Analiza matematică pentru începători. Analiza matematică

Limitele oferă tuturor studenților la matematică multă bătaie de cap. Pentru a rezolva limita, uneori trebuie să folosiți o mulțime de trucuri și să alegeți dintr-o varietate de metode de soluție exact cea care este potrivită pentru un exemplu specific.

În acest articol nu vă vom ajuta să înțelegeți limitele capacităților dvs. sau să înțelegeți limitele controlului, dar vom încerca să răspundem la întrebarea: cum să înțelegeți limitele din matematica superioară? Înțelegerea vine cu experiență, așa că, în același timp, vom da mai multe exemple detaliate de rezolvare a limitelor cu explicații.

Conceptul de limită în matematică

Prima întrebare: care este această limită și care este limita? Putem vorbi despre limitele secvențelor și funcțiilor numerice. Ne interesează conceptul de limită a unei funcții, deoarece studenții le întâlnesc cel mai adesea. Dar mai întâi, cea mai generală definiție a unei limite:

Să presupunem că există o variabilă. Dacă această valoare în procesul de schimbare se apropie infinit de un anumit număr A , atunci A Este limita acestei valori.

Pentru o funcție definită într-un anumit interval f (x) = y un astfel de număr se numește limită A , spre care tinde funcția NS tindând la un anumit punct A ... Punct A aparține intervalului pe care este definită funcția.

Sună greoi, dar este foarte simplu de scris:

Lim- din engleza limită este limita.

Există, de asemenea, o explicație geometrică pentru definirea limitei, dar aici nu vom intra în teorie, deoarece ne interesează mai mult aspectul practic decât cel teoretic al problemei. Când spunem asta NS tinde spre o anumită valoare, aceasta înseamnă că variabila nu ia valoarea numărului, ci este infinit de aproape de el.

Să dăm un exemplu concret. Provocarea este de a găsi limita.

Pentru a rezolva acest exemplu, înlocuiți valoarea x = 3 într-o funcție. Primim:

Apropo, dacă sunteți interesat de operațiile de bază pe matrice, citiți un articol separat pe această temă.

În exemple NS poate depune eforturi pentru orice valoare. Poate fi orice număr sau infinit. Iată un exemplu când NS tinde spre infinit:

Este intuitiv clar că cu cât este mai mare numărul din numitor, cu atât valoarea va fi mai mică. Deci, cu o creștere nelimitată NS sens 1 / x va scădea și se va apropia de zero.

După cum puteți vedea, pentru a rezolva limita, trebuie doar să înlocuiți valoarea pentru a căuta în funcție NS ... Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz. Găsirea limitei nu este adesea atât de evidentă. Incertitudini precum 0/0 sau infinit / infinit ... Ce să faci în astfel de cazuri? Pentru a recurge la trucuri!

Incertitudini în interior

Incertitudinea formei infinit / infinit

Să existe o limită:

Dacă încercăm să substituim infinitul în funcție, vom obține infinit atât în numărător, cât și în numitor. În general, merită spus că există un anumit element al artei în rezolvarea unor astfel de incertitudini: trebuie remarcat modul în care o funcție poate fi transformată în așa fel încât incertitudinea să dispară. În cazul nostru, împărțim numărătorul și numitorul la NS în gradul superior. Ce se întâmplă?

Din exemplul deja considerat mai sus, știm că termenii care conțin x în numitor vor tinde la zero. Atunci soluția la limită este:

Să dezvăluie incertitudini precum infinit / infinitîmpărțiți numărătorul și numitorul la NSîn cel mai înalt grad.

Apropo! Pentru cititorii noștri, există acum o reducere de 10% la orice fel de muncă

Un alt tip de incertitudine: 0/0

Ca întotdeauna, înlocuirea funcției de valoare x = -1 dă 0 în numărător și numitor. Uită-te puțin mai aproape și vei observa că avem o ecuație pătratică în numărător. Găsiți rădăcinile și scrieți:

Să scurtăm și să obținem:

Deci, dacă vă confruntați cu o incertitudine asemănătoare 0/0 - descifrați numeratorul și numitorul.

Pentru a vă facilita rezolvarea exemplelor, oferim un tabel cu limitele unor funcții:

Conducerea L'Hôpital înăuntru

O altă tehnică puternică pentru eliminarea ambelor tipuri de incertitudine. Care este esența metodei?

Dacă există incertitudine în limită, luăm derivata numărătorului și numitorului până când incertitudinea dispare.

Regula L'Hôpital arată astfel:

Un punct important : trebuie să existe limita în care în loc de numărător și numitor sunt derivate ale numărătorului și numitorului.

Și acum, pentru un exemplu real:

Incertitudine tipică 0/0 ... Să luăm derivatele numărătorului și numitorului:

Voila, ambiguitatea se rezolvă rapid și elegant.

Sperăm că puteți aplica în mod util aceste informații în practică și căutați un răspuns la întrebarea „cum să rezolvați limitele în matematica superioară”. Dacă trebuie să calculați limita unei secvențe sau limita unei funcții la un moment dat și nu există timp pentru această lucrare din cuvântul „deloc”, contactați un serviciu profesional pentru studenți pentru o soluție rapidă și detaliată.

O grămadă de formule teribile, manuale despre matematică superioară, pe care le deschideți și apoi închideți, căutări dureroase pentru o soluție la o problemă aparent destul de simplă .... Această situație nu este neobișnuită, mai ales când s-a deschis ultima dată un manual de matematică în clasa a XI-a îndepărtată. Între timp, în universități, programele de studii ale multor specialități asigură studiul matematicii superioare preferate de toată lumea. Și în această situație, de multe ori vă simțiți ca un ceainic complet în fața unei grămezi de gălăgie matematică teribilă. Mai mult, o situație similară poate apărea atunci când studiați orice disciplină, în special din ciclul științelor naturii.

Ce sa fac? Pentru un student cu normă întreagă, totul este mult mai ușor, cu excepția cazului în care, desigur, subiectul este prea neglijat. Puteți consulta un profesor, colegii de clasă și doar să înșelați de la un vecin de pe birou. Chiar și un ceainic complet în matematică superioară va supraviețui sesiunii într-un astfel de scenariu.

