Mga pamamaraan para sa pag-convert ng isang kumplikadong pagguhit. Ang paraan ng pagpapalit ng projection planes Ang paraan ng pagpapalit ng projection planes ay upang matukoy ang aktwal na sukat.
Gawain 1. I-convert ang diagram na ipinapakita sa Fig. 9.9 upang ang pangkalahatang linya ng posisyon ay lumabas na parallel sa isa sa mga projection plane ng bagong system.
Upang malutas ang problema, kinakailangan upang iposisyon ang isang bagong projection plane parallel sa isang ibinigay na segment ( P 4 ║AB ). Pagkatapos ay i-project ang segment sa projection plane na ito nang walang pagbabago.
Ang solusyon sa problemang ito ay ipinapakita sa Fig. 9.9, b. Parallel A 1 B 1 iginuhit ng axis X 1, at isang bagong frontal projection ng segment ay itinayo sa sistema ng projection planes A 4 B 4. Ito ay malinaw na / A 4 B 4/=/AB/ at anggulo φ , nabuo sa pamamagitan ng projection A 4 B 4 may ehe X 1 katumbas ng slope ng tuwid na linya AB papunta sa eroplano P 1.
Gawain 2. I-convert ang diagram na ipinapakita sa Fig. 9.10 upang ang segment AB ang isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon ay naging patayo sa isa sa mga projection plane.
Upang malutas ang problema, kailangan mong gumawa ng dalawang sunud-sunod na kapalit ng mga projection plane:
1) pinapalitan namin ang system ng isang system, paglalagay ng eroplano P 4 parallel AB;
2) mula sa system na lilipat tayo sa , paglalagay ng eroplano P 5 patayo sa isang tuwid na linya AB. Ang mga natapos na konstruksyon ay ipinapakita sa Fig. 9.10.
Gawain 3. I-convert ang pangkalahatang eroplano sa isang projection plane.
Upang malutas ang problemang ito, kinakailangan na magpakilala ng isang bagong projection plane upang ito ay patayo sa ibinigay na eroplano Γ(ABC) at isa sa mga projection plane, i.e. patayo sa linya ng kanilang intersection. Linya ng intersection ng eroplano Γ kasama ang projection plane ay ang kaukulang bakas ng eroplano Γ. Samakatuwid, ang bagong projection plane ay dapat na patayo sa isa sa mga bakas ng isang naibigay na eroplano o isa sa mga linya ng antas nito, na parallel sa kaukulang bakas.
Ipinapakita ng Figure 9.11 ang pagbabago ng eroplano Γ(ABC) sa projector. Upang gawin ito sa eroplano Γ pahalang na linyang iginuhit h(h 2 h 1) at patayo dito, at, dahil dito, sa buong eroplano Γ isang bagong eroplano ang ipinakilala P 4, para saan ang axis? X 1 bagong sistema ng projection planes iginuhit patayo sa pahalang na projection ng pahalang X 1┴ h 1, at alinsunod sa kilalang tuntunin, isang bagong projection ang itinayo A 4 B 4 C 4 tatsulok ABC, na kumakatawan sa isang segment ng tuwid na linya. Pagkatapos ng mga konstruksyon, ang eroplano Γ(ABC) P 4 at may eroplano P 1 gumagawa ng anggulo a.
Gawain 4. I-convert ang generic na eroplano Γ(ABC) papunta sa level plane.
Ang pagbabago ng pangkalahatang posisyon ng eroplano sa isang antas ng eroplano ay isinasagawa nang sunud-sunod sa pamamagitan ng dalawang pagpapalit ng mga projection plane - una, ang pangkalahatang posisyon ng eroplano ay binago sa isang projecting plane, pagkatapos ay ang resultang projecting plane ay transformed sa isang antas ng eroplano.
Sa Fig. 9.12 para sa pagbabago ng eroplano Γ isang bagong projection plane ang ipinakilala sa projecting plane P 4, patayo sa eroplano Γ . Ang axis ng bagong sistema ng mga eroplano ay iginuhit patayo sa pahalang na projection ng pahalang. Nagreresultang projection A 4 B 4 C 4 ay isang degenerate projection ng eroplano Γ, kasi eroplano Γ ay projective na may kinalaman sa eroplano P 4.
Upang baguhin ang projection plane sa isang level plane, isang bagong projection plane ang ipinakilala P 5, parallel sa eroplano Γ . Axis X 2 bagong sistema ng projection planes ay parallel sa degenerate projection A 4 B 4 C 4 eroplano Γ . Kapag gumagawa ng bagong projection A 5 B 5 C 5 mga distansya mula sa pinalitan na mga projection ay ginamit A 1 B 1 C 1 sa axis X 1. Dahil sa bagong sistema ng projection planes ang eroplano Γ(ABC) ay parallel sa eroplano P 5, pagkatapos ay papunta sa projection plane na ito ay inaasahang nasa natural na laki.
Ang apat na pangunahing problema na isinasaalang-alang ay sumasailalim sa solusyon ng maraming iba pang mga problema sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection plane. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng ilang problema.
Halimbawa 1. I-convert ang Eroplano Γ pangkalahatang posisyon, na ibinigay ng mga bakas, sa projecting isa (Larawan 9.13).
Eroplano Γ i-convert ito sa front-projection. Ito ay kilala na ang pahalang na bakas ng frontally projecting plane ay patayo sa axis X, kaya ang bagong axis X 1 gumuhit patayo sa Γ P1. Sa pamamagitan ng punto kung saan Γ П1 ∩ Х 1 = Γ X1 dadaan ang frontal trail Γ P4. Upang matukoy ang direksyon nito, sapat na upang makahanap ng isang punto. Ang isang arbitrary na punto ay maaaring kunin bilang isang punto 1∈Γ at ipahiwatig ang frontal projection nito 1 4 sa isang bagong eroplano P 4. Sa pamamagitan ng Γ X1 At 1 4 isagawa Γ P4 .
