Izvedenica. Majstorska klasa "Derivacija funkcije na Jedinstvenom državnom ispitu" materijal za pripremu za Jedinstveni državni ispit (GIA) iz algebre (11. razred) na temu Teorija o derivatu Jedinstvenog državnog ispita

Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x 0. Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x ) i tangentu na nju u točki s apscisom x 0. Odredi vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0. K 0 K = -0.5 K = 0.5"> title="Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x 0. Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-1;17). Odredite intervale opadanja funkcije f(x). U odgovoru navedite duljinu najvećeg od njih. f(x)

0 na intervalu, tada funkcija f(x)" title="Slika prikazuje graf funkcije y = f(x). Pronađite među točkama x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 i x 7 su točke u kojima je derivacija funkcije f(x) pozitivna. Kao odgovor zapišite broj pronađenih točaka. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada je funkcija f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x). Među točkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 pronađite one točke u kojima je derivacija funkcije f(x) pozitivna. Kao odgovor zapišite broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f (x) raste na tom intervalu. Odgovor: 2 0 na intervalu, zatim funkcija f(x)"> 0 na intervalu, zatim funkcija f(x) raste na tom intervalu Odgovor: 2"> 0 na intervalu, tada funkcija f(x)" title= "On Slika prikazuje graf funkcije y = f(x). Među točkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 pronađite one točke u kojima je derivacija funkcije f(x) je pozitivna. Zapišite odgovor broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f (x)"> title="Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x). Među točkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 pronađite one točke u kojima je derivacija funkcije f(x) pozitivna. Kao odgovor zapišite broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f(x)"> !}

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-9; 2). U kojoj točki na segmentu -8; -4 ima li funkcija f(x) najveću vrijednost? Na segmentu -8; -4 f(x)

Funkcija y = f(x) definirana je na intervalu (-5; 6). Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x). Među točkama x 1, x 2, ..., x 7 pronađite one točke u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka nuli. Kao odgovor zapišite broj pronađenih bodova. Odgovor: 3 boda x 1, x 4, x 6 i x 7 su točke ekstrema. U točki x 4 nema f (x)

Književnost 4 Algebra i početni razred analize. Udžbenik za općeobrazovne ustanove, osnovna razina / Sh. A. Alimov i drugi, - M.: Obrazovanje, Semenov A. L. Jedinstveni državni ispit: 3000 problema iz matematike. – M.: Izdavačka kuća “Ispit”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Vizualni vodič za algebru i početak analize s primjerima za razrede 7-11. – M.: Ilexa, Elektronički izvor Otvorena banka Zadaci Jedinstvenog državnog ispita.

Majstorski tečaj iz matematike

u 11. razredu

na ovu temu

„DERIVACIJA FUNKCIJE

U ZADACIMA KORIŠTENJA"

profesorica matematike

Martynenko E.N.

Akademska godina 2017-2018

Svrha majstorske klase: razvijati vještine učenikaprimjena teorijskih znanja o temi "Derivacija funkcije" za rješavanje zadataka jedinstvenog državnog ispita.

Zadaci

Obrazovni:sažeti i usustaviti znanja učenika o temi

“Derivacija funkcije”, razmotrite prototipove Problemi s jedinstvenim državnim ispitom na ovu temu, pružiti učenicima mogućnost provjere znanja samostalnim rješavanjem zadataka.

Obrazovni: promicati razvoj pamćenja, pažnje, samopoštovanja i vještina samokontrole; formiranje temeljnih ključnih kompetencija (usporedba, jukstapozicija, klasifikacija objekata, određivanje adekvatnih načina rješavanja obrazovnog zadatka na temelju zadanih algoritama, sposobnost samostalnog djelovanja u situacijama neizvjesnosti, praćenje i vrednovanje vlastitih aktivnosti, pronalaženje i otklanjanje uzroka od poteškoća).

Obrazovni: doprinijeti:

Formiranje odgovornog odnosa prema učenju kod učenika;

razvoj održivog interesa za matematiku;

stvaranje pozitivne unutarnje motivacije za učenje matematike.

