Aparat de proiectie

Aparatul de proiecție (Fig. 1) include trei planuri de proiecție:

π 1 – plan orizontal de proiecție;

π 2 – planul frontal al proiecțiilor;

π 3– planul de proiecție a profilului .

Planurile de proiecție sunt reciproc perpendiculare ( π 1^ π 2^ π 3), iar liniile lor de intersecție formează axele:

Intersectia avioanelor π 1Şi π 2 formează o axă 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Intersectia avioanelor π 1Şi π 3 formează o axă 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Intersectia avioanelor π 2Şi π 3 formează o axă 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Punctul de intersecție al axelor (OX∩OY∩OZ=0) este considerat punctul de plecare (punctul 0).

Deoarece planele și axele sunt reciproc perpendiculare, un astfel de aparat este similar cu sistemul de coordonate carteziene.

Planurile de proiecție împart întreg spațiul în opt octanți (în Fig. 1 sunt indicați cu cifre romane). Planurile de proiecție sunt considerate opace, iar privitorul este mereu în interior eu-al-lea octant.

Proiecție ortogonală cu centre de proiecție S 1, S 2Şi S 3 respectiv pentru planuri de proiecție orizontală, frontală și de profil.

O.

De la centrele de proiecție S 1, S 2Şi S 3 ies raze proiectante l 1, l 2Şi l 3 O

- A 1 O;

- A 2– proiecția frontală a punctului O;

- A 3– proiecția de profil a unui punct O.

Un punct din spațiu este caracterizat de coordonatele sale O(x,y,z). Puncte A x, A yŞi A z respectiv pe axe 0X, 0YŞi 0Z arata coordonatele x, yŞi z puncte O. În fig. 1 oferă toate notațiile necesare și arată legăturile dintre punct O spațiul, proiecțiile și coordonatele acestuia.

Diagrama punctelor

Pentru a obține o diagramă a unui punct O(Fig. 2), în aparatul de proiecție (Fig. 1) planul π 1 A 1 0X π 2. Apoi avionul π 3 cu proiecție punctuală A 3, rotiți în sens invers acelor de ceasornic în jurul axei 0Z, până când este aliniat cu planul π 2. Direcția de rotație a planului π 2Şi π 3 prezentată în fig. 1 săgeți. În același timp, drept A 1 A xŞi A 2 A x 0X perpendicular A 1 A 2, și linii drepte A 2 A xŞi A 3 A x va fi situat pe o axă comună 0Z perpendicular A 2 A 3. În cele ce urmează vom numi aceste linii respectiv vertical Şi orizontală linii de comunicare.

Trebuie remarcat faptul că la trecerea de la aparatul de proiecție la diagramă, obiectul proiectat dispare, dar toate informațiile despre forma sa, dimensiunile geometrice și locația sa în spațiu sunt păstrate.

O(x A , y A , z Ax A, y AŞi z Aîn următoarea secvență (Fig. 2). Această secvență se numește metoda de construire a unei diagrame de puncte.

1. Axele sunt desenate ortogonal BOU, OYŞi OZ.

2. Pe axă BOU xA puncte Oși obțineți poziția punctului A x.

3. Prin punct A x perpendicular pe ax BOU

A x de-a lungul axei OY se trasează valoarea numerică a coordonatei y A puncte O A 1 pe diagramă.

A x de-a lungul axei OZ se trasează valoarea numerică a coordonatei z A puncte O A 2 pe diagramă.

6. Prin punct A 2 paralel cu axa BOU se trasează o linie orizontală de comunicare. Intersecția acestei linii și axa OZ va da poziția punctului A z.

7. Pe o linie de comunicație orizontală dintr-un punct A z de-a lungul axei OY se trasează valoarea numerică a coordonatei y A puncte O iar poziţia proiecţiei de profil a punctului este determinată A 3 pe diagramă.

Caracteristicile punctelor

Toate punctele din spațiu sunt împărțite în puncte de poziții particulare și generale.

Puncte de o anumită poziție. Punctele aparținând aparatului de proiecție se numesc puncte de poziție particulară. Acestea includ puncte aparținând planurilor de proiecție, axelor, originilor și centrelor de proiecție. Trăsăturile caracteristice ale anumitor puncte de poziție sunt:

Metamatematice - una, două sau toate valorile coordonatelor numerice sunt egale cu zero și (sau) infinit;

Pe o diagramă, două sau toate proiecțiile unui punct sunt situate pe axe și (sau) situate la infinit.

Puncte de poziție generală. Punctele de poziție generală includ puncte care nu aparțin aparatului de proiecție. De exemplu, punct Oîn fig. 1 și 2.

În cazul general, valorile numerice ale coordonatelor unui punct caracterizează distanța acestuia față de planul de proiecție: coordonată X din avion π 3; coordona y din avion π 2; coordona z din avion π 1. Trebuie remarcat faptul că semnele pentru valorile numerice ale coordonatelor indică direcția în care punctul se îndepărtează de planurile de proiecție. În funcție de combinația de semne cu valorile numerice ale coordonatelor unui punct, depinde în ce octan se află.

Metoda cu două imagini

În practică, pe lângă metoda de proiecție completă, se folosește metoda cu două imagini. Diferă prin faptul că această metodă elimină a treia proiecție a obiectului. Pentru a obține aparatul de proiecție al metodei cu două imagini, planul de proiecție a profilului cu centrul său de proiecție este exclus din aparatul de proiecție complet (Fig. 3). Mai mult, pe axă 0X este atribuit un punct de referință (punct 0 ) și de la acesta perpendicular pe ax 0Xîn planuri de proiecţie π 1Şi π 2 trage axele 0YŞi 0Z respectiv.

În acest dispozitiv, întregul spațiu este împărțit în patru cadrane. În fig. 3 sunt indicate cu cifre romane.

Planurile de proiecție sunt considerate opace, iar privitorul este mereu în interior eu-al-lea cadran.

Să luăm în considerare funcționarea dispozitivului folosind exemplul proiectării unui punct O.

De la centrele de proiecție S 1Şi S 2 ies raze proiectante l 1Şi l 2. Aceste raze trec prin punct Oși care se intersectează cu planurile de proiecție formează proiecțiile sale:

- A 1– proiecția orizontală a unui punct O;

- A 2– proiecția frontală a punctului O.

Pentru a obține o diagramă a unui punct O(Fig. 4), în aparatul de proiecție (Fig. 3) planul π 1 cu proiecția rezultată a punctului A 1 rotiți în sensul acelor de ceasornic în jurul unei axe 0X, până când este aliniat cu planul π 2. Direcția de rotație a planului π 1 prezentată în fig. 3 săgeți. În acest caz, pe diagrama unui punct obținută prin metoda a două imagini rămâne doar una vertical legătură A 1 A 2.

