Derivat. Clasa de master „Derivatul unei funcții în examenul de stat unificat” material pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat (GIA) la algebră (clasa 11) pe tema Teoria derivatului examenului de stat unificat

Figura prezintă graficul funcției y = f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="În imagine este prezentat graficul funcției y = f(x) ) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Figura prezintă graficul funcției y = f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-1;17). Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele. f(x)

0 pe interval, apoi funcția f(x)" title="Figura arată un grafic al funcției y = f(x). Aflați printre punctele x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 și x 7 sunt punctele în care derivata funcției f(x) este pozitivă Ca răspuns, notează numărul de puncte găsite funcția f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x). Găsiți dintre punctele x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 și x 7 acele puncte în care derivata funcției f(x) este pozitivă. Ca răspuns, notează numărul de puncte găsite. Dacă f (x) > 0 pe un interval, atunci funcția f (x) crește pe acest interval Răspuns: 2 0 pe interval, apoi funcția f(x)"> 0 pe interval, apoi funcția f(x) crește pe acest interval Răspuns: 2"> 0 pe interval, apoi funcția f(x)" title= „On Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x). Găsiți între punctele x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 și x 7 acele puncte în care derivata funcției f(x) este pozitivă. Notați numărul de puncte găsite. Dacă f (x) > 0, atunci funcția f(x)."> title="Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x). Găsiți dintre punctele x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 și x 7 acele puncte în care derivata funcției f(x) este pozitivă. Ca răspuns, notează numărul de puncte găsite. Dacă f (x) > 0 pe un interval, atunci funcția f(x)"> !}

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-9; 2). În ce punct al segmentului -8; -4 funcția f(x) ia nai valoare mai mare? Pe segmentul -8; -4 f(x)

Funcția y = f(x) este definită pe intervalul (-5; 6). Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x). Găsiți dintre punctele x 1, x 2, ..., x 7 acele puncte la care derivata funcției f(x) este egală cu zero. Ca răspuns, notează numărul de puncte găsite. Răspuns: 3 puncte x 1, x 4, x 6 și x 7 sunt puncte extreme. În punctul x 4 nu există f (x)

Literatură 4 Algebră și clasa de analiză de început. Manual pentru instituțiile de învățământ general, nivel de bază / Sh A. Alimov și alții, - M.: Educație, Semenov A. L. Examenul de stat unificat: 3000 de probleme la matematică. – M.: Editura „Examen”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Un ghid vizual al algebrei și începuturile analizei cu exemple pentru clasele 7-11. – M.: Ilexa, Resursa electronica Deschide banca Teme de examen de stat unificat.

Clasă de master în matematică

in clasa a XI-a

pe subiect

„DERIVAT AL FUNCȚIEI

ÎN SARCINIILE DE UTILIZARE"

profesor de matematică

Martynenko E.N.

Anul universitar 2017-2018

Scopul clasei de master: dezvolta abilitățile eleviloraplicarea cunoștințelor teoretice pe tema „Derivată a unei funcții” pentru rezolvarea problemelor examenului de stat unificat.

Sarcini

Educațional:rezuma și sistematiza cunoștințele elevilor pe această temă

„Derivată a unei funcții”, luați în considerare prototipuri Probleme la examenul de stat unificat pe această temă, oferiți studenților posibilitatea de a-și testa cunoștințele prin rezolvarea independentă a problemelor.

Educațional: promovează dezvoltarea memoriei, a atenției, a stimei de sine și a abilităților de autocontrol; formarea competențelor cheie de bază (compararea, juxtapunerea, clasificarea obiectelor, determinarea modalităților adecvate de rezolvare a unei sarcini educaționale pe baza unor algoritmi dați, capacitatea de a acționa independent în situații de incertitudine, monitorizarea și evaluarea activităților cuiva, găsirea și eliminarea cauzelor). a dificultăților).

Educațional: promova:

Formarea unei atitudini responsabile față de învățare la elevi;

dezvoltarea unui interes durabil pentru matematică;

crearea unei motivații interne pozitive pentru a studia matematica.

Tehnologii: învăţare diferenţiată individual, TIC.

Metode de predare: verbal, vizual, practic, problematic.

Forme de lucru: individual, frontal, în perechi.

Echipamente și materiale pentru lecție:proiector, ecran, calculator, simulator(Anexa nr. 1), prezentare pentru lecție(Anexa nr. 2), carduri diferențiate individual pentru munca independentaîn perechi(Anexa nr. 3), lista de site-uri de internet, teme diferențiate individual(Anexa nr. 4).

