Ángulo por relación de aspecto. Área de un triángulo

En geometría, un ángulo es una figura que está formada por dos rayos que emergen de un punto (llamado vértice del ángulo). En la mayoría de los casos, la unidad de medida del ángulo es el grado (°); recuerde que un ángulo completo, o una revolución, es 360°. Puede encontrar el valor del ángulo de un polígono por su tipo y los valores de otros ángulos, y si se le da un triángulo rectángulo, el ángulo se puede calcular a partir de dos lados. Además, el ángulo se puede medir con un transportador o calcular con una calculadora gráfica.

Pasos

Cómo encontrar los ángulos interiores de un polígono

Cuenta el número de lados del polígono. Para calcular los ángulos interiores de un polígono, primero debes determinar cuántos lados tiene el polígono. Tenga en cuenta que el número de lados de un polígono es igual al número de sus ángulos.

• Por ejemplo, un triángulo tiene 3 lados y 3 ángulos interiores, y un cuadrado tiene 4 lados y 4 ángulos interiores.

1. Calcula la suma de todos los ángulos interiores del polígono. Para hacer esto, use la siguiente fórmula: (n - 2) x 180. En esta fórmula, n es el número de lados del polígono. Las siguientes son las sumas de los ángulos de los polígonos que se encuentran comúnmente:

   • La suma de los ángulos de un triángulo (un polígono de 3 lados) es 180°.
   • La suma de los ángulos de un cuadrilátero (un polígono de 4 lados) es 360°.
   • La suma de los ángulos de un pentágono (un polígono de 5 lados) es 540°.
   • La suma de los ángulos de un hexágono (un polígono de 6 lados) es 720°.
   • La suma de los ángulos de un octágono (un polígono de 8 lados) es 1080°.

2. Divide la suma de todos los ángulos de un polígono regular por el número de ángulos. Un polígono regular es un polígono con lados iguales y ángulos iguales. Por ejemplo, cada ángulo de un triángulo equilátero se calcula de la siguiente manera: 180 ÷ 3 = 60°, y cada ángulo de un cuadrado se calcula de la siguiente manera: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Un triángulo equilátero y un cuadrado son polígonos regulares. Y el edificio del Pentágono (Washington, EE. UU.) y la señal de alto tienen la forma de un octágono regular.

3. Resta la suma de todos los ángulos conocidos de la suma total de los ángulos del polígono irregular. Si los lados de un polígono no son iguales entre sí, y sus ángulos tampoco son iguales entre sí, primero suma ángulos conocidos polígono. Ahora resta el valor resultante de la suma de todos los ángulos del polígono; de esta manera encontrarás el ángulo desconocido.

   • Por ejemplo, si dado que los 4 ángulos de un pentágono son 80°, 100°, 120° y 140°, suma estos números: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Ahora resta este valor a la suma de todos los ángulos del pentágono; esta suma es igual a 540°: 540 - 440 = 100°. Por tanto, el ángulo desconocido es 100°.

   Consejo: El ángulo desconocido de algunos polígonos se puede calcular si se conocen las propiedades de la figura. Por ejemplo, en un triángulo isósceles, dos lados son iguales y dos ángulos son iguales; En un paralelogramo (que es un cuadrilátero), los lados opuestos son iguales y los ángulos opuestos son iguales.

   Mide la longitud de los dos lados del triángulo. lado más largo triángulo rectángulo llamada hipotenusa. El lado adyacente es el lado que está cerca del ángulo desconocido. El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo desconocido. Mide los dos lados para calcular los ángulos desconocidos del triángulo.

   Consejo: use una calculadora gráfica para resolver las ecuaciones o busque una tabla en línea con los valores de senos, cosenos y tangentes.