În practică, trasarea unui punct O(x A , y A , z A) se efectuează în funcție de valorile numerice ale coordonatelor sale x A, y AŞi z Aîn următoarea secvență (Fig. 4).

1. Axa este desenată BOUși se atribuie un punct de referință (punctul 0 ).

2. Pe axă BOU este trasată valoarea numerică a coordonatei xA puncte Oși obțineți poziția punctului A x.

3. Prin punct A x perpendicular pe ax BOU se trasează o linie verticală de comunicare.

4. Pe o linie de comunicație verticală dintr-un punct A x de-a lungul axei OY se trasează valoarea numerică a coordonatei y A puncte O iar poziţia proiecţiei orizontale a punctului este determinată A 1 OY nu este desenat, dar se presupune că valorile sale pozitive sunt situate sub axă BOU, iar cele negative sunt mai mari.

5. Pe o linie de comunicație verticală dintr-un punct A x de-a lungul axei OZ se trasează valoarea numerică a coordonatei z A puncte O iar poziţia proiecţiei frontale a punctului este determinată A 2 pe diagramă. Trebuie remarcat faptul că în diagramă axa OZ nu este desenat, dar se presupune că valorile sale pozitive sunt situate deasupra axei BOU, iar cele negative sunt mai mici.

Puncte concurente

Punctele de pe același fascicul proeminent sunt numite puncte concurente. În direcția fasciculului de proiectare, au o proiecție comună pentru ei, adică. proiecțiile lor sunt identice. O trăsătură caracteristică punctele concurente de pe diagramă este coincidența identică a proiecțiilor lor cu același nume. Competiția constă în vizibilitatea acestor proiecții în raport cu observatorul. Cu alte cuvinte, în spațiu pentru un observator, unul dintre puncte este vizibil, celălalt nu. Și, în consecință, în desen: una dintre proiecțiile punctelor concurente este vizibilă, iar proiecția celuilalt punct este invizibilă.

Pe modelul de proiecție spațială (Fig. 5) din două puncte concurente OŞi ÎN punct vizibil O după două caracteristici complementare reciproc. Judecând după lanț S 1 → A → B punct O mai aproape de observator decât de punct ÎN. Și, în consecință, mai departe de planul de proiecție π 1(aceste. z A > z A).

Orez. 5 Fig.6

Dacă punctul în sine este vizibil O, atunci proiecția sa este și ea vizibilă A 1. În raport cu proiecţia care coincide cu aceasta B 1. Pentru claritate și, dacă este necesar, pe diagramă, proiecțiile invizibile ale punctelor sunt de obicei incluse între paranteze.

Să eliminăm punctele de pe model OŞi ÎN. Proiecțiile lor coincidente pe avion vor rămâne π 1și proiecții separate – activate π 2. Să lăsăm condiționat proiecția frontală a observatorului (⇩) situată în centrul proiecției S 1. Apoi, de-a lungul lanțului de imagini ⇩ → A 2 → B 2 se va putea judeca asta z A > z Bși că punctul în sine este vizibil Oși proiecția acesteia A 1.

Să luăm în considerare în mod similar punctele concurente CUŞi Dîn aparenţă în raport cu planul π 2. Deoarece fasciculul proeminent comun al acestor puncte l 2 paralel cu axa 0Y, apoi un semn al vizibilității punctelor concurente CUŞi D determinat de inegalitate y C > y D. Prin urmare, acel punct Dînchis cu un punct CUși în consecință proiecția punctului D 2 va fi acoperit de proiecția punctului C 2în avion π 2.

Să luăm în considerare modul în care este determinată vizibilitatea punctelor concurente într-un desen complex (Fig. 6).

Judecând după proiecțiile coincidente A 1≡B 1 punctele în sine OŞi ÎN sunt pe un fascicul proeminent paralel cu axa 0Z. Aceasta înseamnă că coordonatele pot fi comparate z AŞi z B aceste puncte. Pentru a face acest lucru, folosim planul de proiecție frontală cu imagini separate ale punctelor. În acest caz z A > z B. De aici rezultă că proiecția este vizibilă A 1.

Puncte CŞi Dîn desenul complex luat în considerare (Fig. 6) sunt de asemenea pe același fascicul proeminent, dar numai paralel cu axa 0Y. Prin urmare, din comparație y C > y D concluzionăm că proiecția C 2 este vizibilă.

Regula generală . Vizibilitatea pentru potrivirea proiecțiilor punctelor concurente este determinată prin compararea coordonaților acelor puncte în direcția unei raze comune de proiecție. Este vizibilă proiecția punctului a cărui coordonată este mai mare. În acest caz, coordonatele sunt comparate pe planul de proiecție cu imagini separate ale punctelor.

PROIECȚIILE UNUI PUNCT.

SISTEM ORTOGONAL DE DOUĂ PLANURI DE PROIECȚII.

Esența metodei de proiecție ortogonală este că un obiect este proiectat pe două plane reciproc perpendiculare prin raze ortogonale (perpendiculare) pe aceste planuri.

Unul dintre planurile de proiecție H este plasat orizontal, iar al doilea V este plasat vertical. Planul H se numește plan orizontal al proiecțiilor, V se numește plan frontal. Planurile H și V sunt infinite și opace. Linia de intersecție a planurilor de proiecție se numește axa de coordonate și este desemnată BOU. Planurile de proiecție împart spațiul în patru unghiuri diedrice - sferturi.

Când luăm în considerare proiecțiile ortogonale, se presupune că observatorul se află în primul trimestru la o distanță infinit de mare de planurile de proiecție. Deoarece aceste planuri sunt opace, doar acele puncte, linii și figuri care sunt situate în același prim sfert vor fi vizibile pentru observator.

Când construiți proiecții, este necesar să rețineți că proiecția ortogonală a unui punctbaza unei perpendiculare trasate dintr-un punct dat se numește planla acest avion.

Figura arată un punct Oși proiecțiile sale ortogonale a 1Şi a 2.

Punct a 1 numit proiecție orizontală puncte O, punct a 2- ea proiecție frontală. Fiecare dintre ele este baza unei perpendiculare trase dintr-un punct O respectiv în avion HŞi V.

Se poate dovedi că proiecția punctuluimereu situate pe linii drepte, perpendiculareaxa cularăOH și intersectând această axăin acelasi punct.Într-adevăr, proiectând raze Oa 1Şi Oa 2 definiți un plan perpendicular pe planurile de proiecție și linia de intersecție a acestora - axa OH. Acest plan se intersectează HŞi Vîn linii drepte a 1 axŞi a 1 ax, care se formează cu axa BOU iar unul cu celălalt unghiuri drepte cu vârful în punct Ox.