Și dacă o persoană studiază la departamentul de corespondență al unei universități și la matematică superioară, ca să spunem ușor, este puțin probabil să fie necesară în viitor? În plus, nu există absolut timp pentru ore. Așa este, în majoritatea cazurilor, dar nimeni nu a anulat executarea testelor și promovarea examenului (cel mai adesea, scris). Cu testele la matematică superioară, totul este mai ușor, indiferent dacă sunteți ceainic sau nu ceainic - se pot comanda lucrări de testare la matematică... De exemplu, a mea. Și pentru restul subiectelor puteți comanda și. Nu mai este aici. Însă finalizarea și livrarea lucrărilor de testare pentru revizuire nu va duce încă la înregistrarea râvnită din carnetul de note. De multe ori se întâmplă ca o operă de artă, realizată la comandă, să fie protejată și să explice de ce această formulă rezultă din aceste litere. În plus, vin examene și acolo va trebui să rezolvați DUMNEAVOASTRĂ determinanți, limite și derivate. Cu excepția cazului în care, bineînțeles, profesorul nu acceptă cadouri valoroase sau dacă nu există un binevoitor angajat în afara clasei.

Permiteți-mi să vă dau un sfat foarte important. La teste, examene în științe exacte și naturale, este foarte important să înțelegem ceva. Amintiți-vă, cel puțin ceva. Absența completă a proceselor de gândire doar îl înfurie pe profesor, știu cazuri în care elevii de corespondență au fost înfășurați de 5-6 ori. Îmi amintesc că un tânăr a trecut testul de 4 ori și, după fiecare reluare, a apelat la mine pentru o consultație gratuită în garanție. În cele din urmă, am observat că în răspuns a scris litera „pe” în loc de litera „pi”, care a fost urmată de sancțiuni severe din partea recenzorului. Elevul NU A DORIT NICIODATĂ SA INTELIGENȚE misiunea pe care a rescris-o la întâmplare

Puteți fi un ceainic complet în matematică superioară, dar este foarte de dorit să știți că derivata unei constante este zero. Pentru că dacă răspunzi la o prostie la o întrebare elementară, atunci există o mare probabilitate ca studiile tale la universitate să se încheie pentru tine. Profesorii susțin mult mai mult elevul care ÎNCERCĂ cel puțin să înțeleagă subiectul, față de cel care, deși din greșeală, încearcă să rezolve, să explice sau să demonstreze ceva. Și această afirmație este adevărată pentru toate disciplinele. Prin urmare, poziția „Nu știu nimic, nu înțeleg nimic” ar trebui respinsă cu hotărâre.

Al doilea sfat important este să participați la conferințe, chiar dacă acestea sunt puține. Am menționat deja acest lucru pe pagina principală a site-ului. Matematică pentru studenții la corespondență... Nu are rost să repetăm de ce acest lucru este FOARTE important, citiți acolo.

Deci, ce trebuie făcut dacă un test, un examen la matematică superioară este chiar la colț, iar lucrurile sunt deplorabile - starea unui ceainic plin, sau mai bine zis, a unui ceainic gol?

O opțiune este angajarea unui tutor. Cea mai mare bază de date de tutori poate fi găsită (în principal la Moscova) sau (în principal în Sankt Petersburg). Folosind un motor de căutare, este foarte posibil să găsești un tutore în orașul tău sau să te uiți la ziare de publicitate locale. Prețul pentru serviciile unui tutor poate varia de la 400 de ruble sau mai mult pe oră, în funcție de calificările profesorului. Trebuie remarcat faptul că ieftin nu înseamnă rău, mai ales dacă aveți o experiență matematică bună. În același timp, pentru 2-3K ruble veți primi una MICĂ. Nimeni nu ia degeaba astfel de bani și nimeni nu plătește degeaba acești bani ;-). Singurul punct important- încercați să alegeți un tutor cu o educație pedagogică specializată. Într-adevăr, nu mergem la dentist pentru asistență juridică.

V timpuri recente serviciul de îndrumare online câștigă popularitate. Este foarte convenabil atunci când trebuie urgent să rezolvați una sau două probleme, să înțelegeți un subiect sau să vă pregătiți pentru un examen. Un avantaj fără îndoială îl reprezintă prețurile, care sunt de câteva ori mai mici decât cele ale unui tutor offline + economii de timp de călătorie, ceea ce este deosebit de important pentru locuitorii din megalopoluri.

În cursul matematicii superioare, este foarte dificil să stăpânești unele lucruri fără un tutor, ai nevoie de o explicație „live”.

Cu toate acestea, este foarte posibil să descoperiți multe tipuri de probleme pe cont propriu, iar scopul acestei secțiuni a site-ului este de a vă învăța cum să rezolvați exemple și probleme tipice care se găsesc aproape întotdeauna la examene. Mai mult, pentru o serie de sarcini există algoritmi „duri”, în care nu există „nicăieri să scapi” de soluția corectă. Și, din câte știu, voi încerca să vă ajut, mai ales că există o educație pedagogică și o experiență de lucru în specialitate.

Să începem să greșim gafe matematice. Este în regulă, chiar dacă sunteți un ceainic, matematica superioară este cu adevărat simplă și într-adevăr accesibilă.

Și trebuie să începeți prin repetarea cursului școlar de matematică. Repetiția este mama chinului.

Înainte de a începe să studiați materialele didactice și chiar să începeți să studiați orice material despre matematică superioară, vă recomand cu tărie să citiți următoarele.

Pentru a rezolva cu succes problemele din matematica superioară, este NECESAR:

SALVAȚI UN MICROCALCULATOR.

Din programe - Excel (alegere excelentă!). Am încărcat manualul pentru manechine în bibliotecă.

Există? Deja bine.

– Permutarea termenilor - suma nu se schimbă: .
Dar acestea sunt lucruri complet diferite:

Pur și simplu este imposibil să rearanjați „x” și „patru”. În același timp, ne amintim de litera iconică „X”, care în matematică denotă o cantitate necunoscută sau variabilă.

– Permutarea factorilor - produsul nu se schimbă: .
Cu împărțirea, un astfel de truc nu va funcționa, iar acestea sunt două fracții complet diferite, iar permutarea numărătorului cu numitorul nu se face fără consecințe.
De asemenea, ne amintim că semnul înmulțirii („punct”) nu este cel mai adesea scris :,

– Amintindu-ne regulile de deschidere a parantezelor:
- aici semnele termenilor nu se schimbă
- și aici sunt inversate.
Și pentru multiplicare:

În general, este suficient să ne amintim asta DOUĂ MINUSE DĂ UN PLUS, A TREI MINUS - DĂ UN MINUS... Și încercați să nu vă confundați în rezolvarea problemelor din matematica superioară (o greșeală foarte frecventă și enervantă).

