Posible bang mag-tile ng isang eroplano na may pantay na hexagons. Isang bagong uri ng mga pentagons na sumasaklaw sa eroplano ay natuklasan

isang lugar o espasyo sa kabila ng tulay.

Para sa aking mga mag-aaral, iminungkahi ko ang isang paraan upang malutas ang mga problema tungkol sa hindi pana-panahong pag-tile ng isang eroplano na may mga figure ng parehong hugis. Nagsagawa ako ng pag-aaral ng dalawang siyentipiko mula sa Duke University (USA) at nagustuhan ko ang bersyon ng isang non-periodic mosaic na ganap na sumasaklaw sa isang eroplano, gamit ang mga tile na may parehong hugis.

Ang unang hanay ng mga tile ay binubuo ng 20,426 piraso, na ipinakilala ni Robert Berger noong 1966. Pagkaraan ng ilang panahon, binawasan niya ang kanilang bilang sa 104. Noong dekada 70 ng ikadalawampu siglo, ipinakita ni Penrose ang solusyon sa kanyang mosaic at gumamit ng 2 magkakaibang figure. Nakakita ako ng isang kawili-wiling solusyon mula kay Dmitry Safin, na gumamit ng isang figure para sa kanyang mosaic - isang regular na hexagon. Kapag naglalagay ng gayong mga tile, ang mga itim na linya ay hindi dapat magambala, at ang mga bandila sa mga vertices ng mga hexagons, na matatagpuan sa layo na katumbas ng haba ng isang gilid ng tile (minarkahan ng mga arrow sa figure), ay dapat tumingin sa parehong direksyon. Dalawang magkakaibang mga kulay ang ginamit dito: ang pangalawa ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapakita ng unang kamag-anak sa isang patayong linya. Gayunpaman, magagawa mo nang wala ang pangalawang pagpipilian sa pangkulay kung gagawin mo ang tile na tatlong-dimensional. Ang paglalagay ng tile sa eroplano gamit ang gayong mga tile (ipinapakita sa isa sa mga figure sa ibaba) para sa kadalian ng pagtatanghal, ang mga flag na iyon sa mga hexagon na tumingin sa kaliwa ay pinapalitan dito ng mga lilang linya, at ang mga flag ng iba pang mga uri ay pinapalitan ng pula.

Ibinigay din ang mga halimbawa ng mga tile na gumagawa ng hindi pana-panahong pag-tile kapag isinasaalang-alang lamang ang kanilang hugis: sa kasong ito, hindi na kailangang magtatag ng mga panuntunan sa koneksyon na nauugnay sa pangkulay. Sa 2D na bersyon, ang mga tile na ito ay binubuo ng ilang nakahiwalay na lugar, ngunit sa 3D na bersyon, lahat ng bahagi ng mga ito ay konektado sa isa't isa.

Susunod, tumingin ako sa isa pang kawili-wiling paraan ng pag-tile mula sa mga mathematician mula sa Australia John Taylor at Joshua Socolar. Nalutas nila ang tinatawag na one tile problem. Ang isa sa mga pinakasimpleng halimbawa ay ang hexagonal tiling, kapag ang isang eroplano, tulad ng isang pulot-pukyutan, ay binubuo ng mga hexagons na kumokonekta sa mga gilid. Sa hexagonal na kaso, ito ay, halimbawa, isang vector na nag-uugnay sa mga sentro ng kalapit na mga cell na may anim na sulok. Sa proseso ng bagong trabaho, nalutas ng mga mathematician ang problema ng istraktura ng isang non-periodic tiling gamit ang isang tile lamang. Ang modelo ng nagresultang cell ay heksagonal, ngunit salamat sa espesyal na pangkulay, ang pag-tile ay lumalabas na hindi pana-panahon. Bilang karagdagan sa dalawang-dimensional na problema, nag-aalok ang mga mathematician ng 3-dimensional na analogue ng kanilang sariling resulta.

Bilang karagdagan sa mga praktikal na aplikasyon nito, ang teorya ng pag-tile ay isang mapagkukunan ng inspirasyon para sa mga artista. Halimbawa, si Maurits Escher (isang pintor mula sa Netherlands) ay lumikha ng buong mga pagpipinta gamit ang hindi pangkaraniwang mga tessellation. Ang kanyang pagpipinta na "Eight Heads" ay batay sa isang hugis-parihaba na tessellation. Ang artist na ito ay gumawa ng mga guhit batay sa mga geometric na figure, kung saan maaari mong subaybayan ang paggamit ng pag-tile ng mga figure at hindi lamang sa isang figure, ngunit sa marami pang iba. Pinahahalagahan ng mga mag-aaral ang kagandahan ng paving na may iba't ibang mga figure, nagdala ng malaking seleksyon ng mga guhit ng artist, at sinubukang kumpletuhin ang mga takdang-aralin sa anyo ng mga guhit.

Nasa ibaba ang iba't ibang mga guhit sa isang partikular na paksa.

Mula sa kasaysayan

Quasicrystal - isang solidong katawan na nailalarawan sa pamamagitan ng simetrya, sa klasiko, at ang pagkakaroon ng . Nagmamay-ari kasama ang isang discrete na larawan.

Ang mga quasicrystals ay naobserbahan sa unang pagkakataon sa mga eksperimento sa mabilis na pinalamig na Al 6 Mn, na isinagawa, kung saan ito ay iginawad. Ang unang quasicrystalline alloy na natuklasan niya ay tinatawag na "shekhtmanite" ( Shechtmanite). Ang artikulo ni Shekhtman ay hindi tinanggap para sa publikasyon ng dalawang beses at kalaunan ay nai-publish sa isang pinaikling anyo sa pakikipagtulungan sa mga sikat na espesyalista na sina I. Blech, D. Gratias at J. Kahn, na kanyang naakit. Ang resultang pattern ng diffraction ay naglalaman ng mga tipikal na matalim () na mga taluktok, ngunit sa pangkalahatan ay may punto itong icosahedron, iyon ay, sa partikular, mayroon itong fifth-order symmetry axis, na imposible sa isang three-dimensional na periodic lattice. Ang eksperimento sa diffraction sa una ay pinahintulutan ang paliwanag ng hindi pangkaraniwang kababalaghan sa pamamagitan ng diffraction sa maraming crystalline na kambal na pinagsama sa mga butil na may icosahedral symmetry. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon ang mas banayad na mga eksperimento ay nagpatunay na ang simetriya ng mga quasicrystal ay naroroon sa lahat ng mga kaliskis, hanggang sa , at hindi pangkaraniwang mga sangkap ay talagang isang bagong istraktura ng organisasyon ng bagay.

