Rezolvarea inegalităților raționale folosind metoda intervalului.

Metoda intervalului este considerată universală pentru rezolvarea inegalităților. Uneori, această metodă este numită și metoda gap. Poate fi folosit atât pentru rezolvarea inegalităților raționale cu o variabilă, cât și pentru inegalitățile de alte tipuri. În materialul nostru am încercat să acordăm atenție tuturor aspectelor problemei.

Ce te așteaptă în această secțiune? Vom analiza metoda intervalului și vom lua în considerare algoritmi de rezolvare a inegalităților folosind ea. Să atingem aspectele teoretice pe care se bazează aplicarea metodei.

Acordăm o atenție deosebită nuanțelor subiectului care de obicei nu sunt acoperite în interior programa școlară. De exemplu, să luăm în considerare regulile de aranjare a semnelor pe intervale și metoda intervalelor în sine în formă generală, fără legătura ei cu inegalitățile raționale.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritm

Cine își amintește cum a fost introdusă metoda intervalelor într-un curs de algebră școlară? De obicei, totul începe cu rezolvarea inegalităților de forma f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >sau ≥). Aici f(x) poate fi un polinom sau un raport de polinoame. Polinomul, la rândul său, poate fi reprezentat astfel:

• produsul binoamelor liniare cu coeficient 1 pentru variabila x;
• produsul trinoamelor pătratice cu coeficientul conducător 1 și discriminantul negativ al rădăcinilor lor.

Iată câteva exemple de astfel de inegalități:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Să scriem un algoritm de rezolvare a inegalităților de acest tip, așa cum am dat în exemple, folosind metoda intervalului:

• găsim zerourile numărătorului și numitorului, pentru aceasta echivalăm numărătorul și numitorul expresiei din partea stângă a inegalității cu zero și rezolvăm ecuațiile rezultate;
• stabilim punctele care corespund zerourilor gasite si le marcam cu liniute pe axa de coordonate;
• definiți semnele de expresie f(x) din partea stângă a inegalității care se rezolvă pe fiecare interval și puneți-le pe grafic;
• aplicați umbrire peste zonele necesare grafică, ghidată de următoarea regulă: dacă inegalitatea are semne< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >sau ≥ , apoi evidențiem prin umbrire zonele marcate cu semnul „+”.

Modelul cu care vom lucra poate avea o vedere schematică. Detaliile excesive pot supraîncărca desenul și pot face dificil de rezolvat. Vom fi puțin interesați de amploare. Va fi suficient să se lipească locația corectă puncte pe măsură ce valorile coordonatelor lor cresc.

Când lucrăm cu inegalități stricte, vom folosi notația unui punct sub forma unui cerc cu un centru neumplut (gol). În cazul inegalităților nestricte, vom prezenta punctele care corespund zerourilor numitorului ca goale, iar restul ca negre obișnuite.

Punctele marcate împart linia de coordonate în mai multe intervale numerice. Acest lucru ne permite să obținem o reprezentare geometrică a unei mulțimi numerice, care este de fapt o soluție a acestei inegalități.

Metoda Știința Gapului

Abordarea care stă la baza metodei intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții continue: funcția menține un semn constant pe intervalul (a, b) pe care această funcție este continuă și nu dispare. Aceeași proprietate este caracteristică razelor numerice (− ∞ , a) și (a, + ∞).

Această proprietate a funcției este confirmată de teorema Bolzano-Cauchy, care este dată în multe manuale pentru pregătirea examenelor de admitere.

Constanța semnului pe intervale poate fi justificată și pe baza proprietăților inegalităților numerice. De exemplu, luați inegalitatea x - 5 x + 1 > 0. Dacă găsim zerourile numărătorului și numitorului și le trasăm pe linia numerică, vom obține o serie de intervale: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) și (5 , + ∞) .