Halimbawa 2. Tukuyin ang distansya mula sa isang punto T sa eroplano Σ pangkalahatang posisyon na ibinigay ni D ABC(Larawan 9.14)
Eroplano Σ(ABC) ibahin ito sa isang projecting, kung saan gumagawa kami ng pahalang na linya sa eroplano h(h 2 h 1). Gumuhit tayo ng isang axis na patayo sa pahalang na projection ng pahalang X 1 bagong sistema ng projection planes. Pagbuo ng mga bagong projection ng mga puntos A 4 B 4 C 4, paglalagay ng mga distansya mula sa axis X 1, katumbas ng mga distansya mula sa mga pinalitang projection A 2 B 2 C 2 sa axis X.
Eroplano Σ(ABC) lumabas na patayo sa projection plane P 4 at na-project sa eroplanong ito sa isang tuwid na linya. Sa eroplano P 4 ilipat ang punto T(T 4) at ibaba ang patayo sa eroplano D ( ABC). T 4 K 4 ┴ (A 4 B 4 C 4), saan SA– ang base ng patayo. Distansya mula sa punto T sa eroplano D ABC sa eroplano P 4 ay inaasahang walang pagbaluktot. |T 4 K 4 |= |TK|. Ibinabalik namin ang projection ng patayo sa eroplano, mula sa punto T 1 iginuhit namin ang projection ng patayo T 1 K 1 parallel sa X 1 axis at patayo sa h 1. Ang mga karagdagang nakumpletong konstruksyon ay ipinapakita sa Fig. 9.14.
Mga pamamaraan para sa pagbabago ng mga projection at ang kanilang
aplikasyon sa paglutas ng problema
Magpakilala tayo ng bagong projection plane P 4 parallel sa segment AB(Larawan 32) at patayo P 1. Sa kasong ito, ang bagong x 14 axis ay magiging parallel A 1 SA 1 (kung hindi man ay direkta AB at eroplano P 4 ay magsalubong). Anggulo ng segment AB papunta sa eroplano P 4 ay zero, at AB sa P 4 ay inaasahang sa buong laki, i.e. A 4 V 4 = AB. Nasusukat ang segment A 4 SA 4, nakukuha namin ang haba ng segment AB.
Inilalantad ang natural na sukat ng isang flat figure
paraan ng pagpapalit ng projection planes
Hayaan ang ∆ ABC– eroplano ng pangkalahatang posisyon (Larawan 33). Sa eroplano ng tatsulok gumuhit kami ng isang pahalang na linya h, i-project ang pahalang h to the point h 4 bawat eroplano P 4 (x 14 ⊥ h 1 , P 4 ⊥ h), bumuo ng mga bagong projection ng mga puntos A 4 , SA 4 , SA 4. Eroplano ∆ ABC ay inaasahang papunta sa isang linya na dumadaan sa mga punto A 4 , SA 4 , SA 4. Ang eroplano ng tatsulok sa system ( P 1 P 4) ay isang projecting plane, ito ay patayo P 4. Tatsulok ABC naka-project sa P 4 bawat segment SA 4 SA 4 .
Upang mahanap ang natural na halaga ∆ ABC ipakilala natin ang projection plane P 5 parallel sa eroplano ng tatsulok at patayo P 4. Bagong axis x 45 ay parallel sa segment D 4 C 4 (kung hindi man ∆ ABC At P 5 ay magsalubong). Tatsulok ABC naka-project sa isang eroplano P 5 laki ng buhay Δ A 5 SA 5 SA 5 = Δ ABC.
Ang natural na sukat ng anumang flat figure ay matatagpuan nang katulad.
Praktikal na gawain Blg. 3. Gumuhit ng drowing ng dalawang magkasalubong na eroplano (A4 format).
Paksa 4
MGA ILAW
Pinag-aaralan ng descriptive geometry ang kinematic na paraan ng pagbuo at kahulugan ng mga ibabaw. Sa kasong ito, ang ibabaw ay itinuturing bilang isang hanay ng mga sunud-sunod na posisyon ng isang gumagalaw na linya o iba pang ibabaw sa kalawakan. Ang isang linya na gumagalaw sa kalawakan at bumubuo ng isang ibabaw ay tinatawag generatrix. Ang mga generator ay maaaring tuwid o hubog. Ang pagbuo ng mga kurba ay maaaring pare-pareho at pabagu-bago, halimbawa, natural na nagbabago.
Ang batas ng paggalaw ng generatrix ay karaniwang tinutukoy ng iba pang mga linya na tinatawag mga gabay, kung saan dumudulas ang generatrix sa panahon ng paggalaw nito, pati na rin ang likas na katangian ng paggalaw ng generatrix. Sa ilang mga kaso, ang isa sa mga gabay ay maaaring maging isang punto, halimbawa, isang vertex malapit sa isang conical na ibabaw, o nasa infinity, halimbawa, malapit sa isang cylindrical na ibabaw.
Ang hanay ng mga geometric na elemento na tumutukoy sa ibabaw ay tinatawag determinant ibabaw, na isinasaalang-alang na ang batas ng paggalaw ng generatrix ay tinutukoy ng pangalan ng ibabaw.
