Teoremă pe o dreaptă perpendiculară pe o demonstrație plană. Tema lecției: „Teorema pe o dreaptă perpendiculară pe un plan

O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă a acelui plan. Pe baza teoremei proiecției unghi drept, iar esența sa este următoarea:

în proiecție dreptunghiulară, un unghi drept este proiectat în mărime naturală(direct) numai dacă una dintre laturile sale este paralelă cu planul de proiecție, iar cealaltă nu este perpendiculară pe acest plan;

ca niste planuri drepte pozitia generala Cel mai convenabil este să folosiți liniile sale de nivel.

Prin urmare, atunci când desenați o perpendiculară pe un plan, este necesar să luați două astfel de linii drepte în acest plan: orizontală și frontală.

Proiecțiile unei drepte perpendiculare pe plan dintr-un desen complex sunt perpendiculare pe proiecțiile corespunzătoare ale liniilor sale de nivel, adică. dacă o linie dreaptă este perpendiculară pe plan, atunci proiecția sa orizontală trebuie să fie perpendiculară pe proiecția orizontală a orizontalei, iar proiecția sa frontală - pe proiecția frontală a frontalului (Fig. 67) sau urmele corespunzătoare ale planului ( Fig. 68).

În fig. 69 arată un plan de poziție generală ( o b), față de care doriți să trasați o dreaptă perpendiculară.

Orez. 67 Fig.

68

Orez. 69 Desenați o linie orizontală în acest plan h (prin punctele 1,3) și față v

(prin punctele 1,4) (Fig. 69). Apoi din punctul 1 tragem o linie dreaptă n

perpendicular pe planul orizontal și frontal, după cum urmează:  n" h"  n""

h"" Apoi din punctul 1 tragem o linie dreaptă(perpendicular pe planul orizontal și frontal, după cum urmează:,h" Linie dreaptă construită

1. ) este perpendiculara dorită pe plan.

Planuri perpendiculare

Două plane sunt reciproc perpendiculare dacă unul dintre ele trece prin perpendiculară pe celălalt. Construcția unor astfel de avioane se poate face în două moduri:

1) planul este trasat printr-o perpendiculară pe alta;

2) planul este trasat perpendicular pe o dreaptă aparținând altui plan. În fig. 70 arată o linie dreaptă în poziție generală l și un plan general( b O În fig. 70 arată o linie dreaptă în poziție generală).

Este necesar să se construiască printr-o linie dreaptă

un plan perpendicular pe planul . Orez. 70 Pentru a rezolva problema, este necesar să treceți printr-un punct al unei linii date, de exemplu, un punct o M b.

, trageți o perpendiculară pe planul definit de drepte care se intersectează Desenați o linie orizontală în acest planŞi (prin punctele 1,3) și față Desenați în planul orizontal

si fata Orez. 70(Fig. 70). În fig. 70 arată o linie dreaptă în poziție generală Următorul din punct Apoi din punctul 1 tragem o linie dreaptă, luată pe linie dreaptă perpendicular pe planul orizontal și frontal, după cum urmează:n";h", coborâți perpendiculara, adică proiecţia orizontală a perpendicularei va fi perpendiculară pe proiecţia orizontală a orizontalei, iar proiecţia sa frontală va fi perpendiculară pe proiecţia frontală a frontalului (Fig. 70).

avion ( În fig. 70 arată o linie dreaptă în poziție generală Apoi din punctul 1 tragem o linie dreaptă), trecând prin linie Apoi din punctul 1 tragem o linie dreaptă, va fi perpendicular pe plan.

1. Linii perpendiculare

Două drepte sunt perpendiculare dacă și numai dacă prin fiecare dintre ele este posibil să se deseneze un plan perpendicular pe cealaltă dreaptă.

În fig. 71 arată o linie dreaptă În fig. 70 arată o linie dreaptă în poziție generală poziţia generală la care se cere trasarea unei drepte perpendiculare.

Orez. 71

Prin punct O direct În fig. 70 arată o linie dreaptă în poziție generală construiește un plan perpendicular pe acesta( Desenați o linie orizontală în acest plan (prin punctele 1,3) și față):

eu  n"; eu""  n""(Fig. 71).