Să luăm oricare dintre intervale și să arătăm pe el că pe tot intervalul expresia din partea stângă a inegalității va avea un semn constant. Fie acesta intervalul (− ∞ , − 1) . Să luăm orice număr t din acest interval. Va îndeplini condițiile t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Folosind atât inegalitățile rezultate, cât și proprietatea inegalităților numerice, putem presupune că t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t pe intervalul (− ∞ , − 1) .

Folosind regula de împărțire a numerelor negative, putem afirma că valoarea expresiei t - 5 t + 1 va fi pozitivă. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei x - 5 x + 1 va fi pozitivă pentru orice valoare x de între (− ∞ , − 1) . Toate acestea ne permit să afirmăm că pe intervalul luat ca exemplu, expresia are semn constant. În cazul nostru, acesta este semnul „+”.

Aflarea zerourilor numărătorului și numitorului

Algoritmul pentru găsirea zerourilor este simplu: echivalăm expresiile de la numărător și numitor la zero și rezolvăm ecuațiile rezultate. Dacă aveți dificultăți, puteți consulta subiectul „Rezolvarea ecuațiilor prin factorizare”. În această secțiune ne vom limita doar la un exemplu.

Se consideră fracția x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Pentru a găsi zerourile numărătorului și numitorului, le echivalăm cu zero pentru a obține și rezolva ecuațiile: x (x − 0, 6) = 0 și x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

În primul caz, putem merge la mulțimea a două ecuații x = 0 și x − 0, 6 = 0, care ne dă două rădăcini 0 și 0, 6. Acestea sunt zerourile numărătorului.

A doua ecuație este echivalentă cu setul de trei ecuații x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Efectuăm o serie de transformări și obținem x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. Rădăcina primei ecuații este 0, a doua ecuație nu are rădăcini, deoarece are un discriminant negativ, rădăcina celei de-a treia ecuații este 5. Acestea sunt zerourile numitorului.

0 în acest caz este atât zero al numărătorului, cât și zero al numitorului.

În general, atunci când partea stângă a unei inegalități conține o fracție care nu este neapărat rațională, numărătorul și numitorul sunt, de asemenea, egale cu zero pentru a obține ecuațiile. Rezolvarea ecuațiilor vă permite să găsiți zerourile numărătorului și numitorului.

Determinarea semnului unui interval este simplă. Pentru a face acest lucru, puteți găsi valoarea expresiei din partea stângă a inegalității pentru orice punct selectat arbitrar dintr-un interval dat. Semnul rezultat al valorii expresiei într-un punct ales în mod arbitrar din interval va coincide cu semnul întregului interval.

Să ne uităm la această afirmație cu un exemplu.

Să luăm inegalitatea x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Expresia din partea stângă a inegalității nu are zerouri în numărător. Zerul numitorului va fi numărul - 3. Obținem două intervale pe linia numerică (− ∞ , − 3) și (− 3 , + ∞) .

Pentru a determina semnele intervalelor, se calculează valoarea expresiei x 2 - x + 4 x + 3 pentru punctele luate arbitrar pe fiecare dintre intervale.

De la primul gol (− ∞ , − 3) să luăm - 4. La x = − 4 avem (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24. Am primit o valoare negativă, ceea ce înseamnă că întregul interval va avea semnul „-”.

Pentru decalaj (− 3 , + ∞) Să efectuăm calcule cu un punct având coordonată zero. La x = 0 avem 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3. Am primit o valoare pozitivă, ceea ce înseamnă că întregul interval va avea semnul „+”.

Puteți folosi o altă modalitate de a determina semnele. Pentru a face acest lucru, putem găsi semnul pe unul dintre intervale și îl salvam sau îl putem schimba la trecerea prin zero. Pentru a face totul corect, este necesar să respectați regula: la trecerea prin zero a numitorului, dar nu a numărătorului, sau a numărătorului, dar nu a numitorului, putem schimba semnul în cel opus, dacă gradul de expresia care dă acest zero este impară și nu putem schimba semnul , dacă gradul este par. Dacă am primit un punct care este atât zero al numărătorului, cât și al numitorului, atunci putem schimba semnul în cel opus doar dacă suma puterilor expresiilor care dau acest zero este impară.

