Cum să găsiți derivata unei funcții complexe - exemple de soluții. Derivată a unei funcții complexe
Decide sarcini fizice sau exemple în matematică este complet imposibil fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul al acesteia. Derivatul este unul dintre cele mai importante concepte analiză matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este un derivat, ce este fizic și sens geometric Cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?
Sensul geometric și fizic al derivatului
Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:
Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.
Altfel se poate scrie asa:
Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:
derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.
Sensul fizic derivat: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.
Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timp t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:
Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:
Prima regulă: setați o constantă
Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .
Exemplu. Să calculăm derivata:
Regula a doua: derivata sumei functiilor
Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.
Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.
Aflați derivata funcției:
Regula trei: derivată a produsului funcțiilor
Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:
Exemplu: găsiți derivata unei funcții:
Soluţie: 
Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivat functie complexa este egal cu produsul derivatei acestei funcții față de argumentul intermediar și derivata argumentului intermediar față de variabila independentă.
În exemplul de mai sus întâlnim expresia:
În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.
Regula a patra: derivată a câtului a două funcții
Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:
Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.
Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.
Nu este în întregime corect să numiți funcții de tip complex termenul „funcție complexă”. De exemplu, pare foarte impresionant, dar această funcție nu este complicată, spre deosebire de.
În acest articol, vom înțelege conceptul de funcție complexă, vom învăța cum să o identificăm ca parte a funcțiilor elementare, vom oferi o formulă pentru găsirea derivatei sale și vom analiza în detaliu soluția exemplelor tipice.
Când rezolvăm exemple, vom folosi constant tabelul de derivate și regulile de diferențiere, așa că păstrați-le în fața ochilor.
Funcție complexă este o funcție al cărei argument este și o funcție.
Din punctul nostru de vedere, această definiție este cea mai de înțeles. În mod convențional, poate fi notat ca f(g(x)). Adică, g(x) este ca un argument al funcției f(g(x)) .
De exemplu, fie f funcția arctangentă și g(x) = lnx funcția logaritmului natural, atunci funcția complexă f(g(x)) este arctan(lnx) . Un alt exemplu: f este funcția de ridicare la puterea a patra și 
este o întreagă funcție rațională (vezi ), atunci 
.
La rândul său, g(x) poate fi și o funcție complexă. De exemplu, 
. În mod convențional, o astfel de expresie poate fi desemnată ca 
. Aici f este funcția sinus, este funcția rădăcină pătrată, 
- funcţie raţională fracţională. Este logic să presupunem că gradul de imbricare al funcțiilor poate fi orice număr natural finit.
Puteți auzi adesea o funcție complexă numită alcatuirea functiilor.
Formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe.
Exemplu.
Aflați derivata unei funcții complexe.
Soluţie.
În acest exemplu, f este funcția de pătrat și g(x) = 2x+1 este funcția liniară.
Iată soluția detaliată folosind formula derivată a funcției complexe: 
Să găsim această derivată simplificând mai întâi forma funcției originale.
Prin urmare,
După cum puteți vedea, rezultatele sunt aceleași.
Încercați să nu confundați care funcție este f și care este g(x) .
Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu pentru a vă arăta atenția.
Exemplu.
Găsiți derivate ale funcțiilor complexe și .
Soluţie.
În primul caz, f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus, deci
.
În al doilea caz, f este funcția sinus și - functie de putere. Prin urmare, prin formula pentru produsul unei funcții complexe avem
Formula derivată pentru o funcție are forma 
Exemplu.
Funcția de diferențiere 
.
Soluţie.
În acest exemplu, funcția complexă poate fi scrisă în mod convențional ca 
, unde este funcția sinus, a treia funcție de putere, funcția de bază e logaritm, funcția arctangentă și, respectiv, funcția liniară.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe 
Acum găsim
Să adunăm rezultatele intermediare obținute: 
Nu este nimic înfricoșător, analizează funcții complexe precum păpușile de cuib.
Acesta ar putea fi sfârșitul articolului, dacă nu pentru un singur lucru...
Este recomandabil să înțelegeți clar când să aplicați regulile de diferențiere și tabelul derivatelor și când să aplicați formula pentru derivata unei funcții complexe.
FIȚI EXTREM DE ATENȚIE ACUM. Vom vorbi despre diferența dintre funcțiile complexe și funcțiile complexe. Succesul dvs. în găsirea derivatelor va depinde de cât de mult vedeți această diferență.
Să începem cu exemple simple. Funcţie 
poate fi considerat complex: g(x) = tgx, 
. Prin urmare, puteți aplica imediat formula pentru derivata unei funcții complexe 
Și aici este funcția 
Nu mai poate fi numit complex.
Această funcție este suma a trei funcții, 3tgx și 1. Deși - este o funcție complexă: - o funcție de putere (parabolă pătratică), iar f este o funcție tangentă. Prin urmare, mai întâi aplicăm formula de diferențiere a sumei: 
Rămâne de găsit derivata funcției complexe: 
De aceea .
