ผลิตภัณฑ์หรือสี่แยกเหตุการณ์ L และในเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันและ l และ ใน. การกำหนดงาน ฿ หรือ l และ v

ตัวอย่างเช่นการตีสองครั้งในเป้าหมายคือผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์คำตอบสำหรับคำถามทั้งสองข้อในการสอบคือผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์

กิจกรรม L I. ใน โทรไม่เป็นความลับหากงานของพวกเขาเป็นไปไม่ได้ I.e. LV \u003d V

ตัวอย่างเช่นเหตุการณ์ L - การสะสมของเสื้อคลุมแขนและ ใน - การสูญเสียตัวเลขที่มีการขว้างเหรียญเพียงครั้งเดียวเพื่อขั้นตอนพร้อมกันไม่ได้ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เหตุการณ์ L และไม่สมบูรณ์

แนวคิดของจำนวนเงินและการทำงานของเหตุการณ์มีการตีความทางเรขาคณิตภาพ (รูปที่ 6.4)

รูปที่. 6.4 การตีความทางเรขาคณิตของงาน (แต่)และผลรวม (b) เหตุการณ์ร่วมกันสองรายการ

ปล่อยให้เหตุการณ์ l เป็นชุดของจุดของภูมิภาค l, เหตุการณ์ b - ชุดของจุดของภูมิภาคภูมิภาคแรเงาสอดคล้องกับเหตุการณ์ EFF ในรูปที่ 6. คน และเหตุการณ์ L + ในรูปที่ 6.46

สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์ l และมี lv \u003d V.(รูปที่ 6.5a) เหตุการณ์ L + B สอดคล้องกับพื้นที่สีเทาในรูปที่ 6.56

รูปที่. 6.5 การตีความทางเรขาคณิตของงาน ( แต่) และผลรวม (b) เหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์สองเหตุการณ์

เหตุการณ์ แต่ และ แต่ อ้างถึงสิ่งที่ตรงกันข้ามหากพวกเขาไม่สามารถเข้าใจได้และรวมเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือ I.e.

a \u003d v; a + a \u003d u

ตัวอย่างเช่นเราจะผลิตเป้าหมายหนึ่งนัด: เหตุการณ์ แต่- นักกีฬายิงเป้า แต่- พลาด; เพิ่มเหรียญ:

เหตุการณ์ แต่- Eagle Falling แต่ - การสูญเสียจำนวน; การทดสอบการเขียนของเด็กนักเรียน: เหตุการณ์ แต่- ไม่มี

ข้อผิดพลาดในการควบคุมงาน แต่- มีข้อผิดพลาดในการควบคุมงาน นักเรียนมาเช่าการทดสอบ: เหตุการณ์ แต่- ผ่านไป

ชดเชย แต่- ไม่ผ่าน

ในชั้นเรียนมีเด็กชายและเด็กหญิงนักเรียนที่ยอดเยี่ยม Horoshists และ Triens เรียนภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน ให้เหตุการณ์ M - Boy, O - ยอดเยี่ยมและ - เรียนภาษาอังกฤษ นักเรียนที่เกิดขึ้นจากชั้นเรียนและนักเรียนที่ยอดเยี่ยมและเรียนภาษาอังกฤษ? นี่จะเป็นงานหรือจุดตัดของเหตุการณ์ของ MOA

ตัวอย่าง 6.15 โยนลูกบาศก์การเล่น - ลูกบาศก์ทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันใบหน้าที่มีการอมยิ้ม ดูหมายเลข (จำนวนคะแนน) ที่ตกลงมาที่ใบหน้าด้านบน ปล่อยให้เหตุการณ์ แต่ - การปรากฏตัวของเลขคี่เหตุการณ์ ใน - ลักษณะที่ปรากฏของจำนวนหลายสาม ค้นหาผลลัพธ์ที่ทำขึ้นแต่ละเหตุการณ์ (? /, A, A. + ใน AV) และระบุความหมายของพวกเขา

การตัดสินใจ อพยพ - ลักษณะที่ปรากฏบนใบหน้าบนของตัวเลขใด ๆ 1, 2, 3, 4, 5, 6. ชุดของผลลัพธ์ทั้งหมดคือพื้นที่ของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา ยู. \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 6) เป็นที่ชัดเจนว่าเหตุการณ์ a \u003d. (1, 3, 5), กิจกรรม ใน \u003d. {3, 6}.

เหตุการณ์ แต่ + ใน \u003d. (1, 3, 5, 6) - การปรากฏตัวของจำนวนคี่หรือจำนวนคี่หลายสาม เมื่อระบุผลลัพธ์มันจะถูกนำมาพิจารณาว่าผลลัพธ์แต่ละรายการในชุดสามารถมีได้เพียงครั้งเดียว

เหตุการณ์ ab \u003d. (3) - ลักษณะที่ปรากฏและเลขคี่และตัวเลขหลายสาม

ตัวอย่าง 6.16 ตรวจสอบการบ้านในนักเรียนสามคน ปล่อยให้เหตุการณ์ แต่ (- ทำให้งานของนักเรียน I-M กรัม = 1, 2, 3.

ความหมายของเหตุการณ์คืออะไร: a \u003d a t + 2. + l 3, แต่ และ b \u003d a t a 2 a 3?

การตัดสินใจ เหตุการณ์ แต่ = อา. + 2. + 3 - ปฏิบัติงานอย่างน้อยหนึ่งนักเรียน I.e. หรือนักเรียนคนใดคนหนึ่ง (หรือก่อนหรือสองหรือสาม) หรือสองคนหรือทั้งสามคน

เหตุการณ์ a \u003d a x -a 2 -a 3 - งานไม่ได้รับการเติมเต็มโดยนักเรียนใด ๆ - ทั้งครั้งแรกหรือที่สองหรือที่สาม เหตุการณ์ B \u003d a (2 a 3 -ปฏิบัติงานในนักเรียนสามคน - ทั้งที่หนึ่งและสองและที่สาม

เมื่อพิจารณาถึงการโจมตีร่วมกันของเหตุการณ์หลายเหตุการณ์มีบางกรณีเมื่อลักษณะที่ปรากฏของหนึ่งในนั้นมีผลต่อความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของผู้อื่น ตัวอย่างเช่นถ้าฤดูใบไม้ร่วงเป็นวันที่มีแดดมันมีโอกาสน้อยที่อากาศเสีย (ฝนเริ่มต้น) หากดวงอาทิตย์มองไม่เห็นโอกาสที่ฝนจะไป

เหตุการณ์ L. เรียกว่าเป็นอิสระจากเหตุการณ์ ใน, หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ ไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นหรือไม่ ใน. เหตุการณ์อื่น แต่ เรียกว่าเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ใน. สองเหตุการณ์ AIใน พวกเขาเรียกว่าเป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับลักษณะหรือความผิดพลาดของการขึ้นอยู่กับอื่น ๆ - มิฉะนั้น เหตุการณ์ที่เรียกว่าคู่นั้นเป็นอิสระหากทุก ๆ สองคนนั้นเป็นอิสระจากกัน

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ดังนี้ ความน่าจะเป็นของการทำงานของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับจำนวนเหตุการณ์ที่ จำกัด ใด ๆ เว้นแต่จะมีความเป็นอิสระในการรวม I.E ความน่าจะเป็นของพวกเขาใด ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์อื่นที่เกิดขึ้น

ตัวอย่าง 6.17 นักเรียนให้การสอบสามครั้ง ความน่าจะเป็นของการส่งมอบที่ประสบความสำเร็จของการสอบครั้งแรก 0.9, ที่สอง - 0.65, ที่สาม - 0.35 ค้นหาโอกาสที่เขาจะไม่ผ่านการสอบอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