– Ne reamintim reducerea termenilor similari Ar trebui să înțelegeți bine acțiunea următoare:

– Amintiți-vă ce este o diplomă:

, , , .

Gradul este doar o simplă multiplicare.

–Amintiți-vă că fracțiile pot fi reduse: (redus cu 2), (redus cu cinci), (redus cu).

– Amintirea acțiunilor cu fracțiuni:

și, de asemenea, o regulă foarte importantă pentru reducerea fracțiilor la un numitor comun:

Dacă aceste exemple sunt greu de înțeles, consultați manualele școlare.
Fără aceasta va fi STRÂNG.

SFAT: toate calculele INTERMEDIATE în matematică superioară se fac cel mai bine în FRACȚII ORDINARE DREPTĂ ȘI GREȘITE, chiar dacă obțineți fracțiuni teribile precum. Această fracțiune NU trebuie reprezentată sub formă și, mai mult, NU trebuie împărțită la numărător la numitorul de pe calculator, obținând 4.334552102….

EXCEPȚIA regulii este răspunsul final al sarcinii, atunci este mai bine să scrieți sau.

– Ecuația... Are partea stângă și partea dreaptă. De exemplu:

Puteți transfera orice termen către o altă parte schimbându-i semnul:
Să transferăm, de exemplu, toți termenii în partea stângă:

Sau în dreapta:

Deci, ce trebuie făcut dacă un test, un examen la matematică superioară este chiar la colț, iar lucrurile sunt deplorabile - starea unui ceainic plin, sau mai bine zis, a unui ceainic gol?

O opțiune este angajarea unui tutor. Cea mai mare bază de date de tutori poate fi găsită (în principal la Moscova) sau (în principal în Sankt Petersburg). Folosind un motor de căutare, este foarte posibil să găsești un tutore în orașul tău sau să te uiți la ziare de publicitate locale. Prețul pentru serviciile unui tutor poate varia de la 400 de ruble sau mai mult pe oră, în funcție de calificările profesorului. Trebuie remarcat faptul că ieftin nu înseamnă rău, mai ales dacă aveți o experiență matematică bună. În același timp, pentru 2-3K ruble veți primi una MICĂ. Nimeni nu ia degeaba astfel de bani și nimeni nu plătește degeaba acești bani ;-). Singurul punct important este să încerci să alegi un tutor cu educație pedagogică specializată. Într-adevăr, nu mergem la dentist pentru asistență juridică.

Recent, serviciul de îndrumare online a câștigat popularitate. Este foarte convenabil atunci când trebuie urgent să rezolvați una sau două probleme, să înțelegeți un subiect sau să vă pregătiți pentru un examen. Un avantaj necondiționat îl reprezintă prețurile, care sunt de câteva ori mai mici decât cele ale unui tutor offline + economii de timp de călătorie, ceea ce este deosebit de important pentru locuitorii din megalopoluri.

În cursul matematicii superioare, este foarte dificil să stăpânești unele lucruri fără un tutor, ai nevoie de o explicație „live”.

Să începem să greșim gafe matematice. Este în regulă, chiar dacă sunteți un ceainic, matematica superioară este cu adevărat simplă și într-adevăr accesibilă.

Și trebuie să începeți prin repetarea cursului școlar de matematică. Repetiția este mama chinului.

Înainte de a începe să studiați materialele didactice și chiar să începeți să studiați orice material despre matematică superioară, vă recomand cu tărie să citiți următoarele.

Pentru a rezolva cu succes problemele din matematica superioară, este NECESAR:

SALVAȚI UN MICROCALCULATOR.

Din programe - Excel (alegere excelentă!). Am încărcat manualul pentru manechine în bibliotecă.

Există? Deja bine.

– Permutarea termenilor - suma nu se schimbă: .
Dar acestea sunt lucruri complet diferite:

Pur și simplu este imposibil să rearanjați „x” și „patru”. În același timp, ne amintim de litera iconică „X”, care în matematică denotă o cantitate necunoscută sau variabilă.

– Permutarea factorilor - produsul nu se schimbă: .
Cu împărțirea, un astfel de truc nu va funcționa și - acestea sunt două fracții complet diferite, iar permutarea numărătorului cu numitorul nu se face fără consecințe.
De asemenea, ne amintim că semnul de multiplicare („punct”) nu este de obicei scris :,

– Amintindu-ne regulile de deschidere a parantezelor:
- aici semnele termenilor nu se schimbă
- și aici sunt inversate.
Și pentru multiplicare:

– Ne reamintim reducerea termenilor similari Ar trebui să înțelegeți bine acțiunea următoare:

– Amintiți-vă ce este o diplomă:

, , , .

Gradul este doar o simplă multiplicare.

–Amintiți-vă că fracțiile pot fi reduse: (redus cu 2), (redus cu cinci), (redus cu).

– Amintirea acțiunilor cu fracțiuni:

EXCEPȚIA regulii este răspunsul final al sarcinii, atunci este mai bine să scrieți sau.

– Ecuația... Are partea stângă și partea dreaptă. De exemplu:

Puteți transfera orice termen către o altă parte schimbându-i semnul:
Să transferăm, de exemplu, toți termenii în partea stângă:

Sau în dreapta:

Toate cărțile pot fi descărcate gratuit și fără înregistrare.

Teorie.

NOU. Natanzon S.M. Un curs scurt de analiză matematică. 2004 an. 98 pagini djvu. 1,2 Mb.
Această publicație este un rezumat al cursului prelegerilor susținute de autor pentru studenții din anul I al Universității Independente din Moscova în anii 1997-1998 și 2002-2003.

