Площадь равностороннего треугольника по высоте. Правильный треугольник
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Равносторонний треугольник - это самый простой правильный многоугольник из возможных. При нахождении его площади возникают частные варианты его расчета. Важно знать и понимать признаки и свойства этого вида фигур, для более легкого вычисления этого параметра. Все методы, представленные ниже, достаточно просты в применении, и не потребуют глубокого осмысления.
Вконтакте
Признаки и свойства фигуры
- Значение величины его одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам , вне зависимости от размера сторон.
- , высота и медиана выпущенные из одного угла будут совпадать.
- Любая сторона равностороннего треугольника равна двум другим.
- Центр правильного треугольника будет являться центром для .
- Является частным случаем равнобедренного треугольника.
Важно! Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним.
Равносторонний треугольник
Дополнительно этот частный случай фигуры обладает следующими свойствами:
Расчет через сторону
Существует множество способов расчета площади этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самая популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом: , где, a и b – стороны, α – угол между ними.
В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все углы этой фигуры равны, и равняются 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса , равняется , преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: .
Учитывая то, что все стороны этой фигуры равны, то преобразованное выражение даст такой результат: .
Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны этой фигуры. В таком виде вычислять данный показатель гораздо легче и быстрее.
Те, кто помнит формула Герона, знают, как найти площадь этой фигуры. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь этой фигуры по Герону рассчитывается так: , где, a, b, c -стороны, а p - полупериметр (). Преобразовывается данное выражение достаточно просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон можно представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:
;
;
Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.
Вычисление площади треугольника по его стороне
Расчет по высоте
Найти площадь равностороннего треугольника можно также, если известна его и сторона . Половина длины высоты умножается на сторону, выбрана может быть любая высота и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые : , где a – это длина стороны. Ее легко запомнить, однако, на практике она применяется достаточно редко.
Если в задаче указана информация о том, что треугольник является равносторонним и известна величина высоты. А чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее рассчитать. Найти сторону можно разделив двойную величину высоты на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: . После этого применяется формула площади, где расчеты производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.
Для того чтобы не делать лишних расчетов можно вывести формулу этого показателя сразу же через высоту. Квадрат высоты делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: . В этом случае можно не применять формулу равнобедренного треугольника через сторону.
Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте
Расчет через окружности
В математике популярен также прием расчета, рассматриваемого в статье, значения через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окружность называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.
Описанная окружность обязательно должна проходить через все вершины , вписанная должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.
Чертеж равностороннего треугольника, описанного или вписанного в окружность
Если в условии задачи дан радиус вписанной и описанной окружности, то из них также можно составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину высоты. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .
Преобразовав формулу , применив расчет высоты h = R + r, можно получить следующее значение: . Данную формула можно упростить еще больше, ведь радиус описанной окружности можно выразить через радиус вписанной. Согласно свойствам этих окружностей R = 2r, где r - это радиус вписанной окружности, R - это радиус описанной. Соответственно площадь правильного треугольника будет высчитываться так: .
Если же будет дан размер радиуса описанной окружности, то выражение будет выглядеть следующим образом: .
Использование этих свойств пригодится для расчета стороны фигуры. Для того чтобы ее найти можно воспользоваться выражением для описанной окружности, и для вписанной.
Учитывая радиус описанной окружности можно найти искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на радиус, увеличенный в 4 раза. Математически его можно записать следующим образом: .
Процесс расчета, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета , а также свойства и признаки этой фигуры.
Внимание! Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.
Площадь равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность
Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.
В элементарной геометрии равносторонним треугольником считается правильный многоугольник, имеющий три стороны. Если несколько расширить и конкретизировать это определение, то получится, что треугольник является правильным в том случае, если все его стороны имеют одинаковую длину, а углы равны 60° . Тому, как найти , учат на уроках геометрии в средней школе, а на практике эти знания нередко приходится применять инженерам-конструкторам и архитекторам.
Вычисление площади равностороннего треугольника
| S | = | ah |
a - сторона треугольника
h - высотат треугольника
S - площадь
Зодчим площадь равностороннего треугольника приходится находить в том случае, если такую форму имеют элементы зданий, проектированием которых они занимаются. Таковыми могут быть нестандартные окна (как обычные, так и мансардные), которые нередко встречаются в зданиях, имеющих оригинальное архитектурное решение. Их проектировщикам формула площади равностороннего треугольника требуется для того, чтобы выяснить, достаточный ли размер будет иметь окно для того, чтобы через него в помещение проникало необходимое количество дневного света. Кроме того, форму равносторонних треугольников достаточно часто имеют фронтоны тех жилых загородных домов и коттеджей, а также хозяйственных построек, скаты крыш которых иногда располагаются под углом 60° .
Равносторонние треугольники нередко можно встретить в составе различных технических устройств и инструментов. Например, такую форму имеют сменные пластины проходных твердосплавных токарных резцов. На державке они устанавливаются путем установки на специальную ось, а фиксируются при помощи клиновидного стального элемента, прижим которого осуществляется за счет резьбового соединения. После того, как одна из граней вставки затупляется в процессе резания, пластина снимается, поворачивается на 60° , фиксируется заново, в результате чего может использоваться другая, острая грань. Таким образом, за счет того, что твердосплавная пластина имеет форму равностороннего треугольника, такая переустановка может совершаться три раза. Заточке затупившиеся грани не подлежат, и эти элементы режущего инструмента утилизируются путем переплавки.
Как автомобилистам, так и пешеходам отлично известны дорожные знаки, представляющие собой равносторонние треугольники. Такая форма делает их более заметными, и поэтому они в большинстве своем являются предупреждающими. Само собой разумеется, что в процессе их разработки и написания соответствующей нормативно-технической документации приходилось использовать формулу расчета площади равностороннего треугольника .
Великолепно знают, что такое равносторонний треугольник , любители такой популярной игры, как бильярд. При помощи специальных рамок, имеющих соответствующую форму, происходит установка шаров в определенном порядке перед началом каждой партии. Производятся эти изделия из древесины, пластических масс или металлов.