การตัดสินใจ แสดง แต่ เหตุการณ์ - นักเรียนไม่ผ่านการสอบอย่างน้อยหนึ่งครั้ง จากนั้น p (A.) \u003d 1 - / - '(1/1), ที่ไหน แต่ - เหตุการณ์ตรงข้าม - นักเรียนผ่านการสอบทั้งหมด เนื่องจากการยอมแพ้ของการสอบแต่ละครั้งจึงไม่ขึ้นอยู่กับการสอบอื่น r (a) \u003d 1 - P (1/1) \u003d \u003d 1 - 0.9 0.65 0.35 \u003d 0.7953

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่, คำนวณโดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์เกิดขึ้น ใน, เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ แต่ ขึ้นอยู่กับลักษณะที่ปรากฏ ใน และหมายถึง p ใน (a) หรือ p (a / b)

ทฤษฎีบท.ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของการทำงานของสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นในความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการคำนวณที่สองโดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้น:

ตัวอย่าง 6.18 นักเรียนดึงตั๋วหนึ่งใบจาก 34. ความเป็นไปได้ที่เขาจะผ่านการสอบคืออะไรหากพวกเขาเตรียมตั๋ว 30 ใบและเป็นครั้งแรกที่ตั๋วไม่ดีจะถูกรีเซ็ต?

การตัดสินใจ ปล่อยให้เหตุการณ์ แต่ เป็นครั้งแรกที่ฉันได้รับตั๋วที่ไม่สำเร็จเหตุการณ์ ใน- ครั้งที่สองจะถูกลบออกตั๋วที่ดี จากนั้น แต่?ใน- นักเรียนจะผ่านการสอบ (ภายใต้สถานการณ์) เหตุการณ์ แต่ และ ใน ขึ้นอยู่กับเนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเลือกตั๋วที่ประสบความสำเร็จด้วยความพยายามครั้งที่สองขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของตัวเลือกแรก ดังนั้นเราจึงใช้สูตร (6.6):

โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นที่ได้รับในการแก้ปัญหา "0.107 ทำไมความน่าจะเป็นที่จะผ่านการสอบหากตั๋ว 30 ใบจาก 34 มีการเรียนรู้และมีความพยายามสองครั้ง!

ขยายการเพิ่มทฤษฎีบทสูตรดังต่อไปนี้ ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความเป็นไปได้ของลักษณะร่วมกัน (งาน):

ตัวอย่าง 6.19 นักเรียนสองคนแก้ปัญหา ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนแรกจะแก้ปัญหา (เหตุการณ์ แต่), เท่ากับ 0.9; ความน่าจะเป็นที่นักเรียนที่สองจะแก้ปัญหา (เหตุการณ์ ใน), เท่ากับ 0.8 ความเป็นไปได้ที่งานจะได้รับการแก้ไขคืออะไร?

การตัดสินใจ เรามีความสนใจในกิจกรรมด้วยซึ่งเป็นงานที่จะได้รับการแก้ไข, I.e. นักเรียนคนแรกหรือคนที่สองหรือนักเรียนสองคนในเวลาเดียวกัน ดังนั้นความสนใจเหตุการณ์ผ่าน c \u003d a +ใน. เหตุการณ์ แต่ และ ใน ข้อต่อจากนั้นทฤษฎีบทการเพิ่มความน่าจะเป็นใช้งานได้สำหรับกรณีของเหตุการณ์ร่วมกัน: p (A. + ใน) = r (a) + p (b) - p (ab) สำหรับกรณีของเรา p (A. + c) \u003d \u003d 0.9 + 0.8 + 0.9 0.8 \u003d 0.98 (กิจกรรม แต่ และ ใน ร่วมกัน แต่เป็นอิสระ)

ตัวอย่าง 6.20 นักเรียนรู้คำถาม 20 ข้อจาก 25. ความน่าจะเป็นที่จะตอบคำถามสามข้อตั้งแต่ 25?

การตัดสินใจ เราแนะนำกิจกรรม L - นักเรียนรู้คำตอบ ผม.- ถามคำถามที่เสนอ ผม. \u003d 1,2,3 กิจกรรม L, L 2, L 3 - ขึ้นอยู่กับ ดังนั้น

เมื่อค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ใช้นิยามความน่าจะเป็นคลาสสิก

การศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มต้นด้วยการแก้ปัญหาการเพิ่มและการคูณความน่าจะเป็น จำเป็นต้องพูดถึงทันทีว่านักเรียนเมื่อเรียนรู้พื้นที่ของความรู้นี้อาจประสบปัญหา: หากกระบวนการทางกายภาพหรือสารเคมีสามารถจินตนาการไว้เพื่อมองเห็นและเข้าใจเชิงประจักษ์ระดับของนามธรรมทางคณิตศาสตร์สูงมากและความเข้าใจที่นี่เท่านั้น ด้วยประสบการณ์

อย่างไรก็ตามเกมนี้มีค่าเท่ากับเทียนเพราะสูตรนั้นมีความซับซ้อนมากขึ้น - ใช้ทุกวันนี้ทุกที่และอาจมีประโยชน์ในการทำงาน

ต้นกำเนิด

ผิดปกติพอแรงผลักดันสำหรับการพัฒนาคณิตศาสตร์ในส่วนนี้กลายเป็น ... การพนัน. อันที่จริงเกมของกระดูกการขว้างปาเหรียญโป๊กเกอร์รูเล็ตเป็นตัวอย่างทั่วไปที่ใช้การเพิ่มและการคูณความน่าจะเป็น ในตัวอย่างของงานในหนังสือเรียนใด ๆ ที่สามารถมองเห็นได้ชัดเจน ผู้คนสนใจที่จะรู้วิธีเพิ่มโอกาสในการชนะและฉันต้องบอกว่าบางคนประสบความสำเร็จ

ตัวอย่างเช่นในศตวรรษที่ 21 คนหนึ่งที่มีนามของเราจะไม่เปิดใช้ความรู้เหล่านี้สะสมในศตวรรษที่ผ่านมาเพื่อ "สะอาด" อย่างแท้จริงคาสิโนชนะหลายสิบล้านดอลลาร์

อย่างไรก็ตามแม้จะมีความสนใจเพิ่มขึ้นในเรื่องในศตวรรษที่ 20 เท่านั้นฐานทฤษฎีได้รับการพัฒนาซึ่งทำให้ "ทฤษฎี" ของวันนี้เต็มไปด้วยวิทยาศาสตร์เกือบทุกวิทยาศาสตร์คุณสามารถค้นหาวิธีการคำนวณโดยใช้วิธีการที่น่าจะเป็น

การบังคับใช้

จุดสำคัญเมื่อใช้สูตรสำหรับการเพิ่มและการคูณความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขคือความเป็นไปได้ของทฤษฎีบท จำกัด กลาง มิฉะนั้นแม้ว่าจะไม่สามารถรับรู้ได้โดยนักเรียน แต่การคำนวณทั้งหมดสิ่งที่พวกเขาดูเหมือนจะไม่ถูกต้อง

ใช่ที่นักเรียนที่ไฮโดรไซด์มีการล่อลวงให้ใช้ความรู้ใหม่ ๆ กับแต่ละกรณีที่สะดวก แต่ในกรณีนี้คุณควรชะลอตัวลงและแยกกรอบการบังคับใช้อย่างเคร่งครัด

ทฤษฎีของความน่าจะเป็นข้อตกลงกับเหตุการณ์สุ่มที่เป็นผลการทดลองในแผนการเชิงประจักษ์: เราสามารถโยนลูกบาศก์ที่มีหกหน้าดึงการ์ดออกจากดาดฟ้าทำนายจำนวนชิ้นส่วนที่ชำรุดในงานปาร์ตี้ อย่างไรก็ตามในบางประเด็นสูตรจากส่วนนี้ของคณิตศาสตร์นี้เป็นไปไม่ได้อย่างเป็นไปได้ คุณสมบัติของการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทฤษฎีบทของการเพิ่มและการคูณกิจกรรมที่เราจะหารือในตอนท้ายของบทความ แต่ตราบใดที่เราหันไปใช้ตัวอย่าง