Descarca

NOU. E.B. Boronin. Analiza matematică. Note de curs. 2007 an. 160 pagini pdf. 2,1 Mb.
Această carte este scrisă pentru studenții tehnici care doresc să se pregătească pentru examenul de analiză matematică. Conținutul acestei cărți este pe deplin în concordanță cu programul cursului „Analiză matematică”, examenul pentru care este furnizat în cele mai mari institutii de invatamant Rusia. Programul ajută la găsirea rapidă și fără dificultăți inutile a răspunsului necesar la întrebarea pusă.
Întrebări compilate de autor pe baza experienta personalaținând cont de cerințele profesorilor.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Descarca

Arkhipov, Sadovnichy, Chubarikov. Prelegeri despre analiza matematică. Analiza tutorială. 1999 an. 635 p. Djvu. 5,2 MB.
Cartea este un manual despre cursul analizei matematice și este dedicată calculului diferențial și integral al funcțiilor uneia și mai multor variabile. Se bazează pe prelegeri susținute de autori la Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova. M.V. Lomonosov. Manualul propune o nouă abordare a prezentării unui număr de concepte de bază și teoreme de analiză, precum și de conținutul cursului. Pentru studenții universităților, universităților pedagogice și universităților cu studii aprofundate de matematică

A.P. Aksenov Analiza matematică. (Seria Fourier. Integrala Fourier. Sumarea seriilor divergente.) Manual. 1999 an. 86 de pagini PDF 1,2 Mb.
Manualul corespunde standard de stat disciplina „Analiza matematică” a direcției de pregătire a licenței 510200 „Matematică aplicată și informatică”.
Conține o prezentare a materialului teoretic în conformitate cu programul curent pe subiectele: „Seria Fourier”, „Integrarea Fourier”, „Adunarea seriilor divergente”. Dat un numar mare de exemple. Este prezentată aplicarea metodelor lui Cesaro și Abel-Poisson în teoria seriilor. Se ia în considerare problema analizei armonice a funcțiilor date empiric.
Este destinat studenților Facultății de Fizică și Mecanică a specialităților 010200, 010300, 071100, 210300, precum și profesorilor care desfășoară cursuri practice.

Aksenov. Analiza matematică. (Integrale în funcție de un parametru. Integrale duble. Integrale curvilinee.) Manual SPb. anul 2000. 145 p. PDF. Dimensiune 2,3 Mb. djvu.
Manualul corespunde standardului de stat al disciplinei „Analiza matematică” a direcției de pregătire a licenței 510200 „Matematică aplicată și informatică”. Conține o prezentare a materialului teoretic în conformitate cu programul curent pe subiectele: "Integrale în funcție de un parametru, adecvat și necorespunzător", "Integrală dublă", "Integrale curvilinee de primul și al doilea tip", "Calculul ariilor de suprafețe curbate, date atât ecuații explicite cât și ecuații parametrice "," integrale Euler (funcție beta și funcție gamma) ". A dezasamblat un număr mare de exemple și probleme (în total 47).

De Bruyne. Metode asimptotice în analiză. 245 pagini djvu. 1,6 Mb.
Cartea conține o prezentare elementară a unui număr de metode utilizate în analize pentru a obține formule asimptotice. Importanța metodelor descrise în carte, claritatea și accesibilitatea prezentării fac ca această carte să fie foarte valoroasă pentru toți începătorii să se familiarizeze cu astfel de metode. Cartea prezintă un interes neîndoielnic și pentru cei care sunt deja familiarizați cu acest domeniu de analiză.

Stefan Banach. Calcul diferențial și integral. 1966 an. 437 p. Djvu. 7,7 Mb.
Stefan Banach este unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului XX. Această carte a fost concepută de el ca un manual pentru o cunoaștere inițială a subiectului. Între timp, autorul a reușit să ilumineze cu măiestrie aproape tot materialul de bază al calculului diferențial și integral într-un volum mic de carte, fără a înspăimânta cititorul cu rigurozitate scrupuloasă a prezentării.
Cartea se distinge prin simplitatea și concizia de prezentare. Conține multe exemple bine alese, precum și sarcini pentru decizie independentă... Conceput pentru studenții colegiilor tehnice (în special cursuri de corespondență), institutele pedagogice, precum și pentru lucrătorii ingineri și tehnici care doresc să-și reîmprospăteze memoria asupra faptelor de bază ale calculului diferențial și integral.
La pregătirea celei de-a doua ediții, a fost luată în considerare experiența predării acestei cărți în unele instituții de învățământ tehnic superior; în acest sens, un număr mic de adăugiri au fost aduse la carte, iar unele locuri din text au fost corectate. Acest lucru a adus cartea mai aproape de nivelul manualelor moderne de analiză matematică și a făcut posibilă utilizarea acesteia în colegiile tehnice.

B.M. Budak, S.V. Fomin. Multipli și ranguri. Manual .1965. 606 p. Djvu. 4,6 Mb.
Pentru phys.-mat. facultățile universităților.
RECOMANDA!!!. Mai ales pentru FIZICIȘTI.

Viosagmir I.A. Matematică superioară pentru manechine. Limita funcției. 2011. 95 pagini pdf. 6,1 Mb.
Vă urez bun venit la prima mea carte despre limitele funcțiilor. Aceasta este prima parte a viitoarei mele serii „Matematică superioară pentru manechini”. Titlul cărții ar trebui să vă spună deja multe despre aceasta, dar este posibil să nu o înțelegeți deloc. Această carte nu este dedicată „manechinilor”, ci tuturor celor cărora le este greu să înțeleagă ce fac profesorii în cărțile lor. Sunt sigur că mă înțelegi. Eu însumi am fost și sunt într-o astfel de situație încât pur și simplu trebuie să citesc aceeași propoziție de mai multe ori. Este în regulă? Cred că nu.
Deci, în ce fel este cartea mea diferită de toate celelalte? În primul rând, acesta este un limbaj normal, nu „abstract”; în al doilea rând, aici au fost analizate o mulțime de exemple, care, apropo, vă vor fi cu siguranță utile; în al treilea rând, textul are o diferență semnificativă între el - lucrurile principale sunt evidențiate cu anumiți markeri și, în cele din urmă, scopul meu este doar unul - înțelegerea voastră. Vi se cere un singur lucru: dorința și priceperea. "Aptitudini?" - tu intrebi. Da! Abilitatea de a ne aminti și a înțelege.

V.N. Gorbuzov. Analiza matematică: integrale în funcție de parametri. Uch. alocație. Anul 2006. 496 pagini PDF. 1,6 Mb.
Se prezintă calculul diferențial și integral al funcțiilor definite de anumite integrale necorespunzătoare care depind de parametri. Este destinat studenților universitari care studiază în specialități de matematică și fizică, precum și studenților de specialități tehnice cu un program extins în matematică.

