Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan. semn de paralelism al unei drepte și a unui plan Aranjament reciproc al unei drepte și a unui plan într-un cub

Linia dreaptă aparține avionului dacă are două puncte comune sau un punct comun și este paralel cu orice dreaptă din plan. Să se definească planul din desen prin două linii drepte care se intersectează. În acest plan, este necesar să se construiască două linii drepte m și n în conformitate cu aceste condiții ( G(a b)) (Fig. 4.5).

Soluție 1. Trageți în mod arbitrar m 2, deoarece linia dreaptă aparține planului, marcăm proiecțiile punctelor de intersecție ale acesteia cu liniile drepte. Ași bși definim proiecțiile lor orizontale, prin 1 1 și 2 1 desenăm m 1.

2. Trageți n 2 ║m 2 și n 1 ║m 1 prin punctul K al planului.

Linie paralelă cu planul dacă este paralelă cu orice dreaptă din plan.

Intersecția unei linii drepte și a unui plan. Există trei cazuri posibile ale unei linii drepte și a unui plan relativ la planurile de proiecție. În funcție de aceasta, se determină punctul de intersecție al liniei și al planului.

Primul caz - linia dreaptă și planul - poziția de proiecție. În acest caz, există un punct de intersecție în desen (ambele proiecții ale acestuia), trebuie doar să fie desemnat.

EXEMPLU În desen, un plan este dat de urme Σ ( h 0 f 0)- poziția de proiectare orizontală - și dreaptă l- poziția de proiectare frontală. Determinați punctul de intersecție a acestora (Fig. 4.6).

Punctul de intersecție din desen este deja - K (K 1 K 2).

Al doilea caz- fie o linie dreaptă, fie un plan - a poziției de proiecție. În acest caz, pe unul dintre planurile de proiecție, proiecția punctului de intersecție este deja disponibilă, trebuie să fie desemnată, iar pe al doilea plan de proiecție, trebuie găsită prin apartenență.

EXEMPLU În fig. 4.7, a arată planul cu urme ale poziției de proiecție frontală și a liniei drepte l- poziția generală. Proiecția punctului de intersecție K 2 din desen este deja disponibilă, iar proiecția K 1 trebuie găsită prin apartenența punctului K la linie l... Pe
orez. 4.7, b este planul general de poziție, iar linia dreaptă m se proiectează frontal, atunci K 2 există deja (coincide cu m 2), iar K 1 trebuie găsit din condiția ca punctul K să aparțină planului. Pentru a face acest lucru, treceți prin K
Drept ( h- orizontal) culcat în avion.

Al treilea caz- atât o linie dreaptă, cât și un plan - în poziție generală. În acest caz, pentru a determina punctul de intersecție a unei linii drepte și a unui plan, este necesar să se utilizeze așa-numitul mediator - planul de proiecție. Pentru aceasta, un plan auxiliar de tăiere este tras prin linia dreaptă. Acest plan intersectează planul specificat de-a lungul liniei. Dacă această linie intersectează linia specificată, adică punctul de intersecție al liniei și al planului.

EXEMPLU În fig. 4.8 planul este reprezentat de triunghiul ABC - în poziție generală - și de linia dreaptă l- poziția generală. Pentru a determina punctul de intersecție K, este necesar prin l se trasează un plan project frontal, se construiește o linie de intersecție a lui Δ și Σ într-un triunghi (în desen acesta este un segment 1,2), se determină K 1 și prin apartenență - K 2. Apoi se determină vizibilitatea liniei lîn raport cu triunghiul din punctele concurente. Pe P 1, punctele 3 și 4 sunt luate de puncte concurente. Proiecția punctului 4 este vizibilă pe P 1, deoarece coordonata sa Z este mai mare decât cea a punctului 3, prin urmare, proiecția l 1 din acest punct până la K 1 va fi invizibil.

Pe P2, punctele concurente sunt punctul 1 aparținând AB, iar punctul 5 aparținând l... Punctul 1 va fi vizibil, deoarece coordonata sa Y este mai mare decât cea a punctului 5 și, prin urmare, proiecția liniei drepte l 2 până la K 2 este invizibil.

Locație

Semn: dacă o linie dreaptă care nu se află într-un plan dat este paralelă cu o linie dreaptă situată în acest plan, atunci este paralelă cu acest plan.

1. dacă un plan trece printr-o dreaptă dată, paralelă cu un alt plan și intersectează acest plan, atunci linia de intersecție a planurilor este paralelă cu această linie dreaptă.

2. dacă una dintre cele 2 linii este paralelă cu aceasta, atunci cealaltă linie este fie paralelă cu acest plan, fie se află în acest plan.

POZIȚIA RELATIVĂ DE AVION. PARALELITATEA AVIOANELOR

Locație

1. avioanele au cel puțin un punct comun, adică se intersectează în linie dreaptă

2. planurile nu se intersectează, adică nu au niciun punct comun, în acest caz ele sunt numite paralele.

semn

dacă 2 drepte intersectate ale unui plan sunt paralele cu 2 drepte ale unui alt plan, atunci aceste plane sunt paralele.

Sv-in

1. dacă 2 planuri paralele intersectează 3, atunci liniile intersecției lor sunt paralele

2. segmentele de linii paralele, închise între planuri paralele, sunt egale.

PERPENDICULARITATEA DREPTULUI ȘI A AVIONULUI. SEMNUL PERPENDICULARITĂȚII DREPTULUI ȘI PLANULUI.

Apeluri directe perpendicular dacă se intersectează sub<90.

Lemă: dacă 1 din 2 linii paralele este perpendiculară pe a 3-a linie, atunci cealaltă linie este perpendiculară pe această linie.

Linia dreaptă se numește perpendiculară pe plan, dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan.

Teorema: dacă 1 din 2 linii paralele este perpendiculară pe plan, atunci cealaltă linie este perpendiculară pe acest plan.

Teorema: dacă 2 drepte sunt perpendiculare pe plan, atunci sunt paralele.

Semn

Dacă o linie dreaptă este perpendiculară pe 2 linii drepte intersectate situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

PERPENDICULAR ȘI INCLINAT

Să construim un plan etc., care nu aparține planului. Să trasăm o linie dreaptă perpendiculară pe plan. Punctul de intersecție a unei drepte cu un plan este desemnat N. Segmentul AH este o perpendiculară trasată din punctul A în plan. T.N este baza perpendicularei. Să luăm în plan punctul M, care nu coincide cu N. Segmentul AM este unul înclinat, trasat din punctul A în plan. M - bază înclinată. Segment MH - proiecție înclinată pe un plan. AH perpendicular este distanța de la punctul A la plan. Orice distanță este o parte a unei perpendiculare.