   Calcula el seno de un ángulo si conoces el lado opuesto y la hipotenusa. Para hacer esto, reemplaza los valores en la ecuación: sin(x) = lado opuesto ÷ hipotenusa. Por ejemplo, el lado opuesto mide 5 cm y la hipotenusa mide 10 cm Divide 5/10 = 0,5. Por tanto, sen(x) = 0,5, es decir, x = sen -1 (0,5).

Construir cualquier techo no es tan fácil como parece. Y si desea que sea confiable, duradero y que no tenga miedo de diversas cargas, primero, en la etapa de diseño, debe hacer muchos cálculos. E incluirán no solo la cantidad de materiales utilizados para la instalación, sino también la determinación de los ángulos de pendiente, las áreas de pendiente, etc. ¿Cómo calcular correctamente el ángulo de pendiente del techo? De este valor dependerán en gran medida el resto de parámetros de este diseño.

El diseño y construcción de cualquier techo es siempre un asunto muy importante y responsable. Especialmente cuando se trata del tejado de un edificio residencial o de un tejado de forma compleja. Pero incluso un cobertizo ordinario, instalado en un cobertizo o garaje anodino, también necesita cálculos preliminares.

Si no determina de antemano el ángulo de inclinación del techo, no podrá saber qué altura óptima debe tener una cumbrera, existe un alto riesgo de que se construya un techo que se derrumbe después de la primera nevada, o que toda la cubierta de acabado sea arrancada incluso con un viento moderado.

Además, el ángulo del techo afectará significativamente la altura de la cumbrera, el área y las dimensiones de las pendientes. Dependiendo de esto, será posible calcular con mayor precisión la cantidad necesaria para crear sistema de vigas y materiales de acabado.

Precios para diferentes tipos de cumbreras.

Cumbrera del techo

Unidades

Recordando la geometría que todos estudiaron en la escuela, podemos decir con confianza que el ángulo del techo se mide en grados. Sin embargo, en los libros sobre construcción, así como en varios dibujos, puede encontrar otra opción: el ángulo se indica como porcentaje (aquí nos referimos a la relación de aspecto).

Generalmente, El ángulo de pendiente es el ángulo formado por dos planos que se cruzan– el techo y la propia pendiente del tejado. Solo puede ser agudo, es decir, estar en el rango de 0 a 90 grados.

¡En una nota! Las pendientes muy pronunciadas, cuyo ángulo de inclinación es superior a 50 grados, son extremadamente raras en su forma pura. Generalmente sólo se utilizan cuando diseño decorativo techos, pueden estar presentes en los áticos.

En cuanto a medir los ángulos del techo en grados, todo es simple: todos los que estudiaron geometría en la escuela tienen este conocimiento. Basta con dibujar un diagrama del techo en papel y utilizar un transportador para determinar el ángulo.

En cuanto a los porcentajes, es necesario conocer la altura de la cumbrera y el ancho del edificio. El primer indicador se divide por el segundo y el valor resultante se multiplica por 100%. De esta manera se puede calcular el porcentaje.

¡En una nota! En un porcentaje de 1, el grado típico de inclinación es del 2,22%. Es decir, una pendiente con un ángulo de 45 grados ordinarios es igual al 100%. Y el 1 por ciento son 27 minutos de arco.

Tabla de valores: grados, minutos, porcentajes.

¿Qué factores influyen en el ángulo de inclinación?

El ángulo de inclinación de cualquier techo está influenciado por una gran cantidad de factores, que van desde los deseos del futuro propietario de la casa hasta la región donde se ubicará la casa. Al calcular, es importante tener en cuenta todas las sutilezas, incluso aquellas que a primera vista parecen insignificantes. Es posible que algún día desempeñen su papel. Determine el ángulo apropiado del techo sabiendo:

• tipos de materiales con los que se construirá la tarta del techo, desde el sistema de vigas hasta la decoración exterior;
• condiciones climáticas en un área determinada (carga de viento, dirección predominante del viento, cantidad de precipitación, etc.);
• la forma del futuro edificio, su altura, diseño;
• Propósito del edificio, opciones para usar el espacio del ático.

