วิธีการหาอนุพันธ์ของตัวอย่างฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของการแก้ปัญหา ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

เป็นไปไม่ได้อย่างแน่นอนที่จะแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างคณิตศาสตร์โดยไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจอุทิศหัวข้อพื้นฐานนี้ไปยังบทความปัจจุบัน อนุพันธ์คืออะไรความหมายทางกายภาพและทางเรขาคณิตคืออะไรวิธีการคำนวณฟังก์ชั่นที่ได้รับ? คำถามเหล่านี้ทั้งหมดสามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว: วิธีการเข้าใจอนุพันธ์?

เรขาคณิตและความหมายทางกายภาพอนุพันธ์

ปล่อยให้มีฟังก์ชั่น f (x) ตั้งค่าในช่วงเวลาหนึ่ง (a, b) . คะแนน X และ X0 เป็นของช่วงเวลานี้ เมื่อเปลี่ยน X เปลี่ยนฟังก์ชั่นเอง การเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างของค่า x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้าเอ็กซ์ และเรียกว่าการเพิ่มขึ้นของการโต้แย้ง การเปลี่ยนแปลงหรือเพิ่มฟังก์ชั่นคือความแตกต่างของค่าฟังก์ชั่นที่สองจุด นิยามของอนุพันธ์:

ฟังก์ชั่นอนุพันธ์ที่จุดคือขีด จำกัด ของฟังก์ชั่นของฟังก์ชั่นของฟังก์ชั่นที่จุดที่กำหนดไปยังการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อหลังมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้เช่นนี้:

จุดในการค้นหาข้อ จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? แต่อะไร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่จุดนั้นเท่ากับมุมแทนเจนต์ระหว่างแกนวัวและสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชั่นที่จุดนี้

ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์: อนุพันธ์เวลาเท่ากับอัตราการเคลื่อนไหวตรง

แน่นอนตั้งแต่เวลาที่โรงเรียนทุกคนรู้ว่าความเร็วเป็นเส้นทางส่วนตัว x \u003d f (t) และเวลา ต. . ความเร็วเฉลี่ยสำหรับบางช่วงเวลา:

เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในเวลา t0 คุณต้องคำนวณขีด จำกัด :

กฎอันดับแรก: เราใช้เวลาคงที่

ค่าคงที่สามารถนำออกจากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ ยิ่งไปกว่านั้นจะต้องทำ เมื่อการแก้ตัวอย่างในคณิตศาสตร์ใช้กฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกให้แน่ใจว่าง่ายขึ้น .

ตัวอย่าง. คำนวณอนุพันธ์:

กฎที่สอง: ฟังก์ชั่นอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นทั้งสองนั้นเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นเหล่านี้ เช่นเดียวกับที่เป็นจริงสำหรับอนุพันธ์ของความแตกต่างของฟังก์ชั่น

เราจะไม่นำไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้และเป็นการดีกว่าที่จะพิจารณาตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์:

กฎที่สาม: ผลงานที่ได้รับจากฟังก์ชั่น

อนุพันธ์ของงานของสองฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันจะคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์:

การตัดสินใจ:

มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะพูดเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเท่ากับผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้โดยอาร์กิวเมนต์ระดับกลางในอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์กลางบนตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้นเราพบการแสดงออก:

ในกรณีนี้อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ถึงระดับที่ห้า เพื่อคำนวณอนุพันธ์ของการแสดงออกดังกล่าวเราก่อนอื่นให้พิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายนอกโดยอาร์กิวเมนต์ระดับกลางจากนั้นคูณลงในอนุพันธ์โดยตรงอาร์กิวเมนต์ระดับกลางมากในตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของสองฟังก์ชั่นส่วนตัว

สูตรสำหรับการกำหนดอนุพันธ์ของสองฟังก์ชั่นส่วนตัว:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับกาน้ำชาตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่เห็นดังนั้นฉันเตือนว่า: ในตัวอย่างมักจะมีกับดักดังนั้นระวังเมื่อคำนวณอนุพันธ์

ด้วยคำถามใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่น ๆ ที่คุณสามารถติดต่อบริการนักเรียนได้ ในช่วงเวลาสั้น ๆ เราจะช่วยแก้ปัญหาการควบคุมที่ยากที่สุดและจัดการกับงานแม้ว่าคุณจะไม่เคยมีส่วนร่วมในการคำนวณอนุพันธ์

ฟังก์ชั่นของสายพันธุ์ที่ซับซ้อนไม่ได้เรียกว่าคำว่า "ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน" อย่างถูกต้องอย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่นมันดูน่าประทับใจมาก แต่คุณสมบัตินี้ไม่ยากซึ่งแตกต่างจาก

ในบทความนี้เราจะจัดการกับแนวคิดของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเรียนรู้ที่จะระบุในองค์ประกอบของฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาเราจะให้สูตรสำหรับการค้นหามันเป็นอนุพันธ์และพิจารณาในรายละเอียดการแก้ปัญหาของตัวอย่างลักษณะ

เมื่อแก้ตัวอย่างเราจะใช้กฎอนุพันธ์และกฎความแตกต่างอย่างต่อเนื่องดังนั้นให้พวกเขาต่อหน้าต่อตาคุณ

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน - นี่คือฟังก์ชั่นการโต้แย้งที่ยังเป็นฟังก์ชั่น

จากมุมมองของเราคำจำกัดความนี้ชัดเจนที่สุด เงื่อนไขสามารถแสดงเป็น f (g (x)) นั่นคือ g (x) ตามที่เป็นฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ f (g (x))

ตัวอย่างเช่นให้ F เป็นฟังก์ชั่นของ Arctangent และ G (x) \u003d LNX เป็นฟังก์ชั่นของลอการิทึมธรรมชาติจากนั้นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน F (G (x)) คือ ARCTG (LNX) อีกตัวอย่างหนึ่ง: F - ฟังก์ชั่นของระดับที่สี่และ - ฟังก์ชั่นเหตุผลทั้งหมด (ดู) แล้ว .

ในทางกลับกัน G (x) อาจเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น, . เงื่อนไขการแสดงออกดังกล่าวสามารถกำหนดได้ว่าเป็น . ที่นี่ F - ฟังก์ชั่นไซนัส - ฟังก์ชั่นของการสกัดของรากสแควร์ - ฟังก์ชั่นเหตุผลเศษส่วน มันเป็นเรื่องจริงที่จะสมมติว่าระดับของการทำรังภูมิคุ้มกันสามารถเป็นจำนวนธรรมชาติที่ จำกัด

บ่อยครั้งที่คุณสามารถได้ยินได้ว่าฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเรียกว่า องค์ประกอบของฟังก์ชั่น

สูตรสำหรับการค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

ตัวอย่าง.

ค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

การตัดสินใจ

ในตัวอย่างนี้ F - ฟังก์ชั่นการก่อสร้างของสแควร์และ G (x) \u003d 2x + 1 เป็นฟังก์ชั่นเชิงเส้น

นี่คือโซลูชันรายละเอียดโดยใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

ลองค้นหาอนุพันธ์นี้กันก่อนทำให้ฟังก์ชั่นต้นทางง่ายขึ้น

ดังนั้น

อย่างที่คุณเห็นผลลัพธ์ตรง

พยายามที่จะไม่สับสนฟังก์ชั่นอะไรคือ f และ g (x)

ให้เราอธิบายตัวอย่างสำหรับความใส่ใจ

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและ

การตัดสินใจ

ในกรณีแรก F - นี่คือฟังก์ชั่นของการก่อสร้างของสแควร์และ g (x) เป็นฟังก์ชั่นไซนัสดังนั้น
.

ในกรณีที่สอง F คือฟังก์ชั่นของไซนัสและฟังก์ชั่นกำลัง ดังนั้นโดยสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนที่เรามี

อนุพันธ์สูตรสำหรับฟังก์ชั่นมีแบบฟอร์ม

ตัวอย่าง.

ฟังก์ชั่นที่แตกต่าง .

การตัดสินใจ

ในตัวอย่างนี้ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนสามารถเขียนเป็นเงื่อนไขได้เป็น , ที่ไหน - ฟังก์ชั่นไซนัส, ฟังก์ชั่นการก่อสร้างจนถึงระดับที่สามฟังก์ชั่นลอการิทึมสำหรับฐาน e, ฟังก์ชั่นของการจับภาพของ arctgennes และฟังก์ชั่นเชิงเส้นตามลำดับ

โดยสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

พบตอนนี้

เรารวบรวมผลลัพธ์ระดับกลางด้วยกัน:

ไม่มีอะไรแย่มากถอดประกอบฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเป็น Matryoshki

มันจะเป็นไปได้ที่จะเสร็จสิ้นบทความนี้ถ้ามันไม่ ...

ขอแนะนำให้เข้าใจอย่างชัดเจนเมื่อใช้กฎความแตกต่างและตารางอนุพันธ์และเมื่อสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์.

ตอนนี้ระมัดระวังเป็นพิเศษ เราจะพูดถึงความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นของมุมมองที่ซับซ้อนจากฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน จากจำนวนที่คุณเห็นความแตกต่างนี้และความสำเร็จจะขึ้นอยู่กับเมื่อพบอนุพันธ์

เริ่มต้นด้วยตัวอย่างง่ายๆ ฟังก์ชั่น ถือได้ว่าเป็นคอมเพล็กซ์: g (x) \u003d TGX . ดังนั้นคุณสามารถใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์ได้ทันที

แต่ฟังก์ชั่น ไม่สามารถเรียกชื่อได้ยาก

คุณสมบัตินี้คือผลรวมของสามฟังก์ชั่น 3TGX และ 1 แม้ว่ามันจะเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน: - ฟังก์ชั่นพลังงาน (Parabola กำลังสอง) และ F เป็นฟังก์ชั่นของสัมผัส ดังนั้นก่อนอื่นใช้จำนวนสูตรความแตกต่าง:

มันยังคงที่จะหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

ดังนั้น.

เราหวังว่าสาระสำคัญที่คุณจับได้

หากคุณดูกันอย่างแพร่หลายมันอาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าฟังก์ชั่นของสปีชีส์ที่ซับซ้อนสามารถรวมอยู่ในฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนสามารถประกอบไปด้วยฟังก์ชั่นของสายพันธุ์ที่ซับซ้อน

เป็นตัวอย่างเราจะวิเคราะห์ฟังก์ชั่นชิ้นส่วนส่วนประกอบ .

ประการแรกนี่เป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนที่สามารถแสดงในรูปแบบที่ F คือฟังก์ชั่นลอการิทึมตาม 3 และ g (x) คือผลรวมของสองฟังก์ชั่น และ . i.e, .

ประการที่สองใช้ฟังก์ชั่น H (x) มันเป็นทัศนคติที่จะ .

นี่คือผลรวมของสองฟังก์ชั่นและ ที่ไหน - ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนพร้อมสัมประสิทธิ์ตัวเลข 3 - ฟังก์ชั่นการก่อสร้างในลูกบาศก์เป็นฟังก์ชั่นโคไซน์ - ฟังก์ชั่นเชิงเส้น

นี่คือผลรวมของสองฟังก์ชั่นและที่ไหน - ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน - ฟังก์ชั่นของเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชั่นกำลังไฟ

ทางนี้, .

ประการที่สามไปที่ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน และฟังก์ชั่นเหตุผลทั้งหมด

ฟังก์ชัน runoff เป็นฟังก์ชั่นลอการิทึมตาม E.

ดังนั้น.

สรุปแล้ว:

ตอนนี้โครงสร้างโครงสร้างมีความชัดเจนและกลายเป็นสูตรที่มองเห็นได้ซึ่งและลำดับที่จะนำไปใช้ในระหว่างการสร้างความแตกต่าง

ในส่วนความแตกต่างของฟังก์ชั่น (ค้นหาอนุพันธ์) คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับการแก้ปัญหาของงานดังกล่าว

หลังจากการเตรียมการศิลปะเบื้องต้นตัวอย่างจะแย่น้อยกว่ามีฟังก์ชั่น 3-4-5 รายการ บางทีตัวอย่างสองครั้งถัดไปจะดูซับซ้อน แต่ถ้าพวกเขาเข้าใจพวกเขา (บางคนและปอกเปลือก) จากนั้นเกือบทุกอย่างในแคลคูลัสที่แตกต่างกันจะดูเหมือนเรื่องตลกของเด็ก ๆ

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ตามที่ระบุไว้เมื่อค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์ก่อนอื่นมีความจำเป็น ขวาเข้าใจการลงทุน ในกรณีที่มีข้อสงสัยฉันเตือนการรับสัญญาณที่เป็นประโยชน์: เราใช้ความหมายเชิงทดลองของ "X" เช่นและลอง (จิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อทดแทนค่านี้ใน "การแสดงออกที่น่ากลัว"

1) ก่อนอื่นเราต้องคำนวณการแสดงออกก็หมายความว่าจำนวนเงินคือการลงทุนที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นจำเป็นต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นโคไซน์เพื่อสร้างเป็นลูกบาศก์:

5) ในขั้นตอนที่ห้าความแตกต่าง:

6) และในที่สุดฟังก์ชั่นภายนอกมากที่สุดคือรากสี่เหลี่ยม:

ฟังก์ชั่นที่แตกต่างสูตรที่ซับซ้อน มันจะถูกนำไปใช้ในการสั่งซื้อแบบย้อนกลับจากฟังก์ชั่นภายนอกตัวเองไปยังสุดยอด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนว่าไม่มีข้อผิดพลาด:

1) รับอนุพันธ์ของรากสแควร์

2) รับอนุพันธ์ของความแตกต่างโดยใช้กฎ

3) อนุพันธ์ Troika เป็นศูนย์ ในระยะที่สองเราใช้อนุพันธ์ในระดับ (คิวบา)

4) เราใช้อนุพันธ์โคไซน์

6) และในที่สุดก็ใช้อนุพันธ์ของการลงทุนที่ลึกที่สุด

มันอาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ยกตัวอย่างเช่นคอลเลกชัน Kuznetsov และคุณจะประทับใจกับความงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ถอดชิ้นส่วน ฉันสังเกตเห็นว่าฉันชอบที่จะให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบเข้าใจนักเรียนวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนหรือไม่เข้าใจ

ตัวอย่างต่อไปนี้สำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

เคล็ดลับ: ใช้กฎเชิงเส้นตรงครั้งแรกและการทำงานของงาน

โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ถึงเวลาที่จะย้ายไปที่มีขนาดกะทัดรัดและสวยขึ้น
สถานการณ์ไม่ได้หายากเมื่อตัวอย่างได้รับผลิตภัณฑ์ของไม่ใช่สอง แต่สามฟังก์ชั่น วิธีการหาอนุพันธ์จากการทำงานของสามตัวคูณ?

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ครั้งแรกดูและไม่ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนงานของสามฟังก์ชั่นในการทำงานของสองฟังก์ชั่นหรือไม่? ตัวอย่างเช่นหากเรามีสองพหุนามสองงานในการทำงานก็จะเป็นไปได้ที่จะเปิดเผยวงเล็บ แต่ในตัวอย่างนี้ฟังก์ชั่นทั้งหมดจะแตกต่างกัน: ระดับผู้แสดงสินค้าและลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้มีความจำเป็น ลำดับใช้การผลิตความแตกต่างของกฎ สองครั้ง

โฟกัสคือสำหรับ "Y" เราแสดงถึงผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชั่น: และสำหรับ "VE" - ลอการิทึม: ทำไมต้องทำ และไม่ - นี่ไม่ใช่การทำงานของตัวคูณสองตัวและกฎไม่ทำงาน! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้มันยังคงเป็นครั้งที่สองเพื่อใช้กฎ ถึงวงเล็บ:

คุณยังสามารถเล่นและนำบางสิ่งบางอย่างที่อยู่เบื้องหลังวงเล็บ แต่ในกรณีนี้คำตอบนั้นดีกว่าที่จะออกในแบบฟอร์มนี้ - มันจะง่ายกว่าที่จะตรวจสอบ

ตัวอย่างการพิจารณาสามารถแก้ไขได้ในวิธีที่สอง:

โซลูชั่นทั้งสองเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระในตัวอย่างที่ได้รับการแก้ไขในวิธีแรก

พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ที่นี่คุณสามารถไปสักสองสามวิธี:

หรือไม่ก็:

แต่วิธีการแก้ปัญหาจะถูกเขียนขนาดกะทัดรัดมากขึ้นหากก่อนที่จะใช้กฎความแตกต่างส่วนตัว ยอมรับสำหรับตัวเลขทั้งหมด:

ในหลักการตัวอย่างได้รับการแก้ไขและถ้าคุณทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้จะไม่เป็นข้อผิดพลาด แต่ในการปรากฏตัวของเวลาแนะนำให้ตรวจสอบร่างและเป็นไปได้ที่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้น?

เรานำเสนอการแสดงออกของตัวเลขไปยังตัวหารทั่วไปและกำจัดสามชั้น:

ลบของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะอนุญาตให้เกิดข้อผิดพลาดอีกต่อไปเมื่ออนุพันธ์กำลังก่อตั้งขึ้น แต่เมื่อการเปลี่ยนแปลงของโรงเรียน Banal ในทางกลับกันครูมักจะจำภารกิจและขอให้ "นำมาสู่จิตใจ" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายขึ้นสำหรับโซลูชันตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

เรายังคงเรียนรู้การรับอนุพันธ์ของอนุพันธ์และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึม "ที่น่ากลัว" สำหรับความแตกต่าง

จำได้ง่ายมาก

มากันเถอะอย่าไปไกลเราจะพิจารณาฟังก์ชั่นย้อนกลับทันที ฟังก์ชั่นใดที่เป็นฟังก์ชั่นสำหรับฟังก์ชั่นบ่งชี้? ลอการิทึม:

ในกรณีของเราพื้นฐานคือจำนวน:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และสำหรับมันเราใช้การกำหนดพิเศษ: แทนที่จะเขียน

เท่าไหร่เท่าไหร่? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมากเช่นกัน:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ
2. ฟังก์ชั่นที่ได้รับเท่ากันคืออะไร?

คำตอบ: ผู้เข้าร่วมงานและลอการิทึมธรรมชาติ - ฟังก์ชั่นนั้นง่ายไม่ซ้ำกันจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นการแลกเปลี่ยนและลอการิทึมที่มีฐานอื่น ๆ จะมีอนุพันธ์อื่นซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังกับคุณหลังจากผ่านกฎความแตกต่าง

กฎความแตกต่าง

กฎอะไร อีกครั้งเทอมใหม่อีกครั้งหรือไม่! ...

ความแตกต่าง - นี่คือกระบวนการในการค้นหาอนุพันธ์

เท่านั้นและทุกอย่าง และวิธีการที่จะตั้งชื่อกระบวนการนี้ในคำเดียว? ไม่ใช่การผลิตของ ... ความแตกต่างของคณิตศาสตร์เรียกว่าการเพิ่มฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นมากที่สุด คำนี้เกิดขึ้นจากละตินแตกต่างกัน - ความแตกต่าง ที่นี่

เมื่อแสดงกฎเหล่านี้ทั้งหมดเราจะใช้สองฟังก์ชั่นตัวอย่างเช่นและ เราจะต้องใช้สูตรสำหรับการเพิ่มขึ้นของพวกเขา:

รวมมี 5 กฎ

ค่าคงที่ทำจากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่บางอย่าง (คงที่) แล้ว

เห็นได้ชัดว่ากฎนี้ทำงานเพื่อความแตกต่าง:.

เราพิสูจน์ ปล่อยให้หรือง่ายขึ้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ:

1. ณ จุด;
2. ณ จุด;
3. ณ จุด;
4. ที่จุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์นั้นเหมือนกันในทุกจุดเนื่องจากนี่คือฟังก์ชั่นเชิงเส้นจำได้หรือไม่);

ผลงานที่ได้รับ

ที่นี่ทุกอย่างคล้ายกัน: เราแนะนำฟังก์ชั่นใหม่และค้นหาการเพิ่มขึ้นของมัน:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นและ;
2. ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์ที่จุด

โซลูชั่น:

ฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้อนุพันธ์

ตอนนี้ความรู้ของคุณเพียงพอที่จะเรียนรู้วิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่บ่งบอกใด ๆ และไม่ใช่แค่ผู้แสดงสินค้า (ไม่ลืมว่ามันคืออะไร)

ดังนั้นจำนวนที่อยู่ที่ไหน

เรารู้ว่าฟังก์ชั่นอนุพันธ์แล้วดังนั้นลองนำฟังก์ชั่นของเราไปสู่ฐานใหม่:

ในการทำเช่นนี้เราใช้กฎง่าย ๆ :. จากนั้น:

มันเปิดออก ตอนนี้พยายามหาอนุพันธ์และอย่าลืมว่าคุณสมบัตินี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรกลายเป็นคล้ายกันมากกับการจัดแสดงตราอนุพันธ์: ตามที่เป็นอยู่มันยังคงมีเพียงตัวคูณที่ปรากฏซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถนับได้หากไม่มีเครื่องคิดเลขนั่นคืออย่าบันทึกในรูปแบบที่ง่ายกว่า ดังนั้นในการตอบสนองในรูปแบบนี้และออกไป

โปรดทราบว่ามีสองฟังก์ชั่นส่วนตัวที่นี่ดังนั้นจึงใช้กฎความแตกต่างที่เหมาะสม:

ในตัวอย่างนี้ผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชั่น:

ฟังก์ชั่นลอการิทึมลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน: คุณรู้ว่าอนุพันธ์จากลอการิทึมตามธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้นเพื่อหาแบบแยกทางจากลอการิทึมด้วยเหตุผลอื่นเช่น:

คุณต้องนำลอการิทึมนี้ไปยังฐาน และวิธีการเปลี่ยนพื้นฐานของลอการิทึม? ฉันหวังว่าคุณจำสูตรนี้:

ตอนนี้ แต่เราจะเขียน:

ในตัวหารมันกลับกลายเป็นค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์นั้นง่ายมาก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่บ่งชี้และลอการิทึมแทบจะไม่พบในการสอบ แต่มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะรู้จักพวกเขา

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

"ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่มันไม่ใช่ลอการิทึมและไม่ใช่ Arcthangence ฟังก์ชั่นเหล่านี้สามารถซับซ้อนสำหรับความเข้าใจ (แม้ว่าหากลอการิทึมดูเหมือนว่าคุณยากอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" และทุกอย่างจะผ่านไป) แต่จากมุมมองของคณิตศาสตร์คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งอยู่และมีการกระทำบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่นชิ้นแรกที่ห่อช็อคโกแลตในเสื้อคลุมและที่สองหมายถึงมันด้วยริบบิ้น ปรากฎว่าวัตถุสำคัญดังกล่าว: ช็อคโกแลตห่อและเรียงรายไปด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อคโกแลตคุณต้องทำแบบย้อนกลับในลำดับย้อนกลับ

มาสร้างสายพานลำเลียงทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกัน: ก่อนอื่นเราจะพบโคไซน์ของจำนวนแล้วหมายเลขผลลัพธ์ที่จะสร้างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นเราให้หมายเลข (ช็อคโกแลต) ฉันพบโคไซน์ของเขา (ห่อ) แล้วคุณจะถูกสร้างขึ้นโดยสิ่งที่ฉันทำในตาราง (ผูกกับริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น? ฟังก์ชั่น. นี่เป็นตัวอย่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน: เมื่อใดที่จะค้นหาความหมายของมันเราทำการกระทำแรกโดยตรงกับตัวแปรและจากนั้นการกระทำอื่นกับสิ่งที่เกิดขึ้นจากสิ่งแรก

ในคำอื่น ๆ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเป็นฟังก์ชั่นอาร์กิวเมนต์ที่เป็นคุณสมบัติอื่น: .

สำหรับตัวอย่างของเรา

เราสามารถดำเนินการเดียวกันอย่างสมบูรณ์และในลำดับย้อนกลับ: ก่อนอื่นคุณจะถูกสร้างขึ้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วฉันกำลังมองหาโคไซน์ของจำนวนผลลัพธ์:. มันง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างกันเกือบตลอดเวลา คุณสมบัติที่สำคัญของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน: เมื่อการเปลี่ยนแปลงขั้นตอนการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชั่น

ตัวอย่างที่สอง: (เหมือนกัน) .

การกระทำที่เราทำหลังจะโทร ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำที่ดำเนินการครั้งแรกตามลำดับ ฟังก์ชั่น "ภายใน" (เหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการฉันใช้เพียงเพื่ออธิบายเนื้อหาในภาษาง่าย ๆ เท่านั้น)

พยายามระบุตัวเองว่าฟังก์ชั่นใดที่อยู่ภายนอกและภายใน:

คำตอบ:การแยกของฟังก์ชั่นภายในและภายนอกคล้ายกับการเปลี่ยนตัวแปร: ตัวอย่างเช่นในการทำงาน

1. ก่อนอื่นเราจะทำการกระทำอะไร ก่อนอื่นให้พิจารณาไซนัส แต่ก็สร้างขึ้นในลูกบาศก์เท่านั้น ดังนั้นฟังก์ชั่นภายในและภายนอก
   และฟังก์ชั่นเริ่มต้นคือองค์ประกอบของพวกเขา:.
2. ภายใน:; ภายนอก:.
   ตรวจสอบ:.
3. ภายใน:; ภายนอก:.
   ตรวจสอบ:.
4. ภายใน:; ภายนอก:.
   ตรวจสอบ:.
5. ภายใน:; ภายนอก:.
   ตรวจสอบ:.

เราผลิตตัวแปรทดแทนและรับฟังก์ชั่น

ตอนนี้เราจะสกัดช็อคโกแลตช็อคโกแลตของเรา - ค้นหาอนุพันธ์ ขั้นตอนการย้อนกลับเสมอ: ครั้งแรกที่เรากำลังมองหาอนุพันธ์ฟังก์ชั่นภายนอกจากนั้นทวีคูณผลลัพธ์ของการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายใน เกี่ยวกับตัวอย่างต้นฉบับดูเหมือนว่านี้:

ตัวอย่างอื่น:

ดังนั้นในที่สุดเราก็กำหนดกฎอย่างเป็นทางการ:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

ดูเหมือนว่าทุกอย่างนั้นง่ายใช่มั้ย

ตรวจสอบตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน:;

ภายนอก:;

2) ภายใน:;

(ไม่คิดว่าตอนนี้จะตัด! จากใต้โคไซน์ไม่มีอะไรทำจำได้หรือไม่)

3) ภายใน:;

ภายนอก:;

มันชัดเจนทันทีว่าที่นี่ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนสามระดับ: หลังจากทั้งหมดมันเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอยู่แล้วและยังคงถอดรากออกจากมันนั่นคือเราดำเนินการที่สาม (ช็อคโกแลตใน wrapper และด้วย ริบบิ้นใส่ในพอร์ตโฟลิโอ) แต่ไม่มีเหตุผลที่จะต้องกลัว: "แกะ" เหมือนกันทั้งหมดนี้ฟังก์ชั่นนี้จะอยู่ในลำดับเดียวกันตามปกติ: จากจุดสิ้นสุด

นั่นคือก่อนใช้รูทแล้วโคไซน์และจากนั้นแสดงออกในวงเล็บ แล้วตัวแปรทั้งหมดนี้ทั้งหมด

ในกรณีเช่นนี้มันสะดวกในการดำเนินการหมายเลข นั่นคือจินตนาการว่าเราเป็นที่รู้จัก เราจะดำเนินการอะไรในการคำนวณค่าของนิพจน์นี้ เราจะตรวจสอบตัวอย่าง:

ในภายหลังการดำเนินการจะเกิดขึ้นยิ่ง "ภายนอก" ยิ่งเป็นฟังก์ชั่นที่สอดคล้องกัน ลำดับของการกระทำ - เหมือนก่อน:

นี่คือการทำรังโดยทั่วไป 4 ระดับ ลองกำหนดขั้นตอนกัน

1. การแสดงออกที่ถูกบังคับ .

2. ราก .

3. ไซนัส .

4. สแควร์ .

5. เรารวบรวมทุกอย่างในพวง:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ฟังก์ชั่นที่ได้รับมา - อัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชั่นต่อการเพิ่มขึ้นของการโต้แย้งด้วยการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของการโต้แย้ง:

อนุพันธ์ขั้นพื้นฐาน:

กฎความแตกต่าง:

ค่าคงที่ทำเพื่อสัญลักษณ์ของอนุพันธ์:

จำนวนเงินที่ได้รับ:

งานผลิต:

อนุพันธ์ส่วนตัว:

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชั่น "ภายใน" เราพบว่าอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชั่น "ภายนอก" เราพบว่าอนุพันธ์ของมัน
3. ทวีคูณผลลัพธ์ของรายการแรกและรายการที่สอง

ในบทเรียนนี้เราจะเรียนรู้ที่จะหา ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์. บทเรียนเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของชั้นเรียน วิธีการหาอนุพันธ์?ที่เราถอดแยกชิ้นส่วนอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของความแตกต่างและเทคนิคทางเทคนิคบางอย่างในการค้นหาอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณไม่ชัดเจนมากกับอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นคุณจะไม่ชัดเจนอย่างสมบูรณ์จากนั้นอ่านบทเรียนข้างต้นเป็นครั้งแรก โปรดตั้งค่าถึงวิธีที่จริงจัง - วัสดุไม่ง่าย แต่ฉันยังพยายามที่จะตั้งค่าให้ง่ายและสามารถเข้าถึงได้

ในทางปฏิบัติอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนต้องเผชิญกับบ่อยครั้งฉันจะพูดว่าเกือบทุกครั้งที่คุณทำงานเพื่อหาอนุพันธ์

เราดูที่ตารางสำหรับกฎ (หมายเลข 5) ของความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

พวกเราเข้าใจ. ก่อนอื่นให้ใส่ใจกับบันทึก ที่นี่เรามีสองฟังก์ชั่น - และยิ่งกว่านั้นฟังก์ชั่นการพูดเป็นรูปเป็นร่างลงทุนในฟังก์ชั่น ฟังก์ชั่นของประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชั่นเดียวถูกฝังอยู่ในที่อื่น) และเรียกว่าฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชั่น ฟังก์ชั่นภายนอกและฟังก์ชั่น - ฟังก์ชั่นภายใน (หรือซ้อน).

! คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ได้เป็นทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบลูกสูบของงาน ฉันใช้นิพจน์อย่างไม่เป็นทางการ "ฟังก์ชั่นภายนอก" ฟังก์ชั่น "ภายใน" เท่านั้นเพื่อให้ง่ายขึ้นสำหรับคุณที่จะเข้าใจเนื้อหา

เพื่อชี้แจงสถานการณ์ให้พิจารณา:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ภายใต้ไซนัสเราไม่ได้เป็นเพียงตัวอักษร "x" แต่การแสดงออกจำนวนเต็มดังนั้นจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทันทีบนโต๊ะ นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าที่นี่เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรกดูเหมือนว่ามีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือไซนัสไม่ได้ "แยกออกเป็นชิ้นส่วน":

ในตัวอย่างนี้จากคำอธิบายของฉันมันใช้งานง่ายที่ฟังก์ชั่นเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและพหุนามเป็นฟังก์ชั่นภายใน (สิ่งที่แนบมา) และเป็นฟังก์ชั่นภายนอก

ขั้นแรกเพื่อดำเนินการเมื่อค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์คือ คิดออกฟังก์ชั่นอะไรคือภายในและภายนอกอะไร.

ในกรณีของตัวอย่างง่าย ๆ ดูเหมือนว่าดูเหมือนว่าพหุนามจะถูกลงทุนภายใต้ไซน์ แต่ถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจน? วิธีการตรวจสอบฟังก์ชั่นใดที่เป็นภายนอกและภายในคืออะไร? ในการทำเช่นนี้ฉันเสนอให้ใช้แผนกต้อนรับต่อไปซึ่งสามารถดำเนินการทางจิตใจหรือในร่าง

ลองนึกภาพว่าเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของค่านิพจน์บนเครื่องคิดเลข (แทนที่จะเป็นหน่วยอาจมีหมายเลขใด ๆ )

เราคำนวณอะไรก่อน ก่อนอื่น คุณจะต้องดำเนินการต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามและจะเป็นฟังก์ชั่นภายใน:

ประการที่สอง มันจะจำเป็นต้องค้นหาดังนั้นไซนัส - มันจะเป็นฟังก์ชั่นภายนอก:

หลังจากที่เรา ได้คิดออก ด้วยฟังก์ชั่นภายในและภายนอกก็ถึงเวลาที่จะใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

เราเริ่มที่จะแก้ปัญหา จากบทเรียน วิธีการหาอนุพันธ์? เราจำได้ว่าการตกแต่งของสารละลายของอนุพันธ์ใด ๆ เริ่มต้นขึ้นเสมอ - เราสรุปการแสดงออกในวงเล็บและวางที่ด้านบนของบาร์โค้ด:

ครั้งแรก เราพบว่า Derivative ฟังก์ชั่นภายนอก (ไซนัส) เราดูที่ตารางของฟังก์ชั่นประถมศึกษาอนุพันธ์และสังเกตว่า สูตรตารางทั้งหมดสามารถใช้งานได้และในกรณีที่ "x" ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อน, ในกรณีนี้:

โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่ได้สัมผัสเธอ.

มันค่อนข้างชัดเจนว่า

ผลของการประยุกต์ใช้สูตรในการออกแบบลูกสูบมีลักษณะดังนี้:

ตัวคูณถาวรมักจะทนนิพจน์:

หากมีความเข้าใจผิดใด ๆ ที่ยังคงอยู่ให้เขียนการตัดสินใจบนกระดาษอีกครั้งและอ่านคำอธิบายอีกครั้ง

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

เช่นเคยเขียน:

เราเข้าใจว่าเรามีฟังก์ชั่นภายนอกที่ใดและอยู่ในนั้นอยู่ที่ไหน ในการทำเช่นนี้ลอง (จิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ สิ่งที่ต้องดำเนินการก่อน? ก่อนอื่นมีความจำเป็นต้องนับสิ่งที่เท่ากับฐาน:, หมายความว่าพหุนามคือฟังก์ชั่นภายใน:

และการออกกำลังกายเท่านั้นที่จะดำเนินการในระดับดังนั้นฟังก์ชั่นพลังงานเป็นฟังก์ชั่นภายนอก:

ตามสูตรคุณต้องค้นหาอนุพันธ์จากฟังก์ชั่นภายนอกเป็นครั้งแรกในกรณีนี้ในขอบเขต เราต้องการสูตรที่จำเป็นในตาราง:. เราทำซ้ำอีกครั้ง: สูตรแบบตารางใด ๆ ที่ใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับ "x" เท่านั้น แต่ยังเพื่อการแสดงออกที่ซับซ้อน. ดังนั้นผลลัพธ์ของการใช้ความแตกต่างของการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมีดังนี้:

ฉันเน้นอีกครั้งว่าเมื่อเราทำอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายนอกฟังก์ชั่นภายในจะไม่เปลี่ยนแปลงกับเรา:

ตอนนี้มันยังคงหาอนุพันธ์ง่าย ๆ จากฟังก์ชั่นภายในและ "หวี" เล็กน้อยผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เพื่อรักษาความเข้าใจในการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของอนุพันธ์ฉันจะให้ตัวอย่างโดยไม่แสดงความคิดเห็นลองคิดออกด้วยตัวเองทาสีที่ภายนอกและฟังก์ชั่นภายในอยู่ที่ไหนทำไมงานได้แก้ไขด้วยวิธีนี้?

ตัวอย่างที่ 5

a) ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

b) ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ที่นี่เรามีรากและเพื่อที่จะชดเชยรากมันจะต้องแสดงในรูปแบบของปริญญา ดังนั้นก่อนอื่นให้ฟังก์ชั่นกับรูปแบบที่เหมาะสม:

การวิเคราะห์ฟังก์ชั่นเราสรุปได้ว่าผลรวมของสามคำเป็นฟังก์ชั่นภายในและฟังก์ชั่นภายนอกเป็นฟังก์ชั่นภายนอก ใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

ปริญญาอีกครั้งแสดงในรูปแบบของอนุมูลซ้ำ (รูท) และสำหรับการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายในใช้กฎที่ง่ายต่อการสร้างความแตกต่าง:

พร้อมแล้ว นอกจากนี้คุณยังสามารถใส่นิพจน์ไปยังตัวหารทั่วไปและจดบันทึกด้วยเศษส่วนหนึ่งในวงเล็บ แน่นอนแน่นอน แต่เมื่อได้รับอนุพันธ์ยาวขนาดใหญ่ - มันจะดีกว่าที่จะไม่ทำเช่นนี้ (มันง่ายที่จะสับสนเพื่อให้เกิดข้อผิดพลาดที่ไม่จำเป็นและครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าบางครั้งแทนที่จะเป็นขั้นตอนสำหรับความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคุณสามารถใช้กฎความแตกต่างสัดส่วน แต่วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวจะมีลักษณะเป็นความสนุกที่วิปริต นี่คือตัวอย่างลักษณะ:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ที่นี่คุณสามารถใช้กฎความแตกต่างสัดส่วน แต่มันเป็นผลกำไรมากกว่าที่จะหาอนุพันธ์ผ่านกฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

เราเตรียมฟังก์ชั่นสำหรับความแตกต่าง - เราใช้เวลาลบต่อสัญญาณของอนุพันธ์และโคไซน์ขึ้นไปในตัวเศษ:

โคไซน์เป็นฟังก์ชั่นภายในฟังก์ชั่นภายนอกเป็นฟังก์ชั่นภายนอก
เราใช้กฎของเรา:

เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายในโคไซน์จะถูกทิ้งลง:

พร้อมแล้ว ในตัวอย่างการตรวจสอบเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนในสัญญาณ โดยวิธีการพยายามแก้ปัญหาโดยใช้กฎ คำตอบต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณากรณีเมื่อการลงทุนเพียงครั้งเดียวอยู่ในฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของเรา ในงานภาคปฏิบัติมักเป็นไปได้ที่จะตอบสนองอนุพันธ์ซึ่งเป็น Matryoshki ซึ่งเป็นหนึ่งไปยังอีกที่จะฝังอยู่ในครั้งเดียว 3 หรือแม้กระทั่ง 4-5 ฟังก์ชั่น

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

เราเข้าใจในการลงทุนของฟังก์ชั่นนี้ เราพยายามที่จะคำนวณนิพจน์โดยใช้ค่าการทดลอง เราจะเชื่อในเครื่องคิดเลขอย่างไร

ก่อนอื่นคุณต้องค้นหามันหมายถึงอาร์กซินัสเป็นการลงทุนที่ลึกที่สุด:

จากนั้นหน่วย arxinus นี้ควรสร้างขึ้นในสแควร์:

และในที่สุดเจ็ดถูกสร้างขึ้นในระดับหนึ่ง:

นั่นคือในตัวอย่างนี้เรามีฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันสามฟังก์ชั่นและสิ่งที่แนบมาสองตัวในขณะที่ฟังก์ชั่นภายในคือ Arxinus และฟังก์ชั่นภายนอกนั้นเป็นฟังก์ชั่นบ่งบอก

เราเริ่มตัดสินใจ

ตามกฎคุณต้องใช้อนุพันธ์จากฟังก์ชั่นภายนอกเป็นครั้งแรก เราดูที่อนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่บ่งบอกถึงความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "X" เรามีนิพจน์ที่ยากที่ไม่ได้ยกเลิกความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้นผลของการใช้ความแตกต่างของการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมีดังนี้:

ภายใต้จังหวะเรามีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอีกครั้ง! แต่มันง่ายกว่า เป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้แน่ใจว่าฟังก์ชั่นภายในคือ Arxinus ฟังก์ชั่นภายนอกคือระดับ ตามความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคุณต้องใช้อนุพันธ์