Graficul exponentului unei funcții. Funcția de putere, proprietățile și graficele acesteia

Un grafic al funcției este o reprezentare vizuală a comportamentului unei funcții pe un plan de coordonate. Graficele vă ajută să înțelegeți diferite aspecte ale unei funcții care nu pot fi determinate din funcția în sine. Puteți construi grafice cu mai multe funcții și fiecare dintre ele va primi o formulă specifică. Graficul oricărei funcții este construit folosind un algoritm specific (dacă ați uitat procesul exact de reprezentare grafică a unei anumite funcții).

Pași

Reprezentarea grafică a unei funcții liniare

Determinați dacă funcția este liniară. Funcția liniară este dată de o formulă de formă F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) sau y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(de exemplu, ), iar graficul său este o linie dreaptă. Astfel, formula include o variabilă și o constantă (constantă) fără exponenți, semne de rădăcină sau altele asemenea. Dacă este dată o funcție de un tip similar, este destul de simplu să reprezentați graficul unei astfel de funcție. Iată și alte exemple de funcții liniare:

Utilizați o constantă pentru a marca un punct pe axa Y. Constanta (b) este coordonata „y” a punctului în care graficul intersectează axa Y Adică este un punct a cărui coordonată „x” este egală cu 0. Astfel, dacă x = 0 este înlocuit în formulă. , atunci y = b (constant). În exemplul nostru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) constanta este egală cu 5, adică punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5). Trasează acest punct pe planul de coordonate.

Aflați panta dreptei. Este egal cu multiplicatorul variabilei. În exemplul nostru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) cu variabila „x” există un factor de 2; astfel, coeficientul de panta este egal cu 2. Coeficientul de panta determina unghiul de inclinare al dreptei fata de axa X, adica cu cat coeficientul de panta este mai mare, cu atat functia creste sau scade mai repede.

Scrieți panta ca o fracție. Coeficientul unghiular este egal cu tangenta unghiului de înclinare, adică raportul dintre distanța verticală (între două puncte pe o linie dreaptă) și distanța orizontală (între aceleași puncte). În exemplul nostru, panta este 2, deci putem afirma că distanța verticală este 2 și distanța orizontală este 1. Scrieți aceasta ca o fracție: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Dacă panta este negativă, funcția este descrescătoare.

1. Din punctul în care linia dreaptă intersectează axa Y, trasați un al doilea punct folosind distanțe verticale și orizontale.

   O funcție liniară poate fi reprezentată grafic folosind două puncte. În exemplul nostru, punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5); Din acest punct, mutați 2 spații în sus și apoi 1 spațiu spre dreapta. Marcați un punct; va avea coordonatele (1,7). Acum puteți trage o linie dreaptă. Folosind o riglă, trageți o linie dreaptă prin două puncte.

   Pentru a evita greșelile, găsiți al treilea punct, dar în cele mai multe cazuri graficul poate fi reprezentat folosind două puncte. Astfel, ați trasat o funcție liniară.

   1. Trasarea punctelor pe planul de coordonate Definiți o funcție.

      Funcția se notează ca f(x). Toate valorile posibile ale variabilei „y” sunt numite domeniul funcției, iar toate valorile posibile ale variabilei „x” sunt numite domeniul funcției. De exemplu, luăm în considerare funcția y = x+2, și anume f(x) = x+2. Desenați două drepte perpendiculare care se intersectează.

      Linia orizontală este axa X. Linia verticală este axa Y. Etichetați axele de coordonate.

      Împărțiți fiecare axă în segmente egale și numerotați-le. Punctul de intersecție al axelor este 0. Pentru axa X: numerele pozitive sunt trasate la dreapta (de la 0), iar numerele negative la stânga. Pentru axa Y: numerele pozitive sunt trasate în partea de sus (de la 0), iar numerele negative în partea de jos. Găsiți valorile lui „y” din valorile lui „x”.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. În exemplul nostru, f(x) = x+2. Înlocuiți valorile x specifice în această formulă pentru a calcula valorile y corespunzătoare. Dacă i se oferă o funcție complexă, simplificați-o prin izolarea „y” de pe o parte a ecuației. Trasează punctele pe planul de coordonate.

      Pentru fiecare pereche de coordonate, procedați în felul următor: găsiți valoarea corespunzătoare pe axa X și trasați o linie verticală (punctată); găsiți valoarea corespunzătoare pe axa Y și trasați o linie orizontală (linie întreruptă). Marcați punctul de intersecție al celor două linii punctate; astfel, ați trasat un punct pe grafic.Ștergeți liniile punctate.

   Faceți acest lucru după ce ați trasat toate punctele de pe grafic pe planul de coordonate. Notă: graficul funcției f(x) = x este o dreaptă care trece prin centrul de coordonate [punct cu coordonatele (0,0)]; graficul f(x) = x + 2 este o dreaptă paralelă cu dreapta f(x) = x, dar deplasată în sus cu două unități și, prin urmare, trece prin punctul cu coordonatele (0,2) (deoarece constanta este 2) .

   Reprezentarea grafică a unei funcții complexe Zerurile unei funcții sunt valorile variabilei x unde y = 0, adică acestea sunt punctele în care graficul intersectează axa X. Rețineți că nu toate funcțiile au zero, dar sunt primele pas în procesul de reprezentare grafică a oricărei funcții. Pentru a găsi zerourile unei funcții, echivalează-o cu zero. De exemplu:

   Găsiți și marcați asimptotele orizontale. O asimptotă este o linie de care graficul unei funcții se apropie, dar nu se intersectează niciodată (adică în această regiune funcția nu este definită, de exemplu, la împărțirea la 0). Marcați asimptota cu o linie punctată. Dacă variabila „x” se află la numitorul unei fracții (de exemplu, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), setați numitorul la zero și găsiți „x”. În valorile obținute ale variabilei „x” funcția nu este definită (în exemplul nostru, trageți linii punctate prin x = 2 și x = -2), deoarece nu puteți împărți la 0. Dar asimptotele există nu numai în cazurile în care funcția conține o expresie fracțională. Prin urmare, se recomandă utilizarea bunului simț:

Funcția de construire

Oferim atentiei dumneavoastra un serviciu de realizare a graficelor de functii online, toate drepturile asupra carora apartin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Construcția graficelor specificate implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scalei, culoarea liniei
• Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
• Trasarea mai multor grafice de funcții simultan
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiți grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru reprezentarea graficelor pentru a le muta în continuare într-un document Word ca ilustrații atunci când rezolvați probleme și pentru analiza caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame pe această pagină de site este Google Chrome. Funcționarea corectă nu este garantată atunci când utilizați alte browsere.

Mai întâi, încercați să găsiți domeniul funcției:

Te-ai descurcat? Să comparăm răspunsurile:

Este totul în regulă? Bine făcut!

Acum să încercăm să găsim intervalul de valori al funcției:

L-ai găsit? Să comparăm:

Am înţeles? Bine făcut!

Să lucrăm din nou cu grafice, doar că acum va fi puțin mai complicat - găsiți atât domeniul de definire al funcției, cât și domeniul de valori al funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce s-a întâmplat:

Cred că ți-ai dat seama de grafice. Acum să încercăm să găsim domeniul de definire al unei funcții în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Te-ai descurcat? Să verificăm răspunsuri:

1. , deoarece expresia radicală trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece nu puteți împărți la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. , deoarece nu puteți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un punct fără răspuns...

Voi repeta definiția încă o dată și o voi sublinia:

ai observat? Cuvântul „singur” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic cu degetele mele.

Să presupunem că avem o funcție definită de o linie dreaptă. . La, substituim această valoare în „regula” noastră și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem face chiar și o masă sensuri diferiteși construiți un grafic al acestei funcții pentru a verifica acest lucru.

"Uite! - spui, „“ apare de două ori!” Deci poate o parabolă nu este o funcție? Nu, este!

Faptul că „ ” apare de două ori nu este un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Faptul este că, la calculul pentru, am primit un joc. Și când calculăm cu, am primit un igrek. Deci, așa este, o parabolă este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înţeles? Dacă nu, iată un exemplu de viață care este foarte departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit în timp ce depuneau documente, fiecare dintre aceștia într-o conversație a spus unde locuiește:

De acord, este foarte posibil ca mai mulți bărbați să locuiască într-un oraș, dar este imposibil ca o persoană să trăiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este ca o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe X-uri diferite corespund aceluiași joc.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași băieți ne-au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate depune cu ușurință documente pentru una sau mai multe direcții. Adică un element seturile sunt puse în corespondență mai multe elemente mulţimi. Respectiv, aceasta nu este o funcție.

Să-ți testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înţeles? Și iată-l răspunsuri:

• Funcția este - B, E.
• Funcția nu este - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

In toate pozele cu exceptia ÎN)Şi E) Sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, să spuneți ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, să determinați intervalul de valori permise ale unui argument și domeniul de definire a unei funcții . Să trecem la următoarea secțiune - cum să setăm o funcție?

Metode pentru specificarea unei funcții

Ce crezi că înseamnă cuvintele? "setare functie"? Așa e, asta înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Și explică-l în așa fel încât toată lumea să te înțeleagă corect și graficele de funcții desenate de oameni pe baza explicației tale să fie aceleași.

Cum se poate face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cea mai simplă metodă, care a fost deja folosită de mai multe ori în acest articol, este folosind formula. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă prin care devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute specificate de formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” deflectoare. Să ne dăm seama în ordine și să începem cu metoda analitică.

Metodă analitică de specificare a unei funcții

Metoda analitică este de a specifica o funcție folosind o formulă. Aceasta este metoda cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre o funcție - puteți face un tabel de valori din ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, studiați-o în întregime.

Să luăm în considerare funcția. Care este diferența?

"Ce înseamnă?" - întrebi tu. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia dintre paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru va arăta astfel:

Să luăm în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții, pe care o vei avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei la.

Sunt sigur că la început te-ai speriat când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în asta!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia dintre paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce trebuie făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în schimb -:

scurtați expresia rezultată:

Asta este!

Munca independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , Dacă
2. , Dacă

Te-ai descurcat? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția exact în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția într-o formă implicită, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Te-ai descurcat?

Așa am construit-o.

Ce ecuație am derivat în cele din urmă?

Corect! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Exact despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa e, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu ajutorul unui desen. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Metodă tabelară de specificare a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este un semn simplu. Da, da. Ca cea pe care tu și eu am făcut-o deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina de a „gândi foarte atent”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Aşa. Desenăm funcția specificată de tapet în următoarele moduri:

Vedeți diferența? Nu totul e vorba de punctele marcate! Aruncă o privire mai atentă:

L-ai văzut acum? Când definim o funcție în mod tabelar, afișăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Aceasta este particularitatea. Ține minte!

Metodă grafică de construire a unei funcții

Metoda grafică de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabilă. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Vă amintiți? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact cele trei moduri de a specifica o funcție despre care am discutat - analitică (folosind o formulă), tabelară și grafică, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Cum este asta? Da, foarte simplu!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii o funcție verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta este. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „există așa funcții complexe, care sunt pur și simplu imposibil de cerut verbal!” Da, există astfel, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de definit cu o formulă. De exemplu: „fiecare valoare naturală a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în notația numărului este luată ca minuend”. Acum să ne uităm la modul nostru descriere verbală funcțiile sunt implementate în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat este, respectiv, minuend, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la partea cea mai interesantă - să ne uităm la principalele tipuri de funcții cu care ai lucrat/lucrezi și vei lucra în cursul matematicii școlii și facultății, adică să le cunoaștem, ca să spunem așa , și dă-le scurtă descriere. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcția liniară

O funcție de forma unde, sunt numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, așa că construirea unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatele a două puncte.

Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de coeficientul unghiular.

Domeniul de aplicare al unei funcții (denumit și domeniul valorilor argumentelor valide) este .

Gama de valori - .

Funcția pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când ramurile sunt îndreptate în sus.

Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează folosind formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniul definiției

Gama de valori depinde de extremul funcției date (punctul vârf al parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește coeficient de proporționalitate inversă. În funcție de valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniul de aplicare - .

Gama de valori - .

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecare element al unei mulțimi este asociat cu un singur element al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - valoare variabilă, sau argument;
• - cantitate dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după orice formulă specifică care reflectă dependența unei cantități de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul unei funcții, este ceea ce este asociat cu posibilitățile în care funcția are sens.

3. Gama de funcții- acestea sunt valorile necesare, având în vedere valori acceptabile.

4. Există 4 moduri de a seta o funcție:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.

Una dintre cele mai cunoscute funcții exponențialeîn matematică este un exponent. Reprezintă numărul Euler ridicat la puterea specificată. În Excel există un operator separat care vă permite să îl calculați. Să vedem cum poate fi folosit în practică.

Exponentul este numărul Euler ridicat la o putere dată. Numărul Euler în sine este de aproximativ 2,718281828. Uneori este numit și numărul Napier. Funcția exponent arată astfel:

unde e este numărul Euler și n este gradul de ridicare.

Pentru a calcula acest indicator în Excel, se folosește un operator separat - EXP. În plus, această funcție poate fi afișată sub formă de grafic. Vom vorbi în continuare despre lucrul cu aceste instrumente.

Metoda 1: Calculați exponentul introducând manual funcția

EXP(număr)

Adică această formulă conține un singur argument. Este tocmai puterea la care trebuie ridicat numărul Euler. Acest argument ar putea fi de formă valoare numerică, și ia forma unei referințe la o celulă care conține un exponent.

Metoda 2: Utilizarea Expertului Funcție

Deși sintaxa pentru calcularea exponentului este extrem de simplă, unii utilizatori preferă să o folosească Expertul de funcții. Să vedem cum se face acest lucru cu un exemplu.

Dacă o referință de celulă care conține un exponent este folosită ca argument, atunci trebuie să plasați cursorul în câmp "Număr"și pur și simplu selectați acea celulă de pe foaie. Coordonatele sale vor fi afișate imediat în câmp. După aceasta, pentru a calcula rezultatul, faceți clic pe butonul "BINE".

Metoda 3: complot

În plus, în Excel este posibil să construiți un grafic folosind ca bază rezultatele obținute din calcularea exponentului. Pentru a construi un grafic, foaia trebuie să aibă deja valori calculate ale exponentului diferitelor puteri. Ele pot fi calculate folosind una dintre metodele descrise mai sus.

1. Funcția liniară fracțională și graficul acesteia

O funcție de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.

Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. De asemenea funcții raționale sunt funcții care pot fi reprezentate ca câtul a două polinoame.

Dacă o funcție rațională fracțională este câtul a două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. functia formei

y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.

Rețineți că în funcția y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (în caz contrar, funcția devine liniară y = ax/d + b/d) și că a/c ≠ b/d (în caz contrar, funcția este constantă). Funcția fracțională liniară este definită pentru toate numerele reale, cu excepția x = -d/c. Graficele funcțiilor liniare fracționale nu diferă ca formă de graficul y = 1/x pe care îl cunoașteți. Se numește o curbă care este un grafic al funcției y = 1/x hiperbolă. Cu o creștere nelimitată a lui x în valoare absolută, funcția y = 1/x scade nelimitat în valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de abscisă: cea dreaptă se apropie de sus, iar cea stângă de jos. Liniile de care se apropie ramurile unei hiperbole se numesc ei asimptote.

Exemplul 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Soluţie.

Să selectăm întreaga parte: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: deplasare cu 3 segmente unitare la dreapta, întinzându-se de-a lungul axei Oy de 7 ori și deplasând cu 2 segmente de unitate în sus.

Orice fracție y = (ax + b) / (cx + d) poate fi scrisă într-un mod similar, evidențiind „partea întreagă”. În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare fracționale sunt hiperbole, deplasate în diferite moduri de-a lungul axelor de coordonate și întinse de-a lungul axei Oy.

Pentru a construi un grafic al oricărei funcție liniară fracțională arbitrară, nu este deloc necesar să se transforme fracția care definește această funcție. Deoarece știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficient să găsim liniile drepte de care se apropie ramurile sale - asimptotele hiperbolei x = -d/c și y = a/c.

Exemplul 2.

Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5)/(2x + 2).

Soluţie.

Funcția nu este definită, la x = -1. Aceasta înseamnă că linia dreaptă x = -1 servește asimptotă verticală. Pentru a găsi asimptota orizontală, să aflăm ce se apropie de valorile funcției y(x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.

Pentru a face acest lucru, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ca x → ∞ fracția va tinde spre 3/2. Aceasta înseamnă că asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.

Exemplul 3.

Reprezentați grafic funcția y = (2x + 1)/(x + 1).

Soluţie.

Să selectăm „întreaga parte” a fracției:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: o deplasare cu 1 unitate la stânga, o afișare simetrică față de Ox și o deplasare cu 2 segmente de unitate în sus de-a lungul axei Oy.

Domeniul D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Interval de valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește la fiecare interval al domeniului de definiție.

Răspuns: Figura 1.

2. Funcția rațională fracțională

Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.

Exemple de astfel de funcții raționale:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) sau y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Dacă funcția y = P(x) / Q(x) reprezintă câtul a două polinoame de grad mai mare decât primul, atunci graficul său va fi, de regulă, mai complex și uneori poate fi dificil să îl construiți cu acuratețe , cu toate detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să folosiți tehnici similare cu cele pe care le-am introdus deja mai sus.

Fie fracția o fracție proprie (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

În mod evident, graficul unei funcții raționale fracționale poate fi obținut ca sumă de grafice ale fracțiilor elementare.

Trasarea graficelor de funcții raționale fracționale

Să luăm în considerare mai multe moduri de a construi grafice ale unei funcții raționale fracționale.

Exemplul 4.

Desenați un grafic al funcției y = 1/x 2 .

Soluţie.

Folosim graficul funcției y = x 2 pentru a construi un grafic al lui y = 1/x 2 și folosim tehnica „împărțirii” graficelor.

Domeniul D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Interval de valori E(y) = (0; +∞).

Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este uniformă. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la +∞.

Răspuns: Figura 2.

Exemplul 5.

Reprezentați grafic funcția y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Soluţie.

Domeniul D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Aici am folosit tehnica factorizării, reducerii și reducerii la o funcție liniară.

Răspuns: Figura 3.

Exemplul 6.

Reprezentați grafic funcția y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Soluţie.

Domeniul de definiție este D(y) = R. Deoarece funcția este pară, graficul este simetric față de ordonată. Înainte de a construi un grafic, să transformăm din nou expresia, evidențiind întreaga parte:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Rețineți că izolarea părții întregi în formula unei funcții raționale fracționale este una dintre cele mai importante atunci când construiți grafice.

Dacă x → ​​±∞, atunci y → 1, adică. linia dreaptă y = 1 este o asimptotă orizontală.

Răspuns: Figura 4.

Exemplul 7.

Să luăm în considerare funcția y = x/(x 2 + 1) și să încercăm să găsim cu exactitate cea mai mare valoare a acesteia, adică. cel mai înalt punct din jumătatea dreaptă a graficului. Pentru a construi cu acuratețe acest grafic, cunoștințele de astăzi nu sunt suficiente. Evident, curba noastră nu se poate „crește” foarte sus, pentru că numitorul începe rapid să „depășească” numărătorul. Să vedem dacă valoarea funcției poate fi egală cu 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvăm ecuația x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Această ecuație nu are rădăcini reale. Aceasta înseamnă că presupunerea noastră este incorectă. Pentru a găsi cele mai multe mare valoare funcție, trebuie să aflați la ce mai mare A va avea o soluție ecuația A = x/(x 2 + 1). Să înlocuim ecuația inițială cu una pătratică: Ax 2 – x + A = 0. Această ecuație are soluție când 1 – 4A 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare A = 1/2.

Răspuns: Figura 5, max y(x) = ½.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să grafici funcții?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.