Produsul sau intersecția evenimentelor A și B este un eveniment constând din apariția simultană a evenimentelor A și B. ÎN. Desemnarea muncii AB sau L și V.

De exemplu, atingerea țintei de două ori este produsul a două evenimente, răspunsul la ambele întrebări de pe biletul de examen este produsul a două evenimente.

Evenimentele L și ÎN sunt numite incompatibile dacă produsul lor este un eveniment imposibil, adică. LV = V.

De exemplu, evenimentele L - pierderea unei steme și ÎN- numărul care cade în timpul unei singure aruncări a unei monede nu poate apărea simultan, produsul lor este un eveniment imposibil, evenimentele A și B sunt incompatibile.

Conceptele de sumă și produs al evenimentelor au o interpretare geometrică clară (Fig. 6.4).

Orez. 6.4. Interpretarea geometrică a lucrării (O) si sume (b) două evenimente comune

Fie evenimentul A setul de puncte din zona A, iar evenimentul B setul de puncte din zona B. Zona umbrită corespunde evenimentului LV din Fig. 6 La iar evenimentul L + B din Fig. 6.46.

Pentru evenimentele incompatibile A și B avem LV = V(Fig. 6.5a). Evenimentul A+B corespunde zonei umbrite din Fig. 6,56.

Orez. 6.5. Interpretarea geometrică a lucrării ( O) și sume (b) două evenimente incompatibile

Evenimente OŞi O sunt numite opuse dacă sunt incompatibile și constituie în total un eveniment de încredere, adică.

A A = V; A+A=U.

De exemplu, să tragem o lovitură într-o țintă: eveniment O- trăgătorul a lovit ținta, O- nu a lovit; monedă aruncată:

eveniment O- picatura de vultur, O- pierderea numerelor; şcolarii scriu un test: eveniment O- nici unul singur

greșeli în munca de testare, O- există erori în munca de testare; elev a venit să susțină un test: eveniment O- a trecut

test, O- nu a trecut testul.

Sunt băieți și fete în clasă, studenți excelenți, elevi buni și studenți C, care studiază engleza și german. Fie evenimentul M un băiat, O să fie un student excelent, A să fie un student Limba engleză. Poate un student la întâmplare care iese din clasă să fie un băiat, un student excelent și un cursant de engleză? Acesta va fi produsul sau intersecția evenimentelor MOA.

Exemplul 6.15. Ei aruncă un zar - un cub dintr-un material omogen, ale cărui laturi sunt numerotate. Observați numărul (numărul de puncte) care apare pe marginea superioară. Lasă evenimentul A - apariția unui număr impar, eveniment IN - apariția unui număr care este multiplu de trei. Găsiți rezultatele care compun fiecare dintre evenimente (?/, A, A + B U AB)și indicați semnificația lor.

Soluţie. Rezultat - apariția pe marginea superioară a oricăruia dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6. Setul tuturor rezultatelor constituie spațiul evenimentelor elementare U= (1, 2, 3, 4, 5, 6). Este clar că evenimentul A =(1, 3, 5), eveniment B = {3, 6}.

Eveniment O + B =(1, 3, 5, 6) - apariția fie a unui număr impar, fie a unui multiplu de trei. La listarea rezultatelor, se ține cont de faptul că fiecare rezultat poate fi conținut în set o singură dată.

Eveniment AB =(3) - apariția atât a unui număr impar, cât și a unui multiplu de trei.

Exemplul 6.16. Au fost verificate temele a trei elevi. Lasă evenimentul A (- finalizarea sarcinii al-lea student, G = 1, 2, 3.

Care este sensul evenimentelor: A = A t + A 2+ L 3, OŞi B = A t A 2 A 3 ?

Soluţie. Eveniment O = A x + A 2 + A 3 - finalizarea sarcinii de către cel puțin un student, adică sau orice student (sau primul, sau al doilea, sau al treilea), sau oricare doi, sau toate trei.

Eveniment A = A x -A 2 -A 3- sarcina nu a fost finalizată de niciun elev - nici primul, nici al doilea, nici al treilea. Eveniment B = A ( A 2 A 3 - finalizarea sarcinii de către trei elevi - primul, al doilea și al treilea.

Când se ia în considerare producerea în comun a mai multor evenimente, pot exista cazuri în care apariția unuia dintre ele afectează posibilitatea apariției altuia. De exemplu, dacă ziua este însorită toamna, atunci este mai puțin probabil ca vremea să se înrăutățească (va începe să plouă). Dacă soarele nu este vizibil, atunci există o șansă mai mare ca să plouă.

Eveniment L numit independent de eveniment ÎN, dacă probabilitatea evenimentului O nu se modifică în funcție de faptul că evenimentul a avut loc sau nu ÎN. Altfel eveniment O numit dependent de eveniment ÎN. Două evenimente A șiÎN sunt numite independente dacă probabilitatea uneia dintre ele nu depinde de apariția sau neapariția celeilalte, dependente - în caz contrar. Evenimentele se numesc independente perechi dacă fiecare două dintre ele sunt independente unul de celălalt.

Teorema înmulțirii probabilităților se formulează după cum urmează. Probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Această teoremă este valabilă pentru orice număr finit de evenimente, cu condiția ca acestea să fie colectiv independente, adică probabilitatea oricăruia dintre ele nu depinde de faptul dacă celălalt dintre aceste evenimente a avut loc sau nu.