Dorogovtsev A.Ya. Analiza matematică. Un curs scurt într-un mod modern. A doua editie. 2004 an. 560 pagini djvu. 5,1 MB.
Cartea conține un scurt și în același timp destul de complet în ceea ce privește acoperirea prezentării materiale a cursului modern de analiză matematică. Cartea este concepută în principal pentru studenții universităților și universităților tehnice și este destinată studiului inițial al cursului. Este prezentată o prezentare modernizată a mai multor secțiuni: funcții ale mai multor variabile, integrale multiple, integrale peste varietăți, o explicație a formulei Stokes etc. Materialul teoretic este ilustrat de un număr mare de exerciții și exemple. ... Pentru studenți, profesori de matematică, inginerie și lucrători tehnici.

Egorov V.I., Salimova A.F. Integrale definite și multiple. Elemente ale teoriei câmpurilor. 2004 an. 256 pagini djvu. 1,6 Mb.
Publicația prezintă teoria și principalele aplicații ale integralelor definite și multiple, precum și elemente ale teoriei câmpului. Materialul este adaptat la programul modern de educație matematică din instituțiile de învățământ tehnic superior, pentru utilizare în sistemele de formare computerizată. Cartea este destinată studenților universităților tehnice. Poate fi util și pentru profesori, ingineri, oameni de știință.
Carte tipărită clar. Toate afirmațiile teoriei sunt prezentate prin exemple. Îl recomand ca literatură suplimentară pentru înțelegerea materialului.

Evgrafov. Estimări asimptotice și funcții întregi. 320 pagini djvu. 3,2 Mb.
Cartea este dedicată prezentării diferitelor metode de estimări asimptotice (metoda lui Laplace, metoda punctului de șa, teoria reziduurilor) utilizate în teoria funcțiilor întregi. Metodele sunt ilustrate în principal pe baza acestei teorii. Faptele principale din teoria funcțiilor întregi nu ar trebui să fie cunoscute cititorului - prezentarea lor este inclusă în mod organic în structura cărții. La ediția a 3-a a fost adăugat un capitol despre asimptotica mapărilor conforme. Cartea este concepută pentru un contingent larg de cititori - de la studenți la lucrători științifici, atât matematicieni, cât și specialiști în aplicație.

AȘ. Zel'dovich, I.M. Yaglom. Matematică superioară pentru fizicienii și tehnicienii începători. Anul 1982. 514 p. Djvu. 12,3 Mb.
Această carte este o introducere în calcul. Împreună cu prezentarea începuturilor de geometrie analitică și analiză matematică (calcul diferențial și integral), cartea conține conceptele de putere și serie trigonometrică și cele mai simple ecuații diferențiale și, de asemenea, atinge o serie de secțiuni și subiecte din fizică (mecanică și teoria oscilațiilor, teoria circuitelor electrice, dezintegrarea radioactivă, lasere etc.). Cartea este destinată cititorilor interesați de aplicațiile științelor naturale ale matematicii superioare, profesorilor universităților și colegiilor tehnice, precum și viitorilor fizicieni și ingineri.

Zeldovich, Yaglom. Cartea este în trei părți: 1. Elemente ale matematicii superioare. Conține: Funcții și grafice (50 de pagini) (, Ce este o derivată (50 de pagini), Ce este o integrală (20 de pagini), Calculul derivatelor (20 de pagini), Tehnica de integrare (20 de pagini), Seria, ecuațiile diferențiale elementare ( 35 de pagini), Investigarea funcțiilor, mai multe probleme de geometrie (55 de pagini) 2. Aplicații ale matematicii superioare la unele întrebări de fizică și tehnologie (160 de pagini) Conține: Dezintegrare radioactivă și fisiunea nucleilor, Mecanică, Oscilații, Mișcare termică de molecule, distribuția densității aerului în atmosferă, absorbția și emisia de lumină, lasere, circuite electrice și mișcări oscilatorii în ele 3. Subiecte suplimentare din matematică superioară (50 de pagini). Conține: numere complexe, ce funcții au nevoie fizica, minunat Funcția delta Dirac, Unele aplicații ale funcției variabile complexe și funcțiile delta 4. Anexe, Răspunsuri, Direcții, Soluții Trunchiate, ce fel de carte? Poți înnebuni citind un cuprins. Dar acesta nu este un manual despre matematică, ACEASTA CARTE ESTE DESPRE CUM SĂ UTILIZAȚI MATEMATICA. Apropo, studiind-o, inevitabil vei învăța și fizică. Super. djvu, 500 de pagini. Dimensiune 8,7 MB.

Zorich V.A. Analiza matematică. În 2 părți. Manual. 1 - 1997, 2 - 1984. 567 + 640 pagini djvu. 9,6 + 7,4 Mb.
Manual universitar pentru studenții de specialități fizice și matematice. Poate fi utilă pentru studenții facultăților și universităților cu pregătire matematică avansată, precum și pentru specialiștii în matematică și aplicațiile sale. Cartea reflectă legătura dintre cursul analizei clasice și cursurile moderne de matematică (algebră, geometrie diferențială, ecuații diferențiale, complexe și analiză funcțională).
Prima parte a inclus: o introducere în analiză (simboluri logice, set, funcție, număr real, limită, continuitate); calcul diferențial și integral al unei funcții a unei variabile; calcul diferențial al funcțiilor mai multor variabile.
A doua parte a tutorialului include următoarele secțiuni: Integrală multivariată. Formele diferențiale și integrarea lor. Serii și integrale în funcție de un parametru (inclusiv transformate de serie și Fourier, precum și expansiuni asimptotice).

Manuale de rezolvare a problemelor.