Dacă ne amintim de inegalitatea pe care am examinat-o la începutul primului paragraf al acestui material, atunci în intervalul din dreapta putem pune semnul „+”.

Acum să ne uităm la exemple.

Luați inegalitatea (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 și rezolvați-o folosind metoda intervalului . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsim zerourile numărătorului și numitorului și să le marcam pe linia de coordonate. Zerourile numărătorului vor fi puncte 2 , 3 , 4 , punctul numitor 1 , 3 , 4 . Să le marchem pe axa de coordonate cu liniuțe.

Marcam zerourile numitorului cu puncte goale.

Deoarece avem de-a face cu o inegalitate nestrictă, înlocuim liniuțele rămase cu puncte obișnuite.

Acum să plasăm puncte pe intervale. Spațiul din dreapta (4 , + ∞) va fi semnul +.

Deplasându-ne de la dreapta la stânga, vom pune jos indicatoare pentru intervalele rămase. Trecem prin punctul cu coordonata 4. Acesta este atât zero al numărătorului, cât și al numitorului. În concluzie, aceste zerouri dau expresiile (x − 4) 2Şi x − 4. Să adunăm puterile lor 2 + 1 = 3 și să obținem un număr impar. Aceasta înseamnă că semnul în timpul tranziției în acest caz se schimbă la opus. Intervalul (3, 4) va avea semnul minus.

Trecem la intervalul (2, 3) prin punctul cu coordonata 3. Acesta este, de asemenea, un zero atât pentru numărător, cât și pentru numitor. L-am obținut datorită a două expresii (x − 3) 3 și (x − 3) 5, a căror suma puterilor este 3 + 5 = 8. Obținerea unui număr par ne permite să lăsăm semnul intervalului neschimbat.

Punctul cu coordonata 2 este zero al numărătorului. Puterea expresiei x - 2 este 1 (impar). Aceasta înseamnă că la trecerea prin acest punct semnul trebuie schimbat la opus.

Ne rămâne ultimul interval (− ∞ , 1) . Punctul cu coordonata 1 este zero al numitorului. A fost derivat din expresia (x − 1) 4, cu grad egal 4 . Prin urmare, semnul rămâne același. Desenul final va arăta astfel:

Metoda intervalului este eficientă în special atunci când calcularea valorii unei expresii implică multă muncă. Un exemplu ar fi necesitatea de a calcula valoarea unei expresii

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

în orice punct al intervalului 3 - 3 4, 3 - 2 4.

Acum să începem să aplicăm în practică cunoștințele și abilitățile dobândite.

Exemplul 1

Rezolvați inegalitatea (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

Soluţie

Este recomandabil să folosiți metoda intervalului pentru a rezolva inegalitatea. Aflați zerourile numărătorului și numitorului. Zerourile numărătorului sunt 1 și - 5, zerourile numitorului sunt 7 și 1. Să le notăm pe linia numerică. Avem de-a face cu o inegalitate nestrictă, așa că vom marca zerourile numitorului cu puncte goale, iar zeroul numărătorului - 5 - va fi marcat cu un punct umplut obișnuit.

Să punem semnele intervalelor folosind regulile de schimbare a semnului la trecerea prin zero. Să începem cu intervalul din dreapta, pentru care calculăm valoarea expresiei din partea stângă a inegalității într-un punct luat în mod arbitrar din interval. Primim semnul „+”. Să ne deplasăm secvențial prin toate punctele de pe linia de coordonate, aranjând semnele și obținem:

Lucrăm cu o inegalitate nestrictă cu semnul ≤. Aceasta înseamnă că trebuie să marchem cu umbrire spațiile marcate cu semnul „-”.