Exemplul 6.17. Elevul susține trei examene. Probabilitatea de a promova cu succes primul examen este de 0,9, al doilea - 0,65, iar al treilea - 0,35. Găsiți probabilitatea ca el să pice cel puțin un examen.

Soluţie. Să notăm O eveniment - studentul nu a promovat cel puțin un examen. Apoi P(A) = 1 - /-’(1/1), unde O- evenimentul opus - studentul a promovat toate examenele. Deoarece promovarea fiecărui examen este independentă de celelalte examene, P(A)= 1 - P(1/1) = = 1 - 0,9 0,65 0,35 = 0,7953.

Probabilitatea evenimentului O, calculate cu condiţia ca evenimentul să se producă ÎN, numit probabilitate condiționată evenimente O supuse aspectului ÎN si este desemnat R V (A) sau P(A/B).

Teorema.Probabilitatea de apariție a unui produs a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele ori probabilitate condiționată al doilea, calculat cu condiția ca primul eveniment să se fi produs:

Exemplul 6.18. Un student extrage un bilet din 34 de două ori Care este probabilitatea ca el să treacă examenul dacă a pregătit 30 de bilete și scoate un bilet nereușit prima dată?

Soluţie. Lasă evenimentul O este că prima dată când ați primit un bilet nereușit, evenimentul ÎN- a doua oară se extrage un bilet norocos. Apoi O?ÎN- studentul va promova examenul (în circumstanțe specificate). Evenimente OŞi ÎN depinde, deoarece probabilitatea de a alege un bilet de succes la a doua încercare depinde de rezultatul primei alegeri. Prin urmare, folosim formula (6.6):

Rețineți că probabilitatea obținută în soluție este „0,107. De ce este probabilitatea de a trece examenul atât de mică dacă înveți 30 din 34 de bilete și ți se dau două încercări?!

Teorema de adunare extinsă este formulată după cum urmează. Probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune. (fabrică):

Exemplul 6.19. Doi elevi rezolvă o problemă. Probabilitatea ca primul elev să rezolve problema (eveniment O), egal cu 0,9; probabilitatea ca al doilea elev să rezolve problema (eveniment ÎN), egal cu 0,8. Care este probabilitatea ca problema să fie rezolvată?

Soluţie. Ne interesează evenimentul C, care este că problema va fi rezolvată, adică. primul, sau al doilea student, sau doi elevi în același timp. Astfel, evenimentul de interes C = A +ÎN. Evenimente OŞi ÎN sunt compatibile, ceea ce înseamnă că teorema de adunare a probabilităților este aplicabilă pentru cazul evenimentelor simultane: P(A + ÎN) = P(A) + P(B) - P(AB). Pentru cazul nostru P(A + B) = = 0,9 + 0,8 + 0,9 0,8 = 0,98 (evenimente OŞi ÎN cooperant dar independent).

Exemplul 6.20. Un elev știe 20 de întrebări din 25. Care este probabilitatea de a răspunde la trei întrebări din 25?

Soluţie. Să introducem evenimentul A, - studentul știe răspunsul la i-a intrebare propusa, i= 1,2,3. Evenimentele L, L 2, L 3 sunt dependente. De aceea

La găsirea probabilităților evenimentelor s-a folosit definiția clasică a probabilității.

Studiul teoriei probabilităților începe cu rezolvarea problemelor care implică adunarea și înmulțirea probabilităților. Merită menționat imediat că un student poate întâmpina o problemă atunci când stăpânește acest domeniu de cunoaștere: dacă procesele fizice sau chimice pot fi reprezentate vizual și înțelese empiric, atunci nivelul de abstractizare matematică este foarte ridicat, iar înțelegerea aici vine doar cu experienta.

Cu toate acestea, jocul merită lumânarea, deoarece formulele - atât cele discutate în acest articol, cât și cele mai complexe - sunt folosite peste tot astăzi și pot fi foarte utile în muncă.

Origine

Destul de ciudat, imboldul pentru dezvoltarea acestei ramuri a matematicii a fost... jocurile de noroc. Într-adevăr, zarurile, aruncarea de monede, pokerul, ruleta sunt exemple tipice care folosesc adunarea și înmulțirea probabilităților. Acest lucru poate fi văzut clar folosind exemplele de probleme din orice manual. Oamenii erau interesați să învețe cum să-și mărească șansele de câștig și trebuie spus că unii au reușit acest lucru.

De exemplu, deja în secolul 21, o persoană, al cărei nume nu îl vom dezvălui, a folosit aceste cunoștințe acumulate de-a lungul secolelor pentru a „curăța” literalmente cazinoul, câștigând câteva zeci de milioane de dolari la ruletă.

Cu toate acestea, în ciuda interesului crescut pentru subiect, abia în secolul al XX-lea a fost dezvoltat un cadru teoretic care a făcut „teorema” completă Astăzi, în aproape orice știință se pot găsi calcule folosind metode probabilistice.

Aplicabilitate

Un punct important atunci când se utilizează formule pentru adunarea și înmulțirea probabilităților și probabilității condiționate este satisfacabilitatea teoremei limitei centrale. Altfel, deși elevul poate să nu-și dea seama, toate calculele, oricât de plauzibile ar părea, vor fi incorecte.

Da, un student foarte motivat este tentat să folosească cunoștințe noi cu fiecare ocazie. Dar, în acest caz, este necesar să încetiniți puțin și să subliniați cu strictețe domeniul de aplicare.