Orice dreaptă situată în planul  va fi, de asemenea, perpendiculară pe această dreaptă În fig. 70 arată o linie dreaptă în poziție generală. Prin urmare, să desenăm o linie dreaptă arbitrară în acest plan t, pe care luăm un punct arbitrar, de exemplu, punctul ÎN(Fig. 71).

Conectarea punctelor O M ÎN, culcat în plan, obținem o linie dreaptă Apoi din punctul 1 tragem o linie dreaptă, perpendicular pe o dreaptă dată În fig. 70 arată o linie dreaptă în poziție generală(Fig. 71).

ÎNTREBĂRI DE REVIZUIRE

Cum se numește linia de cea mai mare înclinare a unui plan?

Cum se determină unghiul de înclinare al unui plan față de planul frontal al proiecțiilor?

Cum este afișată perpendicularitatea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan într-un desen complex?

Formulați condițiile necesare și suficiente pentru perpendicularitatea a două drepte în poziție generală.

În ce condiții două plane generale sunt perpendiculare unul pe celălalt?

Cum se desenează un plan perpendicular pe o dreaptă dată?

Cum se desenează o perpendiculară de la un punct la o linie în poziție generală?

Cum se construiesc planuri reciproc perpendiculare?

În această lecție vom analiza și demonstra teorema despre singura dreaptă perpendiculară pe un plan.
La începutul lecției formulăm teorema studiată despre existența unei drepte unice care trece printr-un punct dat și perpendiculară pe un plan dat. Pentru a o demonstra, luăm în considerare și dovedim mai întâi afirmația despre existența unui plan perpendicular pe o dreaptă dată. După demonstrarea teoremei, vom lua în considerare câteva probleme corolar pe tema studiată.

Subiect: Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan

Lecția: Teoremă despre o dreaptă perpendiculară pe un plan

În această lecție ne vom uita și vom demonstra teoremă pe singura dreaptă perpendiculară pe un plan.

Declaraţie

Un plan perpendicular pe o dreaptă dată trece prin orice punct din spațiu.

Dovada(vezi fig. 1)

Să ni se dea o linie dreaptă și un plan general(și punct Orez. 70. Să demonstrăm că există un plan γ care trece prin punct Orez. 70 si care este perpendiculara pe dreapta și un plan general(.

Prin direct și un plan general( să desenăm planele α și β astfel încât punctul Orez. 70 aparține planului α. Planurile α și β se intersectează în linie dreaptă și un plan general(. În planul α prin punct Orez. 70 să desenăm o perpendiculară MN(sau r) la o linie dreaptă O,. În planul β din punct N restabiliți perpendiculara q la o linie dreaptă și un plan general(. Direct rŞi q se intersectează, lasă planul γ să treacă prin ele. Găsim că linia și un plan general( perpendicular pe două drepte care se intersectează rŞi q din planul γ. Aceasta înseamnă, pe baza perpendicularității unei drepte și a unui plan, o dreaptă și un plan general( perpendicular pe planul γ.

Teorema

Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și numai una.

Dovada.

Să fie dat un plan α și un punct Orez. 70(vezi fig. 2). Trebuie să dovedim asta prin subiect Orez. 70 există o singură linie dreaptă Cu, perpendicular pe plan α .

Să facem o directă și un plan general(în planul α (vezi Fig. 3). Conform afirmatiei dovedite mai sus, prin punct Orez. 70 se poate trasa un plan γ perpendicular pe dreapta și un plan general(. Să fie drept b- linia de intersecție a planelor α și γ.

În planul γ prin punct Orez. 70 hai sa facem un direct Cu, perpendicular pe linie b.

Drept Cu perpendicular b prin construcție, drept Cu perpendicular și un plan general((din moment ce drept și un plan general( este perpendiculară pe planul γ și deci pe dreapta Cu, situată în planul γ). Găsim că linia Cu perpendicular pe două drepte care se intersectează din planul α. Aceasta înseamnă, pe baza perpendicularității unei drepte și a unui plan, o dreaptă Cu perpendicular pe planul α. Să demonstrăm că o astfel de linie dreaptă Cu singurul.