แนวคิดพื้นฐาน

ภายใต้กิจกรรมสุ่มมันหมายถึงกระบวนการหรือผลลัพธ์บางอย่างที่สามารถประจักษ์เองและอาจไม่ปรากฏเป็นผลมาจากการทดลอง ตัวอย่างเช่นเราโยนแซนวิช - มันสามารถตกลงมาด้วยน้ำมันหรือน้ำมันลง ผลลัพธ์ใด ๆ ของสองข้อจะสุ่มและเราไม่ทราบล่วงหน้าซึ่งหนึ่งจะมีสถานที่

เมื่อศึกษาการเพิ่มและการคูณความน่าจะเป็นเราจะต้องมีแนวคิดอีกสองแนวคิด

ข้อต่อเรียกว่าเหตุการณ์ดังกล่าวการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่ได้ยกเว้นลักษณะที่ปรากฏของอีก สมมติว่าคนสองคนยิงเป้าหมายพร้อมกัน หากหนึ่งในนั้นทำงานได้สำเร็จในทางใดทางหนึ่งจะไม่ส่งผลกระทบต่อความเป็นไปได้ของวินาทีที่จะเข้าไปใน "Apple" หรือพลาด

จะมีเหตุการณ์ดังกล่าวที่จะเป็นลักษณะที่เป็นไปไม่ได้พร้อมกัน ตัวอย่างเช่นดึงลูกบอลเพียงหนึ่งลูกออกจากกล่องมันเป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับทั้งสีน้ำเงินและสีแดง

การกำหนด

แนวคิดของความน่าจะเป็นถูกระบุโดย Latin Capital Letter P. เพิ่มเติมข้อโต้แย้งระบุเหตุการณ์บางอย่างที่ติดตามในวงเล็บ

ในสูตรของทฤษฎีบทนอกจากนี้ความน่าจะเป็นเงื่อนไขทฤษฎีบทการคูณจะเห็นในวงเล็บของนิพจน์เช่น: A + B, AB หรือ A | ข พวกเขาจะคำนวณในรูปแบบต่าง ๆ เราจะหันไปหาพวกเขา

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

พิจารณากรณีที่ใช้สูตรของการเพิ่มและการคูณความน่าจะเป็น

สำหรับเหตุการณ์ที่เข้าใจไม่ได้สูตรที่ง่ายที่สุดของการเพิ่มนั้นมีความเกี่ยวข้อง: ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แบบสุ่มใด ๆ จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์เหล่านี้

สมมติว่ามีกล่องที่มี 2 สีน้ำเงิน, 3 สีแดงและลูกบอลสีเหลือง 5 ลูก รวมมี 10 รายการในกล่อง สัดส่วนของการอนุมัติที่เราดึงลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีแดงออกมาคืออะไร? มันจะเท่ากับ 2/10 + 3/10, I.e. ห้าสิบเปอร์เซ็นต์

ในกรณีของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์สูตรมีความซับซ้อนเนื่องจากมีการเพิ่มคำเพิ่มเติม มากลับมาหาเขาผ่านหนึ่งย่อหน้าหลังจากพิจารณาสูตรอื่น

การคูณ

การปรับและการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะถูกใช้ในกรณีที่แตกต่างกัน ถ้าโดยเงื่อนไขการทดลองเรามีความพึงพอใจกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองข้อใด ๆ เราพิจารณาจำนวนเงิน หากเราต้องการรับผลบางอย่างสำหรับกันและกันเราจะหันไปใช้สูตรอื่น

กลับไปที่ตัวอย่างจากส่วนก่อนหน้านี้เราต้องการดึงลูกบอลสีน้ำเงินก่อนแล้วสีแดง เรารู้ตัวเลขแรก - นี่คือ 2/10 เกิดอะไรขึ้นต่อไป ลูกบอลยังคงอยู่ 9 สีแดงในหมู่พวกเขาเหมือนกัน - สามชิ้น ตามการคำนวณมันจะเปิดออก 3/9 หรือ 1/3 แต่จะทำอย่างไรกับสองตัวเลขตอนนี้? คำตอบที่ถูกต้องคือการคูณกับการทำงาน 2/30

เหตุการณ์ร่วมกัน

ตอนนี้คุณสามารถอ้างถึงจำนวนเงินรวมสำหรับเหตุการณ์ร่วมกันอีกครั้ง ทำไมเราถึงฟุ้งซ่านจากหัวข้อ? เพื่อค้นหาว่าความน่าจะเป็นเส้นนานแค่ไหน ตอนนี้ความรู้นี้มีประโยชน์สำหรับเรา

เรารู้อยู่แล้วว่าองค์ประกอบสองชิ้นแรกจะเป็นอย่างไร (เช่นเดียวกับในสูตรที่ผ่านการตรวจสอบก่อนหน้านี้โดยสูตร) \u200b\u200bตอนนี้มันจำเป็นต้องลบงานของความน่าจะเป็นที่เราเพิ่งเรียนรู้ที่จะนับ เพื่อความชัดเจนเราเขียนสูตร: P (a + b) \u003d p (a) + p (b) - p (ab) ปรากฎว่าในหนึ่งการแสดงออกทั้งการเติมและการคูณความน่าจะเป็น

สมมติว่าเราต้องแก้ปัญหาสองงานใด ๆ เพื่อลง เราสามารถแก้ปัญหาครั้งแรกด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และที่สอง - 0.6 วิธีแก้ปัญหา: 0.3 + 0.6 - 0.18 \u003d 0.72 หมายเหตุเพียงสรุปหมายเลขที่นี่ไม่เพียงพอ

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ในที่สุดมีแนวคิดของความน่าจะเป็นเงื่อนไขข้อโต้แย้งที่ถูกกำหนดในวงเล็บและแยกออกจากกันโดยคุณสมบัติแนวตั้ง บันทึก P (A | b) อ่านดังต่อไปนี้: "ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ภายใต้เงื่อนไขของ B"

ลองดูตัวอย่าง: เพื่อนให้อุปกรณ์บางอย่างให้คุณปล่อยให้เป็นโทรศัพท์ มันสามารถหัก (20%) หรือรับผิดชอบ (80%) อุปกรณ์ใด ๆ ที่ตกลงมาในมือสามารถแก้ไขได้ด้วยความน่าจะเป็น 0.4 หรือไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ (0.6) ในที่สุดหากอุปกรณ์อยู่ในสภาพการทำงานคุณสามารถโทรหาคนที่เหมาะสมด้วยความน่าจะเป็น 0.7

มันง่ายที่จะเห็นว่าในกรณีนี้มีความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: คุณจะไม่สามารถเรียกบุคคลได้หากโทรศัพท์เสียและถ้ามันทำงานคุณไม่จำเป็นต้องซ่อมแซม ดังนั้นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ "ระดับที่สอง" คุณต้องรู้ว่ากิจกรรมใดที่ดำเนินการในครั้งแรก

การคำนวณ

พิจารณาตัวอย่างของการแก้ปัญหาการเพิ่มและการคูณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลจากย่อหน้าก่อนหน้า

ในการเริ่มต้นด้วยเราพบว่าเป็นไปได้ที่คุณทำซ้ำอุปกรณ์ที่มอบให้กับคุณ สำหรับสิ่งนี้ประการแรกต้องมีข้อผิดพลาดและประการที่สองคุณต้องรับมือกับการซ่อมแซม นี่เป็นงานทั่วไปที่ใช้การคูณ: เราได้รับ 0.2 * 0.4 \u003d 0.08

ความเป็นไปได้ที่คุณจะเรียกคนที่เหมาะสมได้ทันที? ง่ายกว่าง่าย: 0.8 * 0.7 \u003d 0.56 ในกรณีนี้คุณพบว่าโทรศัพท์ดีกว่าและประสบความสำเร็จในการโทร