NOU. Sadovnnichaya I.V., Khoroshilova E.V. Integrala definită: teoria și practica calculului. 2008 an. 528 p. Djvu. 2,7 Mb.
Publicația este dedicată aspectelor teoretice și practice ale calculului integralelor definite, precum și metodelor de estimare, proprietăți și aplicații ale acestora pentru soluționarea diferitelor probleme geometrice și fizice. Cartea conține secțiuni dedicate metodelor pentru calcularea integralelor adecvate, proprietăților integralelor necorespunzătoare, aplicațiilor geometrice și fizice ale unei integrale definite, precum și unele generalizări ale integralei Riemann - integralele Lebesgue și Stieltjes.
Prezentarea teoretică este susținută o cantitate mare(peste 220) au analizat exemple de calcul, estimare și studiere a proprietăților integralelor definite; la sfârșitul fiecărui paragraf, există sarcini pentru soluții independente (peste 640, majoritatea covârșitoare - cu soluții).
Scopul manualului este de a ajuta elevul pe parcursul subiectului „Integrala definită” în prelegeri și lecții practice. Un student îl poate contacta pentru a obține informații de referință asupra întrebării care a apărut. Cartea poate fi, de asemenea, utilă pentru profesori și pentru oricine dorește să studieze acest subiect în detaliu suficient și pe scară largă.

NOU. Khoroshilova E.V. Analiza matematică: integral nedefinit. (pentru a ajuta exercițiile practice). 2007 an. 184 p. Djvu. 822 Kb.
Cartea oferă informații teoretice de bază despre integrale nedeterminate, ia în considerare majoritatea tehnicilor și metodelor de integrare cunoscute și a diferitelor clase de funcții integrabile (indicând metodele de integrare). Prezentarea materialului este susținută de un număr mare de exemple analizate de integrale de calcul (mai mult de 200 de integrale), la sfârșitul fiecărui paragraf există probleme de soluționare independentă (mai mult de 200 de probleme cu răspunsuri).
Manualul conține următoarele paragrafe: „Conceptul unei integrale nedeterminate”, „Metode de bază de integrare”, „Integrarea fracțiilor raționale”, „Integrarea funcțiilor iraționale”, „Integrarea funcțiilor trigonometrice”, „Integrarea hiperbolică, exponențială” , logaritmice și alte funcții transcendentale. " Cartea este destinată stăpânirii teoriei integralei nedeterminate în practică, dezvoltând abilitățile de integrare practică, consolidând cursul prelegerilor, folosind-o la seminarii și în timpul pregătirii temelor. Scopul manualului este de a ajuta elevul să stăpânească diverse tehniciși metode de integrare.
Pentru studenții universitari, inclusiv specialitățile matematice, care studiază calculul integral ca parte a unui curs de analiză matematică.

NOU. V.F. Butuzov, N. Ch. Krutitskaya, G.N. Medvedev, A.A. Șișkin. Analiza matematică în întrebări și sarcini: Manual. alocație. Ediția a 5-a, Rev. 2002 an. 480 pagini djvu. 3,8 Mb.
Manualul acoperă toate secțiunile cursului de analiză matematică a funcțiilor uneia și mai multor variabile. Pentru fiecare subiect, sunt sintetizate informațiile teoretice de bază și sunt sugerate întrebări de testare; oferă soluții la sarcini standard și non-standard; sarcinile și exercițiile sunt date pentru muncă independentă cu răspunsuri și instrucțiuni. Ediția a patra 2001
Pentru studenții universitari.

A.A. Burtsev. Metode de rezolvare a problemelor de examen în analiza matematică a semestrului 2 din anul I. 2010 an. pdf, 56 p. 275 Kb.
Variante de sarcini pentru patru precedente. al anului.

Vinogradova IA și colab. Probleme și exerciții de analiză matematică (partea 1). 1988 an. djvu, 416 p. 5,0 Mb.
Colecția este compilată pe baza lecțiilor din cursul analizei matematice din primul an al Facultății de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova și reflectă experiența predării Departamentului de Analiză Matematică. Se compune din două părți, corespunzătoare semestrului I și II. În fiecare parte, exercițiile de calcul și problemele teoretice sunt evidențiate separat. Prima parte include construirea schițelor de grafice ale funcțiilor, calculul limitelor, calcul diferențial al funcțiilor unei variabile reale, probleme teoretice. A doua parte - integral nedefinit, integral Riemann definit, calcul diferențial al funcțiilor mai multor variabile, probleme teoretice. În capitolele care conțin exerciții de calcul, fiecare paragraf este precedat de instrucțiuni metodologice detaliate. Acestea conțin toate definițiile utilizate în această secțiune, formularea teoremelor principale, derivarea unor relații necesare, sunt date soluții detaliate ale problemelor tipice și se atrage atenția asupra erorilor întâlnite frecvent. Majoritatea problemelor și exercițiilor sunt diferite de problemele conținute în binecunoscuta carte de probleme de BP Demidovich. Ambele părți ale colecției includ aproximativ 1800 de exerciții de calcul și 350 de probleme teoretice.

Vinogradova I. A. și colab. Probleme și exerciții de analiză matematică (partea 2). 1991 an. djvu, 352 p. 3,2 Mb.
Cartea de probleme corespunde cursului analizei matematice prezentate în al doilea an și conține următoarele secțiuni: integrale duble și triple și aplicațiile lor geometrice și fizice, integrale curbilinee și de suprafață de primul și al doilea tip. Sunt furnizate informațiile teoretice necesare, algoritmi tipici adecvați pentru rezolvarea unor clase întregi de probleme, sunt date instrucțiuni metodologice detaliate.

Vinogradov și colab. Ed. Sadovnichy. Sarcini și exerciții de analiză matematică. 51 pagini PDF. 1,9 Mb.
Secțiunea despre grafic este considerată în detaliu. 35 de pagini sunt ocupate de exemplele luate în considerare.

Zheltukhin. Integrale nedeterminate: metode de calcul. 2005 an. Dimensiune 427 Kb. PDF, 80 de pagini. Un ghid util, poate fi folosit ca referință. Nu numai că introduce toate metodele pentru calcularea integralelor, dar oferă și o mulțime de exemple pentru fiecare regulă. Recomanda.

Descarca

Zaporozhets. Un ghid pentru rezolvarea problemelor în analiza matematică. A 4-a ed. 460 pagini djvu. 7,7 Mb.
Acoperă toate secțiunile de la studiul funcțiilor până la rezolvarea ecuațiilor diferențiale. O carte utilă.

Kalinin, Petrova, Kharin. Integrale nedeterminate și definite. 2005 an. PDF de 230 de pagini. 1,2 Mb.
În cele din urmă, matematicienii au început să scrie cărți pentru fizicieni și alți studenți tehnici, și nu pentru ei înșiși. Îl recomand dacă doriți să aflați cum să calculați, nu să demonstrați leme și teoreme.