Este adevărat și contrariul, adică. dacă punctele sunt date pe planuri de proiecțieo 1 Şi o 2 , situate pe linii drepte care se intersectează axă BOUîntr-un punct dat într-un unghi drept,atunci sunt proiecții ale unorapunctul A. Acest punct este determinat de intersecția perpendicularelor construite din puncte o 1 Şi o 2 la avioane HŞi V.

Rețineți că poziția planurilor de proiecție în spațiu poate fi diferită. De exemplu, ambele planuri, fiind reciproc perpendiculare, pot fi verticale Dar chiar și în acest caz, ipoteza dovedită mai sus despre orientarea proiecțiilor opuse ale punctelor față de axă rămâne valabilă.

Pentru a obține un desen plat format din proiecțiile de mai sus, planul H combinate prin rotire în jurul unei axe BOU cu avionul V, după cum arată săgețile din figură. Ca rezultat, semiplanul din față H va fi aliniat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V.

Un desen de proiecție în care planurile de proiecție cu tot ceea ce este reprezentat pe ele sunt combinate într-un anumit fel unele cu altele se numește diagramă(din franceza epure - desen). Figura prezintă o diagramă a unui punct O.

Cu această metodă de combinare a avioanelor HŞi V proiecții o 1 Şi o 2 vor fi situate pe aceeași perpendiculară pe axă BOU. În acest caz, distanța o 1 un x — de la proiecția orizontală a unui punct spre axă BOU O a aviona V, și distanța o 2 un x — de la proiecția frontală a unui punct spre axă BOU egală cu distanța de la punctul însuși O a aviona H.

Să fim de acord să numim drepte care conectează proiecțiile opuse ale unui punct pe o diagramă linii de comunicare de proiecție.

Poziția proiecțiilor punctelor pe diagramă depinde de sfertul în care se află punctul dat. Deci, dacă ideea ÎN situat în al doilea trimestru, apoi după combinarea planurilor ambele proiecții vor părea să se afle deasupra axei BOU.

Dacă punctul CU este în al treilea trimestru, apoi proiecția sa orizontală, după combinarea planurilor, va fi deasupra axei, iar proiecția sa frontală va fi sub axa BOU. În cele din urmă, dacă punctul D este situat în al patrulea trimestru, apoi ambele proiecții vor fi sub axă BOU. Figura arată punctele MŞi N, întins pe planurile de proiecție. În această poziție, punctul coincide cu una dintre proiecțiile sale, în timp ce cealaltă proiecție se dovedește a fi situată pe axă. BOU. Această caracteristică se reflectă și în denumire: lângă proiecția cu care punctul însuși coincide, se scrie o literă majusculă fără index.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că cele două proiecții ale unui punct coincid. Acest lucru se va întâmpla dacă punctul se află în al doilea sau al patrulea trimestru la aceeași distanță de planurile de proiecție. Ambele proiecții sunt combinate cu punctul însuși dacă acesta din urmă este situat pe axă BOU.

SISTEM ORTOGONAL DIN TREI PLANURI DE PROIECȚII.

S-a arătat mai sus că două proiecții ale unui punct determină poziția acestuia în spațiu. Deoarece fiecare figură sau corp este o colecție de puncte, se poate susține că două proiecții ortogonale ale unui obiect (în prezența desemnărilor de litere) determină complet forma acestuia.

Cu toate acestea, în practică, imagini structuri de constructii, mașini și diferite structuri de inginerie, este nevoie de a crea proiecții suplimentare. Ei fac acest lucru doar cu scopul de a face desenul de proiecție mai clar și mai lizibil.

Modelul a trei planuri de proiecție este prezentat în figură. Al treilea plan, perpendicular și HŞi V, notat cu litera W si se numeste profil.

Proiecțiile punctelor pe acest plan vor fi numite și profil și sunt desemnate cu majuscule sau cifre cu indicele 3 (oh,bh,cz,...1z, 2z, 3 3...).

Planurile de proiecție, care se intersectează în perechi, definesc trei axe: DESPREX, DESPREYŞi DESPREZ, care poate fi considerat ca un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu cu începutul în punctul O. Sistemul de semne indicat în figură corespunde „sistemului de coordonate dreapta”.

Trei planuri de proiecție împart spațiul în opt unghiuri triedrice - acestea sunt așa-numitele octanți. Numerotarea octanților este dată în figură.

Pentru a obține o diagramă a planului HŞi W rotiți așa cum se arată în figură până când este aliniat cu planul V. Ca rezultat al rotației, semiplanul frontal H se dovedește a fi combinat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V. Când este rotit cu 90° în jurul unei axe DESPREZ semiplan anterior W se aliniază cu semiplanul drept V, și semiplanul din spate W- cu semiplan stânga V.

Vederea finală a tuturor planurilor de proiecție combinate este dată în figură. În acest desen topoarele DESPREXŞi DESPREZ, culcat într-un plan fix V, sunt reprezentate o singură dată, iar axa DESPREY arătat de două ori. Acest lucru se explică prin faptul că, rotindu-se cu avionul H, axa DESPREY pe diagramă se combină cu axa DESPREZ, si rotindu-se cu avionul W, aceeași axă este aliniată cu axa DESPREX.

În viitor, la desemnarea axelor pe diagramă, semiaxele negative (— DESPREX, — DESPREY, — DESPREZ) nu va fi indicat.

TREI COORDONATE ȘI TREI PROIECȚII ALE UNUI PUNCT ȘI RAZUL-VECTOR AL SĂU.

Coordonatele sunt numere carepotriviți punctul pentru a determinaschimbându-și poziția în spațiu sau pesuprafete.

În spațiul tridimensional, poziția unui punct este determinată cu ajutorul coordonatelor carteziene dreptunghiulare x, yŞi z.

Coordona X numit abscisă, la— ordonatăŞi z — aplica. Abscisă X determină distanța de la un punct dat la un plan W, ordonata y - a aviona Vși aplicați z - a aviona H. După ce am adoptat sistemul prezentat în figură pentru a măsura coordonatele unui punct, vom compune un tabel de semne de coordonate în toți cei opt octanți. Orice punct din spațiu O, date prin coordonate se vor nota astfel: O(x, y,z).

