I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Vezi ce este „CONDITIONAL EXTREME” în ​​alte dicționare:

Extremum relativ, extremul unei funcții f (x1,..., xn + m) din n + m variabile în ipoteza că aceste variabile sunt supuse și la m ecuații de conexiune (condiții): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (vezi Extremum).… … Lăsați setul să fie deschis și funcțiile date. Lăsați-l să fie. Aceste ecuații sunt numite ecuații de constrângere (terminologia este împrumutată de la mecanică). Să fie definită o funcție pe G... Wikipedia

- (din latinescul extremum extreme) valoarea unei funcții continue f (x), care este fie un maxim, fie un minim. Mai precis: o funcție f (x) care este continuă într-un punct x0 are un maxim (minim) la x0 dacă există o vecinătate (x0 + δ, x0 δ) a acestui punct,... ...

Marea Enciclopedie Sovietică Acest termen are alte semnificații, vezi Extremum (sensuri). Extremum (lat. extremum extreme) în matematică este valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată. Punctul în care se atinge extremul... ... Wikipedia

O funcție utilizată în rezolvarea problemelor la extremul condiționat al funcțiilor multor variabile și funcționale. Cu ajutorul lui L. f. se notează condiţiile necesare optimităţii în probleme pe un extremum condiţionat. În acest caz, nu este necesar să exprimați doar variabile... Lăsați setul să fie deschis și funcțiile date. Lăsați-l să fie. Aceste ecuații sunt numite ecuații de constrângere (terminologia este împrumutată de la mecanică). Să fie definită o funcție pe G... Wikipedia

Enciclopedie matematică Acest termen are alte semnificații, vezi Extremum (sensuri). Extremum (lat. extremum extreme) în matematică este valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată. Punctul în care se atinge extremul... ... Wikipedia

O disciplină matematică dedicată găsirii valorilor extreme (mai mari și mai mici) ale funcționalelor variabilelor care depind de alegerea uneia sau mai multor funcții. V. și. este o dezvoltare firească a acestui capitol... ...

O ramură a matematicii dedicată studiului metodelor de găsire a extremelor funcționalelor care depind de alegerea uneia sau mai multor funcții sub diferite tipuri de restricții (fază, diferențială, integrală etc.) impuse acestora... ... Acest termen are alte semnificații, vezi Extremum (sensuri). Extremum (lat. extremum extreme) în matematică este valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată. Punctul în care se atinge extremul... ... Wikipedia

Calculul variațiilor este o ramură a matematicii care studiază variațiile funcționalelor. Cea mai tipică problemă în calculul variațiilor este de a găsi funcția la care funcționalul atinge o valoare extremă. Metode... ...Wikipedia

Cărți

• Prelegeri despre teoria controlului. Volumul 2. Control optim, V. Boss. Sunt luate în considerare problemele clasice ale teoriei controlului optim. Prezentarea începe cu conceptele de bază ale optimizării în spații finite-dimensionale: extremum condiționat și necondiționat,...

Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a două variabile

1. Fie ca funcția să fie diferențiabilă continuu într-o vecinătate a punctului și să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi (pure și mixte).

2. Să notăm cu determinantul de ordinul doi

funcția de curs variabilă extremum

Teorema

Dacă punctul cu coordonate este un punct staționar pentru funcție, atunci:

A) La acesta este un punct de extremum local și, la un maxim local, este un minim local;

C) la punctul nu este un punct extremum local;

C) dacă, poate ambele.

Dovada

Să scriem formula Taylor pentru funcție, limitându-ne la doi termeni:

Deoarece, conform condițiilor teoremei, punctul este staționar, derivatele parțiale de ordinul doi sunt egale cu zero, i.e. Şi. Apoi

Să notăm

Apoi, creșterea funcției va lua forma:

Datorită continuității derivatelor parțiale de ordinul doi (pure și mixte), conform condițiilor teoremei la un punct, putem scrie:

Unde sau; ,

1. Lasa si, i.e. sau.

2. Înmulțiți incrementul funcției și împărțiți cu, obținem:

3. Să adăugăm expresia dintre paranteze la pătratul complet al sumei:

4. Expresia în acolade este nenegativă, deoarece

5. Prin urmare, dacă un mijloc și, atunci și, prin urmare, conform definiției, punctul este un punct de minim local.

6. Dacă un mijloc și, atunci, conform definiției, punctul cu coordonate este un punct de maxim local.

2. Se consideră trinomul pătratic, discriminantul său, .

3. Dacă, atunci există puncte astfel încât polinomul

4. Scriem incrementul total al funcției într-un punct în conformitate cu expresia obținută în I ca:

5. Datorită continuității derivatelor parțiale de ordinul doi, conform condițiilor teoremei la un punct, putem scrie că

Prin urmare, există o vecinătate a unui punct astfel încât, pentru orice punct, trinomul pătratic este mai mare decât zero:

6. Luați în considerare vecinătatea unui punct.

Să alegem orice valoare, deci punct. Presupunând că în formula pentru creșterea funcției

Ce primim:

7. De atunci.

8. Argumentând în mod similar pentru rădăcină, constatăm că în orice -vecinătate a unui punct există un punct pentru care, prin urmare, în vecinătatea punctului nu păstrează semnul, deci nu există extremum la punct.

Extremul condiționat al unei funcții a două variabile

La găsirea extremelor unei funcții a două variabile, apar adesea probleme legate de așa-numitul extremum condiționat. Acest concept poate fi explicat folosind exemplul unei funcții a două variabile.

Fie date o funcție și o dreaptă L pe planul 0xy. Sarcina este de a găsi un punct P (x, y) pe linia L la care valoarea funcției este cea mai mare sau mai mică în comparație cu valorile acestei funcții în punctele de pe dreapta L situate în apropierea punctului P. Astfel de puncte P. sunt numite funcții de puncte extreme condiționale pe linia L. Spre deosebire de punctul extremum obișnuit, valoarea funcției la punctul extremum condiționat este comparată cu valorile funcției nu în toate punctele din vecinătatea ei, ci numai la cele care se află pe linia L.

Este absolut clar că punctul de extremum obișnuit (se mai spune și extremum necondiționat) este și punctul de extremum condiționat pentru orice linie care trece prin acest punct. Reversul, desigur, nu este adevărat: punctul extremum condiționat poate să nu fie punctul extremum obișnuit. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplul nr. 1. Graficul funcției este emisfera superioară (Fig. 2).

Orez. 2.

Această funcție are un maxim la origine; corespunde vârfului M al emisferei. Dacă linia L este o dreaptă care trece prin punctele A și B (ecuația sa), atunci este clar din punct de vedere geometric că pentru punctele acestei drepte cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul situat la mijloc între punctele A și B. . Acesta este punctul de funcții extreme (maximum) condiționate pe această linie; corespunde punctului M 1 de pe emisferă, iar din figură reiese clar că aici nu se poate vorbi de vreun extremum obișnuit.

Rețineți că în partea finală a problemei de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă, trebuie să găsim valorile extreme ale funcției la limita acestei regiuni, adică. pe o anumită linie și, prin urmare, rezolvăm problema extremumului condiționat.

Definiția 1. Ei spun că unde are într-un punct care satisface ecuația un maxim condiționat sau relativ (minim): dacă pentru orice punct care satisface ecuația inegalitatea

Definiția 2. O ecuație de formă se numește ecuație de constrângere.

Teorema

Dacă funcțiile și sunt diferențiabile continuu în vecinătatea unui punct și derivata parțială, iar punctul este un punct extremum condiționat al funcției în raport cu ecuația constrângerii, atunci determinantul de ordinul doi este egal cu zero:

Dovada

1. Deoarece, conform condițiilor teoremei, derivata parțială și valoarea funcției, atunci într-un anumit dreptunghi

funcția implicită definită

O funcție complexă a două variabile într-un punct va avea un extremum local, prin urmare, sau.

2. Într-adevăr, conform proprietății de invarianță a formulei diferențiale de ordinul întâi

3. Ecuația conexiunii poate fi reprezentată în această formă, ceea ce înseamnă

4. Înmulțiți ecuația (2) cu și (3) cu și adăugați-le

Prin urmare, când

arbitrar. etc.

Consecinţă

Căutarea punctelor extreme condiționale ale unei funcții a două variabile în practică se realizează prin rezolvarea unui sistem de ecuații

Deci, în exemplul de mai sus nr. 1 din ecuația de conexiune avem. De aici este ușor să verifici ce atinge un maxim la. Dar apoi din ecuația comunicării. Obținem punctul P, găsit geometric.

Exemplul nr. 2. Aflați punctele extreme condiționate ale funcției în raport cu ecuația de cuplare.

Să găsim derivatele parțiale ale funcției date și ecuația de cuplare:

Să creăm un determinant de ordinul doi:

Să scriem un sistem de ecuații pentru a găsi puncte extreme condiționate:

Aceasta înseamnă că există patru puncte ale extremului condiționat al funcției cu coordonate: .

Exemplul nr. 3. Găsiți punctele extreme ale funcției.

Echivalând derivatele parțiale cu zero: , găsim un punct staționar - originea. Aici,. În consecință, punctul (0, 0) nu este un punct extremum. Ecuația este ecuația unui paraboloid hiperbolic (Fig. 3) din figură se poate observa că punctul (0, 0) nu este un punct extremum.

Orez. 3.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții într-o regiune închisă

1. Fie funcția definită și continuă într-un domeniu închis mărginit D.

2. Fie ca funcția să aibă derivate parțiale finite în această regiune, cu excepția punctelor individuale ale regiunii.

3. În conformitate cu teorema lui Weierstrass, în această regiune există un punct în care funcția ia cele mai mari și cele mai mici valori.

4. Dacă aceste puncte sunt puncte interne ale regiunii D, atunci evident că vor avea un maxim sau un minim.

5. În acest caz, punctele de interes pentru noi se numără printre punctele suspecte de la extremum.

6. Cu toate acestea, funcția poate lua și cea mai mare sau cea mai mică valoare la limita regiunii D.

7. Pentru a găsi cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții în regiunea D, trebuie să găsiți toate punctele interne suspecte pentru un extremum, să calculați valoarea funcției din ele, apoi să comparați cu valoarea funcției la punctele de limită ale regiunii, iar cea mai mare dintre toate valorile găsite va fi cea mai mare în regiunea închisă D.

8. Metoda de găsire a unui maxim sau minim local a fost discutată mai devreme în secțiunea 1.2. și 1.3.

9. Rămâne de luat în considerare metoda de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale funcției la limita regiunii.

10. În cazul unei funcții a două variabile, aria este de obicei limitată de o curbă sau mai multe curbe.

11. De-a lungul unei astfel de curbe (sau mai multor curbe), variabilele și fie depind una de alta, fie ambele depind de un parametru.

12. Astfel, la graniță funcția se dovedește a depinde de o variabilă.

13. Metoda de a găsi cea mai mare valoare a unei funcții a unei variabile a fost discutată mai devreme.

14. Fie granița regiunii D să fie dată de ecuații parametrice:

Atunci pe această curbă funcția a două variabile va fi o funcție complexă a parametrului: . Pentru o astfel de funcție, cele mai mari și cele mai mici valori sunt determinate folosind metoda de determinare a celor mai mari și mai mici valori pentru o funcție a unei variabile.

Extremum condiționat.

Extreme ale unei funcții a mai multor variabile

Metoda celor mai mici pătrate.

Extremul local al FNP

Să fie dată funcția Şi= f(P), РÎDÌR nși fie punctul P 0 ( O 1 , O 2 , ..., a p) –intern punctul setului D.

Definiție 9.4.

1) Punctul P 0 este numit punct maxim funcții Şi= f(P), dacă există o vecinătate a acestui punct U(P 0) М D astfel încât pentru orice punct P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , condiția este îndeplinită f(P)£ f(P 0) . Sens f Este numită funcția (P 0) în punctul maxim maximul funcției si este desemnat f(P0) = max f(P).

2) Punctul P 0 este numit punct minim funcții Şi= f(P), dacă există o vecinătate a acestui punct U(P 0)Ì D astfel încât pentru orice punct P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , condiția este îndeplinită f(P)³ f(P 0) . Sens f(P 0) funcția la punctul minim este numită functie minima si este desemnat f(P 0) = min f(P).

Se numesc punctele minime și maxime ale unei funcții puncte extreme, se numesc valorile funcției la punctele extreme extreme ale funcției.

După cum rezultă din definiție, inegalitățile f(P)£ f(P 0), f(P)³ f(P 0) trebuie satisfăcută numai într-o anumită vecinătate a punctului P 0, și nu în întregul domeniu de definire al funcției, ceea ce înseamnă că funcția poate avea mai multe extreme de același tip (mai multe minime, mai multe maxime) . Prin urmare, extremele definite mai sus sunt numite local extreme (locale).

Teorema 9.1 (condiție necesară pentru extremul FNP)

Dacă funcţia Şi= f(X 1 , X 2 , ..., x n) are un extrem în punctul P 0 , atunci derivatele sale parțiale de ordinul întâi în acest punct sunt fie egale cu zero, fie nu există.

Dovada. Fie în punctul P 0 ( O 1 , O 2 , ..., a p) funcție Şi= f(P) are un extremum, de exemplu, un maxim. Să reparăm argumentele X 2 , ..., x n, punând X 2 =O 2 ,..., x n = a p. Apoi Şi= f(P) = f 1 ((X 1 , O 2 , ..., a p) este o funcție a unei variabile X 1. Întrucât această funcţie are X 1 = O 1 extremum (maxim), apoi f 1 ¢=0sau nu există când X 1 =O 1 (o condiție necesară pentru existența unui extremum al unei funcții a unei variabile). Dar, asta înseamnă sau nu există în punctul P 0 - punctul extremum. În mod similar, putem considera derivate parțiale în raport cu alte variabile. CTD.

Punctele din domeniul unei funcții la care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero sau nu există sunt numite puncte critice această funcție.

După cum rezultă din teorema 9.1, punctele extreme ale FNP ar trebui căutate printre punctele critice ale funcției. Dar, în ceea ce privește o funcție a unei variabile, nu orice punct critic este un punct extremum.

Teorema 9.2 (condiție suficientă pentru extremul FNP)

Fie P 0 punctul critic al funcției Şi= f(P) și este diferenta de ordinul doi a acestei functii. Apoi

a) dacă d 2 u(P 0) > 0 la , atunci P 0 este un punct minim funcții Şi= f(P);

b) dacă d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maxim funcții Şi= f(P);

c) dacă d 2 u(P 0) nu este definit prin semn, atunci P 0 nu este un punct extremum;

Vom considera această teoremă fără dovezi.

Rețineți că teorema nu ia în considerare cazul când d 2 u(P 0) = 0 sau nu există. Aceasta înseamnă că problema prezenței unui extremum în punctul P 0 în astfel de condiții rămâne deschisă - sunt necesare cercetări suplimentare, de exemplu, un studiu al creșterii funcției în acest punct.

În cursurile de matematică mai detaliate se dovedește că, în special pentru funcție z = f(x,y) a două variabile, a căror diferenţială de ordinul doi este o sumă a formei

studiul prezenţei unui extremum în punctul critic P 0 poate fi simplificat.

Să notăm , , . Să compunem un determinant

.

Se dovedește:

d 2 z> 0 în punctul P 0, adică P 0 – punct minim, dacă O(P 0) > 0 și D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если O(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

dacă D(P 0)< 0, то d 2 z in vecinatatea punctului P 0 isi schimba semnul si nu exista extremum in punctul P 0;

dacă D(Р 0) = 0, atunci sunt necesare și studii suplimentare ale funcției în vecinătatea punctului critic Р 0.

Astfel, pentru funcție z = f(x,y) din două variabile avem următorul algoritm (să-l numim „algoritm D”) pentru găsirea unui extremum:

1) Găsiți domeniul definiției D( f) funcții.

2) Găsiți punctele critice, de ex. puncte din D( f), pentru care și sunt egale cu zero sau nu există.

3) La fiecare punct critic P 0, se verifică condițiile suficiente pentru extremum. Pentru a face acest lucru, găsiți , unde , , și se calculează D(P 0) și O(P 0).Atunci:

dacă D(P 0) >0, atunci în punctul P 0 există un extremum, iar dacă O(P 0) > 0 – atunci acesta este minimul, iar dacă O(P 0)< 0 – максимум;

dacă D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Dacă D(P 0) = 0, atunci este nevoie de cercetări suplimentare.

4) La punctele extreme găsite, calculați valoarea funcției.

Exemplul 1.

Găsiți extremul funcției z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Soluţie. Domeniul de definire al acestei funcții este întregul plan de coordonate. Să găsim punctele critice.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile suficiente pentru extremum. Vom găsi

6X, = -3, = 48laŞi = 288xy – 9.

Atunci D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(P 1) = 36-9>0 – în punctul P 1 există un extremum, și deoarece O(P 1) = 3 >0, atunci acest extrem este un minim. Deci min z=z(P 1) = .

Exemplul 2.

Găsiți extremul funcției .

Soluție: D( f) =R2. Puncte critice: ; nu există când la= 0, ceea ce înseamnă că P 0 (0,0) este punctul critic al acestei funcții.

2, = 0, = , = , dar D(P 0) nu este definit, deci studiul semnului său este imposibil.

Din același motiv, este imposibil să aplicați direct Teorema 9.2 - d 2 z nu există în acest moment.

Să luăm în considerare creșterea funcției f(x, y) în punctul P 0. Daca D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, atunci P 0 este punctul minim, dar dacă D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

În cazul nostru avem

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

La D x= 0,1 și D y= -0,008 obținem D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 și D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, adică în vecinătatea punctului P 0 nici condiţia D nu este îndeplinită f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) și, prin urmare, P 0 nu este un punct maxim), nici condiția D f>0 (adică f(x, y) > f(0, 0) și atunci P 0 nu este un punct minim). Aceasta înseamnă, prin definiția unui extremum, această funcție nu are extreme.

Extremum condiționat.

Extremul considerat al funcției se numește necondiţionat, deoarece nu sunt impuse restricții (condiții) argumentelor funcției.

Definiție 9.2. Extremul funcției Şi = f(X 1 , X 2 , ... , x n), constatat cu condiția ca argumentele sale X 1 , X 2 , ... , x n satisface ecuațiile j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, unde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), numit extremul condiționat .

Ecuații j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, sunt numite ecuații de conexiune.

Să ne uităm la funcții z = f(x,y) două variabile. Dacă ecuația conexiunii este una, adică , atunci găsirea unui extremum condiționat înseamnă că extremul nu este căutat în întregul domeniu de definire al funcției, ci pe o curbă situată în D( f) (adică nu se caută punctele cele mai înalte sau cele mai joase ale suprafeței z = f(x,y), și punctele cele mai înalte sau cele mai joase dintre punctele de intersecție ale acestei suprafețe cu cilindrul, Fig. 5).

Extremul condiționat al unei funcții z = f(x,y) din două variabile poate fi găsită în felul următor( metoda de eliminare). Din ecuație, exprimați una dintre variabile în funcție de alta (de exemplu, scrieți ) și, substituind această valoare a variabilei în funcție, scrieți pe aceasta din urmă în funcție de o variabilă (în cazul considerat ). Aflați extremul funcției rezultate a unei variabile.

Exemplu

Găsiți extremul funcției cu condiția ca XŞi la sunt legate prin relaţia: .
Geometric, problema înseamnă următoarele: pe o elipsă
.

avion
Această problemă poate fi rezolvată astfel: din ecuație
X:

găsim
cu condiția ca
.

, redus la problema găsirii extremului unei funcții a unei variabile pe interval Geometric, problema înseamnă următoarele: pe o elipsă
Geometric, problema înseamnă următoarele: pe o elipsă
, obtinut prin incrucisarea cilindrului , trebuie să găsiți valoarea maximă sau minimă a aplicației
Această problemă poate fi rezolvată astfel: din ecuație
(Fig.9). Această problemă poate fi rezolvată astfel: din ecuație X:

. Înlocuind valoarea găsită a lui y în ecuația planului, obținem o funcție a unei variabile
găsim
Astfel, problema găsirii extremului funcției

, redus la problema găsirii extremului unei funcții a unei variabile pe un interval. Aşa, problema găsirii unui extremum condiționat
– aceasta este problema găsirii extremului funcției obiectiv X, cu condiția ca variabilele laŞi
supuse restricției , numit

ecuația conexiunii. Să spunem asta
punct , satisfacerea ecuației de cuplare, este punctul de maxim condiționat local (minimum
), dacă există un cartier
astfel încât pentru orice puncte

, ale cărui coordonate satisfac ecuația conexiunii, inegalitatea este satisfăcută. la Dacă din ecuația de cuplare se poate găsi o expresie pentru , apoi prin substituirea acestei expresii în funcția originală, o transformăm pe aceasta din urmă într-o funcție complexă a unei variabile

X. Metoda generală de rezolvare a problemei extremumului condiționat este Metoda multiplicatorului Lagrange . Să creăm o funcție auxiliară, unde ─ un număr. Această funcție este numită Funcția Lagrange , A ─ Multiplicator de Lagrange. Astfel, sarcina de a găsi un extremum condiționat a fost redusă la găsirea punctelor extreme locale pentru funcția Lagrange. Pentru a găsi posibile puncte extreme, trebuie să rezolvați un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute x, y

Şi.

Atunci ar trebui să utilizați următoarea condiție suficientă pentru un extremum.. TEOREMA
Fie punctul un posibil punct extrem pentru funcția Lagrange. Să presupunem că în vecinătatea punctului există derivate parțiale continue de ordinul doi ale funcțiilor Şi

. Să notăm
Atunci dacă
, Asta
─ punctul extremum condiționat al funcției
cu ecuația de cuplare
Atunci dacă
în acest caz, dacă
Atunci dacă
─ punct maxim condiționat.

§8. Gradient și derivată direcțională

Lasă funcția
definite într-o regiune (deschisă). Luați în considerare orice punct
această zonă și orice linie dreaptă direcționată (axă) , trecând prin acest punct (Fig. 1). Lasă
- un alt punct pe această axă,
– lungimea segmentului dintre
există derivate parțiale continue de ordinul doi ale funcțiilor
, luat cu semnul plus, dacă direcția
coincide cu direcția axei , și cu semnul minus dacă direcțiile lor sunt opuse.

Lasă
se apropie la infinit
. Limită

numit derivata unei functii
in directie (sau de-a lungul axei ) și se notează după cum urmează:

.

Această derivată caracterizează „rata de schimbare” a funcției la punctul
in directie . În special, derivatele parțiale obișnuite ,poate fi gândit și ca derivate „cu privire la direcție”.

Să presupunem acum că funcția
are derivate parțiale continue în regiunea luată în considerare. Lasă axa formează unghiuri cu axele de coordonate
există derivate parțiale continue de ordinul doi ale funcțiilor . În ipotezele făcute, derivata direcțională există și se exprimă prin formula

.

Dacă vectorul
dat de coordonatele sale
, apoi derivata funcției
în direcția vectorului
poate fi calculat folosind formula:

.

Vector cu coordonate
numit vector gradient funcții
la punct
. Vectorul gradient indică direcția celei mai rapide creșteri a funcției la un punct dat.

Exemplu

Având o funcție, punctul A(1, 1) și vector
. Aflați: 1)grad z în punctul A; 2) derivată în punctul A în direcția vectorului .

Derivate parțiale ale unei funcții date într-un punct
:

;
.

Atunci vectorul gradient al funcției în acest punct este:
. Vectorul gradient poate fi scris și folosind descompunerea vectorială există derivate parțiale continue de ordinul doi ale funcțiilor :

. Derivată a unei funcții în direcția vectorului :

Aşa,
,
.◄