Teoria probabilității se ocupă de evenimente aleatoare, care în termeni empirici reprezintă rezultatele experimentelor: putem arunca un zar cu șase fețe, putem trage o carte dintr-un pachet, putem prezice numărul de părți defecte dintr-un lot. Cu toate acestea, în unele întrebări este strict interzisă utilizarea formulelor din această secțiune de matematică. Vom discuta caracteristicile luării în considerare a probabilităților unui eveniment, teoremele de adunare și multiplicare a evenimentelor la sfârșitul articolului, dar deocamdată să ne întoarcem la exemple.

Concepte de bază

Un eveniment aleatoriu se referă la un proces sau rezultat care poate apărea sau nu ca rezultat al unui experiment. De exemplu, aruncăm un sandviș - acesta poate ateriza cu untul în sus sau cu untul în jos. Oricare dintre cele două rezultate va fi aleatoriu și nu știm dinainte care dintre ele va avea loc.

Când studiem adunarea și înmulțirea probabilităților, vom avea nevoie de încă două concepte.

Astfel de evenimente sunt numite comune, apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt. Să presupunem că doi oameni trag într-o țintă în același timp. Dacă unul dintre ei produce unul de succes, nu va afecta în niciun fel capacitatea celui de-al doilea de a lovi ochiul sau de a rata.

Evenimentele incompatibile vor fi acele evenimente a căror producere în același timp este imposibilă. De exemplu, dacă scoți doar o minge dintr-o cutie, nu poți obține atât albastru cât și roșu deodată.

Desemnare

Conceptul de probabilitate este notat cu litera majusculă latină P. Urmează între paranteze argumentele care denotă anumite evenimente.

În formulele teoremei adunării, probabilității condiționate și teoremei înmulțirii, veți vedea expresii între paranteze, de exemplu: A+B, AB sau A|B. Vor fi calculate în diverse moduri, ne vom adresa acum la ei.

Plus

Să luăm în considerare cazurile în care se folosesc formule de adunare și înmulțire a probabilităților.

Pentru evenimentele incompatibile, cea mai simplă formulă de adunare este relevantă: probabilitatea oricăruia dintre rezultatele aleatoare va fi egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre aceste rezultate.

Să presupunem că există o cutie cu 2 bile albastre, 3 roșii și 5 galbene. În cutie sunt în total 10 articole. Care este adevărul afirmației că vom trage o minge albastră sau roșie? Va fi egal cu 2/10 + 3/10, adică cincizeci la sută.

În cazul evenimentelor incompatibile, formula devine mai complicată, deoarece se adaugă un termen suplimentar. Să revenim la el într-un paragraf, după ce luăm în considerare o altă formulă.

Multiplicare

Adunarea și multiplicarea probabilităților evenimentelor independente sunt utilizate în cazuri diferite. Dacă, conform condițiilor experimentului, suntem mulțumiți de oricare dintre cele două rezultate posibile, vom calcula suma; dacă dorim să obținem două rezultate concrete unul după altul, vom recurge la utilizarea unei formule diferite.

Revenind la exemplul din secțiunea anterioară, vrem să desenăm mai întâi bila albastră și apoi pe cea roșie. Știm primul număr - este 2/10. Ce se întâmplă în continuare? Au mai rămas 9 bile și mai sunt tot același număr de roșii - trei. Conform calculelor, va fi 3/9 sau 1/3. Dar ce să faci acum cu două numere? Răspunsul corect este să înmulțiți pentru a obține 2/30.

Evenimente comune

Acum putem apela din nou la formula sumei pentru evenimente comune. De ce am fost distrași de la subiect? Pentru a afla cum se înmulțesc probabilitățile. Acum vom avea nevoie de aceste cunoștințe.

Știm deja care vor fi primii doi termeni (la fel ca în formula de adunare discutată mai devreme), dar acum trebuie să scădem produsul probabilităților, pe care tocmai am învățat să-l calculăm. Pentru claritate, să scriem formula: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Se pare că atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților sunt folosite într-o expresie.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm oricare dintre cele două probleme pentru a obține credit. Pe primul îl putem rezolva cu o probabilitate de 0,3, iar pe al doilea cu o probabilitate de 0,6. Rezolvare: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Rețineți că simpla adunare a numerelor aici nu va fi suficientă.

Probabilitate condiționată

În sfârșit, există conceptul de probabilitate condiționată, ale cărui argumente sunt indicate în paranteze și separate printr-o bară verticală. Intrarea P(A|B) se citește după cum urmează: „probabilitatea evenimentului A dat eveniment B”.

Să ne uităm la un exemplu: un prieten îți dă un dispozitiv, să fie un telefon. Poate fi spart (20%) sau intact (80%). Puteți repara orice dispozitiv care vă vine în mâini cu o probabilitate de 0,4 sau nu puteți face acest lucru (0,6). În sfârșit, dacă dispozitivul este în stare de funcționare, puteți ajunge la persoana potrivită cu o probabilitate de 0,7.

Este ușor de văzut cum se joacă probabilitatea condiționată în acest caz: nu veți putea ajunge la o persoană dacă telefonul este stricat, dar dacă funcționează, nu trebuie să îl reparați. Astfel, pentru a obține rezultate la „al doilea nivel”, trebuie să aflați ce eveniment a fost executat la primul.

Calcule

Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor care implică adunarea și înmulțirea probabilităților, folosind datele din paragraful anterior.