Ang pagtukoy ng isang ibabaw sa pamamagitan ng mga projection ng determinant nito ay hindi palaging nagbibigay ng kalinawan, at ito, sa turn, ay nagpapahirap na basahin ang pagguhit, samakatuwid, upang makakuha ng isang visual na imahe ng ibabaw sa isang kumplikadong pagguhit, dapat mong ipahiwatig sanaysay ibabaw na ito. Ang surface projection outline ay ang projection ng kaukulang nakikitang contour line. Ang nakikitang contour line ng isang surface ay hinahati ito sa dalawang bahagi - nakikita, nakaharap sa nagmamasid, at hindi nakikita.
Pag-uuri ng ibabaw
Ang mga ibabaw ay inuri, bilang panuntunan, depende sa hugis ng generatrix at ang batas ng paggalaw nito sa espasyo (Larawan 35):
Ang ibabaw ay tinatawag pinasiyahan, kung ito ay mabubuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya. Ang isang ibabaw na hindi mabubuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya ay tinatawag hindi pinasiyahan. Halimbawa, ang kono ng pag-ikot ay pinasiyahan ibabaw, at ang globo ay hindi pinasiyahan. Sa pamamagitan ng anumang punto ng isang pinasiyahan na ibabaw ay posible na gumuhit ng hindi bababa sa isang tuwid na linya na ganap na kabilang sa ibabaw. Ang hanay ng mga naturang linya ay kumakatawan sa isang tuluy-tuloy frame pinasiyahan ibabaw. Ang mga pinamumunuan na ibabaw ay nahahati sa dalawang uri:
– paglalahad ibabaw;
– hindi ma-deploy, o pahilig ibabaw.
Mga hindi nabubuong ibabaw imposibleng pagsamahin ang eroplano nang walang pagbuo ng mga fold at luha.
Mga faceted na ibabaw
Ang isang ibabaw na nabuo ng mga bahagi ng magkapares na intersecting na mga eroplano ay tinatawag multifaceted. Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 36 ang ilang uri ng faceted surface.
a b c
kanin. 36 Faceted surfaces
Ang kanilang mga elemento ay mga gilid, tadyang At mga taluktok. Ang mga eroplano na bumubuo ng polyhedral na ibabaw ay tinatawag mga gilid, mga linya ng intersection ng mga katabing mukha - tadyang, mga punto ng intersection ng hindi bababa sa tatlong mukha - mga taluktok.
Ang faceted surface ay tinatawag pyramidal, kung ang lahat ng mga gilid nito ay magsalubong sa isang punto - ang vertex (Larawan 36 A). Ang faceted surface ay tinatawag prismatiko, kung ang lahat ng mga gilid nito ay parallel sa isa't isa (Fig. 36 b). Ang isang geometric na katawan na nakatali sa lahat ng panig ng mga flat polygon ay tinatawag polyhedron. Prismatoid tinatawag na polyhedron na ang itaas at ibabang base ay mga polygon na matatagpuan sa magkatulad na mga eroplano, at ang mga gilid na mukha ay mga tatsulok o trapezoid (Larawan 36). V).
Mga ibabaw ng katawan
Ang ibabaw ng katawan ay isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang rectilinear generatrix kasama ang isang hubog na gabay.
Cylindrical na ibabaw(Larawan 37 A) ay nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya na dumudulas sa ilang nakapirming sarado o bukas na kurba at nananatiling kahanay sa orihinal nitong posisyon. Ang hanay ng mga rectilinear generatrice ay kumakatawan sa isang tuluy-tuloy na frame ng isang cylindrical na ibabaw. Isang rectilinear generatrix ang dumadaan sa bawat punto ng ibabaw.
a b c
kanin. 37 Ibabaw: torso cylindrical, torso conical, torso
Ang bahagi ng isang saradong cylindrical na ibabaw na nakapaloob sa pagitan ng dalawang parallel na seksyon ng eroplano ay tinatawag silindro, at ang mga figure ng seksyon ay kanya mga dahilan.
Konikong ibabaw(Larawan 37 b) ay nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya na dumudulas kasama ang ilang nakapirming sarado o bukas na kurba at dumadaan sa lahat ng mga posisyon nito sa isang nakapirming punto.
Kono tinatawag na isang bahagi ng isang saradong korteng ibabaw na napapaligiran ng isang vertex at ilang eroplano na nagsasalubong sa lahat ng mga generator nito. Ang cross-sectional figure ng isang conical surface ng eroplanong ito ay tinatawag ang base ng kono.
Mga ibabaw na may patag na paralelismo sa pangkalahatang kaso, ang mga ito ay nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang rectilinear generatrix kasama ang tatlong linya ng gabay, na natatanging tumutukoy sa batas ng paggalaw nito.
Ang mga linya ng gabay ay maaaring mga kurba At tuwid. Ang mga uri ng pahilig na ibabaw ay pinamumunuan ang mga ibabaw na may gabay na eroplano at ang kanilang mga partikular na uri - pinasiyahan ibabaw na may isang eroplano ng paralelismo(Mga ibabaw ng Catalan).
Ang mga ibabaw na may isang eroplano ng parallelism sa mga katulad na kaso ay ayon sa pagkakabanggit mga tuwid na cylinderids, straight conoids At pahilig na eroplano.
Tuwid na cylindroid(Larawan 38) ay isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya na dumudulas kasama ang dalawang kurbadong gabay na hindi kabilang sa parehong eroplano, at nananatili sa lahat ng mga posisyon nito na kahanay sa ilang partikular na eroplano. Ang eroplanong ito ay tinatawag na eroplano ng paralelismo.
kanin. 38 Tuwid na silindro Fig. 39 Straight conoid Fig. 40 Pahilig na eroplano
Pahilig na eroplano(Larawan 40) ay isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya na dumudulas kasama ang dalawang intersecting na tuwid na mga linya at nananatili sa lahat ng mga posisyon nito na kahanay sa isang tiyak na eroplano ng paralelismo.
Mga helical na ibabaw
Ang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng helical na paggalaw ng isang tuwid na linya ay tinatawag pinasiyahan helical ibabaw– helicoid(Ang paggalaw ng tornilyo ay nailalarawan sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang tiyak na axis i at paggalaw ng pagsasalin na kahanay sa axis na ito).
a b
kanin. 41 Helical na ibabaw
Nakahilig na helicoid ay isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya na dumudulas kasama ang dalawang gabay (isa sa mga ito ay isang cylindrical helix, at ang pangalawa ay ang axis ng helix) at pinapanatili ang isang pare-pareho ang anggulo β sa lahat ng mga posisyon SA isang gabay na eroplano, na nakaposisyon patayo sa axis ng ibabaw ng tornilyo. Kapag gumagawa ng mga projection ng isang inclined helicoid, maginhawang gumamit ng guide cone (Larawan 41). b).
Mga ibabaw ng rebolusyon
Kung ang paggalaw ng linya ng pagbuo ay isang pag-ikot sa paligid ng ilang nakapirming tuwid na linya (axis), kung gayon ang ibabaw na nabuo sa kasong ito ay tinatawag na ibabaw ng pag-ikot.
Ang linya ng pagbuo ay maaaring isang patag o spatial na kurba, pati na rin isang tuwid na linya. Ang bawat punto ng pagbuo ng linya, kapag pinaikot sa paligid ng isang axis, ay naglalarawan ng isang bilog, na matatagpuan sa isang eroplano na patayo sa axis ng pag-ikot (Fig. 42).
Ang mga bilog na ito ay tinatawag mga parallel. Dahil dito, ang mga eroplanong patayo sa axis ay nagsalubong sa ibabaw ng rebolusyon mga parallel. Linya ng intersection ng ibabaw ng rebolusyon sa eroplano Σ ang pagdaan sa axis ay tinatawag meridian.
Ang meridian na nagreresulta mula sa intersection ng ibabaw ng rebolusyon sa antas ng eroplano ay tinatawag pangunahing. Projection pangunahing meridian sa isang eroplanong parallel sa antas ng eroplano ay balangkas na linya ang kaukulang projection ng ibabaw ng pag-ikot.
Kapag nagdidisenyo ng iba't ibang istruktura, makina at mekanismo ng inhinyero, ang pinakalaganap ay ang mga ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tuwid na linya at mga second-order na kurba.
Sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tuwid na linya, ang mga sumusunod ay nabuo:
–silindro ng pag-ikot, kung tuwid l parallel sa axis i(Larawan 43 A);
– kono ng pag-ikot, kung tuwid l tumatawid sa axis i(Larawan 43 b);
– single-sheet hyperboloid, kung diretso l tumatawid sa axis i(Larawan 43 V).
 |
||
| A | b | V |
| kanin. 43 Pinamunuan ang ibabaw ng rebolusyon | ||
Ang mga ibabaw ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga second-order na curve sa paligid ng isang axis ay kinabibilangan ng:
– globo ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog sa palibot ng diameter nito (Larawan 44 A);
– ellipsoid ng rebolusyon ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang ellipse sa paligid ng isang major o minor axis (44 b, V);
– torus ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog sa paligid ng panlabas na axis (Larawan 44 G);
 |  |  |
| A | b | V |
 |  |  |
| G | d | e |
| kanin. 44 Mga ibabaw ng rebolusyon ng ikalawang order |
– single-sheet hyperboloid ng rebolusyon ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng hyperbola sa paligid ng haka-haka na axis nito. Ang ibabaw na ito ay nabuo din sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tuwid na linya (Larawan 44 e).
Mga channel at cyclic na ibabaw
Channel ay isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng isang tuluy-tuloy na frame ng mga saradong patag na seksyon na nakatuon sa isang tiyak na paraan sa espasyo. Ang mga bahagi ng mga seksyong ito ay maaaring manatiling pare-pareho o magbago nang monotonically sa panahon ng paglipat mula sa isang seksyon patungo sa isa pa. Sa Fig. 45 ay nagpapakita ng dalawang larawan channel ibabaw. Sa pagsasanay sa engineering, ang pinaka-kalat na kalat ay dalawang paraan ng pag-orient sa mga eroplano ng generatrix:
- parallel sa anumang eroplano - mga ibabaw ng channel na may paralelismo;
– patayo sa guide line – tuwid na mga ibabaw ng channel.
Ibabaw ng channel ay maaaring magamit upang lumikha ng mga seksyon ng paglipat sa pagitan ng dalawang ibabaw tulad ng mga pipeline na mayroong:
– magkaibang mga hugis, ngunit ang parehong normal na cross-sectional area;
– ang parehong hugis, ngunit magkaibang mga cross-sectional na lugar;
– iba't ibang hugis at iba't ibang cross-sectional na lugar.
Paikot na ibabaw ay maaaring ituring bilang isang espesyal na kaso ng ibabaw ng channel. Ito ay nabuo gamit ang isang bilog, ang gitna nito ay gumagalaw kasama ang isang hubog na gabay. Sa panahon ng paggalaw, monotonically nagbabago ang radius ng bilog. Ang isang halimbawa ng isang paikot na ibabaw ay ipinapakita sa Fig. 46.
Mga graphic na ibabaw
Mga graphic na ibabaw ay ibinibigay ng isang may hangganan na hanay ng mga linya ng antas na bumubuo sa frame ng mga ibabaw na ito. Ang mga halimbawa ng mga graphic na ibabaw ay ipinakita sa Fig. 48.
 |
| kanin. 48 Mga graphic na ibabaw |
Intersection ng ibabaw at eroplano
Ang linya ng intersection ng isang ibabaw na may isang eroplano ay isang linya na tinatawag na isang seksyon. Ang mga punto ng kurba na ito ay maaaring ituring bilang mga punto ng intersection ng mga linya sa ibabaw na may isang eroplano o mga tuwid na linya ng isang eroplano na may isang ibabaw.
Ito ay humahantong sa dalawang pagpipilian para sa pagbuo ng isang seksyon:
1) pumili ng isang tiyak na bilang ng mga linya sa ibabaw at matukoy ang kanilang mga intersection point sa eroplano;
2) pumili ng isang tiyak na bilang ng mga tuwid na linya sa eroplano at bumuo ng kanilang mga punto ng intersection sa ibabaw.
Tandaan na ang isang posibleng solusyon ay kumbinasyon ng mga opsyong ito. Sa anumang kaso, ang pagbuo ng isang seksyon ay bumababa sa paulit-ulit na aplikasyon ng algorithm para sa paglutas ng problema ng intersection ng isang linya at isang ibabaw.
Ang pagtatayo ng seksyon ay lubos na pinasimple kung ang eroplano ay sumasakop sa isang projecting na posisyon. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang projecting plane ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang pagkolekta ng ari-arian. Sa kasong ito, ang isa sa mga projection ng seksyon ay nasa bakas ng eroplano, i.e. kilala.
Sa intersection ng faceted surface na may mga eroplano, ang mga polygon ay nakuha (Larawan 49 A). Ang kanilang mga vertices ay tinukoy bilang ang mga punto ng intersection ng mga gilid ng faceted ibabaw na may cutting plane. Ang cutting plane Σ ay front-projecting, samakatuwid, ang lahat ng linya na nakahiga sa eroplanong ito ay magkakasabay sa frontal trace Σ 2 ng eroplano Σ. Dahil dito, ang frontal projection ng 1 2 2 2 3 2 section ay tinutukoy ng intersection ng frontal projection ng mga gilid ng pyramid na may trace Σ(Σ 2). Nahanap namin ang mga pahalang na projection ng mga puntos 1(1 1), 2(2 1) at 3(3 1) mula sa kondisyon na ang mga punto ay nabibilang sa mga gilid ng pyramid.
kanin. 49 Konstruksyon ng linya ng intersection ng isang ibabaw na may isang eroplano
Isaalang-alang natin ang pagtatayo ng isang sphere cutout na nabuo gamit ang apat na projecting secant planes (Larawan 51, A). Ang bawat isa sa kanila ay nag-intersect sa globo sa isang linya na bahagi ng isang bilog. Bukod, G At R ay ang pahalang at profile na mga eroplano ng antas, ayon sa pagkakabanggit. Mga projection ng cutout sa P 1 at P 3 ay magiging simetriko.
 |  |
|
| A | b | |
 |  |
|
| V | G | |
Sa mga projection planes P 1 at P 3 ginupit na sanga mula sa mga eroplano Q At T ay ipapakita bilang mga bahagi ng mga ellipse. Mga puntos A At SA ay ang mga dulo ng mga palakol ng mga ellipse na ito.
Markahan natin ang mga reference point sa mga level plane: 1, 2 at 4 na dulo ng mga cutout na sanga; 5 at 3 punto ng pagbabago ng visibility sa mga eroplano P 1 at P 3 ayon sa pagkakabanggit.
Bumuo tayo ng mga projection ng mga reference point ng mga cutout na bahagi mula sa cutting planes G At R sa mga projection planes P 1 at P 3 (Larawan 51, b).
Q. Ang mga control point 6 ay nagbabago ng visibility sa P 1. Reference point 7 pinakamababang punto (Fig. 51, V).
Bumuo tayo ng isang ginupit na sangay mula sa eroplano T. Ang mga control point 8 ay nagbabago ng visibility sa P 3. Reference point 9 pinakamababang punto (Fig. 51, G).
Sphere outline at gupitin ang visibility ng linya sa mga eroplano P 1 at P 3 ay tinutukoy na isinasaalang-alang ang through cutout.
Pakikipag-ugnayan ng mga ibabaw sa bawat isa
Ang linya ng intersection ng dalawang ibabaw ay, sa pangkalahatan, isang spatial curve. Anumang punto sa linyang ito ay kabilang sa una at pangalawang ibabaw at maaaring matukoy sa intersection ng mga linya na iginuhit sa mga ibabaw na ito. Pagkatapos ay mayroon kaming mga sumusunod na opsyon para sa paglutas ng problemang ito:
1) pumili ng isang tiyak na bilang ng mga linya sa isa sa mga ibabaw at bumuo ng kanilang mga intersection point sa kabilang ibabaw;
2) pumili ng dalawang pamilya ng mga linya sa mga ibinigay na ibabaw at hanapin ang kanilang mga punto ng intersection. Sa pangalawang opsyon, ang pagpili ng mga intersecting na pares ng mga kurba ay isinasagawa gamit ang mga auxiliary surface ng mga tagapamagitan.
Ang mga eroplano o sphere ay kadalasang ginagamit bilang mga ibabaw ng media. Depende sa uri ng mga tagapamagitan, ang mga sumusunod na pinakakaraniwang ginagamit na pamamaraan para sa pagbuo ng linya ng intersection ng dalawang ibabaw ay nakikilala:
a) ang paraan ng pagputol ng mga eroplano;
b) ang paraan ng mga sphere.
Paraan ng auxiliary cutting planes
Isaalang-alang natin ang paggamit ng mga auxiliary cutting planes gamit ang halimbawa ng pagbuo ng linya ng intersection ng isang globo na may kono ng pag-ikot (Larawan 52).
Ang mga katangian na punto ng mga projection ng linya ng intersection ng mga ibabaw ay ang mga punto Α , Β At SA, D. Mga puntos Α , Β ay nasa intersection ng outline na bumubuo ng mga ibabaw, dahil ang mga generator na ito ay matatagpuan sa parehong cutting plane F, na dumadaan sa eroplano ng simetrya ng mga ibabaw. Α At Β ang pinakamataas at pinakamababang punto ng linya ng intersection. Mga puntos SA At D ay ang mga visibility point ng pahalang na projection ng intersection line. Ang kanilang mga konstruksyon ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:
1) sa pamamagitan ng gitna ng globo TUNGKOL SA ang isang pahalang na eroplano ng antas Θ ay iginuhit;
2) isang pahalang na projection ng isang bilog ng radius ay itinayo R
kanin. 52 Paglalapat ng paraan ng auxiliary cutting planes
3) isang pahalang na projection ng isang bilog ng radius ay itinayo R 1 kasama kung saan ang eroplano Θ intersects ang korteng kono ibabaw; ang parehong eroplano ay bumalandra sa globo sa kahabaan ng ekwador (bilog ng pinakamataas na radius);
4) natutukoy ang mga puntos C 1 , D 1 intersection radius circle R 1 na may balangkas ng globo;
5) ang mga frontal projection ng mga puntos ay itinatag SA(SA 2), D(D 2) mula sa kondisyon na sila ay kabilang sa eroplano Θ.
Upang bumuo ng mga intermediate na puntos 1(1 1 ,1 2), 2(2 1 ,2 2), ..., 6(6 1 ,6 2) na linya ng intersection ng mga ibinigay na ibabaw, ginagamit namin ang mga eroplano , at .
Ikinonekta namin ang mga nagresultang punto na may makinis na hubog na linya. Ang visibility ng intersection line ay tinutukoy sa bawat projection plane.
Pagkatapos ay naka-install ang mga lugar na nakikita ng parehong mga ibabaw sa parehong oras. Kaya, sa panahon ng projection, ang conical surface ay hindi sumasakop sa mga punto nito, ngunit ang globo ay sumasakop sa mga punto na matatagpuan sa ibaba ng pahalang na tabas. Mga puntos SA At D, na matatagpuan sa isang pahalang na balangkas, paghiwalayin ang nakikitang bahagi ng linya mula sa hindi nakikita. Ang hindi nakikitang bahagi ay ipinapakita gamit ang isang putol-putol na linya. Naka-on P 2, ang projection ng nakikitang bahagi ng intersection line ay tumutugma sa invisible projection, dahil ang mga frontal outline ng parehong mga ibabaw ay matatagpuan sa eroplano ng simetrya ng mga ibabaw.
Paraan ng concentric sphere
Ang pamamaraang ito ay malawakang ginagamit sa paglutas ng mga problema sa pagbuo ng mga linya ng intersection ng mga ibabaw ng rebolusyon na may mga intersecting axes. Ang pamamaraang ito ay batay sa sumusunod na pag-aari ng mga ibabaw ng rebolusyon: dalawang coaxial na ibabaw ng rebolusyon ay nagsalubong sa mga bilog, ang bilang nito ay katumbas ng bilang ng mga intersection point ng kanilang mga semi-meridian. Ang mga bilog na ito ay nakahiga sa mga eroplano na patayo sa axis ng mga ibabaw ng rebolusyon. Para sa isang globo, ang anumang diameter ay maaaring kunin bilang axis ng pag-ikot. Dahil dito, ang isang globo na nakasentro sa axis ng isang ibabaw ng rebolusyon ay nag-intersect sa ibabaw na ito kasama ng isa o higit pang mga bilog.
a b c
kanin. 53 Intersection ng mga coaxial surface ng rebolusyon
Isaalang-alang natin ang paggamit ng mga auxiliary concentric spheres - mga sphere na may palaging sentro. Ang pamamaraang ito ay ginagamit kapag ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
a) ang mga intersecting na ibabaw ay dapat na mga ibabaw ng rebolusyon;
b) ang mga palakol ng mga ibabaw na ito ay dapat magsalubong; ang punto ng kanilang intersection ay kinuha bilang sentro ng auxiliary spheres;
c) ang eroplano ng simetrya ng mga ibabaw ay dapat na parallel sa anumang projection plane (kung hindi man, ginagamit ang isang pagbabago sa pagguhit).
Isaalang-alang natin ang pagtatayo ng linya ng intersection ng mga conical na ibabaw ng rebolusyon (Larawan 54). Ang mga ibabaw at ang kanilang lokasyon ay nakakatugon sa mga kundisyon sa itaas.
Bago bumuo ng mga intermediate point, kinakailangan upang mahanap ang mga reference point ng intersection line. Mga puntos A, SA, K At L, at gayundin E, F, SA At D– ito ay mga puntong kabilang sa mga contour ng mga ibabaw. Maaari silang matagpuan sa pamamagitan ng paraan ng concentric spheres o gamit ang mga eroplano ng mga tagapamagitan Σ(Σ 2) at Δ(Δ 1).
Isaalang-alang natin ngayon ang pagtatayo ng mga intermediate na puntos gamit ang halimbawa ng mga puntos 5 at 6. Isinasagawa namin ang mga konstruksyon sa frontal plane ng mga projection. Sphere mediator Θ(Θ 2) na may gitna sa punto TUNGKOL SA(TUNGKOL SA 2) intersects conical surface kasama ng mga bilog na nasa P 2 ay inaasahang sa mga segment 
At 
(hindi ipinapakita ang mga projection ng iba pang dalawang bilog). Ang mga punto 5 2 = 6 2 ang kanilang mga intersection ay mga frontal projection ng mga puntos 5 at 6, na kabilang sa linya ng intersection ng mga ibabaw, dahil nabibilang sila sa bawat isa sa mga ibabaw na ito.
Ang radius ng maximum na globo ay katumbas ng distansya mula sa punto ng intersection ng mga axes ng mga ibabaw hanggang sa pinakamalayo na punto ng intersection ng mga contour generatrice ng mga ibabaw na ito. Sa Fig. 54 mayroong isang globo R max =[ O 2 L 2 ].
Upang maitaguyod ang kakayahang makita ng mga projection ng linya ng intersection, sinusuri namin ang lokasyon ng mga punto na nauugnay sa mga contour ng mga ibabaw. Oo, medyo P 1, ang seksyon ng kurba na matatagpuan sa itaas ng tabas ng pahalang na conical na ibabaw ay makikita (ang pangalawang ibabaw ay makikita sa P 1 ay walang epekto). Ang pahalang na projection ng invisible na bahagi ng linya ay ipinapakita ng isang dashed line.
Mga puntos A, SA At K, L nabibilang sa mga frontal contours ng mga ibabaw at ihiwalay ang nakikitang bahagi ng intersection line mula sa invisible kapag naka-project sa P 2. Mga frontal projection ng nakikita at hindi nakikitang mga bahagi ng linya ng intersection sa Fig. 54 tugma.
Praktikal na gawain Blg. 5. Gumuhit ng dalawang intersecting surface. Tukuyin ang linya ng kanilang intersection gamit ang paraan ng auxiliary planes (A4 format).
Ang gawain ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod (Larawan 55):
1) matukoy ang mga punto ng intersection ng mga balangkas ng isang ibabaw sa isa pa;
2) matukoy ang pinakamataas at pinakamababang punto ng linya ng intersection;
3) matukoy ang mga intermediate point ng intersection line gamit ang auxiliary planes;
4) lahat ng nahanap na mga intersection point ay magkakasunod na konektado ng isang hubog na linya, na isinasaalang-alang ang kanilang visibility.
Kapag pumipili ng mga auxiliary cutting planes, kinakailangang tandaan na dapat silang mag-intersect sa parehong mga ibabaw sa parehong oras at bigyan ang pinakasimpleng sectional figure. Para sa lahat ng variant ng mga gawain, maaaring mapili ang mga level plane bilang auxiliary cutting plane: para sa ilan - pahalang, para sa iba - patayo, o pareho. Ang mga intersection point sa ibabaw ay ang mga intersection point ng mga contour ng cross-sectional figure ng mga ibabaw na nakahiga sa parehong auxiliary cutting plane. Ang bawat cutting plane ay maaaring tukuyin mula isa hanggang apat na punto ng intersection line, depende sa likas na katangian ng intersecting surface, ang kanilang lokasyon na may kaugnayan sa isa't isa, at ang posisyon ng cutting plane mismo.
Paksa 5
MGA LARAWAN: MGA VIEW, SECTIONS, SECTIONS
Ang mga pagguhit ay isinasagawa sa mahigpit na alinsunod sa mga alituntunin ng projection bilang pagsunod sa itinatag na mga kinakailangan at kombensiyon.
Mga kinakailangan para sa pagguhit: reversibility, katumpakan, kalinawan, pagiging simple.
Ang pagguhit ay tinatawag nababaligtad, kung mula sa larawan ng isang pigura ay maaaring muling buuin ng isa ang hugis, sukat at posisyon nito sa kalawakan. Ang pagguhit ay dapat na biswal at magbigay ng malinaw na ideya ng paksang inilalarawan. Ang pagguhit ay dapat na simple para sa graphical na pagpapatupad.
Ang mga pangkalahatang kinakailangan para sa nilalaman ng pagguhit ay itinatag ng GOST 2.109-73.
Kapag gumagawa ng mga guhit sa elektronikong anyo, dapat kang magabayan ng GOST 2.051-2006, GOST 2.052-2006, GOST 2.053-2006.
Ang mga patakaran para sa pagpapatupad ng mga imahe sa mga guhit ay itinatag ng GOST 2.305-2008.
Kapag nagsasagawa ng mga graphic na dokumento sa anyo ng mga electronic na modelo, ang mga naka-save na view ay dapat gamitin upang makuha ang mga kaukulang larawan.
Ang imahe sa frontal plane ng mga projection ay kinuha bilang pangunahing isa sa pagguhit. Pangunahing larawan pinili sa paraang nagbibigay ito ng pinaka kumpletong larawan ng hugis at sukat ng bagay.
Ang isang imahe ay anumang pagguhit. Depende sa nilalaman, ang mga imahe ay nahahati sa mga uri, mga seksyon at mga seksyon.
Mga species
Ang view ay isang imahe ng nakikitang bahagi ng ibabaw ng isang bagay na nakaharap sa nagmamasid. Upang bawasan ang bilang ng mga larawan, pinapayagang magpakita ng mga hindi nakikitang ibabaw ng isang bagay na may mga putol-putol na linya sa mga view (tingnan ang Fig. 56).
Ang mga uri ay nahahati sa basic, additional at local.
Pangunahing ay tinatawag na mga view na matatagpuan sa alinman sa anim na pangunahing eroplano habang pinapanatili ang projection na relasyon sa pagitan ng mga ito. Front view - pangunahing view; top view - sa ilalim ng front view; view mula sa kaliwa - sa kanan ng pangunahing isa; tingnan sa kanan - sa kaliwa ng pangunahing isa; ilalim na view - sa itaas ng pangunahing view; rear view - sa kanan ng kaliwang view o sa kaliwa ng kanang view (tingnan ang Fig. 56). Ang mga pangalan ng mga uri ay hindi nakasulat sa pagguhit.
Kung ang anumang view ay matatagpuan sa labas ng koneksyon ng projection sa pangunahing imahe o nahiwalay dito ng iba pang mga imahe, pagkatapos ay ang isang arrow ay nagpapahiwatig ng direksyon ng projection. Ang isang malaking letrang Cyrillic ay ipinahiwatig sa itaas ng arrow. Ang parehong titik ay nagsasaad ng constructed view (Fig. 57).
Ang pagpapalit ng kamag-anak na posisyon ng bagay na pinag-aaralan at ang projection planes ay nakakamit sa pamamagitan ng pagpapalit ng isa sa mga eroplano P 1 o P 2 bagong eroplano P 4 (Larawan 148). Ang bagong eroplano ay palaging pinipili patayo sa natitirang projection plane.
Upang malutas ang ilang mga problema, maaaring kailanganin ang dobleng pagpapalit ng mga projection plane (Larawan 149). Ang magkakasunod na paglipat mula sa isang sistema ng projection planes patungo sa isa pa ay dapat isagawa sa pamamagitan ng pagsunod sa sumusunod na panuntunan: ang distansya mula sa bagong projection ng punto hanggang sa bagong axis ay dapat na katumbas ng distansya mula sa pinalitan na projection ng punto sa pinalitan na axis.
Problema 1: Tukuyin ang natural na laki ng segment AB tuwid na linya ng mga pangkalahatang probisyon (Larawan 148). Mula sa pag-aari ng parallel projection ay kilala na ang isang segment ay i-project sa isang eroplano sa buong laki kung ito ay parallel sa eroplanong ito.
Pumili tayo ng bagong projection plane P 4 , parallel sa segment AB at patayo sa eroplano P 1 . Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong eroplano, lumipat tayo mula sa sistema ng mga eroplano P 1 P 2 sa sistema P 1 P 4 , at sa bagong sistema ng mga eroplano ang projection ng segment A 4 SA 4 ang magiging natural na halaga ng segment AB .
Problema 2: Tukuyin ang distansya mula sa isang punto A sa isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon na ibinigay ng segment Araw (Larawan._149).
Ang konsepto ng isang polyhedron.
Ang polyhedra ay mga saradong spatial na figure na nililimitahan ng mga flat polygon. Ang mga vertice at gilid ng polyhedra ay ang mga vertex at mga gilid ng polyhedra. Bumubuo sila ng spatial grid. Kung ang mga vertices at mga gilid ng isang polyhedron ay nasa parehong gilid ng eroplano ng alinman sa mga mukha nito, kung gayon ang polyhedron ay tinatawag na convex;
Sa lahat ng iba't ibang polyhedra, prisms, pyramids, regular polyhedra at ang kanilang mga varieties ang pinaka praktikal na interes.
Ang isang polyhedron, na ang dalawa sa mga mukha ay n-gons sa parallel na mga eroplano, at ang natitirang n-faces ay parallelograms, ay tinatawag na n-gonal prism. Ang polyhedra ay ang mga base ng prisma, at ang parallelograms ay ang mga lateral na mukha ng prisma.
Ang isang polyhedron kung saan ang isa sa mga mukha ay isang arbitrary na polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex, ay tinatawag na isang pyramid. Ang polygon na mukha ay tinatawag na base ng prism, at ang mga tatsulok ay ang mga gilid na mukha ng pyramid. Ang karaniwang vertex ng triangles ay tinatawag na isang espesyal na vertex ng pyramid (karaniwan ay isang vertex lamang).
Kung ang pyramid ay pinutol ng isang eroplanong parallel sa base, makakakuha tayo ng pinutol na pyramid.
Ang polyhedron ay tinatawag na metrically regular kung ang lahat ng mga mukha nito ay regular na polygons. Kabilang dito ang cube, tetrahedron, octahedron, icosahedron, dodecahedron.
Sa pamamagitan ng imahe ng polyhedra sa pagguhit, ibig sabihin namin ang imahe ng polyhedral na ibabaw na nagbubuklod dito, i.e. larawan ng kabuuan ng bumubuo nitong polyhedra. Ito ay maginhawa upang tukuyin ang isang simpleng polyhedral na ibabaw nang grapiko sa pamamagitan ng mga projection ng mesh nito.
Konstruksyon ng mga projection:
Konstruksyon ng mga projection ng polyhedra
Ang pagbuo ng isang projection ng isang polyhedron sa isang tiyak na eroplano ay bumababa sa pagbuo ng mga projection ng mga puntos. Halimbawa, ang pag-project ng pyramid SABC papunta sa square 2 (Larawan 256, kaliwa), bumuo kami ng mga projection ng vertices S, A, B at C at, bilang resulta, projection ng base ABC, nakaharap sa SAB, SBC, SAC, mga gilid SA, SB at iba pa.
Gayundin, kapag nag-project ng trihedral angle ") na may vertex S (Fig. 256, kanan), kami, bilang karagdagan sa vertex S, kumuha ng isang punto (K, M, N) sa mga gilid ng anggulo at i-project ang mga ito
sa parisukat ako 2; Bilang resulta, nakakakuha kami ng mga projection ng mga gilid at mukha (flat na anggulo) ng trihedral angle at, sa pangkalahatan, ang anggulo mismo.
Sa Fig. 257 inilalarawan ang polyhedral body ACBB 1 D... (i.e., bahagi ng espasyo na nakatali sa lahat ng panig ng mga flat figure - polygons) at ang projection nito sa parisukat. I 1 - figure A"C"F)