Dacă x = 5, y = 4 și z = 6, atunci intrarea va lua următoarea formă O(5, 4, 6). Acest punct O, ale căror coordonate sunt pozitive, este în primul octant

Coordonatele punctului O sunt în același timp coordonatele vectorului său de rază

OA cu privire la origine. Dacă i, j, k— vectori unitari direcționați respectiv de-a lungul axelor de coordonate x, y,z(poza), atunci

OA =DESPREA x i+OAyj + OAzk , Unde OA X, OA U, OA g - coordonate vectoriale OA

Se recomandă construirea unei imagini a punctului în sine și a proiecțiilor acestuia pe un model spațial (figură) folosind un paralelipiped dreptunghiular coordonat. În primul rând, pe axele de coordonate din punct DESPRE așezați segmente în mod corespunzător egale 5, 4 și 6 unități de lungime. Pe aceste segmente (DESPREun x , DESPREun y , DESPREa z ), ca pe coaste, se construiesc cuboid. Vârful acestuia, opus originii, va determina punctul dat O. Este ușor de văzut că pentru a determina un punct O este suficient să construiești doar trei margini ale paralelipipedului, de exemplu DESPREun x , a x a 1 Şi o 1 O sau DESPREun y , a y a 1 Şi o 1 O etc. Aceste muchii formează o polilinie de coordonate, a cărei lungime a fiecărei legături este determinată de coordonatele corespunzătoare punctului.

Cu toate acestea, construirea unui paralelipiped vă permite să determinați nu numai punctul O, dar și toate cele trei proiecții ortogonale ale sale.

Raze care proiectează un punct pe un plan H, V, W sunt acele trei margini ale paralelipipedului care se intersectează în punct O.

Fiecare dintre proiecțiile ortogonale ale unui punct O, fiind situat pe un plan, acesta este determinat doar de două coordonate.

Deci, proiecție orizontală o 1 determinate de coordonate XŞi y, proiecție frontală o 2 - coordonate x șiz, proiecția profilului o 3 — coordonate laŞi z. Dar oricare două proiecții sunt determinate de trei coordonate. De aceea, specificarea unui punct cu două proiecții echivalează cu specificarea unui punct cu trei coordonate.

Pe diagramă (figura), unde toate planurile de proiecție sunt combinate, proiecțiile o 1 Şi o 2 va fi pe aceeași perpendiculară pe axă DESPREX, și proiecții o 2 Şi o 3 — pe una perpendiculară pe axă OZ.

În ceea ce privește proiecțiile o 1 Şi o 3 , apoi sunt conectate prin linii drepte o 1 un yŞi o 3 un y , perpendicular pe ax DESPREY. Dar din moment ce această axă de pe diagramă ocupă două poziții, atunci segmentul o 1 un y nu poate fi o continuare a unui segment o 3 un y .

Construirea proiecțiilor punctuale A (5, 4, 6) pe diagramă în funcție de coordonatele date, efectuați în următoarea succesiune: în primul rând, se trasează un segment pe axa absciselor de la originea coordonatelor DESPREun x = x(în cazul nostru x =5), apoi prin punct un x trageți perpendicular pe axă DESPREX, pe care, ținând cont de semne, trasăm segmentele a x a 1 = y(primim o 1 ) Şi a x a 2 = z(primim o 2 ). Rămâne să construim o proiecție de profil a punctului o 3 . Deoarece profilul și proiecțiile frontale ale punctului trebuie să fie situate pe aceeași perpendiculară pe axă OZ , apoi prin o 3 efectuează direct o 2 a z ^ OZ.

În cele din urmă, apare ultima întrebare: la ce distanță de axă DESPREZ ar trebui sa fie un 3?

Luând în considerare paralelipipedul de coordonate (vezi figura), ale cărui margini a z a 3 =O un y = a x a 1 = y concluzionăm că distanţa necesară a z a 3 egală u. Segment a z a 3 așezat la dreapta axei OZ dacă y>0 și la stânga dacă y

Să vedem ce schimbări vor avea loc pe diagramă atunci când punctul începe să-și schimbe poziția în spațiu.

Să fie, de exemplu, un punct A (5, 4, 6) se va deplasa în linie dreaptă perpendiculară pe plan V. Cu o astfel de mișcare, doar o coordonată se va schimba y, arătând distanța de la un punct la un plan V. Coordonatele vor rămâne constante x șiz , și proiecția punctului determinată de aceste coordonate, i.e. o 2 nu își va schimba poziția.

În ceea ce privește proiecțiile o 1 Şi o 3 , atunci primul va începe să se apropie de axă DESPREX, al doilea - la axă DESPREZ. În figuri, noua poziție a punctului corespunde denumirii o 1 (o 1 1 o 2 1 o 3 1 ). În momentul în care punctul se află în avion V(y = 0), două dintre cele trei proiecții ( o 1 2 Şi o 3 2 ) se va întinde pe topoare.

Fiind mutat din eu octant în II, punctul va începe să se îndepărteze de avion V, coordonate la va deveni negativ, valoarea sa absolută va crește. Proiecția orizontală a acestui punct, fiind situat pe semiplanul posterior H, pe diagramă va apărea deasupra axei DESPREX, iar proiecția profilului, fiind pe semiplanul din spate W, pe diagramă va fi în stânga axei DESPREZ. Ca întotdeauna, un segment a zo 3 3 = y.

În diagramele ulterioare nu vom indica cu litere punctele de intersecție a axelor de coordonate cu liniile de legătură de proiecție. Acest lucru va simplifica într-o oarecare măsură desenul.

În viitor, vor exista diagrame fără axe de coordonate. Aceasta este ceea ce se face în practică atunci când înfățișați obiecte, când doar imaginea în sine este semnificativăa obiectului și nu poziția relativă a acestuiaîn special planuri de proiecţie.

Planurile de proiecție în acest caz sunt determinate cu o precizie doar până la translația paralelă (figura). Ele sunt de obicei mutate paralel cu ei înșiși, astfel încât toate punctele obiectului să fie deasupra planului Hși în fața avionului V. Deoarece poziția axei X 12 se dovedește a fi incertă, formarea diagramei în acest caz nu trebuie să fie asociată cu rotația planurilor în jurul axei de coordonate. La trecerea la diagrama plană HŞi V sunt combinate astfel încât proiecțiile opuse ale punctelor să fie situate pe linii verticale.

Diagrama fără axe a punctelor A și B(desen) Nudetermină pozițiile lor în spațiu,dar permite să se judece orientarea lor relativă. Astfel, segmentul △x caracterizează deplasarea punctului O relativ la punct ÎNîntr-o direcție paralelă cu planurile H și V Cu alte cuvinte, △x indică cât de departe este punctul O situat în stânga punctului ÎN. Deplasarea relativă a unui punct pe direcția perpendiculară pe planul V este determinată de segmentul △y, adică punctul Și înîn exemplul nostru mai aproape de observator decât de punct ÎN, la o distanță egală cu △y.

În cele din urmă, segmentul △z arată excesul punctului O deasupra punctului ÎN.