Mai întâi, să găsim probabilitatea ca să repari dispozitivul care ți-a fost dat. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să fie defect și, în al doilea rând, trebuie să îl puteți remedia. Aceasta este o problemă tipică folosind înmulțirea: obținem 0,2 * 0,4 = 0,08.

Care este probabilitatea să ajungi imediat la persoana potrivită? Este la fel de simplu: 0,8*0,7 = 0,56. În acest caz, ați constatat că telefonul funcționează și ați efectuat cu succes apelul.

În cele din urmă, luați în considerare acest scenariu: obțineți un telefon stricat, îl reparați, apoi formați un număr și persoana de la celălalt capăt preia. Aici trebuie deja să înmulțim trei componente: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Ce să faci dacă ai două telefoane care nu funcționează simultan? Cât de probabil aveți să remediați cel puțin unul dintre ele? asupra adunării și înmulțirii probabilităților, deoarece se folosesc evenimente comune. Rezolvare: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Astfel, dacă primești două dispozitive stricate, îl vei putea repara în 64% din cazuri.

Utilizare atentă

După cum sa spus la începutul articolului, utilizarea teoriei probabilităților ar trebui să fie deliberată și conștientă.

Cu cât seria de experimente este mai mare, cu atât valoarea prezisă teoretic se apropie de cea obţinută în practică. De exemplu, aruncăm o monedă. Teoretic, cunoscând existența formulelor de adunare și înmulțire a probabilităților, putem prezice de câte ori vor apărea „capete” și „cozi” dacă efectuăm experimentul de 10 ori. Am efectuat un experiment și, întâmplător, raportul laturilor desenate a fost de 3 la 7. Dar dacă facem o serie de 100, 1000 sau mai multe încercări, se dovedește că graficul de distribuție se apropie din ce în ce mai mult de cel teoretic: 44 la 56, 482 la 518 și așa mai departe.

Acum imaginați-vă că acest experiment este efectuat nu cu o monedă, ci cu producerea unei noi substanțe chimice, a cărei probabilitate nu o știm. Am face 10 experimente și, fără a obține un rezultat de succes, am putea generaliza: „este imposibil să obținem substanța”. Dar cine știe, dacă am fi făcut a unsprezecea încercare, am fi atins obiectivul sau nu?

Deci, dacă mergi în necunoscut, într-o zonă neexplorată, teoria probabilității s-ar putea să nu se aplice. Fiecare încercare ulterioară în acest caz poate avea succes și generalizări precum „X nu există” sau „X este imposibil” vor fi premature.

Ultimul cuvânt

Deci, ne-am uitat la două tipuri de adunare, înmulțire și probabilități condiționate. Odată cu studiul suplimentar al acestei zone, este necesar să învățăm să distingem situațiile în care este utilizată fiecare formulă specifică. În plus, trebuie să vă imaginați dacă metodele probabilistice sunt aplicabile în general pentru rezolvarea problemei dvs.

Dacă exersezi, după un timp vei începe să efectuezi toate operațiunile necesare exclusiv în mintea ta. Pentru cei interesati jocuri de cărți, această abilitate poate fi considerată extrem de valoroasă - îți vei crește semnificativ șansele de câștig doar calculând probabilitatea ca o anumită carte sau costum să cadă. Cu toate acestea, puteți găsi cu ușurință aplicarea cunoștințelor dobândite în alte domenii de activitate.

Evenimentul A este numit independent de la evenimentul B dacă probabilitatea evenimentului A nu depinde de faptul dacă evenimentul B are loc sau nu. Evenimentul A este numit dependente de la evenimentul B dacă probabilitatea evenimentului A se modifică în funcţie de producerea sau nu a evenimentului B.

Probabilitatea evenimentului A, calculată cu condiția ca evenimentul B să fi avut deja loc, se numește probabilitate condiționată a evenimentului A și se notează .

Condiția pentru independența evenimentului A față de evenimentul B poate fi scrisă ca
.

Teorema înmulțirii probabilităților. Probabilitatea apariției a două evenimente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul să fi avut loc:

Dacă evenimentul A nu depinde de evenimentul B, atunci evenimentul B nu depinde de evenimentul A. În plus, probabilitatea ca evenimentele să se producă este egală cu produsul probabilităților lor:

.

Exemplul 14. Sunt 3 cutii care conțin 10 părți. Prima cutie conține 8, a doua - 7 și a treia - 9 părți standard. O parte este scoasă la întâmplare din fiecare cutie. Aflați probabilitatea ca toate cele trei părți scoase să fie standard.

Probabilitatea ca o parte standard să fie eliminată din prima casetă (evenimentul A) este egală cu
. Probabilitatea ca o parte standard să fie eliminată din a doua casetă (evenimentul B) este egală cu
. Probabilitatea ca o parte standard să fie eliminată din a treia casetă (evenimentul C) este egală cu
.

Deoarece evenimentele A, B și C sunt colectiv independente, atunci prin teorema înmulțirii probabilitatea necesară este egală cu

Să dăm un exemplu de utilizare în comun a teoremelor de adunare și înmulțire.

Exemplul 15. Probabilitățile de apariție a evenimentelor independente A 1 și A 2 sunt egale cu p 1 și, respectiv, p 2. Găsiți probabilitatea apariției unuia dintre aceste evenimente (evenimentul A). Găsiți probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre aceste evenimente (evenimentul B).

