Aria unei piramide patruunghiulare. Găsiți aria suprafeței unei piramide triunghiulare regulate
Definiţie. Marginea laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar latura opusă coincide cu latura bazei (poligon).
Definiţie. Coaste laterale- acestea sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are tot atâtea muchii cât unghiurile unui poligon.
Definiţie. Înălțimea piramidei- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.
Definiţie. Apotema- aceasta este o perpendiculară pe fața laterală a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.
Definiţie. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.
Definiţie. Piramida corectă este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.
Volumul și suprafața piramidei
Formula. Volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:
Proprietățile piramidei
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi desenat în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, o perpendiculară căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul bazei la aceleași unghiuri.
Marginile laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.
Dacă fetele lateraleînclinat pe planul bazei la un unghi, atunci se poate înscrie un cerc la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.
Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.
Proprietățile unei piramide obișnuite
1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.
2. Toate marginile laterale sunt egale.
3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la unghiuri egale față de bază.
4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.
5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.
6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).
7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei circumscrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.
8. Puteți încadra o sferă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.
9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plane de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π/n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.
Legătura dintre piramidă și sferă
O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide când la baza piramidei există un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele de mijloc ale marginilor laterale ale piramidei.
Este întotdeauna posibil să descrii o sferă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.
O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.
Relația dintre o piramidă și un con
Se spune că un con este înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.
Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale între ele.
Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.
Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.
Relația dintre o piramidă și un cilindru
O piramidă se numește înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.
Un cilindru poate fi descris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei.
Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.
Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triunghiular.
Segmentul care leagă vârful unui tetraedru cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).
Bimedian numit segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).
Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele sunt împărțite într-un raport de 3:1 începând de sus.
Definiţie. Piramidă unghiulară ascuțită- o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiţie. Piramidă obtuză- o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiţie. Tetraedru regulat- un tetraedru în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la vârf) sunt egale.
Definiţie. Tetraedru dreptunghiular se numește tetraedru în care există un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triunghiular dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.
Definiţie. Tetraedru izoedric numit tetraedru ale cărui fețe laterale sunt egale între ele și baza este triunghi regulat. Un astfel de tetraedru are fețe care sunt triunghiuri isoscele.
Definiţie. tetraedru ortocentric se numește tetraedru în care se intersectează într-un punct toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de sus pe fața opusă.
Definiţie. Piramida stelară Un poliedru a cărui bază este o stea se numește.
Aria suprafeței laterale a unei piramide arbitrare este egală cu suma ariilor fețelor sale laterale. Este logic să oferim o formulă specială pentru exprimarea acestei zone în cazul unei piramide obișnuite. Deci, să ni se dea o piramidă regulată, la baza căreia se află un n-gon regulat cu latura egală cu a. Fie h înălțimea feței laterale, numită și apotema piramide. Aria unei fețe laterale este egală cu 1/2ah, iar întreaga suprafață laterală a piramidei are o suprafață egală cu n/2ha Deoarece na este perimetrul bazei piramidei, putem scrie formula găsită sub forma:
Suprafata laterala a unei piramide regulate este egal cu produsul apotemului acesteia și jumătate din perimetrul bazei.
Referitor la suprafata totala, apoi adăugăm pur și simplu zona bazei pe cea laterală.
Sferă și minge înscrise și circumscrise. Trebuie remarcat faptul că centrul sferei înscrise în piramidă se află la intersecția planurilor bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei. Centrul sferei descrise în apropierea piramidei se află la intersecția planurilor care trec prin punctele mijlocii ale marginilor piramidei și perpendicular pe acestea.
Piramida trunchiată. Dacă o piramidă este tăiată de un plan paralel cu baza sa, atunci partea cuprinsă între planul de tăiere și bază se numește trunchi de piramidă. Figura arată o piramidă, aruncând partea sa situată deasupra planului de tăiere, obținem o piramidă trunchiată. Este clar că piramida mică aruncată este omotetică cu piramida mare, cu centrul homoteziei la vârf. Coeficientul de similitudine este egal cu raportul de înălțimi: k=h 2 /h 1, sau marginile laterale, sau alte dimensiuni liniare corespunzătoare ale ambelor piramide. Știm că ariile figurilor similare sunt legate ca pătrate de dimensiuni liniare; deci zonele bazelor ambelor piramide (adică aria bazelor piramidei trunchiate) sunt legate ca
Aici S 1 este aria bazei inferioare, iar S 2 este aria bazei superioare a piramidei trunchiate. În aceeași relație sunt suprafete laterale piramide O regulă similară există pentru volume.
Volume de corpuri similare sunt legate ca cuburi de dimensiunile lor liniare; de exemplu, volumele piramidelor sunt legate ca produsul înălțimii lor și aria bazelor, din care se obține imediat regula noastră. Are absolut caracter generalși rezultă direct din faptul că volumul are întotdeauna o dimensiune a celei de-a treia puteri a lungimii. Folosind această regulă, derivăm o formulă care exprimă volumul unei piramide trunchiate prin înălțimea și aria bazelor.
Să fie dată o piramidă trunchiată cu înălțimea h și zonele de bază S 1 și S 2. Dacă ne imaginăm că este extinsă la o piramidă completă, atunci coeficientul de similitudine dintre piramida plină și piramida mică este ușor de găsit ca rădăcină a raportului S 2 /S 1 . Înălțimea unei piramide trunchiate este exprimată ca h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Acum avem pentru volumul unei piramide trunchiate (V 1 și V 2 reprezintă volumele piramidelor pline și mici)
formula pentru volumul unei piramide trunchiate
Să derivăm formula pentru aria S a suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate prin perimetrele P 1 și P 2 ale bazelor și lungimea apotemei a. Raționăm exact în același mod ca atunci când derivăm formula pentru volum. Suplimentăm piramida cu partea superioară, avem P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, unde k este coeficientul de similitudine, P 1 și P 2 sunt perimetrele bazelor, iar S 1 și S 2 sunt zonele suprafețelor laterale ale întregii piramide rezultate și, în consecință, partea superioară a acesteia. Pentru suprafața laterală găsim (a 1 și a 2 sunt apoteme ale piramidelor, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite
Ce figură numim piramidă? În primul rând, este un poliedru. În al doilea rând, la baza acestui poliedru se află un poligon arbitrar, iar laturile piramidei (fețele laterale) au în mod necesar forma unor triunghiuri convergente la un vârf comun. Acum, după ce am înțeles termenul, să aflăm cum să găsim suprafața piramidei.
Este clar că suprafața unui astfel de corp geometric este alcătuită din suma suprafețelor bazei și a întregii sale suprafețe laterale.
Calcularea ariei bazei unei piramide
Alegerea formulei de calcul depinde de forma poligonului care stă la baza piramidei noastre. Poate fi regulat, adică cu laturile de aceeași lungime, sau neregulat. Să luăm în considerare ambele opțiuni.
Baza este un poligon regulat
Din cursul școlii știm:
- aria pătratului va fi egală cu lungimea laturii sale la pătrat;
- Aria unui triunghi echilateral este egală cu pătratul laturii sale împărțit la 4 și înmulțit cu rădăcina pătrată a lui trei.
Dar există și o formulă generală pentru calcularea ariei oricărui poligon regulat (Sn): trebuie să înmulțiți perimetrul acestui poligon (P) cu raza cercului înscris în el (r), apoi să împărțiți rezultat cu doi: Sn=1/2P*r .
La bază este un poligon neregulat
Schema de găsire a ariei sale este să împărțiți mai întâi întregul poligon în triunghiuri, să calculați aria fiecăruia dintre ele folosind formula: 1/2a*h (unde a este baza triunghiului, h este înălțimea coborâtă la această bază), adunați toate rezultatele.
Suprafața laterală a piramidei
Acum să calculăm aria suprafeței laterale a piramidei, adică. suma ariilor tuturor laturilor sale laterale. Există și 2 opțiuni aici.
- Să avem o piramidă arbitrară, adică. unul cu un poligon neregulat la bază. Apoi ar trebui să calculați separat aria fiecărei fețe și să adăugați rezultatele. Deoarece laturile unei piramide, prin definiție, pot fi doar triunghiuri, calculul se efectuează folosind formula menționată mai sus: S=1/2a*h.
- Să fie piramida noastră corectă, adică. la baza sa se află un poligon regulat, iar proiecția vârfului piramidei este în centrul acesteia. Apoi, pentru a calcula aria suprafeței laterale (Sb), este suficient să găsiți jumătate din produsul perimetrului poligonului de bază (P) și înălțimea (h) a laturii laterale (la fel pentru toate fețele). ): Sb = 1/2 P*h. Perimetrul unui poligon se determină prin adăugarea lungimilor tuturor laturilor acestuia.
Suprafața totală a unei piramide obișnuite este găsită prin însumarea aria bazei sale cu aria întregii suprafețe laterale.
Exemple
De exemplu, să calculăm algebric suprafețele mai multor piramide.
Suprafața unei piramide triunghiulare
La baza unei astfel de piramide se află un triunghi. Folosind formula So=1/2a*h găsim aria bazei. Folosim aceeași formulă pentru a găsi aria fiecărei fețe a piramidei, care are și o formă triunghiulară, și obținem 3 zone: S1, S2 și S3. Aria suprafeței laterale a piramidei este suma tuturor ariilor: Sb = S1+ S2+ S3. Prin adunarea suprafețelor laturilor și bazei, obținem suprafața totală a piramidei dorite: Sp= So+ Sb.
Suprafața unei piramide patruunghiulare
Aria suprafeței laterale este suma a 4 termeni: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, fiecare dintre care se calculează folosind formula pentru aria unui triunghi. Și zona bazei va trebui căutată, în funcție de forma patrulaterului - regulat sau neregulat. Suprafața totală a piramidei se obține din nou prin adăugarea ariei bazei și a suprafeței totale a piramidei date.
Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, ar trebui să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre o piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar se întâmplă diferite tipuriși forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.
piramida - figură geometrică , denotând și reprezentând mai multe fețe. În esență, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi există triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Cifra vine în două tipuri principale:
- corecta;
- trunchiată.
În primul caz, baza este un poligon regulat. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.
În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune transversală formată paralel cu baza.
Termeni și simboluri
Termeni cheie:
- Triunghi regulat (echilateral).- o figură cu trei unghiuri egale și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedre regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
- Vertex– punctul cel mai înalt în care marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care se extinde de la vârf până la baza piramidei.
- Margine– unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
- Secțiune- o figură plată formată în urma disecției. Nu trebuie confundat cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
- Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție numai corect să poliedru regulat. De exemplu, dacă aceasta nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni apotema.
Formule de arie
Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria fiecărei fețe și să le adăugați.
În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, trapez, patrulater arbitrar etc. Formulele în sine în diferite cazuri va avea și diferențe.
În cazul unei figuri obișnuite, găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În cele mai multe cazuri, calculele sunt necesare în mod specific pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să scrieți totul pe mai multe pagini, ceea ce nu ar face decât să vă încurce și să vă încurce.
Formula de bază pentru calcul Suprafața laterală a unei piramide obișnuite va avea următoarea formă:
S=½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)
Să ne uităm la un exemplu. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm Lăsați apotema să fie egală cu 5 cm. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, o puteți găsi astfel: P = 5 * 10 = 50 cm În continuare, aplicăm formula de bază: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm pătrat.
Suprafața laterală este corectă piramidă triunghiulară cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:
S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o figură cu apotema de 5 cm și marginea bazei de 8 cm Calculăm: S = 1/2*5*8*3=60 cm pătrat.
Suprafața laterală a unei piramide trunchiate Este puțin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Să ne uităm la un exemplu. Să zicem pentru figură patruunghiulară Dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, apotema este de 4 cm.
Aici, mai întâi trebuie să găsiți perimetrele bazelor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuim valorile în formula principală și obținem: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.
Astfel, puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Ar trebui să fii atent și să nu încurci aceste calcule cu suprafata intreagaîntregul poliedru. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, doar calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și adăugați-o la aria suprafeței laterale a poliedrului.
Video
Acest videoclip vă va ajuta să consolidați informații despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide.
Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.
Când se pregătesc pentru examenul de stat unificat la matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, despre cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la marginile de bază și laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația cu fețele laterale este clară, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.
Cum să găsiți aria bazei piramidei?
Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o figură obișnuită sau una neregulată. În sarcinile Unified State Exam care îi interesează pe școlari, există doar sarcini cu cifre corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.
Triunghi regulat
Adică echilateral. Acela în care toate părțile sunt egale și sunt desemnate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Pătrat
Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:
N-gon regulat arbitrar
Latura unui poligon are aceeași notație. Pentru numărul de unghiuri se folosește litera latină n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Ce să faci când calculezi suprafața laterală și totală?
Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. Mai mult, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, veți avea nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.
Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:
S = ½ P*A, unde P este perimetrul bazei piramidei.
Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi, trebuie să utilizați următoarea formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:
S = n/2 * în 2 sin α .
Sarcina nr. 1
Stare. Aflați aria totală a piramidei dacă baza ei are o latură de 4 cm și apotema are o valoare de √3 cm.
Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P = 3*4 = 12 cm Deoarece apotema este cunoscută, putem calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Pentru triunghiul de la bază, obțineți următoarea valoare a ariei: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Răspuns. 10√3 cm 2.
Problema nr. 2
Stare. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii de bază este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Este necesar să-i aflați suprafața.
Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, baza lui este un pătrat. Odată ce cunoașteți aria fețelor de bază și laterale, veți putea calcula aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și pentru fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.
Primele calcule sunt simple și conduc la următorul număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.
Rezultă: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.
Problema nr. 3
Stare. Cel potrivit piramida patruunghiulara trebuie să calculezi suprafața. Latura pătratului este cunoscută a fi de 6 cm, iar înălțimea este de 4 cm.
Soluţie. Cel mai simplu mod este de a folosi formula cu produsul perimetrului și apotemului. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este un pic mai complicat.
Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm Este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.
Apotema căutată (ipotenuză triunghi dreptunghic) este egal cu √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Acum puteți calcula valoarea necesară: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Răspuns. 96 cm 2.
Problema nr. 4
Stare. Dana partea corectă bazele sale sunt de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este suprafața laterală a acestui poliedru?
Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în sarcina nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.
În primul rând, aria de bază este calculată folosind formula de mai sus: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este fața laterală. (22+61*2):2 = 72 cm Tot ce rămâne este să folosiți formula lui Heron pentru a calcula aria fiecărui astfel de triunghi, apoi să o înmulțiți cu șase și să o adăugați la cea obținută pentru bază.
Calcule folosind formula lui Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcule care vor da aria suprafeței laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.
Răspuns. Baza este de 726√3 cm2, suprafața laterală este de 3960 cm2, întreaga suprafață este de 5217 cm2.