Susținătorii studiului fără axe a unui curs de geometrie descriptivă subliniază pe bună dreptate că atunci când rezolvi multe probleme se poate face fără axe de coordonate. Cu toate acestea, abandonarea completă a acestora nu poate fi considerată recomandabilă. Geometria descriptivă este concepută pentru a pregăti viitorul inginer nu numai pentru execuția competentă a desenelor, ci și pentru rezolvarea diferitelor probleme tehnice, printre care problemele de statică și mecanică spațială ocupă cel mai puțin loc. Și pentru aceasta este necesar să se dezvolte capacitatea de a orienta acest sau acel obiect în raport cu axele de coordonate carteziene. Aceste abilități vor fi, de asemenea, necesare atunci când se studiază astfel de secțiuni ale geometriei descriptive precum perspectiva și axonometria. Prin urmare, pe o serie de diagrame din această carte salvăm imagini ale axelor de coordonate. Astfel de desene determină nu numai forma obiectului, ci și locația acestuia în raport cu planurile de proiecție.

Un punct din spațiu este determinat de oricare dintre proiecțiile sale. Dacă este necesară construirea unei a treia proiecții pe baza a două date date, este necesar să se folosească corespondența segmentelor de linii de comunicație de proiecție obținute la determinarea distanțelor de la un punct la planul de proiecție (vezi Fig. 2.27 și Fig. 2.28) .

Exemple de rezolvare a problemelor în primul octant

dat A 1; A 2	Construiește A 3
dat A 2; A 3	Construiește A 1
dat A 1; A 3	Construiește A 2

Să luăm în considerare algoritmul pentru construirea punctului A (Tabelul 2.5)

Tabelul 2.5

Algoritm pentru construirea punctului A
la coordonatele date A ( x = 5, y = 20, z = -9)

În următoarele capitole vom lua în considerare imagini: linii drepte și plane doar în primul trimestru. Deși toate metodele luate în considerare pot fi aplicate în orice trimestru.

Concluzii

Astfel, pe baza teoriei lui G. Monge, este posibilă transformarea imaginii spațiale a unei imagini (punct) într-una plană.

Această teorie se bazează pe următoarele prevederi:

1. Întregul spațiu este împărțit în 4 sferturi folosind două mutuale planuri perpendiculare p 1 și p 2, sau cu 8 octanți când se adaugă un al treilea plan reciproc perpendicular p 3.

2. Imaginea unei imagini spațiale pe aceste planuri se obține folosind o proiecție dreptunghiulară (ortogonală).

3. Pentru a converti o imagine spațială într-una plană, se presupune că planul p 2 este staționar, iar planul p 1 se rotește în jurul axei x astfel încât semiplanul pozitiv p 1 este combinat cu semiplanul negativ p 2, partea negativă p 1 - cu partea pozitivă p 2.

4. Planul p 3 se rotește în jurul axei z(linia de intersecție a planelor) până când este aliniată cu planul p 2 (vezi Fig. 2.31).

Imaginile obţinute pe planurile p 1, p 2 şi p 3 prin proiecţia dreptunghiulară a imaginilor se numesc proiecţii.

Planurile p 1, p 2 și p 3, împreună cu proiecțiile descrise pe ele, formează un desen sau o diagramă complexă plană.

Linii care conectează proiecțiile imaginii de axe x, y, z, sunt numite linii de comunicare de proiecție.

Pentru mai mult definiție precisă imagini în spațiu, se poate folosi un sistem de trei plane reciproc perpendiculare p 1, p 2, p 3.

În funcție de condițiile problemei, puteți alege fie sistemul p 1, p 2 sau p 1, p 2, p 3 pentru imagine.

Sistemul de planuri p 1 , p 2 , p 3 poate fi conectat la sistemul de coordonate carteziene, ceea ce face posibilă definirea obiectelor nu numai grafic sau (verbal), ci și analitic (folosind numere).

Această metodă de reprezentare a imaginilor, în special a punctelor, face posibilă rezolvarea unor probleme de poziție precum:

• locația punctului în raport cu planurile de proiecție ( pozitia generala, aparținând planului, axei);
• poziţia punctului în sferturi (în ce sfert se află punctul);
• poziția punctelor unul față de celălalt (mai sus, mai jos, mai aproape, mai departe față de planurile de proiecție și privitor);
• poziția proiecțiilor punctului în raport cu planurile de proiecție (echidistante, mai aproape, mai departe).

Sarcini de metrică:

• echidistanța proiecției față de planurile de proiecție;
• raportul distanței de proiecție față de planurile de proiecție (de 2-3 ori, mai mult, mai puțin);
• determinarea distantei unui punct fata de planurile de proiectie (la introducerea unui sistem de coordonate).

Întrebări de auto-reflecție

1. Linia de intersecție a cărei planuri este axa z?

2. Linia de intersecție a cărei planuri este axa y?

3. Cum este situată linia de legătură dintre proiecția frontală și proiecția de profil a unui punct? Arătaţi-mi.

4. Ce coordonate determină poziția proiecției unui punct: orizontală, frontală, de profil?

5. În ce sfert se află punctul F (10; –40; –20)? De ce plan de proiecție este punctul F cel mai îndepărtat?

6. Distanţa de la care proiecţie faţă de ce axă determină distanţa unui punct de planul p 1? Ce coordonată a punctului este această distanță?

Capitolul 6. PROIECȚIILE UNUI PUNCT. DESEN COMPLEX

§ 32. Desen complex puncte

Pentru a construi o imagine a unui obiect, elementele sale individuale sunt mai întâi descrise sub forma celor mai simple elemente ale spațiului. Astfel, atunci când înfățișați un corp geometric, ar trebui să construim vârfurile acestuia, reprezentate prin puncte; margini reprezentate prin linii drepte și curbe; feţe reprezentate prin planuri etc.

Regulile pentru construirea imaginilor în desene în grafica de inginerie se bazează pe metoda proiecției. O imagine (proiecție) a unui corp geometric nu ne permite să judecăm forma lui geometrică sau forma celor mai simple imagini geometrice care alcătuiesc această imagine. Astfel, nu se poate judeca poziția unui punct în spațiu numai după proiecția sa; poziţia sa în spaţiu este determinată de două proiecţii.

Să luăm în considerare un exemplu de construire a unei proiecții a unui punct O, situat în spaţiul unui unghi diedru (Fig. 60). Vom plasa unul dintre planurile de proiecție pe orizontală și îl vom numi plan orizontal de proiecțieși notează prin literă P 1. Proiecții de elemente

spațiile de pe el vor fi notate cu indicele 1: A 1, a 1, S 1 ... și sună proiecții orizontale(puncte, drepte, plane).

Vom plasa al doilea plan vertical în fața observatorului, perpendicular pe primul, să-l numim plan vertical de proiecție si denota P 2. Vom nota cu index proiecțiile elementelor spațiale de pe el 2: A 2, 2 și sunați proiecții frontale(puncte, drepte, plane). Să numim linia de intersecție a planurilor de proiecție axa de proiecție.