Să notăm probabilitățile de evenimente opuse Şi prin q 1 =1-p 1 și, respectiv, q 2 =1-p 2.

Evenimentul A va avea loc dacă apare evenimentul A 1 și evenimentul A 2 nu are loc sau dacă apare evenimentul A 2 și evenimentul A 1 nu are loc. Prin urmare,

Evenimentul B va avea loc dacă apare evenimentul A sau dacă evenimentele A 1 și A 2 au loc simultan. Prin urmare,

Probabilitatea evenimentului B poate fi determinată diferit. Eveniment Opusul evenimentului B este că ambele evenimente A 1 și A 2 nu vor avea loc. Prin urmare, folosind teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente, obținem

care coincide cu expresia obtinuta mai devreme, deoarece identitatea tine

7. Formula probabilității totale. Formula lui Bayes.

Teorema 1. Să presupunem că evenimentele
formează un grup complet de evenimente incompatibile în perechi (astfel de evenimente se numesc ipoteze). Fie A un eveniment arbitrar. Apoi probabilitatea evenimentului A poate fi calculată folosind formula

Dovada. Deoarece ipotezele formează un grup complet, atunci , și, prin urmare,.

Datorită faptului că ipotezele sunt evenimente incompatibile în perechi, evenimentele sunt, de asemenea, incompatibile în perechi. Prin teorema adunării probabilităților

Aplicând acum teorema înmulțirii probabilităților, obținem

Formula (1) se numește formula probabilității totale. În formă prescurtată se poate scrie după cum urmează

.

Formula este utilă dacă probabilitățile condiționate ale evenimentului A sunt mai ușor de calculat decât probabilitatea necondiționată.

Exemplul 16. Există 3 pachete de 36 de cărți și 2 pachete de 52 de cărți. Alegem un pachet la întâmplare și o carte din el la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca cartea extrasă să fie un as.

Fie A evenimentul că cartea extrasă este un as. Să introducem două ipoteze în considerare:

- o carte este extrasă dintr-un pachet de 36 de cărți,

- se extrage o carte dintr-un pachet de 52 de cărți.

Pentru a calcula probabilitatea evenimentului A, folosim formula probabilității totale:

Teorema 2. Să presupunem că evenimentele
formează un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi. Fie A un eveniment arbitrar. Probabilitatea condiționată a ipotezei presupunând că a avut loc evenimentul A, poate fi calculat folosind formula lui Bayes:

Dovada. Din teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente dependente rezultă că .

.

Aplicând formula probabilității totale, obținem (2).

Probabilități de ipoteze
se numesc a priori, iar probabilităţile ipotezelor
cu condiţia ca evenimentul A să fi avut loc se numesc a posteriori. Formulele lui Bayes în sine sunt numite și formule de probabilitate de ipoteză.

Exemplul 17. Sunt 2 urne. Prima urnă conține 2 bile albe și 4 negre, iar a doua urnă conține 7 bile albe și 5 negre. Alegem o urna la intamplare si tragem o minge din ea la intamplare. S-a dovedit a fi negru (a avut loc evenimentul A). Aflați probabilitatea ca mingea să fi fost extrasă din prima urna (conjectura
). Aflați probabilitatea ca mingea să fi fost extrasă din a doua urnă (ipoteză
).

Să aplicăm formulele lui Bayes:

,

.

Exemplul 18. La fabrică, șuruburile sunt produse de trei mașini, care produc 25%, 35% și, respectiv, 40% din toate șuruburile. Defecte ale produselor acestor mașini sunt de 5%, 4%, respectiv 2%. Un șurub a fost selectat dintre produsele tuturor celor trei mașini. S-a dovedit a fi defect (evenimentul A). Găsiți probabilitatea ca șurubul să fi fost eliberat de prima, a doua și a treia mașină.

Lasă
- evenimentul că șurubul a fost eliberat de prima mașină,
- a doua mașină,
- a treia mașină. Aceste evenimente sunt incompatibile între perechi și formează un grup complet. Să folosim formule Bayes

Ca rezultat obținem

,

,

.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

ADAUGARE SI MULTIPLICARE DE PROBABILITATI. TESTE INDEPENDENTE REPETE

Prelegere pentru studenții Facultății de Gospodărire Funciară

cursuri prin corespondență

Gorki, 2012

Adunarea și înmulțirea probabilităților. Repetat

teste independente

1. Adunarea probabilităților

Suma a două evenimente comune OŞi ÎN numit eveniment CU, constând în producerea a cel puţin unuia dintre evenimente O sau ÎN. În mod similar, suma mai multor evenimente comune este un eveniment constând în apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

Suma a două evenimente incompatibile OŞi ÎN numit eveniment CU constând într-o întâmplare sau eveniment O, sau evenimente ÎN. În mod similar, suma mai multor evenimente incompatibile este un eveniment constând din apariția oricăruia dintre aceste evenimente.

Teorema de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile este valabilă: probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente , adică . Această teoremă poate fi extinsă la orice număr finit de evenimente incompatibile.

Din această teoremă rezultă:

suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu;

suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu, adică.
.

Exemplul 1 . Cutia contine 2 bile albe, 3 rosii si 5 albastre. Bilele se amestecă și una este extrasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca mingea să fie colorată?

Soluţie . Să notăm evenimentele:

O=(minge colorată trasă);

B=(minge albă trasă);

C=(minge roșie extrasă);

D=(minge albastră trasă).