Răspuns: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Rezolvarea inegalităților raționale necesită în majoritatea cazurilor transformarea lor preliminară în tipul potrivit. Abia după aceasta devine posibilă utilizarea metodei intervalului. Algoritmii pentru realizarea unor astfel de transformări sunt discutați în materialul „Rezolvarea inegalităților raționale”.

Să ne uităm la un exemplu de conversie a trinoamelor pătratice în inegalități.

Exemplul 2

Aflați soluția inegalității (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0.

Soluţie

Să vedem dacă discriminanții trinoamelor pătratice din notația inegalității sunt de fapt negativi. Acest lucru ne va permite să determinăm dacă forma acestei inegalități ne permite să folosim metoda intervalului pentru rezolvare.

Să calculăm discriminantul pentru trinom x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Acum să calculăm discriminantul pentru trinomul x 2 + 2 · x − 8: D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . După cum puteți vedea, inegalitatea necesită o transformare preliminară. Pentru a face acest lucru, reprezentăm trinomul x 2 + 2 x − 8 ca (x + 4) · (x − 2), și apoi aplicați metoda intervalului pentru a rezolva inegalitatea (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0.

Răspuns: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Metoda intervalului generalizat este folosită pentru a rezolva inegalitățile de forma f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , unde f (x) este o expresie arbitrară cu o variabilă x.

Toate acțiunile sunt efectuate conform unui anumit algoritm. În acest caz, algoritmul pentru rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului generalizat va fi oarecum diferit de ceea ce am discutat mai devreme:

• găsim domeniul de definiție al funcției f și zerourile acestei funcție;
• marcați punctele de limită pe axa de coordonate;
• reprezentați zerourile funcției pe linia numerică;
• determinați semnele intervalelor;
• aplicați umbrire;
• notează răspunsul.

Pe linia numerică, este necesar să se marcheze, printre altele, puncte individuale ale domeniului de definiție. De exemplu, domeniul de definire al unei funcții este mulțimea (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Aceasta înseamnă că trebuie să marchem punctele cu coordonatele - 5, 1, 3, 4 , 7 Şi 10 . Puncte − 5 iar 7 vor fi descrise ca goale, restul pot fi evidențiate cu un creion colorat pentru a le distinge de zerourile funcției.

În cazul inegalităților nestricte, zerourile funcției sunt reprezentate prin puncte obișnuite (umbrite), iar în cazul inegalităților stricte, prin puncte goale. Dacă zerourile coincid cu punctele de limită sau cu punctele individuale ale domeniului de definiție, atunci pot fi revopsite în negru, făcându-le goale sau umbrite, în funcție de tipul de inegalitate.

Înregistrarea răspunsului este un set numeric care include:

• spatii cu umbrire;
• puncte individuale ale domeniului de definiție cu semnul plus, dacă avem de-a face cu o inegalitate al cărei semn este > sau ≥, sau cu semnul minus, dacă inegalitatea are semne< или ≤ .

Acum a devenit clar că algoritmul pe care l-am prezentat chiar la începutul subiectului este un caz special al algoritmului de utilizare a metodei intervalului generalizat.

Să luăm în considerare un exemplu de utilizare a metodei intervalului generalizat.

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Soluţie

Introducem o funcție f astfel încât f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Să găsim domeniul de definire al funcției f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Acum să găsim zerourile funcției. Pentru a face acest lucru, vom rezolva ecuația irațională:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Obținem rădăcina x = 12.

Pentru a desemna puncte de limită pe axa de coordonate pe care o folosim portocale. Punctele - 6, 4 vor fi completate, iar 7 vor fi lăsate goale. Primim:

Să marchem zeroul funcției cu un punct negru gol, deoarece lucrăm cu o inegalitate strictă.

Determinăm semnele la intervale individuale. Pentru a face acest lucru, luați un punct din fiecare interval, de exemplu, 16 , 8 , 6 Şi − 8 , și calculați valoarea funcției din ele f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Plasăm semnele tocmai definite și aplicăm umbrire peste spațiile cu semnul minus:

Răspunsul va fi unirea a două intervale cu semnul „-”: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

Ca răspuns, am inclus un punct cu coordonata - 6. Acesta nu este zeroul funcției, pe care nu l-am include în răspuns când rezolvăm o inegalitate strictă, ci punctul limită al domeniului de definiție, care este inclus în domeniul definiției. Valoarea funcției în acest moment este negativă, ceea ce înseamnă că satisface inegalitatea.

Nu am inclus punctul 4 în răspuns, la fel cum nu am inclus întreg intervalul [4, 7). În acest moment, la fel ca pe tot intervalul indicat, valoarea funcției este pozitivă, ceea ce nu satisface inegalitatea care se rezolvă.

Să scriem din nou acest lucru pentru o înțelegere mai clară: punctele colorate trebuie incluse în răspuns în următoarele cazuri:

• aceste puncte fac parte din golul hașurat,
• aceste puncte sunt puncte individuale din domeniul definirii funcției, fiind rezolvate valorile funcției la care satisfac inegalitatea.

Răspuns: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Cum se rezolvă inegalitățile folosind metoda intervalului (algoritm cu exemple)

Exemplu . (misiunea de la OGE) Rezolvați inegalitatea folosind metoda intervalului \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Soluţie:

Răspuns : \((7;7+\sqrt(11))\)

Exemplu . Rezolvați inegalitatea folosind metoda intervalului \(≥0\)
Soluţie:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		Aici, la prima vedere, totul pare normal, iar inegalitatea este adusă inițial la forma dorită. Dar nu este așa - la urma urmei, în prima și a treia paranteză ale numărătorului, x apare cu semnul minus. Transformăm parantezele, ținând cont de faptul că al patrulea grad este par (adică, va elimina semnul minus), iar al treilea este impar (adică nu se va elimina). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Ca aceasta. Acum întoarcem parantezele „la loc” deja transformate.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		Acum toate parantezele arată așa cum ar trebui (numele nesemnat vine mai întâi și apoi numărul). Dar în fața numărătorului a apărut un minus. Îl eliminăm prin înmulțirea inegalității cu \(-1\), fără a uita să inversăm semnul de comparație
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≤0\)		Gata. Acum inegalitatea arată așa cum ar trebui. Puteți folosi metoda intervalului.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Să plasăm puncte pe axă, semne și să pictăm pe intervalele necesare.
		În intervalul de la \(4\) la \(6\), semnul nu trebuie schimbat, deoarece paranteza \((x-6)\) este la o putere pară (a se vedea punctul 4 al algoritmului) . Steagul va fi un memento că șase este, de asemenea, o soluție la inegalitate. Să scriem răspunsul.

Răspuns : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\stânga\(6\dreapta\)\)

Exemplu.(Misiunea de la OGE) Rezolvați inegalitatea folosind metoda intervalului \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Soluţie:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Există unele identice în stânga și în dreapta - aceasta nu este clar o coincidență. Prima dorință este de a împărți la \(-x^2-64\), dar aceasta este o greșeală, deoarece există șansa de a pierde rădăcina. În schimb, mutați \(64(-x^2-64)\) la stânga
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Să scoatem minusul din prima paranteză și să factorăm pe al doilea
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Rețineți că \(x^2\) este fie egal cu zero, fie mai mare decât zero. Aceasta înseamnă că \(x^2+64\) este pozitiv unic pentru orice valoare a lui x, adică această expresie nu afectează în niciun fel semnul părții stângi. Prin urmare, putem împărți în siguranță ambele părți ale inegalității prin această expresie. Să împărțim și inegalitatea la \(-1\) pentru a scăpa de minus.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Acum puteți folosi metoda intervalului
\(x=8;\) \(x=-8\)		Să scriem răspunsul

Răspuns : \((-∞;-8]∪}