ในที่สุดให้พิจารณาตัวเลือกนี้: คุณได้รับโทรศัพท์ที่เสียซ่อมแซมหลังจากนั้นพวกเขาทำแต้มตัวเลขและคนที่อยู่ตรงข้ามเอาโทรศัพท์ ที่นี่จำเป็นต้องมีการคูณสามองค์ประกอบ: 0.2 * 0.4 * 0.7 \u003d 0.056

และถ้าคุณมีสองโทรศัพท์ที่ไม่ทำงานในครั้งเดียว? ความน่าจะเป็นคืออะไรคุณแก้ไขอย่างน้อยหนึ่งรายการ? สำหรับการเพิ่มเติมและการคูณความน่าจะเป็นเนื่องจากมีการใช้กิจกรรมร่วมกัน วิธีแก้ปัญหา: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 \u003d 0.8 - 0.16 \u003d 0.64 ดังนั้นหากอุปกรณ์ที่แตกสลายสองเครื่องตกอยู่ในมือของคุณคุณจะรับมือกับการซ่อมแซมใน 64% ของกรณี

การใช้งานที่เอาใจใส่

ดังที่กล่าวไว้ในตอนต้นของบทความการใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นควรพิจารณาและมีสติ

ยิ่งชุดการทดลองมากขึ้นชุดที่ใกล้ชิดยิ่งขึ้นในทางทฤษฎี ตัวอย่างเช่นเราโยนเหรียญ ในทางทฤษฎีรู้ว่าการดำรงอยู่ของสูตรของการเพิ่มและการคูณความน่าจะเป็นเราสามารถทำนายจำนวน "นกอินทรี" และ "Rushka" ได้กี่ครั้งหากเราทำการทดลอง 10 ครั้ง เราทำการทดลองและโดยบังเอิญอัตราส่วนของด้านที่ตกลงมาคือ 3 ถึง 7 แต่ถ้าคุณถือชุด 100, 1,000 ครั้งขึ้นไปปรากฎว่าตารางการแจกจ่ายอยู่ใกล้กับทฤษฎีมากขึ้น: 44 k 56 , 482 k 518 และอื่น ๆ

และตอนนี้จินตนาการว่าการทดลองนี้ไม่ได้ดำเนินการกับเหรียญ แต่ด้วยการผลิตสารเคมีใหม่บางอย่างโอกาสที่เราไม่รู้ เราจะใช้เวลาการทดลอง 10 ครั้งและโดยไม่ได้รับผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จโดยทั่วไป: "ไม่สามารถรับสารได้" แต่ใครจะรู้เราจะใช้เวลาที่สิบเอ็ดความพยายาม - เราจะบรรลุเป้าหมายหรือไม่?

ดังนั้นหากคุณนำไปใช้กับพื้นที่ที่ยังไม่ได้สำรวจทฤษฎีความน่าจะเป็นอาจไม่สามารถใช้ได้ การพยายามครั้งต่อไปของแต่ละครั้งในกรณีนี้อาจประสบความสำเร็จและการรวมตัวกันของ "x ไม่มีอยู่จริง" หรือ "x เป็นไปไม่ได้" จะเป็นเวลาก่อนกำหนด

คำสุดท้าย

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบการเพิ่มสองประเภทการคูณและความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข ด้วยการศึกษาต่อไปของพื้นที่นี้จำเป็นต้องเรียนรู้ที่จะแยกแยะสถานการณ์เมื่อมีการใช้สูตรเฉพาะแต่ละสูตร นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องส่งว่าวิธีการที่น่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องในการแก้ปัญหาของคุณหรือไม่

หากคุณฝึกฝนหลังจากนั้นไม่นานคุณจะเริ่มดำเนินการทั้งหมดที่จำเป็นในใจของคุณ สำหรับผู้ที่มีความสนใจในเกมไพ่ทักษะนี้ถือได้ว่ามีค่าอย่างยิ่ง - คุณจะเพิ่มโอกาสในการชนะเพียงแค่นับความน่าจะเป็นของการสูญเสียหนึ่งหรืออีกการ์ดหรือชุดสูท อย่างไรก็ตามความรู้ที่ได้รับคุณสามารถค้นหาแอปพลิเคชันในพื้นที่อื่น ๆ ของกิจกรรมได้อย่างง่ายดาย

เหตุการณ์ที่เรียกว่า อิสระ จากเหตุการณ์ B หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B ที่เกิดขึ้นหรือไม่ เหตุการณ์ที่เรียกว่า ขึ้นอยู่กับจากเหตุการณ์ B หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นหรือไม่

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, คำนวณโดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้วเรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A และถูกระบุ

เงื่อนไขของความเป็นอิสระของเหตุการณ์ A จากเหตุการณ์ B สามารถเขียนได้เป็น
.

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของการทำงานของสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความเป็นไปได้ของหนึ่งในนั้นในความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของอื่น ๆ ที่คำนวณได้โดยมีเงื่อนไขว่าเกิดขึ้นครั้งแรก:

หากเหตุการณ์ A ไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B เหตุการณ์ B ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ A .. ในกรณีนี้ความน่าจะเป็นของการทำงานของเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ความน่าจะเป็น:

.

ตัวอย่างที่ 14 มี 3 ลิ้นชักที่มี 10 ส่วน ในลิ้นชักแรก 8 ในวันที่สอง - 7 และในรายละเอียดมาตรฐานที่สาม 9 จากแต่ละลิ้นชักโคลนจะนำออกไปหนึ่งชิ้น ค้นหาความเป็นไปได้ที่ทั้งสามรายละเอียดจะเป็นมาตรฐาน

ความน่าจะเป็นที่ส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องแรก (เหตุการณ์ A) เท่ากับ
. ความน่าจะเป็นไปได้ว่าชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่สอง (เหตุการณ์) เท่ากับ
. ความน่าจะเป็นที่กล่องที่สามจะถูกลบส่วนมาตรฐาน (Eventc) เท่ากับ
.

ตั้งแต่เหตุการณ์ A, B และ C เป็นอิสระจากทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นที่ต้องการเท่ากัน

ให้เรายกตัวอย่างการแบ่งปันการเพิ่มและการคูณด้วยทฤษฎีบท

ตัวอย่างที่ 15 ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของเหตุการณ์อิสระที่ 1 และ 2 เท่ากับตามลำดับ P 1 และ P 2 ค้นหาความน่าจะเป็นเพียงหนึ่งในเหตุการณ์เหล่านี้ (เหตุการณ์ A) ค้นหาความน่าจะเป็นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เหล่านี้ (เหตุการณ์ B)

แสดงถึงความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เป็นปฏิปักษ์ และ มันคือ 1 \u003d 1-P 1 และ Q 2 \u003d 1-P 2 ตามลำดับ

เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นหากเหตุการณ์ 1 เกิดขึ้นและเหตุการณ์ที่ 2 จะเกิดขึ้นหรือหากเหตุการณ์ 2 เกิดขึ้นและเหตุการณ์ 1 จะเกิดขึ้น ดังนั้น

เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นหากเหตุการณ์เกิดขึ้นหรือเหตุการณ์ A 1 และ 2 จะเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน ดังนั้น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B สามารถกำหนดได้อย่างอื่น เหตุการณ์ เหตุการณ์ตรงข้ามคือทั้งเหตุการณ์ที่ 1 และ 2 จะเกิดขึ้น ดังนั้นโดยทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระเราจะได้รับ

ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับนิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้เนื่องจากข้อมูลประจำตัวเกิดขึ้น

7. สูตรของความน่าจะเป็นเต็มรูปแบบ สูตรเบย์

ทฤษฎีบท 1. สมมติว่าเหตุการณ์
สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์แบบเป็นคู่ของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์ (เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าสมมติฐาน) อนุญาตเป็นเหตุการณ์โดยพลการ จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สามารถคำนวณได้โดยสูตร

หลักฐาน. เนื่องจากสมมติฐานเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์แล้วดังนั้น

เนื่องจากความจริงที่ว่าสมมติฐานอยู่ในคู่ของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์เหตุการณ์ก็เป็นคู่จึงไม่เด่น โดยการเพิ่มความน่าจะเป็นทฤษฎีบท

การใช้ตอนนี้ทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นเราได้รับ

สูตร (1) เรียกว่าสูตรความน่าจะเป็นเต็มรูปแบบ ในรูปแบบย่อสามารถเขียนได้ดังนี้

.