Apoi O= C+ D. De la evenimente C, D sunt inconsecvente, atunci vom folosi teorema de adunare a probabilităţilor de evenimente incompatibile: .

Exemplul 2 . Urna contine 4 bile albe si 6 negre. Se extrag la întâmplare 3 bile din urnă. Care este probabilitatea ca toate să fie de aceeași culoare?

Soluţie .

O Să notăm evenimentele:

B=(se desenează bile de aceeași culoare);

C=(se scot bile albe);

=(se scot bile negre). O= B+ C Deoarece ÎNŞi CUși evenimente
. Probabilitatea evenimentului ÎN egal cu
, Unde
4,

. Să înlocuim kŞi nîn formulă și obținem
În mod similar, găsim probabilitatea evenimentului CU:
, Unde
,
, adică
. Apoi
.

Exemplul 3 . Dintr-un pachet de 36 de cărți, 4 cărți sunt extrase la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca printre ei să fie cel puțin trei ași.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

O=(dintre cărțile scoase sunt cel puțin trei ași);

B=(printre cărțile scoase sunt trei ași);

C=(printre cărțile scoase sunt patru ași).

=(se scot bile negre). O= B+ C, și evenimente ÎNŞi CU sunt incompatibile, atunci
. Să găsim probabilitățile evenimentelor ÎNŞi CU:

,
. Prin urmare, probabilitatea ca printre cărțile extrase să fie cel puțin trei ași este egală cu

0.0022.

1. Înmulțirea probabilităților

Munca două evenimente OŞi ÎN numit eveniment CU, constând în producerea în comun a acestor evenimente:
. Această definiție se aplică oricărui număr finit de evenimente.

Cele două evenimente sunt numite independent , dacă probabilitatea ca unul dintre ele să se producă nu depinde de faptul dacă celălalt eveniment a avut loc sau nu. Evenimente , , … , sunt numite colectiv independent , dacă probabilitatea apariției fiecăruia dintre ele nu depinde de dacă alte evenimente au avut loc sau nu.

Exemplul 4 . Doi trăgători trag într-o țintă. Să notăm evenimentele:

O=(primul trăgător a lovit ținta);

B=(al doilea trăgător a lovit ținta).

Evident, probabilitatea ca primul trăgător să lovească ținta nu depinde de dacă al doilea trăgător a lovit sau a ratat și invers. Prin urmare, evenimentele OŞi ÎN independent.

Teorema de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente este valabilă: probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente : .

Această teoremă este valabilă și pentru n evenimente colectiv independente: .

Exemplul 5 . Doi trăgători trag în aceeași țintă. Probabilitatea de a lovi primul trăgător este de 0,9, iar al doilea este de 0,7. Ambii trăgători trag câte o lovitură. Determinați probabilitatea ca țintă să fie două lovituri.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

O

B

C=(ambele trăgători vor lovi ținta).

Deoarece
, și evenimente OŞi ÎN sunt independente, atunci
, adică .

Evenimente OŞi ÎN sunt numite dependente , dacă probabilitatea ca unul dintre ele să se producă depinde dacă un alt eveniment a avut loc sau nu. Probabilitatea apariției unui eveniment O cu condiția ca evenimentul ÎN deja a sosit, se cheamă probabilitate condiționată si este desemnat
sau
.

Exemplul 6 . Urna conține 4 bile albe și 7 negre. Din urnă se scot bile. Să notăm evenimentele:

O=(minge albă trasă) ;

B=(minge neagră trasă).

Înainte de a începe să scoateți bilele din urnă
. O minge a fost luată din urnă și s-a dovedit a fi neagră. Apoi probabilitatea evenimentului O după eveniment ÎN va fi altul, egal . Aceasta înseamnă că probabilitatea unui eveniment O depinde de eveniment ÎN, adică aceste evenimente vor fi dependente.

Teorema de înmulțire a probabilităților evenimentelor dependente este valabilă: probabilitatea apariției a două evenimente dependente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată în ipoteza că primul eveniment a avut deja loc, adică sau .

Exemplul 7 . Urna conține 4 bile albe și 8 bile roșii. Două bile sunt extrase secvenţial din el, la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca ambele bile să fie negre.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

O=(minge neagră trasă prima);

B=(este extrasă a doua bilă neagră).

Evenimente OŞi ÎN dependent deoarece
, A
. Apoi
.

Exemplul 8 . Trei trăgători trag în țintă independent unul de celălalt. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,5, pentru al doilea – 0,6 și pentru al treilea – 0,8. Găsiți probabilitatea ca țintă să fie două lovituri dacă fiecare trăgător trage o singură lovitură.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

O=(vor fi două lovituri pe țintă);

B=(primul trăgător va lovi ținta);

C=(al doilea trăgător va lovi ținta);

D=(al treilea trăgător va lovi ținta);

=(primul trăgător nu va lovi ținta);

=(al doilea trăgător nu va lovi ținta);

=(al treilea trăgător nu va lovi ținta).

Conform exemplului
,
,
,

,
,
. Deoarece , folosind teorema de adunare a probabilităților evenimentelor incompatibile și teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente independente, obținem:

Lasă evenimentele
alcătuiește un grup complet de evenimente ale unui test și evenimentele O poate apărea doar cu unul dintre aceste evenimente. Dacă se cunosc probabilitățile și probabilitățile condiționate ale unui eveniment O, atunci probabilitatea evenimentului A se calculează cu formula:

Sau
. Această formulă se numește formula probabilității totale , și evenimente
ipoteze .

Exemplul 9 . Linia de asamblare primește 700 de piese de la prima mașină și 300 de piese din a doua. Prima mașină produce 0,5% resturi, iar a doua - 0,7%. Găsiți probabilitatea ca piesa luată să fie defectă.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

O=(articolul primit va fi defect);

=(piesa a fost realizată la prima mașină);

=(piesa este realizată pe a doua mașină).

Probabilitatea ca piesa să fie realizată la prima mașină este egală cu
. Pentru a doua mașină
. Conform condiției, probabilitatea de a primi o piesă defectă realizată la prima mașină este egală cu
. Pentru a doua mașină această probabilitate este egală cu
. Apoi probabilitatea ca participantul să fie defect se calculează folosind formula probabilității totale

Dacă se știe că un eveniment a avut loc în urma testului O, apoi probabilitatea ca acest eveniment să se fi produs cu ipoteza
, este egal
, Unde
- probabilitatea totală a unui eveniment O. Această formulă se numește Formula Bayes și vă permite să calculați probabilitățile evenimentelor
după ce s-a cunoscut că evenimentul O a sosit deja.

Exemplul 10 . Același tip de piese auto sunt produse la două fabrici și livrate la magazin. Prima fabrică produce 80% din numărul total de piese, iar a doua - 20%. Produsele primei plante conțin 90% din părți standard, iar a doua - 95%. Cumpărătorul a cumpărat o piesă și s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost fabricată la a doua fabrică.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

O=(piesa standard achizitionata);

=(piesa a fost fabricată la prima fabrică);

=(piesa a fost fabricată la a doua fabrică).

Conform exemplului
,
,
Şi
. Să calculăm probabilitatea totală a evenimentului O: 0,91. Calculăm probabilitatea ca piesa să fi fost fabricată la a doua fabrică folosind formula Bayes:

.

Sarcini pentru munca independenta

Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea – 0,7 și pentru al treilea – 0,9. Trăgătorii au tras câte o lovitură. Găsiți probabilitatea ca ținta să aibă cel puțin două lovituri.

Atelierul a primit 15 tractoare. Se știe că 6 dintre ele au nevoie de înlocuire a motorului, iar restul au nevoie de înlocuire noduri individuale. Trei tractoare sunt selectate la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca înlocuirea motorului să fie necesară pentru cel mult două tractoare selectate.

Fabrica de beton armat produce panouri, dintre care 80% sunt de cea mai buna calitate.

Găsiți probabilitatea ca din trei panouri alese aleatoriu, cel puțin două să fie de cea mai bună nota.

Trei muncitori asamblează rulmenți. Probabilitatea ca rulmentul asamblat de primul muncitor să fie de cea mai bună calitate este de 0,7, de al doilea – 0,8 și de al treilea – 0,6. Pentru control s-a luat la întâmplare câte un rulment din cei asamblați de fiecare muncitor. Găsiți probabilitatea ca cel puțin două dintre ele să fie de cea mai bună calitate.

Probabilitatea de a câștiga primul bilet de loterie este 0,2, al doilea este 0,3 și al treilea este 0,25. Există un bilet pentru fiecare număr. Găsiți probabilitatea ca cel puțin două bilete să câștige.

Contabilul efectuează calcule folosind trei cărți de referință. Probabilitatea ca datele de care este interesat să fie în primul director este de 0,6, în al doilea - 0,7 și în al treilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca datele de care este interesat contabilul să fie conținute în cel mult două directoare.

Același tip de piese sunt prelucrate pe două mașini. Probabilitatea de a produce o piesă nestandard pentru prima mașină este de 0,03, pentru a doua – 0,02. Piesele prelucrate sunt depozitate într-un singur loc.

Dintre aceștia, 67% sunt de la prima mașină, iar restul sunt de la a doua. Partea luată la întâmplare s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca acesta să fi fost realizat pe prima mașină.

Atelierul a primit două cutii de același tip de condensatoare. Prima cutie conținea 20 de condensatoare, dintre care 2 erau defecte. A doua cutie conține 10 condensatoare, dintre care 3 sunt defecte.

Condensatorii au fost plasați într-o cutie. Găsiți probabilitatea ca un condensator luat la întâmplare dintr-o cutie să fie în stare bună. O Trei mașini produc același tip de piese, care sunt furnizate unui transportor comun. Dintre toate piesele, 20% sunt de la prima mașină, 30% de la a doua și 505 de la a treia. ÎN Probabilitatea de a produce o piesă standard pe prima mașină este de 0,8, pe a doua – 0,6 și pe a treia – 0,7. Partea luată s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost făcută pe a treia mașină. O Asamblatorul primește 40% din piese din fabrică pentru asamblare ÎN, iar restul - din fabrică ÎN.

.

Probabilitatea ca piesa să fie din fabrică

– calitate superioara, egala cu 0,8, si din fabrica

– 0,9. Asamblatorul a ales o parte la întâmplare și s-a dovedit a fi de proastă calitate. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fie din fabrică

10 elevi din prima grupă și 8 din a doua au fost alocați să participe la competiții sportive studențești. Probabilitatea ca un elev din prima grupă să fie inclus în echipa academiei este de 0,8, iar din a doua - 0,7. Un student selectat aleatoriu a fost inclus în echipă. Găsiți probabilitatea ca el să fie din primul grup. \(\blacktriangleright\) Dacă pentru a executa evenimentul \(C\) este necesar să executați atât evenimentele comune (care pot apărea simultan) \(A\) cât și \(B\) (\(C=\(A\) ) și \( B\)\) ), atunci probabilitatea evenimentului \(C\) este egală cu produsul probabilităților evenimentelor \(A\) și \(B\) . Rețineți că, dacă evenimentele sunt incompatibile, atunci probabilitatea apariției lor simultane este egală cu \(0\) .
Evenimentul \(C\) poate fi formulat ca \(A=\) (scăderea unui număr par) și \(B=\) (scăderea unui număr divizibil cu trei).
Apoi \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Sarcina 1 #3092

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Magazinul vinde adidași de la două mărci: Dike și Ananas. Probabilitatea ca o pereche de adidași aleasă aleatoriu să fie de la Dike este \(0,6\) . Fiecare companie poate face o greșeală scriind numele pe pantofi sport. Probabilitatea ca Dike să-și scrie greșit numele este \(0,05\) ; probabilitatea ca Ananas să-și scrie greșit numele este \(0,025\) . Găsiți probabilitatea ca o pereche de adidași cumpărată la întâmplare să aibă ortografia corectă a numelui companiei.

Evenimentul A: „o pereche de adidași va fi cu numele corect” este egal cu suma evenimentelor B: „o pereche de adidași va fi de la Dike și cu numele corect” și C: „o pereche de adidași va fi de la Ananas și cu numele corect.”
Probabilitatea evenimentului B este egală cu produsul probabilităților evenimentelor „adidașii vor fi de la Dike” și „numele companiei Dike a fost scris corect”: \ La fel pentru evenimentul C: \ Prin urmare, \

Răspuns: 0,96

Sarcina 2 #166

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Dacă Timur joacă cu dame albe, atunci câștigă împotriva lui Vanya cu probabilitatea de 0,72. Dacă Timur joacă cu dame negre, atunci câștigă împotriva lui Vanya cu probabilitatea de 0,63. Timur și Vanya joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea damelor. Găsiți probabilitatea ca Vanya să câștige de ambele ori.

Vanya câștigă cu alb cu probabilitate \(0,37\) și cu negru cu probabilitate \(0,28\) . Evenimentele „Vanya a câștigat din două jocuri cu alb”\(\ \) și „Vanya a câștigat din două jocuri cu negru”\(\ \) sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor simultane este \

Răspuns: 0,1036

Sarcina 3 #172

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Intrarea în muzeu este păzită de doi paznici. Probabilitatea ca cel mai mare dintre ei să uite walkie-talkie este \(0,2\) , iar probabilitatea ca cel mai tânăr dintre ei să uite walkie-talkie este \(0,1\) . Care este probabilitatea ca ei să nu aibă un singur radio?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. Atunci probabilitatea necesară este egală cu \

Răspuns: 0,02

Sarcina 4 #167

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Sarind de la o înălțime de 1 metru, Kostya își rupe piciorul cu probabilitate \(0,05\) . Sărind de la o înălțime de 1 metru, Vanya își rupe piciorul cu probabilitate \(0,01\) . Sărind de la o înălțime de 1 metru, Anton își rupe piciorul cu probabilitate \(0,01\) . Kostya, Vanya și Anton sar simultan de la o înălțime de 1 metru. Care este probabilitatea ca doar Kostya să-și rupă piciorul? Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată mie.

Evenimente „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Kostya și-a rupt piciorul”\(,\ \) „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Vanya nu și-a rupt piciorul”\(\ \) și „când a sărit de la o înălțime de 1 metru” înălțimea de 1 metru, Anton nu și-a rupt piciorul”\( \ \) sunt independente, prin urmare, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor: \ După rotunjire obținem în sfârșit \(0,049\) .

Răspuns: 0,049

Sarcina 5 #170

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Maxim și Vanya au decis să joace bowling. Maxim a estimat pe bună dreptate că, în medie, primește o lovitură o dată la opt aruncări. Vanya a estimat pe bună dreptate că, în medie, primește o lovitură o dată la cinci aruncări. Maxim și Vanya fac exact câte o aruncare fiecare (indiferent de rezultat). Care este probabilitatea ca printre ei să nu existe greve?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. În acest caz, probabilitatea ca Maxim să nu primească o lovitură este egală cu \ Probabilitatea ca Vanya să nu primească o lovitură este \(1 - 0,2 = 0,8\) . Atunci probabilitatea necesară este egală cu \[\dfrac(7)(8)\cdot 0,8 = 0,7.\]

Răspuns: 0,7

Sarcina 6 #1646

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Anton și Kostya joacă tenis de masă. Probabilitatea ca Kostya să lovească masa cu lovitura de semnătură este \(0,9\) . Probabilitatea ca Anton să câștige mitingul în care Kostya a încercat să dea o lovitură de semnătură este \(0,3\) . Kostya a încercat să lovească masa cu lovitura lui semnătură. Care este probabilitatea ca Kostya să lovească cu adevărat cu lovitura lui semnătură și, în cele din urmă, să câștige acest raliu?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. Mai mult, probabilitatea ca Anton să nu câștige mitingul în care Kostya a încercat să-și dea lovitura de semnătură este egală cu \(1 - 0,3 = 0,7\) . Atunci probabilitatea necesară este \