Să luăm în considerare proiecțiile punctelor pe două plane, pentru care luăm două plane perpendiculare (Fig. 4), pe care le vom numi frontal orizontal și plane. Linia de intersecție a acestor plane se numește axa de proiecție. Proiectăm un punct A pe planurile considerate folosind o proiecție plană. Pentru a face acest lucru, este necesar să coborâți perpendicularele Aa și A dintr-un punct dat pe planurile considerate.

Proiecția pe plan orizontal se numește proiecție orizontală puncte O, și proiecția O? pe plan frontal se numeste proiecție frontală.

Punctele care sunt supuse proiecției sunt de obicei notate în geometrie descriptivă folosind litere mari A, B, C. Literele mici sunt folosite pentru a indica proiecțiile orizontale ale punctelor a, b, c... Proiecțiile frontale sunt indicate cu litere mici, cu o contur în partea de sus a?, b?, c?…

Punctele sunt desemnate și cu cifre romane I, II,... iar pentru proiecțiile lor - cu cifre arabe 1, 2... și 1?, 2?...

Prin rotirea planului orizontal cu 90°, puteți obține un desen în care ambele plane sunt în același plan (Fig. 5). Această imagine se numește diagrama unui punct.

Prin linii perpendiculare AhhŞi huh? Să desenăm un plan (Fig. 4). Planul rezultat este perpendicular pe planurile frontale și orizontale deoarece conține perpendiculare pe aceste planuri. Prin urmare, acest plan este perpendicular pe linia de intersecție a planurilor. Linia dreaptă rezultată intersectează planul orizontal într-o linie dreaptă ahh x, iar planul frontal – în linie dreaptă a?a X. Drept aahs și a?a x sunt perpendiculare pe axa de intersecție a planelor. Adică Aahaha? este un dreptunghi.

La combinarea planurilor de proiecție orizontală și frontală OŞi O? va fi situat pe aceeași perpendiculară pe axa de intersecție a planurilor, deoarece atunci când planul orizontal se rotește, perpendicularitatea segmentelor ahh x și a?a x nu va fi spart.

Obținem asta pe diagrama de proiecție OŞi O? un punct O se află întotdeauna pe aceeași perpendiculară pe axa de intersecție a planelor.

Două proiecții a și O? a unui anumit punct A poate determina fără ambiguitate poziția sa în spațiu (fig. 4). Acest lucru este confirmat de faptul că la construirea unei perpendiculare din proiecția a pe planul orizontal, aceasta va trece prin punctul A. În același mod, o perpendiculară din proiecție O? spre planul frontal va trece prin punct O, adică punctul O este simultan pe două linii drepte specifice. Punctul A este punctul lor de intersecție, adică este definit.

Luați în considerare un dreptunghi Aaa X O?(Fig. 5), pentru care următoarele afirmații sunt adevărate:

1) Distanța punctului O din planul frontal este egală cu distanța proiecției sale orizontale a față de axa de intersecție a planurilor, adică.

huh? = ahh X;

2) distanta punctuala O din planul orizontal al proiecțiilor este egală cu distanța proiecției sale frontale O? din axa de intersectie a planelor, i.e.

Ahh = a?a X.

Cu alte cuvinte, chiar și fără punctul în sine de pe diagramă, folosind doar cele două proiecții ale sale, puteți afla la ce distanță este situat un punct dat de fiecare dintre planurile de proiecție.

Intersecția a două planuri de proiecție împarte spațiul în patru părți, care sunt numite în sferturi(Fig. 6).

Axa de intersecție a planurilor împarte planul orizontal în două sferturi - față și spate, iar planul frontal - în sferturile superioare și inferioare. Partea superioară a planului frontal și partea anterioară a planului orizontal sunt considerate drept limite ale primului sfert.

La primirea diagramei, planul orizontal se rotește și este aliniat cu planul frontal (Fig. 7). În acest caz, partea din față a planului orizontal va coincide cu partea inferioară a planului frontal, iar partea din spate a planului orizontal va coincide cu partea superioară a planului frontal.

Figurile 8-11 prezintă punctele A, B, C, D, situate în diferite sferturi de spațiu. Punctul A este situat în primul trimestru, punctul B este în al doilea, punctul C este în al treilea și punctul D este în al patrulea.

Când punctele sunt situate în primul sau al patrulea trimestru al acestora proiecții orizontale sunt în partea din față a planului orizontal, iar pe diagramă se vor afla sub axa de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al doilea sau al treilea sfert, proiecția sa orizontală se va afla pe spatele planului orizontal, iar pe diagramă va fi situat deasupra axei de intersecție a planurilor.

Proiecții frontale punctele care sunt situate în primul sau al doilea sferturi vor fi situate în partea superioară a planului frontal, iar pe diagramă vor fi situate deasupra axei de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al treilea sau al patrulea sfert, proiecția sa frontală este sub axa de intersecție a planurilor.

Cel mai adesea, în construcțiile reale, figura este plasată în primul sfert de spațiu.

În unele cazuri speciale, punctul ( E) se poate așeza pe un plan orizontal (Fig. 12). În acest caz, proiecția sa orizontală e și punctul însuși vor coincide. Proiecția frontală a unui astfel de punct va fi situată pe axa de intersecție a planurilor.

În cazul în care punctul LA se află pe planul frontal (Fig. 13), proiecția sa orizontală k se află pe axa de intersecție a planurilor și frontală k? arată locația reală a acestui punct.

Pentru astfel de puncte, un semn că se află pe unul dintre planurile de proiecție este că una dintre proiecțiile sale se află pe axa de intersecție a planurilor.

