Este posibil să placați un avion cu hexagoane egale. A fost descoperit un nou tip de pentagoane care acoperă avionul

un loc sau un spațiu dincolo de un pod.

Pentru studenții mei, le-am propus o modalitate de a rezolva problemele legate de placarea neperiodică a unui plan cu figuri de aceeași formă. Am realizat un studiu realizat de doi oameni de știință de la Universitatea Duke (SUA) și mi-a plăcut versiunea unui mozaic neperiodic care acoperă complet un avion, folosind plăci de aceeași formă.

Primul set de plăci a fost format din 20.426 de piese, care au fost introduse de Robert Berger în 1966. După ceva timp, le-a redus numărul la 104. În anii 70 ai secolului XX, Penrose a prezentat soluția cu mozaicul său și a folosit 2 figuri diferite. Am găsit o soluție interesantă de la Dmitry Safin, care a folosit o singură figură pentru mozaicul său - un hexagon obișnuit. La așezarea unor astfel de plăci, liniile negre nu trebuie întrerupte, iar steagurile de la vârfurile hexagoanelor, care sunt situate la o distanță egală cu lungimea unei laturi a plăcii (marcate cu săgeți în figură), ar trebui să arate în aceeași direcție. Aici au fost folosite două colorări diferite: a doua este obținută prin reflectarea primei în raport cu o linie verticală. Cu toate acestea, puteți face fără a doua opțiune de colorare dacă faceți țigla tridimensională. Plasarea planului cu astfel de plăci (prezentate într-una dintre figurile de mai jos) pentru ușurință de prezentare, acele steaguri de pe hexagoanele care arată în stânga sunt înlocuite aici cu linii violet, iar steagurile de alte tipuri sunt înlocuite cu roșu.

De asemenea, sunt date exemple de plăci care produc plăci neperiodice atunci când se ține cont doar de forma lor: în acest caz, nu este nevoie să se stabilească reguli de legătură asociate cu colorarea. În versiunea 2D, aceste plăci constau din mai multe zone izolate, dar în versiunea 3D, toate părțile lor sunt conectate între ele.

Apoi, m-am uitat la o altă metodă interesantă de tiling de la matematicieni din Australia John Taylor și Joshua Socolar. Au fost capabili să rezolve așa-numita problemă a unei plăci. Unul dintre cele mai simple exemple este placarea hexagonală, când un plan, ca un fagure, este format din hexagoane care se leagă pe laturi. În cazul hexagonal, acesta este, de exemplu, un vector care conectează centrele celulelor învecinate care au șase colțuri. În procesul de noi lucrări, matematicienii au rezolvat problema structurii unei plăci neperiodice folosind doar o singură plăci. Modelul celulei rezultate este hexagonal, dar datorită colorării speciale, placarea se dovedește a fi neperiodică. Pe lângă problema bidimensională, matematicienii oferă un analog tridimensional al propriului rezultat.

Pe lângă aplicațiile sale practice, teoria teselării este o sursă de inspirație pentru artiști. De exemplu, Maurits Escher (un artist din Țările de Jos) a creat picturi întregi folosind teselații neobișnuite. Pictura sa „Opt capete” se bazează pe o teselație dreptunghiulară. Acest artist a realizat desene bazate pe figuri geometrice, unde puteți urmări utilizarea plăcirii figurilor și nu numai cu o singură figură, ci cu multe altele. Elevii au apreciat frumusețea pavajului cu diferite figuri, au adus o selecție uriașă de desene ale artistului și au încercat să finalizeze sarcinile sub formă de desene.

Mai jos sunt diferite desene pe o anumită temă.

Din istorie

Quasicristal - un corp solid caracterizat prin simetrie, în clasic , și prezența lui . Posedă împreună cu o imagine discretă.

Quasicristale au fost observate pentru prima dată în experimente pe Al 6 Mn răcit rapid, efectuate, pentru care a fost premiat. Primul aliaj cvasicristalin pe care l-a descoperit a fost numit „shekhtmanit” ( Shechtmanit). Articolul lui Shekhtman nu a fost acceptat pentru publicare de două ori și a fost publicat în cele din urmă într-o formă prescurtată în colaborare cu celebrii specialiști I. Blech, D. Gratias și J. Kahn, pe care i-a atras. Modelul de difracție rezultat conținea vârfuri () ascuțite tipice, dar în general avea un icosaedru punctual, adică, în special, avea o axă de simetrie de ordinul cinci, ceea ce este imposibil într-o rețea periodică tridimensională. Experimentul de difracție a permis inițial explicarea fenomenului neobișnuit prin difracție pe gemeni cristalini multiple topiți în granule cu simetrie icosaedrică. Cu toate acestea, în curând experimente mai subtile au demonstrat că simetria cvasicristalelor este prezentă la toate scările, până la , iar substanțele neobișnuite sunt într-adevăr o nouă structură a organizării materiei.