Sperăm că înțelegeți esențialul.
Dacă privim mai larg, se poate argumenta că funcțiile de tip complex pot face parte din funcții complexe, iar funcțiile complexe pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.
De exemplu, să analizăm funcția în părțile sale componente 
.
În primul rând, aceasta este o funcție complexă care poate fi reprezentată ca , unde f este funcția logaritmică de bază 3 și g(x) este suma a două funcții 
Şi 
. adica 
.
În al doilea rând, să ne ocupăm de funcția h(x) . Reprezintă o relație cu 
.
Aceasta este suma a două funcții și 
, Unde 
- o funcție complexă cu un coeficient numeric de 3. - funcţie cub, - funcţie cosinus, - funcţie liniară.
Aceasta este suma a două funcții și , unde 
- funcţie complexă, - funcţie exponenţială, - funcţie de putere.
Astfel, .
În al treilea rând, mergeți la , care este produsul unei funcții complexe 
și întreaga funcție rațională
Funcția de pătrat este funcția de logaritm la baza e.
Prin urmare, .
Să rezumăm: 
Acum structura funcției este clară și a devenit clar ce formule și în ce secvență să se aplice la diferențierea acesteia.
În secțiunea despre diferențierea unei funcții (găsirea derivatei) vă puteți familiariza cu soluția la probleme similare.
După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.
Exemplul 2
Aflați derivata unei funcții
După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar CorectÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc de o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.
1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai adâncă încorporare.
2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:
4) Apoi cubează cosinusul:
5) La al cincilea pas diferența:
6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată: 
Formula pentru diferențierea unei funcții complexe 
sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:
Pare fara erori:
1) Luați derivata rădăcinii pătrate.
2) Luați derivata diferenței folosind regula 
3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).
4) Luați derivata cosinusului.
6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.
Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.
Următorul exemplu este pentru decizie independentă.
Exemplul 3
Aflați derivata unei funcții
Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului
Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?
Exemplul 4
Aflați derivata unei funcții 
Mai întâi, să vedem dacă este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.
În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor 
de două ori
Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat 
- acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:
Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:
De asemenea, puteți să vă răsuciți și să puneți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.
Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:
Ambele soluții sunt absolut echivalente.
Exemplul 5
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.
Să ne uităm la exemple similare cu fracții.
Exemplul 6
Aflați derivata unei funcții 
Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:
Sau cam asa:
Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului 
, luând pentru întregul numărător:
În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa, nu va fi o eroare. Dar, dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați schița pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat?
Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de structura cu trei etaje a fracției:
Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.
Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:
Exemplul 7
Aflați derivata unei funcții
Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere
Foarte ușor de reținut.
Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:
În cazul nostru, baza este numărul:
Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.
Cu ce este egal? Desigur.
Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:
Exemple:
- Aflați derivata funcției.
- Care este derivata functiei?
Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.
Reguli de diferențiere
Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...
Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.
Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.
Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:
Sunt 5 reguli în total.
Constanta este scoasă din semnul derivatului.
Dacă - un număr constant (constant), atunci.
Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .
Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.
Exemple.
Aflați derivatele funcțiilor:
- la un punct;
- la un punct;
- la un punct;
- la punct.
Solutii:
- (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);
Derivat al produsului
Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:
Derivat:
Exemple:
- Aflați derivatele funcțiilor și;
- Aflați derivata funcției într-un punct.
Solutii:
Derivată a unei funcții exponențiale
Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).
Deci, unde este un număr.
Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:
Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:
Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.
A funcționat?
Iată, verifică-te:
Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.
Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:
Raspunsuri:
Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.
Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:
În acest exemplu, produsul a două funcții:
Derivată a unei funcții logaritmice
Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:
Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:
Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:
Abia acum vom scrie în schimb:
Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:
Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.
Derivată a unei funcții complexe.
Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.
Imaginați-vă o bandă transportoare mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.
Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.
Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .
Pentru exemplul nostru, .
Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.
Al doilea exemplu: (același lucru). .
Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).
Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:
Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție
- Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
Iar funcția inițială este compoziția lor: . - Intern: ; extern: .
Examinare: . - Intern: ; extern: .
Examinare: . - Intern: ; extern: .
Examinare: . - Intern: ; extern: .
Examinare: .
Schimbăm variabilele și obținem o funcție.
Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:
Un alt exemplu:
Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:
Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:
Pare simplu, nu?
Să verificăm cu exemple:
Solutii:
1) Intern: ;
Extern: ;
2) Intern: ;
(doar nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)
3) Intern: ;
Extern: ;
Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.
Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.
În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:
Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:
Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.
1. Exprimarea radicală. .
2. Rădăcină. .
3. Sine. .
4. Pătrat. .
5. Punând totul împreună:
DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:
Derivate de bază:
Reguli de diferentiere:
Constanta este scoasă din semnul derivat:
Derivată a sumei:
Derivatul produsului:
Derivată a coeficientului:
Derivata unei functii complexe:
Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:
- Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
- Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
- Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.