3 teorema perpendiculară:

O linie dreaptă trasată într-un plan prin baza perpendicularei înclinate spre proiecția sa pe acest plan este, de asemenea, perpendiculară pe înclinarea însăși.

UNGHIUL DREPT ȘI PLANUL

Unghiul dintre o linie dreaptă și planul este unghiul dintre această dreaptă și proiecția sa pe plan.

UNGHIUL DIHEDRAL. UNGHIUL ÎNTRE AVIOANE

Unghi diedru numită figura formată dintr-o linie dreaptă și 2 semiplane cu o limită comună a, nu aparține aceluiași plan.

Limita a - marginea unui unghi diedru. Jumătate de avion - fețele diedrelor unghiului. Pentru a măsura unghiul diedru. Trebuie să construiți un unghi liniar în interiorul acestuia. Marcăm un punct pe marginea diedrelor colțului și tragem o rază din acest punct la fiecare față, perpendicular pe margine. Unghiul format de aceste raze se numește cap liniar al diedrului unghiului. Pot fi infinit multe dintre ele în interiorul diedrelor colțului. Toate au aceeași dimensiune.

PERPENDICULARITATEA A DOUĂ AVIOane

Se numesc două planuri care se intersectează perpendicular, dacă unghiul dintre ele este de 90.

Semn:

Dacă 1 din 2 planuri trece printr-o linie dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci astfel de plane sunt perpendiculare.

Politopi

Poliedru- o suprafață formată din poligoane și care limitează un corp geometric. Fațete- poligoane din care sunt compuse poliedre. Coaste- laturile fețelor. Topuri- capetele coastelor. Diagonala poliedrului se numește un segment care leagă 2 vârfuri care nu aparțin unei fețe. Planul, pe ambele părți ale cărui puncte sunt poliedrul, se numește ... tăind cu un avion. Partea comună a poliedrului și a zonei secante se numește secțiunea unui poliedru. Poliedrele sunt convexe și concave. Poliedrul se numește convex dacă este situat pe o parte a planului fiecăreia dintre fețele sale (tetraedru, paralelipiped, octaedru). Într-un poliedru convex, suma tuturor unghiurilor plane la fiecare vârf este mai mică de 360.

PRISM

Se numește un poliedru compus din 2 poligoane egale situate în planuri paralele și n - paralelograme prisma.

Poligoanele A1A2..A (p) și B1B2..B (p) - bazele prismei... А1А2В2В1 ... - paralelogramele, A (p) A1B1B (p) - fețele laterale. Segmente A1B1, A2B2..A (p) B (p) - coastele laterale.În funcție de poligonul care stă la baza prismei, prisma numit n-cărbune. Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze la planul altei baze înălţime. Dacă marginile laterale ale prismei sunt perpendiculare pe bază, atunci prisma - Drept, și dacă nu perpendicular - apoi oblic.Înălțimea prismei drepte este egală cu lungimea coastei sale laterale. Baza de prisma dreaptă corectă dacă baza sa este poligoane regulate, toate fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

PARALLEPIPAT

AVSD // A1V1S1D1, AA1 // BB1 // CC1 // DD1, AA1 = BB1 = CC1 = DD1 (conform planurilor paralele)

Paralelepipedul este format din 6 paralelograme. Paralelograme numite fețe. AVSD și A1V1S1D1 - baze, restul fețelor sunt numite lateral. Puncte A B C D A1 B1 C1 D1 - vârfuri. Segmentele care leagă vârfurile - coaste. AA1, BB1, CC1, DD1 - coastele laterale.

Diagonala paralelipipedului - se numește un segment care leagă 2 vârfuri care nu aparțin unei fețe.

Insula Sfântă

1. fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale. 2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează la un punct și sunt înjumătățite de acest punct.

PIRAMIDĂ

Luați în considerare poligonul A1A2..A (n), punctul P, care nu se află în planul acestui poligon. Să conectăm punctul P cu vârfurile poligonului și să obținem n triunghiuri: PA1A2, PA2A3… .PA (n) A1.

Politop compus din n-gon și n-triunghiuri numită piramidă. Poligon - baza. Triunghiuri - fețele laterale. R - vârful piramidei. Segmente A1P, A2P..A (p) P - coastele laterale.În funcție de poligonul care se află la bază, se numește piramida p-cărbune. Înălțimea piramidei numită perpendiculară trasată de sus în planul bazei. Piramida este numită corectă dacă există un poligon regulat la baza acestuia și înălțimea cade în centrul bazei. Apotem- înălțimea feței laterale a piramidei obișnuite.

PIRAMIDĂ TRUNCATĂ

Luați în considerare piramida PA1A2A3A (n). desenați un plan de tăiere paralel cu baza. Acest plan ne împarte piramida în 2 părți: cea superioară este o piramidă similară cu aceasta, cea inferioară este o piramidă trunchiată. Suprafața laterală este formată dintr-un trapez. Nervurile laterale conectează vârfurile bazelor.

Teorema: suprafața laterală a unei piramide trunchiate regulate este egală cu produsul din jumătatea sumelor perimetrelor de bază și apotemului.

POLITOPI DREPT

Politopul convex se numește regulat dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate egale și același număr de margini converge la fiecare dintre vârfurile sale. Un exemplu de poliedru regulat este un cub. Toate fațetele sale sunt pătrate egale și 3 margini converg la fiecare vârf.

Tetraedru regulat compus din 4 triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf este vârful a 3 triunghiuri. Suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este de 180.

Octaedru regulat compunerea a 8 triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf este vârful a 4 triunghiuri. Suma unghiurilor plane la fiecare vârf = 240

Icosaedru regulat compoziția a 20 de triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf este vârful celui de-al cincilea triunghi. Suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este de 300.

cub compoziția a 6 pătrate. Fiecare vârf este vârful a 3 pătrate. Suma unghiurilor plane la fiecare vârf = 270.

Dodecaedru regulat compoziția a 12 pentagone regulate. Fiecare vârf este vârful a 3 pentagone regulate. Suma unghiurilor plane la fiecare vârf = 324.

