Unghi după raport de aspect. Aria unui triunghi

În geometrie, un unghi este o figură care este formată din două raze care ies dintr-un punct (numit vârful unghiului). În cele mai multe cazuri, unitatea de măsură pentru unghi este gradul (°) - rețineți că un unghi complet, sau o rotație, este de 360°. Puteți găsi valoarea unghiului unui poligon după tipul său și valorile altor unghiuri, iar dacă este dat un triunghi dreptunghic, unghiul poate fi calculat din două laturi. Mai mult, unghiul poate fi măsurat folosind un raportor sau calculat folosind un calculator grafic.

Pași

Cum să găsiți unghiurile interioare ale unui poligon

Numărați numărul de laturi ale poligonului. Pentru a calcula unghiurile interioare ale unui poligon, mai întâi trebuie să determinați câte laturi are poligonul. Rețineți că numărul de laturi ale unui poligon este egal cu numărul unghiurilor sale.

• De exemplu, un triunghi are 3 laturi și 3 unghiuri interioare, iar un pătrat are 4 laturi și 4 unghiuri interioare.

1. Calculați suma tuturor unghiurilor interioare ale poligonului. Pentru a face acest lucru, utilizați următoarea formulă: (n - 2) x 180. În această formulă, n este numărul de laturi ale poligonului. Următoarele sunt sumele unghiurilor poligoanelor care apar frecvent:

   • Suma unghiurilor unui triunghi (un poligon cu 3 laturi) este 180°.
   • Suma unghiurilor unui patrulater (un poligon cu 4 laturi) este 360°.
   • Suma unghiurilor unui pentagon (un poligon cu 5 laturi) este de 540°.
   • Suma unghiurilor unui hexagon (un poligon cu 6 laturi) este 720°.
   • Suma unghiurilor unui octogon (un poligon cu 8 laturi) este 1080°.

2. Împărțiți suma tuturor unghiurilor unui poligon regulat la numărul de unghiuri. Un poligon obișnuit este un poligon cu laturi și unghiuri egale. De exemplu, fiecare unghi al unui triunghi echilateral se calculează astfel: 180 ÷ 3 = 60°, iar fiecare unghi al unui pătrat se calculează astfel: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Un triunghi echilateral și un pătrat sunt poligoane regulate. Iar clădirea Pentagonului (Washington, SUA) și semnul rutier Stop au forma unui octogon obișnuit.

3. Scădeți suma tuturor unghiurilor cunoscute din suma totală a unghiurilor poligonului neregulat. Dacă laturile unui poligon nu sunt egale între ele și unghiurile sale nu sunt, de asemenea, egale între ele, mai întâi se adaugă unghiuri cunoscute poligon. Acum scădeți valoarea rezultată din suma tuturor unghiurilor poligonului - în acest fel veți găsi unghiul necunoscut.

   • De exemplu, dacă dat fiind că cele 4 unghiuri ale unui pentagon sunt 80°, 100°, 120° și 140°, adăugați aceste numere: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Acum scădeți această valoare din suma tuturor unghiurilor. a pentagonului; această sumă este egală cu 540°: 540 - 440 = 100°. Astfel, unghiul necunoscut este de 100°.

   Sfat: unghiul necunoscut al unor poligoane poate fi calculat dacă cunoașteți proprietățile figurii. De exemplu, într-un triunghi isoscel, două laturi sunt egale și două unghiuri sunt egale; Într-un paralelogram (care este un patrulater), laturile opuse sunt egale, iar unghiurile opuse sunt egale.

   Măsurați lungimea celor două laturi ale triunghiului. Partea cea mai lungă triunghi dreptunghic numită ipotenuză. Latura adiacentă este latura care este aproape de unghiul necunoscut. Latura opusă este latura opusă unghiului necunoscut. Măsurați cele două laturi pentru a calcula unghiurile necunoscute ale triunghiului.

   Sfat: utilizați un calculator grafic pentru a rezolva ecuațiile sau găsiți un tabel online cu valorile sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor.