Să proiectăm un punct O ortogonal pe ambele planuri de proiecție:

AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ;

AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ;

Raze de proiecție AA 1 și AA 2 reciproc perpendiculare și creează un plan proiectat în spațiu AA 1 AA 2, perpendicular pe ambele părți ale proiecțiilor. Acest plan intersectează planurile de proiecție de-a lungul liniilor care trec prin proiecțiile punctului O.

Pentru a obține un desen plat, combinați planul orizontal al proiecțiilor P 1 cu planul frontal P 2 rotindu-se în jurul axei P 2 / P 1 (Fig. 61, a). Atunci ambele proiecții ale punctului vor fi pe aceeași linie perpendiculară pe axa P 2 / P 1. Drept A 1 A 2, conectarea orizontală A 1și frontală A 2 proiecția unui punct se numește linie verticală de comunicare.

Desenul plat rezultat se numește desen complex. Este o imagine a unui obiect pe mai multe planuri combinate. Un desen complex format din două proiecții ortogonale interconectate se numește două proiecții. În acest desen, proiecțiile orizontale și frontale ale punctelor se află întotdeauna pe aceeași linie verticală de conectare.

Două proiecții ortogonale interconectate ale unui punct determină în mod unic poziția acestuia față de planurile de proiecție. Dacă determinăm poziția punctului O faţă de aceste planuri (Fig. 61, b) înălţimea acestuia h (AA 1 =h)și adâncimea f(AA 2 =f ), apoi acestea cantitățile dintr-un desen complex există ca segmente ale unei linii de comunicație verticale. Această împrejurare face ușoară reconstrucția desenului, adică determinarea din desen a poziției punctului față de planurile de proiecție. Pentru a face acest lucru, este suficient să restabiliți o perpendiculară pe planul desenului (considerându-l frontal) în punctul A 2 al desenului cu o lungime egală cu adâncimea. f. Sfârșitul acestei perpendiculare va determina poziția punctului O raportat la planul de desen.

60.gif

Imagine:

61.gif

Imagine:

7. Întrebări de autotest

ÎNTREBĂRI DE AUTOTESTARE

4. Cum se numește distanța care determină poziția unui punct față de planul de proiecție? P 1, P 2?

7. Cum se construiește o proiecție suplimentară a unui punct pe un plan P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1 , P 5 _|_ P 4 ?

9. Cum puteți construi un desen complex al unui punct folosind coordonatele acestuia?

33. Elemente ale unui desen complex cu trei proiecții a unui punct

§ 33. Elemente ale unui desen complex cu trei proiecții a unui punct

Pentru a determina poziția unui corp geometric în spațiu și pentru a obține informații suplimentare despre imaginile acestora, poate fi necesar să construiți o a treia proiecție. Apoi al treilea plan de proiecție este situat în dreapta observatorului, perpendicular pe planul de proiecție orizontal în același timp P 1 iar planul frontal al proiecţiilor P 2 (Fig. 62, a). Ca rezultat al intersectării frontalului P 2 și profilul P 3 planurile de proiecție obținem o nouă axă P 2 / P 3 , care se află pe desenul complex paralel cu linia verticală de comunicaţie A 1 A 2(Fig. 62, b). Al treilea punct de proiecție O- profil - pare a fi asociat cu proiecția frontală A 2 o nouă linie de comunicare numită orizontală

Orez. 62

Noah. Proiecțiile frontale și de profil ale punctelor se află întotdeauna pe aceeași linie orizontală de conectare. În plus A 1 A 2 _|_ A 2 A 1Şi A 2 A 3 , _| _ P 2 / P 3 .

Poziția unui punct în spațiu în acest caz este caracterizată de sa latitudine- distanța de la acesta până la planul de profil al proiecțiilor P 3, pe care o notăm cu litera r.

Desenul complex rezultat al unui punct se numește cu trei proiecții.

Într-un desen cu trei proiecții, adâncimea unui punct AA 2 este proiectat fără distorsiuni pe planurile P 1 și P 2 (Fig. 62, O). Această împrejurare ne permite să construim o a treia proiecție frontală a punctului O de-a lungul orizontalei sale A 1și frontală A 2 proiecții (Fig. 62, V). Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o linie de comunicare orizontală prin proiecția frontală a punctului A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Apoi, oriunde în desen, desenați axa de proiecție P 2 / P 3 _|_ A 2 A 3, măsurați adâncimea f a unui punct pe orizontală câmp de proiecție și plasați-l de-a lungul liniei orizontale de conectare de pe axa de proiecție P 2 / P 3. Să obținem o proiecție de profil A 3 puncte O.

Astfel, într-un desen complex format din trei proiecții ortogonale ale unui punct, două proiecții sunt pe aceeași linie de legătură; liniile de comunicație sunt perpendiculare pe axele de proiecție corespunzătoare; două proiecții ale unui punct determină complet poziția celei de-a treia proiecții a acestuia.

Trebuie remarcat faptul că în desenele complexe, de regulă, planurile de proiecție nu sunt limitate și poziția lor este specificată de axe (Fig. 62, c). În cazurile în care condițiile problemei nu impun acest lucru,

Se pare că proiecțiile punctelor pot fi date fără a reprezenta axele (Fig. 63, a, b). Un astfel de sistem se numește fără bază. Liniile de comunicare pot fi trasate și cu o pauză (Fig. 63, b).

62.gif

Imagine:

63.gif

Imagine:

34. Poziția unui punct în spațiul unghiular tridimensional

§ 34. Poziţia unui punct în spaţiul unui unghi tridimensional

Locația proiecțiilor punctelor într-un desen complex depinde de poziția punctului în spațiul unui unghi tridimensional. Să ne uităm la câteva cazuri:

• punctul este situat în spațiu (vezi Fig. 62). In acest caz are adancime, inaltime si latime;
• punctul este situat pe planul de proiecție P 1- nu are inaltime, P 2 - nu are adancime, Pz - nu are latime;
• punctul este situat pe axa proiecțiilor, P 2 / P 1 nu are adâncime și înălțime, P 2 / P 3 nu are adâncime și latitudine, iar P 1 / P 3 nu are înălțime și latitudine.

35. Puncte concurente

§ 35. Puncte concurente

Două puncte din spațiu pot fi localizate în moduri diferite. Într-un caz separat, ele pot fi amplasate astfel încât proiecțiile lor pe un anumit plan de proiecție să coincidă. Se numesc astfel de puncte concurând.În fig. 64, O este oferit un desen cuprinzător al punctelor OŞi ÎN. Sunt amplasate astfel încât proiecțiile lor să coincidă pe plan P 1 [A 1 == B 1]. Se numesc astfel de puncte concurând orizontal. Dacă proiecţiile punctelor A și B coincid în avion

P 2(Fig. 64, b), sunt numiti concurând frontal.Și dacă proiecțiile punctelor OŞi ÎN coincid pe planul P 3 [A 3 == B 3 ] (Fig. 64, c), se numesc concurenți de profil.

