Věta o přímce kolmé k rovině Důkaz. Téma lekce je „Věta o přímce kolmé k rovině
Přímka kolmá k rovině je kolmá k jakékoli přímce v této rovině. Na základě věty o projekci pravého úhlu a její podstata je následující:
při pravoúhlém promítání se pravý úhel promítá v plné velikosti (vpravo) pouze tehdy, je-li jedna z jeho stran rovnoběžná s rovinou promítání a druhá není kolmá k této rovině,
jako přímky obecné polohové roviny je nejvýhodnější použít její nivelační čáry.
Proto při kreslení kolmice k rovině je nutné vzít v této rovině dvě takové přímky: vodorovnou a čelní.
Průměty přímky kolmé k rovině ve složeném výkresu jsou kolmé na odpovídající průměty jejích nivelačních čar, tzn. je-li přímka kolmá k rovině, pak by její horizontální průmět měl být kolmý k horizontálnímu průmětu horizontály a její čelní průmět by měl být čelní průmět frontální (obr. 67) nebo odpovídající stopy roviny ( Obr. 68).
Na Obr. 69 ukazuje rovinu v obecné poloze ( A b), ke kterému chcete nakreslit kolmou čáru.
Rýže. Obr. 68
Rýže. 69
V této rovině nakreslete vodorovnou čáru h(přes body 1,3) a čelní proti(přes body 1,4) (obr. 69).
Poté z bodu 1 nakreslíme přímku n kolmo k horizontále a k přední části roviny takto:
n" h" n "" h ""
Vybudovaná linka n(n",n "") je požadovaná kolmice k rovině.
Kolmé roviny
Dvě roviny jsou vzájemně kolmé, jestliže jedna z nich prochází kolmicí ke druhé. Konstrukce takových letadel může být provedena dvěma způsoby:
1) rovina je vedena kolmicí k druhé;
2) rovina je nakreslena kolmo k přímce patřící jiné rovině.
Na Obr. 70 ukazuje přímku v obecné poloze l a rovina v obecné poloze ( A b). Je nutné stavět přes přímku l rovina kolmá k rovině.
Rýže. 70
K vyřešení problému je nutné projít nějakým bodem této přímky, například bodem M, nakreslete kolmici k rovině definované protínajícími se přímkami A a b.
Kreslit v rovině vodorovně h a čelní proti(obr. 70).
Dále od věci M bráno po přímce l, snížíme kolmici n pomocí výše uvedeného prohlášení: n"h";n ""v "", tj. horizontální průmět kolmice bude kolmý k horizontálnímu průmětu horizontály a její čelní průmět bude kolmý k průmětu frontální (obr. 70).
Letadlo ( l n) procházející přímkou n, bude kolmá k rovině.
Kolmé přímky
Dvě přímky jsou kolmé právě tehdy, když každou z nich lze nakreslit rovinu kolmou na druhou.
Na Obr. 71 znázorňuje přímku l obecná poloha, ke které chcete nakreslit kolmou čáru.
Rýže. 71
Průchozí bod A rovný l sestrojíme rovinu k ní kolmou ( h proti):
já" h"; l "" h ""(obr. 71).
Jakákoli přímka ležící v rovině bude také kolmá k této přímce l... V této rovině tedy nakreslíme libovolnou přímku t, ve kterém vezmeme libovolný bod, například bod PROTI(obr. 71).
Spojováním teček A a PROTI ležící v rovině dostaneme přímku n kolmo k této přímce l(obr. 71).
OTÁZKY PRO KONTROLU
Jak se nazývá přímka největšího sklonu roviny?
Jak určit úhel sklonu roviny k čelní rovině průmětů?
Jak se ve složitém výkresu zobrazuje vzájemná kolmost přímky a roviny?
Formulujte nutné a postačující podmínky pro kolmost dvou přímek v obecné poloze.
Za jakých podmínek jsou dvě roviny v obecné poloze na sebe kolmé?
Jak nakreslit rovinu kolmou k dané přímce?
Jak nakreslit kolmici z bodu na přímku v obecné poloze?
Jak postavit vzájemně kolmé roviny?
V této lekci zvážíme a dokážeme větu o jediné přímce kolmé k rovině.
Na začátku lekce zformulujeme probranou větu o existenci jediné přímky procházející daným bodem a kolmé k této rovině. Abychom to dokázali, nejprve zvážíme a dokážeme tvrzení o existenci roviny kolmé k dané přímce. Po prokázání věty zvážíme několik následných problémů na studované téma.
Téma: Kolmost přímky a roviny
Lekce: Věta o přímce kolmé k rovině
V této lekci se na to podíváme a prokážeme věta o jediné přímce kolmé k rovině.
Tvrzení
Rovina kolmá k této přímce prochází libovolným bodem v prostoru.
Důkaz(viz obr. 1)
Nechť nám bude dána přímka A a bod M... Dokažme, že bodem prochází rovina γ M a která je kolmá k přímce A.
Přes přímku A nakreslete roviny α a β tak, aby bod M patří do roviny α. Roviny α a β se protínají v přímce A... V rovině α bodem M nakreslit kolmici MN(nebo R) na rovné A,. V rovině β od bodu N obnovit kolmici q do rovného A... Přímo R a q protínají, ať jimi prochází rovina γ. Dostáváme z toho rovnou čáru A kolmo na dvě protínající se přímky R a q z roviny γ. Tedy podle kritéria kolmosti přímky a roviny přímka A kolmá k rovině γ.
Teorém
Přímka kolmá k dané rovině prochází libovolným bodem prostoru a navíc pouze jedním.
Důkaz.
Nechť rovinu α a bod M(viz obr. 2). To je potřeba dokázat přes bod M je jediná přímka S kolmo k rovině α .
Nakreslíme rovnou čáru A v rovině α (viz obr. 3). Podle výše dokázaného tvrzení přes bod M lze nakreslit rovinu γ kolmou k přímce A... Ať je to rovné b- průsečík rovin α a γ.
V rovině γ bodem M nakreslíme rovnou čáru S kolmo k přímce b.
Rovný S kolmý b konstrukcí, rovný S kolmý A(od rovného A je kolmá k rovině γ, a tedy k přímce S, ležící v rovině γ). Dostáváme z toho rovnou čáru S kolmé na dvě protínající se přímky z roviny α. Tedy podle kritéria kolmosti přímky a roviny přímka S kolmá k rovině α. Dokažme, že taková přímka S jediný.
Předpokládejme, že existuje přímka S 1 procházející bodem M a kolmá k rovině α. Dostáváme rovné čáry S a od 1 kolmá k rovině α. Tak rovnou S a od 1 jsou paralelní. Ale konstrukcí rovnou S a od 1 protínají v bodě M... Máme rozpor. Bodem tedy prochází jedna přímka M a podle potřeby kolmo k rovině α.
Dokažte, že jsou-li dvě roviny α a β kolmé k přímce A, pak jsou rovnoběžné.
Důkaz:
Nakreslíme rovnou čáru S rovnoběžné rovné A... Podle lemmatu, pokud jedna ze dvou rovnoběžných přímek protíná rovinu, pak rovinu protíná i druhá přímka. Rovný A protíná roviny α a β podle podmínky. Znamená rovnou S v určitém bodě protíná rovinu α A a rovina β v bodě B.
Rovný A kolmá k rovinám α a β, a tedy přímka s ní rovnoběžná S kolmé k rovinám α a β.
Předpokládejme, že se roviny α a β protínají. Tečka M je společným bodem rovin α a β. Ale pak v trojúhelníku AMV injekce MAV se rovná 90° a úhlu AVM rovná se 90°, což je nemožné. Předpoklad, že se roviny α a β protínají, byl tedy nesprávný. Roviny α a β jsou tedy rovnoběžné.
Dokažte, že libovolným bodem prostoru prochází pouze jedna rovina kolmá k dané přímce.
Důkaz:
Nechť je dána přímka A a bod M... Podle tvrzení bodem prochází rovina γ M kolmo k přímce A... Pojďme dokázat jeho jedinečnost.
Předpokládejme, že bodem prochází rovina γ 1 M kolmo k přímce A... Dvě roviny γ a γ 1 jsou kolmé ke stejné přímce A, a proto jsou roviny γ a γ 1 rovnoběžné (jak jsme dokázali v úloze 1). Ale pointa M patří do roviny γ a γ 1. Máme rozpor. To znamená, že libovolným bodem prostoru prochází pouze jedna rovina, kolmá na danou přímku A, jak je potřeba doložit.
Takže jsme dokázali větu na přímce kolmé k rovině. V další lekci se podíváme na řešení problémů s takovými rovnými čarami.
1. Geometrie. Ročníky 10-11: učebnice pro studenty vzdělávacích institucí (základní a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, přepracované a doplněné - M.: Mnemosina, 2008. - 288 s. : nemocný.
2. Geometrie. 10.–11. ročník: Učebnice pro všeobecné vzdělávání vzdělávací instituce/ Sharygin I.F. - M .: Drop, 1999 .-- 208 s.: Ill.
3. Geometrie. Třída 10: Učebnice pro vzdělávací instituce s prohlubujícím a specializovaným studiem matematiky / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydání, stereotyp. - M.: Drop, 008 .-- 233 s. : nemocný.
1. Geometrie. Ročníky 10-11: učebnice pro studenty vzdělávacích institucí (základní a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, přepracované a doplněné - M .: Mnemozina, 2008. - 288 s .: nemoc.
Úkoly 15, 16, 17 str. 58
2. Je pravda, že přímka je kolmá k těm, které leží v této rovině:
a) dvě strany trojúhelníku
b) dvě strany lichoběžníku
c) dva průměry kruhu.
3. Dokažte, že kterýmkoli bodem přímky v prostoru lze vést dvě různé přímky, které jsou na ni kolmé.
4. Přímý A,b, S leží v rovině α. Rovný m kolmé na přímky A a b ale ne kolmé S... co je vzájemné domluvě Přímo A a b?
Opakujte odstavec 1, odstavce 15-18, všechny vlastnosti a věty si zapište do sešitu, prostudujte si odstavec 18, větu si zapište na přímku kolmou k rovině do sešitu.
Dvě přímky v prostoru se nazývají kolmé, pokud je mezi nimi úhel 90o.
Kolmé čáry se mohou protínat a křížit. Lemma. Pokud je jedna ze dvou rovnoběžných přímek kolmá ke třetí přímce, pak je druhá přímka kolmá k této přímce. Definice. Přímka se nazývá kolmá k rovině, pokud je kolmá k jakékoli přímce ležící v rovině. Také říkají, že rovina je kolmá k přímce a. |
|
| Pokud je přímka a kolmá k rovině, pak tuto rovinu zjevně protíná. Pokud by totiž přímka a rovinu neprotínala, ležela by v této rovině nebo by s ní byla rovnoběžná. Ale v obou případech by v rovině byly přímky, které nejsou kolmé k přímce, ale například přímky s ní rovnoběžné, což je nemožné. Přímka a tedy protíná rovinu. |
Vztah mezi rovnoběžností přímek a jejich kolmostí k rovině.
Znak kolmosti přímky a roviny.
Poznámky.
Jakýmkoli bodem v prostoru vede rovina kolmá k dané přímce a navíc jediná. Přímka kolmá k dané rovině prochází libovolným bodem prostoru a navíc pouze jedním. Pokud jsou dvě roviny kolmé k přímce, pak jsou rovnoběžné.
Prozkoumejte odpovědi na otázky:
V prostoru se mohou kolmé čáry protínat a křížit. (Ano, například krychle.) Pokud je jedna ze dvou rovnoběžných přímek kolmá ke třetí přímce, pak je druhá přímka rovnoběžná s touto přímkou. (Ne, je kolmá.) Přímka se nazývá kolmá k rovině, pokud je kolmá k jakékoli přímce ležící v této rovině. (Ne, protože podle podmínky mohou přímky ležet v této rovině.) Pokud je jedna ze dvou rovnoběžných přímek kolmá k rovině, pak je druhá přímka také rovnoběžná s rovinou. (Ne, je kolmá.) Je-li přímka kolmá na dvě protínající se přímky ležící v rovině, pak je kolmá k této rovině. (Ano, znaménkem.) Je-li přímka kolmá k rovině, pak je kolmá ke dvěma stranám trojúhelníku ležících v této rovině. (Ano.) Pokud je přímka kolmá k rovině, pak je kolmá ke dvěma stranám čtverce. (Ne.)
V čtyřstěnu ABCD (obrázek 1) BCD = ACD = 90° Je pravda, že na obrázku jsou hrany AB, AC, BC kolmé k CD? (Ano.),
Dáno: ∆ ABC, VM AB, VM VS, D AC.
Co je symetrie. Symetrie v geografii. Symetrie v geologii. Přírodní objekty... Příklady symetrického rozdělení. Typy symetrie. Symetrie válce. Symetrie vnějšího tvaru krystalu. Symetrie v biologii. Diskrétní symetrie. Symetrie v přírodě. Symetrie je základní vlastností přírody. Symetrie ve fyzice. Symetrické tvary. Člověk, mnoho zvířat a rostlin má bilaterální symetrii.
"Podmínka kolmosti přímky a roviny" - Věta o přímce kolmé k rovině. Úhel mezi přímkou a rovinou. Přímé MA a MS. Dokažme, že přímka a je kolmá k libovolné přímce m. Šikmé vlastnosti. Věta o dvou rovnoběžných přímkách. Věty uvádějící souvislost mezi paralelismem. Přímka a je kolmá k rovině ASM. Věta o třech kolmých. Sestavit plán. Věta o dvou přímkách kolmých k rovině.
"Metody pro konstrukci sekcí" - Formování dovedností a schopností pro konstrukci sekcí. Memo. Uvažujme čtyři případy konstrukce řezů rovnoběžnostěnem. Řezací rovina. Metoda vnitřního návrhu. Konstrukce úseků mnohostěnů. Stopa se nazývá průsečík roviny řezu a roviny libovolné plochy mnohostěnu. Krabice má šest stran. Sestrojte řezy čtyřstěnu. Metoda trasování. Práce s disky.
"Důsledky z axiomů stereometrie" - Prvky krychle. Letadlo. Nakreslete rovnou čáru. Do kterých rovin bod patří? Geometrické snímky. Najděte průsečík rovin. Řešení. Různá letadla. Planimetrické axiomy. Samostatná práce... Tvrzení. Sestavte obrázek krychle. Planimetrie. Existence letadla. Letadla. Důkaz. Čáry, které se protínají v bodě. Stereometrické axiomy a některé jejich důsledky.
"Define Dihedral Angles" - Tváře rovnoběžnostěnu. Kde můžete vidět větu o třech kolmicích. Úkol. Nakreslíme paprsek. Rovina M. Bod na hraně může být libovolný. Obrazec tvořený přímkou a a dvěma polorovinami. Dihedrální úhly v pyramidách. Kolmé, šikmé a promítání. Bod K. Úhel na boční hraně přímého hranolu. Definice a vlastnosti. Kosočtverec. Konce segmentu. Trojúhelníkový roh nemovitosti. Kolmé roviny.
"rovnoběžník" - "salzburský rovnoběžník". Studujte vlastnosti geometrických tvarů pomocí algebry. Čtyřstěn může být vepsán do rovnoběžnostěnu. Rovnoběžné. Obdélníkový rovnoběžnostěn. Diagonální vlastnosti pravoúhlý rovnoběžnostěn... Vývoj geometrie. Úhlopříčky rovného rovnoběžnostěnu se vypočítají pomocí vzorců. Takto vypadá krabice v plochém vzoru. Kvádr je symetrický kolem středu své úhlopříčky.
Přednáška na téma "Věta o přímce kolmé k rovině"
Připomeňme si je: První věta Kritérium kolmosti přímky a rovinyJe-li přímka kolmá na dvě protínající se přímky ležící v rovině, pak je kolmá k této rovině.
A dvě věty o rovnoběžných přímkách přímá věta. Pokud je jedna ze dvou rovnoběžných přímek kolmá k rovině, pak je druhá přímka kolmá k této rovině.
A obrácená věta. Pokud jsou dvě přímky kolmé k rovině, pak jsou rovnoběžné. Důkaz těchto teorémů jsme již probrali.
Text na obrazovce:
Znak kolmosti přímky a roviny. Je-li přímka kolmá na dvě protínající se přímky ležící v rovině, pak je kolmá k této rovině.
Na obrazovku se přidá text:
Teorém. Pokud je jedna ze dvou rovnoběžných přímek kolmá k rovině, pak je druhá přímka kolmá k této rovině.
Na obrazovku se přidá text:
Konverzní teorém. Pokud jsou dvě přímky kolmé k rovině, pak jsou rovnoběžné.
Úkol.
Dokažte, že rovina kolmá k dané přímce prochází libovolným bodem v prostoru.
K vyřešení úlohy uvažujme přímku a a libovolný bod v prostoru, bod M. Dokažme, že bodem M prochází rovina kolmá k přímce a.
Pro důkaz nakreslíme dvě roviny α a β obsahující přímku a, protože to je jejich společná přímka, tedy přímka a jejich průsečík.
V rovině β procházející bodem M vedeme přímkub kolmo k přímceA ... nechť se tyto čáry protnou v bodě O.
V rovině α nakreslete přímkuS procházející bodem O a kolmý k přímceA .
Podle věty o existenci roviny, a to přes dvě protínající se přímkyproti a S je možné nakreslit rovinu a navíc pouze jednu.
Zvažte letadloγ ( gama ) procházející přímkamiS a b .
Letadlo γ( gama ) bude požadovaná rovina, protože přímka a je kolmá ke dvěma protínajícím se přímkám b a c
Na obrazovce text úlohy: Dokažte, že rovina kolmá k dané přímce prochází libovolným bodem v prostoru.
Kresba na obrazovce
Výkres je aktualizován na obrazovce a je přidán bod řešení.
Důkaz:Nakreslete α, β: a, M
Výkres a zkušební bod se aktualizují na obrazovce 2)
Důkaz:provedeme b: b , b , bA, b a = O
Výkres se aktualizuje na obrazovce a přidá se kontrolní bod 3)
Důkaz:Pojďme strávit s: S , S, S A
Byl přidán důkazní předmět 4)
Přidána důkazní klauzule 5)
A ⊥.
Tento problém demonstruje existenci roviny kolmé k dané přímce. Uvažujme větu o existenci a jednoznačnosti přímky kolmé k dané rovině.
Uvažujme rovinu α a libovolný bod v prostoru - bod A.
Dokažme, že bodem A prochází jediná přímka kolmá k dané rovině.
1,2) Nakreslíme tedy v rovině α libovolnou přímkum... Pojďme postavit letadlotak, aby procházel bodem A kolmým k přímcem.
3,4) Nechť se rovina α a β protíná podél přímkyn... V rovině β bodem A vedeme přímku p, kolmou na přímkun.
5) Přímo T , kolmo k roviněβ , takže je kolmá na jakoukoli přímku v této rovině, tedy přímkuT kolmo k přímceR .
6) Pak přímka pm a n ležící v letadleα , tedy na základě kolmosti přímky a roviny přímkap kolmo k roviněα .
7) Je důležité pochopit, že taková přímka může být pouze jedna. Pokud bodem A procházely dvě přímky, například další přímkap 1 kolmá k rovině α. Ale dvě přímky kolmé k jedné rovině jsou rovnoběžné, což je v rozporu s naším předpokladem. Bodem v prostoru tedy prochází pouze jedna přímka kolmá k této rovině.
Toto tvrzení v geometrii se nazývá věta o přímce kolmé k rovině.
Text na obrazovce:
Přímka kolmá k dané rovině prochází libovolným bodem prostoru a navíc pouze jedním.
Kresba na obrazovce
Důkaz:Pojďme provést m: m
Zvažte β: βА
provedeme p : p , A R , odpoledne .
Klauzule je přidána k důkazu 6)
Výkres a kontrolní bod se aktualizují na obrazovce:
e podstatné jménoÚkol
Přes vrcholy A a B obdélníku ABCD 1 a BB 1 1 AB a AA 1 A D D= 25 cm, AB = 12 cm, INZERÁT= 16 cm.
Řešení 1) Od rovného AA 1 kolmo na dvě protínající se přímkyINZERÁTa AB ležící v rovině obdélníku, pak znaménko kolmosti přímky k rovině AA 1 D.
2) Rovný BB 1 rovnoběžná s přímkou AA 1 tedy podle věty přímka BB 1 kolmá k rovině ABCD, a je kolmá k jakékoli přímce ležící v této rovině, tedy BB 1 kolmo k přímce BD... Takže trojúhelník B 1 palec D obdélníkový.
3) Od pravoúhlý trojuhelník BAD podle Pythagorovy věty druhá mocnina přeponyBDse rovná součtu čtverců nohou AB aINZERÁT a BD rovná se 20 cm.
4) Podle Pythagorovy věty z pravoúhlého trojúhelníku B 1 palec D... Čtvercová noha B 1 B se rovná rozdílu druhých mocnin přepony B 1 Da slavná nohaBDa noha je 15 cm.
Na obrazovce text úkolu. Přes vrcholy A a B obdélníku ABCDjsou nakresleny rovnoběžné přímky AA 1 a BB 1 neleží v rovině obdélníku. Je známo, že AA 1 AB a AA 1 A D... Najděte BB 1, pokud B 1 D= 25 cm, AB = 12 cm, INZERÁT= 16 cm
Text a kresba na obrazovce:
Řešení:Položka 2 je přidána do řešení) výkres je aktualizován
K rozhodnutí se přidává bod 3)
: podle Pythagorovy věty
PROTI D=
K rozhodnutí se přidává bod 4) a následně odpověď
: podle Pythagorovy věty
Odpověď: 15 cm.
Zvažte problém s důkazem.
Přímka a je kolmá k rovině α a kolmá k přímceb b||
Nazvěme průsečík přímky a rovinného bodu M.
1,2) Poznámka na řádkuA nějaký bodNneleží na přímceb... Prostřednictvím bodu, který neleží na této přímce, můžete nakreslit jedinou přímku rovnoběžnou s danou. Nechte tuto přímku býtb 1 .
3) Průchozí bod Nnakreslíme z něj rovnou čáru 1 .
4) Bodem M v rovině α vedeme přímku s rovnoběžnou s přímkou s 1 .
5) Prostřednictvím dvou protínajících se čar s 1 a b 1 rovinu β lze nakreslit podle věty o existenci roviny.
6) Přímka a je kolmá podle podmínky roviny α, to znamená, že je kolmá k přímce c ležící v rovině, ale c je rovnoběžná s přímkou c 1 , tedy přímka a je kolmá k přímce c 1 .
7.8) Podobně přímka a je kolmá k přímcebpodle stavu, rovnýbrovnoběžně s přímkoub 1 , tedy přímka a je kolmá k přímceb 1 ... Přímka a je tedy na základě kolmosti přímky a roviny kolmá k rovině β.
9) Roviny α a β jsou kolmé k přímce, a proto jsou rovnoběžné.
10) Přímo brovnoběžně s přímkoub 1 , takže je rovnoběžná s rovinou β a rovnoběžná s rovinou α.
Na obrazovce text úkolu:
Úloha 3. Přímka a je kolmá k rovině α a kolmá k přímceb neleží v této rovině. Dokázat tob ||
Vzhledem k tomu: a, a bDokázat to || b
Důkaz:Poznámka N: .
b 1 : b 1
Plán se na obrazovce aktualizuje a přidá se kontrolní bod:
Proveďme s 1: s 1Výkres se aktualizuje na obrazovce a přidá se položka 4)
Pojďme strávit s: s
Plán se na obrazovce aktualizuje a přidá se kontrolní bod:
Doplněna důkazní klauzule 6):
A ⊥α
Přidána důkazní klauzule 7) 8)
ab .
Důkaz 9 přidán)
Přidána důkazní klauzule 10)