   Calculați sinusul unui unghi dacă cunoașteți latura opusă și ipotenuza. Pentru a face acest lucru, introduceți valorile în ecuație: sin(x) = partea opusă ÷ ipotenuză. De exemplu, latura opusă este de 5 cm și ipotenuza este de 10 cm Împărțiți 5/10 = 0,5. Astfel, sin(x) = 0,5, adică x = sin -1 (0,5).

Construirea oricărui acoperiș nu este atât de ușoară pe cât pare. Și dacă doriți să fie fiabil, durabil și să nu vă fie frică de diferite sarcini, atunci mai întâi, în faza de proiectare, trebuie să faceți o mulțime de calcule. Și vor include nu numai cantitatea de materiale utilizate pentru instalare, ci și determinarea unghiurilor de pantă, a zonelor de pantă etc. Cum se calculează corect unghiul de pantă a acoperișului? De această valoare vor depinde în mare măsură parametrii rămași ai acestui design.

Proiectarea și construcția oricărui acoperiș este întotdeauna o chestiune foarte importantă și responsabilă. Mai ales când vine vorba de acoperișul unei clădiri rezidențiale sau de un acoperiș cu o formă complexă. Dar chiar și un lean-to obișnuit, instalat pe o magazie sau un garaj nedefinit, are nevoie și de calcule preliminare.

Dacă nu determinați în prealabil unghiul de înclinare al acoperișului, nu veți putea afla ce inaltime optima trebuie să aibă o coamă, atunci există riscul ridicat de a construi un acoperiș care se va prăbuși după prima ninsoare, sau întregul strat de finisare va fi rupt chiar și de un vânt moderat.

De asemenea, unghiul acoperișului va afecta semnificativ înălțimea crestei, suprafața și dimensiunile versanților. În funcție de aceasta, va fi posibil să se calculeze mai precis suma necesară pentru a crea sistem de căpriori si materiale de finisare.

Prețuri pentru diferite tipuri de coame de acoperiș

Culmea acoperișului

Unități de măsură

Amintindu-ne de geometria pe care toată lumea a studiat-o la școală, este sigur să spunem că unghiul acoperișului se măsoară în grade. Cu toate acestea, în cărțile despre construcție, precum și în diferite desene, puteți găsi o altă opțiune - unghiul este indicat ca procent (aici ne referim la raportul de aspect).

În general, Unghiul de pantă este unghiul format din două plane care se intersectează– tavanul și panta acoperișului propriu-zis. Poate fi doar ascuțit, adică se află în intervalul 0-90 de grade.

Nota! Pantele foarte abrupte, al căror unghi de înclinare este mai mare de 50 de grade, sunt extrem de rare în forma lor pură. Ele sunt de obicei folosite numai atunci când design decorativ acoperișuri, pot fi prezente în poduri.

În ceea ce privește măsurarea unghiurilor acoperișului în grade, totul este simplu - toți cei care au studiat geometria la școală au aceste cunoștințe. Este suficient să schițați o diagramă a acoperișului pe hârtie și să utilizați un raportor pentru a determina unghiul.

În ceea ce privește procentele, trebuie să cunoașteți înălțimea crestei și lățimea clădirii. Primul indicator este împărțit la al doilea, iar valoarea rezultată este înmulțită cu 100%. Astfel se poate calcula procentul.

Nota! La un procent de 1, gradul tipic de înclinare este de 2,22%. Adică, o pantă cu un unghi de 45 de grade obișnuite este egală cu 100%. Și 1 la sută înseamnă 27 de minute arc.

Tabel de valori - grade, minute, procente

Ce factori influențează unghiul de înclinare?