Nu există alte tipuri de poliedre regulate.

CILINDRU

Se numește un corp delimitat de o suprafață cilindrică și de două cercuri cu limite L și L1 cilindru. Cercurile L și L1 se numesc bazele cilindrilor. Segmente MM1, AA1 - generatoare. Formând compoziția suprafeței cilindrice sau laterale a cilindrului. Se numește linie dreaptă, care leagă centrele bazelor O și O1 axa cilindrului. Lungimea generatoarei - înălțimea cilindrului. Raza de bază (r) - raza cilindrului.

Secțiuni transversale ale cilindrului

Axial trece prin axa și diametrul bazei

Perpendicular pe ax

Un cilindru este un corp de revoluție. Se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturi.

CON

Se consideră un cerc (o; r) și o dreaptă OP perpendiculară pe planul acestui cerc. Prin fiecare punct al cercului L și m.P desenăm segmente, există infinit multe dintre ele. Ele formează o suprafață conică și sunt numite generatoare.

R- vârf, SAU - ax conic.

Corp delimitat de o suprafață conică și un cerc cu o delimitare L numit con. Cerc - baza conului. Blat conic - vârful conului. Formarea unei suprafețe conice - generatoare de con. Suprafață conică - suprafața laterală a conului. RO - axa conului. Distanța de la P la O - înălțimea conului. Un con este un corp de revoluție. Se obține prin rotirea dreptunghiului triunghiului în jurul piciorului.

Secțiunea con

Secțiunea axială

Secțiunea transversală perpendiculară pe axă

SFERA ȘI BALA

Sferă numită suprafață formată din toate punctele din spațiu situate la o distanță dată de un punct dat. Acest punct este centrul sferei. Această distanță este raza sferei.

Un segment care leagă 2 puncte ale sferei și trece prin centrul acesteia numit diametrul sferei.

Corpul, limitat de sfera numită minge. Centrul, raza și diametrul sferei numite centrul, raza și diametrul mingii.

Sfera și mingea sunt corpuri de revoluție. Sferă se obține prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului și minge se obține prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului.

într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ecuația unei sfere de rază R cu centrul C (x (0), y (0), Z (0) are forma (xx (0)) (2) + (yy (0) ) (2) + (zz (0)) (2) = R (2)

Element la distanță.

un element îndepărtat.

• a) nu au puncte comune;

Teorema.

Desemnarea secțiunii

GOST 2.305-2008 prevede următoarele cerințe pentru desemnarea secțiunii:

1. Poziția planului de tăiere este indicată în desen printr-o linie de secțiune.

2. Pentru linia de secțiune trebuie utilizată o linie deschisă (grosime de la S la 1,5 S, lungime linie 8-20 mm).

3. În cazul unei secțiuni complexe, cursele sunt trase și la intersecția planurilor secante între ele.

4. Săgețile trebuie așezate pe cursele inițiale și finale, indicând direcția de vizualizare, săgețile trebuie trasate la o distanță de 2-3 mm de capătul exterior al cursei.

5. Dimensiunile săgeților trebuie să corespundă cu cele prezentate în Figura 14.

6. Liniile inițiale și finale nu trebuie să intersecteze conturul imaginii corespunzătoare.

7. La începutul și la sfârșitul liniei de secțiune și, dacă este necesar, la intersecția planurilor secante, puneți aceeași literă majusculă a alfabetului rus. Literele sunt aplicate lângă săgețile care indică direcția privirii și la intersecțiile din partea colțului exterior (Figura 24).

Figura 24 - Exemple de desemnare a secțiunii

8. Incizia trebuie marcată cu o inscripție de tipul „А-А” (întotdeauna cu două litere separate printr-o liniuță).

9. Când planul secant coincide cu planul de simetrie al obiectului ca întreg, iar imaginile corespunzătoare sunt situate pe aceeași foaie în conexiune de proiecție directă și nu sunt separate de alte imagini, poziția planului secant nu este marcat pentru tăieturi orizontale, frontale și de profil, iar incizia nu este însoțită de o inscripție.

10. Tăieturile frontale și de profil, de regulă, primesc poziția corespunzătoare celei adoptate pentru obiectul dat în imaginea principală a desenului.

11. Tăieturile orizontale, frontale și profilate pot fi amplasate în locul vederilor principale corespunzătoare.

12. Este permisă plasarea unei secțiuni în orice loc din câmpul de desen, precum și cu o rotație cu adăugarea unei denumiri grafice convenționale - pictograma Rotit (Figura 25).

Figura 25 - Denumire grafică convențională - pictogramă „Rotită”

Desemnarea secțiunii transversale este similară cu desemnarea secțiunilor și constă din urme ale planului de tăiere și o săgeată care indică direcția de vizualizare, precum și o literă atașată la exteriorul săgeții (Figura 1c, Figura 3). Secțiunea extinsă nu este etichetată și planul secțiunii nu este afișat dacă linia secțiunii coincide cu axa de simetrie a secțiunii, iar secțiunea în sine este situată pe continuarea urmei planului secțiunii sau în spațiul dintre părțile vederii. Pentru o secțiune simetrică suprapusă, nici planul tăiat nu este prezentat. Dacă secțiunea este asimetrică și situată într-un spațiu sau este suprapusă (Figura 2 b), linia secțiunii este trasată cu săgeți, dar acestea nu sunt indicate prin litere.

Secțiunea este permisă să fie poziționată cu un viraj, furnizând inscripția de deasupra secțiunii cu cuvântul „întoarsă”. Pentru mai multe secțiuni identice legate de un obiect, liniile de secțiune sunt desemnate de aceeași literă și se desenează o secțiune. În cazurile în care secțiunea se obține formată din părți separate, trebuie folosite tăieturi.

Poziția generală linie dreaptă

O linie dreaptă în poziție generală (Figura 2.2) se numește linie dreaptă care nu este paralelă cu niciunul dintre aceste plane de proiecție. Orice segment al unei astfel de linii drepte este proiectat distorsionat în sistemul dat de planuri de proiecție. Unghiurile de înclinare ale acestei linii drepte spre planurile de proiecție sunt, de asemenea, distorsionate.

Orez. 2.2.

Clauze private directe
Liniile drepte ale unei anumite poziții includ linii drepte paralele cu unul sau două planuri de proiecție.
Orice linie (dreaptă sau curbă) paralelă cu planul de proiecție se numește linie de nivel. În grafica inginerească, există trei linii principale: orizontale, frontale și linii de profil.