Kalinin, Petrova. Integrale multiple, curbilinee și de suprafață. Tutorial. 2005 an. PDF de 230 de pagini. 1,2 Mb.
Acest tutorial oferă exemple despre cum se calculează diverse integrale.

Kaplan. Lecții practiceîn matematică superioară. Geometrie analitică, calcul diferențial, calcul integral, integrarea ecuațiilor diferențiale. În 2 fișiere într-o singură arhivă. General 925 p. Djvu. 6,9 Mb.
Sunt luate în considerare exemple de rezolvare a problemelor de-a lungul cursului matematicii generale.

K.N. Lungu etc. Colecția de probleme în matematică superioară. Partea 2 pentru al doilea curs. 2007 an. djvu, 593 pagini 4,1 Mb.
Serii și integrale. Analiza vectorială și complexă. Ecuatii diferentiale... Teoria probabilității. Calcul operațional. Aceasta nu este doar o carte cu probleme, ci și un ghid de auto-studiu. Îl puteți folosi pentru a afla cum să rezolvați problemele.

Lungu, Makarov. Matematică superioară. Ghid pentru rezolvarea problemelor. Partea 1. 2005 an. Dimensiune 2,2 Mb. djvu, 315 pp.

IN ABSENTA. Maro. Calcul diferențial și integral în exemple și probleme (Funcțiile unei variabile). 1970 an. djvu. 400 pagini 11,3 MB.
Cartea este un manual pentru rezolvarea problemelor de analiză matematică (funcțiile unei variabile). Conține scurte introduceri teoretice, soluții la exemple tipice și sarcini pentru soluții independente. În plus față de sarcinile de natură algoritmică și de calcul, conține multe sarcini care ilustrează teoria și contribuie la asimilarea mai profundă a acesteia, dezvoltând gândirea matematică independentă a elevilor. Scopul cărții este de a învăța elevii să rezolve în mod independent probleme în cursul analizei matematice

D.T. Scris. Matematică superioară 100 de întrebări de examen. 1999 an. djvu. 304 p. 9,3 MB.
Acest manual este destinat în primul rând studenților care se pregătesc pentru examenul de matematică superioară din primul an. Acesta conține răspunsurile la întrebările de la examenul oral, prezentate într-o formă concisă și accesibilă. Manualul poate fi util pentru toate categoriile de studenți care studiază matematică superioară într-un volum sau altul. Contine materialul necesarîn 10 secțiuni ale cursului de matematică superioară, care sunt de obicei studiate de studenții din primul an al universității (școala tehnică). Răspunsurile la 108 întrebări de examen (cu paragrafe - mult mai multe) sunt însoțite, de regulă, de rezolvarea exemplelor și problemelor corespunzătoare.

Sobol B.V., Mishnyakov N.T., Porksheyan V.M. Atelier de matematică superioară. Anul 2006. 630 pagini djvu. 5,4 Mb.
Cartea include toate secțiunile cursului standard de matematică superioară pentru o gamă largă de specialități din instituțiile de învățământ superior.
Fiecare capitol (secțiunea corespunzătoare a cursului) conține material de referință, precum și prevederile teoretice de bază necesare pentru rezolvarea problemelor. Trăsătură distinctivă Această publicație conține un număr mare de probleme legate de soluții, care vă permite să o utilizați nu numai pentru studii la clasă, ci și pentru munca independentă a elevilor. Sarcinile sunt prezentate pe subiecte, sistematizate prin metode de soluție. Fiecare capitol este completat cu un set de sarcini de auto-rezolvare, furnizate cu răspunsuri.
Integritatea prezentării materialului și compactitatea relativă a acestei publicații fac posibilă recomandarea acestuia profesorilor și studenților din instituțiile de învățământ superior, precum și studenților din institutele de formare avansată care doresc să își sistematizeze cunoștințele și abilitățile în această materie.

E.P. Sulyandziga, G.A. Ushakov. TESTE DE MATEMATICĂ: LIMITĂ, DERIVARE, ELEMENTE DE ALGEBRA ȘI GEOMETRIE. Uch. alocație. anul 2009. pdf, 127 pp. 1,1 Mb.
Acest tutorial poate fi gândit ca o colecție de sarcini. Sarcinile acoperă subiecte tradiționale - elementele de bază ale analizei matematice: o funcție, limita și derivatul acesteia. Există sarcini de bază despre algebra liniară și geometria analitică. Deoarece limita și derivata unei funcții sunt mai dificile și, în plus, aceste subiecte sunt fundamentale pentru calculul integral, ele sunt date cea mai mare atenție: soluțiile problemelor tipice sunt analizate în detaliu. Materialul colectat în manual a fost folosit în mod repetat în exerciții practice.
Pentru studenții din primul an din toate universitățile.

Pagina nouă 1

Analiza matematică pentru manechine. Lecția 1. Seturi.

Conceptul de set

Multe este o colecție de câteva obiecte. Ce seturi pot exista? În primul rând, finit sau infinit. De exemplu, un set de chibrituri dintr-o cutie este un set finit, le puteți lua și număra. Este mult mai dificil să se numere numărul de boabe de nisip pe plajă, dar, în principiu, este posibil. Iar această sumă este exprimată într-un număr finit. Deci, o mulțime de boabe de nisip și pe plajă, desigur. Dar setul de puncte pe dreapta, acest set este infinit. Deoarece, în primul rând, linia dreaptă în sine este infinită și puteți pune orice număr de puncte pe ea. Setul de puncte al unui segment de linie este, de asemenea, infinit. Pentru că teoretic punctul poate fi atât de mic pe cât doriți. Desigur, fizic nu putem desena un punct, de exemplu, mai mic decât dimensiunea unui atom, dar din punctul de vedere al matematicii, punctul nu are dimensiune. Dimensiunea sa este zero. Ce se întâmplă dacă împărțiți un număr la zero? Așa este, infinit. Și, deși setul de puncte pe o linie dreaptă și pe un segment tinde spre infinit, ele nu sunt același lucru. Un set nu este o cantitate de ceva acolo, ci o colecție de obiecte. Și numai acele seturi care conțin obiecte absolut identice sunt considerate egale. Dacă într-un set conține aceleași obiecte ca un alt set, dar plus încă un obiect „stâng”, atunci acestea nu mai sunt seturi egale.