Unghiul de înclinare al oricărui acoperiș este influențat de un număr foarte mare de factori, de la dorințele viitorului proprietar al casei și terminând cu regiunea în care va fi amplasată casa. Atunci când calculezi, este important să ții cont de toate subtilitățile, chiar și de cele care la prima vedere par nesemnificative. Într-o zi își vor juca rolul. Unghiul adecvat de înclinare a acoperișului trebuie determinat știind:

• tipuri de materiale din care se va construi plăcinta acoperișului, începând de la sistemul de căpriori și terminând cu decorarea exterioară;
• condițiile climatice dintr-o zonă dată (sarcina vântului, direcția predominantă a vântului, cantitatea de precipitații etc.);
• forma viitoarei clădiri, înălțimea ei, designul;
• scopul clădirii, opțiuni de utilizare a spațiului de mansardă.

În acele regiuni în care există o sarcină puternică de vânt, se recomandă construirea unui acoperiș cu o singură pantă și un unghi mic de înclinare. Apoi la vânt puternic acoperișul are șanse mai mari să stea și să nu fie rupt. Dacă este tipic pentru regiune număr mare precipitații (zăpadă sau ploaie), atunci este mai bine să faceți panta mai abruptă - acest lucru va permite precipitațiilor să se rostogolească/scurge de pe acoperiș și să nu creeze încărcătură suplimentară. Panta optimă a unui acoperiș înclinat în regiunile cu vânt variază între 9-20 de grade, iar acolo unde sunt multe precipitații - până la 60 de grade. Un unghi de 45 de grade vă va permite să ignorați încărcătura de zăpadă în ansamblu, dar în acest caz presiunea vântului pe acoperiș va fi de 5 ori mai mare decât pe un acoperiș cu o pantă de numai 11 grade.

Nota! Cu cât parametrii de pantă a acoperișului sunt mai mari, cu atât Mai mult vor fi necesare materiale pentru a-l crea. Costul crește cu cel puțin 20%.

Unghiuri de panta si materiale de acoperis

Nu numai conditiile climatice va avea un impact semnificativ asupra formei și unghiului versanților. Materialele utilizate pentru construcții, în special acoperișurile, joacă, de asemenea, un rol important.

Masă. Unghiuri optime de pantă pentru acoperișuri din diverse materiale.

Nota! Cu cât panta acoperișului este mai mică, cu atât mai mică este panta utilizată la crearea învelișului.

Preturi placi metalice

Placi metalice

Înălțimea crestei depinde și de unghiul pantei

Atunci când se calculează orice acoperiș, un triunghi dreptunghic este întotdeauna luat ca punct de referință, unde picioarele sunt înălțimea pantei în punctul de sus, adică la creasta sau tranziția părții inferioare a întregului sistem de căpriori. până la vârf (în cazul acoperișurilor de mansardă), precum și proiecția lungimii unei anumite pante pe orizontală, care este reprezentată de suprapuneri. Există o singură valoare constantă aici - aceasta este lungimea acoperișului dintre cei doi pereți, adică lungimea travei. Înălțimea părții de creastă va varia în funcție de unghiul de înclinare.

Cunoașterea formulelor din trigonometrie vă va ajuta să proiectați un acoperiș: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LхtgA, S = H/sinA, unde A este unghiul pantei, H este înălțimea acoperișului față de zona coamei, L este jumătate din întreaga lungime a acoperișului (cu acoperiș în fronton) sau întreaga lungime (în cazul acoperișului înclinat), S este lungimea pantei în sine. De exemplu, dacă se cunoaște înălțimea exactă a părții crestei, atunci unghiul de înclinare este determinat folosind prima formulă. Puteți găsi unghiul folosind tabelul tangentelor. Dacă calculele se bazează pe unghiul acoperișului, atunci parametrul înălțimii coamei poate fi găsit folosind a treia formulă. Lungimea căpriorilor, având valoarea unghiului de înclinare și parametrii picioarelor, poate fi calculată folosind a patra formulă.

Un triunghi este un număr geometric format din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Punctele care formează un triunghi se numesc punctele sale, iar segmentele sunt una lângă alta.

În funcție de tipul de triunghi (dreptunghiular, monocrom etc.), puteți calcula latura triunghiului în diferite moduri, în funcție de datele de intrare și de condițiile problemei.