Nang maglaon, nalaman na ang mga physicist ay nakatagpo ng mga quasicrystals bago pa ang kanilang opisyal na pagtuklas, lalo na, kapag pinag-aaralan ang mga quasicrystal na nakuha mula sa mga butil sa mga haluang metal sa mga nakaraang taon. Gayunpaman, sa oras na iyon, ang mga icosahedral na quasicrystal ay nagkamali na kinilala bilang malalaking cubic crystal. Ang mga hula tungkol sa pagkakaroon ng istraktura sa mga quasicrystal ay ginawa ni Maki.

Sa kasalukuyan, daan-daang uri ng quasicrystals ang kilala na mayroong point symmetry ng icosahedron, pati na rin ang ten-, eight-, at dodecagon.

Atomic na modelo ng isang Al-Pd-Mn quasicrystal

ISTRUKTURA

Deterministic at entropy-stabilized quasicrystals

Mayroong dalawang hypotheses kung bakit ang mga quasicrystal ay (meta-)stable na mga yugto. Ayon sa isang hypothesis, ang katatagan ay sanhi ng katotohanan na ang panloob na enerhiya ng mga quasicrystal ay minimal kumpara sa iba pang mga phase bilang isang resulta, ang mga quasicrystal ay dapat na matatag kahit na sa ganap na zero na temperatura. Sa pamamaraang ito, makatuwirang pag-usapan ang ilang mga posisyon ng mga atomo sa isang perpektong istrukturang quasicrystalline, iyon ay, nakikitungo tayo sa isang deterministikong quasicrystal. Ang isa pang hypothesis ay nagmumungkahi ng pagtukoy ng kontribusyon sa katatagan. Ang entropy-stabilized quasicrystals ay panimula na hindi matatag sa mababang temperatura. Sa kasalukuyan ay walang dahilan upang maniwala na ang mga tunay na quasicrystal ay nagpapatatag lamang dahil sa entropy.

Multidimensional na paglalarawan

Ang isang deterministikong paglalarawan ng istraktura ng mga quasicrystal ay nangangailangan ng pagtukoy sa posisyon ng bawat atom, at ang kaukulang modelo ng istraktura ay dapat magparami ng naobserbahang eksperimentong pattern ng diffraction. Ang pangkalahatang tinatanggap na paraan ng paglalarawan ng gayong mga istruktura ay gumagamit ng katotohanan na ang point symmetry, na ipinagbabawal para sa isang kristal na sala-sala sa tatlong-dimensional na espasyo, ay maaaring pahintulutan sa isang puwang na may mas mataas na dimensyon D. Ayon sa gayong mga modelo ng istruktura, ang mga atomo sa isang quasicrystal ay matatagpuan sa intersection ng ilang (symmetric) three-dimensional subspace R D (tinatawag na pisikal na subspace) na may pana-panahong matatagpuan na mga manifold na may hangganan ng dimensyon D-3, transversal sa pisikal na subspace.

"Mga Panuntunan sa Pagbuo"

Hindi sinasagot ng multidimensional na paglalarawan ang tanong kung paano lokal maaaring patatagin ang isang quasicrystal. Ang mga quasicrystal ay may istraktura na kabalintunaan mula sa punto ng view ng klasikal na crystallography, na hinulaang mula sa teoretikal na pagsasaalang-alang (). Ang teorya ng Penrose mosaic ay naging posible na lumayo mula sa karaniwang mga ideya tungkol sa Fedorov crystallographic na mga grupo (batay sa pana-panahong pagpuno ng espasyo).

METALURHIYA

Ang paggawa ng mga quasicrystals ay kumplikado sa pamamagitan ng katotohanan na lahat sila ay maaaring metastable o nabuo mula sa isang matunaw na ang komposisyon ay naiiba mula sa komposisyon ng solid phase.().

NATURAL

Natagpuan ang mga batong may natural na Fe-Cu-Al na quasicrystal noong 1979. Gayunpaman, noong 2009 lamang itinatag ng mga siyentipiko ang katotohanang ito. Noong 2011, naglathala sila ng isang artikulo kung saan sinabi nila na ang quasicrystal na ito ay mula sa extraterrestrial na pinagmulan. Noong tag-araw ng 2011, sa panahon ng isang ekspedisyon sa Russia, natagpuan ng mga mineralogist ang mga bagong sample ng natural na quasicrystals.

MGA ARI-ARIAN

Sa una, nagawa ng mga eksperimento na makapasok sa isang napakakitid na "temperatura gap" at makakuha ng mga quasicrystalline na materyales na may hindi pangkaraniwang mga bagong katangian. Gayunpaman, ang mga quasicrystal ay natuklasan kalaunan sa Al-Cu-Li at iba pang mga sistema, na maaaring maging matatag hanggang at lumaki sa halos , tulad ng mga ordinaryong kristal.

Sa mga quasicrystal, sa kabaligtaran, ay hindi gaanong mataas sa mababang temperatura, at bumababa sa pagtaas ng temperatura. Sa mga layered na quasicrystals, kasama ang axis ang electrical resistance ay kumikilos tulad ng sa isang normal na metal, at sa mga quasicrystalline na layer sa paraang inilarawan sa itaas.

Magnetic na katangian. Karamihan ay quasicrystalline -, ngunit mga haluang metal na may -.

Ang mga quasicrystal ay mas malapit sa mga nababanat na katangian ng mga amorphous na sangkap kaysa sa mga mala-kristal. Ang mga ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mas mababang mga halaga kumpara sa mga kristal. Gayunpaman, ang mga quasicrystal ay mas maliit kaysa sa mga kristal na katulad ng komposisyon at malamang na gumaganap ng isang papel sa mga haluang metal.

QUASI CRYSTAL

isang espesyal na uri ng pag-iimpake ng mga atomo sa isang solidong substansiya, na nailalarawan sa pamamagitan ng icosahedral (ibig sabihin, may mga palakol ng ika-5 na pagkakasunud-sunod) symmetry, long-range orientational order at ang kawalan ng translational symmetry na likas sa karaniwanmala-kristal na estado. Quasicrystal na pinangalanan isang pakete ng mga atom ay binuksan sa isang mabilis na pinalamig na haluang metal na Al 6 Mn (1984) at pagkatapos ay natuklasan sa mga sistema ng Al-Fe, Ni-Ti, atbp. Regular may tatlong-dimensional na periodicity sa pag-aayos ng mga atomo, hindi kasama ang posibilidad ng pagkakaroon ng 5th order symmetry axes. Sa isang amorphous (salamin) na estado, ang mga lokal na grupo ng mga atom na may icosahedral symmetry ay posible, ngunit sa buong dami ng amorphous na katawan ay walang mahabang hanay na pagkakasunud-sunod sa pag-aayos ng mga atomo, ni translational o orientational. K. maaaring ituring bilang isang intermediate. uri ng atomic ordering sa pagitan ng tunay na mala-kristal at malasalamin. Ang isang dalawang-dimensional na modelo ng K. ay mga packing ("parquet") ng mga rhombus na may tuktok na anggulo na 360°/5 = 72° na may mga palakol ng simetriya ng ika-5 na pagkakasunud-sunod: sa kasong ito, ang mga puwang ay puno ng iba pang mga rhombus na may isang tuktok na anggulo ng 360°/10 = 36° (Penrose pattern, Fig. 1); ang mga kumbinasyon ng mga rhombus na ito ay nagbibigay ng pantay na mga decagon. Ang angular na oryentasyon ng lahat ng mga elemento ng parquet ay paulit-ulit sa buong eroplano; ito ang long-range orientational order, ngunit walang tunay na translational long-range order (bagaman mayroong isang tinatayang periodicity kasama ang ilang mga direksyon).

kanin. 1 . Dalawang-dimensional modelo quasicrystal ( naka-highlight mga decagon).

kanin . 2. Mga elemento ng istraktura ng isang quasicrystal ng limang tetrahedra: fragment ng isang icosahedron (a), 32 - vertex triacontahedron(6 ).

Pag-iimpake ng mga atomo sa tatlong-dimensional na espasyo K. maaaring ilarawan sa batayan ng polyhedra na naglalaman ng mga palakol ng order 5, o mga fragment ng naturang polyhedra. Sa Fig. 2, a ay ipinapakita na katangian ng K. fragmenticosahedron

(12 - summit - dalawampu't panig na may point symmetry na 53m), na binubuo ng 5 tetrahedra. Upang ang 6 na vertex atoms at ang gitnang isa ay makabuo ng isang malapit na pakete, ang radius ng gitnang atom ay dapat na bahagyang mas maliit kaysa sa pangalawang atom; halimbawa, sa Al 6 Mn ang atomic radius ng Mn ay 0.130 nm, Al - 0.143 nm. Mga fragment ng atomic na istraktura ng K. Maaari ding magkaroon ng tatlong-dimensional na mga analogue ng mga pattern ng Penrose - acute at obtuse rhombohedrons na may mga anggulo ng vertex na 63, 43 ° at 116, 57 °, mula sa kung saan ang isang polyhedron ay maaaring binubuo - isang triacontahedron na may symmetry 53m, na mayroong 32 vertices (Fig. 2 , 6 ). Pag-iimpake ng mga atomo sa K. maaaring obserbahan mga kaguluhan na katulad ng mga dislokasyon (tingnan Mga depekto ). SA . uri ng Al 6 Mn ay maaaring isaalang-alang bilang metatable phase. Gayunpaman, mayroong isang istraktura ng K. Ang uri ng Al-Li-Cu-Mn na haluang metal, na nakuha sa pamamagitan ng mabagal na paglamig ng matunaw, ay tila equilibrium. Sa kasalukuyan umuunlad ang panahon pisikal mga teorya quasicrystalline. estado .

Madaling ihanda ang eroplano na may parquet na gawa sa mga regular na tatsulok, parisukat o hexagons (sa ilalim paglalagay ng tile Naiintindihan namin ang pag-aayos na ito kung saan ang mga vertex ng bawat figure ay inilalapat lamang sa mga vertex ng mga kalapit na figure at walang sitwasyon kapag ang isang vertex ay inilapat sa gilid). Ang mga halimbawa ng naturang mga tile ay ipinapakita sa Fig. 1.

kanin. 1. Pag-tile ng eroplano: i - equilateral triangles, ii - mga parisukat, iii - regular na hexagons

Walang ibang tama n-hindi posibleng takpan ang isang eroplano na may mga anggulo na walang gaps at overlaps. Narito kung paano ito ipaliwanag. Tulad ng nalalaman, ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng anuman n-gon ay katumbas ng ( n– 2) 180°. Dahil lahat ng anggulo ay tama n-gons ay magkapareho, pagkatapos ang antas ng sukat ng bawat anggulo ay . Kung ang eroplano ay maaaring naka-tile na may tulad na mga figure, pagkatapos ay sa bawat vertex ito ay nagtatagpo k polygons (para sa ilan k). Ang kabuuan ng mga anggulo sa tuktok na ito ay dapat na 360°, samakatuwid . Pagkatapos ng ilang simpleng pagbabago, ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging ganito: . Ngunit, tulad ng madaling suriin, ang huling equation ay mayroon lamang tatlong pares ng mga solusyon, kung ipagpalagay natin na n At k natural na mga numero: k = 3, n = 6; k = 4, n= 4 o k = 6, n= 3. Ang mga pares ng numerong ito ay eksaktong tumutugma sa mga ipinapakita sa Fig. 1 tile.

Anong iba pang mga polygon ang maaaring magamit upang mag-tile ng isang eroplano na walang gaps o overlaps?

Gawain

a) Patunayan na ang anumang tatsulok ay maaaring gamitin sa pag-tile ng isang eroplano.

b) Patunayan na anumang may apat na gilid (parehong matambok at hindi matambok) ay maaaring gamitin sa pag-tile ng isang eroplano.

c) Magbigay ng halimbawa ng pentagon na maaaring gamitin sa pag-tile ng eroplano.

d) Magbigay ng halimbawa ng isang heksagono na hindi magagamit sa pag-tile ng isang eroplano.

e) Magbigay ng halimbawa n-square para sa alinman n> 6, na maaaring magamit upang i-pave ang eroplano.

Mga pahiwatig

1) Sa mga puntos a), c), e) maaari mong subukang gumawa ng "mga guhit" mula sa magkatulad na mga numero, na pagkatapos ay madaling magamit upang ihanda ang buong eroplano.

Hakbang b): Tiklupin ang dalawang magkaparehong quadrangles sa isang heksagono na ang magkabilang panig ay magkapares. Napakadaling mag-tile ng eroplano gamit ang mga hexagon na ito.

Point d): gamitin ang katotohanan na ang kabuuan ng mga anggulo sa bawat vertex ay dapat na katumbas ng 360°.

2) Sa punto e) maaari mong subukang kumilos nang naiiba: bahagyang baguhin ang umiiral na mga numero upang makakuha ng mga bagong tessellation.

Solusyon

Ang mga halimbawa ng mga sagot ay ipinapakita sa mga larawan.

A):

kanin. 2

b):

kanin. 3

c) Ang isang pentagon sa hugis ng isang bahay ay gagawa ng:

kanin. 4

d) Hindi posible na ihanda ang isang eroplano na may ganitong mga hexagons: walang bahagi ng naturang hexagon ang ganap na magkasya sa "cut out" na sulok. Ito ay malinaw na nakikita sa mga cell:

kanin. 5

Maaari kang makabuo ng maraming iba pang mga hexagon na hindi magagamit sa pag-tile ng isang eroplano.

e) Narito ang isang halimbawa ng isang dodecagon na maaaring magamit sa pag-tile ng isang eroplano. Ang pamamaraan ng pag-tile na ito ay nakuha bilang isang pagbabago ng karaniwang square lattice (tingnan ang Fig. 1, ii mula sa kondisyon):

kanin. 6

Ang problema ng pag-tile ng isang eroplano na may magkatulad na mga figure na walang gaps o overlaps ay kilala mula pa noong sinaunang panahon. Ang isa sa mga espesyal na kaso nito ay ang tanong kung ano ang maaaring maging mga parquet (iyon ay, pag-tile ng isang eroplano mga regular na polygon, at hindi kinakailangang pareho) at, sa partikular, tamang mga sahig na parquet. Ang tamang parquet ay may sumusunod na pag-aari: sa tulong ng mga parallel na paglipat (mga paglilipat nang walang pag-ikot), na naglilipat ng parquet sa sarili nito, maaari mong pagsamahin ang isang paunang napiling node sa anumang iba pang parquet node. Sa Fig. 1 sa mga kundisyon ay nagpapakita ng tamang parquet floor.

kanin. 9."Giant's Causeway" (Northern Ireland). Larawan mula sa ru.wikipedia.org

Isang generalization ng aming problema - spatial tiling - isang modernong mahalagang sangay ng crystallography, na gumaganap ng isang mahalagang papel sa pinagsamang optika at laser physics.

Kakatwa, hanggang sa kamakailang mga panahon, ang mga panaka-nakang tessellation lamang (na ganap na tugma sa kanilang mga sarili sa ilang pagbabago at mga pag-uulit nito) ang nalalaman. Gayunpaman, noong 1974, ang Ingles na siyentipiko na si Roger Penrose

kanin. 11. M. C. Escher, "Reptiles", 1946 ( umalis) at "Butterflies", 1950

Ang mga parquet at mosaic ay matatagpuan din sa sining. Marahil ang pinakatanyag ay ang mga gawa ng Dutchman M.K. Escher (M. C. Escher).

Ang isipin ang hindi maiisip at maging kumbinsido na ito ay maiisip pa rin ay isang phenomenon ng geometry.

A.D.Alexandrov

klase: 8-9

Mga layunin:

• Pagbuo at pagbuo ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa mga bagong bagay sa matematika at mga konsepto ng matematika.
• Pag-unlad ng malikhaing interes sa matematika.
• Pagpapalawak ng mathematical horizons ng mga mag-aaral.
• Pagpapaunlad ng mabuting kalooban at pagtulong sa isa't isa kapag nagtutulungan.

Mga layunin ng ekstrakurikular na aktibidad:

• Praktikal na aplikasyon ng kaalaman sa matematika sa pag-aaral ng mga bagong bagay sa matematika.
• Pag-unlad ng lohikal na pag-iisip at mga kasanayan sa pananaliksik.
• Panimula sa aplikasyon ng bagong nakuhang kaalaman sa modernong agham.
• Pagbibigay ng mga katanungan para sa karagdagang pag-aaral ng paksa.

Paghahanda: magtrabaho sa mga grupo, ang bawat pangkat ay naghahanda ng mga modelo ng mga regular na polygon, pati na rin ang mga kopya ng mga arbitrary na triangles at quadrilaterals.

Mga anyo ng pag-aayos ng gawain ng mag-aaral: harapan, pangkat.

Mga anyo ng pag-aayos ng gawain ng isang guro: pamumuno, organisasyon, koordinasyon.

Mga pagtutukoy: opisina ng multimedia.

Kagamitang ginamit: computer, projector, screen, CD.

Pagtatanghal "Mga parquet - paglalagay ng tile sa isang eroplano na may mga polygon."

Pag-unlad ng aralin.

Ang mga parquet ay nakakaakit ng pansin ng mga tao mula noong sinaunang panahon. Tinakpan nila ang mga sahig, tinakpan ang mga dingding ng mga silid, pinalamutian ang mga harapan ng mga gusali, at ginamit sa pandekorasyon at inilapat na sining.
Kahit na ang pag-aaral ng parquet ay hindi kasama sa kurikulum ng matematika ng paaralan, ang interes sa paksang ito ay lumitaw pagkatapos malutas ang isang simpleng problema sa paaralan: "Patunayan na mula sa magkatulad na mga tile sa hugis ng isang isosceles trapezoid, posible na gumawa ng isang parquet na ganap na sumasaklaw sa anumang bahagi ng eroplano." Anong iba pang mga polygon ang maaaring gamitin sa pag-tile ng isang eroplano?

Tamang parquet floor

Parquet Ito ay tinatawag na pag-tile ng isang eroplanong may mga polygon kung saan ang buong eroplano ay sakop ng mga polygon na ito at alinman sa dalawang polygon ay maaaring magkaroon ng isang karaniwang panig, o may isang karaniwang vertex, o walang mga karaniwang punto.

Ang parquet ay tinatawag tama, kung ito ay binubuo ng pantay na mga regular na polygon.
Ang mga halimbawa ng tamang parquet flooring ay kilala sa mga Pythagorean. Pinupuno nila ang eroplano ng: mga parisukat, equilateral triangles, regular na hexagons.

Takdang-aralin para sa mga mag-aaral: Gumawa ng mga regular na sahig na parquet mula sa magagamit na mga modelo ng mga regular na polygon.

Tiyakin natin na walang ibang regular na polygon ang bumubuo sa parquet. At dito kailangan natin ang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon. Kung ang parquet ay gawa sa n-gons, pagkatapos ay sa bawat vertex ng parquet magkakaroon ng convergence k = 360°/ a n polygons, kung saan a n – tama ang anggulo n-gon. Madaling hanapin iyon a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120° at 120°<a n < 180° при n > 7. Samakatuwid, ang 360° ay nahahati nang pantay sa a n kailan lang n = 3; 4; 6.
Ito ay kagiliw-giliw na kabilang sa mga regular na tatsulok, parisukat at regular na heksagono, na ibinigay sa perimeter, ang heksagono ay may pinakamalaking lugar. Ang sitwasyong ito ay humahantong sa kalikasan sa katotohanan na ang mga pulot-pukyutan ng pukyutan ay may hugis ng mga regular na hexagons, dahil ang mga bubuyog, kapag nagtatayo ng mga pulot-pukyutan, ay likas na subukang gawing mas malawak ang mga ito hangga't maaari, habang gumagamit ng kaunting waks hangga't maaari.

Mga semi-regular na parquet floor.

Palawakin natin ang mga pamamaraan para sa paggawa ng mga parquet mula sa mga regular na polygon, na nagpapahintulot sa paggamit ng mga regular na polygon na may iba't ibang bilang ng mga gilid, ngunit sa paraang sa paligid ng bawat vertex ang mga regular na polygon ay nakaayos sa parehong pagkakasunud-sunod. Ang ganitong mga parquet ay tinatawag semi-regular.

Takdang-aralin ng mag-aaral: gamitin ang magagamit na mga modelo ng mga regular na polygon upang lumikha ng mga semi-regular na parquet floor.

Upang malaman ang bilang ng mga semi-regular na parquet, kinakailangan upang pag-aralan ang mga posibleng kaso ng pag-aayos ng mga regular na polygon sa paligid ng isang karaniwang vertex. Upang gawin ito, tukuyin natin ng a 1 ,a 2 ... ay ang mga anggulo ng mga regular na polygon na may karaniwang vertex. Ayusin natin ang mga ito sa pataas na pagkakasunud-sunod a 1 < a 2 < … Isinasaalang-alang na ang kabuuan ng lahat ng naturang mga anggulo ay dapat na katumbas ng 360°, bubuo kami ng isang talahanayan na naglalaman ng mga posibleng hanay ng mga anggulo at ipahiwatig ang kaukulang mga parquet.
Kaya, mayroong 11 regular at semi-regular na parquet sa kabuuan.

Mga Planigon

Isaalang-alang natin ang isa pang generalization - mga parquet na ginawa mula sa mga kopya ng isang di-makatwirang polygon, iwasto "sa mga gilid" (i.e., na nagbabago ng anumang naibigay na tile sa anumang iba pa). Tinatawag ang mga polygon na maaaring maging tile sa mga parquet na ito planigons.
Malinaw na ang isang eroplano ay maaaring ilagay sa mga kopya ng isang arbitrary na tatsulok, ngunit hindi gaanong halata na ang isang arbitrary quadrilateral ay isang planigon. Ang parehong ay totoo para sa anumang heksagono na ang magkabilang panig ay pantay at parallel.

Takdang-aralin ng mag-aaral: Gumawa ng mga parquet mula sa magagamit na mga kopya ng mga arbitrary na tatsulok at quadrangles.

Ang lahat ng mga parquet na tinalakay sa itaas ay pana-panahon, iyon ay, sa bawat isa sa kanila posible na pumili (at kahit na sa maraming paraan) isang lugar na binubuo ng ilang mga tile, mula sa kung saan ang buong parquet ay nakuha sa pamamagitan ng parallel shifts.
Ang interes ng mga siyentipiko sa gayong mga istruktura ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga pana-panahong pag-tile, lalo na ang mga spatial na tile, ay nagpapakita ng mga kristal na istruktura.

Tanong para sa hinaharap: Mayroon bang mga non-periodic tilings?

Sa halip na isang konklusyon

Ang partikular na interes ay ang paglikha ng iyong sariling mga parquet - pagpuno sa eroplano ng magkaparehong mga numero (mga elemento ng parquet) gamit, halimbawa, axial symmetry at parallel na pagsasalin. Ang pangunahing bagay ay ang konstruksiyon ay batay sa isang polygon, katumbas ng laki sa elemento ng parquet.

Takdang-Aralin. Lumikha ng parquet na gusto mo gamit ang anumang paraan: mula sa kulay na papel hanggang sa teknolohiya ng computer.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Atanasyan L.S. at iba pa Geometry, 7-9 – M.: Education, 2010.
2. Atanasyan L.S. atbp. Geometry: Idagdag. mga kabanata para sa paaralan aklat-aralin Ika-8 baitang: Teksbuk. manwal para sa mga mag-aaral sa paaralan. at cl. may lalim pinag-aralan matematika. – M.: Edukasyon, 1996.
3. Atanasyan L.S. atbp. Geometry: Idagdag. mga kabanata para sa paaralan aklat-aralin Ika-9 na baitang: Teksbuk. manwal para sa mga mag-aaral sa paaralan. at cl. may lalim pinag-aralan matematika. – M.: Edukasyon, 1997.
4. Kolmogorov A.N. Mga parquet na gawa sa mga regular na polygon.//Kvant, 1970, No. 3.
5. Smirnov V.A. Tinutulungan ng computer ang geometry //Mathematics: Lingguhang pang-edukasyon at metodolohikal na adj. sa gas "Una ng Setyembre." – 2003, No. 21.
6. Sovertkov P.I. at iba pa. Geometric parquet sa isang computer screen.//Informatics and Education, 2000, No. 9.
7. Encyclopedia para sa mga bata. T.11.Mathematics/Punong editor. M.D.Aksenova. – M.: Avanta+, 2008.

Upang galugarin at ilarawan ang volume, ginagamit ng mga tao ang paraan ng pag-project ng volumetric na katawan sa isang eroplano. Mukhang ganito:

Ang pag-alam kung ano ang hitsura ng mga projection, maaari mong makilala, galugarin, at bumuo ng isang tunay na three-dimensional na bagay.

Ito ay isang paraan ng pananaliksik na karaniwan sa classical crystallography. Ang mga mananaliksik ay unang nag-aaral ng isang projection o eroplano, "paving it" na may mga kalkuladong elemento na kasing higpit ng parquet, at sabay na pinag-aaralan ang simetrya at iba pang mga tampok sa sementadong eroplano.

Pagkatapos ang buong three-dimensional na volume ay napuno ng mga eroplanong ito, tulad ng pagpuno ng mga libro sa isang cubic packing box. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na pamamaraan ng pag-tile.

Ang interes sa pag-tile ay lumitaw na may kaugnayan sa pagtatayo ng mga mosaic, burloloy at iba pang mga pattern batay sa regular na polyhedra: mga tatsulok, mga parisukat at mga hexahedron.

Hindi kailanman naging posible na mag-tile ng isang eroplano mula sa isang regular na pentagon o pentagon. Nag-iiwan ito ng mga puwang—mga bitak na hindi napuno. At samakatuwid, sa klasikal na crystallography, ang pentagonal symmetry ay itinuturing na ipinagbabawal hanggang sa araw na ito.

At sa wakas, natagpuan ang gayong paraan.

Noong 1976, ang English mathematician na si Roger Penrose, aktibong nagtatrabaho sa iba't ibang larangan ng matematika, pangkalahatang relativity at quantum theory, ay nagbigay ng isang matematikal na paglalarawan ng "Penrose mosaic" na pinangalanan sa kanya.

Ginawa niyang posible, sa tulong lamang ng dalawang tile na napakasimpleng hugis, na ihanda ang isang walang katapusang eroplano na may hindi nauulit na pattern.

Upang maunawaan ang mathematical na kakanyahan ng "Penrose diamante", buksan natin ang pentagram.

Sa kanilang pinakasimpleng anyo, ang "Penrose tiles" ay isang set ng dalawang uri ng mga hugis diyamante, ang ilan ay may panloob na anggulo na 36°, ang iba ay may panloob na anggulo na 72°. Ang bawat isa ay binubuo ng dalawang tatsulok na pumupuno sa kaukulang modelo ng pentagram.

Ang mga ratio ng mga elemento ng pentagram ay ganap na sumasalamin sa Fibonacci na gintong proporsyon. Ang batayan nito ay ang hindi makatwirang numero = 1.6180339...

Ang ideya ni Penrose ng makapal na pagpuno ng isang eroplano sa tulong ng mga "gintong" rhombus ay nabago sa tatlong-dimensional na espasyo.

Sa kasong ito, ang papel ng "Penrose rhombuses" sa mga bagong spatial na istruktura ay maaaring i-play ng mga icosahedron at dodecahedron.

Ito ay isang magandang paghahanap, isa lamang sa maraming imbensyon ng maliwanag at matibay na pag-iisip ni Roger Penrose, na nabighani sa mga spatial na kabalintunaan. Ang kanyang hindi nagkakamali na pag-unawa sa Fibonacci golden ratio ay naroroon dito, na nagdala ng kanyang pananaliksik na mas malapit sa sining.

At ito ang nagsilbing batayan para sa karagdagang pananaliksik at pagtuklas ng mga quasicrystal sa mga laboratoryo ng kemikal at isang bago, mas malikhaing pag-unawa sa tatlong-dimensional na espasyo, kapwa para sa agham at sining.

Isa sa mga kapansin-pansing halimbawa ng malikhaing paggalugad na nakakuha ng aking pansin ay ang batang Slovenian artist na si Matyushka Teija Krašek.

Natanggap niya ang kanyang BA sa Pagpipinta mula sa College of Visual Arts (Ljubljana, Slovenia). Ang kanyang teoretikal at praktikal na gawain ay nakatuon sa mahusay na proporsyon bilang isang bridging konsepto sa pagitan ng sining at agham.

Ang kanyang likhang sining ay ipinakita sa maraming internasyonal na eksibisyon at inilathala sa mga internasyonal na magasin .

M.T. Krašek sa kanyang eksibisyon na 'Kaleidoscopic Fragrances', Ljubljana, 2005

Ang artistikong pagkamalikhain ni Mother Teia Krashek ay nauugnay sa iba't ibang uri ng simetrya, Penrose tile at rhombus, quasicrystals, ang gintong ratio bilang pangunahing elemento ng simetrya, mga numero ng Fibonacci, atbp.

Sa tulong ng pagmuni-muni, imahinasyon at intuwisyon, sinusubukan nitong makahanap ng mga bagong relasyon, bagong antas ng istraktura, bago at iba't ibang uri ng pagkakasunud-sunod sa mga elemento at istrukturang ito.

Sa kanyang trabaho, malawakang ginagamit niya ang mga computer graphics bilang isang napaka-kapaki-pakinabang na tool para sa paglikha ng likhang sining, na isang link sa pagitan ng agham, matematika at sining.

Kung pipiliin natin ang isa sa mga numero ng Fibonacci (halimbawa, 21 cm) para sa haba ng gilid ng brilyante ng Penrose sa medyo hindi matatag na komposisyon na ito, mapapansin natin kung paano bumubuo ng Fibonacci sequence ang mga haba ng ilan sa mga segment sa komposisyon.

Ang isang malaking bilang ng mga artistikong komposisyon ng artist ay nakatuon sa Shekhtman quasicrystals at Penrose lattices.

Sa mga kamangha-manghang komposisyon na ito, ang mga pagpapakita ng pabilog na simetrya ay maaaring maobserbahan sa mga ugnayan sa pagitan ng mga Penrose rhombus:

Ang bawat dalawang katabing Penrose diamante ay bumubuo ng isang pentagonal na bituin. Maaari mong makita ang Decagon na nabuo sa pamamagitan ng mga gilid ng 10 katabing Penrose rhombus, na lumilikha ng isang bagong regular na polyhedron.

At sa huling larawan mayroong isang walang katapusang pakikipag-ugnayan ng Penrose rhombuses - pentagrams, pentagons, bumababa patungo sa gitnang punto ng komposisyon. Ang mga ratio ng ginto ay kinakatawan sa maraming iba't ibang paraan sa iba't ibang mga sukat.

Ang mga artistikong komposisyon ni Mother Teia Krashek ay nakakuha ng malaking atensyon mula sa mga kinatawan ng agham at sining.

Ang Penrose mosaic ay isang mahusay na halimbawa kung paano ang isang magandang konstruksiyon, na matatagpuan sa intersection ng iba't ibang mga disiplina, ay kinakailangang makahanap ng sarili nitong aplikasyon.

Isang halimbawa ng pag-tile sa isang hyperbolic plane

Nakumpleto ng French mathematician na si Michael Rao mula sa Unibersidad ng Lyon ang solusyon sa problema ng pag-tile ng eroplano na may convex polygons. Ang isang preprint ng trabaho ay matatagpuan sa pahina ng siyentipiko.

Ang polygon ay tinatawag na convex kung ang lahat ng mga anggulo nito ay mas mababa sa 180 degrees o, na pareho, kasama ng anumang pares ng mga punto, ang naturang polygon ay naglalaman din ng isang segment na nagkokonekta sa kanila. Ang problema sa pag-tile (tinatawag ding problema sa parquet) ay nabuo tulad ng sumusunod: hayaang hatiin ang eroplano sa mga polygon upang ang alinmang dalawang polygon ay hindi magkaroon ng mga karaniwang punto o magkaroon lamang ng mga karaniwang boundary point. Kung ang lahat ng polygons ng naturang partition ay pareho (iyon ay, ang isa ay maaaring isalin sa isa pa sa pamamagitan ng isang komposisyon ng pagsasalin, pag-ikot o axial symmetry), kung gayon ang polygon ay sinasabing naka-tile sa eroplano. Ang problema ay ganito: ilarawan ang lahat ng matambok na polygon na naka-tile sa eroplano.

Gamit ang ilang kombinatoryal na pangangatwiran, mapapatunayan ng isa na ang gayong polygon ay maaari lamang magkaroon ng 3, 4, 5 o 6 na panig. Madaling suriin na ang eroplano ay maaaring i-tile sa anumang tri- o quadrilateral. Maaari mong basahin ang higit pa tungkol dito sa aming materyal.

Upang ilarawan ang lahat ng hexagons, tukuyin natin ang kanilang mga anggulo bilang A, B, C, D, E, F, at ang kanilang mga gilid bilang a, b, c, d, e, f. Sa kasong ito, ipinapalagay namin na ang gilid a ay katabi ng anggulo A sa kanan at ang lahat ng panig at anggulo ay pinangalanang clockwise. Noong dekada 60, napatunayan na ang lahat ng mga hexagon na maaaring gamitin sa pag-tile ng isang eroplano ay nabibilang sa hindi bababa sa isa sa tatlong mga klase (ang mga klase ay nagsalubong dito; sabihin nating, ang isang regular na hexagon ay kabilang sa lahat ng tatlo):

1. A + B + C = 360
2. A + B + D = 360, a = d, c = e
3. A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Lahat ng 15 kilalang pentagonal tessellations

Ang pinakamahirap na kaso ay ang pentagonal parquet. Noong 1918, inilarawan ng mathematician na si Karl Reinhardt ang limang klase ng naturang mga parquet, ang pinakasimpleng kung saan ay ang klase ng mga pentagons na may kondisyon na mayroong isang panig na ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay katumbas ng 180 degrees. Noong 1968, natagpuan ni Robert Kershner ang tatlo pang ganoong klase, at noong 1975, nakahanap si Richard James ng isa pa. Nagsulat ang isang magazine tungkol sa pagtuklas ni James Scientific American, Ang artikulo ay nakita ng American housewife at amateur mathematician na si Marge Rice, na manu-manong nakahanap ng 5 pang pamilya sa loob ng 10 taon.

Ang pinakabagong pag-unlad sa problema sa pag-tile ay nangyari noong Agosto 2015. Pagkatapos, ang mga mathematician mula sa Unibersidad ng Washington sa Bothell ay gumamit ng isang computer program sa grade 15 pentagonal parquets. Sa kanyang bagong trabaho, binawasan ni Michael Rao ang problema sa pag-uuri ng mga pentagonal parquet floor sa paghahanap ng 371 na opsyon. Siya ay dumaan sa mga opsyon sa computer at ipinakita na wala maliban sa 15 na kilalang tiling classes ang umiiral. Kaya, sa wakas ay naisara na niya ang problema sa pag-tile.

Andrey Konyaev

M =\langle \Sigma, Q, \Pi, B \in \Pi, s,\delta: Q \times \Pi \rightarrow Q \times \Pi \times \( \leftarrow, \downarrow, \rightarrow \) \ rangle at ang salitang w \in \Sigma^* . Kinakailangang matukoy kung ang isang ibinigay na MT ay titigil sa input w.

Upang patunayan ang hindi malulutas na problema sa pag-tile, para sa isang ibinigay na Turing machine M at isang salita w, bumuo kami ng isang hanay ng mga polyominoes na maaaring magamit upang i-tile ang isang-kapat ng eroplano kung ang MT ay hindi hihinto sa isang ibinigay na salita. Kung huminto ang MT, imposibleng i-tile ang isang-kapat ng eroplano na may resultang set.

Tularan natin ang proseso ng MT execution sa input w \in \Sigma^* sa pamamagitan ng pagbuo ng mga vertical row, na ang bawat isa ay katumbas ng MT configuration sa isang partikular na yugto ng execution. Ang unang row ay katumbas ng paunang MT configuration, at ang bawat kasunod na row ay tumutugma sa susunod na configuration. Sa simpleng mga termino, ang bawat hilera ay isang "snapshot" ng estado ng makina sa kaukulang yugto ng pagpapatupad.

Ang larawan sa itaas ay nagpapakita ng dalawang patayong hilera ng mga polyominoe. Ang unang hilera ay tumutugma sa MT at ang salitang w. Ang unang polyomino ay tumutugma sa pares mula sa unang simbolo at sa paunang estado, ang lahat ng iba ay tumutugma sa mga simbolo mula sa w . Sa pangalawang hilera, ang pangalawang polyomino ay tumutugma sa pares ng simbolo w at estado q. Ibig sabihin, ginawa ng MT ang paglipat \delta (s, w) = \langle q, w, \rightarrow \rangle.

Ngayon, batay sa ibinigay na MT, bubuo kami ng isang set ng polyominoes, na magkakaroon ng sumusunod na anyo:

Sa bawat panig ng naturang polyomino ay may tiyak na bilang ng mga protrusions/lambak. Ang bawat simbolo mula sa alpabeto, estado, at pares ng estado at simbolo ay nauugnay sa isang natatanging numero (maaari mong limitahan k \leqslant |\Pi| + |Q| + |\Pi \times Q| + 1) – ito ang magiging bilang ng mga protrusions/lambak na matatagpuan sa isang gilid ng polyomino.

Una, bumuo tayo ng isang hanay ng mga polyominoe na tumutukoy sa paunang pagsasaayos:

kung saan ang *i ay isang natatanging numero para sa bawat katabing pares ng mga polyominoe mula sa paunang pagsasaayos. Ang unang polyomino ay nagpapakilala sa paunang estado, ang mga sumusunod dito ay nag-encode ng input na salita, at ang panghuling polyomino ay kinakailangan upang i-tile nang tama ang natitirang bahagi ng serye.

Sa loob nito, ang bilang ng mga depresyon sa kaliwa ay katumbas ng bilang ng mga protrusions sa kanan. Ang ganitong uri ng polyomino ay ipinapasa ang mga nilalaman ng MT tape sa susunod na hilera.

Ngayon, bumuo tayo ng polyomino para sa transition function \delta (q, c) = \langle p, d, D \rangle, Saan q \in Q, p \in Q, c \in \Pi, d \in \Pi, D\in \(\leftarrow, \downarrow, \rightarrow \):

Ang figure ay nagpapakita (mula sa ibaba hanggang sa itaas) polyominoes naaayon sa mga halaga D = \(\leftarrow, \downarrow, \rightarrow\). Kasama ang susunod na uri, tinutularan nila ang paggalaw ng ulo ng MT.

Natatanggap ng mga polyomino na ito bilang input ang simbolo ng alpabeto c mula sa nakaraang row at ang estado p mula sa kalapit na polyomino, at pagkatapos ay ipasa ang isang pares ng estado at simbolo sa susunod na hilera.

Buuin natin ang huling uri ng polyominoes na nagpapakilala sa mga estado na \#_Y at \#_N :

Ang nasabing polyomino ay may natatanging bilang ng mga protrusions sa kanan. Walang ibang polyomino mula sa resultang set ang makakasama dito, at hindi na posible ang karagdagang pag-tile.

Ang resultang reduction algorithm ay tumatanggap ng MT at isang salita bilang input, at naglalabas ng isang set ng polyominoes na naaayon sa kanila.

Kaya, ang isang quarter plane ay maaaring i-tile kung at kung ang naka-encode na MT ay hindi titigil sa isang naibigay na input. Sa madaling salita, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga pagsasaayos na hindi nagbabago sa isang pangwakas na estado. Nangangahulugan ito na maaari naming i-tile ang plane row sa row ng walang katapusang bilang ng beses, na sa kalaunan ay i-tile ang eroplano.

Kung huminto ang MT, hindi namin magagawang i-tile ang isang-kapat ng eroplano dahil sa katotohanan na ang finite polyomino ay walang continuation. Nangangahulugan ito na ang problema ng pag-tile ng polyominoes ay hindi malulutas.