Mai târziu s-a dovedit că fizicienii au întâlnit cvasicristale cu mult înainte de descoperirea lor oficială, în special, atunci când au studiat cvasicristale obținute din boabe din aliaje de-a lungul anilor. Cu toate acestea, la acel moment, cvasicristalele icosaedrice au fost identificate în mod eronat ca cristale cubice mari. Predicțiile despre existența structurii în cvasicristale au fost făcute de Maki.

În prezent, sunt cunoscute sute de tipuri de cvasicristale care au simetria punctuală a icosaedrului, precum și zece, opt și dodecagonul.

Modelul atomic al unui cvasicristal Al-Pd-Mn

STRUCTURA

Quasicristale deterministe și stabilizate cu entropie

Există două ipoteze despre de ce cvasicristalele sunt faze (meta-)stabile. Conform unei ipoteze, stabilitatea este cauzată de faptul că energia internă a cvasicristalelor este minimă în comparație cu alte faze, ca urmare, cvasicristalele ar trebui să fie stabile chiar și la temperatura zero absolut; Cu această abordare, are sens să vorbim despre anumite poziții ale atomilor într-o structură cvasicristalină ideală, adică avem de-a face cu un cvasicristal determinist. O altă ipoteză sugerează contribuția determinantă în stabilitate. Cvasicristalele stabilizate prin entropie sunt fundamental instabile la temperaturi scăzute. În prezent, nu există niciun motiv să credem că cvasicristalele reale sunt stabilizate numai datorită entropiei.

Descriere multidimensională

O descriere deterministă a structurii cvasicristalelor necesită specificarea poziției fiecărui atom, iar modelul de structură corespunzător trebuie să reproducă modelul de difracție observat experimental. Modul general acceptat de descriere a unor astfel de structuri folosește faptul că simetria punctuală, interzisă pentru o rețea cristalină din spațiul tridimensional, poate fi permisă într-un spațiu de dimensiune mai mare D. Conform unor astfel de modele de structură, atomii dintr-un cvasicristal sunt situate la intersecția unui subspațiu tridimensional (simetric) R D (numit subspațiu fizic) cu varietăți localizate periodic cu graniță de dimensiunea D-3, transversală subspațiului fizic.

„Construiți reguli”

Descrierea multidimensională nu răspunde la întrebarea cât de local poate stabiliza un cvasicristal. Quasicristalele au o structură paradoxală din punctul de vedere al cristalografiei clasice, prezisă din considerente teoretice (). Teoria mozaicurilor Penrose a făcut posibilă îndepărtarea de ideile obișnuite despre grupurile cristalografice Fedorov (bazate pe umplerile periodice ale spațiului).

METALURGIE

Producția de cvasicristale este complicată de faptul că toate sunt fie metastabile, fie formate dintr-o topitură a cărei compoziție diferă de compoziția fazei solide.().

NATURAL

S-au găsit roci cu cvasicristale naturale Fe-Cu-Alîn 1979. Cu toate acestea, abia în 2009 oamenii de știință au stabilit acest fapt. În 2011, au publicat un articol în care spuneau că acest cvasicristal este de origine extraterestră. În vara lui 2011, în timpul unei expediții în Rusia, mineralogii au găsit noi mostre de cvasicristale naturale.

PROPRIETĂȚI

Inițial, experimentatorii au reușit să intre într-un „decalaj de temperatură” foarte îngust și să obțină materiale cvasicristaline cu proprietăți noi neobișnuite. Cu toate acestea, cvasicristale au fost descoperite mai târziu în Al-Cu-Li și în alte sisteme, care pot fi stabile până la și pot crește la aproape , ca și cristalele obișnuite.

În cvasicristale, în schimb, este anormal de ridicat la temperaturi scăzute și scade odată cu creșterea temperaturii. În cvasicristale stratificate, de-a lungul axei rezistența electrică se comportă ca într-un metal normal, iar în straturi cvasicristaline în modul descris mai sus.

Proprietăți magnetice. Majoritatea sunt cvasicristaline -, dar aliaje cu -.

Cvasicristalele sunt mai aproape de proprietățile elastice ale substanțelor amorfe decât cele cristaline. Ele se caracterizează prin valori mai mici în comparație cu cristalele. Cu toate acestea, cvasicristalele sunt mai mici decât cristalele similare din punct de vedere al compoziției și este probabil să joace un rol în aliajele metalice.