Dacă un punct se află pe axa de intersecție a planurilor de proiecție, el și ambele proiecții coincid.

Când un punct nu se află pe planurile de proiecție, se numește punct pozitia generala . În cele ce urmează, dacă nu există semne speciale, punctul în cauză este un punct în poziție generală.

2. Lipsa axei de proiecție

Pentru a explica modul de obținere a proiecțiilor unui punct pe un model perpendicular pe planul de proiecție (Fig. 4), este necesar să luați o bucată de hârtie groasă în formă de dreptunghi alungit. Trebuie să fie îndoit între proiecții. Linia de pliere va reprezenta axa de intersecție a planurilor. Dacă după aceasta bucata de hârtie îndoită este din nou îndreptată, vom obține o diagramă similară cu cea prezentată în figură.

Prin combinarea a două planuri de proiecție cu planul de desen, este posibil să nu se afișeze linia de pliere, adică să nu se deseneze pe diagramă axa de intersecție a planurilor.

Când trasați pe o diagramă, ar trebui să plasați întotdeauna proiecții OŞi O? punctul A pe o linie verticală (Fig. 14), care este perpendiculară pe axa de intersecție a planelor. Prin urmare, chiar dacă poziția axei de intersecție a planurilor rămâne incertă, dar direcția acesteia este determinată, axa de intersecție a planurilor poate fi localizată doar pe diagramă perpendiculară pe dreapta huh?.

Dacă nu există o axă de proiecție pe diagrama unui punct, ca în prima Figura 14 a, vă puteți imagina poziția acestui punct în spațiu. Pentru a face acest lucru, trageți oriunde perpendicular pe o linie dreaptă huh? axa de proiecție, ca în figura a doua (Fig. 14) și îndoiți desenul de-a lungul acestei axe. Dacă restabilim perpendicularele în puncte OŞi O?înainte ca acestea să se intersecteze, puteți obține un punct O. La schimbarea poziției axei de proiecție se obțin diferite poziții ale punctului față de planurile de proiecție, dar incertitudinea în poziția axei de proiecție nu afectează poziție relativă mai multe puncte sau figuri din spațiu.

3. Proiecții ale unui punct pe trei planuri de proiecție

Să luăm în considerare planul de profil al proiecțiilor. Proiecțiile pe două plane perpendiculare determină de obicei poziția unei figuri și fac posibilă aflarea dimensiunii și formei sale reale. Dar sunt momente când două proiecții nu sunt suficiente. Apoi se folosește construcția celei de-a treia proiecții.

Al treilea plan de proiecție este desenat astfel încât să fie perpendicular pe ambele planuri de proiecție simultan (Fig. 15). Cel de-al treilea plan este de obicei numit profil.

În astfel de construcții se numește linia dreaptă comună a planurilor orizontale și frontale axă X , linia dreaptă comună a planurilor orizontale și de profil – axă la , iar linia dreaptă comună a planurilor frontale și de profil este axă z . Punct DESPRE, care aparține tuturor celor trei planuri, se numește punctul de origine.

Figura 15a arată punctul Oși trei dintre proiecțiile sale. Proiecție pe planul profilului ( O??) sunt numite proiecția profilului si denota O??.

Pentru a obține o diagramă a punctului A, care constă din trei proiecții a, a, a, este necesar să se taie triedrul format din toate planurile de-a lungul axei y (Fig. 15b) și să se combine toate aceste planuri cu planul proiecției frontale. Planul orizontal trebuie rotit în jurul axei X, iar planul profilului este în jurul axei zîn direcția indicată de săgeata din figura 15.

Figura 16 arată poziția proiecțiilor huh, huh?Şi O?? puncte O, obtinut prin combinarea tuturor celor trei planuri cu planul de desen.

Ca rezultat al tăierii, axa y apare în două locuri diferite pe diagramă. Pe un plan orizontal (Fig. 16) ia o pozitie verticala (perpendiculara pe axa X), iar pe planul profilului – orizontal (perpendicular pe ax z).

Există trei proiecții în Figura 16 huh, huh?Şi O?? punctele A au o poziție strict definită pe diagramă și sunt supuse unor condiții clare:

OŞi O? ar trebui să fie întotdeauna situat pe aceeași linie verticală, perpendiculară pe axă X;

O?Şi O?? ar trebui să fie întotdeauna situat pe aceeași linie dreaptă orizontală, perpendiculară pe axă z;

3) când se realizează printr-o proiecție orizontală și o linie dreaptă orizontală și printr-o proiecție de profil O??– o linie dreaptă verticală, liniile drepte construite se vor intersecta în mod necesar pe bisectoarea unghiului dintre axele de proiecție, deoarece figura Oa la O 0 O n – pătrat.

Când construiți trei proiecții ale unui punct, trebuie să verificați dacă toate cele trei condiții sunt îndeplinite pentru fiecare punct.

4. Coordonatele punctului

Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată folosind trei numere numite sale coordonate. Fiecare coordonată corespunde distanței unui punct față de un plan de proiecție.

Distanța punct determinată O la planul profilului este coordonata X, în timp ce X = nu? Nu(Fig. 15), distanța până la planul frontal este coordonata y și y = nu? Nu, iar distanța până la planul orizontal este coordonata z, în timp ce z = aA.

În Figura 15, punctul A ocupă lățimea unui paralelipiped dreptunghiular, iar măsurătorile acestui paralelipiped corespund coordonatele acestui punct, adică fiecare dintre coordonate este reprezentată în Figura 15 de patru ori, adică:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

În diagramă (Fig. 16), coordonatele x și z apar de trei ori:

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Toate segmentele care corespund coordonatei X(sau z), sunt paralele între ele. Coordona la reprezentat de două ori printr-o axă situată vertical:

y = Oa y = a x a

și de două ori – situate orizontal:

y = Oa y = a z a?.