En aquellas regiones donde hay una fuerte carga de viento, se recomienda construir un techo con una pendiente y un ligero ángulo de inclinación. Entonces en viento fuerte el techo tiene más posibilidades de mantenerse en pie y no ser arrancado. Si es típico de la región. un gran número de precipitación (nieve o lluvia), entonces es mejor hacer la pendiente más pronunciada; esto permitirá que la precipitación ruede/escurra del techo y no cree una carga adicional. La pendiente óptima de un techo inclinado en regiones ventosas varía entre 9 y 20 grados, y donde llueve mucho, hasta 60 grados. Un ángulo de 45 grados permitirá ignorar la carga de nieve en su conjunto, pero en este caso la presión del viento sobre el techo será 5 veces mayor que en un techo con una pendiente de solo 11 grados.

¡En una nota! Cuanto mayores sean los parámetros de pendiente del techo, mayor gran cantidad Se necesitarán materiales para crearlo. El costo aumenta al menos un 20%.

Ángulos de pendiente y materiales para techos.

No solo condiciones climáticas tendrá un impacto significativo en la forma y el ángulo de las pendientes. Los materiales utilizados para la construcción, en particular los revestimientos de tejados, también desempeñan un papel importante.

Mesa. Ángulos de pendiente óptimos para cubiertas de diversos materiales.

¡En una nota! Cuanto menor sea la pendiente del techo, menor será la pendiente utilizada al crear el revestimiento.

Precios de tejas metálicas.

Baldosas metálicas

La altura de la cresta también depende del ángulo de la pendiente.

Al calcular cualquier techo, siempre se toma como punto de referencia un triángulo rectángulo, donde los catetos son la altura de la pendiente en el punto superior, es decir, en la cumbrera o la transición de la parte inferior de todo el sistema de vigas. hasta la parte superior (en el caso de techos abuhardillados), así como la proyección de la longitud de una determinada pendiente sobre la horizontal, que está representada por los techos. Aquí solo hay un valor constante: esta es la longitud del techo entre las dos paredes, es decir, la longitud del tramo. La altura de la parte de cumbrera variará según el ángulo de inclinación.

El conocimiento de las fórmulas de trigonometría le ayudará a diseñar un techo: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LxtgA, S = H/sinA, donde A es el ángulo de la pendiente, H es la altura del techo hasta el área de la cumbrera, L es la mitad de la longitud total del tramo del techo (con techo a dos aguas) o la longitud total (en el caso de un tejado inclinado), S es la longitud de la pendiente misma. Por ejemplo, si se conoce el valor exacto de la altura de la parte de la cumbrera, entonces el ángulo de inclinación se determina mediante la primera fórmula. Puedes encontrar el ángulo usando la tabla de tangentes. Si los cálculos se basan en el ángulo del techo, entonces el parámetro de altura de la cumbrera se puede encontrar usando la tercera fórmula. La longitud de las vigas, teniendo el valor del ángulo de inclinación y los parámetros de las patas, se puede calcular utilizando la cuarta fórmula.

Un triángulo es un número geométrico que consta de tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en la misma recta. Los puntos que forman un triángulo se llaman puntos y los segmentos están uno al lado del otro.

Dependiendo del tipo de triángulo (rectangular, monocromático, etc.), puedes calcular el lado del triángulo de diferentes maneras, dependiendo de los datos de entrada y las condiciones del problema.

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Para calcular los lados de un triángulo rectángulo se utiliza el teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si etiquetamos los catetos como "a" y "b" y la hipotenusa como "c", entonces las páginas se pueden encontrar con las siguientes fórmulas:

Si se conocen los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (a y b), sus lados se pueden encontrar con las siguientes fórmulas:

Triángulo recortado

Un triángulo se llama triángulo equilátero en el que ambos lados son iguales.

Cómo encontrar la hipotenusa en dos catetos.