สูตรมีประโยชน์หากความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A นั้นคำนวณได้ง่ายกว่าความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 16. มี 3 ชั้น 36 ใบและการ์ด 2 ชั้น 52 ใบ จิตใจเลือกหนึ่งดาดฟ้าและนำการ์ดออกมาจากมัน ค้นหาโอกาสที่การ์ดที่ถอดออกคือเอซ

ให้เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยในความจริงที่ว่าแผนที่การกำจัดคือเอซ เราแนะนำสมมติฐานสองข้อเพื่อพิจารณา:

- บัตรจะถูกลบออกจากดาดฟ้าใน 36 ใบ

- การ์ดถูกลบออกจากดาดฟ้าในการ์ด 52 ใบ

ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เราจะใช้สูตรของความน่าจะเป็นเต็มรูปแบบ:

ทฤษฎีบท 2.. สมมติว่าเหตุการณ์
สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์แบบเป็นคู่ของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์ อนุญาตเป็นเหตุการณ์โดยพลการ ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของสมมติฐาน ในข้อสันนิษฐานว่าเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นมันสามารถคำนวณได้โดยสูตรเบย์:

หลักฐาน. ของทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพามันตามนั้น

.

การใช้สูตรความน่าจะเป็นอย่างเต็มรูปแบบที่เราได้รับ (2)

สมมติฐานความน่าจะเป็น
เรียกว่า priori และความน่าจะเป็นของสมมติฐาน
มีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเรียกว่า posteriori สูตร BAEEYS ตัวเองเรียกว่าสมมติฐานที่น่าจะเป็นสูตรความน่าจะเป็น

ตัวอย่างที่ 17. มี 2 \u200b\u200burns โกศตัวแรกมี 2 สีขาวและสีดำ 4 ชามและโกศที่สองประกอบด้วยลูกบอลสีขาวสีขาวและสีดำ 7 ลูก ฉันเลือกโกศและฉันจะลบลูกบอลออกจากมัน มันกลายเป็นสีดำ (เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น) ค้นหาโอกาสที่ลูกบอลถูกลบออกจากโกศแรก (สมมติฐาน
. ค้นหาโอกาสที่ลูกบอลถูกลบออกจาก URN ที่สอง (สมมติฐาน
).

ใช้สูตรเบย์:

,

.

ตัวอย่างที่ 18. ที่โรงงานสลักเกลียวผลิตโดยสามเครื่องซึ่งผลิตขึ้น 25% ตามลำดับ 35% และ 40% ของสลักเกลียวทั้งหมด การแต่งงานของเครื่องเหล่านี้ตามลำดับ 5%, 4%, 2% หนึ่งโบลต์ถูกเลือกจากผลิตภัณฑ์ของรถยนต์ทั้งสามคัน มันกลายเป็นข้อบกพร่อง (เหตุการณ์ A) ค้นหาโอกาสที่ Bolt ได้รับการปล่อยตัวครั้งแรกที่สองรถคันที่สาม

อนุญาต
- เหตุการณ์ที่ประกอบด้วย Bolt ได้เปิดตัวรถยนต์คันแรก
- รถคันที่สอง
- รถที่สาม เหตุการณ์เหล่านี้เป็นคู่มีความเข้าใจไม่ได้และจัดตั้งกลุ่มที่สมบูรณ์ เราใช้สูตร Bayes

เป็นผลให้เราได้รับ

,

,

.

การจัดตั้งการศึกษา "รัฐเบลารุส

สถาบันการเกษตร "

ภาควิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

นอกจากนี้และการคูณความน่าจะเป็น การทดสอบอิสระซ้ำซ้ำ

การบรรยายสำหรับนักเรียนของคณะผู้บริหารที่ดิน

การสร้างจดหมายโต้ตอบ

Gorki, 2012

นอกจากนี้และการคูณความน่าจะเป็น ซ้ำกัน

การทดสอบอิสระ

1. การเพิ่มความน่าจะเป็น

ผลรวมของเหตุการณ์ร่วมกันสองเหตุการณ์ แต่ และ ใน เรียกว่าเหตุการณ์ จากประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ แต่ หรือ ใน. คล้ายกับผลรวมของเหตุการณ์ร่วมกันหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เหล่านี้

ผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันสองเหตุการณ์ แต่ และ ใน เรียกว่าเหตุการณ์ จากการเกิดขึ้นหรือเหตุการณ์ แต่หรือเหตุการณ์ ใน. คล้ายกับผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์หลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยในการโจมตีของเหตุการณ์ใด ๆ เหล่านี้

ยุติธรรมทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์: ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันนั้นเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ . . ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังจำนวนเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์ใด ๆ

จากทฤษฎีบทนี้ดังนี้:

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกลุ่มที่สมบูรณ์นั้นเท่ากับหนึ่ง;

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นปฏิปักษ์เท่ากับหนึ่งคือ I.e.
.

ตัวอย่างที่ 1 . มี 2 \u200b\u200bสีขาวในกล่อง 3 ลูกบอลสีแดงและ 5 ลูกบอลสีน้ำเงิน ลูกบอลผสมและสุ่มจะถูกลบออกหนึ่ง ความเป็นไปได้ที่ลูกบอลจะเป็นสีอะไร?

การตัดสินใจ . แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (ลบลูกบอลสี);

B.\u003d (ลูกบอลสีขาวสกัด);

ค.\u003d (ลูกบอลสีแดงสกัด);

D.\u003d (ลูกบอลสีฟ้าจะถูกลบออก)

จากนั้น ก.= ค.+ D.. ตั้งแต่เหตุการณ์ ค., D. อึดอัดเราจะใช้ทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์:

ตัวอย่างที่ 2 . ใน URN มีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและ 6 - ดำ จากโกศโดยการสุ่มจะใช้เวลา 3 ลูก ความเป็นไปได้ที่ทุกคนมีสีเดียวคืออะไร?

การตัดสินใจ . แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (นำออกจากลูกบอลที่มีสีเดียวกัน);

B.\u003d (นำออกมาจากลูกบอลสีขาว);

ค.\u003d (ตัดลูกบอลสีดำ)

เช่น ก.= B.+ ค. และเหตุการณ์ ใน และ จาก ไม่สามารถเข้าใจได้จากนั้นตามทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์
. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ใน เท่ากัน
ที่ไหน
4,

. ทดแทน เค. และ น. ในสูตรและรับ
ในทำนองเดียวกันค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จาก:
ที่ไหน
,
.
. จากนั้น
.

ตัวอย่างที่ 3 . จากดาดฟ้าใน 36 ใบที่สุ่มจะถอด 4 ใบออก ค้นหาโอกาสที่พวกเขาจะมีอย่างน้อยสามเอซ

การตัดสินใจ . แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (ในบรรดาการ์ดที่นำออกอย่างน้อยสามเอซ);

B.\u003d (ท่ามกลางการตัดของสามเอซ);

ค.\u003d (ในบรรดาการ์ดที่เต็มไปด้วยสี่เอซ)

เช่น ก.= B.+ ค.และกิจกรรม ใน และ จาก ไม่สอดคล้องกัน
. ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ใน และ จาก:

,
. ดังนั้นความเป็นไปได้ที่ในหมู่การ์ดที่ถูกลบอย่างน้อยสามเอซจึงเท่ากับ

0.0022.

1. การคูณความน่าจะเป็น

งาน สองเหตุการณ์ แต่ และ ใน เรียกว่าเหตุการณ์ จากประกอบด้วยการเกิดข้อต่อของเหตุการณ์เหล่านี้:
. คำจำกัดความนี้ใช้กับจำนวนเหตุการณ์ที่ จำกัด ใด ๆ

มีการเรียกว่าสองเหตุการณ์ อิสระ หากความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่ เหตุการณ์ , , … , เรียกว่า อิสระในการรวม หากความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของแต่ละคนไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ากิจกรรมอื่น ๆ เกิดขึ้นหรือไม่ได้เกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 4 . นักกีฬาสองคนยิงเป้าหมาย แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (ลูกศรแรกกระทบเป้าหมาย);

B.\u003d (ลูกศรที่สองกดเป้าหมาย)

เห็นได้ชัดว่าโอกาสในการกดปุ่มเป้าหมายนักกีฬาคนแรกไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเขาล้มลงหรือไม่โดนลูกศรที่สองและในทางกลับกัน ดังนั้นเหตุการณ์ แต่ และ ใน อิสระ.

ยุติธรรมทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ: ความน่าจะเป็นของการทำงานของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ : .

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้สำหรับ น. อิสระในกิจกรรมรวม:.

ตัวอย่างที่ 5 . ลูกศรสองลูกยิงเป้าหมายเดียว ความน่าจะเป็นที่จะกดปุ่มลูกศรแรกคือ 0.9 และที่สอง - 0.7 ลูกศรทั้งสองพร้อมกันทำหนึ่งนัด กำหนดโอกาสที่จะมีการโจมตีสองครั้งในเป้าหมาย

การตัดสินใจ . แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.

B.

ค.\u003d (ลูกศรทั้งสองจะตกอยู่ในเป้าหมาย)

เช่น
และกิจกรรม แต่ และ ใน อิสระ, ต.
. .

เหตุการณ์ แต่ และ ใน เรียกว่า ขึ้นอยู่กับ หากความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ ระบุว่าเหตุการณ์ ใน ได้มาแล้วเรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข และหมายถึง
หรือ
.

ตัวอย่างที่ 6 . มี 4 ลูกบอลสีขาวและ 7 ลูกบอลสีดำในโกศ ลูกสกัดจากโกศ แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (ลูกบอลสีขาวสกัด);

B.\u003d (ลูกบอลสีดำสกัด)

ก่อนเริ่มการสกัดลูกจากโกศ
. ลูกบอลหนึ่งลูกถูกลบออกจากโกศและเขากลับกลายเป็นสีดำ จากนั้นโอกาสของเหตุการณ์ แต่ หลังจากเหตุการณ์ ใน จะเป็นอีกอย่างเท่าเทียมกัน . ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ใน. เหตุการณ์เหล่านี้จะขึ้นอยู่กับ

ยุติธรรมทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ขึ้นต่อกัน: ความน่าจะเป็นของการทำงานของเหตุการณ์ที่ขึ้นกับสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความเป็นไปได้ของหนึ่งในนั้นในความเป็นไปได้ตามเงื่อนไขของการคำนวณอีกครั้งในสมมติฐานว่าเหตุการณ์แรกได้มาแล้ว. หรือ .

ตัวอย่างที่ 7 . ใน URN มีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและ 8 สีแดง จากเธอโดยสุ่มลูกบอลสองลูกจะถูกลบอย่างต่อเนื่อง ค้นหาโอกาสที่ลูกบอลทั้งสองจะเป็นสีดำ

การตัดสินใจ . แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (ลูกบอลสีดำสกัดแรก);

B.\u003d (ที่สองจะสกัดลูกบอลสีดำ)

เหตุการณ์ แต่ และ ใน ขึ้นอยู่กับเพราะ
แต่
. จากนั้น
.

ตัวอย่างที่ 8 . ลูกศรสามยิงเป้าหมายเป็นอิสระจากกันและกัน ความน่าจะเป็นที่จะเข้าสู่เป้าหมายสำหรับลูกศรแรกคือ 0.5 สำหรับที่สอง - 0.6 และเป็นอันดับสาม - 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่สองเป้าหมายที่เกิดขึ้นหากนักกีฬาแต่ละคนทำช็อตหนึ่งนัด

การตัดสินใจ . แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (มีสองครั้งในเป้าหมาย);

B.\u003d (นักกีฬาคนแรกจะตกอยู่ในเป้าหมาย);

ค.\u003d (นักกีฬาที่สองจะตกอยู่ในเป้าหมาย);

D.\u003d (ลูกศรที่สามจะตกอยู่ในเป้าหมาย);

\u003d (นักกีฬาคนแรกจะไม่ตกอยู่ในเป้าหมาย);

\u003d (นักกีฬาที่สองจะไม่ตกอยู่ในเป้าหมาย);

\u003d (นักกีฬาที่สามจะไม่ตกอยู่ในเป้าหมาย)

ภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่าง
,
,
,

,
,
. ตั้งแต่การใช้ทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สมบูรณ์และทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระเราได้รับ:

ปล่อยให้เหตุการณ์
จัดตั้งกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ของการทดสอบบางอย่างและเหตุการณ์ แต่ อาจมากับหนึ่งในเหตุการณ์เหล่านี้เท่านั้น หากเป็นที่รู้จักความน่าจะเป็นและความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข แต่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คำนวณโดยสูตร:

หรือ
. สูตรนี้เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบสูตรเต็ม และกิจกรรม
สมมติฐาน .

ตัวอย่างที่ 9 . 700 ชิ้นส่วนจากเครื่องแรกและ 300 ชิ้นส่วนมาถึงลำเลียงประกอบ จากที่สอง เครื่องแรกให้การแต่งงาน 0.5% และที่สองคือ 0.7% ค้นหาโอกาสที่รายละเอียดที่ถ่ายจะมีข้อบกพร่อง

การตัดสินใจ . แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (นำรายการจะมีข้อบกพร่อง);

\u003d (ทำรายการบนเครื่องแรก);

\u003d (รายการทำในเครื่องที่สอง)

ความน่าจะเป็นที่รายการนั้นทำในเครื่องแรกเท่ากับ
. สำหรับเครื่องที่สอง
. ตามเงื่อนไขความเป็นไปได้ที่จะได้รับส่วนที่มีข้อบกพร่องที่ทำในเครื่องแรกเท่ากับ
. สำหรับเครื่องที่สองความน่าจะเป็นนี้เท่ากัน
. จากนั้นโอกาสที่รายละเอียดที่ถ่ายจะมีข้อบกพร่องคำนวณโดยสูตรของความน่าจะเป็นอย่างเต็มรูปแบบ

ถ้าเป็นที่ทราบกันว่าเหตุการณ์บางอย่างมีผลมาจากการทดสอบ แต่จากนั้นโอกาสที่เหตุการณ์นี้มาพร้อมกับสมมติฐาน
, เท่ากัน
ที่ไหน
- ความน่าจะเป็นอย่างเต็มที่ของเหตุการณ์ แต่. สูตรนี้เรียกว่า สูตรเบย์ และช่วยให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
หลังจากที่มันกลายเป็นที่ทราบกันว่าเหตุการณ์ แต่ ได้มาแล้ว

ตัวอย่างที่ 10 . รถยนต์ชนิดเดียวกันนี้ผลิตที่สองโรงงานและไปที่ร้าน โรงงานแห่งแรกผลิต 80% ของจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดและที่สองคือ 20% ผลิตภัณฑ์ของโรงงานแห่งแรกมี 90% ของชิ้นส่วนมาตรฐานและที่สองคือ 95% ผู้ซื้อซื้อรายละเอียดหนึ่งรายและกลายเป็นมาตรฐาน ค้นหาความเป็นไปได้ว่ารายการนี้ทำในโรงงานที่สอง

การตัดสินใจ . แสดงถึงเหตุการณ์:

ก.\u003d (ซื้อสินค้ามาตรฐาน);

\u003d (รายการทำในโรงงานแห่งแรก);

\u003d (รายการทำในโรงงานที่สอง)

ภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่าง
,
,
และ
. คำนวณความน่าจะเป็นอย่างเต็มรูปแบบของเหตุการณ์ แต่: 0.91 ความน่าจะเป็นที่ไอเท็มทำในโรงงานที่สองคำนวณโดยสูตรเบย์:

.

งานสำหรับงานอิสระ

ความน่าจะเป็นที่จะป้อนเป้าหมายสำหรับลูกศรแรกคือ 0.8 สำหรับที่สอง - 0.7 และเป็นอันดับสาม - 0.9 ลูกศรทำช็อตหนึ่งนัด ค้นหาโอกาสที่มีอย่างน้อยสองครั้งในเป้าหมาย

15 รถแทรกเตอร์มาถึงร้านซ่อม เป็นที่ทราบกันดีว่า 6 ของพวกเขาจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องยนต์และส่วนที่เหลือ - ในการเปลี่ยนโหนดแต่ละโหนด สามรถแทรกเตอร์ถูกเลือกแบบสุ่ม ค้นหาความเป็นไปได้ที่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องยนต์ไม่เกินสองรถแทรกเตอร์ที่เลือก

แผงทำบนโรงงานคอนกรีตเสริมเหล็ก 80% ซึ่งมีคุณภาพสูงสุด ค้นหาโอกาสที่สามในการสุ่มแผงที่เลือกอย่างน้อยสองจะเป็นเกรดสูงสุด

สามคนงานเก็บแบริ่ง ความน่าจะเป็นที่แบริ่งประกอบโดยการทำงานครั้งแรกคุณภาพสูงสุดคือ 0.7 ที่สอง - 0.8 และสาม - 0.6 ในการควบคุมแบบสุ่มมันจะถูกนำมาใช้โดยแบริ่งคนหนึ่งจากการรวบรวมทุกคนที่รวบรวม ค้นหาโอกาสที่อย่างน้อยสองคนจะมีคุณภาพสูงสุด

ความน่าจะเป็นที่จะชนะตั๋วลอตเตอรีรุ่นแรกคือ 0.2, ที่สอง - 0.3 และสาม - 0.25 มีตั๋วหนึ่งใบแต่ละใบ ค้นหาโอกาสที่คุณจะได้รับตั๋วอย่างน้อยสองใบ

นักบัญชีทำการคำนวณโดยใช้สามไดเรกทอรี ความน่าจะเป็นที่ความสนใจอยู่ในไดเรกทอรีแรกคือ 0.6 ในที่สอง - 0.7 Yves ที่สาม - 0.8 ค้นหาโอกาสที่นักบัญชีที่คุณสนใจไม่เกินสองเล่มอ้างอิง

สามเครื่องทำรายละเอียด อัตโนมัติครั้งแรกทำให้รายการที่มีคุณภาพสูงสุดที่มีความน่าจะเป็น 0.9 ซึ่งเป็นที่สอง - มีความน่าจะเป็น 0.7 และสาม - ด้วยความน่าจะเป็น 0.6 ที่ผ้าขี้ริ้วใช้รายละเอียดจากแต่ละเครื่อง ค้นหาความน่าจะเป็นไปได้ในหมู่พวกเขาอย่างน้อยสองคุณภาพสูงสุด

บนเครื่องสองเครื่องจะถูกประมวลผลด้วยประเภทเดียวกัน ความน่าจะเป็นของการผลิตส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับเครื่องแรกคือ 0.03 ในครั้งที่สอง - 0.02 ชิ้นส่วนแปรรูปถูกพับเก็บไว้ในที่เดียว ในหมู่พวกเขาคือ 67% จากเครื่องแรกและส่วนที่เหลือ - จากที่สอง โดยการสุ่มรายละเอียดที่ถ่ายเป็นมาตรฐาน ค้นหาโอกาสที่มันทำในเครื่องแรก

ตัวเก็บประจุชนิดเดียวกันสองกล่องมาถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการ ในกล่องแรกมีตัวเก็บประจุ 20 ตัวซึ่ง 2 ผิดพลาด ในกล่องตัวเก็บประจุ 10 กล่องที่สองซึ่งเป็น 3 ข้อผิดพลาด ตัวเก็บประจุถูกถ่ายโอนไปยังหนึ่งกล่อง ค้นหาโอกาสที่ตัวเก็บประจุที่นำมาจากกล่องจะให้บริการได้

ในสามหน้าต่างมีการทำรายการชนิดเดียวกันซึ่งมาถึงสายพานลำเลียงทั่วไป ในบรรดารายละเอียดทั้งหมดเป็น 20% จากเครื่องแรก 30% - จากที่สองและ 505 - จากที่สาม ความน่าจะเป็นของการผลิตส่วนมาตรฐานในเครื่องแรกคือ 0.8 ในวันที่สอง - 0.6 และในวันที่สาม - 0.7 รายละเอียดกลายเป็นมาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นของรายการนี้ทำในเครื่องที่สาม

ส่วนประกอบที่สมบูรณ์ได้รับสำหรับการชุมนุม 40% ของรายละเอียดจากโรงงาน แต่และส่วนที่เหลือ - จากโรงงาน ใน. ความน่าจะเป็นที่รายการจากโรงงาน แต่ - คุณภาพสูงสุดเท่ากับ 0.8 และจากโรงงาน ใน - 0.9 ผู้จำนำที่สุ่มใช้ส่วนหนึ่งและไม่ใช่คุณภาพสูงสุด ค้นหาโอกาสที่รายการนี้จากโรงงาน ใน.

สำหรับการมีส่วนร่วมในการแข่งขันกีฬานักเรียนนักเรียน 10 คนจากกลุ่มแรกและ 8 ได้รับการจัดสรร - จากที่สอง ความเป็นไปได้ที่นักเรียนจากกลุ่มแรกจะตกอยู่ในทีมชาติของสถาบันการศึกษาคือ 0.8 และจากที่สอง - 0.7 ที่ Rags นักเรียนที่เลือกมาถึงทีมชาติ ค้นหาความเป็นไปได้ที่เขามาจากกลุ่มแรก

\\ (\\ blacktriangleright \\) หากจำเป็นต้องทำข้อต่อทั้งสอง (ซึ่งอาจเกิดขึ้นพร้อมกัน) เหตุการณ์ \\ (A \\) และ \\ (b \\) (\\ (c \u003d \\ (a \\) และ \\ ((c \u003d \\) A \\) B \\) \\)) จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ \\ (c \\) เท่ากับผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ \\ (a \\) และ \\ (b \\)

โปรดทราบว่าหากเหตุการณ์ไม่สมบูรณ์ความน่าจะเป็นของต้นกำเนิดพร้อมกันนั้นเท่ากับ \\ (0 \\)

\\ (\\ blacktriangleright \\) แต่ละเหตุการณ์สามารถกำหนดได้ในรูปแบบของวงกลม จากนั้นหากมีเหตุการณ์ร่วมกันวงกลมจะต้องตัดกัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ \\ (c \\) คือความน่าจะเป็นในการเข้าสู่วงกลมทั้งสองในเวลาเดียวกัน

\\ (\\ blacktrinkleright \\) ตัวอย่างเช่นเมื่อขว้างกระดูกเล่นเพื่อค้นหาความน่าจะเป็น \\ (c \u003d \\) (การสูญเสียจำนวน \\ (6 \\))
สามารถจัดทำกิจกรรม \\ (c \\) เป็น \\ (a \u003d \\) (การสูญเสียจำนวนคู่) และ \\ (b \u003d \\) (การสูญเสียจำนวนหารด้วยสาม)
จากนั้น \\ (p \\, (c) \u003d p \\, (a) \\ cdot p \\, (b) \u003d \\ dfrac12 \\ cdot \\ dfrac13 \u003d \\ dfrac16 \\).

ภารกิจ 1 # 3092

ระดับงาน: เท่ากับ EGE

ร้านค้าขายรองเท้าผ้าใบของสอง บริษัท : เขื่อนกั้นน้ำและ ananas ความเป็นไปได้ที่รองเท้าผ้าใบคู่ที่เลือกแบบสุ่มจะเป็นเขื่อนเท่ากับ \\ (0.6 \\) แต่ละ บริษัท อาจเข้าใจผิดในการเขียนชื่อบนรองเท้าผ้าใบ ความเป็นไปได้ที่ บริษัท เขื่อนจะถูกเข้าใจผิดในการเขียนชื่อเท่ากับ \\ (0.05 \\); ความเป็นไปได้ที่ Ananas เข้าใจผิดในการเขียนชื่อเท่ากับ \\ (0.025 \\) ค้นหาความน่าจะเป็นที่รองเท้าผ้าใบคู่ที่ซื้อแบบสุ่มจะอยู่กับการเขียนที่ถูกต้องของชื่อ บริษัท

เหตุการณ์ A: "รองเท้าผ้าใบคู่หนึ่งจะมีชื่อที่ถูกต้อง" เท่ากับจำนวนเหตุการณ์ B: "รองเท้าผ้าใบคู่หนึ่งจะเป็น บริษัท เขื่อนและมีชื่อที่ถูกต้อง" และ C: "รองเท้าผ้าใบคู่หนึ่งจะเป็น ananas และด้วยชื่อที่ถูกต้อง "
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เท่ากับผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "รองเท้าผ้าใบจะเป็น บริษัท เขื่อน" และ "ชื่อของ บริษัท เขื่อนเขียนอย่างถูกต้อง": \\ ทำนองเดียวกันสำหรับเหตุการณ์ C: \ ดังนั้น \

คำตอบ: 0,96

ภารกิจที่ 2 # 166

ระดับงาน: เท่ากับ EGE

หาก Timur เล่นหมากฮอสสีขาวเขาชนะใน Vani ด้วยความน่าจะเป็น 0.72 หาก Timur เล่นหมากฮอสสีดำเขาจะชนะ Vanya ด้วยความน่าจะเป็น 0.63 Timur และ Vanya เล่นสองฝ่ายและในแบทช์ที่สองเปลี่ยนสีของหมากฮอส ค้นหาความน่าจะเป็นที่ Vanya ชนะทั้งสองครั้ง

Vanya ชนะสีขาวด้วยความน่าจะเป็น \\ (0.37 \\) และสีดำที่มีความน่าจะเป็น \\ (0.28 \\) เหตุการณ์ "จากสองชุดของ Vanya ได้รับรางวัล White" \\ (\\ \\) และ "จากสองชุด Vanya ชนะ Black" \\ (\\ \\) - อิสระจากนั้นโอกาสที่เกิดขึ้นพร้อมกันของพวกเขาก็เท่ากับ

คำตอบ: 0.1036

ภารกิจ 3 # 172

ระดับงาน: เท่ากับ EGE

ทางเข้าพิพิธภัณฑ์ได้รับการปกป้องจากสองยาม ความน่าจะเป็นไปได้ที่ผู้อาวุโสของพวกเขาจะลืมวิทยุเท่ากับ \\ (0.2 \\) และความน่าจะเป็นที่เด็กที่อายุน้อยกว่าจะลืมวิทยุเท่ากับ \\ (0.1 \\) ความเป็นไปได้ที่พวกเขาจะไม่มีวิทยุเดียวคืออะไร?

เนื่องจากเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีความเป็นอิสระความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นพร้อมกันนั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นของพวกเขา ความน่าจะเป็นที่ต้องการเท่ากับ \\

คำตอบ: 0.02

ภารกิจ 4 # 167

ระดับงาน: เท่ากับ EGE

การกระโดดจากความสูง 1 เมตร Kostya ทำลายขาของเขาด้วยความน่าจะเป็น \\ (0.05 \\) การกระโดดจากความสูง 1 เมตร Vanya ทำลายขาของเขาด้วยความน่าจะเป็น \\ (0.01 \\) การกระโดดจากความสูง 1 เมตร Anton ทำลายขาด้วยความน่าจะเป็น \\ (0.01 \\) Kostya, Vanya และ Anton กระโดดจากความสูง 1 เมตรพร้อมกัน ความน่าจะเป็นของพวกเขาเท่านั้น kostya ทำลายขาของเขา? ตอบรอบ ๆ มากถึงพัน

เหตุการณ์ "เมื่อกระโดดจากความสูง 1 เมตร Kostya ทำลายขา" \\ (, \\) "เมื่อกระโดดจากความสูง 1 เมตร vanya ไม่ทำลายขา" \\ (\\) และ "เมื่อกระโดดจากความสูง 1 เมตร แอนตันไม่ได้ทำลายขา "\\ (\\ \\) - อิสระดังนั้นความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นพร้อมกันนั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็น: \ หลังจากการปัดเศษในที่สุดเราก็ได้รับ \\ (0.049 \\)

คำตอบ: 0,049

ภารกิจที่ 5 # 170

ระดับงาน: เท่ากับ EGE

Maxim และ Vanya ตัดสินใจเล่นโบว์ลิ่ง Maxim ค่อนข้างคิดว่าโดยเฉลี่ยเขาเคาะการนัดหยุดงานครั้งเดียวในแปดโยน Vanya คิดว่าโดยเฉลี่ยเขาเคาะนัดหยุดงานทุก ๆ ห้านัด Maxim และ Vanya ทำการโยนครั้งเดียว (โดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์) ความเป็นไปได้ที่จะไม่มีการนัดหยุดงานในหมู่พวกเขาคืออะไร?

เนื่องจากเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีความเป็นอิสระความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นพร้อมกันนั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นของพวกเขา ในกรณีนี้ความน่าจะเป็นที่ Maxim จะไม่เลือกการนัดหยุดงานเท่ากัน \ ความเป็นไปได้ที่ Vanya จะไม่เลือกการประท้วงเท่ากับ \\ (1 - 0.2 \u003d 0.8 \\) จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการเท่ากัน \\ [\\ dfrac (7) (8) \\ cdot 0.8 \u003d 0.7 \\]

คำตอบ: 0,7

ภารกิจ 6 # 1646

ระดับงาน: เท่ากับ EGE

Anton และ Kostya เล่นปิงปอง ความน่าจะเป็นที่ Kostya จะตกอยู่ในฐานะโคโรนาพัดไปที่โต๊ะ \\ (0.9 \\) ความเป็นไปได้ที่แอนตันจะชนะการจับที่ Kostya พยายามที่จะใช้ Crown Strike \\ (0.3 \\) Kostya พยายามที่จะได้รับการระเบิดโคโรนาของเขาไปที่โต๊ะ ความเป็นไปได้ที่ Kostya ได้รับการระเบิดของพระโคโรนัลของเขาจริงๆและในที่สุดก็ชนะการดึงนี้?

เนื่องจากเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีความเป็นอิสระความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นพร้อมกันนั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นของพวกเขา ในเวลาเดียวกันความน่าจะเป็นที่แอนตันจะไม่ชนะการจับรางวัลซึ่ง Kostya พยายามที่จะใช้ Corona Strike \\ (1 - 0.3 \u003d 0.7 \\) ความน่าจะเป็นที่ต้องการเท่ากับ \\