Această diferență apare datorită faptului că axa y este prezentă pe diagramă în două poziții diferite.

Trebuie avut în vedere că poziția fiecărei proiecții este determinată pe diagramă de doar două coordonate, și anume:

1) orizontală – coordonate XŞi la,

2) frontală – coordonate xŞi z,

3) profil – coordonate laŞi z.

Utilizarea coordonatelor x, yŞi z, puteți construi proiecții ale unui punct pe o diagramă.

Dacă punctul A este dat de coordonate, înregistrarea lor este definită după cum urmează: A ( X; y; z).

La construirea proiecţiilor punctuale O trebuie verificate urmatoarele conditii:

1) proiecții orizontale și frontale OŞi O? X X;

2) proiecții frontale și de profil O?Şi O? trebuie situat la aceeași perpendiculară pe axă z, deoarece au o coordonată comună z;

3) proiecție orizontală și, de asemenea, îndepărtată din axă X, cum ar fi proiecția profilului O departe de axă z, deoarece proiecţiile ah? si eh? au o coordonată comună la.

Dacă un punct se află în oricare dintre planurile de proiecție, atunci una dintre coordonatele sale este egală cu zero.

Când un punct se află pe axa de proiecție, două dintre coordonatele sale sunt egale cu zero.

Dacă un punct se află la origine, toate cele trei coordonatele sale sunt zero.

În unele cazuri, pentru comoditatea rezolvării problemelor, este necesar să se utilizeze planuri de proiecție suplimentare perpendiculare pe planurile de proiecție existente.

Dacă sunt date proiecțiile orizontale și frontale ale unui punct, atunci proiecția profilului este determinată folosind următorul algoritm.

Desenăm o linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axă Oz.

Pe această linie de conexiune de proiecție așezăm un segment O 1 O X =A Z O 3 .

Folosind această regulă, puteți construi proiecții de puncte pe planuri de proiecție suplimentare (metoda de înlocuire a planului).

Să se acorde un punct A(A 2 ,O 1 ) și un nou plan de proiecție suplimentar P 4 P 1 . Construi O 4 – proiecția punctului O pe P 4 .

Soluţie

a) Construim o linie de intersecție a planelor P 1 Şi P 4 = x 1,4 ;

b) Printr-un punct O trageți o linie de comunicare de proiecție x 1,4 .

c) Construim o proiecție O 4 , Folosesc egalitatea de segmente O 2 O X =A 4 O X .

Proiecții în două puncte O 1 Şi O 4 se află pe aceeași linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axă X 1,4 .

Distanța față de „noua” proiecție a punctului O 4 la axa „nouă”. x 1,4 egală cu distanța de la „vechea” proiecție a punctului O 2 la axa „veche”. x 1,2 .

Puncte concurente

Puncte concurente numiți o pereche de puncte situate pe aceeași rază proeminentă.

Dintre cele două puncte concurente, punctul vizibil este cel care se află mai departe de planul de proiecție.

Puncte OŞi ÎN sunt numite concurente pe orizontală.

Puncte CUŞi D sunt numite concurente frontale.

Introduceți un plan suplimentar, astfel încât punctele OŞi ÎN devenit competitiv.

Plan de rezolvare:

1 Construirea unei axe x 1,4 O 1 , B 1 ;

2 Construirea unei linii de comunicare de proiecție x 1,4 ;

3 Pe linia de comunicație de proiecție eliminăm segmente O x O 2 = O / x O 4 , B x B 2 = B / x B 4 .

Material pentru auto-studiu Modelarea obiectelor grafice 2D în sistemul grafic al busolei Lansarea sistemului busola și închiderea

Sistemul KOMPAS-3D-V8 pornește în mod similar cu alte programe. Pentru a porni sistemul trebuie să selectați meniul \ Început\ Toate pprograme\ ASCON\KOMPAS-3D- V8 și fugi BUSOLĂ. Puteți selecta o comandă rapidă a programului cu cursorul mouse-ului pe câmpul de pe desktop și faceți dublu clic pe butonul stâng al mouse-ului. Pentru a deschide un document, trebuie să faceți clic pe butonul Deschide pe panou Standard . Pentru a începe un nou document, faceți clic pe butonul Crea pe panou Standard sau executați comanda Fişier > Crea iar în caseta de dialog care se deschide, selectați tipul de document care trebuie creat și faceți clic Bine.

Pentru a termina lucrul, selectați meniu Fişier\Ieșire, combinația de taste Alt-F4 sau faceți clic pe butonul Închidere.

Principalele tipuri de documente ale sistemului grafic al busolei

Tipul de document creat în sistemul KOMPAS depinde de tipul de informații stocate în acest document. Fiecare tip de document are o extensie de nume de fișier și o pictogramă proprie.

1 Desen- principalul tip de document grafic din KOMPAS. Desenul conține o imagine grafică a produsului în unul sau mai multe tipuri, o inscripție principală și un cadru. Desenul KOMPAS conține întotdeauna o foaie cu un format specificat de utilizator. Desenul are extensia .cdw.

2 Fragment- un tip auxiliar de document grafic în KOMPAS. Fragmentul diferă de desen prin absența unui cadru, a inscripției principale și a altor obiecte de design ale documentului de proiectare. Magazinul de fragmente a creat soluții standard pentru utilizare ulterioară în alte documente. Fișierul fragment are extensia .frw.

3 Document text(extensia fișierului . kdw);

4 Caietul de sarcini(extensia fișierului . spw);

5 Asamblare(extensia fișierului . o3 d);

6 Detaliu- Modelare 3D (extensie fișier . m3 d);

PROIECȚIILE UNUI PUNCT.

SISTEM ORTOGONAL DE DOUĂ PLANURI DE PROIECȚII.

Esența metodei de proiecție ortogonală este că un obiect este proiectat pe două plane reciproc perpendiculare prin raze ortogonale (perpendiculare) pe aceste planuri.

Unul dintre planurile de proiecție H este plasat orizontal, iar al doilea V este plasat vertical. Planul H se numește plan orizontal al proiecțiilor, V se numește plan frontal. Planurile H și V sunt infinite și opace. Linia de intersecție a planurilor de proiecție se numește axa de coordonate și este desemnată BOU. Planurile de proiecție împart spațiul în patru unghiuri diedrice - sferturi.

Când luăm în considerare proiecțiile ortogonale, se presupune că observatorul se află în primul trimestru la o distanță infinit de mare de planurile de proiecție. Deoarece aceste planuri sunt opace, doar acele puncte, linii și figuri care sunt situate în același prim sfert vor fi vizibile pentru observator.

Când construiți proiecții, este necesar să rețineți că proiecția ortogonală a unui punctbaza unei perpendiculare trasate dintr-un punct dat se numește planla acest avion.

Figura arată un punct Oși proiecțiile sale ortogonale a 1Şi a 2.

Punct a 1 numit proiecție orizontală puncte O, punct a 2- ea proiecție frontală. Fiecare dintre ele este baza unei perpendiculare trase dintr-un punct O respectiv în avion HŞi V.

Se poate dovedi că proiecția punctuluimereu situate pe linii drepte, perpendiculareaxa cularăOH și intersectând această axăin acelasi punct.Într-adevăr, proiectând raze Oa 1Şi Oa 2 definiți un plan perpendicular pe planurile de proiecție și linia de intersecție a acestora - axa OH. Acest plan se intersectează HŞi Vîn linii drepte a 1 axŞi a 1 ax, care se formează cu axa BOU iar unul cu celălalt unghiuri drepte cu vârful în punct Ox.

Este adevărat și contrariul, adică. dacă punctele sunt date pe planuri de proiecțieo 1 Şi o 2 , situate pe linii drepte care se intersectează axă BOUîntr-un punct dat într-un unghi drept,atunci sunt proiecții ale unorapunctul A. Acest punct este determinat de intersecția perpendicularelor construite din puncte o 1 Şi o 2 la avioane HŞi V.

Rețineți că poziția planurilor de proiecție în spațiu poate fi diferită. De exemplu, ambele planuri, fiind reciproc perpendiculare, pot fi verticale Dar chiar și în acest caz, ipoteza dovedită mai sus despre orientarea proiecțiilor opuse ale punctelor față de axă rămâne valabilă.

Pentru a obține un desen plat format din proiecțiile de mai sus, planul H combinate prin rotire în jurul unei axe BOU cu avionul V, după cum arată săgețile din figură. Ca rezultat, semiplanul din față H va fi aliniat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V.

Un desen de proiecție în care planurile de proiecție cu tot ceea ce este reprezentat pe ele sunt combinate într-un anumit fel unele cu altele se numește diagramă(din franceza epure - desen). Figura prezintă o diagramă a unui punct O.

Cu această metodă de combinare a avioanelor HŞi V proiecții o 1 Şi o 2 vor fi situate pe aceeași perpendiculară pe axă BOU. În acest caz, distanța o 1 un x — de la proiecția orizontală a unui punct spre axă BOU O a aviona V, și distanța o 2 un x — de la proiecția frontală a unui punct spre axă BOU egală cu distanța de la punctul însuși O a aviona H.

Să fim de acord să numim drepte care conectează proiecțiile opuse ale unui punct pe o diagramă linii de comunicare de proiecție.

Poziția proiecțiilor punctelor pe diagramă depinde de sfertul în care se află punctul dat. Deci, dacă ideea ÎN situat în al doilea trimestru, apoi după combinarea planurilor ambele proiecții vor părea să se afle deasupra axei BOU.

Dacă punctul CU este în al treilea trimestru, apoi proiecția sa orizontală, după combinarea planurilor, va fi deasupra axei, iar proiecția sa frontală va fi sub axa BOU. În cele din urmă, dacă punctul D este situat în al patrulea trimestru, apoi ambele proiecții vor fi sub axă BOU. Figura arată punctele MŞi N, întins pe planurile de proiecție. În această poziție, punctul coincide cu una dintre proiecțiile sale, în timp ce cealaltă proiecție se dovedește a fi situată pe axă. BOU. Această caracteristică se reflectă și în denumire: lângă proiecția cu care punctul însuși coincide, se scrie o literă majusculă fără index.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că cele două proiecții ale unui punct coincid. Acest lucru se va întâmpla dacă punctul se află în al doilea sau al patrulea trimestru la aceeași distanță de planurile de proiecție. Ambele proiecții sunt combinate cu punctul însuși dacă acesta din urmă este situat pe axă BOU.

SISTEM ORTOGONAL DIN TREI PLANURI DE PROIECȚII.

S-a arătat mai sus că două proiecții ale unui punct determină poziția acestuia în spațiu. Deoarece fiecare figură sau corp este o colecție de puncte, se poate susține că două proiecții ortogonale ale unui obiect (în prezența desemnărilor de litere) determină complet forma acestuia.

Cu toate acestea, în practică, imagini structuri de constructii, mașini și diferite structuri de inginerie, este nevoie de a crea proiecții suplimentare. Ei fac acest lucru doar cu scopul de a face desenul de proiecție mai clar și mai lizibil.

Modelul a trei planuri de proiecție este prezentat în figură. Al treilea plan, perpendicular și HŞi V, notat cu litera W si se numeste profil.

Proiecțiile punctelor pe acest plan vor fi numite și profil și sunt desemnate cu majuscule sau cifre cu indicele 3 (oh,bh,cz,...1z, 2z, 3 3...).

Planurile de proiecție, care se intersectează în perechi, definesc trei axe: DESPREX, DESPREYŞi DESPREZ, care poate fi considerat ca un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu cu începutul în punctul O. Sistemul de semne indicat în figură corespunde „sistemului de coordonate dreapta”.

Trei planuri de proiecție împart spațiul în opt unghiuri triedrice - acestea sunt așa-numitele octanți. Numerotarea octanților este dată în figură.

Pentru a obține o diagramă a planului HŞi W rotiți așa cum se arată în figură până când este aliniat cu planul V. Ca rezultat al rotației, semiplanul frontal H se dovedește a fi combinat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V. Când este rotit cu 90° în jurul unei axe DESPREZ semiplan anterior W se aliniază cu semiplanul drept V, și semiplanul din spate W- cu semiplan stânga V.

Vederea finală a tuturor planurilor de proiecție combinate este dată în figură. În acest desen topoarele DESPREXŞi DESPREZ, culcat într-un plan fix V, sunt reprezentate o singură dată, iar axa DESPREY arătat de două ori. Acest lucru se explică prin faptul că, rotindu-se cu avionul H, axa DESPREY pe diagramă se combină cu axa DESPREZ, si rotindu-se cu avionul W, aceeași axă este aliniată cu axa DESPREX.

În viitor, la desemnarea axelor pe diagramă, semiaxele negative (— DESPREX, — DESPREY, — DESPREZ) nu va fi indicat.

TREI COORDONATE ȘI TREI PROIECȚII ALE UNUI PUNCT ȘI RAZUL-VECTOR AL SĂU.

Coordonatele sunt numere carepotriviți punctul pentru a determinaschimbându-și poziția în spațiu sau pesuprafete.

În spațiul tridimensional, poziția unui punct este determinată cu ajutorul coordonatelor carteziene dreptunghiulare x, yŞi z.

Coordona X numit abscisă, la— ordonatăŞi z — aplica. Abscisă X determină distanța de la un punct dat la un plan W, ordonata y - a aviona Vși aplicați z - a aviona H. După ce am adoptat sistemul prezentat în figură pentru a măsura coordonatele unui punct, vom compune un tabel de semne de coordonate în toți cei opt octanți. Orice punct din spațiu O, date prin coordonate se vor nota astfel: O(x, y,z).

Dacă x = 5, y = 4 și z = 6, atunci intrarea va lua următoarea formă O(5, 4, 6). Acest punct O, ale căror coordonate sunt pozitive, este în primul octant

Coordonatele punctului O sunt în același timp coordonatele vectorului său de rază

OA cu privire la origine. Dacă i, j, k— vectori unitari direcționați respectiv de-a lungul axelor de coordonate x, y,z(poza), atunci

OA =DESPREA x i+OAyj + OAzk , Unde OA X, OA U, OA g - coordonate vectoriale OA

Se recomandă construirea unei imagini a punctului în sine și a proiecțiilor acestuia pe un model spațial (figură) folosind un paralelipiped dreptunghiular coordonat. În primul rând, pe axele de coordonate din punct DESPRE așezați segmente în mod corespunzător egale 5, 4 și 6 unități de lungime. Pe aceste segmente (DESPREun x , DESPREun y , DESPREa z ), ca pe coaste, se construiesc cuboid. Vârful acestuia, opus originii, va determina punctul dat O. Este ușor de văzut că pentru a determina un punct O este suficient să construiești doar trei margini ale paralelipipedului, de exemplu DESPREun x , a x a 1 Şi o 1 O sau DESPREun y , a y a 1 Şi o 1 O etc. Aceste muchii formează o polilinie de coordonate, a cărei lungime a fiecărei legături este determinată de coordonatele corespunzătoare punctului.

Cu toate acestea, construirea unui paralelipiped vă permite să determinați nu numai punctul O, dar și toate cele trei proiecții ortogonale ale sale.

Raze care proiectează un punct pe un plan H, V, W sunt acele trei margini ale paralelipipedului care se intersectează în punct O.

Fiecare dintre proiecțiile ortogonale ale unui punct O, fiind situat pe un plan, acesta este determinat doar de două coordonate.

Deci, proiecție orizontală o 1 determinate de coordonate XŞi y, proiecție frontală o 2 - coordonate x șiz, proiecția profilului o 3 — coordonate laŞi z. Dar oricare două proiecții sunt determinate de trei coordonate. De aceea, specificarea unui punct cu două proiecții echivalează cu specificarea unui punct cu trei coordonate.

Pe diagramă (figura), unde toate planurile de proiecție sunt combinate, proiecțiile o 1 Şi o 2 va fi pe aceeași perpendiculară pe axă DESPREX, și proiecții o 2 Şi o 3 — pe una perpendiculară pe axă OZ.

În ceea ce privește proiecțiile o 1 Şi o 3 , apoi sunt conectate prin linii drepte o 1 un yŞi o 3 un y , perpendicular pe ax DESPREY. Dar din moment ce această axă de pe diagramă ocupă două poziții, atunci segmentul o 1 un y nu poate fi o continuare a unui segment o 3 un y .