Si la letra "a" es idéntica a la misma página, "b" es la base, "b" es el ángulo opuesto a la base, "a" es el ángulo adyacente para calcular las páginas podemos utilizar las siguientes fórmulas:

Dos esquinas y un lado

Si se conocen una página (c) y dos ángulos (a y b) de cualquier triángulo, se utiliza la fórmula del seno para calcular las páginas restantes:

Debes encontrar el tercer valor y = 180 - (a + b) porque

la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°;

Dos lados y un ángulo

Si se conocen dos lados de un triángulo (a y b) y el ángulo entre ellos (y), se puede utilizar el teorema del coseno para calcular el tercer lado.

Cómo determinar el perímetro de un triángulo rectángulo

Un triángulo triangular es un triángulo, uno de los cuales tiene 90 grados y los otros dos son agudos. cálculo perímetro semejante triángulo dependiendo de la cantidad de información que se conozca sobre él.

Lo necesitarás

• Según el caso, se dominan los tres lados del triángulo, así como uno de sus ángulos agudos.

instrucciones

primero Método 1. Si se conocen las tres páginas triángulo Luego, ya sea perpendicular o no triangular, el perímetro se calcula como: P = A + B + C, donde sea posible, c es la hipotenusa; a y b son catetos.

segundo Método 2.

Si un rectángulo tiene sólo dos lados, entonces usando el teorema de Pitágoras, triángulo se puede calcular usando la fórmula: P = v (a2 + b2) + a + b o P = v (c2 - b2) + b + c.

tercero Método 3. ¿Sea la hipotenusa c y un ángulo agudo? Dado un triángulo rectángulo, será posible encontrar el perímetro de la siguiente manera: P = (1 + sen?

cuatro Método 4. Dicen que en un triángulo rectángulo la longitud de un cateto es igual a a y, por el contrario, tiene un ángulo agudo. Luego calcula perímetro Este triángulo se realizará según la fórmula: P = a * (1 / tg?

1/hijo? + 1)

quintos Método 5.

Cálculo de triángulos en línea

Dejemos que nuestra pierna avance y se incluya en ella, entonces el rango se calculará como: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

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El teorema de Pitágoras es la base de todas las matemáticas. Determina la relación entre los lados de un triángulo verdadero. Ahora hay 367 demostraciones de este teorema.

instrucciones

primero La formulación escolar clásica del teorema de Pitágoras suena así: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Para encontrar la hipotenusa en un triángulo rectángulo de dos Catets, debes recurrir a elevar al cuadrado las longitudes de los catetos, juntarlos y sacar la raíz cuadrada de la suma. En la formulación original de su afirmación, el mercado se basa en la hipotenusa, que es igual a la suma de los cuadrados de 2 cuadrados producidos por Catete. Sin embargo, la formulación algebraica moderna no requiere la introducción de una representación de dominio.

segundo Por ejemplo, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm y 8 cm.

Entonces, según el teorema de Pitágoras, la hipotenusa cuadrada es igual a R + S = 49 + 64 = 113 cm. La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada del número 113.

Ángulos de un triángulo rectángulo

El resultado fue una cifra infundada.

tercero Si los triángulos son catetos 3 y 4, entonces la hipotenusa = 25 = 5. Cuando sacas la raíz cuadrada, obtienes un número natural. Los números 3, 4, 5 forman un triplete pigagórico, ya que satisfacen la relación x? +¿Y? = Z, que es natural.

Otros ejemplos de triplete pitagórico son: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

cuatro En este caso, si los catetos son idénticos entre sí, el teorema de Pitágoras se convierte en una ecuación más primitiva. Por ejemplo, supongamos que dicha mano es igual al número A y la hipotenusa está definida para C, y luego ¿c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. En este caso no necesitas A.

quintos El teorema de Pitágoras es un caso especial, mayor que el teorema general del coseno, que establece la relación entre los tres lados de un triángulo para cualquier ángulo entre dos de ellos.

Consejo 2: Cómo determinar la hipotenusa de catetos y ángulos.

La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo de 90 grados.

instrucciones

primero En el caso de catéteres conocidos, además del ángulo agudo de un triángulo rectángulo, la hipotenusa puede tener un tamaño igual a la relación entre el cateto y el coseno/seno de este ángulo, si el ángulo fuera opuesto/e incluye: H = C1 (o C2)/sen, H = C1 (o C2?)/cos?. Ejemplo: Sea ABC un triángulo irregular con hipotenusa AB y ángulo recto C.

Sea B 60 grados y A 30 grados. La longitud del tallo BC es de 8 cm. Se debe encontrar la longitud de la hipotenusa AB. Para hacer esto puedes usar uno de los métodos anteriores: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

La hipotenusa es el lado más largo de un rectángulo. triángulo. Está ubicado en ángulo recto. Método para encontrar la hipotenusa de un rectángulo. triángulo dependiendo de los datos de origen.

instrucciones

primero Si tus piernas son perpendiculares triángulo, entonces la longitud de la hipotenusa del rectángulo triángulo se puede descubrir mediante un análogo pitagórico: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos: c2 = a2 + b2, donde a y b son las longitudes de los catetos de la derecha triángulo .

segundo Si uno de los catetos es conocido y está en un ángulo agudo, la fórmula para encontrar la hipotenusa dependerá de la presencia o ausencia en un cierto ángulo en relación con el cateto conocido: adyacente (el cateto está ubicado cerca), o viceversa ( el caso opuesto se ubica nego.V del ángulo especificado es igual a la fracción de hipotenusa del cateto en el ángulo coseno: a = a / cos E, por otro lado, la hipotenusa es la misma que la razón de los ángulos seno: da = a / pecado.

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Un triángulo angular cuyos lados están relacionados como 3:4:5, llamado delta egipcio debido a que estas figuras fueron muy utilizadas por los arquitectos del antiguo Egipto.

Este es también el ejemplo más simple de los triángulos de Jero, en el que las páginas y el área están representados por números enteros.

Un triángulo se llama rectángulo cuyo ángulo mide 90°. El lado opuesto a la esquina derecha se llama hipotenusa, el otro se llama catetos.

Si quieres encontrar cómo se forma un triángulo rectángulo a partir de algunas propiedades de los triángulos regulares, a saber, el hecho de que la suma de los ángulos agudos es 90°, que se utiliza, y el hecho de que la longitud del cateto opuesto es la mitad de la hipotenusa. es 30°.

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Triángulo recortado

Una de las propiedades de un triángulo igual es que sus dos ángulos son iguales.

Para calcular el ángulo de un triángulo rectángulo congruente debes saber que:

• Esto no es peor que 90°.
• Los valores de los ángulos agudos están determinados por la fórmula: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, es decir

  Los ángulos α y β miden 45°.

Si valor conocido uno de los ángulos agudos es conocido, el otro se puede encontrar usando la fórmula: β = 180º-90º-α o α = 180º-90º-β.

Esta relación se usa con mayor frecuencia si uno de los ángulos es de 60° o 30°.

Conceptos clave

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

Como es un nivel, dos siguen siendo agudos.

Calcular triángulo en línea

Si quieres encontrarlos, debes saber que:

otros metodos

Los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo se pueden calcular a partir del promedio - con una línea desde un punto en el lado opuesto del triángulo, y la altura - la línea es una perpendicular trazada desde la hipotenusa en ángulo recto. .

Sea la mediana la extensión desde la esquina derecha hasta la mitad de la hipotenusa y sea h la altura. En este caso resulta que:

• pecado α = b / (2 * s); pecado β = a / (2 * s).
• porque α = a / (2 * s); porque β = b / (2 * s).
• sen α = h/b; pecado β = h/a.

Dos paginas

Si en un triángulo rectángulo o en ambos lados se conocen las longitudes de la hipotenusa y de uno de los catetos, entonces para determinar los valores de los ángulos agudos se utiliza identidades trigonométricas:

• α = arcosen (a/c), β = arcosen (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arctan (a/b), β = arctan (b/a).

Longitud de un triángulo rectángulo

Área y Área de un Triángulo

perímetro

La circunferencia de cualquier triángulo es igual a la suma de las longitudes de los tres lados. La fórmula general para encontrar un triángulo triangular es:

donde P es la circunferencia del triángulo, a, b y c de sus lados.

Perímetro de un triángulo igual se puede encontrar combinando sucesivamente las longitudes de sus lados o multiplicando la longitud del lado por 2 y sumando la longitud de la base al producto.

La fórmula general para encontrar un triángulo de equilibrio será la siguiente:

donde P es el perímetro de un triángulo igual, pero b, b es la base.

Perímetro de un triángulo equilátero se puede encontrar combinando secuencialmente las longitudes de sus lados o multiplicando la longitud de cualquier página por 3.

La fórmula general para encontrar el borde de triángulos equiláteros se verá así:

donde P es el perímetro de un triángulo equilátero, a es cualquiera de sus lados.

región

Si quieres medir el área de un triángulo, puedes compararlo con un paralelogramo. Considere el triángulo ABC:

Si tomamos el mismo triángulo y lo arreglamos para obtener un paralelogramo, obtenemos un paralelogramo con la misma altura y base que este triángulo:

En este caso, el lado común de los triángulos se dobla a lo largo de la diagonal del paralelogramo moldeado.

De las propiedades de un paralelogramo. Se sabe que las diagonales de un paralelogramo siempre se dividen en dos triángulos iguales, entonces la superficie de cada triángulo es igual a la mitad del alcance del paralelogramo.

Dado que el área de un paralelogramo es igual al producto de la altura de su base, el área del triángulo será igual a la mitad de este producto. Por tanto, para ΔABC el área será la misma

Consideremos ahora un triángulo rectángulo:

Dos triángulos rectángulos idénticos se pueden doblar hasta formar un rectángulo si se apoya contra ellos, siendo cada uno una hipotenusa.

Dado que la superficie del rectángulo coincide con la superficie de los lados adyacentes, el área de este triángulo es la misma:

De esto podemos concluir que la superficie de cualquier triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos dividido por 2.

De estos ejemplos se puede concluir que la superficie de cada triángulo es igual al producto de la longitud, y la altura se reduce al sustrato dividida por 2.

La fórmula general para encontrar el área de un triángulo quedaría así:

donde S es el área del triángulo, pero su base, pero la altura cae hasta el fondo a.

Definición de triángulo

Triángulo- Este figura geométrica, que se forma como resultado de la intersección de tres segmentos cuyos extremos no se encuentran en la misma recta. Cualquier triángulo tiene tres lados, tres vértices y tres ángulos.

Calculadora online

hay triangulos varios tipos. Por ejemplo, hay triángulo equilátero(aquel en el que todos los lados son iguales), isósceles (dos lados son iguales en él) y rectangular (en el que uno de los ángulos es recto, es decir, igual a 90 grados).

El área de un triángulo se puede encontrar. diferentes caminos dependiendo de qué elementos de la figura se conocen a partir de las condiciones del problema, ya sean ángulos, longitudes o incluso los radios de los círculos asociados con el triángulo. Veamos cada método por separado con ejemplos.

Fórmula para el área de un triángulo en función de su base y altura

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ un ⋅h,

una una a- base del triángulo;
S.S h- la altura del triángulo dibujado sobre la base a dada.

Ejemplo

Calcula el área de un triángulo si se conoce la longitud de su base, igual a 10 (cm) y la altura trazada hasta esta base, igual a 5 (cm).