Vizibilitatea în desen este determinată de punctele concurente. Pentru punctele concurente orizontal va fi vizibil cel cu inaltime mai mare, pentru punctele concurente frontal va fi vizibil cel cu adancime mai mare, iar pentru punctele concurente de profil va fi vizibil cel cu latitudine mai mare.

64.gif

Imagine:

36. Înlocuirea planurilor de proiecție

§ 36. Înlocuirea planurilor de proiecție

Proprietățile unui desen cu trei proiecții a unui punct permit utilizarea proiecțiilor sale orizontale și frontale pentru a construi o treime pe alte planuri de proiecție introduse pentru a le înlocui pe cele date.

În fig. 65, O punct care arată O iar proiecțiile sale sunt orizontale A 1și frontală A 2.În funcție de condițiile problemei, este necesară înlocuirea planurilor P 2. Să notăm noul plan de proiecție P 4 și să-l plasăm perpendicular pe P 1. La intersectia avioanelor P 1și P 4 obținem o nouă axă P 1 / P 4 . Noua proiectie punctuala A 4 va fi situat pe linie de comunicație care trece printr-un punct A 1și perpendicular pe axa P 1 / P 4 .

De la noul avion P 4înlocuiește planul de proiecție frontală P 2, înălțimea punctului O este înfățișat în mod egal în dimensiune completă atât în ​​planul P2, cât și în planul P4.

Această împrejurare ne permite să determinăm poziția proiecției A 4,într-un sistem de avioane P 1 _|_ P 4(Fig. 65, b) pe un desen complex. Pentru a face acest lucru, este suficient să măsurați înălțimea punctului de pe planul care este înlocuit

a proiecției P 2, puneți-o pe o nouă linie de legătură din noua axă de proiecții - și o nouă proiecție a punctului A 4 va fi construit.

Dacă se introduce un nou plan de proiecție în locul planului de proiecție orizontal, adică P 4 _|_ P 2 (Fig. 66, O), atunci în noul sistem de planuri noua proiecție a punctului va fi pe aceeași linie de comunicație cu proiecția frontală și A 2 A 4 _|_.În acest caz, adâncimea punctului este aceeași pe plan P 1, iar în avion P 4. Pe această bază ei construiesc A 4(Fig. 66, b) pe linia de comunicare A 2 A 4 la o asemenea distanţă de noua axă P 1 / P 4 la ce A 1 situat de pe axa P 2 / P 1.

După cum sa menționat deja, construirea de noi proiecții suplimentare este întotdeauna asociată cu sarcini specifice. În viitor, vor fi luate în considerare o serie de probleme metrice și de poziție care pot fi rezolvate folosind metoda înlocuirii planurilor de proiecție. În problemele în care introducerea unui plan suplimentar nu va da rezultatul dorit, se introduce un alt plan suplimentar, care este desemnat P 5. Este plasat perpendicular pe planul deja introdus P 4 (Fig. 67, a), adică P 5 P 4 și produc o construcție similară celor discutate anterior. Acum distanțele sunt măsurate pe secunda înlocuită a planurilor principale de proiecție (în Fig. 67, bîn avion P 1)și amânați-le pe o nouă linie de comunicare A 4 A 5, din noua axă de proiecție P 5 / P 4. În noul sistem de plane P 4 P 5 se obține un nou desen cu două proiecții, constând din proiecții ortogonale A 4și A 5 , conectate prin linie de comunicație

Obiective:

• Studierea regulilor de construire a proiecțiilor punctelor pe suprafața unui obiect și citirea desenelor.
• Dezvoltați gândirea spațială, capacitatea de a analiza forma geometrică a unui obiect.
• Să cultive diligența, capacitatea de a coopera atunci când se lucrează în grupuri și interesul pentru subiect.

PROGRESUL LECȚIEI

ETAPA I. MOTIVAREA ACTIVITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE.

ETAPA II. FORMAREA DE CUNOAȘTERE, ABILITĂȚI ȘI ABILITĂȚI.

PAUZĂ DE SALVARE A SĂNĂTĂŢII. REFLECȚIE (DISPOARE)

ETAPA III. MUNCĂ INDIVIDUALĂ.

ETAPA I. MOTIVAREA ACTIVITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE

1) Profesor: Verificați-vă locul de muncă, este totul la locul lui? Sunt toți gata să plece?

RESPIRAȚI AdinC, ȚINEȚI RESPIRAȚIA CÂND EXPIRAȚI, EXPIRĂ.

Determinați-vă starea de spirit la începutul lecției conform diagramei (această diagramă este pe biroul tuturor)

VA URES SUCCES.

2)Profesor: Lucrare practică pe tema „ Proiecții de vârfuri, muchii, fețe” au arătat că există tipi care greșesc la proiectare. Sunt confuzi care dintre cele două puncte care coincid în desen este un vârf vizibil și care este unul invizibil; când muchia este paralelă cu planul și când este perpendiculară. La fel este și cu marginile.

Pentru a evita repetarea greșelilor, finalizați sarcinile necesare folosind cardul de consiliere și corectați erorile din munca practică (de mână). Și pe măsură ce lucrați, amintiți-vă:

„TOCARE POATE FĂCĂ O GREȘEL, NUMAI UN NEBUN RĂMÂNE CU EROAREA LUI.”

Iar cei care au stăpânit bine subiectul vor lucra în grupuri cu sarcini creative (vezi. Anexa 1 ).

ETAPA II. FORMAREA CUNOAȘTERII, ABILITĂȚI ȘI ABILITĂȚI

1)Profesor:În producție există multe piese care sunt atașate unele de altele într-un anumit fel.
De exemplu:
Capacul desktopului este atașat la stâlpii verticali. Fiți atenți la masa la care vă aflați, cum și cu ce sunt atașate unul de celălalt capacul și rafturile?

Răspuns: Bolt.

Profesor: Ce este necesar pentru un șurub?

Răspuns: Gaură.

Profesor:într-adevăr. Și pentru a face o gaură, trebuie să cunoașteți locația acesteia pe produs. Când face o masă, un tâmplar nu poate contacta clientul de fiecare dată. Deci, ce ai nevoie pentru a oferi un dulgher?

Răspuns: Un desen.

Profesor: Desen!? Cum numim desen?

Răspuns: Un desen este o imagine a unui obiect folosind proiecții dreptunghiulare într-o relație de proiecție. Folosind desenul, vă puteți imagina forma geometrică și designul produsului.

Profesor: Am finalizat proiecțiile dreptunghiulare, ce urmează? Vom putea determina locația găurilor dintr-o proiecție? Ce altceva trebuie să știm? Ce să înveți?

Răspuns: Construiți puncte. Găsiți proiecțiile acestor puncte în toate vederile.

Profesor: Bine făcut! Acesta este scopul lecției și subiectului nostru: Construirea proiecțiilor punctelor pe suprafața unui obiect. Scrieți subiectul lecției în caiet.
Tu și cu mine știm că orice punct sau segment de pe imaginea unui obiect este o proiecție a unui vârf, muchie, față, de exemplu. fiecare vedere este o imagine nu dintr-o parte (vedere cap, vedere de sus, vedere din stânga), ci întregul obiect.
Pentru a găsi corect proiecțiile punctelor individuale situate pe fețe, trebuie mai întâi să găsiți proiecțiile acestei fețe și apoi, folosind linii de legătură, să găsiți proiecțiile punctelor.

(Ne uităm la desenul de pe tablă, lucrăm într-un caiet, unde se fac acasă 3 proiecții ale aceleiași piese).

– Deschis caietul cu desenul finalizat (Explicarea construcției punctelor pe suprafața unui obiect cu întrebări de ghidare pe tablă, iar elevii o fixează în caiete.)

Profesor: Luați în considerare ideea ÎN. Cu ce ​​plan este paralelă fața acestui punct?

Răspuns: Marginea este paralelă cu planul frontal.

Profesor: Definim proiecția unui punct b' pe proiecția frontală. Glisați în jos din punct b' linie de comunicare verticală cu proiecția orizontală. Unde va fi situată proiecția orizontală a punctului? ÎN?

Răspuns: La intersecția cu proiecția orizontală a feței care a fost proiectată în margine. Și este situat în partea de jos a proiecției (vizualizării).

Profesor: Proiecția de profil a unui punct b'' , unde va fi amplasat? Cum o vom găsi?

Răspuns: La intersecția unei linii orizontale de comunicație de la b' cu o margine verticală în dreapta. Această margine este proiecția feței cu punctul ÎN.

CEI CARE DORESC SĂ CONSTRUICE URMĂTOAREA PROIECȚII A PUNCTULUI SUNT CHEMATĂ ÎN CONSILIU.

Profesor: Proiecții punctuale O sunt amplasate și folosind linii de comunicație. Cu ce ​​plan este fata cu punctul paralel? O?

Răspuns: Muchia este paralelă cu planul profilului. Definim un punct pe proiecția profilului O'' .

Profesor:În ce proiecție a fost proiectată fața în margine?

Răspuns: Pe față și pe orizontală. Să desenăm o linie de legătură orizontală până când se intersectează cu marginea verticală din stânga pe proiecția frontală, obținem un punct O' .

Profesor: Cum să găsiți proiecția unui punct O pe o proiecție orizontală? La urma urmei, linii de comunicare din proiecția punctelor O' Şi O'' nu intersectați proiecția feței (marginea) pe proiecția orizontală din stânga. Ce ne poate ajuta?

Răspuns: Puteți utiliza o linie dreaptă constantă (determină locația vederii din stânga) de la O'' trageți o linie de comunicare verticală până când aceasta se intersectează cu o linie dreaptă constantă. O linie de legătură orizontală este trasată din punctul de intersecție până când se intersectează cu marginea verticală din stânga. (Aceasta este fața cu punctul A) și denotă proiecția cu un punct O .

2) Profesor: Toată lumea are pe masă un card de sarcini cu hârtie de calc atașată. Examinați desenul, acum încercați pe cont propriu, fără a redesena proiecțiile, pentru a găsi proiecțiile date ale punctelor din desen.

– Găsiți imaginea în manual, pagina 76. 93. Testează-te. Cei care au făcut-o corect – nota „5” – „4” două – „3”;

(Notele sunt date chiar de elevi pe foaia de autocontrol).

– Colectați carduri pentru verificare.

3)Lucrați în grupuri: Timp limitat: 4 min. + 2 min. verificări. (Sunt combinate două birouri cu studenți, iar un lider este selectat în cadrul grupului).

Fiecare grup are sarcini pe 3 nivele. Elevii aleg sarcinile după nivel (după cum doresc). Rezolvați probleme care implică construirea de puncte. Discutați formația sub supravegherea liderului. Apoi răspunsul corect este afișat pe tablă folosind un retroproiector. Toată lumea verifică dacă proiectarea punctelor este făcută corect. Cu ajutorul liderului de grup, se acordă note pe teme și pe fișe de autocontrol (vezi. Anexa 2 Şi Anexa 3 ).

PAUZĂ DE SALVARE A SĂNĂTĂŢII. REFLECŢIE

„Poza faraonului”– stai pe marginea unui scaun, indrepta spatele, indoaie bratele la coate, incruciseaza picioarele si aseaza-le pe degetele de la picioare. Inspirați, încordați toți mușchii corpului în timp ce vă țineți respirația, expirați. Fă-o de 2-3 ori. Închideți bine ochii, până ajung la stele și deschideți-le. Marcați-vă starea de spirit.

ETAPA III. PARTEA PRACTICĂ. (Tesiuni individuale)

Există carduri de sarcini disponibile pentru a alege la diferite niveluri. Elevii își aleg singur opțiunea în funcție de abilitățile lor. Găsiți proiecțiile punctelor de pe suprafața obiectului. Lucrările sunt depuse și notate pentru următoarea lecție. (Cm. Anexa 4 , Anexa 5 , Anexa 6 ).

ETAPA IV. FINAL

1) Temă pentru acasă. (Instrucțiune). Efectuat pe niveluri:

B – înțelegere, la „3”. Exercițiul 1 Fig. 94a p. 77 – conform temei din manual: completați proiecțiile de puncte lipsă pe aceste proiecții.

B – cerere, la „4”. Exercițiul 1 Fig. 94 a, b. completați proiecțiile lipsă și marcați vârfurile pe imaginea vizuală din 94a și 94b.

A – analiză, „5”. (Dificultate crescută.) Ex. 4 Fig.97 – construiți proiecțiile lipsă ale punctelor și etichetați-le cu litere. Nu există nicio imagine vizuală.

2)Analiza reflexivă.

1. Determinați starea de spirit la sfârșitul lecției, marcați-o cu orice semn pe foaia de autocontrol.
2. Ce nou ai învățat în clasă astăzi?
3. Ce formă de muncă este cea mai eficientă pentru tine: de grup, individual și ți-ai dori să fie repetată în lecția următoare?
4. Colectați foi de autocontrol.

3)„Profesorul greșit”

Profesor: Ați învățat să construiți proiecții de vârfuri, muchii, fețe și puncte pe suprafața unui obiect, urmând toate regulile de construcție. Dar ți-au dat un desen care conține erori. Acum încearcă-te ca profesor. Găsiți singur erorile, dacă găsiți toate cele 8-6 erori, atunci scorul este „5”; 5–4 erori – „4”, 3 erori – „3”.

Raspunsuri: