1А2Р = ?А2А3Р = … = = ?Аn-1АnР – r/b.

Slide 7 din prezentare „Piramide”.

Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 181 KB.

Geometrie clasa a X-a rezumat

alte prezentări „Piramida clasa a X-a” - A2. Conţinut. Un poliedru compus dintr-un n-gon A1A2...An și n triunghiuri se numește piramidă. Baza. Lecție de matematică în clasa a X-a pe tema „Piramida”. Un. Vârful piramidei. MBOU „Școala Gimnazială Nr.22 cu studiu aprofundat Limba engleză

» Nizhnekamsk RT. A. A3. A1. C.

„Paralelepiped gradul 10” - Fețe adiacente. C1. Geometrie clasa a X-a. A1. C. D1. D. Fețe opuse. Nr 76. Demonstrați că AC II A1C1 și BD II B1D1.

„Vectori de geometrie gradul 10” - Vectori. Vectori în spațiu. Geometrie clasa a X-a. CB CM. Instituția municipală de învățământ „Școala Gimnazială Baragash” Șagaeva Anna Borisovna. Acțiuni cu vectori. Vector expres. Suma vectorilor. Ac an am. Un vector este ca un segment direcționat.

„Secțiuni ale unui paralelipiped” - 4. ? MNK - secțiune de paralelipiped ABCDA’B’C’D’. Lecție - atelier în clasa a X-a profesor de matematică Shvenk A.V. (MNK) ? (ADD'A') = MN. (MNK) ? (A'B'C'D') = NK. Secțiuni ale unui paralelipiped. Obiectivele lecției. Planul de tăiere intersectează fețele opuse ale paralelipipedului de-a lungul segmentelor paralele. Secțiuni ale unui paralelipiped.

„Vector în geometrie” - Scăderea vectorilor. Adunarea și scăderea vectorilor. Regula paralelogramului. Un astfel de vector se numește zero. Diferența dintre vectorii a și b poate fi găsită folosind formula unde este vectorul opus vectorului. Lungimea unui vector diferit de zero este lungimea segmentului AB. În fig. 2, pentru că și, a, pentru că . - vectorii sunt considerați co-direcționali. - vectorii sunt direcționați opus.

Conceptul de piramidă

Definiția 1

O figură geometrică formată dintr-un poligon și un punct care nu se află în planul care conține acest poligon, conectat la toate vârfurile poligonului, se numește piramidă (Fig. 1).

Poligonul din care este făcută piramida se numește baza piramidei triunghiurile rezultate, atunci când sunt conectate la un punct, sunt fețele laterale ale piramidei, laturile triunghiurilor sunt laturile piramidei, iar punctul comun; la toate triunghiurile este vârful piramidei.

Tipuri de piramide

În funcție de numărul de unghiuri de la baza piramidei, aceasta poate fi numită triunghiulară, patruunghiulară și așa mai departe (Fig. 2).

Un alt tip de piramidă este piramida obișnuită.

Să introducem și să demonstrăm proprietatea unei piramide obișnuite.

Teorema 1

Toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele care sunt egale între ele.

Dovada.

Considerăm o piramidă $n-$gonală regulată cu vârf $S$ de înălțime $h=SO$. Să desenăm un cerc în jurul bazei (Fig. 4).

Figura 4.

Luați în considerare triunghiul $SOA$. Conform teoremei lui Pitagora, obținem

Evident, orice margine laterală va fi definită astfel. În consecință, toate muchiile laterale sunt egale între ele, adică toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Să demonstrăm că sunt egali unul cu celălalt. Deoarece baza este un poligon regulat, bazele tuturor fețelor laterale sunt egale între ele. În consecință, toate fețele laterale sunt egale conform criteriului III al egalității triunghiurilor.

Teorema a fost demonstrată.

Să ne prezentăm acum următoarea definiție, asociat cu conceptul de piramidă obișnuită.

Definiția 3

Apotema unei piramide obișnuite este înălțimea feței sale laterale.

Evident, prin Teorema Unu, toate apotemele sunt egale între ele.

Teorema 2

Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este determinată ca produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.

Dovada.

Să notăm cu $a$ latura bazei $n-$piramidei, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Deoarece, conform teoremei 1, toate laturile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Un alt tip de piramidă este o piramidă trunchiată.

Definiția 4

Dacă un plan paralel cu baza sa este trasat printr-o piramidă obișnuită, atunci figura formată între acest plan și planul bazei se numește piramidă trunchiată (Fig. 5).

Figura 5. Piramida trunchiată

Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.

Teorema 3

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este determinată ca produsul dintre suma semiperimetrelor bazelor și apotema.

Dovada.

Să notăm laturile bazelor $n-$piramidei gonale cu $a\, respectiv\ b$, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Din moment ce toate părțile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu de sarcină

Exemplul 1

Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare trunchiate dacă este obținută dintr-o piramidă obișnuită cu latura de bază 4 și apotema 5 prin tăierea unui plan care trece prin linia mediană a fețelor laterale.

Soluţie.

Folosind teorema liniei mediane, aflăm că baza superioară a piramidei trunchiate este egală cu $4\cdot \frac(1)(2)=2$, iar apotema este egală cu $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 USD.

Apoi, prin teorema 3, obținem

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut acest subiect pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și de la noi viitoare profesie arhitect, inspirat de această figură, credem că ne poate împinge spre proiecte mărețe.

Rezistența structurilor arhitecturale este cea mai importantă calitate a acestora. Legarea rezistenței, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre o figură geometrică care poate fi considerată ca model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se pare că forma geometrică determină și rezistența unei structuri arhitecturale.

Din cele mai vechi timpuri, piramidele egiptene au fost considerate cele mai durabile structuri arhitecturale. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Scopul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează-ți cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

· Aflați informații istorice despre piramidă

· Considerați piramida ca o figură geometrică

· Găsiți aplicații în viață și arhitectură

· Găsiți asemănările și diferențele dintre piramidele situate în diferite părți Sveta

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost stabilit în Egiptul Antic și Babilon, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Vechiul matematician grec Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Elementelor” sale și, de asemenea, a derivat prima definiție a unei piramide: o figură solidă delimitată de planuri care converg de la un plan la un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cele mai mari dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza - au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii în antichitate. Construcția piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și a cruzimii care a condamnat întregul popor al Egiptului la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construirea mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. De asemenea, se știe despre onorurile speciale de cult care au fost acordate piramidei în sine.

Concepte de bază

Piramidă se numește poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun.

Apotema- inaltimea fetei laterale a unei piramide regulate, trasa din varful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri întâlnite la un vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

Vârful piramidei- un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Proprietățile de bază ale unei piramide obișnuite

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Aria suprafeței laterale și totale a piramidei.

Aria suprafeței laterale a unei piramide (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teoremă: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul de bază;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.

p 1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă volumul ula este folosit pentru piramide de orice fel.

H- inaltimea piramidei.

Colțurile piramidei

Unghiurile formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile formate de marginea laterală și proiecția acesteia pe planul de bază unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două margini laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Unghiul format din două muchii laterale ale unei fețe ale piramidei se numește unghiul din vârful piramidei.

Secțiuni piramidale

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, prin urmare secțiunea unei piramide definită de un plan de tăiere este o linie întreruptă constând din linii drepte individuale.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor de la vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă– o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Pentru o piramidă obișnuită:

1. coastele laterale sunt egale

2. feţele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate marginile laterale

Piramida trunchiată- parte a piramidei cuprinsă între baza sa și un plan de tăiere paralel cu baza.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea unei piramide trunchiate.

Sarcini

nr 1. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

nr 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Luați în considerare OSB: OSB este un dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB2 =SO2 +OB2

SB2 =64+225=289

Piramida în arhitectură

O piramidă este o structură monumentală sub forma unei piramide geometrice regulate obișnuite, în care laturile converg într-un punct. După scopul lor funcțional, piramidele în antichitate erau locuri de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate avea formă triunghiulară, pătrangulară sau poligonală, cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Există un număr considerabil de piramide construite de diferite culturi. Lumea anticăîn principal ca temple sau monumente. Piramidele mari includ piramidele egiptene.

Pe tot pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente de arhitectură Egiptul antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este Piramida lui Keops. De la picior până în vârf ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea sa era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului se află o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia.

Luvru, care este „tăcut, neschimbat și maiestuos, ca o piramidă”, a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca cetate, ridicată de Filip Augustus în 1190, care a devenit curând reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.

Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă este un poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corecta , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară cu toate muchiile egale tetraedru .

Coastă laterală a unei piramide este latura feței laterale care nu aparține bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotema . Secțiune diagonală se numește secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafata laterala piramida este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata totala se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris bazei.

2. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc circumscris lângă bază.

3. Dacă toate fețele dintr-o piramidă sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula corectă este:

Unde V- volum;

S baza– suprafata de baza;

H– înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

h a– apotema;

H- inaltimea;

S plin

partea S

S baza– suprafata de baza;

V– volumul unei piramide regulate.

Piramida trunchiată numită partea de piramidă închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei (Fig. 17). Piramidă trunchiată obișnuită este partea unei piramide regulate închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Motive trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale – trapeze. Înălţime a unei piramide trunchiate este distanța dintre bazele sale. Diagonală o piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. Secțiune diagonală este o secțiune a unei trunchi de piramidă printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată sunt valabile următoarele formule:

(4)

Unde S 1 , S 2 – zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin– suprafata totala;

partea S– suprafata laterala;

H- inaltimea;

V– volumul unei piramide trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită formula este corectă:

Unde p 1 , p 2 – perimetrele bazelor;

h a– apotema unei piramide trunchiate obișnuite.

Exemplul 1. In dreapta piramidă triunghiulară unghiul diedrului la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este corectă, adică la bază triunghi echilateral iar toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedrul de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar este unghiul oîntre două perpendiculare: etc. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumferitor și cercul înscris al triunghiului ABC). Unghiul de înclinare a marginii laterale (de exemplu S.B.) este unghiul dintre muchia însăși și proiecția acesteia pe planul bazei. Pentru coastă S.B. acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele AŞAŞi O.B.. Fie lungimea segmentului BD este egal cu 3 O. Punct DESPRE segment BD este împărțit în părți: și Din găsim AŞA: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2. Găsiți volumul trunchiului corect piramida patruunghiulara, dacă diagonalele bazelor sale sunt egale cu cm și cm, iar înălțimea sa este de 4 cm.

Soluţie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi aria bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt egale cu 2 cm și, respectiv, 8 cm. Aceasta înseamnă zonele bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cm 3.

Exemplul 3. Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți baza și înălțimea. Bazele sunt date în funcție de stare, doar înălțimea rămâne necunoscută. O vom găsi de unde O 1 E perpendicular de la un punct O 1 pe planul bazei inferioare, O 1 D– perpendicular de la O 1 per AC. O 1 E= 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. Pentru a găsi DE Să facem un desen suplimentar care arată vedere de sus (Fig. 20). Punct DESPRE– proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine– raza înscrisă în cerc şi OM– raza înscrisă într-un cerc:

MK = DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4. La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze OŞi b (o> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct DESPRE– proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul bazei. Folosind teorema privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plane, obținem:

La fel înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Să desenăm un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct DESPRE– centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Din teorema lui Pitagora avem