Solución

A = 10 a = 10 un =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Sustituimos esto en la fórmula del área y obtenemos:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (ver cuadrados)

Respuesta: 25 (cm2)

Fórmula para el área de un triángulo basada en las longitudes de todos los lados

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p - una ) ⋅ (p - segundo ) ⋅ (p - c )​ ,

A, b, c a, b, c a B C- longitudes de los lados del triángulo;
p p pag- la mitad de la suma de todos los lados del triángulo (es decir, la mitad del perímetro del triángulo):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)pag =2 1 ​ (un +b+C)

Esta fórmula se llama la fórmula de garza.

Ejemplo

Encuentra el área de un triángulo si se conocen las longitudes de sus tres lados, iguales a 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Solución

A = 3 a = 3 un =3
segundo = 4 segundo = 4 segundo =4
c = 5 c = 5 c =5

Encontremos la mitad del perímetro. p p pag:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6pag =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Entonces, según la fórmula de Herón, el área del triángulo es:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (ver cuadrados)

Respuesta: 6 (ver cuadrado)

Fórmula para el área de un triángulo dado un lado y dos ángulos

S = a 2 2 ⋅ sen ⁡ β sen ⁡ γ sen ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 a 2 ​ ⋅ pecado(β + γ)pecado β pecado γ ​ ,

una una a- longitud del lado del triángulo;
β , γ \beta, \gamma β , γ - ángulos adyacentes al lado un un a.

Ejemplo

Dado un lado de un triángulo igual a 10 (cm) y dos ángulos adyacentes de 30 grados. Encuentra el área del triángulo.

Solución

A = 10 a = 10 un =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Según la fórmula:

S = 1 0 2 2 ⋅ pecado ⁡ 3 0 ∘ pecado ⁡ 3 0 ∘ pecado ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\aprox14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ pecado(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) pecado 3 0 ∘ pecado 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (ver cuadrados)

Respuesta: 14,4 (ver cuadr.)

Fórmula para el área de un triángulo basada en tres lados y el radio del círculo circunstante

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Run ⋅ segundo ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a B C- lados del triángulo;
RR R- radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.

Ejemplo

Tomemos los números de nuestro segundo problema y sumémosles el radio. RR R círculos. Sea igual a 10 (cm.).

Solución

A = 3 a = 3 un =3
segundo = 4 segundo = 4 segundo =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (ver cuadrados)

Respuesta: 1,5 (cm2)

Fórmula para el área de un triángulo basada en tres lados y el radio del círculo inscrito

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= pag⋅ r,

p ppag- la mitad del perímetro del triángulo:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)pag= 2 a+ b+ C​ ,

a, b, c a, b, ca, b, C- lados del triángulo;
r rr- el radio del círculo inscrito en el triángulo.

Ejemplo

Sea el radio del círculo inscrito 2 (cm). Tomaremos las longitudes de los lados del problema anterior.

Solución

$a=3segundo\; =\; 4\; segundo\; =\; 4b=4c\; =\; 5\; c\; =\; 5C=5r=2\; r=2r=2$

$pag=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (ver cuadrados)

Respuesta: 12 (cm2)

Fórmula para el área de un triángulo basada en dos lados y el ángulo entre ellos

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ C⋅ pecado(α ) ,

segundo, c segundo, cb, C- lados del triángulo;

α\alfaα - ángulo entre lados b bb Y ccC.

Ejemplo

Los lados del triángulo miden 5 (cm) y 6 (cm), el ángulo entre ellos es de 30 grados. Encuentra el área del triángulo.

Solución

$b=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6C=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ pecado(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (ver cuadrados)

Respuesta: 7,5 (cm2)

Los primeros son los segmentos adyacentes al ángulo recto, y la hipotenusa es la parte más larga de la figura y se ubica frente al ángulo de 90 grados. Un triángulo pitagórico es aquel cuyos lados son iguales a los números naturales; sus longitudes en este caso se denominan “triple pitagórico”.

triangulo egipcio

Para que la generación actual reconozca la geometría en la forma en que se enseña ahora en la escuela, esta se ha desarrollado a lo largo de varios siglos. Se considera que el punto fundamental es el teorema de Pitágoras. Los lados de un rectángulo (conocido en todo el mundo) son 3, 4, 5.