Tehnologije: individualno diferencirano učenje, ICT.

Metode podučavanja: verbalno, vizualno, praktično, problematično.

Oblici rada: individualno, frontalno, u paru.

Oprema i materijali za nastavu:projektor, platno, računalo, simulator(Prilog br. 1), prezentacija za lekciju(Prilog br. 2), pojedinačno diferencirane kartice za samostalan rad u parovima(Prilog br. 3), popis Internet stranica, individualno diferencirana domaća zadaća(Prilog br. 4).

Objašnjenje za majstorsku klasu.

Ova majstorska klasa provodi se u 11. razredu s ciljem pripreme za Jedinstveni državni ispit. Namijenjen primjeni teorijskog gradiva iz teme “Derivacija funkcije” pri rješavanju ispitnih zadataka.

Trajanje majstorske klase- 20 minuta.

Struktura majstorske klase

I. Organizacijski trenutak -1 min.

II Poruka teme, ciljevi majstorske klase, motivacija za obrazovne aktivnosti - 1 min.

III. Frontalni rad. Obuka “Zadaci br. 14 BAZA, br. 7 UPOTREBNI PROFIL.” Analiza rada na simulatoru - 7 min.

IV.Individualno - diferencirani rad u paru. Neovisno rješenje problemi br. 12. (PROFIL) Recenzija - 9 min. On – line testiranje (BASE) Analiza rezultata testa - 8 min

V. Provjera individualne domaće zadaće. -1 minuta.

VI. Individualno - diferencirana domaća zadaća -1 min.

VII. KONTROLNO TESTIRANJE 20 MINUTA (4 OPCIJE)

Napredak majstorske klase

ja .Organiziranje vremena.

II .Poruka teme, ciljevi majstorske klase, motivacija za obrazovne aktivnosti.

(Slajdovi 1-2, dodatak br. 2)

Tema naše lekcije je “Derivacija funkcije u Zadaci Jedinstvenog državnog ispita" Svima je poznata izreka "Malo je malo, ali skupo". Jedan od tih "ventila" u matematici je derivat. Derivat se koristi u rješavanju mnogih praktičnih problema u matematici, fizici, kemiji, ekonomiji i drugim disciplinama. Omogućuje vam rješavanje problema jednostavno, lijepo i zanimljivo.

Tema "Izvedenica" predstavljena je u zadatku br. 14 osnovne razine i u zadacima razine profila br. 7, 12, 18 i Jedinstvenog državnog ispita.

Radili ste s dokumentima koji reguliraju strukturu i sadržaj kontrolnih mjernih materijala Jedinstvenog državnog ispita iz matematike 2018. Izvedite zaključak o tome koja su vam znanja i vještine potrebni za uspješno rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita na temu "Derivacija".

(Slajdovi 3-4, Dodatak br. 2)

Jeste li učili „Kodifikator elemenata sadržaja u MATEMATICI za sastavljanje kontrolnih mjernih materijala za Jedinstveni državni ispit“,

“Kodifikator zahtjeva za stupanj osposobljenosti maturanata”, “Specifikacija kontrolnih mjernih materijala”, “ Demo verzija kontrolni mjerni materijali jedinstvenog državnog ispita 2018" i doznao koja znanja i vještine o funkciji i njezinoj derivaciji su potrebna za uspješno rješavanje zadataka na temu “Derivacija”.

Neophodno

• ZNATI

pravila za izračun izvedenica;

izvode osnovnih elementarnih funkcija;

geometrijski i fizičko značenje izvedenica;
jednadžba tangente na graf funkcije;
proučavanje funkcije pomoću njezine derivacije.

• BITI U MOGUĆNOSTI

izvoditi radnje s funkcijama (opisati ponašanje i svojstva funkcije pomoću grafa, pronaći njezinu najveću i najmanju vrijednost).

• KORISTITI

stečena znanja i vještine u praktične aktivnosti i svakodnevnom životu.

Posjedujete teoretsko znanje o temi “Derivacija”. Danas ćemoNAUČITE PRIMIJENITI ZNANJE O FUNKCIJI DERIVACIJE NA RJEŠAVANJE PROBLEMA KORIŠTENJA.(Slajd 4, dodatak br. 2)

Nije bez razloga Aristotel je to rekao“UM NIJE SAMO U ZNANJU, VEĆ I U SPOSOBNOSTI PRIMJENE ZNANJA U PRAKSI”(Slajd 5, dodatak br. 2)

Na kraju sata vratit ćemo se na cilj našeg sata i saznati jesmo li ga postigli?

III . Frontalni rad.Obuka “Zadaci br. 14 BAZA br. 7 UPOTREBNI PROFIL” ( Prilog br. 1). Analiza rada sa simulatorom.

Odaberite točan odgovor od četiri ponuđena.

U čemu je, po vašem mišljenju, teškoća rješavanja zadatka br. 7?

Što misliš tipične greške maturantima omogućiti polaganje ispita pri rješavanju ovog problema?

Kada odgovarate na pitanja u zadatku br. 14 BAZA I br. 7 PROFIL, trebali biste znati opisati ponašanje i svojstva funkcije pomoću grafa derivacije, te ponašanje i svojstva funkcije derivacije pomoću grafa funkcije. A za to vam je potrebno dobro teorijsko znanje o sljedećim temama: „Geometrijsko i mehaničko značenje izvodnice. Tangenta na graf funkcije. Primjena izvoda na proučavanje funkcija."

Analizirajte koji su vam zadaci stvarali poteškoće?

Koja teorijska pitanja trebate znati?

IV. On – line testiranje za zadatak br. 14 (BAZA)Analiza rezultata ispitivanja.

Web stranica za testiranje u nastavi:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Tko nije griješio?

Tko je imao poteškoća s testiranjem? Zašto?

U kojim su zadacima napravljene pogreške?

Zaključite koja teorijska pitanja trebate znati?

Individualno - diferencirani rad u paru. Samostalno rješavanje problema br.12. (PROFIL)Peer review.(Prilog br. 3)

Zapamtite algoritam za rješavanje problema br. 12 Jedinstvenog državnog ispita za pronalaženje ekstremnih točaka, ekstrema funkcije, najvećih i najmanjih vrijednosti funkcije na intervalu pomoću derivata.

Rješavanje problema korištenjem derivata

Učenicima se postavlja problem:

“Razmislite, je li moguće neke probleme br. 12 riješiti na drugi način, a da ne koristite derivat?”

1 par

2 para

3 para

4 para

(Učenici brane svoje rješenje zapisujući na ploču glavne faze rješavanja zadataka. Učenici daju dva načina rješavanja zadatka br. 2).

Rješenje problema. Zaključak Učenici trebaju donijeti:

"Neki problemi br. 12 Jedinstvenog državnog ispita o pronalaženju najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije mogu se riješiti bez korištenja derivata, oslanjajući se na svojstva funkcija."

Analizirajte koju ste pogrešku napravili u zadatku?

Koja teorijska pitanja trebate ponoviti?

V. Provjera individualne domaće zadaće. (Slajdovi 7-8, Dodatak br. 2)

Vegelman V. dobio je individualnu domaću zadaću: iz priručnika za pripremu Jedinstvenog državnog ispita br.18.

(Student daje rješenje problema, oslanjajući se na funkcionalno-grafičku metodu, kao jednu od metoda za rješavanje problema br. 18 Jedinstvenog državnog ispita i daje kratko objašnjenje ove metode).

VII. Individualno diferencirana domaća zadaća

(Slajd 9, aplikacija br. 2), (Prilog br. 4).

Pripremio sam popis internetskih stranica za pripremu za Jedinstveni državni ispit. Na ovim stranicama također možete pristupiti on-line testiranju. Za sljedeći sat potrebno je: 1) ponoviti teorijsko gradivo iz teme “Derivacija funkcije”;

2) na web stranici “Otvorena banka zadataka iz matematike” (http://mathege.ru/ ) pronaći prototipove zadataka br. 14 BAZA I br. 7 i 12 PROFIL i riješiti najmanje 10 PROFIL zadataka;

3) Vegelman V., riješiti zadatke s parametrima (PRILOG 4). zadaci 1-8 (opcija 1).OSNOVNA RAZINA

VIII. Ocjene lekcija.

Koju biste ocjenu sebi dali za lekciju?

Mislite li da ste mogli biti bolji u razredu?

IX. Sažetak lekcije. Odraz

Rezimirajmo naš rad. Koja je bila svrha lekcije? Mislite li da je to postignuto?

Pogledajte ploču i u jednoj rečenici, birajući početak fraze, nastavite rečenicu koja vam najviše odgovara.

Osjetio sam…

Naučio sam…

Uspio sam …

Mogao sam...

pokušat ću…

Iznenadilo me to …

Htio sam…

Možete li reći da je tijekom nastave vaše znanje obogaćeno?

Dakle, ponovili ste teorijska pitanja o izvodu funkcije, primijenili svoje znanje pri rješavanju prototipa USE zadataka (br. 14 OSNOVNA RAZINA br. 7,12 PROFILNA RAZINA), a učenik V. Vegelman riješio je zadatak br. 18 s parametrom, što je zadatak naprednog stupnja poteškoća.

Bilo mi je zadovoljstvo raditi s Vama, te se nadam da ćete stečena znanja uspješno primijeniti na nastavi matematike ne samo u polaganje Jedinstvenog državnog ispita, ali iu daljnjem studiranju.

Želio bih završiti lekciju riječima talijanskog filozofaToma Akvinski“Znanje je toliko dragocjena stvar da nije sramota steći ga iz bilo kojeg izvora.”(Slajd 10, Dodatak br. 2).

Želim vam uspjeh u pripremi za jedinstveni državni ispit!

Pregled:

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Priprema za SIMULATOR Jedinstvenog državnog ispita na temu "DERIVAT" Zadatak br. 14 osnovna razina, br. 7, 12 razina profila

f(x) f / (x) x Na slici je prikazan graf derivacije funkcije y = f (x) zadane na intervalu (- 8; 8). Istražimo svojstva grafa i moći ćemo odgovoriti na mnoga pitanja o svojstvima funkcije, iako sam graf funkcije nije prikazan! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 Pronađite točke , u kojima je f / (x) =0 (to su nule funkcije). + – – + +

ZADATAK br. 14 Matematika osnovna razina

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i označene su točke A, B, C i D na Ox osi. Koristeći graf, spojite svaku točku s karakteristikama funkcije i njezine derivacije. A B C D 1) vrijednost funkcije u točki je negativna, a vrijednost derivacije funkcije u točki pozitivna 2) vrijednost funkcije u točki je pozitivna, a vrijednost derivacije funkcije u točki je negativna 3) vrijednost funkcije u točki je negativna, a vrijednost derivacije funkcije u točki je negativna 4) vrijednost funkcije u točki je pozitivna, a vrijednost derivacija funkcije u točki je pozitivna

Broj 1. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i označene su točke A, B, C i D na Ox osi. Koristeći graf, spojite svaku točku s karakteristikama funkcije i njezine derivacije. 1) vrijednost funkcije u točki je pozitivna, a vrijednost derivacije funkcije u točki je negativna 2) vrijednost funkcije u točki je negativna, a vrijednost derivacije funkcije u točki točka je negativna 3) vrijednost funkcije u točki je pozitivna, a vrijednost derivacije funkcije u točki pozitivna 4) vrijednost funkcije u točki je negativna, a vrijednost derivacije funkcija u točki je pozitivna A B C D

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Točke a, b, c, d i e definiraju intervale na Ox osi. Pomoću grafa spojite svaki interval s karakteristikom funkcije ili njezine derivacije. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) vrijednosti funkcije su pozitivne u svakoj točki intervala 2) vrijednosti ​​izvoda funkcije su negativne u svakoj točki intervala 3) vrijednosti derivacija funkcije su pozitivne u svakoj točki intervala 4) vrijednosti funkcije su negativne u svakoj točki intervala

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Brojevi a, b, c, d i e definiraju intervale na Ox osi. Pomoću grafa spojite svaki interval s karakteristikom funkcije ili njezine derivacije. A) (a;b) B) (b;c) C) (c;d) D) (d;e) 1) vrijednosti funkcije su pozitivne u svakoj točki intervala 2) vrijednosti ​​funkcije su negativne u svakoj točki intervala 3) vrijednosti derivacija funkcija su negativne u svakoj točki intervala 4) vrijednosti derivacija funkcije su pozitivne u svakoj točki intervala

Na slici je prikazan graf funkcije i na njega povučene tangente u točkama s apscisama A, B, C i D. A B C D 1) − 1,5 2) 0,5 3) 2 4) − 0,3

Na slici je prikazan graf funkcije i na njega povučene tangente u točkama s apscisama A, B, C i D. A B C D 1) 23 2) − 12 3) − 113 4) 123

ZADATAK broj 7 Matematički profil razina

Zadaci o geometrijskom značenju derivacije

1) Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije u točki x 0. -2 -0,5 2 0,5 Razmisli! Razmisli o tome! Pravo! Razmisli o tome! x 0 Geometrijsko značenje izvodnica: k = tan α Kut nagiba tangente na os Ox je tup, što znači k

5 11 8 2) Kontinuirana funkcija y = f(x) dana je na intervalu (-6; 7). Na slici je prikazan njegov grafikon. Odredi broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravcem y = 6. Provjeri y = f(x) y x 3 Razmisli! Razmisli o tome! Razmisli o tome! Pravo! - 6 7 y = 6 . Prijelomna točka. U ovom trenutku izvedenica NE postoji! O -4 3 5 1.5

Zadaci određivanja karakteristika funkcije iz grafa njezine derivacije

3) Na slici je prikazan graf derivacije funkcije y = f / (x) zadane na intervalu (- 6; 8). Ispitajte funkciju y = f (x) za ekstrem i naznačite broj njezinih točaka ekstrema. 2 1 4 5 Nije istina! krivo! Pravo! krivo! Provjerite (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x -5 + min max O

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Slika prikazuje graf derivacije funkcije navedene na intervalu [-5;5] . Ispitajte funkciju na monotonost i označite najveću točku maksimuma. 3 2 4 5 Razmisli! Razmisli o tome! Pravo! Razmisli o tome! y = f / (x) + + + - - O - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 Od dvije maksimalne točke, najveća x max = 3 max max g

7) Na slici je prikazan graf izvoda funkcije. Odredite duljinu rastućeg intervala ove funkcije. Provjerite O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 RAZMISLI! + RAZMISLI! PRAVO! RAZMIŠLJATI! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) Slika prikazuje graf derivacije funkcije zadane na intervalu [-5;5] . Ispitajte monotonost funkcije y = f (x) i navedite broj opadajućih intervala. 3 2 4 1 Razmisli! Razmisli o tome! Pravo! Razmisli o tome! y = f / (x) f(x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + O - - - y

Zadaci određivanja karakteristika derivacije iz grafa funkcije.

Na slici je prikazan graf diferencijabilne funkcije y = f (x). Na apscisnoj osi označeno je devet točaka: x 1, x 2, ..., x 9. Pronađite sve označene točke u kojima je derivacija funkcije f(x) negativna. U odgovoru navedite broj tih bodova.

Na slici je prikazan graf funkcije y = f (x) definirane na intervalu (a; b). Odredite broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna. a) b) Odlučite sami! Riješenje. , ako se povećava. Cjelobrojna rješenja za: x=-2; x=-1; x=5; x=6. Njihov broj je 4. Cjelobrojna rješenja za: x=2; x=3; x=4; x=10; x=11. Njihov broj je 5. Odgovor: 4. Odgovor: 5.

Zadaci o fizičkom značenju derivacije

Odgovor: 3 Odgovor: 14

ZADATAK broj 12 Matematički profil razina

Samostalni rad u paru Zadatak br. 12 Razina profila

Pregled:

Dodatak 3 pojedinačne kartice br.12

1. Pronađite točku maksimuma funkcije1 Pronađite točku minimuma funkcije

2. Pronađite točku maksimuma funkcije2 Pronađite minimalnu točku funkcije

Linnik D. Vovnenko I

1.Pronađi najmanja vrijednost funkcije1. Nađi najveću vrijednost funkcije na segmentu

na segmentu

Vegelman V.

Logvinyuk A.

1. Pronađite točku maksimuma funkcije1. Pronađite točku minimuma funkcije

2. Odredi najmanju vrijednost funkcije2. Nađi najveću vrijednost funkcije na segmentu

Na segmentu

Leontjeva A. Isaenko K.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Elementi sadržaja

Derivacija, tangenta, antiderivacija, grafovi funkcija i derivacije.

Izvedenica Neka je funkcija \(f(x)\) definirana u nekoj okolini točke \(x_0\).

Derivacija funkcije \(f\) u točki \(x_0\) nazvan limit

\(f"(x_0)=\lim_(x\desna strelica x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

ako ta granica postoji.

Derivacija funkcije u točki karakterizira brzinu promjene te funkcije u danoj točki.

Tablica izvedenica

Pravila razlikovanja\(f\) i \(g\) su funkcije ovisne o varijabli \(x\); \(c\) je broj.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\lijevo(\dfrac(f)(g)\desno)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\lijevo(f\lijevo(g(x)\desno)\desno)"=f"\lijevo(g(x)\desno)\cdot g"(x)\) - izvod složene funkcije

Geometrijsko značenje derivacije Jednadžba pravca- nije paralelan s osi \(Oy\) može se napisati u obliku \(y=kx+b\). Koeficijent \(k\) u ovoj jednadžbi naziva se nagib ravne linije. Jednaka je tangenti kut nagiba ovu ravnu liniju.

Ravni kut- kut između pozitivnog smjera osi \(Ox\) i ove ravne crte, mjeren u smjeru pozitivnih kutova (to jest, u smjeru najmanje rotacije od osi \(Ox\) do \ (Oy\) os).

Derivacija funkcije \(f(x)\) u točki \(x_0\) jednaka je nagibu tangente na graf funkcije u ovoj točki: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Ako je \(f"(x_0)=0\), tada je tangenta na graf funkcije \(f(x)\) u točki \(x_0\) paralelna s osi \(Ox\).

Jednadžba tangente

Jednadžba tangente na graf funkcije \(f(x)\) u točki \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonost funkcije Ako je derivacija funkcije pozitivna u svim točkama intervala, tada funkcija raste na tom intervalu.

Ako je derivacija funkcije negativna u svim točkama intervala, tada funkcija opada na tom intervalu.

Minimum, maksimum i točke infleksije pozitivan na negativan u ovoj točki, tada je \(x_0\) najveća točka funkcije \(f\).

Ako je funkcija \(f\) kontinuirana u točki \(x_0\), a vrijednost derivacije te funkcije \(f"\) mijenja se s negativan na pozitivan u ovoj točki, tada je \(x_0\) točka minimuma funkcije \(f\).

Točke u kojima je derivacija \(f"\) jednaka nuli ili ne postoji nazivaju se kritične točke funkcije \(f\).

Unutarnje točke domene definicije funkcije \(f(x)\), u kojoj \(f"(x)=0\) mogu biti točke minimuma, maksimuma ili točke infleksije.

Fizičko značenje izvedenice Ako se materijalna točka giba pravocrtno i njena koordinata se mijenja ovisno o vremenu prema zakonu \(x=x(t)\), tada je brzina te točke jednaka derivaciji koordinate po vremenu:

Ubrzanje materijalna točka jednaka derivaciji brzine ove točke u odnosu na vrijeme:

\(a(t)=v"(t).\)

Sergej Nikiforov

Ako je derivacija funkcije konstantnog predznaka na intervalu, a sama funkcija kontinuirana na svojim granicama, tada se rubne točke dodaju i rastućim i padajućim intervalima, što u potpunosti odgovara definiciji rastućih i padajućih funkcija.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Zdravo. Kako (na temelju čega) možemo reći da u točki gdje je derivacija jednaka nuli funkcija raste. Dati razloge. Inače je to samo nečiji hir. Po kojem teoremu? I također dokaz. Hvala vam.

podrška

Vrijednost derivacije u točki nije izravno povezana s porastom funkcije tijekom intervala. Razmotrimo, na primjer, funkcije - sve one rastu na intervalu

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Ako je funkcija rastuća na intervalu (a;b) i definirana je i kontinuirana u točkama a i b, tada je ona rastuća na intervalu . Oni. točka x=2 je uključena u ovaj interval.

Iako se, u pravilu, povećanje i smanjenje ne razmatraju na segmentu, već na intervalu.

Ali u samoj točki x=2 funkcija ima lokalni minimum. I kako objasniti djeci da kada traže točke porasta (padanja) ne brojimo točke lokalnog ekstremuma, nego ulazimo u intervale porasta (padanja).

S obzirom na to da je prvi dio Jedinstvenog državnog ispita za " srednja skupina Dječji vrtić", onda su možda takve nijanse previše.

Zasebno, veliko hvala cijelom osoblju za "Rješavanje jedinstvenog državnog ispita" - odličan vodič.

Sergej Nikiforov

Jednostavno objašnjenje možemo dobiti ako krenemo od definicije rastuće/opadajuće funkcije. Podsjećam vas da to zvuči ovako: funkcija se naziva rastućom/opadajućom na intervalu ako veći argument funkcije odgovara većoj/manjoj vrijednosti funkcije. Ova definicija ni na koji način ne koristi koncept derivacije, tako da se ne mogu pojaviti pitanja o točkama u kojima derivacija nestaje.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Dobar dan. Ovdje u komentarima vidim uvjerenja da granice moraju biti uključene. Recimo da se slažem s ovim. Ali pogledajte svoje rješenje za problem 7089. Tamo, kada specificirate rastuće intervale, granice nisu uključene. A to utječe na odgovor. Oni. rješenja zadataka 6429 i 7089 su u suprotnosti. Molimo pojasnite ovu situaciju.

Aleksandar Ivanov

Zadaci 6429 i 7089 imaju potpuno različita pitanja.

Jedan je o rastućim intervalima, a drugi o intervalima s pozitivnom derivacijom.

Nema proturječnosti.

Ekstremumi su uključeni u intervale rasta i opadanja, ali točke u kojima je derivacija jednaka nuli nisu uključene u intervale u kojima je derivacija pozitivna.

A Z 28.01.2019 19:09

Kolegice, postoji koncept povećanja u jednom trenutku

(vidi Fichtenholtz na primjer)

a tvoje razumijevanje porasta pri x=2 je u suprotnosti s klasičnom definicijom.

Povećanje i smanjenje je proces i ja bih se želio držati tog principa.

Ni u jednom intervalu koji sadrži točku x=2 funkcija nije rastuća. Stoga je uključivanje zadane točke x=2 poseban proces.

Obično se, kako bi se izbjegla zabuna, uključivanje krajeva intervala raspravlja zasebno.

Aleksandar Ivanov

Kaže se da funkcija y=f(x) raste u određenom intervalu ako veća vrijednost argumenta iz tog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

U točki x=2 funkcija je diferencijabilna, a na intervalu (2; 6) derivacija je pozitivna, što znači na intervalu )