Navigare rapidă pentru un articol

Pentru a calcula laturile unui triunghi dreptunghic se folosește teorema lui Pitagora, care afirmă că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Dacă etichetăm catetele ca „a” și „b” și ipotenuza ca „c”, atunci paginile pot fi găsite cu următoarele formule:

Dacă unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic (a și b) sunt cunoscute, laturile sale pot fi găsite cu următoarele formule:

Triunghi decupat

Un triunghi se numește triunghi echilateral în care ambele laturi sunt aceleași.

Cum se găsește ipotenuza în două catete

Dacă litera „a” este identică cu aceeași pagină, „b” este baza, „b” este unghiul opus bazei, „a” este unghiul adiacent pentru a calcula paginile se pot folosi următoarele formule:

Două colțuri și o latură

Dacă se cunosc o pagină (c) și două unghiuri (a și b) ale oricărui triunghi, se utilizează formula sinusului pentru a calcula paginile rămase:

Trebuie să găsiți a treia valoare y = 180 - (a + b) deoarece

suma tuturor unghiurilor unui triunghi este 180°;

Două laturi și un unghi

Dacă sunt cunoscute două laturi ale unui triunghi (a și b) și unghiul dintre ele (y), teorema cosinusului poate fi folosită pentru a calcula a treia latură.

Cum se determină perimetrul unui triunghi dreptunghic

Un triunghi triunghiular este un triunghi, dintre care unul are 90 de grade, iar celelalte două sunt acute. calcul perimetru astfel de triunghiîn funcţie de cantitatea de informaţii cunoscute despre aceasta.

Vei avea nevoie de el

• În funcție de caz, abilitățile 2 trei laturi ale triunghiului, precum și unul dintre unghiurile sale ascuțite.

instrucţiuni

primul Metoda 1. Dacă toate cele trei pagini sunt cunoscute triunghi Atunci, indiferent dacă este perpendicular sau netriunghiular, perimetrul se calculează astfel: P = A + B + C, acolo unde este posibil, c este ipotenuza; a și b sunt picioare.

doilea Metoda 2.

Dacă un dreptunghi are doar două laturi, atunci folosind teorema lui Pitagora, triunghi poate fi calculat folosind formula: P = v (a2 + b2) + a + b sau P = v (c2 - b2) + b + c.

treilea Metoda 3. Fie ipotenuza c și un unghi ascuțit? Având în vedere un triunghi dreptunghic, va fi posibil să găsim perimetrul astfel: P = (1 + sin?

patrulea Metoda 4. Se spune că în triunghiul dreptunghic lungimea unui catete este egală cu a și, dimpotrivă, are un unghi ascuțit. Apoi calculează perimetru Acest triunghi se va efectua după formula: P = a * (1 / tg?

1/fiu? + 1)

cincimi Metoda 5.

Calcul triunghi online

Lasă piciorul nostru să conducă și să fie inclus în el, atunci intervalul va fi calculat ca: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Videoclipuri înrudite

Teorema lui Pitagora este baza tuturor matematicii. Determină relația dintre laturile unui triunghi adevărat. Există acum 367 de dovezi ale acestei teoreme.

instrucţiuni

primul Formularea școlară clasică a teoremei lui Pitagora sună astfel: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Pentru a găsi ipotenuza într-un triunghi dreptunghic de două Cateți, trebuie să recurgeți la pătrarea lungimii catetelor, să le adunați și să luați rădăcina pătrată a sumei. În formularea originală a afirmației sale, piața se bazează pe ipotenuză, care este egală cu suma pătratelor a 2 pătrate produse de Catete. Cu toate acestea, formularea algebrică modernă nu necesită introducerea unei reprezentări de domeniu.

doilea De exemplu, un triunghi dreptunghic ale cărui catete au 7 cm și 8 cm.

Apoi, conform teoremei lui Pitagora, ipotenuza pătrată este egală cu R + S = 49 + 64 = 113 cm. Ipotenuza este egală cu rădăcina pătrată a lui 113.