Pocas personas no están familiarizadas con la frase “los pantalones pitagóricos son iguales en todas direcciones”. Sin embargo, en realidad el teorema suena así: c 2 (cuadrado de la hipotenusa) = a 2 + b 2 (suma de los cuadrados de los catetos).

Entre los matemáticos, un triángulo con lados 3, 4, 5 (cm, m, etc.) se llama "egipcio". Lo interesante es que lo que está inscrito en la figura es igual a uno. El nombre surgió alrededor del siglo V a.C., cuando los filósofos griegos viajaron a Egipto.

Al construir las pirámides, los arquitectos y topógrafos utilizaron la proporción 3:4:5. Tales estructuras resultaron ser proporcionales, agradables a la vista y espaciosas, y rara vez se derrumbaron.

Para construir un ángulo recto, los constructores utilizaron una cuerda con 12 nudos atados. En este caso, la probabilidad de construir un triángulo rectángulo aumentó al 95%.

Signos de igualdad de cifras.

• Un ángulo agudo en un triángulo rectángulo y un lado largo, que son iguales a los mismos elementos en el segundo triángulo, son un signo indiscutible de igualdad de cifras. Teniendo en cuenta la suma de los ángulos, es fácil demostrar que los segundos ángulos agudos también son iguales. Por tanto, los triángulos son idénticos según el segundo criterio.
• Al superponer dos figuras una encima de la otra, las rotamos para que, al combinarlas, se conviertan en un triángulo isósceles. Según su propiedad, los lados, o más bien las hipotenusas, son iguales, al igual que los ángulos en la base, lo que significa que estas figuras son iguales.

Con base en el primer signo, es muy fácil demostrar que los triángulos son realmente iguales, lo principal es que los dos lados más pequeños (es decir, los catetos) son iguales entre sí.

Los triángulos serán idénticos según el segundo criterio, cuya esencia es la igualdad del cateto y el ángulo agudo.

Propiedades de un triángulo con un ángulo recto.

La altura desde la que se bajó ángulo recto, divide la figura en dos partes iguales.

Los lados de un triángulo rectángulo y su mediana se pueden reconocer fácilmente por la regla: la mediana que cae sobre la hipotenusa es igual a la mitad de ella. se puede encontrar tanto mediante la fórmula de Heron como mediante la afirmación de que es igual a la mitad del producto de las piernas.

En un triángulo rectángulo se aplican las propiedades de los ángulos de 30°, 45° y 60°.

• Con un ángulo de 30°, hay que recordar que el cateto opuesto será igual a la mitad del lado mayor.
• Si el ángulo mide 45°, entonces el segundo ángulo agudo también mide 45°. Esto sugiere que el triángulo es isósceles y sus catetos son iguales.
• La propiedad de un ángulo de 60° es que el tercer ángulo mide 30° en grados.

El área se puede encontrar fácilmente usando una de tres fórmulas:

1. por la altura y el lado por el que desciende;
2. según la fórmula de Heron;
3. en los lados y el ángulo entre ellos.

Los lados de un triángulo rectángulo, o más bien los catetos, convergen con dos alturas. Para encontrar el tercero, es necesario considerar el triángulo resultante y luego, utilizando el teorema de Pitágoras, calcular la longitud requerida. Además de esta fórmula, también existe una relación entre el doble del área y la longitud de la hipotenusa. La expresión más común entre los estudiantes es la primera, ya que requiere menos cálculos.

Teoremas aplicados al triángulo rectángulo

La geometría del triángulo rectángulo implica el uso de teoremas como: