Promotrimo projekcije točaka na dvije ravnine, za koje uzimamo dvije okomite ravnine (sl. 4), koje ćemo zvati horizontalne fronte i ravnine. Sjecište tih ravnina naziva se os projekcije. Jednu točku A projiciramo na razmatrane ravnine pomoću ravninske projekcije. Za to je potrebno spustiti okomice Aa i A iz zadane točke na razmatrane ravnine.

Projekcija na horizontalnu ravninu naziva se horizontalna projekcija bodova A, i projekcija A? na frontalnoj ravni zove se frontalna projekcija.

Točke koje se projiciraju obično se u nacrtnoj geometriji označavaju velikim slovima A, B, C. Mala slova koriste se za označavanje horizontalnih projekcija točaka a, b, c... Frontalne projekcije označene su malim slovima s crtom na vrhu a?, b?, c?…

Točke su također označene rimskim brojevima I, II,... a za njihove projekcije - arapskim brojevima 1, 2... i 1?, 2?...

Zakretanjem horizontalne ravnine za 90° dobiva se crtež na kojem su obje ravnine u istoj ravnini (sl. 5). Ova slika se zove dijagram točke.

Kroz okomite linije Ahh I ha? Nacrtajmo ravninu (slika 4). Dobivena ravnina je okomita na frontalnu i horizontalnu ravninu jer sadrži okomice na te ravnine. Stoga je ta ravnina okomita na presjek ravnina. Dobivena ravna crta siječe horizontalnu ravninu u ravnoj liniji ahh x, a frontalna ravnina – u ravnoj liniji a?a X. Ravno aah i a?a x su okomite na os presjeka ravnina. To je Aahaha? je pravokutnik.

Pri kombinaciji horizontalne i frontalne projekcijske ravnine A I A? ležat će na istoj okomitoj osi presjeka ravnina, budući da kada horizontalna ravnina rotira, okomitost segmenata ahh x i a?a x neće biti slomljen.

To dobivamo na dijagramu projekcije A I A? neka točka A leže uvijek na istoj okomici na os presjeka ravnina.

Dvije projekcije a i A? određene točke A može jednoznačno odrediti njezin položaj u prostoru (sl. 4). To potvrđuje i činjenica da će okomica iz projekcije a na vodoravnu ravninu konstruirati kroz točku A. Na isti način okomica iz projekcije A? na frontalnu ravninu proći će kroz točku A, tj. točka A je istovremeno na dvije određene ravne linije. Točka A je njihova sjecišna točka, odnosno određena je.

Razmotrimo pravokutnik Aaa x A?(Sl. 5), za koje vrijede sljedeće tvrdnje:

1) Udaljenost točke A od frontalne ravnine jednaka je udaljenosti njegove horizontalne projekcije a od osi presjeka ravnina, tj.

ha? = ahh X;

2) udaljenost točke A od horizontalne ravnine projekcija jednaka je udaljenosti njegove frontalne projekcije A? od osi presjeka ravnina, tj.

Ahh = a?a X.

Drugim riječima, čak i bez same točke na dijagramu, koristeći samo njezine dvije projekcije, možete saznati na kojoj se udaljenosti određena točka nalazi od svake od ravnina projekcije.

Sjecište dviju projekcijskih ravnina dijeli prostor na četiri dijela koji se tzv u četvrtinama(slika 6).

Os presjeka ravnina dijeli horizontalnu ravninu na dvije četvrtine - prednju i stražnju, a frontalnu ravninu - na gornju i donju četvrtinu. Gornji dio frontalne ravnine i prednji dio horizontalne ravnine smatraju se granicama prve četvrtine.

Pri primanju dijagrama horizontalna ravnina se okreće i poravnava s frontalnom ravninom (slika 7). U tom će se slučaju prednji dio vodoravne ravnine poklapati s donjim dijelom frontalne ravnine, a stražnji dio vodoravne ravnine poklapati će se s gornjim dijelom frontalne ravnine.

Slike 8-11 prikazuju točke A, B, C, D koje se nalaze u različitim četvrtima prostora. Točka A nalazi se u prvoj četvrtini, točka B je u drugoj, točka C je u trećoj, a točka D je u četvrtoj.

Kada se bodovi nalaze u prvoj ili četvrtoj četvrtini njih horizontalne projekcije nalaze se na prednjem dijelu horizontalne ravnine, a na dijagramu će ležati ispod osi presjeka ravnina. Kada se točka nalazi u drugoj ili trećoj četvrtini, njena horizontalna projekcija ležat će na stražnjoj strani horizontalne ravnine, a na dijagramu će se nalaziti iznad osi presjeka ravnina.

Frontalne projekcije točke koje se nalaze u prvoj ili drugoj četvrtini ležat će na gornjem dijelu frontalne ravnine, a na dijagramu će se nalaziti iznad osi presjeka ravnina. Kada se točka nalazi u trećoj ili četvrtoj četvrtini, njena frontalna projekcija je ispod osi presjeka ravnina.

Najčešće se u realnim konstrukcijama lik postavlja u prvu četvrtinu prostora.

U nekim posebnim slučajevima, točka ( E) može ležati na horizontalnoj ravnini (slika 12). U tom će se slučaju njegova horizontalna projekcija e i sama točka podudarati. Frontalna projekcija takve točke nalazit će se na osi presjeka ravnina.

U slučaju kada se točka DO leži na frontalnoj ravnini (slika 13), svojoj horizontalnoj projekciji k leži na osi presjeka ravnina, a front k? pokazuje stvarni položaj ove točke.

Za takve točke znak da leži na jednoj od ravnina projekcija je da je jedna od njezinih projekcija na osi presjeka ravnina.

Ako točka leži na presječnoj osi projekcijskih ravnina, ona i obje njezine projekcije se podudaraju.

Kada točka ne leži na ravninama projekcija tzv točka opći položaj . U nastavku, ako nema posebnih oznaka, riječ je o točki općeg položaja.

2. Nedostatak osi projekcije

Da bismo objasnili kako dobiti projekcije točke na model okomito na ravninu projekcije (slika 4), potrebno je uzeti komad debelog papira u obliku izduženog pravokutnika. Treba ga saviti između projekcija. Preklopna linija će predstavljati os presjeka ravnina. Ako se nakon toga savijeni papir ponovno ispravi, dobit ćemo dijagram sličan ovom prikazanom na slici.

Spajanjem dviju ravnina projekcije s ravninom crtanja moguće je ne prikazati liniju pregiba, odnosno ne nacrtati os presjeka ravnina na dijagramu.

Kada crtate na dijagramu, uvijek trebate postaviti projekcije A I A? točku A na jednoj okomitoj liniji (slika 14), koja je okomita na os presjeka ravnina. Stoga, čak i ako položaj osi presjeka ravnina ostaje nesiguran, ali je njen smjer određen, os presjeka ravnina može se locirati samo na dijagramu okomito na ravnu liniju ha?.

Ako na dijagramu točke nema osi projekcije, kao na prvoj slici 14 a, možete zamisliti položaj te točke u prostoru. Da biste to učinili, nacrtajte bilo gdje okomito na ravnu liniju ha? os projekcije, kao na drugoj slici (sl. 14) i savijte crtež duž ove osi. Ako obnovimo okomice u točkama A I A? prije nego što se presjeku, možete dobiti bod A. Pri promjeni položaja osi projekcije dobivaju se različiti položaji točke u odnosu na ravnine projekcije, ali nesigurnost u položaju osi projekcije ne utječe na međusobni dogovor nekoliko točaka ili figura u prostoru.

3. Projekcije točke na tri projekcijske ravnine

Razmotrimo profilnu ravninu projekcija. Projekcije na dvije okomite ravnine obično određuju položaj lika i omogućuju određivanje njegove stvarne veličine i oblika. Ali postoje trenuci kada dvije projekcije nisu dovoljne. Zatim se koristi konstrukcija treće projekcije.

Treća ravnina projekcije nacrtana je tako da je okomita na obje ravnine projekcije istovremeno (slika 15). Obično se zove treći avion profil.

U takvim se konstrukcijama naziva zajednička ravna linija vodoravne i frontalne ravnine os x , zajednička pravac horizontalne i profilne ravnine – os na , a zajednička ravna linija frontalne i profilne ravnine je os z . Točka OKO, koja pripada svim trima ravninama, naziva se ishodištem.

Slika 15a prikazuje točku A i tri njegove projekcije. Projekcija na ravninu profila ( A??) se zovu projekcija profila i označavaju A??.

Da bi se dobio dijagram točke A, koji se sastoji od tri projekcije a, a, a, potrebno je izrezati trokut koji čine sve ravnine duž y-osi (sl. 15b) i spojiti sve te ravnine s ravninom frontalne projekcije. Vodoravna ravnina mora se rotirati oko osi x, a ravnina profila je oko osi z u smjeru označenom strelicom na slici 15.

Slika 16 prikazuje položaj projekcija ha, ha? I A?? bodova A, dobivena spajanjem sve tri ravnine s ravninom nacrta.

Kao rezultat rezanja, y-os se pojavljuje na dva različita mjesta na dijagramu. Na vodoravnoj ravnini (slika 16) zauzima okomiti položaj (okomito na os x), a na ravnini profila – horizontalno (okomito na os z).

Na slici 16 postoje tri projekcije ha, ha? I A?? točke A imaju strogo definiran položaj na dijagramu i podložne su nedvosmislenim uvjetima:

A I A? treba uvijek biti smješten na istoj okomitoj liniji, okomito na os x;

A? I A?? treba uvijek biti smješten na istoj horizontalnoj ravnoj liniji, okomito na os z;

3) kada se izvodi kroz horizontalnu projekciju i horizontalnu pravu te kroz profilnu projekciju A??– okomiti pravac, konstruirani pravci nužno će se sijeći na simetrali kuta između osi projekcije, jer slika Oa na A 0 A n – kvadrat.

Kod konstruiranja tri projekcije točke potrebno je provjeriti jesu li za svaku točku zadovoljena sva tri uvjeta.

4. Koordinate točke

Položaj točke u prostoru može se odrediti pomoću tri broja koji se nazivaju it koordinate. Svaka koordinata odgovara udaljenosti točke od neke ravnine projekcije.

Određena udaljenost točke A ravnini profila je koordinata x, pri čemu x = ha? ha(Sl. 15), udaljenost do frontalne ravnine je koordinata y, a y = ha? ha, a udaljenost do horizontalne ravnine je koordinata z, pri čemu z = aA.

Na slici 15 točka A zauzima širinu pravokutnog paralelopipeda, a mjere tog paralelopipeda odgovaraju koordinatama te točke, tj. svaka od koordinata prikazana je na slici 15 četiri puta, tj.

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = a?A = Oa y = a x a = a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Na dijagramu (slika 16) x i z koordinate se pojavljuju tri puta:

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Svi segmenti koji odgovaraju koordinati x(ili z), međusobno su paralelne. Koordinirati na predstavljen dvaput okomitom osi:

y = Oa y = a x a

i dva puta – horizontalno:

y = Oa y = a z a?.

Ova razlika se pojavljuje zbog činjenice da je y-os prisutna na dijagramu u dva različita položaja.

Treba uzeti u obzir da je položaj svake projekcije na dijagramu određen sa samo dvije koordinate, i to:

1) horizontalno – koordinate x I na,

2) frontalni – koordinate x I z,

3) profil – koordinate na I z.

Korištenje koordinata x, y I z, možete konstruirati projekcije točke na dijagramu.

Ako je točka A dana koordinatama, njihov zapis se definira na sljedeći način: A ( X; y; z).

Pri konstruiranju projekcija točaka A moraju se provjeriti sljedeći uvjeti:

1) horizontalne i frontalne projekcije A I A? x x;

2) frontalne i profilne projekcije A? I A? moraju biti smješteni na istoj okomitoj osi z, budući da imaju zajedničku koordinatu z;

3) horizontalna projekcija i također uklonjena s osi x, poput projekcije profila A daleko od osi z, budući da projekcije ah? i eh? imaju zajedničku koordinatu na.

Ako točka leži u bilo kojoj od ravnina projekcije, tada je jedna od njezinih koordinata jednaka nuli.

Kada točka leži na osi projekcije, dvije njene koordinate jednake su nuli.

Ako točka leži u ishodištu, sve tri koordinate su nula.

U nekim slučajevima, radi lakšeg rješavanja problema, potrebno je koristiti dodatne ravnine projekcije okomite na postojeće ravnine projekcije.

Ako su zadane horizontalna i frontalna projekcija točke, tada se projekcija profila određuje pomoću sljedećeg algoritma.

Crtamo projekcijsku vezu okomito na os Oz.

Na ovoj liniji spajanja projekcije postavljamo segment A 1 A x =A Z A 3 .

Pomoću ovog pravila možete konstruirati projekcije točaka na dodatne ravnine projekcija (metoda zamjene ravnine).

Neka se da točka A(A 2 ,A 1 ) i nova dodatna projekcijska ravnina P 4 P 1 . Izgraditi A 4 – točkasta projekcija A na P 4 .

Riješenje

a) Gradimo presjek ravnina P 1 I P 4 = x 1,4 ;

b) Kroz točku A nacrtati projekcijsku komunikacijsku liniju x 1,4 .

c) Gradimo projekciju A 4 , Koristim jednakost segmenata A 2 A x =A 4 A x .

Projekcije u dvije točke A 1 I A 4 leže na istoj liniji projekcijske veze okomito na os x 1,4 .

Udaljenost od "nove" projekcije točke A 4 na “novu” os x 1,4 jednaka udaljenosti od “stare” projekcije točke A 2 na “staru” osovinu x 1,2 .

Natjecateljski bodovi

Natjecateljski bodovi imenuj par točaka koje leže na istoj projicirajućoj zraki.

Od dvije konkurentne točke vidljiva je ona točka koja je udaljenija od ravnine projekcije.

Bodovi A I U nazivaju se horizontalno konkurentnim.

Bodovi S I D nazivaju se frontalno natjecateljskim.

Unesite dodatnu ravninu tako da točke A I U postala konkurentna.

Plan rješenja:

1 Izgradnja osi x 1,4 A 1 , B 1 ;

2 Izgradnja projekcijske komunikacijske linije x 1,4 ;

3 Na komunikacijskoj liniji projekcije odlažemo segmente A x A 2 = A / x A 4 , B x B 2 = B / x B 4 .

Materijal za samostalno učenje Modeliranje 2D grafičkih objekata u grafičkom sustavu kompas Pokretanje i gašenje sustava kompas

Sustav KOMPAS-3D-V8 pokreće se slično kao i drugi programi. Za pokretanje sustava morate odabrati izbornik \ Početak\ Svi Pprograma\ ASCON\KOMPAS-3D- V8 i pobjeći KOMPAS. Prečac programa možete odabrati pokazivačem miša na polju radne površine i dvaput kliknuti lijevu tipku miša. Da biste otvorili dokument, morate kliknuti gumb Otvoren na ploči Standard . Za početak novog dokumenta kliknite gumb Stvoriti na ploči Standard ili pokrenite naredbu Datoteka > Stvoriti te u dijaloškom okviru koji se otvori odaberite vrstu dokumenta koji želite izraditi i kliknite u redu.

Za završetak rada odaberite izbornik Datoteka\Izlaz, kombinacijom tipki Alt-F4 ili kliknite gumb Zatvori.

Glavne vrste dokumenata kompasnog grafičkog sustava

Vrsta dokumenta koji se kreira u sustavu KOMPAS ovisi o vrsti informacija koje su pohranjene u tom dokumentu. Svaka vrsta dokumenta ima nastavak naziva datoteke i vlastitu ikonu.

1 Crtež- glavna vrsta grafičkog dokumenta u KOMPAS-u. Crtež sadrži grafički prikaz proizvoda u jednoj ili više vrsta, glavni natpis i okvir. KOMPAS crtež uvijek sadrži jedan list formata koji određuje korisnik. Datoteka crteža ima ekstenziju .cdw.

2 ulomak- pomoćna vrsta grafičkog dokumenta u KOMPAS-u. Fragment se razlikuje od crteža u nedostatku okvira, glavnog natpisa i drugih dizajnerskih objekata dizajnerskog dokumenta. Fragmenti pohranjuju stvorena standardna rješenja za kasniju upotrebu u drugim dokumentima. Datoteka fragmenta ima ekstenziju .frw.

3 Tekstualni dokument(ekstenzija datoteke . kdw);

4 Specifikacija(ekstenzija datoteke . spw);

5 Skupština(ekstenzija datoteke . a3 d);

6 Detalj- 3D modeliranje (ekstenzija datoteke . m3 d);

PROJEKCIJE TOČKE.

ORTOGONALNI SUSTAV DVIJE RAVNINE PROJEKCIJA.

Bit metode ortogonalne projekcije je da se predmet projicira na dvije međusobno okomite ravnine zrakama ortogonalnima (okomitima) na te ravnine.

Jedna od ravnina projiciranja H postavljena je vodoravno, a druga V okomito. Ravnina H naziva se horizontalna ravnina projekcija, V se naziva frontalna ravnina. Ravnine H i V su beskonačne i neprozirne. Pravac presjeka ravnina projekcija naziva se koordinatna os i označava se VOL. Projekcijske ravnine dijele prostor na četiri diedarska kuta – četvrtine.

Pri razmatranju ortogonalnih projekcija pretpostavlja se da je promatrač u prvoj četvrtini na beskonačno velikoj udaljenosti od ravnina projekcije. Budući da su te ravnine neprozirne, promatraču će biti vidljive samo one točke, linije i figure koje se nalaze unutar iste prve četvrtine.

Prilikom konstruiranja projekcija potrebno je to zapamtiti ortogonalna projekcija točkeosnovica okomice povučene iz dane točke naziva se ravninana ovaj avion.

Na slici je prikazana točka A i njegove ortogonalne projekcije a 1 I a 2.

Točka a 1 nazvao horizontalna projekcija bodova A, točka a 2- nju frontalna projekcija. Svaki od njih je baza okomice povučene iz točke A odnosno u avionu H I V.

Može se dokazati da točkasta projekcijauvijek se nalaze na ravnim linijama, okomitokularna osOH i sijeku ovu osna istoj točki. Doista, projiciranje zraka Aa 1 I Aa 2 definirati ravninu okomitu na ravnine projekcija i crtu njihova sjecišta - os OH. Ova ravnina siječe H I V u ravnim crtama a 1 ax I a 1 ax, koji tvore s osi VOL a međusobno pravi kutovi s vrhom u točki Ax.

Vrijedi i suprotno, tj. ako su točke zadane na ravninama projekcijaa 1 I a 2 , smještene na ravnim linijama koje se sijeku os VOLu određenoj točki pod pravim kutom,onda su to projekcije nekihtočka A. Ta je točka određena sjecištem okomica izgrađenih iz točaka a 1 I a 2 do aviona H I V.

Imajte na umu da položaj projekcijskih ravnina u prostoru može biti različit. Na primjer, obje ravnine, budući da su međusobno okomite, mogu biti okomite, ali čak iu tom slučaju ostaje važeća gore dokazana pretpostavka o usmjerenosti suprotnih projekcija točaka u odnosu na os.

Da biste dobili ravni crtež koji se sastoji od gornjih projekcija, ravnina H u kombinaciji rotacijom oko osi VOL s avionom V, kao što je prikazano strelicama na slici. Kao rezultat toga, prednja poluravnina H bit će poravnat s donjom poluravninom V, a stražnja poluravnina H- s gornjom poluravninom V.

Projekcijski crtež u kojem su ravnine projekcije sa svime što je na njima prikazano na određeni način spojene jedna s drugom naziva se dijagram(od francuskog epure - crtež). Na slici je prikazan dijagram točke A.

Ovom metodom kombiniranja ravnina H I V projekcije a 1 I a 2 nalazit će se na istoj okomici na os VOL. U ovom slučaju udaljenost a 1 a x — od horizontalne projekcije točke na os VOL A Gornja traka V, i udaljenost a 2 a x — od čeone projekcije točke na os VOL jednaka udaljenosti od same točke A Gornja traka H.

Dogovorimo se da ćemo prave linije nazvati ravnima koje povezuju suprotne projekcije točke na dijagramu projekcijske komunikacijske linije.

Položaj projekcija točaka na dijagramu ovisi o tome u kojoj se četvrtini nalazi navedena točka. Dakle, ako je točka U nalazi se u drugoj četvrtini, tada će se nakon kombiniranja ravnina činiti da obje projekcije leže iznad osi VOL.

Ako je točka S nalazi se u trećoj četvrtini, tada će njegova horizontalna projekcija, nakon spajanja ravnina, biti iznad osi, a frontalna projekcija ispod osi VOL. Konačno, ako točka D nalazi se u četvrtoj četvrtini, tada će obje njegove projekcije biti ispod osi VOL. Na slici su prikazane točke M I N, ležeći na ravninama projekcije. U tom položaju točka se poklapa s jednom od svojih projekcija, dok njena druga projekcija leži na osi VOL. Ova se značajka također odražava u oznaci: u blizini projekcije s kojom se sama točka podudara, veliko slovo je napisano bez indeksa.

Također treba primijetiti da se dvije projekcije točke podudaraju. To će se dogoditi ako je točka u drugoj ili četvrtoj četvrtini na istoj udaljenosti od ravnina projekcije. Obje projekcije se kombiniraju sa samom točkom ako se potonja nalazi na osi VOL.

ORTOGONALNI SUSTAV TRI RAVNINE PROJEKCIJA.

Gore je pokazano da dvije projekcije točke određuju njezin položaj u prostoru. Budući da je svaka figura ili tijelo skup točaka, može se tvrditi da dvije ortogonalne projekcije objekta (uz prisutnost slovnih oznaka) u potpunosti određuju njegov oblik.

Međutim, u praksi, slike građevinske strukture, strojeva i raznih inženjerskih konstrukcija, postoji potreba za izradom dodatnih projekcija. Oni to čine s jedinom svrhom da projekcijski crtež učine jasnijim i čitljivijim.

Na slici je prikazan model tri ravnine projekcije. Treća ravnina, okomita i H I V, označen slovom W i zove se profil.

Projekcije točaka na ovu ravninu također ćemo zvati profil, a označavaju se velikim slovima ili brojevima s indeksom 3 (ah,bh,cz, ...1z, 2z, 3 3...).

Ravnine projekcije, koje se sijeku u parovima, definiraju tri osi: OKOx, OKOY I OKOZ, koji se može promatrati kao sustav pravokutnih Kartezijevih koordinata u prostoru s početkom u točki O. Sustav znakova naznačen na slici odgovara “desnom sustavu” koordinata.

Tri projekcijske ravnine dijele prostor na osam trokutnih kutova – to su tzv oktanti. Numeracija oktanata data je na slici.

Za dobivanje dijagrama ravnine H I W rotirajte kao što je prikazano na slici dok ne poravnate s ravninom V. Kao rezultat rotacije, prednja poluravnina H ispada da je u kombinaciji s donjom poluravninom V, a stražnja poluravnina H- s gornjom poluravninom V. Kada se zakrene za 90° oko osi OKOZ prednja poluravnina W poravnava s desnom poluravninom V, a stražnja poluravnina W- s lijevom poluravninom V.

Konačni izgled svih kombiniranih ravnina projekcija dan je na slici. Na ovom crtežu osi OKOx I OKOZ, ležeći u fiksnoj ravnini V, prikazani su samo jednom, a os OKOY prikazano dva puta. To se objašnjava činjenicom da, rotirajući s ravninom H, os OKOY na dijagramu se kombinira s osi OKOZ, i rotirajući s ravninom W, ista os je poravnata s osi OKOx.

U budućnosti, pri označavanju osi na dijagramu, negativne poluosi (— OKOx, — OKOY, — OKOZ) neće biti naznačeno.

TRI KOORDINATE I TRI PROJEKCIJE TOČKE I NJENOG RADIJUS-VEKTORA.

Koordinate su brojevi kojiuskladiti točku za određivanjemijenjajući svoj položaj u prostoru ili napovršine.

U trodimenzionalnom prostoru položaj točke određuje se pomoću pravokutnih Kartezijevih koordinata x, y I z.

Koordinirati x nazvao apscisa, na— ordinata I z — primijeniti. Apscisa x određuje udaljenost od zadane točke do ravnine W, ordinata y - Gornja traka V i primijeniti z - Gornja traka H. Usvojivši sustav prikazan na slici za mjerenje koordinata točke, sastaviti ćemo tablicu koordinatnih znakova u svih osam oktanata. Bilo koja točka u prostoru A, zadan koordinatama označit ćemo na sljedeći način: A(x, y,z).

Ako je x = 5, y = 4 i z = 6, tada će unos imati sljedeći oblik A(5, 4, 6). Ova točka A,čije su sve koordinate pozitivne, nalazi se u prvom oktantu

Koordinate točke A su ujedno i koordinate njegovog radijus vektora

OA s obzirom na porijeklo. Ako ja, j, k— jedinični vektori usmjereni duž koordinatnih osi x, y,z(slika), zatim

OA =OKOA x i+OAgj + OAzk , Gdje OA X, OA U, OA g - vektorske koordinate OA

Preporuča se konstruirati sliku same točke i njezinih projekcija na prostornom modelu (figuri) pomoću koordinatnog pravokutnog paralelopipeda. Prije svega, na koordinatnim osima iz točke OKO položiti odgovarajuće jednake segmente 5, 4 i 6 jedinice duljine. Na ovim segmentima (OKOa x , OKOa y , OKOa z ), kao na rebrima, grade kuboidan. Njegov vrh, nasuprot ishodištu, odredit će zadanu točku A. Lako je vidjeti da za određivanje točke A dovoljno je konstruirati samo tri ruba paralelopipeda npr OKOa x , a x a 1 I a 1 A ili OKOa y , a y a 1 I a 1 A itd. Ti rubovi tvore koordinatnu poliliniju, čija je duljina svake veze određena odgovarajućom koordinatom točke.

Međutim, konstrukcija paralelopipeda omogućuje vam da odredite ne samo točku A, ali i sve tri njegove ortogonalne projekcije.

Zrake koje projiciraju točku na ravninu H, V, W su ona tri ruba paralelopipeda koji se sijeku u točki A.

Svaka od ortogonalnih projekcija točke A, budući da se nalazi na ravnini, određuju ga samo dvije koordinate.

Dakle, horizontalna projekcija a 1 određena koordinatama x I y, frontalna projekcija a 2 — koordinate x iz, projekcija profila a 3 — koordinate na I z. Ali bilo koje dvije projekcije određene su s tri koordinate. Zato je zadavanje točke s dvije projekcije jednako zadavanju točke s tri koordinate.

Na dijagramu (slika), gdje su sve ravnine projekcija kombinirane, projekcije a 1 I a 2 bit će na istoj okomici na os OKOx, i projekcije a 2 I a 3 — na jednoj okomitoj na os OZ.

Što se tiče projekcija a 1 I a 3 , tada su spojeni ravnim crtama a 1 a y I a 3 a y , okomito na os OKOY. Ali budući da ova os na dijagramu zauzima dva položaja, tada segment a 1 a y ne može biti nastavak segmenta a 3 a y .

Izrada projekcija točaka A (5, 4, 6) na dijagramu prema zadanim koordinatama izvršite sljedećim redoslijedom: prvo se na apscisnoj osi iscrtava segment iz ishodišta koordinata. OKOa x = x(u našem slučaju x =5), zatim kroz točku a x crtati okomito na os OKOx, na koje uzimajući u obzir predznake ucrtavamo segmente a x a 1 = g(dobijamo a 1 ) I a x a 2 = z(dobijamo a 2 ). Ostaje konstruirati profilnu projekciju točke a 3 . Budući da profil i frontalne projekcije točke moraju biti smješteni na istoj okomici na os OZ , zatim kroz a 3 izvršiti izravno a 2 a z ^ OZ.

Na kraju se postavlja posljednje pitanje: na kojoj udaljenosti od osi OKOZ treba biti 3?

Uzimajući u obzir koordinatni paralelopiped (vidi sliku), čiji rubovi a z a 3 = O a y = a x a 1 = g zaključujemo da je potrebna udaljenost a z a 3 jednaki u. Segment linije a z a 3 položena desno od osi OZ ako je y>0, a lijevo ako je y

Pogledajmo kakve će se promjene dogoditi na dijagramu kada točka počne mijenjati svoj položaj u prostoru.

Neka, na primjer, točka A (5, 4, 6) kretat će se pravocrtno okomito na ravninu V. S takvim kretanjem promijenit će se samo jedna koordinata y, koji pokazuje udaljenost od točke do ravnine V. Koordinate će ostati konstantne x iz , i projekcija točke određena tim koordinatama,tj. a 2 neće promijeniti svoj položaj.

Što se tiče projekcija a 1 I a 3 , tada će se prvi početi približavati osi OKOx, drugi - do osi OKOZ. Na slikama novi položaj točke odgovara oznaci a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). U trenutku kada je točka na ravnini V(y = 0), dvije od tri projekcije ( a 1 2 I a 3 2 ) ležat će na osovinama.

Preselivši se iz ja oktant u II, točka će se početi udaljavati od ravnine V, Koordinirati na postane negativan, njegova će se apsolutna vrijednost povećati. Horizontalna projekcija ove točke koja se nalazi na stražnjoj poluravnini H, na dijagramu će se pojaviti iznad osi OKOx, a profilna projekcija, koja se nalazi na stražnjoj poluravnini W, na dijagramu će biti lijevo od osi OKOZ. Kao i uvijek, segment a za 3 3 = g.

U daljnjim dijagramima nećemo slovima označavati točke sjecišta koordinatnih osi s komunikacijskim linijama projekcije. To će donekle pojednostaviti crtež.

U budućnosti će postojati dijagrami bez koordinatnih osi. To je ono što se radi u praksi pri prikazivanju predmeta, kada značajna je samo sama slikacija objekta, a ne njegov relativni položajkonkretno projekcijske ravnine.

Ravnine projekcije se u ovom slučaju određuju s točnošću samo do paralelne translacije (slika). Obično se pomiču paralelno sami sa sobom na način da su sve točke objekta iznad ravnine H a ispred aviona V. Budući da se položaj osi X 12 pokazuje nesigurnim, formiranje dijagrama u ovom slučaju ne mora biti povezano s rotacijom ravnina oko koordinatne osi. Pri prelasku na ravninski dijagram H I V kombiniraju se tako da se suprotne projekcije točaka nalaze na okomitim crtama.

Bezosni dijagram točaka A i B(crtanje) Neodređuje njihov položaj u prostoru,ali omogućuje prosudbu njihove relativne orijentacije. Dakle, segment △x karakterizira pomak točke A u odnosu na točku U u smjeru paralelnom s ravninama H i V. Drugim riječima, △x označava koliko je udaljena točka A koji se nalazi lijevo od točke U. Relativni pomak točke u pravcu okomito na ravninu V, određena je segmentom △y, tj. točkom I u u našem primjeru bliže promatraču nego točki U, na udaljenost jednaku △y.

Konačno, isječak △z pokazuje višak točke A iznad točke U.

Zagovornici bezosnog proučavanja tečaja deskriptivne geometrije s pravom ističu da se pri rješavanju mnogih problema može bez koordinatnih osi. Međutim, njihovo potpuno napuštanje ne može se smatrati preporučljivim. Deskriptivna geometrija je osmišljena da pripremi budućeg inženjera ne samo za kompetentno izvođenje crteža, već i za rješavanje različitih tehničkih problema, među kojima problemi prostorne statike i mehanike ne zauzimaju najmanje mjesto. A za to je potrebno razviti sposobnost orijentacije ovog ili onog objekta u odnosu na kartezijeve koordinatne osi. Ove će vještine također biti potrebne pri proučavanju dijelova deskriptivne geometrije kao što su perspektiva i aksonometrija. Stoga na nizu dijagrama u ovoj knjizi spremamo slike koordinatnih osi. Takvi crteži određuju ne samo oblik objekta, već i njegov položaj u odnosu na ravnine projekcije.

Projekcijski aparati

Projekcijski uređaj (slika 1) uključuje tri projekcijske ravnine:

π 1 – horizontalna projekcijska ravnina;

π 2 – frontalna ravnina projekcija;

π 3– ravnina projekcije profila .

Ravnine projekcije su međusobno okomite ( π 1^ π 2^ π 3), a njihove sjecišne linije čine osi:

Presjek ravnina π 1 I π 2čine os 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Presjek ravnina π 1 I π 3čine os 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Presjek ravnina π 2 I π 3čine os 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Sjecište osi (OX∩OY∩OZ=0) smatra se početnom točkom (točka 0).

Budući da su ravnine i osi međusobno okomite, takav je aparat sličan Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Projekcijske ravnine dijele cijeli prostor na osam oktanata (na sl. 1 označeni su rimskim brojevima). Ravnine projekcije smatraju se neprozirnima, a gledatelj je uvijek unutra ja-ti oktant.

Ortogonalna projekcija sa središtima projekcije S 1, S 2 I S 3 odnosno za horizontalnu, frontalnu i profilnu projekcijsku ravninu.

A.

Iz projekcijskih centara S 1, S 2 I S 3 izlaze projicirane zrake l 1, l 2 I l 3 A

- A 1 A;

- A 2– frontalna projekcija točke A;

- A 3– profilna projekcija točke A.

Točku u prostoru karakteriziraju njezine koordinate A(x,y,z). Bodovi A x, A y I A z odnosno na osi 0X, 0Y I 0Z pokazati koordinate x, y I z bodova A. Na sl. 1 daje sve potrebne oznake i prikazuje veze između točke A prostor, njegove projekcije i koordinate.

Dijagram točaka

Da biste dobili zaplet točke A(slika 2), u aparatu za projekciju (slika 1) ravnina π 1 A 1 0X π 2. Zatim avion π 3 s točkastom projekcijom A 3, rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko osi 0Z, dok se ne poravna s ravninom π 2. Smjer rotacije ravnine π 2 I π 3 prikazano na sl. 1 strelice. U isto vrijeme ravno A 1 A x I A 2 A x 0X okomito A 1 A 2, i ravne linije A 2 A x I A 3 A x nalazit će se na zajedničkoj osi 0Z okomito A 2 A 3. U nastavku ćemo te retke zvati redom vertikalna I horizontalna komunikacijske linije.

Treba napomenuti da pri prelasku s aparata za projekciju na dijagram projicirani objekt nestaje, ali ostaju sačuvani svi podaci o njegovom obliku, geometrijskim dimenzijama i položaju u prostoru.

A(x A, y A, z Ax A, y A I zA u sljedećem nizu (slika 2). Ovaj niz se naziva metoda konstruiranja točkastog dijagrama.

1. Osi se crtaju ortogonalno OX, OY I OZ.

2. Na osi VOL xA bodova A i dobiti položaj točke A x.

3. Kroz točku A x okomito na os VOL

A x duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A A 1 na dijagramu.

A x duž osi OZ ucrtava se brojčana vrijednost koordinate zA bodova A A 2 na dijagramu.

6. Kroz točku A 2 paralelno s osi VOL nacrtana je horizontalna komunikacijska linija. Sjecište ove linije i osi OZ dat će položaj točke A z.

7. Na horizontalnoj komunikacijskoj liniji od točke A z duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A te se odredi položaj profilne projekcije točke A 3 na dijagramu.

Karakteristike točaka

Sve točke u prostoru dijele se na točke posebnog i općeg položaja.

Točke posebnog položaja. Točke koje pripadaju projekcijskom aparatu nazivaju se točkama posebnog položaja. To uključuje točke koje pripadaju projekcijskim ravninama, osima, ishodištima i projekcijskim središtima. Karakteristične značajke pojedinih položajnih točaka su:

Metamatematički – jedna, dvije ili sve numeričke vrijednosti koordinata jednake su nuli i (ili) beskonačnosti;

Na dijagramu su dvije ili sve projekcije točke smještene na osi i (ili) u beskonačnosti.

Točke općeg položaja. U točke općeg položaja ubrajaju se točke koje ne pripadaju projekcijskom aparatu. Na primjer, točka A na sl. 1. i 2.

U općem slučaju, numeričke vrijednosti koordinata točke karakteriziraju njezinu udaljenost od ravnine projekcije: koordinata x iz aviona π 3; Koordinirati g iz aviona π 2; Koordinirati z iz aviona π 1. Treba napomenuti da znakovi za numeričke vrijednosti koordinata označavaju smjer u kojem se točka udaljava od ravnina projekcije. Ovisno o kombinaciji predznaka za brojčane vrijednosti koordinata točke, ovisi u kojem se oktanu nalazi.

Metoda dvije slike

U praksi se uz metodu pune projekcije koristi i dvoslikovna metoda. Razlikuje se po tome što ova metoda eliminira treću projekciju objekta. Da bi se dobio aparat za projekciju metode dvije slike, ravnina projekcije profila sa svojim središtem projekcije isključena je iz aparata za puno projekciju (slika 3). Štoviše, na os 0X dodijeljena je referentna točka (točka 0 ) i iz nje okomito na os 0X u ravninama projekcija π 1 I π 2 nacrtati sjekire 0Y I 0Z odnosno.

U ovom uređaju, cijeli prostor je podijeljen u četiri kvadranta. Na sl. 3 označeni su rimskim brojevima.

Ravnine projekcije smatraju se neprozirnima, a gledatelj je uvijek unutra ja-ti kvadrant.

Razmotrimo rad uređaja na primjeru projiciranja točke A.

Iz projekcijskih centara S 1 I S 2 izlaze projicirane zrake l 1 I l 2. Ove zrake prolaze kroz točku A i sijekući se s ravninama projekcija čine njegove projekcije:

- A 1– horizontalna projekcija točke A;

- A 2– frontalna projekcija točke A.

Da biste dobili zaplet točke A(slika 4), u aparatu za projekciju (slika 3) ravnina π 1 s rezultirajućom projekcijom točke A 1 rotirati u smjeru kazaljke na satu oko osi 0X, dok se ne poravna s ravninom π 2. Smjer rotacije ravnine π 1 prikazano na sl. 3 strijele. U ovom slučaju na dijagramu točke dobivene metodom dviju slika ostaje samo jedna vertikalna komunikacijska linija A 1 A 2.

U praksi, ucrtavanje točke A(x A, y A, z A) provodi se prema numeričkim vrijednostima njegovih koordinata x A, y A I zA u sljedećem nizu (slika 4).

1. Nacrtana je os VOL i dodijeljena je referentna točka (točka 0 ).

2. Na osi VOL ucrtava se brojčana vrijednost koordinate xA bodova A i dobiti položaj točke A x.

3. Kroz točku A x okomito na os VOL povučena je vertikalna komunikacijska linija.

4. Na vertikalnoj komunikacijskoj liniji od točke A x duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A te se odredi položaj horizontalne projekcije točke A 1 OY nije nacrtan, ali se pretpostavlja da se njegove pozitivne vrijednosti nalaze ispod osi VOL, a negativni su veći.

5. Na vertikalnoj komunikacijskoj liniji od točke A x duž osi OZ ucrtava se brojčana vrijednost koordinate zA bodova A te se odredi položaj čeone projekcije točke A 2 na dijagramu. Treba napomenuti da je u dijagramu os OZ nije nacrtan, ali se pretpostavlja da se njegove pozitivne vrijednosti nalaze iznad osi VOL, a negativni su manji.

Natjecateljski bodovi

Točke na istoj projekcijskoj gredi nazivaju se konkurentske točke. U smjeru projicirajuće grede imaju zajedničku projekciju, t.j. njihove projekcije su identične. Karakteristična značajka konkurentskih točaka na dijagramu je identična podudarnost njihovih istoimenih projekcija. Konkurencija leži u vidljivosti ovih projekcija u odnosu na promatrača. Drugim riječima, u prostoru za promatrača jedna od točaka je vidljiva, druga nije. I, sukladno tome, na crtežu: jedna od projekcija konkurentskih točaka je vidljiva, a projekcija druge točke je nevidljiva.

Na modelu prostorne projekcije (sl. 5) iz dvije konkurentne točke A I U vidljiva točka A prema dvije karakteristike koje se međusobno nadopunjuju. Sudeći po lancu S 1 →A→B točka A bliže promatraču od točke U. I, prema tome, dalje od ravnine projekcije π 1(oni. zA > zA).

Riža. 5 sl.6

Ako je sama točka vidljiva A, tada je vidljiva i njegova projekcija A 1. U odnosu na projekciju koja se s njim podudara B 1. Radi jasnoće i, ako je potrebno, na dijagramu, nevidljive projekcije točaka obično se stavljaju u zagrade.

Uklonimo točke na modelu A I U. Njihove podudarne projekcije na ravnini će ostati π 1 a zasebne projekcije – na π 2. Ostavimo uvjetno frontalnu projekciju promatrača (⇩) koja se nalazi u središtu projekcije S 1. Zatim, duž lanca slika ⇩ → A 2 → B 2 to će se moći prosuditi zA > z B a da je sama točka vidljiva A i njegovu projekciju A 1.

Razmotrimo na sličan način konkurentske bodove S I D u izgledu u odnosu na ravninu π 2. Budući da zajednička projicirajuća greda ovih točaka l 2 paralelno s osi 0Y, zatim znak vidljivosti natjecateljskih točaka S I D određena nejednakošću y C > y D. Stoga ta točka D zatvorena točkom S a sukladno tome i projekcija točke D 2 bit će pokriven projekcijom točke C 2 na površini π 2.

Razmotrimo kako se određuje vidljivost konkurentskih točaka u složenom crtežu (slika 6).

Sudeći po podudarnim projekcijama A 1≡U 1 same točke A I U nalaze se na jednoj izbočenoj gredi paralelnoj s osi 0Z. To znači da se koordinate mogu uspoređivati zA I z B ove točke. Da bismo to učinili, koristimo ravninu frontalne projekcije s odvojenim slikama točaka. U ovom slučaju zA > z B. Iz ovoga slijedi da je projekcija vidljiva A 1.

Bodovi C I D u složenom crtežu koji se razmatra (slika 6) također su na istoj izbočenoj gredi, ali samo paralelno s osi 0Y. Stoga, iz usporedbe y C > y D zaključujemo da je projekcija C 2 vidljiva.

Opće pravilo. Vidljivost za podudaranje projekcija konkurentskih točaka određuje se usporedbom koordinata tih točaka u smjeru zajedničke projekcijske zrake. Vidljiva je projekcija točke čija je koordinata veća. U tom se slučaju koordinate uspoređuju na ravnini projekcije s odvojenim slikama točaka.