Să presupunem că există o linie dreaptă Cu 1 trecând prin punct Orez. 70și perpendicular pe planul α. Găsim asta drept CuŞi de la 1 perpendicular pe planul α. Deci e drept CuŞi de la 1 paralel. Dar prin construcție sunt drepte CuŞi de la 1 se intersectează într-un punct Orez. 70. Avem o contradicție. Aceasta înseamnă că există o singură linie dreaptă care trece prin punct Orez. 70și perpendicular pe planul α, care este ceea ce trebuia demonstrat.

Demonstrați că dacă două plane α și β sunt perpendiculare pe o dreaptă și un plan general(, atunci sunt paralele.

Dovada:

Să facem o directă Cu paralel cu linia și un plan general(. Conform lemei, dacă una dintre cele două drepte paralele intersectează un plan, atunci și cealaltă dreaptă intersectează planul. Drept și un plan general( intersectează planele α și β după condiție. Deci e drept Cu intersectează planul α la un moment dat Oși planul β în punctul B.

Drept și un plan general( perpendiculară pe planele α și β și, prin urmare, o dreaptă paralelă cu aceasta Cu perpendicular pe planele α și β.

Să presupunem că planele α și β se intersectează. Punct Orez. 70- punctul comun al planelor α și β. Dar apoi în triunghi AMV colţ MAV este egal cu 90° și unghiul AVM este egal cu 90°, ceea ce este imposibil. Aceasta înseamnă că ipoteza că planurile α și β se intersectează a fost incorectă. Aceasta înseamnă că planurile α și β sunt paralele.

Demonstrați că prin orice punct din spațiu există un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată.

Dovada:

Să fie dată o linie dreaptă și un plan general(și punct Orez. 70. Conform afirmației, există un plan γ care trece prin punct Orez. 70, perpendicular pe linie și un plan general(. Să-i dovedim unicitatea.

Să presupunem că există un plan γ 1 care trece prin punct Orez. 70, perpendicular pe linie și un plan general(. Două plane γ și γ 1 sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă O, ceea ce înseamnă că planele γ și γ 1 sunt paralele (după cum am demonstrat în problema 1). Dar punct Orez. 70 aparține atât planului γ cât și γ 1. Avem o contradicție. Aceasta înseamnă că prin orice punct din spațiu trece un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată și un plan general(, ceea ce trebuia dovedit.

Deci, am demonstrat teorema despre o dreaptă perpendiculară pe un plan. În lecția următoare ne vom uita la rezolvarea problemelor cu astfel de linii.

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (de bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : bolnav.

2. Geometrie. Clasa 10-11: Manual pentru invatamantul general instituţiile de învăţământ/ Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.

3. Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p. :il.

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 15, 16, 17 p. 58

2. Este adevărat că linia este perpendiculară pe cei care se află în acest plan:

a) două laturi ale triunghiului

b) două laturi ale trapezului

c) două diametre ale unui cerc.

3. Demonstrați că prin orice punct al unei drepte din spațiu se pot trasa două drepte diferite perpendiculare pe acesta.

4. Direct O,b, Cu se află în planul α. Drept m perpendiculare pe liniile drepte și un plan general(Şi b, dar nu perpendicular Cu. Cum e poziție relativă direct și un plan general(Şi b?

Repetați paragraful 1, paragrafele 15-18, toate proprietățile și teoremele sunt notate în caiet, studiați paragraful 18, notați teorema despre o dreaptă perpendiculară pe un plan în caiet.

Două drepte din spațiu se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90o.

Liniile perpendiculare se pot intersecta și pot fi înclinate. Lema. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este perpendiculară pe această dreaptă. Definiţie. O dreaptă se numește perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreptă situată în plan. Ei mai spun că planul este perpendicular pe linia a.

orez. 38

Dacă linia a este perpendiculară pe plan, atunci în mod evident intersectează acest plan. De fapt, dacă linia a nu ar intersecta planul, atunci s-ar afla în acest plan sau ar fi paralelă cu acesta. Dar în ambele cazuri ar exista drepte în plan care nu sunt perpendiculare pe linia a, de exemplu, linii paralele cu aceasta, ceea ce este imposibil. Aceasta înseamnă că linia dreaptă a intersectează planul.

Relația dintre paralelismul dreptelor și perpendicularitatea lor pe plan.

Un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Note.

Prin orice punct din spațiu trece un plan perpendicular pe o dreaptă dată și, în plus, singurul. Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și numai una. Dacă două plane sunt perpendiculare pe o dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Studiați răspunsurile la întrebări:

În spațiu, liniile perpendiculare se pot intersecta și se pot intersecta. (Da, de exemplu un cub.) Dacă una dintre cele două linii paralele este perpendiculară pe a treia linie, atunci cealaltă dreaptă este paralelă cu această dreaptă. (Nu, perpendiculară.) O dreaptă se numește perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan. (Nu, pentru că, prin condiție, liniile se pot afla în acest plan.) Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe plan, atunci cealaltă dreaptă este paralelă cu planul. (Nu, perpendicular.) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acest plan. (Da, conform criteriului.) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci este perpendiculară pe cele două laturi ale triunghiului aflate în acest plan. (Da.) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci este perpendiculară pe două laturi ale pătratului. (Nu.)

În tetraedrul ABCD (Figura 1) BCD = ACD =90° Este adevărat că în figură muchiile AB, AC, BC sunt perpendiculare pe CD? (Da.),

Dați: ∆ ABC, VM AB, VM BC, D AC.

Ce este simetria. Simetria în geografie. Simetria în geologie. Obiecte naturale. Exemple de distribuție simetrică. Tipuri de simetrie. Simetria cilindrului. Simetria formei exterioare a cristalului. Simetria în biologie. Simetrie discretă. Simetrie în natură. Simetria este o proprietate fundamentală a naturii. Simetria în fizică. Figuri simetrice. Oamenii, multe animale și plante au simetrie bilaterală.

„Condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan” - Teoremă despre o dreaptă perpendiculară pe un plan. Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan. Direct MA și MS. Să demonstrăm că dreapta a este perpendiculară pe o dreaptă arbitrară m. Proprietățile înclinate. Teoremă despre două drepte paralele. Teoreme care stabilesc legătura dintre paralelism. Linia dreaptă a este perpendiculară pe planul ASM. Teorema celor trei perpendiculare. Plan de construcție. Teoremă despre două drepte perpendiculare pe un plan.

„Metode de construire a secțiunilor” - Formarea deprinderilor în construirea secțiunilor. Notă. Să luăm în considerare patru cazuri de construire a secțiunilor unui paralelipiped. Plan de tăiere. Metoda de proiectare internă. Construcția secțiunilor de poliedre. Urma este linia dreaptă de intersecție a planului de secțiune și planul oricărei fețe a poliedrului. Paralepipedul are șase fețe. Construiți secțiuni ale unui tetraedru. Metoda urmei. Lucrul cu discuri.

„Corolare din axiomele stereometriei” - Elemente ale cubului. Avion. Desenați o linie dreaptă. Cărui plan aparține punctul? Slide-uri despre geometrie. Găsiți linia de intersecție a planelor. Soluţie. Avioane diferite. Axiome de planimetrie. Munca independentă. Declarații. Construiți o imagine a unui cub. Planimetrie. Existența unui avion. Avioane. Dovada. Linii drepte care se intersectează într-un punct. Axiomele stereometriei și unele consecințe ale acestora.

„Determinarea unghiurilor diedrice” - Fețele unui paralelipiped. Unde puteți vedea teorema celor trei perpendiculare. Sarcină. Să aruncăm o grindă. Planul M. Punctul de pe muchie poate fi arbitrar. O figură formată dintr-o dreaptă a și două semiplane. Unghiuri diedrice în piramide. Perpendicular, oblic și de proiecție. Punctul K. Unghi la marginea laterală a unei prisme drepte. Definiție și proprietăți. Romb. Capetele segmentului. Proprietatea unui unghi triedric. Planuri perpendiculare.

„Paralelepiped” - „Paralelepiped de Salzburg”. Studierea proprietăților forme geometrice folosind algebra. Un tetraedru poate fi înscris într-un paralelipiped. Paralelipiped. Paralepiped dreptunghiular. Proprietățile diagonalelor paralelipiped dreptunghiular. Dezvoltarea geometriei. Diagonalele unui paralelipiped drept sunt calculate folosind formulele. Așa arată paralelipipedul când este desfăcut. Paralepipedul este simetric în jurul mijlocului diagonalei sale.

Prelegere pe tema „Teorema unei drepte perpendiculare pe un plan”

Să le amintim: Prima teoremă Testul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

Și două teoreme despre drepte paralele sunt o teoremă directă. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acest plan.

ŞI teorema inversă. Dacă două drepte sunt perpendiculare pe un plan, atunci sunt paralele. Am discutat deja despre demonstrarea acestor teoreme.

Text pe ecran:

Un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

Textul este adăugat pe ecran:

Teorema. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acest plan.

Textul este adăugat pe ecran:

Teorema inversă. Dacă două drepte sunt perpendiculare pe un plan, atunci sunt paralele.

Sarcină.

Demonstrați că prin orice punct din spațiu trece un plan perpendicular pe o dreaptă dată.

Pentru a rezolva, luăm în considerare dreapta a și un punct arbitrar din spațiu – punctul M. Să demonstrăm că există un plan care trece prin punctul M și perpendicular pe dreapta a.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm două plane α și β care conțin linia a, deoarece aceasta este linia lor comună, ceea ce înseamnă că linia dreaptă a este linia lor de intersecție.

În planul β prin punctul M trasăm o dreaptăb perpendicular pe linieși un plan general( . lasă aceste drepte să se intersecteze în punctul O.

În planul α trasăm o dreaptăCu trecand prin punctul O si perpendicular pe dreaptași un plan general( .

Conform teoremei privind existența unui plan și anume prin două drepte care se intersecteazăVŞi Cu Poți desena un avion și doar unul.

Luați în considerare un avionγ ( gamma ) , trecând prin liniiCuŞi b .

Avion γ( gamma ) va fi planul dorit, deoarece linia a este perpendiculară pe două drepte care se intersectează b și c

Textul problemei apare pe ecran: Demonstrați că un plan perpendicular pe o dreaptă dată trece prin orice punct din spațiu.

Desen pe ecran

Ecranul actualizează desenul și adaugă un punct de soluție.

Dovada:

Să efectuăm α, β: a , M

Desenul și punctul de probă sunt actualizate pe ecran 2)

Dovada:

Să ducem la îndeplinire b: b , b , bO, b a=O

Desenul este actualizat pe ecran și se adaugă un punct de probă 3)

Dovada:

Hai sa o facem cu: Cu , Cu, Cu și un plan general(

Adăugarea punctului de probă 4)

Adăugați punctul de probă 5)

o ⊥.

Această problemă demonstrează existența unui plan perpendicular pe o dreaptă dată. Să considerăm o teoremă care afirmă existența și unicitatea unei drepte perpendiculare pe un plan dat.

Luați în considerare planul α și un punct arbitrar din spațiu – punctul A.

Să demonstrăm că prin punctul A trece o singură dreaptă perpendiculară pe planul dat.

1.2) Deci, să desenăm o dreaptă arbitrară în planul αm. Să construim un avionastfel încât să treacă prin punctul A perpendicular pe dreaptăm.

3.4) Fie că planul α și β se intersectează în linie dreaptăn. În planul β, prin punctul A trasăm o dreaptă p, perpendiculară pe dreaptăn.

5) Direct T , perpendicular pe planβ , ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, adică o dreaptăT perpendicular pe o linie dreaptăr .

6) Apoi drept pm Şi Apoi din punctul 1 tragem o linie dreaptă , întins în avionα , așadar, pe baza perpendicularității unei drepte și a unui plan, o dreaptăp perpendicular pe planα .

7) Este important să înțelegeți că nu poate exista decât o astfel de linie. Dacă două drepte au trecut prin punctul A, de exemplu, o altă dreaptăp 1 , perpendicular pe planul α. Dar două drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele, ceea ce contrazice presupunerea noastră. Astfel, doar o dreaptă perpendiculară pe un plan dat trece printr-un punct din spațiu.

Această afirmație în geometrie se numește teorema despre o dreaptă perpendiculară pe un plan.

Text pe ecran:

Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și numai una.

Desen pe ecran

Dovada:

Să ducem la îndeplinire m: m

Luați în considerare β: βA

αβ = Apoi din punctul 1 tragem o linie dreaptă

Să ducem la îndeplinire p : p , A r , p.m .

Punctul se adaugă la dovadă 6)

Desenul și punctul de probă sunt actualizate pe ecran:

e substantiv

Sarcină

Prin vârfurile A și B ale dreptunghiului ABCD 1 și BB 1 1 AB și AA 1 A D D=25 cm, AB=12 cm, AD= 16 cm.

Rezolvare.1) Deoarece dreapta AA 1 perpendicular pe două drepte care se intersecteazăADși AB situată în planul dreptunghiului, apoi semnul perpendicularității dreptei pe planul AA 1 D.

2) BB direct 1 paralel cu linia AA 1 deci, prin teoremă, dreaptă BB 1 perpendicular pe planul ABCD, și este perpendicular pe orice dreaptă situată în acest plan, adică BB 1 perpendicular pe dreapta BD. Deci triunghiul B 1 V D dreptunghiular.

3) De la triunghi dreptunghic RĂU conform teoremei lui Pitagora pătratul ipotenuzeiBDegală cu suma pătratelor catetelor AB șiADŞi BD este egal cu 20 cm.

4) Prin teorema lui Pitagora din triunghiul dreptunghic B 1 V D. Picior pătrat B 1 B este egal cu diferența pătratelor ipotenuzei B 1 Dși celebrul piciorBD, iar piciorul are 15 cm.

Textul sarcinii apare pe ecran. Prin vârfurile A și B ale dreptunghiului ABCDsunt trasate drepte paralele AA 1 și BB 1 nu se află în planul dreptunghiului. Se știe că A.A. 1 AB și AA 1 A D. Găsiți BB 1 dacă B 1 D=25 cm, AB=12 cm, AD= 16 cm

Text și desen pe ecran:

Soluţie:

La soluție se adaugă punctul 2) desenul este actualizat

La decizie se adaugă punctul 3)

1. : conform teoremei lui Pitagora

ÎN D=

Punctul 4) se adaugă la soluție și apoi răspunsul

: conform teoremei lui Pitagora

Raspuns: 15 cm.

Să ne uităm la problema dovezilor.

Linia a este perpendiculară pe planul α și perpendiculară pe dreaptăb b||

Să numim punctul de intersecție al dreptei și punctul plan M.

1,2) Marcați pe linie dreaptăși un plan general( un punctNnu culcat pe o linie dreaptăb. Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trasa o singură linie dreaptă paralelă cu cea dată. Lăsați această linie dreaptă să fie dreaptăb 1 .

3) Printr-un punct Nsă tragem o linie dreaptă de la 1 .

4) Prin punctul M din planul α trasăm o dreaptă c paralelă cu dreapta c 1 .

5) Prin două linii care se intersectează cu 1 și b 1 se poate desena planul β conform teoremei privind existenţa unui plan.

6) Linia a este perpendiculară pe planul α, ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe dreapta c situată în plan, dar c este paralelă cu dreapta c 1 , prin urmare linia a este perpendiculară pe dreapta c 1 .

7.8) În mod similar, linia a este perpendiculară pe dreaptabdupă condiție, directbparalel cu liniab 1 , prin urmare, linia a este perpendiculară pe dreaptab 1 . Aceasta înseamnă că linia a, bazată pe perpendicularitatea dreptei și a planului, este perpendiculară pe planul β.

9) Planurile α și β sunt perpendiculare pe linia a, ceea ce înseamnă că sunt paralele.

10) Drept bparalel cu liniab 1 , ceea ce înseamnă că este paralel cu planul β și paralel cu planul α.

Textul sarcinii apare pe ecran:

Problema 3. Linia a este perpendiculară pe planul α și perpendiculară pe dreaptăb , nu zac în acest avion. Demonstrează astab||

Dat: a, a b

Demonstrează asta || b

Dovada:

Nota N: .

b 1 : b 1

Desenul este actualizat pe ecran și se adaugă un punct de probă:

Să efectuăm de la 1: de la 1

Desenul este actualizat pe ecran și se adaugă elementul 4)

Să petrecem cu: cu

Desenul este actualizat pe ecran și se adaugă un punct de probă:

Adăugarea punctului de probă 6):

o ⊥α

Punctul de dovadă adăugat 7) 8)

ab .

Adăugarea punctului de probă 9)

Se adaugă punctul de probă 10)