Orez. 2.3-a

O linie orizontală este orice linie paralelă cu planul orizontal al proiecțiilor (Fig. 2, 3-a). Proiecția frontală a orizontalei este întotdeauna perpendiculară pe liniile de comunicație. Orice segment orizontal pe planul de proiecție orizontal este proiectat în valoare reală. Adevărata valoare este proiectată pe acest plan și unghiul de înclinare al orizontalei (liniei drepte) față de planul frontal al proiecțiilor. Ca exemplu, Fig. 2, 3-a prezintă o imagine vizuală și un desen complex al orizontalei hînclinat spre plan NS 2 sub un unghi b .
Orez. 2.3-b

Frontalul se numește o linie paralelă cu planul frontal al proiecțiilor (Figura 2.3-b). Proiecția orizontală a frontului este întotdeauna perpendiculară pe liniile de comunicație. Orice segment al frontalului pe planul frontal al proiecțiilor este proiectat în adevărata valoare. În adevărată magnitudine, este proiectat pe acest plan și unghiul de înclinare a frontului (linia dreaptă) față de planul orizontal al proiecțiilor (unghiul A).
Orez. 2,3 in

Linia de profil este o linie paralelă cu planul de profil al proiecțiilor (Fig. 2, 3-c). Proiecțiile orizontale și frontale ale liniei de profil sunt paralele cu liniile de comunicație ale acestor proiecții. Orice segment al liniei de profil (linie dreaptă) este proiectat pe planul de profil în mărime reală. Pe același plan, unghiurile de înclinare ale liniei de profil față de planurile de proiecție sunt proiectate în adevărata valoare NS 1 și NS 2. Când definiți o linie de profil într-un desen complex, este necesar să indicați două puncte ale acestei linii.

Liniile de nivel paralele cu două planuri de proiecție vor fi perpendiculare pe al treilea plan de proiecție. Astfel de linii drepte se numesc proiectare. Există trei linii principale de proiectare: linii de proiectare orizontale, frontale și de profil.
Orez. 2,3-g Orez. 2.3-d Orez. 2.3

O linie dreaptă orizontală (Fig. 2, 3-d) se numește linie dreaptă perpendiculară pe plan NS 1. Orice segment al acestei linii drepte este proiectat pe plan NS NS 1 - la obiect.

O linie dreaptă frontală (Fig. 2 Z-e) se numește linie dreaptă perpendiculară pe plan NS 2. Orice segment al acestei linii drepte este proiectat pe plan NS 1 fără distorsiuni, dar pe un plan NS 2 - la obiect.

Un profil care proiectează linia dreaptă (Fig. 2, 3-e) se numește linie dreaptă perpendiculară pe plan NS 3, adică linie dreaptă paralelă cu planurile de proiecție NS 1 și NS 2. Orice segment al acestei linii drepte este proiectat pe plan NS 1 și NS 2 fără distorsiuni, dar pe un plan NS 3 - la obiect.

Liniile principale într-un plan

Dintre liniile drepte aparținând planului, un loc special este ocupat de linii drepte care ocupă o anumită poziție în spațiu:

1. Orizontale h - linii drepte situate în acest plan și paralele cu planul orizontal al proiecțiilor (h // P1) (Fig.6.4).

Figura 6.4 Orizontală

2. Frontale f - linii drepte situate în plan și paralele cu planul frontal al proiecțiilor (f // P2) (Figura 6.5).

Figura 6.5 Față

3. Drepte de profil p - drepte care se află în acest plan și sunt paralele cu planul de profil al proiecțiilor (p // P3) (Figura 6.6). Trebuie remarcat faptul că urmele avionului pot fi atribuite și liniilor principale. Urma orizontală este orizontală a planului, frontalul este frontalul și profilul este linia de profil a planului.

Figura 6.6 Linia profilului

4. Linia celei mai mari pante și proiecția sa orizontală formează un unghi liniar j, care măsoară unghiul diedru format de acest plan și planul de proiecție orizontal (Figura 6.7). Evident, dacă o linie dreaptă nu are două puncte comune cu planul, atunci este fie paralelă cu planul, fie o intersectează.

Figura 6.7 Linia cu cea mai mare pantă

Mod cinematic de formare a suprafețelor. Setează suprafața din desen.

În grafica inginerească, o suprafață este considerată ca un set de poziții succesive ale unei linii care se mișcă în spațiu conform unei anumite legi. În procesul de formare a suprafeței, linia 1 poate rămâne neschimbată sau își poate schimba forma.
Pentru claritatea imaginii de suprafață într-un desen complex, este recomandabil să setați grafica legii deplasării sub forma unei familii de linii (a, b, c). Legea deplasării liniei 1 poate fi specificată prin două (a și b) sau una (a) linii și condiții suplimentare care clarifică legea deplasării 1.
Linia mobilă 1 se numește generatoare, linii fixe a, b, c - ghidaje.
Să luăm în considerare procesul de formare a suprafeței folosind exemplul prezentat în Figura 3.1.
Aici se ia drept generator linia dreaptă 1. Legea deplasării generatorului este dată de direcția a și dreapta b. În acest caz, se înseamnă că generatorul 1 alunecă de-a lungul ghidajului a, tot timpul rămânând paralel cu linia dreaptă b.
Această metodă de formare a suprafeței se numește cinematică. Cu ajutorul acestuia, puteți forma și defini diferite suprafețe în desen. În special, Figura 3.1 arată cel mai general caz al unei suprafețe cilindrice.

Orez. 3.1.

Un alt mod de a forma o suprafață și de a o afișa într-un desen este de a defini suprafața printr-un set de puncte sau linii care îi aparțin. În acest caz, punctele și liniile sunt alese astfel încât să permită, cu un grad suficient de precizie, determinarea formei suprafeței și rezolvarea diferitelor probleme de pe ea.
Setul de puncte sau linii care definesc o suprafață se numesc wireframe.
În funcție de modul în care este definită cadrul de suprafață, puncte sau linii, ramele sunt împărțite în punct și liniar.
Figura 3.2 prezintă un cadru de suprafață format din două familii de linii a1, a2, a3, ..., an și b1, b2, b3, ..., bn, situate ortogonal.

Orez. 3.2.

Secțiuni conice.

SECTIUNI TAPERATE, curbele plane, care se obțin prin intersecția unui con circular circular cu un plan care nu trece prin vârful său (Fig. 1). Din punctul de vedere al geometriei analitice, o secțiune conică este un locus al punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate considerate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbolă sau parabole.

Secțiunile conice se găsesc adesea în natură și tehnologie. De exemplu, orbitele planetelor care orbitează Soarele sunt eliptice. Un cerc este un caz special al unei elipse în care axa majoră este egală cu cea minoră. O oglindă parabolică are proprietatea că toate razele incidente paralele cu axa sa converg într-un punct (focalizare). Acesta este utilizat în majoritatea telescoapelor cu reflector care utilizează oglinzi parabolice, precum și în antenele radar și microfoanele speciale cu reflectoare parabolice. Un fascicul de raze paralele emană dintr-o sursă de lumină plasată în centrul unui reflector parabolic. Prin urmare, oglinzile parabolice sunt utilizate în farurile puternice și farurile auto. Hiperbola este un grafic al multor relații fizice importante, cum ar fi legea lui Boyle (care leagă presiunea și volumul unui gaz ideal) și legea lui Ohm, care specifică curentul electric ca o funcție a rezistenței la tensiune constantă.

ISTORIA TEMPURIE

Descoperitorul secțiunilor conice este considerat a fi Menechm (secolul IV î.Hr.), student al lui Platon și profesor al lui Alexandru cel Mare. Menechm a folosit o parabolă și o hiperbolă isoscelă pentru a rezolva problema dublării unui cub.

Tratate pe secțiuni conice scrise de Aristeas și Euclid la sfârșitul secolului al IV-lea. Î.Hr. s-au pierdut, dar materialele lor au intrat în faimoasele secțiuni conice ale lui Apollonius din Perga (c. 260–170 î.Hr.), care au supraviețuit până în zilele noastre. Apollonius a abandonat cerința perpendicularității planului secant al generatoarei conului și, prin variația unghiului de înclinare a acestuia, a obținut toate secțiunile conice dintr-un con circular, drept sau înclinat. De asemenea, datorăm lui Apollonius numele moderne ale curbelor - elipsă, parabolă și hiperbolă.

În construcțiile sale, Apollonius a folosit un con circular cu două cavități (ca în Fig. 1), astfel încât pentru prima dată a devenit clar că o hiperbolă este o curbă cu două ramuri. De pe vremea lui Apollonius, secțiunile conice au fost împărțite în trei tipuri, în funcție de înclinația planului secant spre generatorul conului. O elipsă (Fig. 1, a) se formează atunci când planul de tăiere intersectează toate generatoarele conului în punctele uneia dintre cavitățile sale; parabola (Fig. 1, b) - când planul de tăiere este paralel cu unul dintre planele tangente ale conului; hiperbolă (Fig. 1, c) - când planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului.

CONSTRUCȚIUNE CONICĂ SECȚIUNE CONICĂ

Studiind secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii antici greci le considerau ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită ca un locus de puncte, suma distanțelor de la care la două puncte date este constantă; parabola - ca locus de puncte echidistant de un punct dat și o dreaptă dată; hiperbola - ca locus de puncte, diferența de distanță de la care la două puncte date este constantă.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă.

Dacă capetele unui fir de o anumită lungime sunt fixate în punctele F1 și F2 (Fig. 2), atunci curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul firului strâns întins are forma unei elipse. Punctele F1 și F2 se numesc punctele focale ale elipsei, iar segmentele V1V2 și v1v2 dintre punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate - axele majore și minore. Dacă punctele F1 și F2 coincid, atunci elipsa se transformă într-un cerc.

orez. 2 Elipsă

Hiperbolă.

La construirea unei hiperbole, punctul P, vârful creionului, este fixat pe un fir care alunecă liber de-a lungul știfturilor stabilite în punctele F1 și F2, așa cum se arată în Fig. 3, a. Distanțele sunt alese astfel încât segmentul PF2 să fie mai lung decât segmentul PF1 cu o cantitate fixă ​​mai mică decât distanța F1F2. În acest caz, un capăt al firului trece sub știftul F1 și ambele capete ale firului trec peste știftul F2. (Punctul creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, deci trebuie să fie fixat făcând o buclă mică pe fir și înfiletând punctul în el.) Tragem o ramură a hiperbolei (PV1Q), asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și trăgând ambele capete în jos, trecând de punctul F2, iar când punctul P este sub segmentul F1F2, țineți firul la ambele capete și gravați-l cu atenție (adică eliberați-l). Tragem a doua ramură a hiperbolei (PўV2Qў), schimbând anterior rolurile pinilor F1 și F2.

orez. 3 hiperbole

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii drepte, numite asimptotele hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Fig. 3, b. Pante ale acestor linii sunt ± (v1v2) / (V1V2), unde v1v2 este segmentul bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segmentul F1F2; segmentul v1v2 se numește axa conjugată a hiperbolei, iar segmentul V1V2 se numește axa transversală. Astfel, asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin cele patru puncte v1, v2, V1, V2 paralele cu axele. Pentru a desena acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v1 și v2. Sunt la aceeași distanță egală cu

din punctul de intersecție al axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi unghiular cu picioarele Ov1 și V2O și hipotenuză F2O.

Dacă asimptotele hiperbolei sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește isoscel. Doi hiperboli care au asimptote comune, dar cu axe transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.

Parabolă.

Focurile elipsei și ale hiperbolei erau deja cunoscute de Apollonius, dar focul parabolei a fost aparent stabilit pentru prima dată de Papp (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca locusul punctelor echidistante de la un punct dat (focalizare) și o linie dreaptă dată, care se numește directoare. Construirea unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Papp, a fost propusă de Isidor Miletsky (sec. VI). Așezați rigla astfel încât marginea să coincidă cu directoarea LLў (Fig. 4) și atașați la această picior de margine AC a triunghiului de desen ABC. Fixați un capăt al firului de lungime AB la vârful B al triunghiului, iar celălalt la focalizarea parabolei F. Tragând firul cu vârful creionului, apăsați vârful în punctul variabil P la piciorul liber AB a triunghiului de desen. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie un arc al unei parabole cu focalizarea F și directoarea LLў, deoarece lungimea totală a firului este AB, segmentul firului este adiacent piciorului liber al triunghiului și, prin urmare, segmentul rămas al firului PF trebuie să fie egal cu părțile rămase ale piciorului AB, adică PA. Punctul de intersecție a parabolei V cu axa se numește vârful parabolei, linia care trece prin F și V este axa parabolei. Dacă o linie dreaptă perpendiculară pe axă este trasată prin focalizare, atunci segmentul acestei linii drepte tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este determinat în același mod.

RĂSPUNSURI LA BILETE: № 1 (nu complet), 2 (nu complet), 3 (nu complet), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (nu complet), 16, 17, 18, 20, 21 , 22, 23, 26,

Element la distanță.

Atunci când realizați desene, în unele cazuri, devine necesar să construiți o imagine separată suplimentară a oricărei părți a unui obiect care necesită explicații în ceea ce privește forma, dimensiunea sau alte date. Această imagine se numește un element îndepărtat. De obicei se efectuează mărit. Detaliul poate fi așezat ca o vedere sau ca o tăietură.

Atunci când construiți un detaliu, locul corespunzător al imaginii principale este marcat cu o linie subțire solidă închisă, de obicei un oval sau un cerc, și notată cu o literă mare a alfabetului rus pe raftul liniei de conducere. Pentru elementul de extensie, se face o înregistrare de tipul A (5: 1). În fig. 191 arată un exemplu de înștiințare. Este plasat cât mai aproape posibil de locul corespunzător de pe imaginea obiectului.

1. Metoda de proiecție dreptunghiulară (ortogonală). Proprietăți invariante de bază ale proiecției dreptunghiulare. Epure Monge.

Proiecția ortogonală (dreptunghiulară) este un caz special de proiecție paralelă, când toate razele de proiecție sunt perpendiculare pe planul de proiecție. Proiecțiile ortogonale au toate proprietățile proiecțiilor paralele, dar cu proiecția dreptunghiulară, proiecția unui segment, dacă nu este paralelă cu planul proiecțiilor, este întotdeauna mai mică decât segmentul în sine (Fig. 58). Acest lucru se datorează faptului că segmentul în sine în spațiu este ipotenuza unui triunghi unghiular, iar proiecția sa este un picior: A "B" = ABcos a.

În proiecția dreptunghiulară, un unghi drept este proiectat la dimensiune completă atunci când ambele părți ale acestuia sunt paralele cu planul de proiecție și când doar una dintre laturile sale este paralelă cu planul de proiecție, iar cealaltă parte nu este perpendiculară pe acest plan de proiecție.

Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan.

O linie dreaptă și un plan în spațiu pot:

• a) nu au puncte comune;
• b) au exact un punct comun;
• c) au cel puțin două puncte comune.

În fig. 30 arată toate aceste posibilități.

În cazul a) dreapta b este paralelă cu planul: b || ...

În cazul b) dreapta l intersectează planul la un punct O; l = O.

În cazul c) linia dreaptă a aparține planului: a sau a.

Teorema. Dacă dreapta b este paralelă cu cel puțin o dreaptă a aparținând planului, atunci dreapta este paralelă cu planul.

Să presupunem că dreapta m intersectează planul în punctul Q. Dacă m este perpendiculară pe fiecare dreaptă din planul care trece prin punctul Q, atunci dreapta m se numește perpendiculară pe plan.

Șinele de tramvai ilustrează apartenența liniilor drepte la planul pământului. Liniile electrice sunt paralele cu planul pământului, iar trunchiurile copacilor sunt exemple de linii drepte care traversează suprafața pământului, unele perpendiculare pe planul pământului, altele nu perpendiculare (oblic).

BILET 16.

Proprietățile unei piramide cu unghiuri diedre egale.

A) Dacă fețele laterale ale piramidei cu baza ei formează unghiuri diedre egale, atunci toate înălțimile fețelor laterale ale piramidei sunt egale (pentru o piramidă regulată acestea sunt apoteme), iar vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc inscripționat în poligonul de bază.

B) O piramidă poate avea unghiuri diedre egale la bază atunci când un cerc poate fi înscris în poligonul de bază.

Prisma. Definiție. Elemente. Tipuri de prisme.

Prisma- este un poliedru, ale cărui două fețe sunt poligoane egale situate în planuri paralele, iar celelalte fețe sunt paralelograme.

Fețele care se află în planuri paralele sunt numite motive prisme și restul fețelor - fețele laterale prisme.

În funcție de bază, prismele sunt:

1) triunghiular

2) patrulater

3) hexagonal

Se numește o prismă cu margini laterale perpendiculare pe bazele sale prisma dreaptă.

O prismă dreaptă se numește regulată dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

BILETUL 17.

Proprietatea diagonalelor unui paralelipiped dreptunghiular.

Toate cele patru diagonale se intersectează la un moment dat și sunt împărțite în jumătate la el.

Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate diagonalele sunt egale.

Într-un paralelipiped dreptunghiular, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

După ce am trasat diagonala bazei AC, obținem triunghiurile AC 1 C și ACB. Ambele sunt dreptunghiulare: primul pentru că paralelipipedul este drept și, prin urmare, marginea CC 1 este perpendiculară pe bază; al doilea pentru că paralelipipedul este dreptunghiular și, prin urmare, un dreptunghi se află la baza acestuia. Din aceste triunghiuri găsim:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 și AC 2 = AB 2 + BC 2

Prin urmare, AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Cazuri de aranjare reciprocă a două planuri.

PROPRIETATE 1:

Liniile de intersecție a două planuri paralele cu cel de-al treilea plan sunt paralele.

PROPRIETATE 2:

Secțiunile de drepte paralele, închise între două planuri paralele, au o lungime egală.

PROPRIETATE 3

Prin fiecare punct al spațiului care nu se află într-un plan dat, puteți trasa un plan paralel cu acest plan și, în plus, doar unul.

BILETUL 18.

O proprietate a fețelor opuse ale paralelipipedului.

Fețele opuse ale cutiei sunt paralele și egale.

De exemplu , planele paralelogramelor AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt paralele, deoarece rectele intersectate AB și AA 1 ale planului AA 1 B 1 sunt, respectiv, paralele cu cele două drepte care se intersectează DC și DD 1 ale planului DD 1 C 1. Paralelogramele AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt egale (adică pot fi combinate prin suprapunere), deoarece laturile AB și DC, AA 1 și DD 1 sunt egale, iar unghiurile A 1 AB și D 1 DC sunt egale.

Suprafețele unei prisme, piramide, piramide regulate.

Piramida corectă: S plină. = 3SASB + Sbn.

Linia poate aparține sau nu avionului. Acesta aparține planului dacă cel puțin două dintre punctele sale se află pe plan. Figura 93 prezintă planul Sum (axb). Drept l aparține planului Sum, deoarece punctele sale 1 și 2 aparțin acestui plan.

Dacă linia nu aparține planului, aceasta poate fi paralelă cu aceasta sau o poate intersecta.

O linie dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o altă linie dreaptă situată în acest plan. Figura 93 prezintă o linie dreaptă m || Sumăîntrucât este paralel cu linia dreaptă l aparținând acestui plan.

Linia dreaptă poate intersecta planul la unghiuri diferite și, în special, să fie perpendiculară pe acesta. Construcția liniilor de intersecție a unei drepte cu un plan este dată în §61.

Figura 93 - Linia dreaptă aparținând planului

Un punct în raport cu un plan poate fi localizat în felul următor: a aparține sau a nu-i aparține. Un punct aparține unui plan dacă este situat pe o linie dreaptă situată în acest plan. Figura 94 prezintă un desen complex al planului Sum, definit prin două linii drepte paralele. lși NS. Există o linie în plan m. Punctul A se află în planul Sum, așa cum se află pe linia dreaptă m. Punct V nu aparține planului, deoarece a doua sa proiecție nu se află pe proiecțiile corespunzătoare ale liniei.

Figura 94 - Desenarea complexă a unui plan definit de două linii drepte paralele

Suprafețe conice și cilindrice

Suprafețele conice includ suprafețe formate prin deplasarea unei generatoare drepte l de-a lungul unui ghid curbat m. O caracteristică a formării unei suprafețe conice este că, în acest caz, un punct al generatorului este întotdeauna nemișcat. Acest punct este vârful suprafeței conice (Figura 95, A). Calificatorul conic al suprafeței include vârful Sși ghid m,în care l"~ S; l"^ m.

Suprafețele cilindrice includ suprafețe formate dintr-o generatoare dreaptă / care se deplasează de-a lungul unui ghid curbat T paralel cu o direcție dată S(Figura 95, b). O suprafață cilindrică poate fi considerată ca un caz special al unei suprafețe conice cu un vârf la infinit S.

Identificatorul unei suprafețe cilindrice constă dintr-un ghidaj Tși direcțiile S formând l, în timp ce l "|| S; l "^ m.

Dacă generatoarele suprafeței cilindrice sunt perpendiculare pe planul de proiecție, atunci se numește o astfel de suprafață proiectând.În Figura 95, v este prezentată o suprafață cilindrică proeminentă orizontal.

Pe suprafețele cilindrice și conice, punctele date sunt reprezentate grafic folosind generatoare care trec prin ele. Linii pe suprafețe, cum ar fi o linie Aîn figura 95, v sau orizontal hîn Figura 95, a, b, sunt construite folosind puncte individuale aparținând acestor linii.

Figura 95 - Suprafețe conice și cilindrice

Suprafețele trunchiului

Trunchiul este o suprafață formată dintr-o generatoare dreaptă l atingându-se în timpul mișcării sale în toate pozițiile sale la o anumită curbă spațială T, numit marginea întoarcerii(Figura 96). Coasta de întoarcere definește complet trunchiul și este partea geometrică a calificativului de suprafață. Partea algoritmică este indicația tangentei generatoarelor la marginea cuspidului.

O suprafață conică este un caz special al unui trunchi cu o coastă a cuspidului T degenerat până la un punct S- partea superioară a suprafeței conice. O suprafață cilindrică este un caz special al unui trunchi a cărui cuspidă este un punct la infinit.

Figura 96 ​​- Suprafața trunchiului

Suprafete fatetate

Suprafețele fațetate includ suprafețe formate prin deplasarea unei generatoare drepte l de-a lungul unui ghid rupt m. Mai mult, dacă un punct S generatorul este staționar, se creează o suprafață piramidală (Figura 97), dacă generatoarea este paralelă cu o direcție dată în timpul mișcării S, apoi se creează o suprafață prismatică (Figura 98).

Elementele suprafețelor fațetate sunt: ​​vârf S(pentru o suprafață prismatică, este la infinit), față (o parte a planului delimitată de o secțiune a ghidului mși pozițiile extreme ale generatoarelor în raport cu acesta l) și o margine (linia de intersecție a fețelor adiacente).

Determinantul suprafeței piramidale include vârful S, prin care trec generatoarele și ghidurile: eu " ~ S; l^ T.

Determinant al unei alte suprafețe prismatice decât un ghid T, conține direcție S, la care toți generatorii sunt paraleli l suprafaţă: l || S; l ^ t.

Figura 97 - Suprafață piramidală

Figura 98 - Suprafață prismatică

Suprafețele cu fațete închise formate dintr-un anumit număr (cel puțin patru) de fețe se numesc poliedre. Din numărul poliedrelor, se distinge un grup de poliedre regulate, în care toate fețele sunt poligoane regulate și congruente, iar colțurile poliedrice de la vârfuri sunt convexe și conțin același număr de fețe. De exemplu: hexaedru - cub (Figura 99, A), tetraedru - patrulater regulat (Figura 99, 6) octaedru - poliedru (Figura 99, v). Cristalele au forma diferitelor poliedre.

Figura 99 - Poliedre

Piramidă- un poliedru, la baza căruia se află un poligon arbitrar, iar fețele laterale sunt triunghiuri cu un vârf comun S.

Într-un desen complex, o piramidă este definită de proiecțiile vârfurilor și marginilor sale, ținând cont de vizibilitatea acestora. Vizibilitatea marginii este determinată folosind puncte concurente (Figura 100).

Figura 100 - Determinarea vizibilității marginii folosind puncte concurente

Prisma- un poliedru a cărui bază este două poligoane identice și paralele reciproc, iar fețele laterale sunt paralelograme. Dacă marginile prismei sunt perpendiculare pe planul bazei, o astfel de prismă se numește linie dreaptă. Dacă marginile prismei sunt perpendiculare pe orice plan de proiecție, atunci suprafața sa laterală se numește proiecție. Figura 101 prezintă un desen complex al unei prisme dreptunghiulare drepte cu o suprafață de proiecție orizontală.

Figura 101 - Desen complex al unei prisme dreptunghiulare drepte cu o suprafață de proiecție orizontală

Când lucrați cu un desen complex al unui poliedru, trebuie să construiți linii pe suprafața acestuia și, deoarece o linie este o colecție de puncte, trebuie să puteți construi puncte pe suprafață.

Orice punct de pe o suprafață cu fațete poate fi construit folosind o generatoare care trece prin acest punct. Figura 100 în față ACS punct construit M folosind generatorul S-5.

Înșurubați suprafețele

Suprafețele șuruburilor includ suprafețe create de o mișcare elicoidală a unei generatoare rectilinii. Suprafețele elicoidale guvernate sunt numite helicoizi.

Un helicoid drept se formează prin mișcarea unei generatoare rectilinii eu pe două ghidaje: elicoidale Tși axa sa eu; în timp ce generează l traversează axa șurubului în unghi drept (Figura 102, a). Helicoidul drept este utilizat pentru a crea scări în spirală, șuruburi, precum și filete electrice, în mașinile-unelte.

Un helicoid oblic este format prin mișcarea generatoarei de-a lungul unui ghidaj elicoidal Tși axa sa eu astfel încât generatorul l traversează axa eu la un unghi constant φ, diferit de o linie dreaptă, adică în orice poziție generatorul l este paralel cu una dintre generatoarele conului de ghidare cu un unghi de vârf egal cu 2φ (Figura 102, b). Helicoizii înclinați definesc suprafețele firelor.

Figura 102 - Helicoizi

Suprafețe de revoluție

Suprafețele revoluției includ suprafețe formate prin rotirea unei linii l în jurul dreptului eu reprezentând axa de rotație. Ele pot fi liniare, cum ar fi un con sau cilindru de revoluție, și neliniare sau curbate, cum ar fi o sferă. Determinantul suprafeței de revoluție include generatorul l și axă eu ... Fiecare punct al generatorului în timpul rotației descrie un cerc, al cărui plan este perpendicular pe axa de rotație. Astfel de cercuri ale suprafeței revoluției sunt numite paralele. Cea mai mare dintre paralele se numește ecuator. Ecuator.determină conturul orizontal al suprafeței, dacă i _ | _ P 1 . În acest caz, paralelele sunt liniile orizontale ale acestei suprafețe.

Suprafețele curbe de revoluție rezultate din intersecția suprafeței de către planuri care trec prin axa de rotație se numesc meridiane. Toți meridianele unei suprafețe sunt congruente. Meridianul frontal este numit meridianul principal; definește conturul frontal al suprafeței revoluției. Meridianul de profil definește conturul profilului suprafeței de revoluție.

Este cel mai convenabil să trasați un punct pe suprafețe curbate de revoluție folosind paralele de suprafață. În Figura 103, punctul M construit pe paralela h 4.

Figura 103 - Construirea unui punct pe o suprafață curbată

Suprafețele revoluției au găsit cea mai largă aplicație în tehnologie. Acestea constrâng suprafețele majorității pieselor de inginerie mecanică.

Suprafața conică de revoluție se formează prin rotirea unei linii drepte euîn jurul liniei drepte care se intersectează cu ea - axa eu(Figura 104, A). Punct M la suprafață este construit cu ajutorul generatorului lși paralele h. Această suprafață mai este numită și un con de revoluție sau un con circular drept.

O suprafață cilindrică de revoluție se formează prin rotirea unei linii drepte lîn jurul axei paralele eu(Figura 104, b). Această suprafață mai este numită cilindru sau cilindru circular drept.

O sferă, formată prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său (Figura 104, v). Punctul A de pe suprafața sferei aparține meridianului principal f, punct V- ecuator h,și punct M construit pe o paralelă auxiliară h ".

Figura 104 - Formarea suprafețelor de revoluție

Un tor este format prin rotirea unui cerc sau a arcului său în jurul unei axe care se află în planul cercului. Dacă axa este situată în cercul format, atunci un astfel de tor se numește închis (Figura 105, a). Dacă axa de rotație se află în afara cercului, atunci un astfel de tor se numește deschis (Figura 105, b). Un tor deschis este numit și inel.

Figura 105 - Formarea unui tor

Suprafețele revoluției pot fi formate din alte curbe de ordinul doi. Ellipsoidul revoluției (Figura 106, A) format prin rotirea unei elipse în jurul uneia dintre axele sale; paraboloid al revoluției (Figura 106, b) - rotația parabolei în jurul axei sale; hiperboloid de o foaie de revoluție (Figura 106, v) este format prin rotația hiperbolei în jurul axei imaginare și a celor două foi (Figura 106, G) - rotația hiperbolei în jurul axei reale.

Figura 106 - Formarea suprafețelor de revoluție prin curbe de ordinul doi

În cazul general, suprafețele sunt descrise ca nelimitate în direcția de propagare a liniilor generatoare (vezi figurile 97, 98). Pentru a rezolva probleme specifice și a obține forme geometrice, acestea se limitează la tăierea planurilor. De exemplu, pentru a obține un cilindru circular, este necesar să se limiteze suprafața cilindrică cu planurile de tăiere (a se vedea Figura 104, b). Ca rezultat, obținem bazele sale superioare și inferioare. Dacă planurile de tăiere sunt perpendiculare pe axa de rotație, cilindrul va fi drept, dacă nu, cilindrul va fi înclinat.

Pentru a obține un con circular (vezi Figura 104, A), este necesar să tăiați de-a lungul vârfului și exteriorului acestuia. Dacă planul de tăiere al bazei cilindrului este perpendicular pe axa de rotație, conul va fi drept, dacă nu, va fi înclinat. Dacă ambele planuri de tăiere nu trec prin vârf, conul va fi trunchiat.

Folosind planul de tăiere, puteți obține o prismă și o piramidă. De exemplu, o piramidă hexagonală va fi dreaptă dacă toate marginile sale au aceeași pantă față de planul de tăiere. În alte cazuri, va fi înclinat. Dacă se face cu folosind planuri de tăiere și niciunul dintre ele nu trece prin vârf - piramida este trunchiată.

O prismă (a se vedea Figura 101) poate fi obținută prin limitarea ariei suprafeței prismatice la două planuri de tăiere. Dacă planul tăieturii este perpendicular pe margini, de exemplu, o prismă octaedrică, este drept, dacă nu perpendicular, este înclinat.

Alegând poziția adecvată a planurilor de tăiere, puteți obține diverse forme de forme geometrice, în funcție de condițiile problemei care se soluționează.