Однородное и стационарное поле. Потенциальное поле сил

Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке, например поле силы тяжести Земли или поле сил сопротивления в потоке жидкости (газа). Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле называют стационарным . Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.

Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 , зависит, вообще говоря, от пути. Однако, среди стационарных силовых полей имеются такие, в которых эта работа не зависит от пути между точками 1 и 2 . Этот класс полей, обладая рядом важнейших свойств, занимает особое место в механике. К изучению этих свойств мы и перейдем.

Поясним сказанное на примере следящей силы. На рис. 5.4 изображено тело ABCD, в точке О которого приложена сила , неизменно связанная с телом.

Переместим тело из положения I в положение II двумя способами. Выберем вначале в качестве полюса точку О (рис. 5.4а)) и повернем тело вокруг полюса на угол π/2 противоположно направлению вращения часовой стрелки. Тело займет положение A"B"C"D". Сообщим теперь телу поступательное перемещение в вертикальном направлении на величину ОО". Тело займет положение II (A"B"C"D"). Работа силы на совершенном перемещении тела из положения I в положение II равна нулю. Вектор перемещения полюса представлен отрезком ОО".

При втором способе выберем в качестве полюса точку K рис. 5.4б) и повернем тело вокруг полюса на угол π/2 против движения часовой стрелки. Тело займет положение A"B"C"D" (рис. 5.4б). Теперь переместим тело вертикально вверх с вектором перемещения полюса KK", после чего дадим телу горизонтальное перемещение влево на величину K"K". В результате тело займет положение II, такое же, как на позиции, рис.5.4а )рисунка 5.4. Однако теперь вектор перемещения полюса будет иным, чем в первом способе, а работа силы при втором способе перемещения тела из положения I в положение II равна А = F К"К", т. е. отлична от нуля.

Определение : стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих точек, называют потенциальным, а сами силы – консервативными.

Потенциалом таких сил (потенциальной энергией )называется работа, совершенная ими на перемещениях тела из конечного положения в начальное, причем начальное положение может быть выбрано произвольно. Это означает, что потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной.

Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным, а силы поля называются неконсервативными .

В реальных механических системах всегда имеются силы, работа которых при действительном движении системы отрицательна (например, силы трения). Такие силы называются диссипативными. Они являются частным видом неконсервативных сил.

Консервативные силы обладают рядом замечательных свойств, для выявления которых введем понятие силового поля. Силовым полем называется пространство (или его часть ), в котором на материальную точку, помещенную в каждую точку этого поля, действует некоторая сила.

Покажем, что в потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю. Действительно, любой замкнутый путь (рис. 5.5) можно разбить произвольно на две части, 1а2 и 2b1 . Так как поле потенциально, то, по условию, . С другой стороны, очевидно, что . Поэтому

что и требовалось доказать.

Обратно, если работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю, то работа этих сил на пути между произвольными точками 1 и 2 от формы пути не зависит, т. е. поле потенциально. Для доказательства возьмем два произвольных пути 1а2 и 1b2 (см. рис. 5.5). Составим из них замкнутый путь 1а2b1 . Работа на этом замкнутом пути по условию равна нулю, т. е. . Отсюда . Но , поэтому

Таким образом, равенство нулю работы сил поля на любом замкнутом пути есть необходимое и достаточное условие независимости работы от формы пути, и может считаться отличительным признаком любого потенциального поля сил.

Поле центральных сил. Всякое силовое поле вызывается действием определенных тел. Сила, действующая на частицу А в таком поле, обусловлена взаимодействием этой частицы с данными телами. Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, соединяющей эти частицы, называют центральными. Примером последних являются силы гравитационные, кулоновские и упругие.

Центральную силу, действующую на частицу А со стороны частицы В , можно представить в общем виде:

где f (r ) - функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от r - расстояния между частицами; - единичный вектор, задающий направление радиуса-вектора частицы А относительно частицы В (рис. 5.6).

Докажем, что всякое стационарное поле центральных сил потенциально .

Для этого рассмотрим сначала работу центральных сил в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы В . Элементарная работа силы (5.8) на перемещении есть . Так как - проекция вектора на вектор , или на соответствующий радиус-вектор (рис. 5.6), то . Работа же этой силы по произвольном пути от точки 1 до точки 2

Полученное выражение зависит, только от вида функции f (r ), т. е. от характера взаимодействия, и от значений r 1 и r 2 начального и конечного расстояний между частицами А и В . От формы пути оно никак не зависит. А это значит, что данное силовое поле потенциально.

Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц, действующих на частицу А с силами , каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы А из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой из этих сил не зависит от формы пути, то и работа результирующей силы от нее также не зависит.

Таким образом, действительно, любое стационарное поле центральных сил потенциально.

Потенциальная энергия частицы. То обстоятельство, что работа сил потенциального поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе, что мы перемещаем частицу в потенциальном поле сил из разных точек Р i в фиксированную точку О . Так как работа сил поля не зависит от формы пути, то остается зависимость ее только от положения точки Р (при фиксированной точке О ). А это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора точки Р . Обозначив, эту функцию , запишем

Функцию называют потенциальной энергией частицы в данном поле.

Теперь найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис. 5.7). Так как работа не зависит от пути, возьмем путь проходящий через точку 0. Тогда работа на пути 1 02 может быть представлена в виде

или с учетом (5.9)

Выражение, стоящее справа, есть убыль* потенциальной энергии, т. е. разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути.

_________________

* Изменение какой-либо величины X можно характеризовать либо ее приращением, либо убылью. Приращением величины X называют разность конечного (X 2 ) и начального (Х 1 ) значений этой величины:

приращение ΔХ = Х 2 - Х 1 .

Убылью величины X называют разность ее начального (Х 1 ) и конечного (Х 2 ) значений:

убыль Х 1 - Х 2 = - ΔХ ,

т. е. убыль величины X равна ее приращению, взятому с обратным знаком.

Приращение и убыль - величины алгебраические: если Х 2 > X 1 , то приращение положительно, а убыль отрицательна, и наоборот.

Таким образом, работа сил поля на пути 1 - 2 равна убыли потенциальной энергии частицы.

Очевидно, частице, находящейся в точке 0 поля, всегда можно приписать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь разность потенциальных энергий в двух точках поля, но не ее абсолютная величина. Однако как только фиксировано значение

потенциальной энергии в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой (5.10).

Формула (5.10) дает возможность найти выражение для любого потенциального поля сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия .

Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а также в однородном поле тяжести [см. формулы (5.3) - (5.5)]. Из этих формул сразу видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых полях имеет следующий вид:

1) в поле упругой силы

2) в поле точечной массы (заряда)

3) в однородном поле тяжести

Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия U - это функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во все формулы входит только разность значений U в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех предыдущих выражениях.

И еще одно важное обстоятельство, о котором не следует забывать. Потенциальную энергию, строго говоря, следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.

Связь между потенциальной энергией и силой . Согласно (5.10), работа силы потенциального поля равна убыли потенциальной энергии частицы, т. е. А 12 = U 1 - U 2 = - (U 2 - U 1). При элементарном перемещении последнее выражение имеет вид dА = - dU , или

F l dl= - dU. (5.14)

т. е. проекция силы поля в данной точке на направление перемещения равна с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по данному направлению.

, то с помощью формулы (5.16) мы имеем возможность восстановить поле сил .

Геометрическое место точек в пространстве, в которых потенциальная энергия U имеет одно и то же значение, определяет эквипотенциальную поверхность. Ясно, что каждому значению U соответствует своя эквипотенциальная поверхность.

Из формулы (5.15) следует, что проекция вектора на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор нормален к эквипотенциальной поверхности в данной точке. Кроме того, знак минус в (5.15) означает, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциальной энергии. Сказанное поясняет рис. 5.8, относящийся к двумерному случаю; здесь изображена система эквипотенциалей, причем U 1 < U 2 < U 3 < … .

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил – работа на замкнутой траектории равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести, гравитационная сила, сила упругости и другие силы.

Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы.

Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее условию, при котором на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени. Силовое поле. силы которого не зависят от времени, называется стационарным. Стационарное силовое поле называется потенциальным, если существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так: X i =∂υ/∂x i ; Y i =∂υ/∂y i ; Z i = ∂υ/∂z i.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы

получить значение в точке нужно произвести предельный переход:

Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

В пространстве, в каждой точке которого на пробную частицу действует определённая по величине и направлению сила (вектор силы).

Технически различают (как это делается и для других видов полей)

• стационарные поля, величина и направление которых могут зависеть исключительно от точки пространства (координат x, у, z), и
• нестационарные силовые поля, зависящие также от момента времени t.

• однородное силовое поле, для которого сила, действующая на пробную частицу, одинакова во всех точках пространства и
• неоднородное силовое поле, не обладающее таким свойством.

Наиболее простым для исследования является стационарное однородное силовое поле, но оно же представляет собой и наименее общий случай.

Потенциальные поля

Если работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нём пробную частицу, не зависит от траектории частицы, и определяется только её начальным и конечным положениями, то такое поле называется потенциальным. Для него можно ввести понятие потенциальной энергии частицы - некоторой функции координат частиц такой, что разность её значений в точках 1 и 2 равна работе, совершаемой полем при перемещении частицы из точки 1 в точку 2.

Сила в потенциальном поле выражается через потенциальную энергию как ее градиент :

Примеры потенциальных силовых полей:

Литература

Е. П. Разбитная, В. С. Захаров «Курс теоретической физики», книга 1. - Владимир, 1998.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Силовое поле (физика)" в других словарях:

Силовое поле многозначный термин, употребляемый в следующих значениях: Силовое поле (физика) векторное поле сил в физике; Силовое поле (научная фантастика) некий невидимый барьер, основная функция которого защита некоторой … Википедия

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/4 июля 2012. Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно по … Википедия

Поле многозначное понятие, связанное с протяжённостью в пространстве: поле в Викисловаре … Википедия

- (от древнегреч. physis природа). Древние называли физикой любое исследование окружающего мира и явлений природы. Такое понимание термина физика сохранилось до конца 17 в. Позднее появился ряд специальных дисциплин: химия, исследующая свойства… … Энциклопедия Кольера

Силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом (См. Магнитный момент), независимо от состояния их движения. М. п. характеризуется вектором магнитной индукции В, который определяет:… … Большая советская энциклопедия

Физическое поле - особая форма материи, связывающая частицы вещества и передающая (с конечной скоростью) воздействие одних тел на другие. Каждому типу взаимодействия в природе соответствует свое поле. Силовым полем называют область пространства, в которой на помещенное туда материальное тело действует сила, зависящая (в общем случае) от координат и от времени. Силовое поле называется стационарным, если действующие в нем силы не зависят от времени. Силовое поле, в любой точке которого сила, действующая на данную материальную точку, имеет одно и то же значение (по модулю и направлению), является однородным.

Можно характеризовать силовое поле силовыми линиями. В этом случае касательные к силовым линиям определяют направление действия силы в этом поле, а густота силовых линий пропорциональна величине силы.

Рис. 1.23.

Центральной называется сила, линяя действия которой во всех положениях проходит через некоторую определенную точку, называемую центром силы (точка О на рис. 1.23).

Поле, в котором действует центральная сила, - центральное силовое поле. Величина силы F(r), действующей на один и тот же материальный объект (материальную точку, тело, электрический заряд и др.) в разных точках такого поля, зависит только от расстояния г до центра сил, т.е.

(- единичный вектор в направлении вектора г ). Все силовые

Рис. 1.24. Схематическое представление на плоскости хОу однородного поля

линии такого поля проходят через одну точку (полюс) О; момент центральной силы в этом случае относительно полюса тождественно равен нулю M 0 (F ) = з 0. К центральным относятся гравитационные и кулоновские поля (и силы соответственно).

На рисунке 1.24 приведен пример однородного силового поля (его плоская проекция): в каждой точке такого поля действующая на одно и то же тело сила одинакова по величине и направлению, т.е.

Рис. 1.25. Схематическое представление на хОу неоднородного поля

На рисунке 1.25 приведен пример неоднородного поля, в котором F (х ,

у, z ) *? const и

и не равны нулю 1 . Густота силовых линий в различных областях такого поля не одинакова - в области справа поле более сильное.

Все силы в механике можно разбить на две группы: консервативные силы (действующие в потенциальных полях) и неконсервативные (или диссипативные). Силы называются консервативными (или потенциальными), если работа этих сил не зависит ни от формы траектории тела, на которое они действуют, ни от длины пути в области их действия, а определяется только начальным и конечным положением точек перемещения в пространстве. Поле консервативных сил называется потенциальным (или консервативным) полем.

Покажем, что работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. Для этого разобьем замкнутую траекторию произвольно на два участка а2 и Ь2 (рис. 1.25). Так как силы консервативны, то Л 1а2 = А т. С другой стороны А 1Ь2 = -А ш. Тогда А иш = А 1а2 + А ш = = А а2 - А Ь2 = 0, что и требовалось доказать. Справедливо и обратное

Рис. 1.26.

утверждение: если работа сил по произ-воль- ному замкнутому контуру ф равна нулю, то силы консервативны, а поле потенциально. Это условие записывается в виде контурного интеграла

Рис. 1.27.

что означает: в потенциальном поле циркуляция вектора F по любому замкнутому контуру L равна нулю.

Работа неконсервативных сил в общем случае зависит как от формы траектории, так и длины пути. Примером неконсервативных сил могут служить силы трения и сопротивления.

Покажем, что все центральные силы относятся к категории консервативных сил. Действительно (рис. 1.27), если сила F центральная, то ее можно пред-

1 Представленное на рис. 1.23 центральное силовое поле также является неоднородным полем.

ставить в виде В этом случае элементарная работа силы F

на элементарном перемещении d/ будет или

dA = F(r)dlcos а = F(r) dr (так как rdl = rdl cos a, a d/ cos а = dr). Тогда работа

где /(г) - первообразная функция.

Из полученного выражения видно, что работа Ап центральной силы F зависит только от вида функции F(r) и расстояний г { и г 2 точек 1 и 2 от силового центра О и не зависит от длины пути от 1 к 2, что и отражает консервативный характер центральных сил.

Приведенное доказательство является общим для любых центральных сил и полей, следовательно, охватывает упомянутые выше силы - гравитационные и кулоновские.

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Например, взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и телом, поднятым над ее поверхностью, взаимодействие между наэлектризованными телами. Такие взаимодействия осуществляются посредством физических полей , которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, Земля создает гравитационное поле. В нем на каждое тело массы m в каждой точке вблизи поверхности Земли действует сила - mg.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а определяется только начальным и конечным положением частицы, называются консервативными .

Покажем, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.

Рассмотрим произвольный замкнутый путь. Разобьем его произвольно выбранными точками 1 и 2 на два участка: I и II. Работа на замкнутом пути равна:

(18 .1 )

Рис.18.1. Работа консервативных сил на замкнутом пути

Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений dr на (-dr), из-за чего изменяет знак на обратный. Тогда:

(18 .2 )

Теперь, подставив (18.2.) в (18.1.) , получаем, что А=0, т.е. вышеприведенное утверждение нами доказано. Другое определение консервативных сил можно сформулировать так: консервативные силы, это силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными . К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления.

Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, то поле называется однородным.

Поле, не изменяющееся со временем, называется стационарным . В случае однородного стационарного поля: F=const.

Утверждение: силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны.

Докажем это утверждение. Так как поле однородно и стационарно, то F=const. Возьмем в этом поле две произвольные точки 1 и 2 (рис.18.2.) и рассчитаем работу, совершаемую над частицей при ее перемещении из точки 1 в точку 2.

18.2. Работа сил в однородном стационарном поле на пути от точки 1 к точке 2

Работа сил, действующих на частицу в однородном стационарном поле, равна:

где r F - проекция вектора перемещения r 12 на направление действия силы, r F определяется только положениями точек 1 и 2, и не зависит от формы траектории. Тогда, работа силы в этом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек перемещения, т.е. силы однородного стационарного поля консервативны.

Вблизи поверхности Земли поле силы тяжести является однородным стационарным полем и работа силы mg равна:

(18 .4 )

где (h 1 -h 2) - проекция перемещения r 12 на направление силы, сила mg направлена вертикально вниз, сила тяжести консервативна.

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами, и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называются центральными. Примерами центральных сил являются: кулоновские, гравитационные, упругие.