Quartile- una dintre statisticile folosite pentru a descrie mostre (pentru mai multe informații despre diverse statistici, vezi). În timp ce mediana împarte matricea ordonată în jumătate, quartilele împart setul de date în patru părți. Prima cuartilă este un număr care împarte eșantionul în două părți: 25% dintre elemente sunt mai mici decât și 75% sunt mai mari decât valoarea primului cuartil. A treia cuartilă este un număr care împarte eșantionul în două părți: 75% dintre elemente sunt mai mici decât, iar 25% sunt mai mari decât, a treia cuartilă.

Orez. 1. Rezumate din 5 numere: M – mediană, H1 și H2 – pliuri (aka quartiles)

Descărcați nota în sau format, exemple în format (fișierul conține cod VBA).

Pentru a calcula quartilele în Excel 2007 și versiunile anterioare, a fost utilizată funcția QUARTILE. Începând cu Excel 2010, sunt utilizate două funcții: QUARTILE.ON și QUARTILE.EXC (funcția QUARTILE este păstrată pentru compatibilitate cu versiunile anterioare de Excel; această funcție returnează aceleași valori ca QUARTILE.ON). Aceste două funcții returnează valori diferite, dar nu am găsit nicăieri ce algoritm folosesc în calculele lor. Vă rugăm să rețineți că pentru ca funcțiile să funcționeze corect, datele nu trebuie să fie comandate.

Un studiu al literaturii de specialitate a arătat că, spre deosebire de majoritatea celorlalte statistici, nu există un consens cu privire la metodologia de calcul al quartilelor)) Am găsit mențiunea a nouă abordări diferite...

Să începem cu metoda John Tukey, descris de el în lucrarea sa acum clasică, publicată în 1977. Începe prin a introduce trei rezumate care caracterizează eșantionul: valori minime, maxime și mediană. El continuă: „Dacă dorim să mai adăugăm două numere pentru a forma un rezumat de 5 numere, atunci este firesc să le determinăm numărând până la jumătate din distanța de la fiecare capăt la mediană. Procesul de găsire a mediei și apoi aceste noi valori poate fi gândit ca plierea unei foi de hârtie. Prin urmare, este firesc să numim aceste noi valori pliuri"(Engleză – balama; Fig. 1). Le numim quartile.

Astfel de desene arată foarte bine dacă numărul de elemente eșantion este N = 4k + 1, de exemplu, 9, 13, 17... Dar dacă există 12 sau 19 elemente în eșantion? Jon Peltier a prezentat o imagine clară într-o serie de postări de pe blogul său. Să aranjam elementele unui eșantion aleator și să le plasăm deasupra riglei (Fig. 2; o probă aleatoare ale cărei elemente sunt ordonate se numește serie de variații). Numerele gri de sub riglă sunt indexul seriei (din anumite motive, John a luat o serie de numere întregi ca eșantion deasupra riglei; probabil pentru a ne încurca). Numărul roșu de deasupra rândului este valoarea rezumată; dacă este fracționară, atunci valoarea rezultată este o interpolare între valori învecinate. Definim mediana ca fiind valoarea mijlocie a setului de date, iar prima cuartilă ca mediana jumătății inferioare a datelor.

Orez. 2. Quartile inclusive

Când John Tukey a propus pentru prima dată această abordare, el a decis că mediana (dacă numărul de elemente din eșantion este impar) ar trebui inclusă atât în ​​partea de jos (stânga în figură) cât și în jumătatea superioară a datelor atunci când se determină medianele acestora. jumătăți, adică pliurile. Prin urmare, această abordare se numește incluzivă (cu incluziune).

Abordare exclusivă. Unii statisticieni nu le place faptul că mediana este numărată de două ori. Ei au decis că pliurile ar trebui definite ca mediana jumătăților superioare și inferioare ale setului de date, din care valoarea mediană a fost exclusă (Figura 3). Acest punct de vedere a fost susținut de Moore și McCabe, sau pe scurt M&M. Dacă un set de date conține un număr par de valori, quartilele inclusive și exclusive sunt egale deoarece nu există niciun element eșantion (corespunzător medianei centrale) de inclus sau exclus din considerare. Pentru un număr impar de elemente, pliurile inclusive sunt întotdeauna mai aproape de mediană.

Orez. 3. Quartile exclusive

A treia abordare, un compromis între Tukey și M&M, se numește Funcția de distribuție empirică sau Funcția de distribuție cumulativă(abreviere în engleză CDF). Dacă există un număr impar de valori într-un set de date, ar trebui să includeți sau să excludeți mediana, asigurându-vă că jumătățile rămase conțin un număr impar de elemente. De exemplu, dacă există 9 elemente în eșantion, mediana ar trebui inclusă, iar dacă există 11 elemente, ar trebui exclusă. În ambele cazuri, jumătățile vor conține 5 elemente. Avantajul acestui compromis este că valoarea quartilei este întotdeauna unul dintre elementele din setul de date (mai degrabă decât media a două elemente adiacente). CDF este metoda implicită în pachetul statistic SAS.

Toate cazurile posibileN. Nu putem reprezenta întotdeauna datele într-o formă de W, ca în Fig. 1, deci este mai convenabil să folosiți o riglă. În general, există patru opțiuni pentru numărul de elemente din eșantion: N = 4k, N = 4k + 1, N = 4k + 2, N = 4k + 3... și trei abordări pentru calcularea quartilelor: Tukey, M&M , CDF (Fig. 4 –7).

Orez. 4. Numărul elementelor din eșantion N = 4k; toate cele trei metode dau aceleași valori cuartile

Orez. 5. Numărul elementelor din eșantion N = 4k + 1; M&M oferă valori mai departe de mediană

Orez. 6. Numărul elementelor din eșantion N = 4k + 2; toate cele trei metode dau aceleași valori de quartile

Orez. 7. Numărul de elemente din eșantion N = 4k + 3

Metode de interpolare. Pe lângă cele trei metode descrise mai sus, sunt utilizați și o serie de algoritmi de indexare. Ne vom uita la trei dintre ele. Primul indice din toate metodele este 0, iar ultimul este N–1, N, N + 1. De exemplu, pentru N=8 seriile indexate sunt prezentate în Fig. 8.

Poziția percentilei r– fracțiunea lungimii dreptei index, sau respectiv p(N–1), pN, p(N+1). p = 0,25 corespunde primului cuartil, iar p = 0,75 celui de-al treilea. Mai jos este o reprezentare vizuală a calculului quartilelor pentru diferite numere de elemente din eșantion și trei metode de interpolare bazate pe N–1, N și N + 1 (Fig. 9, 11–13). Vă rugăm să rețineți că numerele calculate (folosind formulele din dreapta riglelor) nu sunt valori cuartile, ci valori cu indici cuartile. Deasupra barelor, valoarea quartilei este afișată pentru un număr de valori (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Orez. 9. Numărul de elemente din eșantion N = 4k

Dacă, de exemplu, eșantionul nostru este (2, 3, 5, 8, 11, 12, 14, 17), atunci calcularea quartilelor pe baza metodei N–1 va da indici de 1,75, 3,5 și 5,25, iar valorile cuartile 4,5, 9,5 și 12,5 (Fig. 10).

Orez. 10. De la indici la valorile cuartile pentru metoda N–1 și N = 4k

Orez. 11. Numărul de elemente din eșantion N = 4k + 1

Orez. 12. Numărul de elemente din eșantion N = 4k + 2

Orez. 13. Numărul de elemente din eșantion N = 4k + 3

Ce algoritm este considerat standard pentru calcularea quartilelor?

În 1996, Rob J. Hindman și Yanan Fan au publicat un articol în American Statistician intitulat Sample Quantiles in Statistical Packages. În el s-au uitat la diverși algoritmi pentru calcularea cuantilelor (cuantilele sunt un caz special de cuantile). Scopul lor a fost de a specifica o metodologie care ar putea deveni un standard pentru furnizorii de software statistic, astfel încât calculul quartilelor să fie independent de tipul de pachet. În articol, au descris nouă metode de calculare a cuantilelor. Tabelul prezintă câteva pachete statistice și algoritmii pe care îi folosesc (Figura 14; tabelul, această secțiune a notei și codul VBA de mai jos sunt bazate pe text de pe site-ul web Bacon Bits). Rețineți că R și Maple acoperă o gamă completă de algoritmi.

Orez. 14. Algoritmi utilizați în pachetele statistice

Apropo, Hindman și Phan și-au încheiat lucrarea recomandând Metoda 8 ca standard pentru pachetele statistice. În opinia lor, această metodă de estimare cuantilă nu depinde de distribuție, ceea ce o face cea mai potrivită pentru calcul.

Calculul quartilelor în Excel

Funcția Excel QUARTILE.EXC folosește următoarea formulă pentru a calcula quartile:

Unde Qp – p a cuantila: p= 0 – pentru valoarea minimă, 0,25 – pentru prima cuartilă, 0,5 – pentru mediană, 0,75 – pentru a treia cuartilă, 1 – pentru valoarea maximă;

x– indice cuantile (poate fi fracționat); x = (n+1)p, Unde n– numărul de elemente din probă; acordați atenție (n+1) , de aceea metoda se numește N+1-interpolare;

i– indicele elementului în selecția ordonată; cel mai mare întreg este tot mai mic decât x;

O 1 , O 2 , …, A i, A i +1 , …, A n– elemente ale unei probe aleatorii, ordonate crescător.

Formula pentru QUARTILE.IN diferă doar prin metoda de calcul x: x = (n-1)p+1; acordați atenție (n–1) , deci metoda se numește interpolare N–1. Mai multe detalii despre cum funcționează formulele pot fi găsite în fișierul Excel atașat pe foaie Formule.

Calculul quartilelor în R și SAS

Funcţie cuantilăîn R folosește toți cei nouă algoritmi cuantile, urmând numerotarea propusă de Hyndman și Fan în 1996 (Figura 15; dacă nu sunteți familiarizat cu R, vă recomand să începeți cu ). Cuantila pentru metoda i-a de calcul:

Orez. 15. Calculați quartilele din R în nouă moduri

Calculul quartilelor în Excel folosind orice metodă folosind VBA

Mai jos este codul pentru o funcție personalizată care vă permite să reproduceți oricare dintre cele șase metode enumerate în tabelul din Fig. 14. Chiar dacă aveți Excel 2007 și funcția QUARTILE.EXC nu vă este disponibilă, puteți calcula quartila folosind a șasea metodă folosind această funcție.

Funcție Quantile(MyRange As Range, p As Double, Optional m As Variant) „Mike Alexander: www.datapigtechnologies.com „Pe baza codului postat inițial de Jerry W. Lewis (fost Excel MVP) „******** **************************************** ********** * „Această funcție va replica diferite calcule cuantile găsite în pachetele software statistice. „Calculul este determinat de metoda Hyndman-Fan utilizată. „Hyndman-Fan Metoda 4 Replicate: „SAS(PCTLDEF=1), R(tip=4), Maple(metoda=3) „Hyndman-Fan Metoda 5 Replicate: R(tip=5), Maple(metoda=4) „Metoda 6 Hyndman-Fan Replica: Excel(QUARTILE.EXC), SAS(PCTLDEF=4), „R(tip=6), Minitab, SPSS, BMDP, JMP, Maple(metoda=5) „Metoda 7 Hyndman-Fan Replicate: Excel (QUARTILE și QUARTILE.INC), „R(tip=7), S-Plus, Maxima, Maple(metoda=6) „Hyndman-Fan Metoda 8 Replicate: R(tip=8), Maple(metoda= 7) „Hyndman-Fan Metoda 9 Replicate: R(tip=9), Maple(metoda=8) „**************************** ******************************************** „Funcția de apelare din Excel Spreadhseet introducând „=Quantile(Range, p, m) „Introduceți p ca fracțiune a populației „(.25 pentru quartila 1, .75 pentru quartila 3 etc....) „Introduceți m ca cuantila Hyndman-Fan numărul metodei (4, 5, 6, 7, 8 sau 9) „Dacă m este lăsat necompletat, funcția va folosi implicit metoda 6 „******************* **************************************** * Dim n As Long Dim i As Long Dim QDef As Double Dim x As Double "Identificați metoda și setați baza de interpolare utilizată Selectați cazul m Case Is = 4 QDef = 0 Case Is = 5 QDef = 0,5 Case Is = 6 QDef = p Case Is = 7 QDef = 1 - p Case Is = 8 QDef = (p + 1) / 3 Case Is = 9 QDef = (p + 1,5) / 4 Case Else "Utilizați Hyndman-Fan 6 implicit QDef = p End Selectați "Numărați valorile în MyRange și calculați valoarea indice de poziție necesar n = WorksheetFunction.Count(MyRange) x = n * p + QDef i = WorksheetFunction.Max(WorksheetFunction.Min(Fix(x), n), 1) "Efectuați interpolarea și returnați răspunsul dacă (x - i) >= 0 și i< n Then Quantile = (1 - (x - i)) * WorksheetFunction.Small(MyRange, i) + _ (x - i) * WorksheetFunction.Small(MyRange, i + 1) Else Quantile = WorksheetFunction.Small(MyRange, i) End If End Function

Funcție Quantile (MyRange As Range, p As Double, Optional m As Variant) „Mike Alexander: www.datapigtechnologies.com " Bazat pe codul postat inițial de Jerry W. Lewis (fostul Excel MVP) "********************************************************************* „Această funcție va replica diferite calcule cuantile găsite „în pachetele software statistice. „Calculul este determinat de metoda Hyndman - Fan utilizată. „Replicări ale metodei 4 Hyndman-Fan: „SAS (PCTLDEF = 1), R (tip = 4), Maple (metoda = 3) „Hyndman-Fan Metoda 5 Replicate: R(tip=5), Maple(metoda=4) „Hyndman - Replicarea metodei 6 ventilatorului: Excel (QUARTILE. EXC), SAS (PCTLDEF = 4), „R(tip=6), Minitab, SPSS, BMDP, JMP, Maple(metoda=5) „Hyndman - Replicarea metodei 7 ventilatorului: Excel (QUARTILE și QUARTILE. INC), „R(tip=7), S-Plus, Maxima, Maple(metoda=6) „Hyndman - Replicare metoda 8 ventilatorului: R (tip = 8), arțar (metoda = 7) „Hyndman-Fan Metoda 9 Replicate: R(tip=9), Maple(metoda=8) " * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * „Apelați funcția din Excel Spreadhseet prin intrare " = Quantile(Range, p, m) „Introduceți p ca fracție din populație „(. 25 pentru quartila 1, . 75 pentru quartila 3 etc. . . .) „Introduceți m ca număr al metodei Hyndman-Fan Quantile (4, 5, 6, 7, 8 sau 9) „Dacă m este lăsat necompletat, funcția va folosi metoda 6 în mod implicit "********************************************************************** Dim n As Long Dim i As Long Dim QDef As Double Dim x As Double „Identificați metoda și setați baza de interpolare utilizată Selectați cazul m Cazul este = 4 QDef = 0 Cazul este = 5 QDef = 0,5 Cazul este = 6 QDef = p Cazul este = 7 QDef = 1 - p Cazul este = 8 QDef = (p + 1) / 3 WorksheetFunction End Function

După ce lipiți codul în modulul carte standard, puteți utiliza funcția (Fig. 16): =Quantile(MyRange; P; M), unde MyRange este intervalul care include eșantionul (puteți lăsa neordonat); P – statistici: 0 – minim, 0,25 – 1-a quartila, 0,5 – mediana, 0,75 – 3-a quartila, 1 – maxim; este posibil să introduceți alte valori în intervalul de la 0 la 1; M – numărul metodei din tabelul din Fig. 14.

Orez. 16. Sintaxa funcției utilizator Quantile

Tabelul (Fig. 17) arată calculul quartilelor pentru toate metodele. Observați cum Metoda 8 (pe care Hindman și Phan o recomandă ca standard) calculează quartilele care se încadrează între valorile calculate prin Metodele 6 și 7. Într-adevăr, Metoda 8 produce cel mai echilibrat set de quartile.

Orez. 17. Valorile cuartilelor calculate prin diverse metode

Compararea algoritmilor pentru calcularea quartilelor

Standardul de facto pentru calcularea quartilelor în pachetele statistice și Excel este metoda 6 bazată pe interpolarea N+1. Dacă doriți ca datele dvs. să fie consecvente în diferite instrumente, utilizați această metodă. În Excel, acesta formează baza funcției QUARTILE.EX. Din păcate, această metodă are ca rezultat o lărgire a intervalului intercuartil. Pentru exemplul nostru (Fig. 17) de la 13.0 la 15.5. Dacă comparăm toate cele cinci metode de calcul (Fig. 18), putem vedea că intervalul intercuartil minim corespunde metodei 7, iar maximul metodei 6. Ne vom uita la ce afectează aceasta în notă. Dacă utilizați doar Excel, vă recomand metoda 7 bazată pe interpolarea N–1. Acest lucru vă va permite să operați în cel mai îngust interval intercuartil.

Orez. 18. Influența algoritmului de calcul al quartilelor asupra intervalului intercuartil; numere de la 5 la 9 – numere de metodă

Formulele în Excel sunt esența sa principală, de aceea acest program a fost creat de Microsoft. Formulele vă permit să calculați valorile celulelor pe baza datelor din alte celule, iar dacă datele sursă se modifică, rezultatul calculelor din celula în care este scrisă formula va fi recalculat automat!

Crearea de formule în Excel

Să ne uităm la modul în care funcționează formulele folosind cel mai simplu exemplu - suma a două numere. Introduceți numărul 2 într-o celulă Excel și 3 în alta. Este necesar ca în a treia celulă să apară suma acestor numere.

Suma 2 și 3 este, desigur, 5, dar nu trebuie să introduceți manual 5 în celula următoare, altfel sensul calculelor în Excel se pierde. Trebuie să introduceți formula sumei în celulă cu totalul și apoi rezultatul va fi calculat automat de program.

În exemplu, calculul pare simplu, dar atunci când numerele sunt mari sau fracționale, pur și simplu nu puteți face fără o formulă.

Formulele din Excel pot conține operații aritmetice (adunare +, scădere -, înmulțire *, împărțire /), coordonate ale celulelor de date sursă (atât individual, cât și interval) și funcții de calcul.

Luați în considerare formula pentru suma numerelor din exemplul de mai sus:

SUMA(A2;B2)

Fiecare formulă începe cu un semn egal. Dacă doriți să adăugați o formulă la o celulă scriind-o manual, atunci acest caracter ar trebui să fie scris mai întâi.

Urmează în exemplu funcția SUM, ceea ce înseamnă că este necesară însumarea unor date, iar deja în paranteze ale funcției, separate prin punct și virgulă, sunt indicate câteva argumente, în acest caz coordonatele celulelor (A2 și B2), ale căror valori trebuie adăugate și rezultatul plasat în celula în care este scrisă formula. Dacă trebuia să adăugați trei celule, puteți scrie trei argumente în funcția SUM, separându-le cu punct și virgulă, de exemplu:

SUM(A4,B4,C4)

Când trebuie să adăugați un număr mare de celule, specificarea fiecăreia dintre ele în formulă va dura mult timp, așa că în loc să enumerați pur și simplu, puteți utiliza specificarea unui interval de celule:

SUMA(B2:B7)

Un interval de celule în Excel este specificat folosind coordonatele primei și ultimei celule, separate prin două puncte. Acest exemplu adaugă valorile celulelor începând de la celula B2 la celula B7.

Funcțiile din formule pot fi conectate și combinate după cum aveți nevoie pentru a obține rezultatul dorit. De exemplu, sarcina este de a adăuga trei numere și, în funcție de dacă rezultatul este mai mic de 100 sau mai mult, înmulțiți suma cu un factor de 1,2 sau 1,3. Următoarea formulă va ajuta la rezolvarea problemei:

DACA(SUMA(A2:C2)

Să analizăm mai detaliat soluția problemei. Au fost utilizate două funcții IF și SUM. Funcția IF are întotdeauna trei argumente: primul este condiția, al doilea este acțiunea dacă condiția este adevărată, al treilea este acțiunea dacă condiția este falsă. Vă reamintim că argumentele sunt separate prin punct și virgulă.

DACA(conditie; adevarat; fals)

Condiția indică faptul că suma intervalului de celule A2:C2 este mai mică de 100. Dacă, în timpul calculului, condiția este îndeplinită și suma celulelor din interval este egală, de exemplu, cu 98, atunci Excel va efectuați acțiunea specificată în al doilea argument al funcției IF, i.e. SUM(A2:C2)*1,2. Dacă suma depășește numărul 100, atunci se va executa acțiunea din al treilea argument al funcției IF, adică. SUM(A2:C2)*1,3.

Funcții încorporate în Excel

Există un număr mare de funcții în Excel și este pur și simplu imposibil să știi totul. Unele folosite frecvent pot fi reținute, dar de unele veți avea nevoie doar ocazional și este foarte greu să vă amintiți numele și mai ales forma de înregistrare.

Dar Excel are un mod standard de inserare a funcțiilor cu lista lor completă. Dacă doriți să adăugați o funcție la o celulă, faceți clic pe celulă și selectați inserare funcție în meniul principal. Programul va afișa o listă de funcții și o puteți selecta pe cea care este necesară pentru a rezolva problema.

Pentru a insera o funcție în Excel 2007, selectați elementul „Formule” din meniul principal și faceți clic pe pictograma „Inserare funcție” sau apăsați combinația de taste Shift+F3 de pe tastatură.

În Excel 2003, o funcție este inserată prin meniul „Inserare” -> „Funcție”. Combinația de taste Shift+F3 funcționează în același mod.

Un semn egal va apărea în celula pe care a fost plasat cursorul, iar fereastra „Function Wizard” va apărea în partea de sus a foii.

Funcțiile din Excel sunt împărțite în categorii. Dacă știți căreia îi aparține funcția dorită, atunci selectați selecția în funcție de aceasta. În caz contrar, selectați Lista alfabetică completă. Programul va afișa toate funcțiile disponibile în lista de funcții.

Derulează lista și folosește mouse-ul pentru a evidenția numele funcției care te interesează. Chiar sub lista va apărea forma ei de înregistrare, argumentele necesare și o scurtă descriere care vă va explica scopul funcției. Când găsiți ceea ce aveți nevoie, faceți clic pe butonul „OK” pentru a continua la specificarea argumentelor.

În fereastra de argumente există câmpuri numite „Numărul 1”, „Numărul 2”, etc. Acestea trebuie să fie completate cu coordonatele celulelor (sau intervalelor) în care doriți să preluați date. O puteți completa manual, dar este mult mai convenabil să faceți clic pe pictograma tabelului de la sfârșitul câmpului pentru a indica celula sau intervalul sursă.

Fereastra de argumente va lua o formă simplificată. Acum trebuie să faceți clic pe prima celulă sursă cu date și apoi din nou pe pictograma tabelului din fereastra de argumente.

Câmpul „Numărul 1” va fi completat cu coordonatele celulei selectate. Aceeași procedură ar trebui făcută pentru câmpul „Număr 2” și pentru următoarele câmpuri dacă aveți mai mult de două argumente de funcție.

După ce ați completat toate argumentele, puteți previzualiza rezultatul calculării formulei rezultate. Pentru ca acesta să apară într-o celulă din foaia de lucru, faceți clic pe butonul „OK”. În exemplul luat în considerare, celula D2 conține produsul numerelor din celulele B2 și C2.

Metoda considerată de inserare a unei funcții este universală și vă permite să adăugați orice funcție din lista generală a funcțiilor standard Excel.

Ca

O formulă îi spune Excel ce să facă cu numerele sau valorile dintr-o celulă sau un grup de celule. Fără formule, foile de calcul nu sunt necesare în principiu.

Construcția formulelor include: constante, operatori, legături, funcții, nume de intervale, paranteze care conțin argumente și alte formule. Folosind un exemplu, vom analiza aplicarea practică a formulelor pentru utilizatorii începători.

Formule în Excel pentru manechine

Pentru a seta o formulă pentru o celulă, trebuie să o activați (plasați cursorul) și să introduceți egal (=). De asemenea, puteți introduce un semn egal în bara de formule. După introducerea formulei, apăsați Enter. Rezultatul calculului va apărea în celulă.

Excel folosește operatori matematici standard:

Simbolul „*” este necesar la înmulțire. Este inacceptabil să o omiteți, așa cum se obișnuiește în timpul calculelor aritmetice scrise. Adică, Excel nu va înțelege intrarea (2+3)5.

Excel poate fi folosit ca calculator. Adică, introduceți numere și operatori de calcul matematic în formulă și obțineți imediat rezultatul.

Dar mai des sunt introduse adrese de celule. Adică, utilizatorul introduce un link către celula a cărei valoare va funcționa formula.

Când valorile din celule se modifică, formula recalculează automat rezultatul.

Operatorul a înmulțit valoarea celulei B2 cu 0,5. Pentru a introduce o referință de celulă într-o formulă, faceți clic pe acea celulă.

În exemplul nostru:

1. Plasați cursorul în celula B3 și introduceți =.
2. Am dat clic pe celula B2 - Excel a „etichetat”-o (numele celulei a apărut în formulă, un dreptunghi „pâlpâit” format în jurul celulei).
3. Introduceți semnul *, valoarea 0,5 de la tastatură și apăsați ENTER.

Dacă sunt utilizați mai mulți operatori într-o formulă, programul îi va procesa în următoarea secvență:

• %, ^;
• *, /;
• +, -.

Puteți modifica secvența folosind paranteze: Excel calculează mai întâi valoarea expresiei din paranteze.



Cum să desemnați o celulă constantă într-o formulă Excel

Există două tipuri de referințe de celule: relative și absolute. Când copiați o formulă, aceste legături se comportă diferit: cele relative se schimbă, cele absolute rămân constante.

Găsiți marcatorul de completare automată în colțul din dreapta jos al primei celule a coloanei. Faceți clic pe acest punct cu butonul stâng al mouse-ului, țineți-l apăsat și „trageți” în jos pe coloană.

Eliberați butonul mouse-ului - formula va fi copiată în celulele selectate cu legături relative. Adică, fiecare celulă va avea propria formulă cu propriile argumente.

Interes— o măsură relativă convenabilă care vă permite să operați cu numere într-un format familiar oamenilor, indiferent de dimensiunea numerelor în sine. Acesta este un fel de scară la care poate fi redus orice număr. Un procent este o sutime. Cuvântul în sine la sută provine din latinescul „pro centum”, care înseamnă „partea a sutei”.

Dobânda este indispensabilă în asigurări, finanțe și calcule economice. Procentele exprimă ratele de impozitare, randamentul investiției, comisioanele pentru fondurile împrumutate (de exemplu, împrumuturile bancare), ratele de creștere economică și multe altele.

1. Formula de calcul al cotei procentuale.

Să fie date două numere: A 1 și A 2. Este necesar să se determine ce procent din numărul A 1 este din A 2.

P = A 1 / A 2 * 100.

În calculele financiare se scrie adesea

P = A 1 / A 2 * 100%.

Exemplu. Ce procent este 10 din 200?

P = 10 / 200 * 100 = 5 (la sută).

2. Formula de calcul procentual dintr-un număr.

Să fie dat numărul A 2. Este necesar să se calculeze numărul A 1, care este un procent dat P din A 2.

A 1 = A 2 * P / 100.

Exemplu.Împrumut bancar 10.000 de ruble la dobândă de 5%. Suma dobânzii va fi.

P = 10000 * 5 / 100 = 500.

3. Formula pentru creșterea unui număr cu un procent dat. Suma cu TVA inclus.

Fie dat numărul A 1. Trebuie să calculăm numărul A 2, care este mai mare decât numărul A 1 cu un anumit procent P. Folosind formula pentru calcularea procentului unui număr, obținem:

A 2 = A 1 + A 1 * P / 100.

A 2 = A 1 * (1 + P / 100).

Exemplul 1.Împrumut bancar 10.000 de ruble la dobândă de 5%. Suma totală a datoriei va fi.

A 2 = 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1,05 = 10500.

Exemplul 2. Suma fără TVA este de 1000 de ruble, TVA 18 la sută. Suma cu TVA este:

A 2 = 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1,18 = 1180.

style="center">

4. Formula pentru reducerea unui număr cu un procent dat.

Fie dat numărul A 1. Trebuie să calculăm numărul A 2, care este mai mic decât numărul A 1 cu un anumit procent P. Folosind formula pentru calcularea procentului unui număr, obținem:

A 2 = A 1 - A 1 * P / 100.

A 2 = A 1 * (1 - P / 100).

Exemplu. Suma de bani care urmează să fie emisă minus impozitul pe venit (13 la sută). Să fie salariul de 10.000 de ruble. Atunci suma care trebuie emisă este:

A 2 = 10000 * (1 - 13 / 100) = 10000 * 0,87 = 8700.

5. Formula de calcul a sumei inițiale. Suma fara TVA.

Să fie dat un număr A 1, egal cu un număr original A 2 cu un procent P adăugat. Trebuie să calculăm numărul A 2 . Cu alte cuvinte: cunoaștem suma monetară inclusiv TVA, trebuie să calculăm suma fără TVA.

Să notăm p = P / 100, atunci:

A 1 = A 2 + p * A 2 .

A 1 = A 2 * (1 + p).

Apoi

A 2 = A 1 / (1 + p).

Exemplu. Suma cu TVA este de 1180 de ruble, TVA de 18%. Costul fara TVA este:

A 2 = 1180 / (1 + 0,18) = 1000.

style="center">

6. Calculul dobânzii la un depozit bancar. Formula de calcul a dobânzii simple.

Dacă dobânda la un depozit se acumulează o singură dată la sfârșitul termenului de depozit, atunci valoarea dobânzii este calculată folosind formula dobânzii simple.

S = K + (K*P*d/D)/100
Sp = (K*P*d/D)/100

Unde:
S este suma depozitului bancar cu dobândă,
Sp - suma dobânzii (venituri),
K - suma inițială (capital),

d — numărul de zile de acumulare a dobânzii la depozitul atras,
D este numărul de zile dintr-un an calendaristic (365 sau 366).

Exemplul 1. Banca a acceptat un depozit în valoare de 100 de mii de ruble pentru o perioadă de 1 an la o rată de 20 la sută.

S = 100000 + 100000*20*365/365/100 = 120000
Sp = 100000 * 20*365/365/100 = 20000

Exemplul 2. Banca a acceptat un depozit în valoare de 100 de mii de ruble pentru o perioadă de 30 de zile la o rată de 20 la sută.

S = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643,84
Sp = 100000 * 20*30/365/100 = 1643,84

7. Calculul dobânzii la un depozit bancar la calcularea dobânzii la dobândă. Formula pentru calcularea dobânzii compuse.

Dacă dobânda la un depozit se acumulează de mai multe ori la intervale regulate și este creditată în depozit, atunci suma depozitului cu dobândă este calculată folosind formula dobânzii compuse.

S = K * (1 + P*d/D/100) N

Unde:


P - rata anuală a dobânzii,

Când calculați dobânda compusă, este mai ușor să calculați suma totală cu dobândă și apoi să calculați suma dobânzii (venit):

Sp = S - K = K * (1 + P*d/D/100) N - K

Sp = K * ((1 + P*d/D/100) N - 1)

Exemplul 1. Un depozit de 100 de mii de ruble a fost acceptat pentru o perioadă de 90 de zile la o rată de 20 la sută pe an, cu dobândă acumulată la fiecare 30 de zile.

S = 100000 * (1 + 20*30/365/100) 3 = 105 013,02
Sp = 100000 * ((1 + 20*30/365/100) N - 1) = 5 013,02

style="center">

Exemplul 2. Să verificăm formula de calcul a dobânzii compuse pentru cazul din exemplul anterior.

Să împărțim perioada de depozit în 3 perioade și să calculăm dobânda acumulată pentru fiecare perioadă folosind formula dobânzii simple.

S 1 = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643,84
Sp 1 = 100000 * 20*30/365/100 = 1643,84

S 2 = 101643,84 + 101643,84*20*30/365/100 = 103314,70
Sp 2 = 101643,84 * 20*30/365/100 = 1670,86

S 3 = 103314,70 + 103314,70*20*30/365/100 = 105013,02
Sp 3 = 103314,70 * 20*30/365/100 = 1698,32

Suma totală a dobânzii, ținând cont de calculul dobânzii la dobândă (dobândă compusă)

Sp = Sp 1 + Sp 2 + Sp 3 = 5013,02

Astfel, formula de calcul a dobânzii compuse este corectă.

8. O altă formulă a dobânzii compuse.

Dacă rata dobânzii nu este dată anual, ci direct pentru perioada de acumulare, atunci formula dobânzii compuse arată astfel.

S = K * (1 + P/100) N

Unde:
S - suma depozit cu dobanda,
K - suma depozitului (capital),
P - rata dobânzii,
N este numărul de perioade de dobândă.

Exemplu. Un depozit de 100 de mii de ruble a fost acceptat pentru o perioadă de 3 luni cu o dobândă lunară acumulată la o rată de 1,5 la sută pe lună.

S = 100000 * (1 + 1,5/100) 3 = 104.567,84
Sp = 100000 * ((1 + 1,5/100) 3 - 1) = 4.567,84

Calcule aproximative folosind diferenţial

În această lecție ne vom uita la o problemă comună la calculul aproximativ al valorii unei funcții folosind o diferenţială. Aici și mai departe vom vorbi despre diferențe de ordinul întâi, pentru concizie, de multe ori voi spune pur și simplu „diferențial”. Problema calculelor aproximative folosind diferențiale are un algoritm de soluție strict și, prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți speciale. Singurul lucru este că există mici capcane care vor fi și ele curățate. Așa că simțiți-vă liber să vă scufundați cu capul înainte.

În plus, pagina conține formule pentru găsirea erorii absolute și relative a calculelor. Materialul este foarte util, deoarece erorile trebuie calculate în alte probleme. Fizicieni, unde sunt aplauzele voastre? =)

Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să fii capabil să găsești derivate ale funcțiilor cel puțin la un nivel intermediar, așa că dacă ești complet în pierdere cu diferențierea, te rog să începi cu lecția Cum să găsesc derivatul? Recomand si lectura articolului Cele mai simple probleme cu derivatele, și anume paragrafe despre găsirea derivatei într-un punctŞi găsirea diferenţialului în punct. Din mijloace tehnice, veți avea nevoie de un microcalculator cu diverse funcții matematice. Puteți folosi Excel, dar în acest caz este mai puțin convenabil.

Atelierul constă din două părți:

– Calcule aproximative folosind diferenţialul unei funcţii a unei variabile.

– Calcule aproximative folosind diferenţialul total al unei funcţii a două variabile.

Cine are nevoie de ce? De fapt, a fost posibilă împărțirea bogăției în două grămezi, pentru că al doilea punct se referă la aplicații ale funcțiilor mai multor variabile. Dar ce pot să fac, îmi plac articolele lungi.

Calcule aproximative
folosind diferenţialul unei funcţii a unei variabile

Sarcina în cauză și semnificația ei geometrică au fost deja tratate în lecția Ce este un derivat? , iar acum ne vom limita la o luare în considerare formală a exemplelor, ceea ce este suficient pentru a învăța cum să le rezolvăm.

În primul paragraf, funcția unei variabile reguli. După cum știe toată lumea, este notat cu sau prin . Pentru această sarcină este mult mai convenabil să folosiți a doua notație. Să trecem imediat la un exemplu popular care este adesea întâlnit în practică:

Exemplul 1

Soluţie: Vă rugăm să copiați formula de lucru pentru calculul aproximativ folosind diferența în caiet:

Să începem să ne dăm seama, totul este simplu aici!

Primul pas este crearea unei funcții. După condiție, se propune să se calculeze rădăcina cubă a numărului: , deci funcția corespunzătoare are forma: . Trebuie să folosim formula pentru a găsi valoarea aproximativă.

Să ne uităm la partea stângă formule și îmi vine în minte gândul că numărul 67 trebuie reprezentat în formă. Care este cel mai simplu mod de a face asta? Recomand următorul algoritm: calculați această valoare pe un calculator:
– s-a dovedit a fi 4 cu coadă, acesta este un ghid important pentru soluție.

Selectăm o valoare „bună” ca astfel încât rădăcina să fie îndepărtată complet. Desigur, această valoare ar trebui să fie cât mai aproape posibil la 67. În acest caz: . Serios: .

Notă: Când încă apar dificultăți cu selecția, priviți pur și simplu valoarea calculată (în acest caz ), luați cea mai apropiată parte întreagă (în acest caz 4) și ridicați-o la puterea necesară (în acest caz ). Ca urmare, se va face selecția dorită: .

Dacă , atunci incrementul argumentului: .

Deci, numărul 67 este reprezentat ca o sumă

Mai întâi, să calculăm valoarea funcției în punctul respectiv. De fapt, acest lucru a fost deja făcut anterior:

Diferența într-un punct se găsește prin formula:
- De asemenea, îl puteți copia în caiet.

Din formulă rezultă că trebuie să luați prima derivată:

Și găsiți-i valoarea la punctul:

Astfel:

Totul este gata! Conform formulei:

Valoarea aproximativă găsită este destul de apropiată de valoare , calculat cu ajutorul unui microcalculator.

Răspuns:

Exemplul 2

Calculați aproximativ, înlocuind incrementele funcției cu diferența acesteia.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. O mostră aproximativă a proiectului final și un răspuns la sfârșitul lecției. Pentru începători, recomand mai întâi să calculeze valoarea exactă pe un microcalculator pentru a afla ce număr este luat ca , și ce număr este luat ca . Trebuie remarcat faptul că în acest exemplu va fi negativ.

Unii s-ar fi întrebat de ce este necesară această sarcină dacă totul poate fi calculat calm și mai precis pe un calculator? Sunt de acord, sarcina este stupidă și naivă. Dar voi încerca să mă justific puțin. În primul rând, sarcina ilustrează semnificația funcției diferențiale. În al doilea rând, în antichitate, un calculator era ceva ca un elicopter personal în timpurile moderne. Eu însumi am văzut cum un computer de mărimea unei încăperi a fost aruncat dintr-un institut politehnic local undeva în anii 1985-86 (amatorii de radio au venit în fugă din tot orașul cu șurubelnițe, iar după câteva ore a mai rămas doar carcasa unitate). Erau și antichități în departamentul nostru de fizică și matematică, deși aveau dimensiuni mai mici - cam de dimensiunea unui birou. Așa s-au luptat strămoșii noștri cu metode de calcule aproximative. O trăsură trasă de cai este și transport.

Într-un fel sau altul, problema rămâne în cursul standard de matematică superioară și va trebui rezolvată. Acesta este principalul răspuns la întrebarea ta =)

Exemplul 3

la punctul . Calculați o valoare mai precisă a unei funcții într-un punct folosind un microcalculator, evaluați eroarea absolută și relativă a calculelor.

De fapt, aceeași sarcină, poate fi ușor reformulată astfel: „Calculează valoarea aproximativă folosind un diferential"

Soluţie: Folosim formula familiară:
În acest caz, este deja dată o funcție gata făcută: . Încă o dată, aș dori să vă atrag atenția asupra faptului că este mai convenabil de utilizat.

Valoarea trebuie prezentată sub forma . Ei bine, aici este mai ușor, vedem că numărul 1.97 este foarte aproape de „doi”, așa că se sugerează. Și deci: .

Folosind formula , să calculăm diferența în același punct.

Găsim prima derivată:

Și valoarea sa la punctul:

Astfel, diferența la punctul:

Ca urmare, conform formulei:

A doua parte a sarcinii este de a găsi eroarea absolută și relativă a calculelor.

Eroarea absolută și relativă a calculelor

Eroare absolută de calcul se gaseste prin formula:

Semnul modulului arată că nu ne interesează care valoare este mai mare și care este mai mică. Important, cât de departe rezultatul aproximativ a deviat de la valoarea exactă într-o direcție sau alta.

Eroare relativă de calcul se gaseste prin formula:
, sau același lucru:

Eroarea relativă apare cu ce procent rezultatul aproximativ a deviat de la valoarea exactă. Există o versiune a formulei fără înmulțire cu 100%, dar în practică aproape întotdeauna văd versiunea de mai sus cu procente.

După o scurtă referință, să revenim la problema noastră, în care am calculat valoarea aproximativă a funcției folosind un diferential.

Să calculăm valoarea exactă a funcției folosind un microcalculator:
, strict vorbind, valoarea este încă aproximativă, dar o vom considera exactă. Asemenea probleme apar.

Să calculăm eroarea absolută:

Să calculăm eroarea relativă:
, au fost obținute miimi de procente, așa că diferența a oferit doar o aproximare excelentă.

Răspuns: , eroare de calcul absolută, eroare de calcul relativă

Următorul exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 4

Calculați aproximativ valoarea unei funcții folosind o diferență la punctul . Calculați o valoare mai precisă a funcției la un punct dat, estimați eroarea absolută și relativă a calculelor.

O mostră aproximativă a proiectului final și răspunsul la sfârșitul lecției.

Mulți oameni au observat că rădăcinile apar în toate exemplele luate în considerare. Acest lucru nu este întâmplător în majoritatea cazurilor, problema luată în considerare oferă de fapt funcții cu rădăcini.

Dar pentru cititorii suferinzi, am dezgropat un mic exemplu cu arcsinus:

Exemplul 5

Calculați aproximativ valoarea unei funcții folosind o diferență la punct

Acest exemplu scurt, dar informativ, poate fi rezolvat pe cont propriu. Și m-am odihnit puțin pentru ca cu o vigoare reînnoită să mă gândesc la sarcina specială:

Exemplul 6

Calculați aproximativ folosind diferența, rotunjiți rezultatul la două zecimale.

Soluţie: Ce este nou în sarcină? Condiția necesită rotunjirea rezultatului la două zecimale. Dar nu acesta este ideea, cred că problema rotunjirii școlii nu este dificilă pentru tine. Faptul este că ni se dă o tangentă cu un argument care se exprimă în grade. Ce ar trebui să faci când ți se cere să rezolvi o funcție trigonometrică cu grade? De exemplu, etc.

Algoritmul de soluție este în esență același, adică este necesar, ca în exemplele anterioare, să se aplice formula

Să scriem o funcție evidentă

Valoarea trebuie prezentată sub forma . Va oferi asistență serioasă tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. Apropo, pentru cei care nu l-au tipărit, recomand să facă acest lucru, deoarece va trebui să vă uitați acolo pe tot parcursul cursului de studii superioare la matematică.

Analizând tabelul, observăm o valoare a tangentei „bună”, care este aproape de 47 de grade:

Astfel:

După o analiză preliminară grade trebuie convertite în radiani. Da, și numai așa!

În acest exemplu, puteți afla direct din tabelul trigonometric că . Folosind formula pentru conversia gradelor în radiani: (formulele pot fi găsite în același tabel).

Ceea ce urmează este o formulă:

Astfel: (folosim valoarea pentru calcule). Rezultatul, așa cum este cerut de condiție, este rotunjit la două zecimale.

Răspuns:

Exemplul 7

Calculați aproximativ folosind o diferență, rotunjiți rezultatul la trei zecimale.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat, convertim grade în radiani și respectăm algoritmul obișnuit de soluție.

Calcule aproximative
folosind diferenţialul complet al unei funcţii a două variabile

Totul va fi foarte, foarte asemănător, așa că dacă ați ajuns la această pagină special pentru această sarcină, atunci vă recomand mai întâi să vă uitați la cel puțin câteva exemple din paragraful anterior.

Pentru a studia un paragraf trebuie să fii capabil să găsești derivate parțiale de ordinul doi, unde am fi noi fără ei? În lecția de mai sus, am desemnat o funcție a două variabile folosind litera . În legătură cu sarcina luată în considerare, este mai convenabil să folosiți notația echivalentă.

Ca și în cazul unei funcții a unei variabile, condiția problemei poate fi formulată în moduri diferite și voi încerca să iau în considerare toate formulările întâlnite.

Exemplul 8

Soluţie: Indiferent cum este scrisă condiția, în soluția în sine pentru a desemna funcția, repet, este mai bine să folosiți nu litera „z”, ci .

Și iată formula de lucru:

Ceea ce avem în fața noastră este de fapt sora mai mare a formulei din paragraful precedent. Variabila a crescut. Ce pot să spun eu însumi algoritmul de soluție va fi fundamental același!

Conform condiției, este necesar să se găsească valoarea aproximativă a funcției în punct.

Să reprezentăm numărul 3,04 ca . Chicul în sine cere să fie mâncat:
,

Să reprezentăm numărul 3,95 ca . A venit rândul în a doua jumătate a lui Kolobok:
,

Și nu te uita la toate trucurile vulpii, există un Kolobok - trebuie să-l mănânci.

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Găsim diferența unei funcții într-un punct folosind formula:

Din formula rezultă că trebuie să găsim derivate parțiale prima comandă și calculați-le valorile la punctul .

Să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi în punctul:

Diferenţial total la punct:

Astfel, conform formulei, valoarea aproximativă a funcției în punctul:

Să calculăm valoarea exactă a funcției în punctul:

Această valoare este absolut exactă.

Erorile sunt calculate folosind formule standard, care au fost deja discutate în acest articol.

Eroare absolută:

Eroare relativă:

Răspuns:, eroare absolută: , eroare relativă:

Exemplul 9

Calculați valoarea aproximativă a unei funcții la un punct folosind o diferenţială totală, estimaţi eroarea absolută şi relativă.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Cine se ocupă mai detaliat de acest exemplu va observa că erorile de calcul s-au dovedit a fi foarte, foarte vizibile. Acest lucru s-a întâmplat din următorul motiv: în problema propusă incrementele de argumente sunt destul de mari: . Modelul general este următorul: cu cât aceste incremente în valoare absolută sunt mai mari, cu atât este mai mică acuratețea calculelor. Deci, de exemplu, pentru un punct similar incrementele vor fi mici: , iar acuratețea calculelor aproximative va fi foarte mare.

Această caracteristică este valabilă și pentru cazul unei funcții a unei variabile (prima parte a lecției).

Exemplul 10

Soluţie: Să calculăm această expresie aproximativ folosind diferența totală a unei funcții a două variabile:

Diferența față de exemplele 8-9 este că mai întâi trebuie să construim o funcție a două variabile: . Cred că toată lumea înțelege intuitiv cum este compusă funcția.

Valoarea 4,9973 este aproape de „cinci”, prin urmare: , .
Valoarea 0,9919 este apropiată de „unu”, prin urmare, presupunem: , .

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Găsim diferența într-un punct folosind formula:

Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi la punct.

Derivatele de aici nu sunt cele mai simple și ar trebui să fii atent:

;

.

Diferenţial total la punct:

Astfel, valoarea aproximativă a acestei expresii este:

Să calculăm o valoare mai precisă folosind un microcalculator: 2,998899527

Să găsim eroarea relativă de calcul:

Răspuns: ,

Doar o ilustrare a celor de mai sus, în problema luată în considerare, incrementele de argumente sunt foarte mici, iar eroarea s-a dovedit a fi fantastic de mică.

Exemplul 11

Folosind diferența completă a unei funcții de două variabile, calculați aproximativ valoarea acestei expresii. Calculați aceeași expresie folosind un microcalculator. Estimați eroarea relativă de calcul ca procent.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. O mostră aproximativă a designului final la sfârșitul lecției.

După cum sa menționat deja, cel mai obișnuit invitat în acest tip de sarcină este un fel de rădăcini. Dar din când în când există și alte funcții. Și un ultim exemplu simplu pentru relaxare:

Exemplul 12

Folosind diferența totală a unei funcții de două variabile, calculați aproximativ valoarea funcției dacă

Soluția este mai aproape de partea de jos a paginii. Încă o dată, acordați atenție formulării sarcinilor lecției în diferite exemple în practică, formularea poate fi diferită, dar acest lucru nu schimbă fundamental esența și algoritmul soluției.

Sincer să fiu, eram puțin obosit pentru că materialul era puțin plictisitor. Nu a fost pedagogic să spun asta la începutul articolului, dar acum este deja posibil =) Într-adevăr, problemele din matematica computațională nu sunt de obicei foarte complexe, nu foarte interesante, cel mai important lucru, poate, este să nu greșești. în calculele obişnuite.

Fie ca cheile calculatorului dumneavoastră să nu fie șterse!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

Astfel:
Răspuns:

Exemplul 4: Soluţie: Folosim formula:
În acest caz: , ,