CRISTAL Cvasi

un tip special de împachetare a atomilor într-o substanță solidă, caracterizat prin simetrie icosaedrică (adică cu axe de ordinul al 5-lea), ordine de orientare pe distanță lungă și absența simetriei translaționale inerente în obișnuit.stare cristalină. Quasicristal numit după un pachet de atomi a fost deschis într-un aliaj metalic Al răcit rapid 6 Mn (1984) și apoi descoperit în sisteme Al-Fe, Ni-Ti etc. Regulat au periodicitate tridimensională în aranjarea atomilor, excluzând posibilitatea existenței unor axe de simetrie de ordinul 5. Într-o stare amorfă (sticlă), sunt posibile grupuri locale de atomi cu simetrie icosaedrică, dar pe întregul volum al corpului amorf nu există o ordine pe distanță lungă în aranjarea atomilor, nici translațională, nici orientativă. K. poate fi considerat ca intermediar. tip de ordonare atomică între cu adevărat cristalin și sticlos. Un model bidimensional de K. sunt împachetari (“parchete”) de romburi cu un unghi de vârf de 360°/5 = 72° cu axe de simetrie de ordinul al 5-lea: în acest caz, golurile sunt umplute cu alte romburi cu un unghi de vârf de 360°/10 = 36° (modelul Penrose, Fig. .1); combinatiile acestor romburi dau decagoane egale. Orientarea unghiulară a tuturor elementelor parchetului se repetă pe tot planul, aceasta este ordinea de orientare pe rază lungă, dar nu există o ordine de translație pe rază lungă (deși există o periodicitate aproximativă pe anumite direcții).

Orez. 1 . Bidimensional model cvasicristal ( evidenţiat decagoane).

Orez . 2. Elemente ale structurii unui cvasicristal de cinci tetraedre: fragment de icosaedru (a), 32 - triacontaedrul de vârf(6 ).

Ambalarea atomilor în spațiul tridimensional K. pot fi descrise pe baza poliedrelor care conțin axe de ordinul 5 sau fragmente ale unor astfel de poliedre. În fig. 2, a este prezentată caracteristica lui K. fragmenticosaedru

(12 - vârf - douăzeci de laturi cu simetria punctului 53m), format din 5 tetraedre. Pentru ca cei 6 atomi de vârf și cel central să formeze un pachet strâns, raza atomului central trebuie să fie puțin mai mică decât cea a atomului secundar; de exemplu, în Al 6 Mn raza atomică a lui Mn este 0,130 nm, Al - 0,143 nm. Fragmente din structura atomică a lui K. Pot exista, de asemenea, analogi tridimensionali ai modelelor Penrose - romboedre acute și obtuze cu unghiuri de vârf de 63, 43 ° și 116, 57 °, din care poate fi compus un poliedru - un triacontaedru cu simetria 53m, având 32 de vârfuri (Fig. 2 , 6 ). Ambalarea atomilor în K. poate fi observat tulburări similare cu luxațiile (vezi Defecte ). LA . tipul Al 6 Mn poate fi considera ca faze metastabile. Cu toate acestea, există o structură K. tipul de aliaj Al-Li-Cu-Mn, obținut prin răcirea lentă a topiturii, este aparent echilibrat. În prezent timpul dezvolta fizic teorii cvasicristalină. state .

Este ușor să pavați avionul cu parchet din triunghiuri, pătrate sau hexagoane obișnuite (sub placareÎnțelegem acest aranjament în care vârfurile fiecărei figuri sunt aplicate numai vârfurilor figurilor învecinate și nu există nicio situație când un vârf este aplicat laturii). Exemple de astfel de plăci sunt prezentate în Fig. 1.

Orez. 1. Placare plană: i - triunghiuri echilaterale, ii - pătrate, iii - hexagoane regulate

Nici un alt corect n-nu se va putea acoperi un plan cu unghiuri fara goluri si suprapuneri. Iată cum se explică. După cum se știe, suma unghiurilor interioare ale oricăror n-gon este egal cu ( n– 2) 180°. Pentru că toate unghiurile sunt corecte n-gonurile sunt identice, atunci măsura gradului fiecărui unghi este . Dacă planul poate fi placat cu astfel de figuri, atunci la fiecare vârf converge k poligoane (pentru unii k). Suma unghiurilor la acest vârf trebuie să fie de 360°, deci . După câteva transformări simple, această egalitate se transformă în aceasta: . Dar, așa cum este ușor de verificat, ultima ecuație are doar trei perechi de soluții, dacă presupunem că nŞi k numere naturale: k = 3, n = 6; k = 4, n= 4 sau k = 6, n= 3. Aceste perechi de numere corespund exact celor prezentate în Fig. 1 placare.

Ce alte poligoane pot fi folosite pentru a placa un plan fără goluri sau suprapuneri?

Sarcină

a) Demonstrați că orice triunghi poate fi folosit pentru a placa un plan.

b) Demonstrați că orice patrulater (atât convex, cât și neconvex) poate fi folosit pentru a placa un plan.

c) Dați un exemplu de pentagon care poate fi folosit pentru a placa un avion.

d) Dați un exemplu de hexagon care nu poate fi folosit pentru a placa un avion.

e) Dați un exemplu n-pătrat pentru orice n> 6, care poate fi folosit pentru asfaltarea avionului.

Sugestii

1) La punctele a), c), e) puteți încerca să faceți „fâșii” din figuri identice, care apoi pot fi folosite cu ușurință pentru asfaltarea întregului avion.

Pasul b): Îndoiți două patrulatere identice într-un hexagon ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi. Este destul de ușor să placați un avion cu aceste hexagoane.

Punctul d): folosiți faptul că suma unghiurilor de la fiecare vârf trebuie să fie egală cu 360°.

2) La punctul e) puteți încerca să acționați diferit: modificați ușor figurile existente astfel încât să se obțină noi teselații.

Soluţie

Exemple de răspunsuri sunt prezentate în imagini.

O):

Orez. 2

b):

Orez. 3

c) Un pentagon în formă de casă va face:

Orez. 4

d) Nu va fi posibilă pavarea unui avion cu astfel de hexagoane: pur și simplu nicio parte a unui astfel de hexagon nu se va potrivi complet în colțul „decupat”. Acest lucru este clar vizibil în celule:

Orez. 5

Puteți veni cu multe alte hexagoane care nu pot fi folosite pentru a placa un avion.

e) Iată un exemplu de dodecagon care poate fi folosit pentru a plăci un avion. Această metodă de placare a fost obținută ca o modificare a rețelei pătrate obișnuite (vezi Fig. 1, ii din condiție):

Orez. 6

Problema plăcuirii unui avion cu figuri identice fără goluri sau suprapuneri este cunoscută încă din cele mai vechi timpuri. Unul dintre cazurile sale speciale este întrebarea ce pot fi parchetele (adică placarea unui avion poligoane regulate, și nu neapărat la fel) și, în special, parchet corect. Parchetul corect are următoarea proprietate: cu ajutorul transferurilor paralele (schimbări fără rotații), care transferă parchetul în sine, puteți combina un nod preselectat cu orice alt nod de parchet. În fig. 1 dintre condiții arată doar parchetul potrivit.

Orez. 9.„Giant’s Causeway” (Irlanda de Nord). Fotografie de pe ru.wikipedia.org

O generalizare a problemei noastre - țiglarea spațiului - o ramură modernă importantă a cristalografiei, care joacă un rol important în optica integrată și fizica laserului.

În mod ciudat, până în vremuri relativ recente, se cunoșteau doar teselații periodice (care sunt complet compatibile cu ele însele la o anumită schimbare și repetările sale). Cu toate acestea, în 1974, savantul englez Roger Penrose

Orez. 11. M. C. Escher, „Reptile”, 1946 ( stânga) și „Fluturi”, 1950

Parchetele și mozaicurile se găsesc și în artele plastice. Poate că cele mai cunoscute sunt lucrările olandezului M.K. Escher (M. C. Escher).

A gândi de neconceput și a te convinge că este încă gândibil este un fenomen de geometrie.

A.D.Alexandrov

Clasă: 8-9

Obiective:

• Formarea și dezvoltarea ideilor elevilor despre noi obiecte matematice și concepte matematice.
• Dezvoltarea interesului creativ pentru matematică.
• Extinderea orizontului matematic al elevilor.
• Încurajarea bunăvoinței și a asistenței reciproce atunci când lucrează împreună.

Obiectivele activităților extrașcolare:

• Aplicarea practică a cunoștințelor matematice în studiul noilor obiecte matematice.
• Dezvoltarea gândirii logice și a abilităților de cercetare.
• Introducere în aplicarea noilor cunoștințe dobândite în știința modernă.
• Punerea de întrebări pentru studiul ulterioar al subiectului.

Preparare: lucrează în grupuri, fiecare grup pregătește modele de poligoane regulate, precum și copii ale triunghiurilor și patrulaterelor arbitrare.

Forme de organizare a muncii elevilor: frontal, grup.

Forme de organizare a muncii unui profesor: conducere, organizare, coordonare.

Specificatii: birou multimedia.

Echipamente folosite: computer, proiector, ecran, CD.

Prezentare „Parchete – placarea unui avion cu poligoane.”