Construirea proiecțiilor punctuale A (5, 4, 6) pe diagramă în funcție de coordonatele date, efectuați în următoarea succesiune: în primul rând, se trasează un segment pe axa absciselor de la originea coordonatelor DESPREun x = x(în cazul nostru x =5), apoi prin punct un x trageți perpendicular pe axă DESPREX, pe care, ținând cont de semne, trasăm segmentele a x a 1 = y(primim o 1 ) Şi a x a 2 = z(primim o 2 ). Rămâne să construim o proiecție de profil a punctului o 3 . Deoarece profilul și proiecțiile frontale ale punctului trebuie să fie situate pe aceeași perpendiculară pe axă OZ , apoi prin o 3 efectuează direct o 2 a z ^ OZ.

În cele din urmă, apare ultima întrebare: la ce distanță de axă DESPREZ ar trebui sa fie un 3?

Luând în considerare paralelipipedul de coordonate (vezi figura), ale cărui margini a z a 3 =O un y = a x a 1 = y concluzionăm că distanţa necesară a z a 3 egală u. Segment a z a 3 așezat la dreapta axei OZ dacă y>0 și la stânga dacă y

Să vedem ce schimbări vor avea loc pe diagramă atunci când punctul începe să-și schimbe poziția în spațiu.

Să fie, de exemplu, un punct A (5, 4, 6) se va deplasa în linie dreaptă perpendiculară pe plan V. Cu o astfel de mișcare, doar o coordonată se va schimba y, arătând distanța de la un punct la un plan V. Coordonatele vor rămâne constante x șiz , și proiecția punctului determinată de aceste coordonate, i.e. o 2 nu își va schimba poziția.

În ceea ce privește proiecțiile o 1 Şi o 3 , atunci primul va începe să se apropie de axă DESPREX, al doilea - la axă DESPREZ. În figuri, noua poziție a punctului corespunde denumirii o 1 (o 1 1 o 2 1 o 3 1 ). În momentul în care punctul se află în avion V(y = 0), două dintre cele trei proiecții ( o 1 2 Şi o 3 2 ) se va întinde pe topoare.

Fiind mutat din eu octant în II, punctul va începe să se îndepărteze de avion V, coordonate la va deveni negativ, valoarea sa absolută va crește. Proiecția orizontală a acestui punct, fiind situat pe semiplanul posterior H, pe diagramă va apărea deasupra axei DESPREX, iar proiecția profilului, fiind pe semiplanul din spate W, pe diagramă va fi în stânga axei DESPREZ. Ca întotdeauna, un segment a zo 3 3 = y.

În diagramele ulterioare nu vom indica cu litere punctele de intersecție a axelor de coordonate cu liniile de legătură de proiecție. Acest lucru va simplifica într-o oarecare măsură desenul.

În viitor, vor exista diagrame fără axe de coordonate. Aceasta este ceea ce se face în practică atunci când înfățișați obiecte, când doar imaginea în sine este semnificativăa obiectului și nu poziția relativă a acestuiaîn special planuri de proiecţie.

Planurile de proiecție în acest caz sunt determinate cu o precizie doar până la translația paralelă (figura). Ele sunt de obicei mutate paralel cu ei înșiși, astfel încât toate punctele obiectului să fie deasupra planului Hși în fața avionului V. Deoarece poziția axei X 12 se dovedește a fi incertă, formarea diagramei în acest caz nu trebuie să fie asociată cu rotația planurilor în jurul axei de coordonate. La trecerea la diagrama plană HŞi V sunt combinate astfel încât proiecțiile opuse ale punctelor să fie situate pe linii verticale.

Diagrama fără axe a punctelor A și B(desen) Nudetermină pozițiile lor în spațiu,dar permite să se judece orientarea lor relativă. Astfel, segmentul △x caracterizează deplasarea punctului O relativ la punct ÎNîntr-o direcție paralelă cu planurile H și V Cu alte cuvinte, △x indică cât de departe este punctul O situat în stânga punctului ÎN. Deplasarea relativă a unui punct în direcție perpendicular pe plan V, este determinată de segmentul △y, adică punctul Și înîn exemplul nostru mai aproape de observator decât de punct ÎN, la o distanță egală cu △y.

În cele din urmă, segmentul △z arată excesul punctului O deasupra punctului ÎN.

Susținătorii studiului fără axe a unui curs de geometrie descriptivă subliniază pe bună dreptate că atunci când rezolvi multe probleme se poate face fără axe de coordonate. Cu toate acestea, abandonarea completă a acestora nu poate fi considerată recomandabilă. Geometria descriptivă este concepută pentru a pregăti viitorul inginer nu numai pentru execuția competentă a desenelor, ci și pentru rezolvarea diferitelor probleme tehnice, printre care problemele de statică și mecanică spațială ocupă cel mai puțin loc. Și pentru aceasta este necesar să se dezvolte capacitatea de a orienta acest sau acel obiect în raport cu axele de coordonate carteziene. Aceste abilități vor fi, de asemenea, necesare atunci când se studiază astfel de secțiuni ale geometriei descriptive precum perspectiva și axonometria. Prin urmare, pe o serie de diagrame din această carte salvăm imagini ale axelor de coordonate. Astfel de desene determină nu numai forma obiectului, ci și locația acestuia în raport cu planurile de proiecție.

Aparat de proiectie

Aparatul de proiecție (Fig. 1) include trei planuri de proiecție:

π 1 – plan orizontal de proiecție;

π 2 – planul frontal al proiecțiilor;

π 3– planul de proiecție a profilului .

Planurile de proiecție sunt reciproc perpendiculare ( π 1^ π 2^ π 3), iar liniile lor de intersecție formează axele:

Intersectia avioanelor π 1Şi π 2 formează o axă 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Intersectia avioanelor π 1Şi π 3 formează o axă 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Intersectia avioanelor π 2Şi π 3 formează o axă 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Punctul de intersecție al axelor (OX∩OY∩OZ=0) este considerat punctul de plecare (punctul 0).

Deoarece planele și axele sunt reciproc perpendiculare, un astfel de aparat este similar cu sistemul de coordonate carteziene.

Planurile de proiecție împart întreg spațiul în opt octanți (în Fig. 1 sunt indicați cu cifre romane). Planurile de proiecție sunt considerate opace, iar privitorul este mereu în interior eu-al-lea octant.

Proiecție ortogonală cu centre de proiecție S 1, S 2Şi S 3 respectiv pentru planuri de proiecție orizontală, frontală și de profil.

O.

De la centrele de proiecție S 1, S 2Şi S 3 ies raze proiectante l 1, l 2Şi l 3 O

- A 1 O;

- A 2– proiecția frontală a punctului O;

- A 3– proiecția de profil a unui punct O.

Un punct din spațiu este caracterizat de coordonatele sale O(x,y,z). Puncte A x, A yŞi A z respectiv pe axe 0X, 0YŞi 0Z arata coordonatele x, yŞi z puncte O. În fig. 1 oferă toate notațiile necesare și arată legăturile dintre punct O spațiul, proiecțiile și coordonatele acestuia.

Diagrama punctelor

Pentru a obține o diagramă a unui punct O(Fig. 2), în aparatul de proiecție (Fig. 1) planul π 1 A 1 0X π 2. Apoi avionul π 3 cu proiecție punctuală A 3, rotiți în sens invers acelor de ceasornic în jurul axei 0Z, până când este aliniat cu planul π 2. Direcția de rotație a planului π 2Şi π 3 prezentată în fig. 1 săgeți. În același timp, drept A 1 A xŞi A 2 A x 0X perpendicular A 1 A 2, și linii drepte A 2 A xŞi A 3 A x va fi situat pe o axă comună 0Z perpendicular A 2 A 3. În cele ce urmează vom numi aceste linii respectiv vertical Şi orizontală linii de comunicare.

Trebuie remarcat faptul că la trecerea de la aparatul de proiecție la diagramă, obiectul proiectat dispare, dar toate informațiile despre forma sa, dimensiunile geometrice și locația sa în spațiu sunt păstrate.

O(x A , y A , z Ax A, y AŞi z Aîn următoarea secvență (Fig. 2). Această secvență se numește metoda de construire a unei diagrame de puncte.

1. Axele sunt desenate ortogonal BOU, OYŞi OZ.

2. Pe axă BOU xA puncte Oși obțineți poziția punctului A x.

3. Prin punct A x perpendicular pe ax BOU

A x de-a lungul axei OY se trasează valoarea numerică a coordonatei y A puncte O A 1 pe diagramă.

A x de-a lungul axei OZ se trasează valoarea numerică a coordonatei z A puncte O A 2 pe diagramă.

6. Prin punct A 2 paralel cu axa BOU se trasează o linie orizontală de comunicare. Intersecția acestei linii și axa OZ va da poziția punctului A z.

7. Pe o linie de comunicație orizontală dintr-un punct A z de-a lungul axei OY se trasează valoarea numerică a coordonatei y A puncte O iar poziţia proiecţiei de profil a punctului este determinată A 3 pe diagramă.

Caracteristicile punctelor

Toate punctele din spațiu sunt împărțite în puncte de poziții particulare și generale.

Puncte de o anumită poziție. Punctele aparținând aparatului de proiecție se numesc puncte de poziție particulară. Acestea includ puncte aparținând planurilor de proiecție, axelor, originilor și centrelor de proiecție. Trăsăturile caracteristice ale anumitor puncte de poziție sunt:

Metamatematice - una, două sau toate valorile coordonatelor numerice sunt egale cu zero și (sau) infinit;

Pe o diagramă, două sau toate proiecțiile unui punct sunt situate pe axe și (sau) situate la infinit.

Puncte de poziție generală. Punctele de poziție generală includ puncte care nu aparțin aparatului de proiecție. De exemplu, punct Oîn fig. 1 și 2.

În cazul general, valorile numerice ale coordonatelor unui punct caracterizează distanța acestuia față de planul de proiecție: coordonată X din avion π 3; coordona y din avion π 2; coordona z din avion π 1. Trebuie remarcat faptul că semnele pentru valorile numerice ale coordonatelor indică direcția în care punctul se îndepărtează de planurile de proiecție. În funcție de combinația de semne cu valorile numerice ale coordonatelor unui punct, depinde în ce octan se află.

Metoda cu două imagini

În practică, pe lângă metoda de proiecție completă, se folosește metoda cu două imagini. Diferă prin faptul că această metodă elimină a treia proiecție a obiectului. Pentru a obține aparatul de proiecție al metodei cu două imagini, planul de proiecție a profilului cu centrul său de proiecție este exclus din aparatul de proiecție complet (Fig. 3). Mai mult, pe axă 0X este atribuit un punct de referință (punct 0 ) și de la acesta perpendicular pe ax 0Xîn planuri de proiecţie π 1Şi π 2 trage axele 0YŞi 0Z respectiv.

În acest dispozitiv, întregul spațiu este împărțit în patru cadrane. În fig. 3 sunt indicate cu cifre romane.

Planurile de proiecție sunt considerate opace, iar privitorul este mereu în interior eu-al-lea cadran.