Să vedem un exemplu. Să presupunem că avem două seturi. Primul este colectarea tuturor punctelor pe o linie dreaptă. Al doilea este colectarea tuturor punctelor pe un segment de linie dreaptă. De ce nu sunt egali? În primul rând, este posibil ca segmentul și linia dreaptă să nu se intersecteze. Atunci cu siguranță nu sunt egali, deoarece conțin puncte complet diferite. Dacă se intersectează, atunci au un singur punct comun. Toate celelalte sunt la fel de diferite. Și dacă segmentul se află pe o linie dreaptă? Atunci toate punctele segmentului sunt și puncte ale unei linii drepte. Dar nu toate punctele unei linii drepte sunt puncte de segment. Deci, în acest caz, mulțimile nu pot fi considerate egale (identice).

Fiecare set este specificat de o regulă care determină în mod unic dacă un element aparține acestui set sau nu. Care sunt aceste reguli? De exemplu, dacă setul este finit, puteți enumera prost toate obiectele sale. Puteți seta un interval. De exemplu, toate numerele întregi de la 1 la 10. Acesta va fi, de asemenea, un set finit, dar aici nu enumerăm elementele sale, ci formulăm o regulă. Sau inegalitatea, de exemplu, toate numerele sunt mai mari de 10. Va fi deja un set infinit, deoarece nu puteți numi cel mai mare număr - indiferent ce număr am numi, există întotdeauna acest număr plus 1.

De regulă, mulțimile sunt notate cu litere mari ale alfabetului latin A, B, C și așa mai departe. Dacă un set constă din elemente specifice și dorim să îl specificăm cu o listă a acestor elemente, atunci putem încadra această listă în acolade, de exemplu A = (a, b, c, d). Dacă a este un element al mulțimii A, atunci se scrie astfel: A Î A... Dacă a nu este un element al mulțimii A, atunci ei scriu a Ï A. Unul dintre seturile importante este mulțimea N a tuturor numerelor naturale N = (1,2,3, ...,). Există, de asemenea, un set special, așa-numitul gol, care nu conține un singur element. Setul gol este notat cu simbolul Æ .

Definiția 1 (definiția egalității seturilor). Seturile Ași B sunt egale dacă constau din aceleași elemente, adică dacă din xÎ A implică x Î B și invers, din x Î B urmează x Î A.

În mod formal, egalitatea a două seturi este scrisă după cum urmează:

(A = B) := " X (( X Î A ) Û (X Î B )),

Aceasta înseamnă că pentru orice obiect x relațiile xÎ A și xÎ B sunt echivalente.

Aici " Cuantificatorul universal (" Xcitește ca „pentru toată lumea X").

Definiția 2 (definiția unui subset). Multe A este un subset al setului V dacă există NS aparținând mulțimii A, aparține setului V.În mod formal, aceasta poate fi reprezentată ca o expresie:

(A Ì B) := " X((X Î A) Þ (X Î B))

În cazul în care o Ì B dar A ¹ B, atunci A este un subset corespunzător al mulțimii V. De exemplu, putem cita din nou o linie dreaptă și un segment. Dacă un segment se află pe o linie dreaptă, atunci mulțimea punctelor sale este un subset al punctelor acestei linii drepte. Sau, un alt exemplu. Mulțimea numerelor întregi care sunt divizibile cu 3 fără rest este un subset al mulțimii întregi.

Cometariu. Un set gol este un subset al oricărui set.

Setați operațiile

Următoarele operații sunt posibile pe seturi:

Uniune. Esența acestei operații este de a combina două seturi într-unul care conține elementele fiecăruia dintre seturile combinate. În mod formal, arată astfel:

C = AÈ B: = {x: x Î A sau xÎ B}

Exemplu. Rezolvați inegalitatea | 2 X+ 3 | > 7.

Aceasta implică fie inegalitatea 2x + 3> 7, pentru 2x + 3≥0, apoi x> 2

sau inegalitate 2x + 3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Setul de soluții la această inegalitate este uniunea mulțimilor (-∞, -5) È (2, ∞).

Sa verificam. Să calculăm valoarea expresiei | 2 X+ 3 | pentru mai multe puncte situate și nu situate în intervalul dat:

X	\| 2 X+ 3 \|
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

După cum puteți vedea, totul a fost decis corect (limitele de margine sunt indicate cu roșu).

Intersecție. Intersecția este operația de creare a unui nou set de două elemente care conțin aceste două seturi. Pentru a descrie clar acest lucru, să ne imaginăm că avem două seturi de puncte pe plan, și anume figura A și figura B. Intersecția lor denotă figura C - acesta este rezultatul operației de intersecție a mulțimilor:

În mod formal, operațiunea de intersecție a mulțimilor este scrisă după cum urmează:

C = A Ç B: = (x: x Î A și x Î B)

Exemplu. Să presupunem că avem un set Atunci C = A Ç B = {5,6,7}

Scădere. Scăderea seturilor este excluderea din setul scăzut a acelor elemente care sunt conținute în scăderea și scăderea:

În mod formal, scăderea unui set se scrie după cum urmează:

A \ B: ={x: x Î A și xÏ B}

Exemplu. Să avem multe A = (1,2,3,4,5,6,7), B = (5,6,7,8,9,10). Atunci C = A \ B = { 1,2,3,4}

Plus. Complementul este o operație unară (o operație nu pe două, ci pe un singur set). Această operație este rezultatul scăderii acestui set din setul universal complet (setul care include toate celelalte seturi).

A: = (x: x Î U și x Ï A) = U \ A

Acest lucru poate fi descris grafic ca:

Diferență simetrică. Spre deosebire de diferența obișnuită, cu o diferență simetrică de mulțimi, rămân doar acele elemente care sunt prezente fie într-unul, fie în alt set. Sau, în termeni simpli, din două seturi este creat, dar acele elemente care se află în ambele seturi sunt excluse din acesta:

Matematic, acest lucru poate fi exprimat după cum urmează:

A D B: = (A \ B) È ( B \ A) = (A È B) \ (A Ç B)

Proprietățile operațiilor pe seturi.

Din definițiile uniunii și intersecției mulțimilor rezultă că operațiunile de intersecție și unire au următoarele proprietăți:

Comutativitate.

A È B = BÈ A
AÇ B = BÇ A

Asociativitate.

(A È B) È C = AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C = AÇ ( B Ç C)

Ți-a plăcut articolul? Împărtășește-l

Tipărește articolul