Progresul lecției.

Parchetele au atras atenția oamenilor din cele mai vechi timpuri. Au acoperit podele, au acoperit pereții camerelor, au decorat fațadele clădirilor și au fost folosite în artele decorative și aplicate.
Deși studiul parchetului nu este inclus în programa școlară de matematică, interesul pentru această temă a apărut după rezolvarea unei simple probleme școlare: „Demonstrați că din plăci identice în formă de trapez isoscel se poate realiza un parchet care să acopere complet. orice parte a avionului.” Ce alte poligoane pot fi folosite pentru a placa un avion?

Pardoseli corecte cu parchet

Parchet Aceasta se numește placarea unui plan cu poligoane în care întregul plan este acoperit de aceste poligoane și oricare două poligoane fie au o latură comună, fie au un vârf comun, fie nu au puncte comune.

Se numeste parchetul corecta, dacă este compus din poligoane regulate egale.
Exemple de parchet corect erau cunoscute pitagoreenilor. Ele umplu planul cu: pătrate, triunghiuri echilaterale, hexagoane regulate.

Temă pentru studenți: Realizați parchet obișnuit din modelele disponibile de poligoane obișnuite.

Să ne asigurăm că niciun alt poligon obișnuit nu formează parchetul. Și aici avem nevoie de formula pentru suma unghiurilor unui poligon. Daca parchetul este din n-goni, atunci la fiecare vârf al parchetului va exista convergența k = 360°/ o n poligoane, unde o n – unghi corect n-gon. Este ușor să găsești asta o 3 = 60°, o 4 = 90°, o 5 = 108°, o 6 = 120° și 120°<o n < 180° при n > 7. Prin urmare, 360° este împărțit egal la o n numai când n = 3; 4; 6.
Este interesant că dintre triunghiul obișnuit, pătratul și hexagonul regulat, având în vedere perimetrul, hexagonul are cea mai mare suprafață. Această împrejurare duce în natură la faptul că fagurii de albine au forma unor hexagoane obișnuite, deoarece albinele, atunci când construiesc faguri, încearcă instinctiv să le facă cât mai încăpătoare, folosind cât mai puțină ceară.

Pardoseli cu parchet semi-regulat.

Să extindem metodele de construire a parchetelor din poligoane regulate, permițând utilizarea poligoanelor regulate cu un număr diferit de laturi, dar în așa fel încât în ​​jurul fiecărui vârf poligoanele regulate să fie dispuse în aceeași ordine. Se numesc astfel de parchete semi-regulat.

Temă de elev: utilizați modelele disponibile de poligoane obișnuite pentru a crea parchet semi-regulat.

Pentru a afla numărul de parchete semiregulate, este necesar să se analizeze posibilele cazuri de aranjare a poligoanelor regulate în jurul unui vârf comun. Pentru a face acest lucru, să notăm prin o 1 ,o 2 ... sunt unghiurile poligoanelor regulate care au un vârf comun. Să le aranjam în ordine crescătoare o 1 < a 2 < … Având în vedere că suma tuturor acestor unghiuri trebuie să fie egală cu 360°, vom alcătui un tabel care să conțină posibilele seturi de unghiuri și să indicăm parchetele corespunzătoare.
Astfel, sunt in total 11 parchete obisnuite si semiregulate.

Planigons

Să luăm în considerare o altă generalizare - parchetele realizate din copii ale unui poligon arbitrar, corecte „de-a lungul marginilor” (adică, care transformă orice țiglă dată în oricare alta). Poligoanele care pot fi gresie în aceste parchete se numesc planigonuri.
Este clar că un plan poate fi așezat cu copii ale unui triunghi arbitrar, dar este mai puțin evident că un patrulater arbitrar este un planigon. Același lucru este valabil și pentru orice hexagon ale cărui laturi opuse sunt egale și paralele.

Temă de elev: Faceți parchete din copiile disponibile ale triunghiurilor și patrulagurilor arbitrare.

Toate parchetele discutate mai sus sunt periodice, adică în fiecare dintre ele se poate selecta (și chiar în multe feluri) o zonă compusă din mai multe plăci, din care se obține întregul parchet prin deplasări paralele.
Interesul oamenilor de știință pentru astfel de structuri se explică prin faptul că plăcile periodice, în special plăcile spațiale, modelează structuri cristaline.

Intrebare pentru viitor: Există plăci non-periodice?

În loc de o concluzie

Un interes deosebit este crearea propriilor parchete - umplerea planului cu figuri identice (elemente de parchet) folosind, de exemplu, simetria axială și translația paralelă. Principalul lucru este că construcția se bazează pe un poligon, egal ca dimensiune cu elementul de parchet.

Teme pentru acasă. Creați parchetul care vă place folosind orice mijloace: de la hârtie colorată până la tehnologia computerizată.

Lista literaturii folosite:

1. Atanasyan L.S.și alții Geometrie, 7-9 – M.: Educație, 2010.
2. Atanasyan L.S. etc Geometrie: Adaugă. capitole pentru școală manual Clasa a VIII-a: Manual. manual pentru elevii școlii. și cl. cu profunzime studiat matematică. – M.: Educație, 1996.
3. Atanasyan L.S. etc Geometrie: Adaugă. capitole pentru școală manual Clasa a IX-a: Manual. manual pentru elevii școlii. și cl. cu profunzime studiat matematică. – M.: Educație, 1997.
4. Kolmogorov A.N. Parchete din poligoane regulate.//Kvant, 1970, Nr. 3.
5. Smirnov V.A. Calculatorul ajută la geometrie //Matematică: Adj. educațional și metodologic săptămânal. la gaz — La începutul lunii septembrie. – 2003, nr. 21.
6. Sovertkov P.I.şi altele Parchet geometric pe un ecran de calculator.//Informatică şi Educaţie, 2000, Nr. 9.
7. Enciclopedie pentru copii. T.11.Matematică/Redactor șef. M.D.Aksenova. – M.: Avanta+, 2008.

Pentru a explora și a descrie volumul, oamenii folosesc metoda de proiectare a unui corp volumetric pe un plan. Arata cam asa:

Știind cum arată proiecțiile, puteți recunoaște, explora și construi un adevărat obiect tridimensional.

Aceasta este o metodă de cercetare comună în cristalografia clasică. Cercetătorii studiază mai întâi o proiecție sau un plan, „pavându-l” cu elemente calculate la fel de strâns ca parchetul și, în același timp, studiind simetria și alte caracteristici în planul pavat.

Apoi întregul volum tridimensional este umplut cu aceste avioane, la fel cum cărțile umplu o cutie de ambalare cubică. Această metodă se numește metoda de tiling.

Interesul pentru faianță a apărut în legătură cu construcția de mozaicuri, ornamente și alte modele bazate pe poliedre regulate: triunghiuri, pătrate și hexaedre.

Nu a fost niciodată posibil să placați un avion dintr-un pentagon obișnuit sau pentagon. Lasa goluri - fisuri neumplute. Și, prin urmare, în cristalografia clasică, simetria pentagonală este considerată interzisă până în prezent.

Și, în cele din urmă, a fost găsită o astfel de metodă.

În 1976, matematicianul englez Roger Penrose, care lucrează activ în diferite domenii ale matematicii, relativității generale și teoriei cuantice, a oferit o descriere matematică a „mozaicului Penrose” numit după el.

Ea a făcut posibilă, cu ajutorul a doar două plăci de o formă foarte simplă, pavarea unui plan nesfârșit cu un model care nu se repetă niciodată.

Pentru a înțelege esența matematică a „diamantelor Penrose”, să ne întoarcem la pentagramă.

În forma lor cea mai simplă, „plăcile Penrose” sunt un set de două tipuri de forme de diamant, unele cu un unghi intern de 36°, altele cu un unghi intern de 72°. Fiecare constă din două triunghiuri care umplu modelul de pentagramă corespunzător.

Rapoartele elementelor pentagramei reflectă pe deplin proporția de aur Fibonacci. Baza sa este numărul irațional = 1,6180339...

Ideea lui Penrose de a umple dens un avion cu ajutorul romburilor „de aur” a fost transformată în spațiu tridimensional.

În acest caz, rolul „rombilor Penrose” în noile structuri spațiale poate fi jucat de icosaedre și dodecaedre.

A fost o descoperire frumoasă, doar una dintre numeroasele invenții ale minții strălucitoare și tenace a lui Roger Penrose, care este fascinat de paradoxurile spațiale. Înțelegerea sa impecabilă a raportului de aur Fibonacci este prezentă aici, ceea ce a adus cercetările sale mai aproape de artă.

Și aceasta a fost cea care a servit drept bază pentru cercetări ulterioare și pentru descoperirea cvasicristalelor în laboratoarele chimice și pentru o înțelegere nouă, mai creativă a spațiului tridimensional, atât pentru știință, cât și pentru artă.

Unul dintre exemplele izbitoare de explorare creativă care mi-a atras atenția a fost tânăra artistă slovenă Matyushka Teija Krašek.

Ea și-a luat licența în pictură la Colegiul de Arte Vizuale (Ljubljana, Slovenia). Lucrările ei teoretice și practice se concentrează pe simetrie ca un concept de legătură între artă și știință.

Opera ei de artă a fost prezentată la multe expoziții internaționale și publicată în reviste internaționale .

M.T. Krašek la expoziția sa „Parfumuri caleidoscopice”, Ljubljana, 2005

Creativitatea artistică a Mamei Teia Krashek este asociată cu diferite tipuri de simetrie, plăci și romburi Penrose, cvasicristale, raportul de aur ca element principal de simetrie, numerele Fibonacci etc.

Cu ajutorul reflecției, imaginației și intuiției, încearcă să găsească noi relații, noi niveluri de structură, noi și diferite tipuri de ordine în aceste elemente și structuri.

În munca sa, ea folosește pe scară largă grafica pe computer ca un instrument foarte util pentru crearea operelor de artă, care este o legătură între știință, matematică și artă.

Dacă alegem unul dintre numerele Fibonacci (de exemplu, 21 cm) pentru lungimea laterală a diamantului Penrose în această compoziție palpabil instabilă, putem observa cum lungimile unora dintre segmentele din compoziție formează o secvență Fibonacci.

Un număr mare de compoziții artistice ale artistului sunt dedicate quasicristalelor Shekhtman și rețelelor Penrose.

În aceste compoziții uimitoare, pot fi observate manifestări de simetrie circulară în relația dintre romburi Penrose:

Fiecare două diamante Penrose adiacente formează o stea pentagonală. Puteți vedea Decagonul format din marginile a 10 romburi Penrose adiacente, creând un nou poliedru regulat.

Iar în ultima poză există o interacțiune nesfârșită a romburilor Penrose - pentagrame, pentagoane, în scădere spre punctul central al compoziției. Rapoartele de aur sunt reprezentate în multe moduri diferite pe scări diferite.

Compozițiile artistice ale Maicii Teia Krashek au atras o mare atenție din partea reprezentanților științei și artei.

Mozaicul Penrose este un exemplu minunat al modului în care o construcție frumoasă, situată la intersecția diferitelor discipline, își găsește în mod necesar propria aplicație.

Un exemplu de placare pe un plan hiperbolic

Matematicianul francez Michael Rao de la Universitatea din Lyon a finalizat soluția la problema plăcuirii unui plan cu poligoane convexe. O preprint a lucrării poate fi găsită pe pagina omului de știință.

Un poligon se numește convex dacă toate unghiurile sale sunt mai mici de 180 de grade sau, ceea ce este același, împreună cu orice pereche de puncte, un astfel de poligon conține și un segment care le conectează. Problema placajului (numită și problema parchetului) se formulează astfel: să se împartă planul în poligoane astfel încât oricare două poligoane fie să nu aibă puncte comune, fie să aibă doar puncte de limită comune. Dacă toate poligoanele unei astfel de partiții sunt aceleași (adică unul poate fi transpus într-un altul printr-o compoziție de translație, rotație sau simetrie axială), atunci se spune că poligonul țiglă planul. Problema este așa: descrieți toate poligoanele convexe care țig planul.

Folosind unele raționamente combinatorii, se poate demonstra că un astfel de poligon poate avea doar 3, 4, 5 sau 6 laturi. Este ușor de verificat dacă avionul poate fi placat cu orice tri- sau patrulater. Puteți citi mai multe despre acest lucru în materialul nostru.

Pentru a descrie toate hexagoane, să notăm unghiurile lor ca A, B, C, D, E, F și laturile lor ca a, b, c, d, e, f. În acest caz, presupunem că latura a este adiacentă unghiului A din dreapta și toate laturile și unghiurile sunt numite în sensul acelor de ceasornic. În anii 60, s-a dovedit că toate hexagoanele care pot fi folosite pentru a plăci un avion aparțin cel puțin uneia dintre cele trei clase (clasele se intersectează aici; să zicem, un hexagon obișnuit aparține tuturor celor trei):

1. A + B + C = 360
2. A + B + D = 360, a = d, c = e
3. A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Toate cele 15 teselații pentagonale cunoscute

Cel mai dificil caz este cel al parchetului pentagonal. În 1918, matematicianul Karl Reinhardt a descris cinci clase de astfel de parchete, dintre care cea mai simplă a fost clasa pentagoanelor cu condiția ca să existe o latură a cărei sumă a unghiurilor adiacente este egală cu 180 de grade. În 1968, Robert Kershner a găsit încă trei astfel de clase, iar în 1975, Richard James a găsit altul. O revistă a scris despre descoperirea lui James științific american, Articolul a fost văzut de gospodina și matematicianul amator american Marge Rice, care a găsit manual încă 5 familii pe parcursul a 10 ani.

Cel mai recent progres în problema placajului a avut loc în august 2015. Apoi, matematicienii de la Universitatea din Washington din Bothell au folosit un program de calculator pentru a nota 15 parchete pentagonale. În noua sa lucrare, Michael Rao a redus problema clasificării parchetului pentagonal la o căutare de 371 de opțiuni. A trecut prin opțiunile de pe computer și a arătat că nu există decât 15 clase de tiling deja cunoscute. Astfel, a închis în sfârșit problema plăcilor.

Andrei Konyaev

M =\langle \Sigma, Q, \Pi, B \in \Pi, s,\delta: Q \times \Pi \rightarrow Q \times \Pi \times \( \leftarrow, \downarrow, \rightarrow \) \ rangul iar cuvântul w \in \Sigma^* . Este necesar să se determine dacă un anumit MT se va opri la intrarea w.

Pentru a demonstra imposibilitatea de rezolvare a problemei de placare, pentru o mașină Turing dată M și un cuvânt w, construim un set de poliominoe care pot fi folosite pentru a placa un sfert din plan dacă MT nu se oprește la un cuvânt dat. Dacă MT se oprește, atunci este imposibil să placați un sfert din plan cu setul rezultat.

Vom emula procesul de execuție MT la intrarea w \in \Sigma^* prin construirea de rânduri verticale, fiecare dintre ele echivalente cu configurația MT la o anumită etapă de execuție. Primul rând este echivalent cu configurația inițială MT și fiecare rând ulterior corespunde configurației următoare. În termeni simpli, fiecare rând este un „instantaneu” al stării mașinii în etapa corespunzătoare de execuție.

Imaginea de mai sus prezintă două rânduri verticale de poliominoe. Primul rând corespunde MT și cuvântului w. Primul poliomino corespunde perechii de la primul simbol și starea inițială, toate celelalte corespund simbolurilor din w . În al doilea rând, al doilea poliomino corespunde perechii de simbol w și stare q. Adică MT a făcut tranziția \delta (s, w) = \langle q, w, \rightarrow \rangle.

Acum, pe baza MT dat, vom construi un set de poliomino, care va avea următoarea formă:

Pe fiecare parte a unui astfel de poliomino există un anumit număr de proeminențe/văi. Fiecare simbol din alfabet, stare și pereche de stat și simbol este asociat cu un număr unic (puteți limita k \leqslant |\Pi| + |Q| + |\Pi \times Q| + 1) – acesta va fi numărul de proeminențe/văi situate pe o parte a poliominoului.

Mai întâi, să construim un set de poliomino care definește configurația inițială:

unde *i este un număr unic pentru fiecare pereche adiacentă de poliomino din configurația inițială. Primul poliomino caracterizează starea inițială, cei care o urmează codifică cuvântul de intrare, iar poliomino final este necesar pentru a plasa corect restul seriei.

În ea, numărul de depresiuni din stânga este egal cu numărul de proeminențe din dreapta. Acest tip de poliomino trece conținutul benzii MT în rândul următor.

Acum să construim un poliomino pentru funcția de tranziție \delta (q, c) = \langle p, d, D \rangle, Unde q \in Q, p \in Q, c \in \Pi, d \in \Pi, D\in \(\leftarrow, \downarrow, \rightarrow \):

Figura prezintă (de jos în sus) poliominouri corespunzătoare valorilor D = \(\leftarrow, \downarrow, \rightarrow\). Împreună cu următorul tip, emulează mișcarea capului MT.

Aceste poliominouri primesc ca intrare simbolul alfabetic c din rândul anterior și starea p de la poliominoul vecin, apoi trec o pereche de stare și simbol la rândul următor.

Să construim ultimul tip de poliomino care caracterizează stările \#_Y și \#_N :

Un astfel de poliomino are un număr unic de proeminențe în dreapta. Niciun alt poliomino din setul rezultat nu va putea să se alăture acestuia și nu va fi posibilă o nouă tiglare.

Algoritmul de reducere rezultat primește un MT și un cuvânt ca intrare și emite un set de poliominoe corespunzătoare acestora.

Astfel, un sfert de plan poate fi placat dacă și numai dacă MT codificat nu se oprește la o intrare dată. Cu alte cuvinte, există un număr infinit de configurații care nu se transformă într-o stare finală. Acest lucru înseamnă că putem placa planul rând cu rând de un număr infinit de ori, ceea ce în cele din urmă va placa planul.

Dacă MT se oprește, atunci nu vom putea plăci un sfert din plan din cauza faptului că poliominoul finit nu are continuare. Aceasta înseamnă că problema plăcii poliomino nu este rezolvabilă.