În această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei functii complexe. Lecția este o continuare logică a lecției Cum să găsesc derivatul?, în care am examinat cele mai simple derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele tehnici tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu ești foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt complet clare, atunci citește mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să aveți o dispoziție serioasă - materialul nu este simplu, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.
În practică, trebuie să te ocupi foarte des de derivata unei funcții complexe, chiar aș spune, aproape întotdeauna, atunci când ți se dau sarcini să găsești derivate.
Ne uităm la tabelul la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:
Să ne dăm seama. În primul rând, să fim atenți la intrare. Aici avem două funcții – și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în funcția . O funcție de acest tip (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.
Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție internă (sau imbricată)..
! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresii informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.
Pentru a clarifica situația, luați în considerare:
Exemplul 1
Aflați derivata unei funcții
Sub sinus avem nu doar litera „X”, ci o expresie întreagă, așa că găsirea derivatei imediat din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să se aplice primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că sinusul nu poate fi „sfâșiat în bucăți”:
În acest exemplu, este deja intuitiv clar din explicațiile mele că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.
Primul pas ceea ce trebuie să faceți când găsiți derivata unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.
În cazul exemplelor simple, pare clar că un polinom este încorporat sub sinus. Dar dacă totul nu este evident? Cum să determinați cu exactitate ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă sugerez să utilizați următoarea tehnică, care poate fi făcută mental sau în schiță.
Să ne imaginăm că trebuie să calculăm valoarea expresiei la pe un calculator (în loc de unul poate fi orice număr).
Ce vom calcula mai întâi? În primul rând va trebui să efectuați următoarea acțiune: , prin urmare polinomul va fi o funcție internă: 
În al doilea rând va trebui găsit, deci sine – va fi o funcție externă: 
După noi SOLD OUT Cu funcții interne și externe, este timpul să aplici regula de diferențiere a funcțiilor complexe.
Să începem să decidem. Din clasa Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea unei soluții la orice derivat începe întotdeauna astfel - încadrăm expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:
La început găsim derivata funcției externe (sinus), ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observăm că . Toate formulele de tabel sunt de asemenea aplicabile dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:
Vă rugăm să rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.
Ei bine, este destul de evident că
Rezultatul final al aplicării formulei arată astfel:
Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:
Dacă există vreo neînțelegere, notează soluția pe hârtie și citește din nou explicațiile.
Exemplul 2
Aflați derivata unei funcții
Exemplul 3
Aflați derivata unei funcții
Ca întotdeauna, notăm: 
Să ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde avem una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau într-o schiță) să calculăm valoarea expresiei la . Ce ar trebui să faci mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce este egală baza: prin urmare, polinomul este funcția internă: 
Și, numai atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă: 
Conform formulei, mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula necesară în tabel: . Repetăm din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „X”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:
Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției exterioare, funcția noastră interioară nu se schimbă: 
Acum tot ce rămâne este să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interne și să modificați puțin rezultatul:
Exemplul 4
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).
Pentru a vă consolida înțelegerea derivatei unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, motivul unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?
Exemplul 5
a) Aflați derivata funcției
b) Aflați derivata funcției
Exemplul 6
Aflați derivata unei funcții 
Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca o putere. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma adecvată pentru diferențiere:
Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma celor trei termeni este o funcție internă, iar ridicarea la putere este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:
Reprezentăm din nou gradul ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:
Gata. De asemenea, puteți reduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când obțineți derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faceți acest lucru (este ușor să vă confundați, să faceți o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).
Exemplul 7
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).
Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, puteți folosi regula pentru diferențierea unui coeficient. 
, dar o astfel de soluție va arăta ca o perversiune amuzantă. Iată un exemplu tipic:
Exemplul 8
Aflați derivata unei funcții
Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:
Pregătim funcția pentru diferențiere - mutăm minusul din semnul derivat și ridicăm cosinusul la numărător:
Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră:
Găsim derivata funcției interne și resetăm cosinusul înapoi:
Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați folosind regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.
Exemplul 9
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).
Până acum am analizat cazurile în care am avut un singur cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, cum ar fi păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.
Exemplul 10
Aflați derivata unei funcții
Să înțelegem atașamentele acestei funcții. Să încercăm să calculăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?
Mai întâi trebuie să găsiți , ceea ce înseamnă că arcsinusul este cea mai adâncă încorporare:
Acest arcsinus al lui unu ar trebui apoi să fie pătrat:
Și, în sfârșit, ridicăm șapte la o putere: 
Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două înglobări, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.
Să începem să decidem
Conform regulii, mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:
Sub accident vascular cerebral avem din nou o funcție complexă! Dar deja este mai simplu. Este ușor de verificat că funcția interioară este arcsinus, funcția exterioară este gradul. Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, mai întâi trebuie să luați derivata puterii.