Să luăm în considerare funcționarea dispozitivului folosind exemplul proiectării unui punct O.

De la centrele de proiecție S 1Şi S 2 ies raze proiectante l 1Şi l 2. Aceste raze trec prin punct Oși care se intersectează cu planurile de proiecție formează proiecțiile sale:

- A 1– proiecția orizontală a unui punct O;

- A 2– proiecția frontală a punctului O.

Pentru a obține o diagramă a unui punct O(Fig. 4), în aparatul de proiecție (Fig. 3) planul π 1 cu proiecția rezultată a punctului A 1 rotiți în sensul acelor de ceasornic în jurul unei axe 0X, până când este aliniat cu planul π 2. Direcția de rotație a planului π 1 prezentată în fig. 3 săgeți. În acest caz, pe diagrama unui punct obținută prin metoda a două imagini rămâne doar una vertical legătură A 1 A 2.

În practică, trasarea unui punct O(x A , y A , z A) se efectuează în funcție de valorile numerice ale coordonatelor sale x A, y AŞi z Aîn următoarea secvență (Fig. 4).

1. Axa este desenată BOUși se atribuie un punct de referință (punctul 0 ).

2. Pe axă BOU se trasează valoarea numerică a coordonatei xA puncte Oși obțineți poziția punctului A x.

3. Prin punct A x perpendicular pe ax BOU se trasează o linie verticală de comunicare.

4. Pe o linie de comunicație verticală dintr-un punct A x de-a lungul axei OY se trasează valoarea numerică a coordonatei y A puncte O iar poziţia proiecţiei orizontale a punctului este determinată A 1 OY nu este desenat, dar se presupune că valorile sale pozitive sunt situate sub axă BOU, iar cele negative sunt mai mari.

5. Pe o linie de comunicație verticală dintr-un punct A x de-a lungul axei OZ se trasează valoarea numerică a coordonatei z A puncte O iar poziţia proiecţiei frontale a punctului este determinată A 2 pe diagramă. Trebuie remarcat faptul că în diagramă axa OZ nu este desenat, dar se presupune că valorile sale pozitive sunt situate deasupra axei BOU, iar cele negative sunt mai mici.

Puncte concurente

Punctele de pe același fascicul proeminent sunt numite puncte concurente. În direcția fasciculului de proiectare, au o proiecție comună pentru ei, adică. proiecțiile lor sunt identice. O trăsătură caracteristică punctele concurente de pe diagramă este coincidența identică a proiecțiilor lor cu același nume. Competiția constă în vizibilitatea acestor proiecții în raport cu observatorul. Cu alte cuvinte, în spațiu pentru un observator, unul dintre puncte este vizibil, celălalt nu. Și, în consecință, în desen: una dintre proiecțiile punctelor concurente este vizibilă, iar proiecția celuilalt punct este invizibilă.

Pe modelul de proiecție spațială (Fig. 5) din două puncte concurente OŞi ÎN punct vizibil O după două caracteristici complementare reciproc. Judecând după lanț S 1 → A → B punct O mai aproape de observator decât de punct ÎN. Și, în consecință, mai departe de planul de proiecție π 1(aceste. z A > z A).

Orez. 5 Fig.6

Dacă punctul în sine este vizibil O, atunci proiecția sa este și ea vizibilă A 1. În raport cu proiecţia care coincide cu aceasta B 1. Pentru claritate și, dacă este necesar, pe diagramă, proiecțiile invizibile ale punctelor sunt de obicei incluse între paranteze.

Să eliminăm punctele de pe model OŞi ÎN. Proiecțiile lor coincidente pe avion vor rămâne π 1și proiecții separate – activate π 2. Să lăsăm condiționat proiecția frontală a observatorului (⇩) situată în centrul proiecției S 1. Apoi, de-a lungul lanțului de imagini ⇩ → A 2 → B 2 se va putea judeca asta z A > z Bși că punctul în sine este vizibil Oși proiecția acesteia A 1.

Să luăm în considerare în mod similar punctele concurente CUŞi Dîn aparenţă în raport cu planul π 2. Deoarece fasciculul proeminent comun al acestor puncte l 2 paralel cu axa 0Y, apoi un semn al vizibilității punctelor concurente CUŞi D determinat de inegalitate y C > y D. Prin urmare, acel punct Dînchis cu un punct CUși în consecință proiecția punctului D 2 va fi acoperit de proiecția punctului C 2în avion π 2.

Să luăm în considerare modul în care este determinată vizibilitatea punctelor concurente într-un desen complex (Fig. 6).

Judecând după proiecțiile coincidente A 1≡B 1 punctele în sine OŞi ÎN sunt pe un fascicul proeminent paralel cu axa 0Z. Aceasta înseamnă că coordonatele pot fi comparate z AŞi z B aceste puncte. Pentru a face acest lucru, folosim planul de proiecție frontală cu imagini separate ale punctelor. În acest caz z A > z B. De aici rezultă că proiecția este vizibilă A 1.

Puncte CŞi Dîn desenul complex luat în considerare (Fig. 6) sunt de asemenea pe același fascicul proeminent, dar numai paralel cu axa 0Y. Prin urmare, din comparație y C > y D concluzionăm că proiecția C 2 este vizibilă.

Regula generală . Vizibilitatea pentru potrivirea proiecțiilor punctelor concurente este determinată prin compararea coordonaților acelor puncte în direcția unei raze comune de proiecție. Este vizibilă proiecția punctului a cărui coordonată este mai mare. În acest caz, coordonatele sunt comparate pe planul de proiecție cu imagini separate ale punctelor.