Explicație pentru clasa de master.

Această clasă de master se desfășoară în clasa a XI-a cu scopul de a pregăti examenul de stat unificat. Vizează aplicarea materialului teoretic pe tema „Derivată a unei funcții” la rezolvarea problemelor de examen.

Durata cursului de master– 20 min.

Structura clasei de master

I. Moment organizatoric -1 min.

II Mesajul temei, obiectivele clasei de master, motivarea activităților educaționale - 1 min.

III. Lucru frontal. Training „Sarcinile Nr. 14 BAZĂ, Nr. 7 PROFIL DE UTILIZARE.” Analiza lucrului cu simulatorul - 7 min.

IV.Individual – lucru diferenţiat în perechi. Soluție independentă probleme nr. 12. (PROFIL) Evaluare inter pares - 9 min. Testare on-line (BASE) Analiza rezultatelor testelor - 8 min

V. Verificarea temelor individuale. -1 min.

VI. Individual - teme diferențiate -1 min.

VII. TESTARE DE CONTROL 20 DE MINUTE (4 OPȚIUNI)

Progresul clasei de master

eu .Moment organizatoric.

II .Mesajul temei, scopurile clasei de master, motivarea activităților educaționale.

(Diapozitivele 1-2, anexa nr. 2)

Tema lecției noastre este „Derivată a unei funcții în Teme de examen de stat unificat" Toată lumea știe zicala „Mic este mic, dar scump”. Una dintre aceste „supape cu bobină” în matematică este derivata. Derivatul este folosit în rezolvarea multor probleme practice din matematică, fizică, chimie, economie și alte discipline. Vă permite să rezolvați problemele simplu, frumos și interesant.

Tema „Derivată” este prezentată în sarcina nr. 14 a nivelului de bază și în sarcini nivel de profil Nr. 7,12, 18 și Examenul Unificat de Stat.

Ați lucrat cu documente care reglementează structura și conținutul materialelor de măsurare de control ale examenului unificat de stat la matematică 2018. Trageți o concluzie despre ce cunoștințe și abilități aveți nevoie pentru a rezolva cu succes problemele examenului unificat de stat pe tema „Derivată”.

(Diapozitivele 3-4, Anexa nr. 2)

Ai studiat „Codificator de elemente de conținut în MATEMATICĂ pentru compilarea materialelor de măsurare de control pentru Examenul Unificat de Stat”,

„Codificatorul cerințelor pentru nivelul de pregătire al absolvenților”, „Specificația materialelor de măsurare de control”, „ Versiune demo materiale de măsurare control ale examenului unificat de stat 2018” și aflat ce cunoștințe și abilități despre o funcție și derivata ei sunt necesare pentru a rezolva cu succes probleme pe tema „Derivată”.

Necesar

• CUNOAȘTE

reguli pentru calcularea instrumentelor derivate;

derivate ale funcțiilor elementare de bază;

geometrice şi sens fizic derivat;
ecuația tangentei la graficul unei funcții;
studiul unei funcții folosind derivata ei.

• SA POATE

efectuați acțiuni cu funcții (descrieți comportamentul și proprietățile unei funcții folosind un grafic, găsiți valorile cele mai mari și cele mai mici ale acesteia).

• UTILIZARE

cunoștințe și abilități dobândite în activitati practiceși viața de zi cu zi.

Ai cunoștințe teoretice pe tema „Derivată”. Astăzi vom faceÎNVĂȚAȚI SĂ APLICĂ CUNOȘTINȚELE DESPRE FUNCȚIA DERIVATĂ PENTRU SOLUȚIONAREA PROBLEMELOR DE UTILIZARE.(Slide 4, anexa nr. 2)

Nu este fără motiv Aristotel a spus asta„MINTEA NU ESTE NUMAI ÎN CUNOAȘTERE, CI ȘI ÎN CAPACITATEA DE A APLICARE CUNOAȘTEREA ÎN PRACTICĂ”(Slide 5, anexa nr. 2)

La sfârșitul lecției ne vom întoarce la scopul lecției noastre și vom afla dacă l-am atins?

III . Lucru frontal.Training „Sarcini Nr. 14 BAZĂ Nr. 7 PROFIL DE UTILIZARE” ( Anexa nr. 1). Analiza lucrului cu simulatorul.

Alegeți răspunsul corect dintre cele patru propuse.

Care este, în opinia dumneavoastră, dificultatea de a îndeplini sarcina nr. 7?

Ce crezi greșeli tipice permite absolvenților să susțină examen atunci când rezolvă această problemă?

Când răspundeți la întrebările din sarcina nr. 14 BAZĂ ȘI PROFILUL nr. 7, ar trebui să puteți descrie comportamentul și proprietățile unei funcții folosind graficul derivatei și comportamentul și proprietățile funcției derivate folosind graficul funcției. . Și pentru aceasta aveți nevoie de bune cunoștințe teoretice pe următoarele subiecte: „Semnificația geometrică și mecanică a derivatei. Tangenta la graficul unei functii. Aplicarea derivatei la studiul funcțiilor.”

Analizați ce sarcini v-au cauzat dificultăți?

Ce probleme teoretice trebuie să știți?

IV. Testare on-line pentru sarcinile nr. 14 (BASE)Analiza rezultatelor testelor.

Site pentru testare la clasă:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Cine nu a greșit?

Cine a avut dificultăți la testare? De ce?

În ce sarcini s-au făcut greșeli?

Concluzi ce probleme teoretice trebuie să știi?

Individual – lucru diferențiat în perechi. Rezolvarea independentă a problemelor nr. 12. (PROFIL)Evaluare inter pares.(Anexa nr. 3)

Amintiți-vă de algoritmul de rezolvare a problemelor nr. 12 din Examenul de stat unificat pentru găsirea punctelor extreme, a extremelor unei funcții, a celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un interval folosind derivata.

Rezolvați probleme folosind derivate

Studenților li se pune o problemă:

„Gândește-te, este posibil să rezolvi unele probleme nr. 12 într-un alt mod, fără a folosi derivata?”

1 pereche

2 perechi

3 perechi

4 perechi

(Elevii își apără soluția notând principalele etape ale rezolvării problemelor pe tablă. Elevii oferă două modalități de rezolvare a problemei nr. 2).

Rezolvarea problemei. Concluzie elevii ar trebui să facă:

„Unele probleme nr. 12 din Examenul de stat unificat privind găsirea celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pot fi rezolvate fără a folosi derivata, bazându-se pe proprietățile funcțiilor.”

Analizați ce greșeală ați făcut în sarcină?

Ce întrebări teoretice trebuie să revizuiți?

V. Verificarea temelor individuale. (Slide-urile 7-8, Anexa nr. 2)

Vegelman V. a primit teme individuale: din manualele de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat nr. 18.

(Elevul oferă o soluție problemei, bazându-se pe metoda funcțional-grafică, ca una dintre metodele de rezolvare a problemelor nr. 18 a Examenului de stat unificat și dă o scurtă explicație a acestei metode).

VII. Teme diferențiate individual

(Slide 9, cererea nr. 2), (Anexa nr. 4).

Am pregătit o listă de site-uri de internet pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat. De asemenea, puteți face teste online pe aceste site-uri. Pentru următoarea lecție trebuie să: 1) repetați materialul teoretic pe tema „Derivată a unei funcții”;

2) pe site-ul „Open Bank of Mathematics Tasks” (http://mathege.ru/ ) găsiți prototipuri ale sarcinilor Nr.14 BAZĂ ȘI Nr.7 și 12 PROFIL și rezolvați cel puțin 10 probleme PROFIL;

3) Vegelman V., rezolva probleme cu parametri (ANEXA 4). sarcinile 1-8 (opțiunea 1).NIVEL DE BAZĂ

VIII. Notele lecției.

Ce nota ti-ai da la lectie?

Crezi că ai fi putut să te descurci mai bine la clasă?

IX. Rezumatul lecției. Reflecţie

Să rezumam munca noastră. Care a fost scopul lecției? Crezi că s-a realizat?

Privește tabla și într-o singură propoziție, alegând începutul unei fraze, continuă propoziția care ți se potrivește cel mai bine.

am simtit...

Am învățat...

Am facut...

am putut...

Voi încerca …

Am fost surprins că …

am vrut...

Poți spune că în timpul lecției cunoștințele tale s-au îmbogățit?

Deci, ați repetat întrebări teoretice despre derivata unei funcții, ați aplicat cunoștințele atunci când rezolvați sarcini prototip USE (Nr. 14 NIVEL DE BAZĂ Nr. 7, 12 NIVEL PROFIL), iar studentul V. Vegelman a finalizat sarcina nr. 18 cu un parametru, care este o sarcină de complexitate de grad avansat.

A fost o plăcere să lucrez cu tine și sper că vei putea aplica cu succes cunoștințele dobândite la lecțiile de matematică nu numai în promovarea examenului de stat unificat, dar și în studiile sale ulterioare.

Aș vrea să închei lecția cu cuvintele filozofului italianToma d'Aquino„Cunoașterea este un lucru atât de prețios încât nu este rușine să o obții din orice sursă.”(Diapozitivul 10, Anexa nr. 2).

Vă doresc succes în pregătirea pentru examenul de stat unificat!

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Pregătirea pentru simulatorul de examen de stat unificat pe tema „DERIVAT” Sarcina nr. 14 nivel de bază, nr. 7, nivel de profil 12

f(x) f / (x) x Figura prezintă un grafic al derivatei funcției y = f (x) dată pe intervalul (- 8; 8). Să explorăm proprietățile graficului și vom putea răspunde la multe întrebări despre proprietățile funcției, deși graficul funcției în sine nu este prezentat! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 Aflați puncte , în care f / (x) =0 (acestea sunt zerourile funcției). + – – + +

SARCINA Nr. 14 Nivel de bază Matematică

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și punctele A, B, C și D de pe axa Ox sunt marcate. Folosind graficul, potriviți fiecare punct cu caracteristicile funcției și derivata acesteia. A B C D 1) valoarea funcției într-un punct este negativă, iar valoarea derivatei funcției în punct este pozitivă 2) valoarea funcției în punct este pozitivă, iar valoarea derivatei funcției în punct este negativă 3) valoarea funcției în punct este negativă, iar valoarea derivatei funcției în punct este negativă 4) valoarea funcției într-un punct este pozitivă, iar valoarea derivata functiei intr-un punct este pozitiva

Nr. 1 Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și sunt marcate punctele A, B, C și D de pe axa Ox. Folosind graficul, potriviți fiecare punct cu caracteristicile funcției și derivata acesteia. 1) valoarea funcției într-un punct este pozitivă, iar valoarea derivatei funcției în punct este negativă 2) valoarea funcției în punct este negativă și valoarea derivatei funcției la punctul este negativ 3) valoarea funcției în punct este pozitivă, iar valoarea derivatei funcției în punct este pozitivă 4) valoarea funcției în punct este negativă, iar valoarea derivatei lui funcția din punct este pozitivă A B C D

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x). Punctele a, b, c, d și e definesc intervale pe axa Ox. Folosind graficul, potriviți fiecare interval cu o caracteristică a funcției sau a derivatei acesteia. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) valorile funcției sunt pozitive în fiecare punct al intervalului 2) valorile ​derivate ale funcției sunt negative în fiecare punct al intervalului 3) valorile derivatelor funcției sunt pozitive în fiecare punct al intervalului 4) valorile funcției sunt negative în fiecare punct al intervalului

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x). Numerele a, b, c, d și e definesc intervale pe axa Ox. Folosind graficul, potriviți fiecare interval cu o caracteristică a funcției sau a derivatei acesteia. A) (a;b) B) (b;c) C) (c;d) D) (d;e) 1) valorile funcției sunt pozitive în fiecare punct al intervalului 2) valorile ​ale funcției sunt negative în fiecare punct al intervalului 3) valorile funcțiilor derivate sunt negative în fiecare punct al intervalului 4) valorile derivatei funcției sunt pozitive în fiecare punct al intervalului

Figura prezintă graficul funcției și tangentele trasate la ea în punctele cu abscisele A, B, C și D. A B C D 1) − 1,5 2) 0,5 3) 2 4) − 0,3

Figura prezintă graficul funcției și tangentele trasate la ea în punctele cu abscisele A, B, C și D. A B C D 1) 23 2) − 12 3) − 113 4) 123

SARCINA Nr. 7 Nivel de profil matematică

Probleme privind sensul geometric al derivatei

1) Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei în punctul x 0. -2 -0,5 2 0,5 Gândește-te! Gândește-te la asta! Corect! Gândește-te la asta! x 0 Sensul geometric derivată: k = tan α Unghiul de înclinare al tangentei la axa Ox este obtuz, ceea ce înseamnă k

5 11 8 2) Funcția continuă y = f(x) este dată pe intervalul (-6; 7). Figura arată graficul acesteia. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y = 6. Verificați y = f(x) y x 3 Gândiți-vă! Gândește-te la asta! Gândește-te la asta! Corect! - 6 7 y = 6 . Punct de rupere. În acest moment derivata NU există! O -4 3 5 1,5

Probleme de determinare a caracteristicilor unei funcții din graficul derivatei sale

3) Figura prezintă un grafic al derivatei funcției y = f / (x) dată pe intervalul (- 6; 8). Examinați funcția y = f (x) pentru o extremă și indicați numărul punctelor sale extreme. 2 1 4 5 Nu este adevărat! Nu este adevărat! Corect! Nu este adevărat! Verificați (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x -5 + min max O

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcţii specificate pe intervalul [-5;5] . Examinați funcția pentru monotonitate și indicați cel mai mare punct maxim. 3 2 4 5 Gândește-te! Gândește-te la asta! Corect! Gândește-te la asta! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 Dintre cele două puncte maxime, cel mai mare x max = 3 max max y

7) Figura prezintă un grafic al derivatei funcției. Aflați lungimea intervalului crescător al acestei funcții. Verificați O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 Gândiți-vă! + Gândește-te! CORECT! Gândește-te! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcţii specificate pe intervalul [-5;5] . Examinați funcția y = f (x) pentru monotonitate și indicați numărul de intervale descrescătoare. 3 2 4 1 Gândește-te! Gândește-te la asta! Corect! Gândește-te la asta! y = f / (x) f(x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + O - - - y

Probleme de determinare a caracteristicilor derivatei din graficul unei funcții.

Figura prezintă graficul funcției diferențiabile y = f (x). Există nouă puncte marcate pe axa absciselor: x 1, x 2, ..., x 9. Găsiți toate punctele marcate la care derivata funcției f(x) este negativă. În răspunsul dvs., indicați numărul acestor puncte.

Figura prezintă un grafic al funcției y = f (x) definită pe intervalul (a; b). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este pozitivă. a) b) Decideți singur! Soluţie. , dacă crește. Soluții întregi pentru: x=-2; x=-1; x=5; x=6. Numărul lor este 4. Soluții întregi pentru: x=2; x=3; x=4; x=10; x=11. Numărul lor este 5. Răspuns: 4. Răspuns: 5.

Probleme privind sensul fizic al derivatului

Răspuns: 3 Răspuns: 14

SARCINA Nr. 12 Nivel de profil Matematică

Lucru independent în perechi Sarcina nr. 12 Nivel de profil

Previzualizare:

Anexa 3 carduri individuale Nr. 12

1. Găsiți punctul maxim al funcției1 Găsiți punctul minim al funcției

2. Găsiți punctul maxim al funcției2Găsiți punctul minim al funcției

Linnik D. Vovnenko I

1.Găsiți cea mai mică valoare funcții1. Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment

pe segment

Vegelman V.

Logvinyuk A.

1. Găsiți punctul maxim al funcției1. Găsiți punctul minim al funcției

2. Găsiți cea mai mică valoare a funcției2. Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment

Pe segment

Leontyeva A. Isaenko K.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Elemente de conținut

Derivată, tangentă, antiderivată, grafice de funcții și derivate.

Derivat Fie definită funcția \(f(x)\) într-o vecinătate a punctului \(x_0\).

Derivată a funcției \(f\) în punctul \(x_0\) numită limită

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

dacă această limită există.

Derivata unei functii intr-un punct caracterizeaza rata de schimbare a acestei functii intr-un punct dat.

Tabelul derivatelor

Reguli de diferențiere\(f\) și \(g\) sunt funcții în funcție de variabila \(x\); \(c\) este un număr.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivată a unei funcții complexe

Sensul geometric al derivatului Ecuația unei linii- nu paralel cu axa \(Oy\) se poate scrie sub forma \(y=kx+b\). Coeficientul \(k\) din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egal cu tangenta unghi de înclinare această linie dreaptă.

Unghi drept- unghiul dintre direcția pozitivă a axei \(Ox\) și această dreaptă, măsurat în direcția unghiurilor pozitive (adică în direcția celei mai mici rotații de la axa \(Ox\) la \ (Oy\) axa).

Derivata funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\) este egală cu panta tangentei la graficul funcției în acest punct: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Dacă \(f"(x_0)=0\), atunci tangenta la graficul funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\) este paralelă cu axa \(Ox\).

Ecuația tangentei

Ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonitatea funcției Dacă derivata unei funcții este pozitivă în toate punctele intervalului, atunci funcția crește pe acest interval.

Dacă derivata unei funcții este negativă în toate punctele intervalului, atunci funcția scade pe acest interval.

Puncte minime, maxime și de inflexiune pozitiv pe negativîn acest punct, atunci \(x_0\) este punctul maxim al funcției \(f\).

Dacă funcția \(f\) este continuă în punctul \(x_0\), iar valoarea derivatei acestei funcții \(f"\) se modifică cu negativ pe pozitivîn acest punct, atunci \(x_0\) este punctul minim al funcției \(f\).

Sunt numite punctele în care derivata \(f"\) este egală cu zero sau nu există puncte critice funcțiile \(f\).

Puncte interne ale domeniului de definire a funcției \(f(x)\), în care \(f"(x)=0\) pot fi puncte minime, maxime sau de inflexiune.

Sensul fizic al derivatului Dacă un punct material se mișcă rectiliniu și coordonatele sale se modifică în funcție de timp conform legii \(x=x(t)\), atunci viteza acestui punct este egală cu derivata coordonatei în raport cu timpul:

Accelerare punct material egal cu derivata vitezei acestui punct în raport cu timpul:

\(a(t)=v"(t).\)

Serghei Nikiforov

Dacă derivata unei funcții este de semn constant pe un interval, iar funcția în sine este continuă pe granițele sale, atunci punctele de limită sunt atașate atât la intervale crescătoare, cât și la intervale descrescătoare, ceea ce corespunde pe deplin definiției funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Buna ziua. Cum (pe ce bază) putem spune că în punctul în care derivata este egală cu zero, funcția crește. Dați motive. Altfel, e doar capriciu al cuiva. După ce teoremă? Și, de asemenea, dovada. Multumesc.

Help Desk

Valoarea derivatei într-un punct nu este direct legată de creșterea funcției pe interval. Luați în considerare, de exemplu, funcțiile - toate cresc pe interval

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Dacă o funcție crește pe intervalul (a;b) și este definită și continuă în punctele a și b, atunci este în creștere pe intervalul . Aceste. punctul x=2 este inclus în acest interval.

Deși, de regulă, creșterea și scăderea sunt considerate nu pe un segment, ci pe un interval.

Dar în punctul x=2, funcția are un minim local. Și cum să explicăm copiilor că atunci când caută puncte de creștere (scădere), nu numărăm punctele de extremum local, ci intrăm în intervale de creștere (scădere).

Avand in vedere ca primul parte a examenului de stat unificat Pentru " grupa mijlocie grădiniţă„, atunci poate că astfel de nuanțe sunt prea multe.

Separat, multe mulțumiri întregului personal pentru „Rezolvarea examenului de stat unificat” - un ghid excelent.

Serghei Nikiforov

O explicație simplă poate fi obținută dacă pornim de la definirea unei funcții crescătoare/descrescătoare. Permiteți-mi să vă reamintesc că sună așa: o funcție se numește crescător/descrescător pe un interval dacă unui argument mai mare al funcției îi corespunde o valoare mai mare/mai mică a funcției. Această definiție nu folosește în niciun fel conceptul de derivată, așa că nu pot apărea întrebări despre punctele în care derivata dispare.

Irina Ismakova 20.11.2017 11:46

Bună ziua. Aici, în comentarii, văd convingeri că trebuie incluse granițele. Să zicem că sunt de acord cu asta. Dar vă rugăm să priviți soluția dvs. la problema 7089. Acolo, atunci când specificați intervale crescătoare, limitele nu sunt incluse. Și asta afectează răspunsul. Aceste. soluțiile la sarcinile 6429 și 7089 se contrazic. Vă rugăm să clarificați această situație.

Alexandru Ivanov

Sarcinile 6429 și 7089 au întrebări complet diferite.

Unul este despre intervale crescătoare, iar celălalt este despre intervale cu derivată pozitivă.

Nu există nicio contradicție.

Extremele sunt incluse în intervalele de creștere și scădere, dar punctele în care derivata este egală cu zero nu sunt incluse în intervalele în care derivata este pozitivă.

A Z 28.01.2019 19:09

Colegii, există un concept de creștere la un moment dat

(vezi Fichtenholtz de exemplu)

iar înțelegerea dvs. a creșterii la x=2 este contrară definiției clasice.

Creșterea și scăderea este un proces și aș dori să ader la acest principiu.

În orice interval care conține punctul x=2, funcția nu crește. Prin urmare, includerea unui punct dat x=2 este un proces special.

De obicei, pentru a evita confuzia, includerea capetelor de intervale este discutată separat.

Alexandru Ivanov

Se spune că o funcție y=f(x) crește pe un anumit interval dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.

În punctul x=2 funcția este diferențiabilă, iar pe intervalul (2; 6) derivata este pozitivă, adică pe intervalul )