Unghiurile unui triunghi dreptunghic

Rezultatul a fost un număr nefondat.

treilea Dacă triunghiurile sunt catetele 3 și 4, atunci ipotenuza = 25 = 5. Când luați rădăcina pătrată, obțineți un număr natural. Numerele 3, 4, 5 formează un triplet Pygagorean, deoarece satisfac relația x? +Y? = Z, ceea ce este natural.

Alte exemple de triplet pitagoreic sunt: ​​6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

patruleaÎn acest caz, dacă picioarele sunt identice între ele, teorema lui Pitagora se transformă într-o ecuație mai primitivă. De exemplu, să presupunem că o astfel de mână este egală cu numărul A și ipotenuza este definită pentru C și apoi c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. În acest caz nu aveți nevoie de A.

cincimi Teorema lui Pitagora este un caz special, mai mare decât teorema generală a cosinusului, care stabilește relația dintre cele trei laturi ale unui triunghi pentru orice unghi între două dintre ele.

Sfat 2: Cum să determinați ipotenuza pentru catete și unghiuri

Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade.

instrucţiuni

primulÎn cazul cateterelor cunoscute, precum și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic, ipotenuza poate avea o dimensiune egală cu raportul cateterului și cosinusul/sinusul acestui unghi, dacă unghiul a fost opus / e includ: H = C1 (sau C2) / sin, H = C1 (sau C2?) / cos?. Exemplu: Fie ABC un triunghi neregulat cu ipotenuza AB și unghi drept C.

Fie B 60 de grade și A 30 de grade. Lungimea tulpinii BC este de 8 cm Lungimea ipotenuzei AB trebuie găsită. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza una dintre metodele de mai sus: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Ipotenuza este cea mai lungă latură a unui dreptunghi triunghi. Este situat într-un unghi drept. Metoda de aflare a ipotenuzei unui dreptunghi triunghi in functie de sursa datelor.

instrucţiuni

primul Dacă picioarele tale sunt perpendiculare triunghi, apoi lungimea ipotenuzei dreptunghiului triunghi poate fi descoperit de un analog pitagoreian - pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimii catetelor: c2 = a2 + b2, unde a și b sunt lungimea catetelor dreptei triunghi .

doilea Dacă unul dintre catete este cunoscut și la un unghi ascuțit, formula pentru găsirea ipotenuzei va depinde de prezența sau absența la un anumit unghi în raport cu catetul cunoscut - adiacent (piciorul este situat aproape), sau invers ( cazul opus este situat nego.V din unghiul specificat este egal cu fracția ipotenuzei catetei în unghi cosinus: a = a / cos E, pe de altă parte, ipotenuza este aceeași cu raportul unghiurilor sinusoidale: da = a / sin.

Videoclipuri înrudite

Sfaturi utile
Un triunghi unghiular ale cărui laturi sunt legate ca 3:4:5, numit delta egipteană datorită faptului că aceste figuri au fost utilizate pe scară largă de arhitecții Egiptului antic.

Acesta este și cel mai simplu exemplu de triunghiuri ale lui Jero, în care paginile și aria sunt reprezentate prin numere întregi.

Un triunghi se numește dreptunghi al cărui unghi este de 90°. Latura opusă colțului drept se numește ipotenuză, cealaltă se numește catete.

Dacă doriți să aflați cum este format un triunghi dreptunghic din unele proprietăți ale triunghiurilor regulate, și anume faptul că suma unghiurilor acute este de 90°, ceea ce este folosit, și faptul că lungimea catetului opus este jumătate din ipotenuză este de 30°.

Navigare rapidă pentru un articol

Triunghi decupat

Una dintre proprietățile unui triunghi egal este că cele două unghiuri ale sale sunt egale.

Pentru a calcula unghiul unui triunghi dreptunghic congruent, trebuie să știți că:

• Acest lucru nu este mai rău de 90°.
• Valorile unghiurilor ascuțite sunt determinate de formula: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, adică

  Unghiurile α și β sunt egale cu 45°.

Dacă valoare cunoscută unul dintre unghiurile ascuțite este cunoscut, celălalt poate fi găsit folosind formula: β = 180º-90º-α sau α = 180º-90º-β.

Acest raport este cel mai des folosit dacă unul dintre unghiuri este de 60° sau 30°.

Concepte cheie

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180°.

Pentru că este un nivel, două rămân ascuțite.

Calculați triunghiul online

Dacă doriți să le găsiți, trebuie să știți că:

Alte moduri

Valorile unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic pot fi calculate din medie - cu o linie dintr-un punct de pe partea opusă a triunghiului, iar înălțimea - linia este o perpendiculară trasă de la ipotenuză în unghi drept. .

Fie ca mediana să se extindă de la colțul din dreapta până la mijlocul ipotenuzei și să fie h înălțimea. În acest caz, rezultă că:

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Două pagini

Dacă lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic sau pe ambele părți, atunci pentru a determina valorile unghiurilor ascuțite, utilizați identități trigonometrice:

• α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Lungimea unui triunghi dreptunghic

Aria și aria unui triunghi

perimetru

Circumferința oricărui triunghi este egală cu suma lungimilor celor trei laturi. Formula generală pentru găsirea unui triunghi triunghiular este:

unde P este circumferința triunghiului, a, b și c a laturilor sale.

Perimetrul unui triunghi egal poate fi găsită prin combinarea succesivă a lungimilor laturilor sale sau înmulțirea lungimii laturii cu 2 și adăugarea lungimii de bază la produs.

Formula generală pentru găsirea unui triunghi de echilibru va arăta astfel:

unde P este perimetrul unui triunghi egal, dar fie b, b este baza.

Perimetrul unui triunghi echilateral poate fi găsită combinând secvențial lungimile laturilor sale sau înmulțind lungimea oricărei pagini cu 3.

Formula generală pentru găsirea marginii triunghiurilor echilaterale va arăta astfel:

unde P este perimetrul unui triunghi echilateral, a este oricare dintre laturile sale.

regiune

Dacă doriți să măsurați aria unui triunghi, o puteți compara cu un paralelogram. Luați în considerare triunghiul ABC:

Dacă luăm același triunghi și îl fixăm astfel încât să obținem un paralelogram, obținem un paralelogram cu aceeași înălțime și bază ca acest triunghi:

În acest caz, latura comună a triunghiurilor este pliată împreună de-a lungul diagonalei paralelogramului turnat.

Din proprietățile unui paralelogram. Se știe că diagonalele unui paralelogram sunt întotdeauna împărțite în două triunghiuri egale, apoi suprafața fiecărui triunghi este egală cu jumătate din intervalul paralelogramului.

Deoarece aria unui paralelogram este aceeași cu produsul înălțimii bazei sale, aria triunghiului va fi egală cu jumătate din acest produs. Astfel, pentru ΔABC aria va fi aceeași

Acum considerăm un triunghi dreptunghic:

Două triunghiuri dreptunghiulare identice pot fi îndoite într-un dreptunghi dacă acesta se sprijină pe ele, care este unul altuia ipotenuză.

Deoarece suprafața dreptunghiului coincide cu suprafața laturilor adiacente, aria acestui triunghi este aceeași:

Din aceasta putem concluziona că suprafața oricărui triunghi dreptunghic este egală cu produsul catetelor împărțit la 2.

Din aceste exemple se poate concluziona că suprafața fiecărui triunghi este aceeași cu produsul lungimii, iar înălțimea se reduce la substrat împărțit la 2.

Formula generală pentru găsirea ariei unui triunghi ar arăta astfel:

unde S este aria triunghiului, dar baza acestuia, dar înălțimea scade în partea de jos a.

Definiția triunghiului

Triunghi- Asta figură geometrică, care se formează ca urmare a intersecției a trei segmente ale căror capete nu se află pe aceeași dreaptă. Orice triunghi are trei laturi, trei vârfuri și trei unghiuri.

Calculator online

Există triunghiuri diverse tipuri. De exemplu, există triunghi echilateral(una în care toate laturile sunt egale), isoscel (două laturi sunt egale în ea) și dreptunghiulară (în care unul dintre unghiuri este drept, adică egal cu 90 de grade).

Aria unui triunghi poate fi găsită în diverse moduriîn funcție de ce elemente ale figurii sunt cunoscute din condițiile problemei, fie că este vorba de unghiuri, lungimi sau chiar razele cercurilor asociate cu triunghiul. Să ne uităm la fiecare metodă separat cu exemple.

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe baza și înălțimea acestuia

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a o- baza triunghiului;
h h h- altitudinea triunghiului trasat la baza dată a.

Exemplu

Aflați aria unui triunghi dacă se cunoaște lungimea bazei acestuia, egală cu 10 (cm) și înălțimea trasată la această bază, egală cu 5 (cm).

Soluţie

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Inlocuim aceasta in formula pentru suprafata si obtinem:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (vezi mp.)

Răspuns: 25 (cm. mp)

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe lungimile tuturor laturilor

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- lungimile laturilor triunghiului;
p p p- jumătate din suma tuturor laturilor triunghiului (adică jumătate din perimetrul triunghiului):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (a +b+c)

Această formulă se numește Formula lui Heron.

Exemplu

Aflați aria unui triunghi dacă sunt cunoscute lungimile celor trei laturi ale sale, egale cu 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Soluţie

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Să găsim jumătate din perimetru p p p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Apoi, conform formulei lui Heron, aria triunghiului este:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (vezi mp.)

Răspuns: 6 (vezi pătratul)

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe o latură și două unghiuri

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 o 2 ​ ⋅ sin(β + γ)păcat β păcat γ ​ ,

A a o- lungimea laturii triunghiului;
β , γ \beta, \gamma β , γ - unghiuri adiacente laturii a a o.

Exemplu

Având în vedere o latură a unui triunghi egală cu 10 (cm) și două unghiuri adiacente de 30 de grade. Găsiți aria triunghiului.

Soluţie

A = 10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Conform formulei:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdo(2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\aprox 14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ păcatul (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) păcat 3 0 ∘ păcat 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (vezi mp.)

Răspuns: 14,4 (vezi mp)

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- laturile triunghiului;
R R R- raza cercului circumscris în jurul triunghiului.

Exemplu

Să luăm numerele din a doua problemă și să le adăugăm raza R R R cercuri. Fie egal cu 10 (cm.).

Soluţie

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (vezi mp.)

Răspuns: 1,5 (cm2)

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= p⋅ r,

p pp- jumatate din perimetrul triunghiului:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)p= 2 o+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, co, b, c- laturile triunghiului;
r rr- raza cercului înscris în triunghi.

Exemplu

Fie raza cercului înscris 2 (cm). Vom lua lungimile laturilor din problema anterioară.

Soluţie

$o=3b\; =\; 4\; b=4b=4c\; =\; 5\; c=5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (vezi mp.)

Răspuns: 12 (cm. mp)

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe două laturi și unghiul dintre ele

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ păcat(α ) ,

b, c b, cb, c- laturile triunghiului;

α\alfaα - unghiul dintre laturi b bbŞi c cc.

Exemplu

Laturile triunghiului sunt de 5 (cm) și 6 (cm), unghiul dintre ele este de 30 de grade. Găsiți aria triunghiului.

Soluţie

$b=5c\; =\; 6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ păcat(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (vezi mp.)

Răspuns: 7,5 (cm. mp)

Primele sunt segmentele care sunt adiacente unghiului drept, iar ipotenuza este partea cea mai lungă a figurii și este situată opus unghiului de 90 de grade. Un triunghi pitagoreic este unul ale cărui laturi sunt egale cu numerele naturale; lungimile lor în acest caz se numesc „triplu pitagoreic”.

triunghi egiptean

Pentru ca generația actuală să recunoască geometria în forma în care este predată în școală acum, aceasta s-a dezvoltat de-a lungul mai multor secole. Punctul fundamental este considerat a fi teorema lui Pitagora. Laturile unui dreptunghiular sunt cunoscute în întreaga lume) sunt 3, 4, 5.

Puțini oameni nu sunt familiarizați cu expresia „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Totuși, în realitate teorema sună astfel: c 2 (pătratul ipotenuzei) = a 2 + b 2 (suma pătratelor catetelor).

Printre matematicieni, un triunghi cu laturile 3, 4, 5 (cm, m etc.) se numește „egiptean”. Lucrul interesant este că ceea ce este înscris în figură este egal cu unu. Numele a apărut în jurul secolului al V-lea î.Hr., când filozofii greci au călătorit în Egipt.

La construirea piramidelor, arhitecții și topografii au folosit raportul 3:4:5. Astfel de structuri s-au dovedit a fi proporționale, plăcute de privit și spațioase și, de asemenea, rareori s-au prăbușit.

Pentru a construi un unghi drept, constructorii au folosit o frânghie cu 12 noduri legate pe ea. În acest caz, probabilitatea de a construi un triunghi dreptunghic a crescut la 95%.

Semne de egalitate a cifrelor

• Un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic și o latură lungă, care sunt egale cu aceleași elemente din al doilea triunghi, sunt un semn incontestabil al egalității figurilor. Ținând cont de suma unghiurilor, este ușor de demonstrat că și al doilea unghi ascuțit este egal. Astfel, triunghiurile sunt identice după al doilea criteriu.
• Când suprapunem două figuri una peste alta, le rotim astfel încât, atunci când sunt combinate, să devină un triunghi isoscel. După proprietatea sa, laturile, sau mai degrabă ipotenuzele, sunt egale, precum și unghiurile de la bază, ceea ce înseamnă că aceste cifre sunt aceleași.

Pe baza primului semn, este foarte ușor să demonstrezi că triunghiurile sunt într-adevăr egale, principalul lucru este că cele două laturi mai mici (adică picioarele) sunt egale între ele.

Triunghiurile vor fi identice după al doilea criteriu, a cărui esență este egalitatea piciorului și unghiul ascuțit.

Proprietățile unui triunghi cu unghi drept

Înălțimea de la care a fost coborâtă unghi drept, împarte figura în două părți egale.

Laturile unui triunghi dreptunghic și mediana acestuia pot fi ușor recunoscute după regula: mediana care este plasată pe ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta. poate fi găsită atât prin formula lui Heron cât și prin afirmația că este egală cu jumătate din produsul picioarelor.

Într-un triunghi dreptunghic, se aplică proprietățile unghiurilor de 30°, 45° și 60°.

• Cu un unghi de 30°, trebuie amintit că piciorul opus va fi egal cu 1/2 din latura cea mai mare.
• Dacă unghiul este de 45°, atunci și al doilea unghi ascuțit este de 45°. Acest lucru sugerează că triunghiul este isoscel și picioarele sale sunt aceleași.
• Proprietatea unui unghi de 60° este că al treilea unghi are o măsură de grad de 30°.

Zona poate fi descoperită cu ușurință folosind una dintre cele trei formule:

1. prin înălțimea și latura pe care coboară;
2. după formula lui Heron;
3. pe laturi si unghiul dintre ele.

Laturile unui triunghi dreptunghic, sau mai degrabă catetele, converg cu două altitudini. Pentru a găsi al treilea, este necesar să se ia în considerare triunghiul rezultat și apoi, folosind teorema lui Pitagora, să se calculeze lungimea necesară. Pe lângă această formulă, există și o relație între dublul ariei și lungimea ipotenuzei. Cea mai comună expresie în rândul studenților este prima, deoarece necesită mai puține calcule.

Teoreme aplicabile triunghiului dreptunghic

Geometria triunghiului dreptunghic implică utilizarea unor teoreme precum: